Lineær Beamoptik 3 Først lidt repetition fra sidste gang 1
2
3
Lineær beamoptik 3.14-3.17 Tune Optiske resonanser Fejl i de optiske elementer Kromaticitet 4
Optisk resonans Vi snakker i dag kun om cirkulære acceleratorer. En optisk resonans kan opstå fordi beamet er udsat for en periodisk kraft. Beamet oscillerer om den optiske akse, og under visse betingelser kan beamets svingninger komme i resonans med ringens periodiske struktur, hvilket fører til opblæsning af beamets størrelse og evt til beamtab. I dag skal vi først se på de krav der stilles til maskinens optik for at undgå optisk resonans. Periodisk løsning til Hill s ligning Antag, at Dp/p = 0. Vi har så Hill s ligning: hvor længde som periode, altså: er en periodisk funktion med ringens, L er ringens længde. Løsningen blev fundet sidste gang: Men i en ring er betafunktionen b(s) jo periodisk, og med samme periode som K(s). Betatronfasen er central for resonant opførsel. 5
Q: Ringens tune Vi gentager lige og (3.125) og definerer Q som antallet af betatronoscillationer pr omløb i ringen, altså Q kaldes maskinens tune. Det er en maskinparameter, altså en konstant, og uafhængig af både position i ringen og beamparametre som emittans etc. De to planer, x og z, har hver deres tune, Q x og Q z. Ringens tune er bestemt af dens optik, altså f.eks. styrke og position af de fokuserende elementer. Omskrivning af transportmatricen Sidste gang fandt vi transportmatricen ud fra betafunktionen (3.164): I en periodisk struktur, dvs og kan vi med definitionen af Q nu skrive den som hvor, altså den vinkel der gennemløbes af Y pr omgang 6
Flere omskrivninger Med lidt omskrivning finder man Desuden ses det let, at men transformationen gennem ds kan jo skrives Ved at gange disse tre matricer sammen finder man et alternativt udtryk for og ved at sammenligne dette med udtrykket øverst på denne side finder man nogle nyttige relationer. Nye relationer Det nye udtryk vi finder for er Ved at sammenligne med det tidligere udtryk (3.209) ses at Disse relationer får vi brug for om lidt. 7
Floquet s transformation Når vi skal regne på partikelbevægelsen kompliceres det af, at tune ikke er heltallig, dvs at bevægelsen (via Y(s) ) ikke har samme periode som maskinen. Desuden er bevægelsen i faserummet en ellipse. Begge disse ting kan dog klares med en transformation til et nyt sæt variable. Dette gøres for at få et system det er simplere at regne i. Dvs. man har et system, transformerer til nye koordinater, regner, og transformerer tilbage igen. Vi indfører NB: f er IKKE det faseoffset der indgår i løsningen af Hill som jvf definitionen af Q ændrer sig med 2p per omgang Desuden erstatter vi x(s) med Efter en del regneri (3.218 3.221), hvor vi bruger relationerne fra forrige slide, fås den transformerede bevægelsesligning: Dette er ligningen for en harmonisk oscillator. Løsning: a* cos( Qf( s) ) Optiske resonanser I lineær beamoptik har vi at Med en fejl i feltet ser det sådan ud: Den transformerede bevægelsesligning bliver nu ligningen for en harmonisk oscillator med en tvangskraft: 8
Integer stopband Løsningen er: Af nævneren i første led ses, at hvis Q går mod et helt tal, går løsningen mod uendelig, dvs der er ikke noget stabilt beam. Området tæt på en heltallig værdi af Q kaldes et Integer stopband, og er altid fatalt for beamet. Figuren til højre illustrerer hvorfor det går galt. Multipoludvikling af feltfejl Man kan finde et udtryk for ændringen af beamamplituden ved forskellige fejl i magnetstrukturen. Tidligere så vi på rækkeudviklingen af feltet der gav os de forskellige multipoler. På samme måde kan vi betragte feltfejl:! Fejl i bogen Nu kan vi se på, hvordan resonansforholdende er for hver enkelt type feltfejl (dvs. dipol, Q-pol, sextupol osv). Det gøres ved at finde udtryk for ændringen af amplitude pr omløb. Hvis denne ændring er forskellig fra 0, har vi en resonans. For dipolfejl finder vi at Q=p giver et sådant konstant voksende beam, som vi også så tidligere. Man kan vise (3.240-3.252) at der knytter sig resonanser til alle led i rækkeudviklingen af feltet. 9
