Opgaver til Matematisk Modellering 1

Transkript

1 Afdeling for Teoretisk Statistik Matematisk Modellering 1 Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild og Jan Pedersen Aarhus Universitet 30. september 2004 Opgaver til Matematisk Modellering 1 Opgave 1. Lad A og B være hændelser således at P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 og P(A B) = 0.8. Find sandsynlighederne for følgende hændelser A B, A C, B C, A C B C og A C B C. Opgave 5. Betragt et sandsynlighedsrum (E, F, P) hvor E består af 4 elementer, E = e 1, e 2, e 3, e 4 }, og F består af alle delmængder af E. Antag desuden at P er det uniforme sandsynlighedsmål på E. Det vil sige P(A) = #A for enhver delmængde A 4 af E. Lad A 1 = e 1, e 4 }, A 2 = e 2, e 4 } og A 3 = e 3, e 4 }. 1) Vis, at A 1 og A 2 er uafhængige; at A 1 og A 3 er uafhængige og at A 2 og A 3 er uafhængige. 2) Vis, at A 1, A 2 og A 3 ikke er uafhængige. Opgave 2. Hvor mange udfald har spillet kast med 3 mønter? Betragt det uniforme sandsynlighedsmål på udfaldsrummet, dvs. antag at alle udfald er lige sandsynlige og beregn a) sandsynligheden for at alle mønter viser plat, b) sandsynligheden for at mindst en mønt viser krone, c) sandsynligheden for at netop en mønt viser krone. Besvar samme spørgsmål for spillet kast med n mønter. Hvor stor skal n være, for at sandsynligheden for at få mindst en krone er større end 95%? Opgave 3. Betragt spillet kast med 3 terninger. Betragt det uniforme sandsynlighedsmål på udfaldsrummet og beregn følgende: a) sandsynligheden for at alle terninger viser 6 øjne, b) sandsynligheden for at mindst en terning viser 6 øjne, c) sandsynligheden for at netop en terning viser 6 øjne. Beregn de samme sandsynligheder for spillet kast med n terninger og bestem det mindste n således, at sandsynligheden for at mindst en terning viser 6 øjne er større end 95%. Opgave 4. Betragt det uniforme sandsynlighedsmål på E = [0, 10] og hændelserne A = [0, 5], B = [1, 7] og C = [4, 9]. Undersøg om A og B er uafhængige, om A og C er uafhængige, og om B og C er uafhængige. Opgave 6. Konstruer et sandsynlighedsrum (E, F, P) og tre hændelser A 1, A 2, A 3 således at 1) 2) nedenfor er opfyldt. 1) P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ); 2) A 1, A 2 og A 3 er ikke uafhængige. Opgave 7. En af de klassiske illustrationer af Bayes formel vedrører 3 kommoder, der hver har to skuffer. I de første kommode er der en guldmønt i hver af de to skuffer, i den anden kommode er der en guldmønt i den ene skuffe og en sølvmønt i den anden og endelig er der en sølvmønt i hver af skufferne i den tredje kommode. En af kommoderne vælges tilfældigt og en skuffe åbnes og viser sig at indeholde en guldmønt. Hvad er sandsynligheden for at den anden skuffe i kommoden også indeholder en guldmønt? Gæt først på hvad sandsynligheden er og beregn den dernæst ved hjælp af Bayes formel. Opgave 8. Antag, at der i en moræne er 20% facetterede og 80% ikke-facetterede småsten samt at 70% af de facetterede er granit og at 80% af de ikke-facetterede er granit. Hvad er sandsynligheden for at en sten, der består af granit, er facetteret? Opgave 9. Et gartneri sælger små stedmoderplanter. Sandsynligheden for anlæg for blå blomst er 0.7, for gul blomst 0.2 og for hvid blomst 0.1. Sandsynligheden for, at en plante kommer i groning er 0.95 for blå planter, 0.9 for gule planter og 0.9 for hvide planter. a) Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt plante kommer i groning? b) Hvad er sandsynligheden for, at en plante, der kommer i groning, får gule blomster? 1 2

