Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers, samt at Y po(λ) (det vil sige at Y er Poissonfordelt med parameter λ). Her er λ et positivt tal. 1) Beregn P(X 2). 2) Vis, at EX = 2 samt at V arx = 2 3. 3) Gør rede for at E Y = V ar Y = λ samt at P(Y 1) = 1 e λ. Antag nu at X og Y er uafhængige samt at λ = 1. 4) Beregn Cov(X, 2Y ) og V ar(x Y ). 5) Beregn E(XY ) og E(X(X + 5Y )). Lad Z betegne endnu en stokastisk variabel. Antag at Z og X er uafhængige, samt at Z har samme fordeling som X. Det vil sige, at Z har sandsynlighedsfunktion p Z givet ved { 1 hvis z {1, 2, 3}, p Z (z) = 3 0 ellers. 6) Find sandsynlighedsfunktionen p X,Z for den to-dimensionale diskrete stokastiske vektor (X, Z) og beregn P(X Z 2). Opgavesættet fortsættes
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 2 Opgave 2 Lad (X, Y ) være en to-dimensional absolut kontinuert stokastisk vektor med tæthedsfunktion f X,Y givet ved { 3 x hvis 0 < x < y < 2, f X,Y (x, y) = 4 0 ellers. 1) Vis, at X og Y er absolut kontinuerte med tæthedsfunktioner f X og f Y givet ved f X (x) = f Y (y) = { 3 x(2 x) hvis 0 < x < 2, 4 0 ellers, { 3 8 y2 hvis 0 < y < 2, 0 ellers. 2) Vis, at E Y = 3 2 samt at E(XY ) = 8 5. Lad F Y betegne fordelingsfunktionen for Y. 3) Vis, at samt at P(Y 1) = 7 8. F Y (y) = 0 hvis y 0, 1 8 y3 hvis y ]0, 2[, 1 hvis y 2, Lad (U, V ) være den to-dimensionale stokastiske vektor defineret ved U = X Y V = Y. 4) Vis, at (U, V ) er absolut kontinuert med tæthedsfunktion f U,V givet ved f U,V (u, v) = { 3 4 uv2 hvis 0 < u < 1 og 0 < v < 2, 0 ellers. Gør rede for at U og V er uafhængige. Opgavesættet fortsættes
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 3 Opgave 3 I denne opgave skal vi undersøge, om indtagelse af calcium kan medvirke til at sænke blodtrykket. Ved et forsøg inddelte man ved lodtrækning 21 mænd i to grupper. Den første gruppe bestod af 10 mænd, som i 12 uger hver dag fik et vitamintilskud med et højt indhold af calcium. Denne gruppe vil vi kalde calcium-gruppen. Den anden gruppe, der vil blive omtalt som placebo-gruppen, bestod af 11 mænd, som i samme periode fik et vitamintilskud uden calcium. De 21 forsøgspersoner fik ikke at vide, om deres vitamintilskud indeholdt calcium eller ej. Man målte ændringen i blodtrykket for hver forsøgsperson. (Denne ændring er opgjort som blodtryk efter 12 ugers vitaminkur minus blodtryk ved start af vitaminkur). Data kan i øvrigt aflæses fra SAS udskriften på næste side. En indledende statistisk analyse viser, at det kan antages, at de to observationsrækker er normalfordelte. I det følgende vil vi derfor arbejde under denne antagelse. Til besvarelsen af de to første spørgsmål kan SAS udskrifterne på de næste to sider benyttes; se specielt udskriften side 5. Datasættet blodtryk har 21 observationer og 2 variable. Variablen beh har to niveauer, calcium og placebo, som angiver om en person har fået calcium eller ej. Variablen aendring angiver ændringen i blodtrykket. 1) Estimer såvel spredningen som variansen på ændringen i blodtrykket for begge grupper. Vis, at det kan antages, at variansen på ændringen i blodtrykket er den samme for de to grupper. 2) Vis, at det kan antages, at middelværdien af ændringen i blodtrykket er den samme for de to grupper. I det følgende vil vi modellere ændringen i blodtrykket som en normalfordelt observationsrække med 21 observationer. Til besvarelsen af de næste to spørgsmål kan man benytte, at standardberegninger baseret på alle 21 observationer giver n = 21, S = 47, USS = 1287. 3) Estimer variansen på ændringen i blodtrykket, angiv estimatets fordeling og beregn et 95%-konfidensinterval for variansen. 4) Estimer middelværdien af ændringen i blodtrykket, angiv estimatets fordeling og beregn et 95%-konfidensinterval for middelværdien. Opgaven fortsættes