Resonanser og multipoler Optiske resonanser og de multipoler de skyldes: Man skal huske, at selv om der ikke er f.eks. sextu- og octupoler i en ring kan feltfejl i dipoler og kvadrupoler sagtens give anledning til højere ordens multipoler. Der er således altid resonans, når m*q=p, hvor m og p er heltal. Resonansbetingelsen Husk, at der er to tuneværdier, nemlig en i hvert plan: Q x og Q z I lineær beamoptik er de to tunes uafhængige, men da ikke-lineære multipoler (sextu-, octupoler etc) kobler x og z bevægelsen, dvs. z-bevægelsen afhænger af x og omvendt. Vi kan således få koblede resonanser, så vores generelle betingelse for resonans kommer til at være Summen m + n kaldes resonansens orden. Vi skal altså ved at vælge vores optik rigtigt finde et arbejdspunkt for maskinen hvor ovenstående ligning ikke er opfyldt. Da resonansers virkning falder hurtigt med ordenen forsøger man normalt at undgå resonanser op til femte orden. 10
Tunediagrammet Resonansbetingelsen for tunes i de to planer kan med fordel tegnes i et tunediagram som vist til højre. Her vist resonanser op til tredie orden. De lodrette og vandrette linier er resonanser i hhv x og z, mens alle de skrå linier er koblede resonanser. Arbejdspunktet bør vælges i et tomt område af diagrammet. ASTRID tunediagram op til 4. orden 11
Feltfejl og optik Antag, at en dipol har en feltfejl DB over en strækning af længde l. Vinkelændringen er da Vi forenkler sagen ved at betragte vinkelændringen som hidrørende fra en infinitesimal kort strækning. En sådan pludselig vinkelændring kaldes et kick. Betragt en ideel partikel med (x,x )=(0,0) og derfor e=0 der gennemløber et kick. Efter kicket er vektoren (x,x )=(0,Dx ). Denne ændring fører til betatronoscillationer, og vi har nu Bemærk at emittansforøgelsen er proportional med betafunktionens størrelse på kickets plads. Kick og betafunktion På figuren herunder ses effekten af et kick på steder, hvor betafunktionen er hhv. stor og lille. Det er klart, at kicket har størst effekt hvor b(s) er stor 12
Effekten af dipolfejl Efter mange omløb opnås en stabil situation. Lige efter kicket har vi vektoren dvs at lige før må vi have Transportmatricen for en hel omgang ringen må føre efter over i før, altså Eller grafisk: Effekten af et kick - løsningen Vi kender M rev. Den fandt vi i 3.164. Vi betragter nu en fuld omgang i maskinen, og kan jo så udnytte at fasetilvæksten Y=2pQ samt at b og a funktionerne har ringens periode. Så får man Sættes denne matrix ind i ligningen fås to ligninger med to ubekendte (3.258), der har løsningen Bemærk, at x er proportional med beta, samt at løsningen går mod uendelig når Q nærmer sig et heltal, som vi så tidligere. 13
Korrektion af kicks Der er generelt mange sådanne småfejl i en ring, der alle giver anledning til små vinkelændringer, og dermed orbitændringer i begge planer. Disse må korrigeres med korrektionsdipoler, der bør anbringes, hvor betafunktionen er stor for at få mest effekt. I visse situationer er man interesseret i at lave et kontrolleret kick (injektion, ekstraktion mere herom senere) Igen anbringes disse kickere i høj-beta områder. Til højre ses ASTRID latticefunktioner. Høj-beta for H,V er nær Q F,Q D. Kvadrupolfejl: orbitafvigelser Vi vil se på kvadrupolfejl der skyldes dårlig oplining, altså sådan at feltet ikke er nul på orbit. Dette kan påvirke både x- og z-bevægelsen, idet hvor g er q-polens gradient. Afbøjningen i de to planer bliver Dette giver anledning til afvigelser fra orbit, som er proportionale med opliningsfejlens størrelse samt med betafunktionens størrelse på q-polens plads, ganske som vi fandt det med dipolfejl. Værre er det nok, at gradientfejl i kvadrupoler giver anledning til ændring i betafunktion og tune. Det vil vi se lidt mere på. 14