2 Opgave 10. Lad (E, F, P) betegne et sandsynlighedsrum og A, B betegne hændelser. (i) Vis, at hvis P(A) = P(B) = 0 så er P(A B) = 0. (ii) Vis, at hvis P(A) = P(B) = 1 så er P(A B) = 1. Opgave 11. Lad (E, F, P) betegne et sandsynlighedsrum og A betegne en hændelse. Vis, at A er uafhængig af sig selv hvis og kun hvis der gælder enten P(A) = 0 eller P(A) = 1. Opgave 12. I denne opgave vises resultatet i Theorem 4.4 i IPT i tilfældet n = 2. Lad (E, F, P) betegne et sandsynlighedsrum og A 1 og A 2 være uafhængige hændelser. Opgave 15. To gode venner, som vi her vil kalde A og B, mødes for at afgøre et mellemværende ved en duel. Duellen foregår på den måde, at de to venner på skift skyder efter hinanden indtil en af dem rammes. Vi antager, at det første skud affyres af A; når A skyder, er sandsynligheden for at B rammes p (hvor p ]0, 1[); når B skyder, er sandsynligheden for at A rammes q (hvor q ]0, 1[); skuddene er uafhængige. Lad X være den stokastiske variabel der angiver det skud, hvor duellen afgøres; dermed har vi altså, at X er 1 hvis A rammer B i første forsøg; X er 2 hvis A misser første skud samtidig med at B rammer A med sit første skud o.s.v. Bemærk også at X er ulige, hvis A vinder og X er lige, hvis B vinder. 1) Vis, at P(X = 1) = p; (i) Vis, at A 1 og A C 2 er uafhængige. 2) Vis, at P(X = 2) = (1 p)q; (ii) Vis, at A C 1 og A C 2 er uafhængige. 3) Vis, at der for n = 0, 1,... gælder P(X = 2n + 1) = (1 p) n (1 q) n p Opgave 13. Lad (E, F, P) betegne et sandsynlighedsrum og A 1, A 2 og A 3 være uafhængige hændelser. (i) Vis, at A 1 A 2 og A 3 er uafhængige. Bemærkning: Mere generelt gælder der, at hvis A 1...,A n er uafhængige, så er A 1 A 2, A 3, A 4,...,A n uafhængige. Opgave 14. Lad (E, F, P) betegne et sandsynlighedsrum og A 1, A 2, A 3, A 4 og A 5 være uafhængige hændelser. (i) Vis, at A 1 A C 2, A 3 \ A 4 og A C 5 er uafhængige. VINK: Man kan f.eks. benytte Theorem 4.4, bemærkningen til opgave 13 og regnereglerne A 1 A C 2 = (Ac 1 A 2) C og A 3 \ A 4 = A 3 A C 4. og at der for n = 1, 2,... gælder 4) Vis, at og at P(X = 2n) = (1 p) n (1 q) n 1 q P(A vinder ) = p 1 (1 p)(1 q) = p p + q pq P(B vinder ) = q(1 p) p + q pq 5) Bestem de værdier af p, q ]0, 1[ for hvilke duellen er fair i den forstand at der gælder P(A vinder ) = P(B vinder ) 3 4

3 Opgave 16. Tre gode venner, som vi her skal kalde A, B og C, mødes for at afgøre et mellemværende ved en truel. Truellen afgøres på den måde, at de tre venner på skift affyrer et skud. En person, der rammes af et skud, dør og deltager derfor ikke længere i legen. Vinderen er den person, der til sidst er i live. Vi antager, at når A skyder, rammer han sit mål med sandsynlighed 1/3; B rammer sit mål med sandsynlighed 2/3. Skytte C er dygtig og altid rammer sit mål. Vi vil i øvrigt arbejde under følgende antagelser. (i) Hvis både B og C er i live, sigter disse to personer efter hinanden. (ii) Skuddene affyres i rækkefølge, således at et skud fra A efterfølges af et skud fra B (under forudsætning af at B er i live; ellers skyder C). Et skud fra C efterfølges af et skud fra A. (Bemærk i øvrigt at antagelsen (i) sikrer, at B nødvendigvis dør, hvis C får lov til at skyde.) (iii) Skuddene er uafhængige. I denne opgave skal vi undersøge hvilken strategi A skal vælge, hvis han affyrer første skud i truellen. Lad os dog først varme lidt op. 1) Vis, ved hjælp af Opgave 15, at sandsynligheden for at A vinder en duel mod B er 3/7, hvis A affyrer første skud og 1/7, hvis B affyrer første skud. 2) Vis, at sandsynligheden for at A vinder truellen er 25/63, hvis B affyrer første skud. Lad os nu antage at A affyrer første skud i truellen. 3) Beregn sandsynligheden for at A vinder, hvis han sigter efter B hhv. C ved første skud. 4) Antag at du er A og antag uden tab af generalitet, at du ønsker at maksimere sandsynligheden for at overleve. (Hvilket altså blot kræver, at du vinder truellen). Du kan frit vælge mellem at sigte efter B eller C ved første skud. Alternativt kan du vælge at affyre første skud op i luften. Hvilken strategi vælger du? Opgave 17. Lad X betegne en stokastisk variabel der opfylder P(0 X 1) = 1/2 samt P(0 X < 1/4) = 1/3. Vis, at P(1/4 X 1) = 1/6. Opgave 18. Lad X betegne en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion p X givet ved c x hvis x 1, 1, 2} P(X = x) = p X (x) = 0 ellers hvor c > 0 er en konstant. 1) Vis, at c = 1/4. 2) Vis, at P( X = 1) = 1/2. Opgave 19. Antag at en ærlig mønt kastes igen og igen. De enkelte kast antages at være uafhængige. V KK V KP = minn 1 (n 1)te kast giver krone og nte kast giver krone} = minn 1 (n 1)te kast giver krone og nte kast giver plat}. Dermed er V KK ventetiden på at vi ser krone to gange i træk, mens V KP er ventetiden på krone efterfulgt af plat. Lad som vanligt B betegne hændelsen plat og B C være krone. Observerer vi f.eks. er V KK = 5 og V KP = 3. Vis, at og BB C BB C B C B P(V KK = 2) = P(V KP = 2) = 1 4, P(V KK = 3) = 1 8 og P(V KP = 3) = 1 4. Opgave 20. Vis, at sandsynlighedsfunktionerne for de stokastiske variable R, W, S, Y og Z i Example 5.3 er som angivet på side 24. Angiv de tilsvarende fordelingsfunktioner. 5 6