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 4 Nedenstående udskrift viser indholdet af datasættet blodtryk. Obs beh aendring 1 Calcium -18 2 Calcium -17 3 Calcium -11 4 Calcium -10 5 Calcium -7 6 Calcium -1 7 Calcium 2 8 Calcium 3 9 Calcium 4 10 Calcium 5 11 Placebo -12 12 Placebo -5 13 Placebo -3 14 Placebo -2 15 Placebo 1 16 Placebo 1 17 Placebo 1 18 Placebo 3 19 Placebo 3 20 Placebo 5 21 Placebo 11 Opgaven fortsættes
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 5 Programstumpen TITLE1 Calciums indvirkning på blodtrykket ; TITLE2 Analyse ved PROC TTEST ; PROC TTEST DATA=blodtryk; CLASS beh; VAR aendring; RUN; giver anledning til følgende udskrift. Calciums indvirkning på blodtrykket Analyse ved PROC TTEST The TTEST Procedure Statistics Lower CL Upper CL Lower CL Variable beh N Mean Mean Mean Std Dev Std Dev aendring Calcium 10-11.25-5 1.2545 6.0139 8.7433 aendring Placebo 11-3.691 0.2727 4.2369 4.1229 5.9007 aendring Diff (1-2) -12.03-5.273 1.4808 5.6161 7.3848 Statistics Upper CL Variable beh Std Dev Std Err Minimum Maximum aendring Calcium 15.962 2.7649-18 5 aendring Placebo 10.355 1.7791-12 11 aendring Diff (1-2) 10.786 3.2267 T-Tests Variable Method Variances DF t Value Pr > t aendring Pooled Equal 19-1.63 0.1187 aendring Satterthwaite Unequal 15.6-1.60 0.1288 Equality of Variances Variable Method Num DF Den DF F Value Pr > F aendring Folded F 9 10 2.20 0.2365 Opgavesættet fortsættes
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 6 Opgave 4 Ved at observere en supernova kan man bestemme to størrelser, som vi her vil kalde x og t. Man forventer, at der approksimativt er en lineær sammenhæng på formen x = α + βt, hvor β = 0.2. Konstanten k H = 10 α+5 kaldes for Hubbles konstant, og kan blandt andet benyttes til at bestemme universets alder. Til interesserede kan oplyses, at k H måles i enheden km/(s Mpc). Her svarer km til kilometer, s til sekund, og en Mpc er cirka lig med 3.09 10 19 km. Til sammenligning er et lysår cirka 3.07 10 7 Mpc. Man har bestemt x og t for 20 supernovaer. Vi vil i det følgende betragte de 20 observerede værdier af t som faste tal, mens de 20 observerede værdier af x er udfald af stokastiske variable. For at undersøge om data kan beskrives ved en lineær regression af x på t, har man lavet tre kontroltegninger, som kan ses på de næste to sider. I Figur 1 er værdierne af x og t indtegnet sammen med den estimerede regressionslinje. I Figur 2 ses et fraktildiagram for de standardiserede residualer ved en lineær regression af x på t. Endelig ses i Figur 3 de standardiserede residualer tegnet op mod t. 1) Gør, med udgangspunkt i Figur 1-3, rede for, at det er rimeligt at modellere data ved en lineær regression af x på t. Standardberegninger baseret på de observerede værdier af x og t resulterer i nedenstående tabel. n 20 x S 76.707 702.63 USS 296.240615 24738.1561 SP 2705.28028 t I øvrigt kan det anbefales, at man benytter så mange betydende cifre som muligt ved mellemregninger i de næste spørgsmål. 2) Estimer afskæringen α og hældningen β i den lineære regression af x på t. Estimer også variansen på x. 3) Vis, at det kan antages, at hældningen β er 0.2. Som nævnt ovenfor lader vi k H = 10 α+5 betegne Hubbles konstant. 4) Beregn et 95%-konfidensinterval for α. Estimer Hubbles konstant k H og beregn et 95%-konfidensinterval for denne parameter. Opgaven fortsættes
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 7 x 4. 5 4. 4 4. 3 4. 2 4. 1 4. 0 3. 9 3. 8 3. 7 3. 6 3. 5 3. 4 3. 3 3. 2 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 t Figur 1: x tegnet op mod t. Desuden er den estimerede regressionslinje indtegnet. Opgaven fortsættes
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 8 3 2 p f r a c t i l e 1 0-1 - 2-3 - 0. 0 5-0. 0 4-0. 0 3-0. 0 2-0. 0 1 0. 0 0 0. 0 1 0. 0 2 0. 0 3 0. 0 4 0. 0 5 s t a n d _ r e s i Figur 2: Fraktildiagram for de standardiserede residualer ved en lineær regression af x på t. 0. 0 5 0. 0 4 0. 0 3 S t a n d a r d i s e r e d e r e s i d u a l e r 0. 0 2 0. 0 1 0. 0 0-0. 0 1-0. 0 2-0. 0 3-0. 0 4-0. 0 5 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 t Figur 3: De standardiserede residualer tegnet op mod t.