Kvadrupolfejl: Tuneskift Vi antager, at fejlen har en størrelse så ændring i gradient er lille i forhold til gradientens størrelse. Det samme gælder jo så også for k. Vi har samme matrix for en hel omgang som før: Vi antager at fejlen svarer til en tynd q-pol, og kan altså skrive dens matrix som Vi får så for hele ringen med fejlen indregnet: Som man kan se, ændrer denne matrix ringens fokusering Kvadrupolfejl: Tuneskift Vi kan imidlertid også udtrykke tuneskiftet ved at erstatte Q med Q+dQ i den upertuberede matrix. Med c=2p(q+dq) fås Man udnytter nu en algebraisk sammenhæng, nemlig at lignende (similar) matricer har samme spor (trace) (og samme sum af egenværdier m.m.) De repræsenterer den samme lineære transformation fra en basis til en anden. Sætter vi nu finder vi at, eller ved at integrere gennem q-polen: Udtrykket gælder kun for små q-pol fejl. Igen: Er beta stor er effekten større. Til sidst skal vi kort se på ændringerne i betafunktionen ved en q-pol fejl. 15
Kvadrupolfejl: Beta Vi har stadig transportmatricen for en hel omgang Vi kan skrive med Pertubationen indføres som vi kan nu finde m 12 i denne matrix (med m 12 kan vi jvf. M rev finde beta) Samtidig kan vi regne højresiden ud, udtrykt ved a og b elementerne samt Dkds Kvadrupolfejl: Beta Denne lighed giver efter en del regneri (3.281-3.286) Heraf ses (igen, igen..) at Q heltallig er fatal, samt at effekten af en fejl er størst i et område med stor betafunktion. Igen gælder løsningen kun for små fejl, men med den kvalitet optiske elementer kan fremstilles og oplines ER fejlene små. Numeriske værktøjsmaskiner, stabile forsyninger samt lasertrackere til oplining gør, at lille fejl tilnærmelsen i alt det foregående er meget realistisk. 16
Kromaticitet 1 Nu vil vi se på partikler med impulsafvigelse Dp. Vi antager at Dp<<p 0. Dette er realistisk, idet Dp/p 0 typisk er <10-3. Disse partikler har en afvigende bane, som vi så i forbindelse med begrebet dispersion. Denne effekt skyldtes forskellig afbøjning i dipoler. I kvadrupoler er der imidlertid også en effekt af impulsafvigelse. En partikel med p=p0+dp ser kvadrupolstyrken En impulsafvigelse har altså samme effekt som en kvadrupolfejl af størrelsen Kromaticitet 2 Vi har lige regnet ud, at en kvadrupolfejl giver anledning til et tuneskift af størrelsen Partiklen ændrer ikke nævneværdigt impuls under een omgang i ringen, dvs. at partiklen ser samme Dk i alle ringens kvadrupoler. Vi må derfor integrere over dem alle: De dimensionsløse størrelser x x x z kaldes ringens kromaticitet og giver forholdet mellem tuneskift i de to planer og impulsafvigelsen. At en partikel med impulsafvigelse får et tuneskift, og altså en anden fokusering, har givet parameteren dens navn. Croma (græsk) betyder jo farve, og kromaticitet antyder, at forskellige farver (impulser) fokuserer forskelligt, analogt med klassisk optik 17