4 Opgave 21. Hos mennesker nedarves brunøjethed dominant overe blåøjethed. Et anlæg for brunøjethed betegnes med A, et anlæg for blåøjethed med a. I en familie med 4 børn vides begge forældre at have arveformel Aa. Find sandsynligheden for, at netop 2 af børnene er brunøjede (der er ingen tvillinger). Opgave 22. Vis ved at benytte omskrivningen at Vis dernæst, at 1 n(n + 1) = 1 n 1 n + 1 n=1 1 n(n + 1) = 1. 1 n n(n + 1) n=1 er divergent. VINK: skriv de første led i denne række op og sammenlign med den harmoniske række, som er divergent, se side 131. Opgave 23. Vis, at funktionen p(x) = 1, x = 1, 2,..., x(x + 1) er sandsynlighedsfunktionen for en diskret stokastisk variabel X. Undersøg desuden om X har middelværdi. VINK: brug resultaterne i Opgave 22. 3) Beregn E(X 2 Y 2 ). Opgave 25. Lad X være en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion p X (x) givet ved 1/3 hvis x 1, 0, 1} p X (x) = (i) Beregn sandsynligheden P( X > 1/2). (ii) Lad Y = X 2 og Z = X +1. Vis, at sandsynlighedsfunktionerne p Y (y) og p Z (z) for Y og Z er som følger 1/3 hvis y = 0 p Y (y) = 2/3 hvis y = 1 0 ellers 1/3 hvis z 0, 1, 2} p Z (z) = Opgave 26. Lad q, r ]0, 1[. Lad (X, Y ) betegne en to-dimensional diskret stokastisk vektor med sandsynlighedsfunktion p X,Y (x, y) givet ved q(1 q)x r(1 r) p X,Y (x, y) = y hvis x, y 0, 1, 2,...} 1) Lav en tegning hvori supp p X,Y skitseres. Vis, at sandsynlighedsfunktionerne p X (x) og p Y (y) for X og Y er q(1 q) x hvis x 0, 1, 2,...} p X (x) = Opgave 24. Lad (X, Y ) være en to-diemensional absolut kontinuert stokastisk vektor med tæthedsfynktion f X,Y (x, y) givet ved c x f X,Y (x, y) = 2 y 2 hvis 0 < x < 1 og 0 < y < x 0 ellers hvor c > 0 er en konstant. 1) Bestem konstanten c. 2) Beregn P(Y < 1X). 2 p Y (y) = r(1 r) y hvis y 0, 1, 2,...} Det vil sige, at X og Y er geometrisk fordelte med parametre hhv. q og r. 2) Vis, at X og Y er uafhængige. 3) Vis, at P(X = Y ) = qr 1 (1 q)(1 r). 7 8

5 Opgave 27. Betragt en to-dimensional diskret stokastisk vektor (X 1, X 2 ). Lad p X1,X 2 betegne sandsynlighedsfunktionen for (X 1, X 2 ) og antag at supp p X1,X 2 = (x 1, x 2 ) x 1, x 2 = 1, 0, 1} samt at p X1,X 2 (x 1, x 2 ) er givet ved nedenstående tabel for (x 1, x 2 ) supp p X1,X 2 : Opgave 29. Lad X betegne en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion p X. Lad Y = X. Vis at sandsynlighedsfunktionen p Y (y) for Y er 0 hvis y < 0 p Y (y) = p X (0) hvis y = 0 p X ( y) + p X (y) hvis y > 0. X 2 \ X Opgave 30. Lad x hvis x < 1 f(x) = a) Gør rede for at f er tæthedsfunktionen for en stokastisk variabel X. b) Gør rede for at P( X > 1/2) = 3/4. 1) Vis, at P(X 1 = X 2 ) = 0.37 og angiv P(X 1 X 2 ). 2) Beregn P(X 1 = 1), P(X 2 = 1) samt P(X 1 = 1 eller X 2 = 1). 3) Beregn P(X 1 = 1 og X 2 1). 4) Beregn P( X 1 X 2 = 1). 5) Beregn P(X 1 = X 2 ). Opgave 28. Lad F(x) være defineret ved 0 hvis x < 0 F(x) = x hvis 0 x < 1/2 1 hvis x 1/2. (i) Skitser grafen for F. (ii) Gør rede for at F er fordelingsfunktionen for en stokastisk variabel X. (iii) Beregn sandsynlighederne P(X < 1/4), P(X = 1/4), P(X < 1/2), P(X = 1/2). (Svar: 1/4, 0, 1/2, 1/2). c) Lad Y = X. Find fordelingsfunktionen for Y og gør rede for at Y er absolut kontinuert med tæthed f Y (y) givet ved 2y hvis 0 < y < 1 f Y (y) = Opgave 31. Lad N 2 være et helt tal. Lad (X, Y ) betegne en to-dimensional diskret stokastisk vektor med sandsynlighedsfunktion p X,Y (x, y) givet ved p X,Y (x, y) = 1 N 2 x, y = 1,...,N (i) Skitser supp p X,Y i en tegning i tilfældet N = 3. (ii) Vis at sandsynlighedsfunktionen p X (x) for X er p X (x) = 1 N x = 1,...,N Gør desuden rede for at X og Y har samme fordeling. (iii) Vis, at P(X < Y ) = N 1 2N. Opgave 32. Find følgende sandsynligheder ved tabelopslag. 1) Lad X N(0, 1). Bestem P(X < 1.96) (svar: 0.975), P(X < 1.96) og P( X ). 9 10

6 2) Antag at X N(1, 4). Bestem P(X 3). (iii) Vis, at hvis Y N(0, σ 2 ) så gælder Y 2 σ 2 χ 2 (1). Opgave 33. Lad (X, Y ) være en absolut kontinuert to-dimensionale stokastiske vektor med simultan tæthedsfunktion f X,Y (x, y) givet ved e (x+y) hvis y > 0 og x > 0 f X,Y (x, y) = 1) Vis at X og Y er absolut kontinuerte med tætheder givet ved e x hvis x > 0 f X (x) = e y hvis y > 0 f Y (y) = 2) Gør rede for at X og Y er uafhængige. 3) Gør rede for at X Y e(1). Opgave 34. Spørgsmålene i denne opgave kan regnes ved hjælp af Remark 5.34 side 43. Lad a R, b > 0 og σ 2 > 0. (i) Vis, at Y Γ(α, λ) medfører by Γ(α, λ/b). (ii) Vis, at Y σ 2 χ 2 (f) hvis og kun hvis Y/σ 2 χ 2 (f). (iii) Vis, at Y N(µ, σ 2 ) medfører a + by N(a + bµ, b 2 σ 2 ). Opgave 36. Lad X være en stokastisk variabel med fordelingsfunktion 0 hvis x < 1 log x F X (x) = hvis 1 x 2 log 2 1 hvis x 2. Vis, at X er absolut kontinuert med tæthedsfunktion 1 hvis 1 < x < 2 f X (x) = xlog 2 Opgave 37. Lad X 1,...,X n være uafhængige stokastiske variable med fordelingsfunktioner F X1,...,F Xn. Lad U = minx 1,...,X n } og V = maxx 1,..., X n }. (i) Vis, at F V (v) = n i=1 F X i (v) for v R. (iii) Vis, at F U (u) = 1 n i=1 (1 F X i (u)) for u R. (iii) Antag at X 1,..., X n er absolut kontinuerte og at tæthederne f X1,...,f Xn er kontinuerte på nær i endeligt mange punkter. Gør rede for at U og V er absolut kontinuerte og find f U og f V. Opgave 38. Betragt firkanten bestemt af punkterne (0, 0), (1, 0), (1, 1) og (2, 1). Bestem arealet af denne firkant ved hjælp af et dobbelt integral. Opgave 35. Lad Y betegne en stokastiske variabel og lad Z = Y 2. (i) For z 0 lad v = z og u = z. Vis, at Z har fordelingsfunktion F Z (z) givet ved 0 hvis z < 0 F Z (z) = F Y (v) F Y (u ) hvis z 0. (ii) Antag at Y er absolut kontinuert med tæthed f Y der antages at være kontinuert på nær i endeligt mange punkter. Vis, at Z er absolut kontinuert med tæthed f Z givet ved 0 hvis z 0 f Z (z) = 1 2 (f z Y ( z) + f Y ( z)) hvis z > 0. Opgave 39. Betragt trekanten T bestemt af punkterne ( 1, 1), (0, 0) og (1, 1). Antag, at den to-dimensionale stokastiske vektor (X 1, X 2 ) er uniformt fordelt på trekanten. Da arealet af T er 1 betyder dette, at den simultane tæthedsfunktion (joint density function) for (X 1, X 2 ) er 1 hvis (x1, x f (X1,X2)(x 1, x 2 ) = 2 ) T og Vis, at de marginale tæthedsfunktioner for X 1 og X 2 er henholdsvis f X1 (x 1 ) = 1 x 1, hvis x 1 [ 1, 1], f X2 (x 2 ) = 2x 2, hvis x 2 [0, 1]

7 Opgave 40. Lad A være firkanten bestemt af punkterne (0, 0), (1, 0), (0, 1) og ( 1, 1) og betragt funktionen 4x1 x f(x 1, x 2 ) = 2 + 4x 2 2 hvis (x 1, x 2 ) A a) Gør rede for, at funktionen f er tæthedsfunktion for en to-dimensional absolut kontinuert stokastisk vektor. VINK: For at vise at f(x 1, x 2 )dx 1 dx 2 = 1, R 2 er det lettest at beregne dobbelt integralet som ( ) f(x 1, x 2 )dx 1 dx 2, R R idet man først viser, at for fast x 2 er ( ) f(x 1, x 2 )dx 1 = 2x 2, for x 2 [0, 1]. (*) R b) Vis ved hjælp af (*), at tæthedsfunktionen for X 2 er f X2 (x 2 ) = 2x 2, for x 2 [0, 1]. c) Vis, at E X 2 = 2/3 og at Var X 2 = 1/18. Opgave 41. Lad (X, Y ) betegne en absolut kontinuert stokastisk vektor med simultan tæthedsfunktion givet ved 1 hvis 0 < y < x < 1 f X,Y (x, y) = x (i) Vis, at P(X 2Y ) = 1 2. (ii) Vis, at X R(0, 1) og at Y er absolut kontinuert med tæthedsfunktion log 1 hvis 0 < y < 1 f Y (y) = y Opgave 42. Lad Y Γ(α, λ). Resultaterne i (i) og (ii) nedenfor kan vises ved hjælp af Remark 5.38 side 46 i IPT. (i) Vis, at EY = α λ. (ii) Vis, at EY 2 = α(α+1) λ 2. (iii) Vis, at VarY = α λ 2. Opgave 43. Lad X = (X 1, X 2 ) være en to-dimensional stokastisk vektor således at kovariansmatricen CovX er ( ) 10 1 CovX = Beregn Var(X 1 X 2 ). Opgave 44. Lad X og Y være uafhængige med X Y e(1). Vis, at P(X 2Y ) = 2 3. Opgave 45. Lad X 1 og X 2 være uafhængige med X 1 X 2 N(0, 1). Lad Y 1 = X 1 + X 2 og Y 2 = X 1 X 2. (i) Vis, at Y 1 Y 2 N(0, 2) samt at Cov(Y 1, Y 2 ) = 0. (ii) Vis, at (Y 1, Y 2 ) er en absolut kontinuert to-dimensional stokastisk vektor med tæthedsfunktion f Y1,Y 2 (y 1, y 2 ) givet ved f Y1,Y2 (y 1, y 2 ) = 1 1 e 1 4 y2 1 e 1 4 y2 2 for y1, y 2 R. 4π 4π Slut heraf at Y 1 og Y 2 er uafhængige. Opgave 46. Antag at X R(0, 1) og lad Y = log X. Vis, at fordelingsfunktionen F Y (y) er 0 hvis y 0 F Y (y) = 1 e y hvis y 0. Gør rede for at Y er absolut kontinuert med tæthed f Y (y) givet ved 0 hvis y 0 f Y (y) = e y hvis y > 0. Det vil sige, at Y e(1)