Kromaticitet 3 I lagerringe benyttes ofte stærk fokusering, sammenlagt fokuserende. Derfor bliver kromaticiteten som regel negativ. (k<0) En negativ kromaticitet fører til kollektive instabiliteter (head-tail), så vi må korrigere kromaticiteten til en positiv værdi. Da effekten skyldes ændret fokusering af partikler med afvigende impuls, er det oplagt at sætte ind med en korrektion på et sted i ringen hvor partikler med forskellig impuls er rumligt adskilt. Her er det godt at huske på dispersion: En partikel med impulsafvigelse Dp/p har en afvigende x-position i forhold til en partikel med Dp/p=0 netop hvor den horisontale dispersion er forskellig fra 0: Et sådant sted ville være det rigtige til et element, hvis fokusering afhænger af x, altså at k er proportional med x, i modsætning til q-poler, hvor gradienten og dermed k jo er uafhængig af x. Her kommer sekstupoler ind i billedet. Kromaticitet og sekstupoler 1 Som vi så i starten af kapitel 3 er en sekstupol karakteriseret ved sin styrke: Dvs vi kan skrive dens fokusering som funktion af x: k sext =mx eller, for en partikel på en dispersiv bane: Effekten af en sekstupol er illustreret her til venstre. Sekstupolen er altså fokuserende for x>0 og defokuserende for x<0. På denne måde korrigeres fokuseringen af partikler med impulsafvigelse, som vist på tegningen 18
Kromaticitet og sekstupoler 2 På tegningen af sekstupolens geometri ses, at den er en dipol hvis styrke er nul på aksen, men som tiltager i samme retning uanset på hvilken side af x-aksen man er på. Effekten af impulsafvigelse består altså af to dele: Dels en impulsafhængig ændring af k i kvadrupoler, dels en impulsafhængig fokusering/defokusering i sekstupoler. Dp k k p D 0 Dp md p Den totale kromaticitet bliver så: k sext NB: fejl i bogen i Dk og k sext Med sekstupoler med passende placering (D>0) og styrke kan man altså kompensere så negativ kromaticitet kan undgås. I praksis justerer man til en lille positiv værdi, for at undgå at små ændringer skulle kunne give en negativ kromaticitet. Dynamisk apertur 1 Det ikke-lineære felt i sekstupoler kan desværre føre til uharmoniske betatronoscillationer, altså tuneændringer. Selv partikler med nominel impuls, men stor betatronamplitude får jo det ikke-lineære felt at føle, og kan derved få en afbøjning der fører til tab. Dette kaldes kaotisk partikeldynamik og kan, som andre problemer med kaotisk opførsel, ikke behandles analytisk. Altså må vi bruge numeriske metoder, i dette tilfælde udregning af partikelbaner over mange omgange, particle tracking. Man starter med at definere en partikels startvektor: Koordinaterne i X 0 vælges tilfældigt indenfor acceptansellipsen. Ringen kan repræsenteres ved et antal transportmatricer, adskilt af sextupoler, som vist på næste side. 19
Dynamisk apertur 2 Vi tager først turen gennem M 1 : Derefter sekstupolen, hvis B-felt på partiklens plads er Med en sekstupollængde på l fås så og dermed Sådan fortsættes gennem hele maskinen. Dynamisk apertur 3 Nu kan vi lade partiklen cirkulere et stort antal omgange, ofte mange tusinde. Et eksempel på tracking i en ring hhv uden og med sekstupoler: Til højre ses, at sekstupoler kan reducere det stabile område i faserummet. Partikler med for stor amplitude kan gå tabt, som illustreret. Ofte vælger man x,z og holder x,z på 0,0. De x,z værdier for hvilke partiklerne overlever et meget stort antal omløb definerer den dynamiske apertur. 20
Dynamisk apertur 4 Det er vigtigt for ringens stabilitet at have en stor dynamisk apertur. Denne må udregnes med ovennævnte metode. Vores eksempelring fra sidste gang havde ingen sextupoler. Kromaticiteten bliver da negativ i begge planer. Kromaticiteten kan rettes til +1 i begge planer med sekstupoler. To er i princippet nok, men en jævn fordeling rundt i ringen er bedre. Bemærk: SD og SF sidder i nærheden af hhv. QD og OF Dynamisk apertur 4 Herunder er vist dynamisk apertur for vores eksempel med hhv. to og mange sekstupoler. Den mekaniske apertur er også angivet. 21
Til sidst Lidt WinAgile eksempler. 22