8 Opgave 47. Lad X 1 og X 2 være uafhængige og identisk fordelte diskrete stokastiske variable med 1 hvis x = 0, 1, 2 p Xi (x) = 3 Beregn P(X 1 = X 2 ), P(X 1 < X 2 ) og P(X 2 < X 1 ). Vis, at VarX 1 = 2/3 og Cov( 5X 1, X 1 + X 2 ) = 10/3. Opgave 48. A er en hændelse med sandsynlighed p. X er en stokastisk variabel, defineret ved 1 hvis e A X(e) = 1 hvis e A C. Tegn fordelingsfunktionen for X. Vis, at E X = 2p 1 og at Var X = 4p(1 p). Opgave 49. Lad X være en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion p X (x) givet ved c x hvis x 1, 1, 2} p X (x) = 0 ellers hvor c > 0 er en konstant. 1) Bestem konstanten c. 2) Beregn E( X 1 ) samt E(cos(πX)). (cos beregnes naturligvis i radian). Opgave 50. I mange hasardspil vædder man om, at en hændelse A indtræffer. Gevinsten ved indsatsen 1 er 1 p hvis e A X(e) = p 1 hvis e A C, hvor p = P(A). Vis, at E X = 0. Vis desuden, at Var X = (1 p)/p samt at variansen vokser, når p aftager. Opgave 51. En absolut kontinuert stokastisk variabel X har tæthedsfunktionen f X (x) = 2(1 x), hvis x ]0, 1[. a) Find sandsynligheden for at X > 1/4. b) Beregn middelværdi og varians af X. Opgave 52. Formålet med denne opgave er at illustrere vigtige begreber såsom middelværdi, varians, kovarians, korrelation og uafhængighed i en situation, hvor de numeriske beregninger forhåbentlig ikke volder det store besvær. I den nedenstående tabel er angivet sandsynlighedsfunktionen for en diskret todimensional stokastisk vektor (X 1, X 2 ). Desuden er angivet de marginale sandsynlighedsfunktioner for X 1 og X 2, for eksempel er P(X 1 = 1) = 0.34 og P(X 2 = 1) = X 2 \X P(X 2 = ) P(X 1 = ) ) Check, at marginalfordelingernes sandsynlighedsfunktioner er beregnet korrekt. 2) Undersøg, om X 1 og X 2 er stokastisk uafhængige. 3) Vis, at E X 1 = 0.02 og at E X 2 = Lad Z = X 1 X 2. 4) Vis, at sandsynlighedsfunktionen for Z er 5) Vis, at EZ = E(X 1 X 2 ) = Z = X 1 X P(Z = ) ) Vis, ved at bruge 3) og 5), at Cov(X 1, X 2 ) = Lad (Y 1, Y 2 ) = (X 2 1, X 2 2). 7) Vis, at sandsynlighedsfunktionen for (Y 1, Y 2 ) er Y 2 \Y

9 8) Vis, at Y 1 og Y 2 er stokastisk uafhængige. 9) Vis, at E X1 2 = E Y 1 = 0.7 og at E X2 2 = E Y 2 = ) Vis ved hjælp af 3) og 9), at VarX 1 = og at VarX 2 = ) Beregn Cor(X 1, X 2 ) ved hjælp af 6) og 10). 2 Beregn E X 2 og Var X 2. 3 Beregn Cov(X 1, X 2 ) og undersøg, om X 1 og X 2 er stokastisk uafhængige. 4 Benyt relationen mellem (X 1, X 2 ) og (Y 1, Y 2 ) samt resultaterne i 1, 2 og 3 til at finde E Y 1 og E Y 2 og til at undersøge om Y 1 og Y 2 er stokastisk uafhængige. Opgave 53. En to-dimensional diskret stokastisk vektor (X, Y ) har sandsynlighedsfunktion som anført i nedenstående tabel X \Y Find sandsynlighedsfunktionen for X og beregn E X [1.45] og VarX [1.2475]. Find sandsynlighedsfunktionen for Y og beregn E Y [1.01] og VarY [0.6499]. Find E (XY ) [1.50] og Cov(X, Y ) [0.0355]. Er X og Y uafhængige? Opgave 54. (Eksamen Biostatistik sommeren 92, Opgave 1) J. Schmidt og K. Smidt foretog i henholdsvis 1917 og 1922 en undersøgelse vedrørende variationen i brystfinnen hos ålekvabber (Zoarces viviparus). For et stort antal mødre blev antallet af stråler Y 1 hos moderen registreret tillige med antallet af stråler Y 2 hos en tilfældigt udvalgt unge. Her vil vi kun interessere os for den del af mødrene for hvilke Y 1 og Y 2 antager en af værdierne 18, 19 og 20 og for at lette beregningerne nedenfor indføres betegnelserne Opgave 55. (Eksamen i Biostatistik Vinteren 1992/93, Opgave 1) Lad X 1 og X 2 være uafhængige diskrete stokastiske variable begge uniformt fordelt på mængden 1, 2, 3, 4, 5}, dvs. at for i = 1 og 2 er sandsynlighedsfunktionen for X i f Xi (x i) = P(X i = x 1 ) = 1/5, for x 1, 2, 3, 4, 5}. 1 Vis, at X 1 har middelværdi 3 og varians 2. 2 Vis, at X 1 X 2 har middelværdi 0 og varians 4. Lad D betegne den stokastiske variabel D = X 1 X 2 0, 1, 2, 3, 4 }. 3 Vis, at sandsynlighedsfunktionen for D er 5/25 hvis d = 0 8/25 hvis d = 1 f D (d) = P(D = d) = 6/25 hvis d = 2 4/25 hvis d = 3 2/25 hvis d = 4. 4 Beregn middelværdien for D. X 1 = Y 1 19 X 2 = Y 2 19 Ud fra undersøgelserne kan fordelingen af (X 1, X 2 ) estimeres ved sandsynlighederne i følgende tabel: X 2 \X Opgave 56. (Fortsættelse af Opgave 39) Eksempel på beregning af middelværdier, varianser, kovarians etc. for en todimensional absolut kontinuert stokastisk vektor. 1) Vis, at E X 1 = 0 og E X 2 = 2/3. 2) Vis, at E X1 2 = 1/6 og E X2 2 = 1/2. 3) Vis ved hjælp af 1) og 2), at VarX 1 = 1/6 og VarX 2 = 1/18. 1 Beregn E X 1 og Var X

10 4) Vis først, at E(X 1 X 2 ) = x 1 x 2 f (X1,X2)(x 1, x 2 )dx 1 dx 2 = R R 1 0 ( x2 ) x 2 x 1 dx 1 dx 2 x 2 og dernæst, at E(X 1 X 2 ) = 0 (idet værdien af det inderste integral er 0 for alle værdier af x 2 [0, 1]). 5) Vis ved hjælp af 1) og 4), at Cov(X 1, X 2 ) = 0. 6) Brug 5) og formel (6.19) til at vise at Cor(X 1, X 2 ) = 0. 7) Vis, at X 1 og X 2 ikke er stokastisk uafhængige. Opgaven giver altså et eksempel på at to stokastiske variable kan være ukorrelerede uden at være uafhængige. Opgave 57. Lad (X 1, X 2 ) betegne en to-dimensional stokastisk vektor, hvis fordeling er bestemt ved tæthedsfunktionen f i Opgave 40: 4x1 x f(x 1, x 2 ) = 2 + 4x 2 2 hvis (x 1, x 2 ) A hvor A er firkanten bestemt af punkterne (0, 0), (1, 0), (0, 1) og ( 1, 1). a) Vis, at tæthedsfunktionen for (Y 1, Y 2 ) = (X 1 + X 2, X 2 ) er f (Y1,Y 2)(y 1, y 2 ) = 4y 1 y 2, for (y 1, y 2 ) [0, 1] [0, 1]. VINK: Brug formel (7.7) i IPT. b) Vis, at Y 1 og Y 2 er stokastisk uafhængige (brug formel (5.71) i IPT) samt at Y 1 og Y 2 har samme fordeling. Opgave 58. Antag, at X er uniformt fordelt på intervallet ]0, 1[, dvs. X R(0, 1), og lad Y = X 2. Vis, at fordelingsfunktionen, tæthedsfunktionen, middelværdien og variansen for Y er henholdsvis F Y (y) = 0 hvis y 0 y hvis y ]0, 1[ 1 hvis y 1, 1 f Y (y) = 2 hvis y ]0, 1[ y 0 ellers, Opgave 59. Lad X betegne den stokastiske variable i Opgave 51, det vil sige X har tætheden f X (x) = 2(1 x), hvis x ]0, 1[. Find tæthedsfunktionen for Y = X [f Y (y) = 4y(1 y 2 ), y ]0, 1[] og beregn middelværdien af Y [8/15]. Opgave 60. En to-dimensional absolut kontinuert stokastisk vektor (X 1, X 2 ) har tæthedsfunktion f (X1,X 2)(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2, hvis (x 1, x 2 ) ]0, 1[ ]0, 1[. a) Vis, at tæthedsfunktionen for X 1 er f X1 (x 1 ) = x , hvis x 1 ]0, 1[, samt beregn E X 1 [7/12] og Var X 1 [11/144]. Lad (Y 1, Y 2 ) = (X 1, X 1 + X 2 ). b) Vis, at tæthedsfunktionen for (Y 1, Y 2 ) er f (Y1,Y 2)(y 1, y 2 ) = y 2, hvis y 1 ]0, 1[ og y 1 < y 2 < 1 + y 1. Opgave 61. Eksempler på beregning af fordelingen af summen af uafhængige stokastiske variable. Antag, at X 1 og X 2 er uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable og lad X = X 1 + X 2. a) Vis ved hjælp af formel (8.2) i IPT, at hvis den fælles fordeling af X 1 og X 2 er diskret med sandsynlighedsfunktion x p X (x) så er X en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion x p X (x ) E Y = 1 3 og VarY =

11 b) Vis ved hjælp af formel (8.3) i IPT, at hvis den fælles fordeling af X 1 og X 2 er eksponentialfordelingen med parameter λ, dvs. den absolut kontinuerte fordeling med tæthedsfunktion f X (x) = λe λx, for x > 0, så er X en absolut kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion f X (x.) = λ 2 x e λx, for x > 0. Opgave 62. (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1992/93, Opgave 1) Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion 1 hvis x ]1, e[ f X (x) = x 0 ellers, hvor e betegner grundtallet for den naturlige logaritme, dvs. ln(e) = 1. 1 Vis, at fordelingsfunktionen F X for X er givet ved 0 hvis x 1 F X (x) = ln(x) hvis x ]1, e[ 1 hvis x e. 2 Vis, at middelværdien af X er 3 Vis, at variansen af X er E X = e 1. Var X = 1 (3 e)(e 1). 2 4 Lad Y = ln(x) og vis, at Y R(0, 1), dvs. at Y er uniformt (eller rektangulært) fordelt på intervallet ]0, 1[. Opgave 63. (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1993, Opgave 1) Lad X være en kontinuert stokastisk variabel, hvis fordelingsfunktion F X er givet ved F X (x) = 0 hvis x ], 0[ 1 4 x2 hvis x [0, 2] 1 hvis x ]2, [. 1 Vis, at P(X ] 0.5, 1.5 ]) = Vis, at tæthedsfunktionen f X for X er 1 x hvis x [0, 2] f X (x) = 2 3 Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis E X = 4 3 og VarX = Lad Y betegne den transformerede stokastiske variabel Find fordelingen af Y. Y = 1 4 X2. Opgave 64. (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1993/94, Opgave 1) Lad X være en kontinuert stokastisk variabel hvis fordelingsfunktion F X er givet ved 0 hvis x ], 0[ F X (x) = 3x 2 2x 3 hvis x [0, 1] 1 hvis x ]1, [. 1 Vis, at P(X ] 0, 0.5 ]) = P(X ] 0.5, 1 ]) = Vis, at tæthedsfunktionen f X for X er 6x(1 x) hvis x [0, 1] f X (x) = 3 Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis E X = 1 2 og VarX = Lad Y betegne den transformerede stokastiske variabel Vis, at Y har samme fordeling som X. Y = 1 X

12 Opgave 65. (Re- og sygeeksamen i Geostatistik Vinteren 1993/94, Opgave 1) Lad (X 1, X 2 ) være en diskret to-dimensional stokastisk vektor med sandsynlighedsfunktion som angivet i nedenstående tabel: X 2 \X Vis, at X 1 og X 2 har samme marginale fordeling med sandsynlighedsfunktion x f X (x) samt at X 1 og X 2 er stokastisk uafhængige. 2 Vis, at og E X 1 = E X 2 = 2 VarX 1 = VarX 2 = Find E(X 1 + X 2 ), E(X 1 X 2 ), Var(X 1 + X 2 ) og Var(X 1 X 2 ). Opgave 66. (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1994, opgave 1) Lad V være en diskret stokastisk variabel som er binomialfordelt med antalsparameter 1 og sandsynlighedsparameter π, det vil sige V b(1, π). Sæt X = 2V 1. 1 Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X er x 1 1 P(X = x) 1 π π 2 Beregn middelværdien og variansen for X. Lad Y være en stokastisk variabel som er stokastisk uafhængig af X og som har samme fordeling som X. Sæt U = X Y. 3 Vis, at sandsynlighedsfunktionen for den to-dimensionale diskrete stokastiske vektor (X, U) er X \ U π(1 π) (1 π) 2 1 π(1 π) π 2 samt at sandsynlighedsfunktionen for den marginale fordeling af U er u 1 1 P(U = u) 2π(1 π) π 2 + (1 π) 2 4 Vis endelig, at hvis π = 0.5, så er X og U stokastisk uafhængige og U har samme fordeling som X. Opgave 67. (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1994/95, Opgave 1) Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion 3x 2 hvis x ]0, 1[ f X (x) = 1 Vis, at P(X ] 1 4, 3 4 [ ) = Vis, at middelværdien og variansen af X er henholdsvis E X = 3 4 og VarX = Lad Z betegne en stokastisk variabel, som er uafhængig af X og som har samme fordeling som X. Beregn middelværdien og variansen af X 2Z. 4 Lad Y = 3 ln X og vis, at Y er eksponentialfordelt med parameter λ = 1, det vil sige, at tæthedsfunktionen for Y er e y hvis y ] 0, [ f Y (y) = Opgave 68. (Reeksamen i Geostatistik Vinteren 1994/95, Opgave 1) En diskret stokastisk variabel B har sandsynlighedsfunktion: B P(B = )

13 1 Find middelværdien og variansen af B. En anden diskret stokastisk variabel A antager kun værdierne 1 og 1 med positiv sandsynlighed. Fordelingen af A er indirekte givet ved de betingede sandsynligheder af A = 1 givet B som angivet i følgende tabel: B P(A = 1 B = ) Vis, at sandsynlighedsfunktionen for A er A P(A = ) og beregn middelværdi og varians af A. 3 Beregn de betingede sandsynligheder af B givet A. 4 Beregn Cov(A, B). Opgave 69. (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1995, Opgave 1) Lad X være en stokastisk variabel med fordelingsfunktion 0 hvis x < 1 1 F X (x) = 4 (2 + 3x x3 ) hvis 1 x 1 1 hvis x > 1. 1 Vis, at P(X ] 1, 0.5 ]) = 27 32, samt at tæthedsfunktionen for X er 3 f X (x) = 4 (1 x2 ) hvis 1 x 1 2 Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis Lad Y = 1 (Z + 1), 2 hvor Z er en stokastisk variabel, der er uafhængig af X og har samme fordeling som X. 3 Beregn middelværdien og variansen af X 2Y. 4 Vis, at tæthedsfunktionen for Y er 6y(1 y) hvis y [0, 1] f Y (y) = Opgave 70. (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1995/96, Opgave 1) Lad (X, Y ) være en kontinuert to-dimensional vektor med simultan tæthedsfunktion 3 f (X,Y ) (x, y) = 4 x2 hvis (x, y) [ 1, 1] [ 1, 1] 1 Vis, at de marginale tæthedsfunktioner for X og Y er henholdsvis 3 f X (x) = 2 x2 hvis x [ 1, 1] 0 ellers, og 1 hvis y [ 1, 1] f Y (y) = 2 0 ellers, samt at X og Y er stokastisk uafhængige. 2 Beregn P((X, Y ) ] 1 2, 1 2 ] ] 1 2, 1 2 ]). 3 Vis, at middelværdien og variansen af X og Y er henholdsvis E X = 0, E Y = 0, VarX = 3 5, og VarY = Beregn middelværdien af såvel X Y som XY. E X = 0 og Var X =

14 Opgave 71. (Reeksamen i Geostatistik Vinteren 1995/96, Opgave 1) Lad der være givet tre kugler med numrene 1, 2 og 3 samt tre kasser med numrene 1, 2 og 3. I hver kasse kan der kun være én kugle. Kuglerne fordeles tilfældigt i kasserne, og der noteres et sammenfald, hvis en kugle falder i en kasse med samme nummer. Lad X 1 betegne antallet af sammenfald efter den første kugle er anbragt. 1 Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X 1 er og beregn E X 1 og Var X 1. X f X1 (x 1 ) 3 3 Lad dernæst X 2 betegne antallet af sammenfald efter at to kugler er anbragt. 2 Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X 2 er og beregn E X 2 og Var X 2. X f X2 (x 2 ) Lad endelig X 3 betegne antallet af sammenfald efter at alle tre kugler er anbragt. 3 Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X 3 er og beregn E X 3 og Var X 3. X f X3 (x 3 ) Find den betingede fordeling af X 3 givet X 1 = 0, samt den betingede fordeling af X 3 givet X 1 = 1. Opgave 72. Et jokertal er et syvcifret tal, hvor hvert ciffer er et af tallene 0, 1,..., 9. Spiller man JOKER er antallet af rigtige lig med antallet af cifre fra højre mod venstre, der stemmer overens med jokertallet. Er jokertallet for eksempel og man har tallet er der fire rigtige. Har man derimod tallet har man ingen rigtige. a) Find sandsynligheden for at have henholdsvis 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 og 0 rigtige. b) Hvad er sandsynligheden for at have mindst 4 rigtige? Antag, at man spiller JOKER i tre på hinanden følgende uger. c) Hvad er sandsynligheden for at have mindst 4 rigtige i præcis én gang i løbet af de tre uger? d) Hvad er sandsynligheden for at have mindst 4 rigtige i mindst én gang i løbet af de tre uger? Opgave 73. En række i LOTTO består af 7 af de første 36 hele positive tal. a) Gør rede for, at antallet af mulige rækker er ( ) b) Lad x være et af tallene 0, 1,..., 7. Gør rede for, at antallet af rækker med x rigtige er ( )( ) x 7 x c) Lad X betegne antallet af rigtige på en enkelt række på lottokuponen hvis de 7 numre vælges tilfældigt. Vis, at ( )( ) 7 29 P(X = x) = x 7 x ( ) 36, x = 0, 1,..., 7, 7 Foruden de syv vindertal udtrækkes der også to tillægstal. Lad Y betegne antallet af rigtige tillægstal på en enkelt række. d) Vis at fordelingen af (X, Y ) er bestemt ved sandsynlighederne ( )( )( ) P(X = x, Y = y) = x y 7 x y ( ) 36, x = 0, 1,..., 7, y = 0, 1, 2, så x+y 7 Der udbetales gevinst, hvis en række indeholder 7 rigtige, 6 rigtige plus et tillægstal, 6 rigtige, 5 rigtige og 4 rigtige. e) Hvad er sandsynligheden for gevinst på en enkelt række? 27 28

15 Opgave 74. Lad (X, Y ) være en absolut kontinuert 2-dimensional stokastisk vektor med simultan tæthedsfunktion f X,Y (x, y) givet ved e x hvis 0 < x < y < x + 1 f X,Y (x, y) = Lad f X (x) og f Y (y) betegne tæthedsfunktionerne for X og Y. (i) Vis, at og e x hvis x > 0 f X (x) = 0 hvis x 0 e y (e 1) hvis y > 1 f Y (y) = 1 e y hvis 0 < y 1 0 hvis y 0. (ii) Gør rede for at X er eksponentialfordelt e(1) og EX = Var X = 1. (iii) Vis, at P(X s, Y X u) = u(1 e s ) for s > 0 og 0 u 1. Opgave 75. Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable så at X i kun antager værdierne +1 og 1 og P(X i = 1) = P(X i = 1) = 1. 2 Dermed har vi altså at sandsynlighedsfunktionen for X i er 1 hvis x = 1 eller x = 1 p Xi (x) = 2 Lad a 1,...,a n betegne givne reelle tal og lad S = a 1 X a n X n. (i) Vis, at EX i = 0 og EX 2 i = Var X i = 1 for i = 1,..., n. (ii) Vis, at ES = 0 og ES 2 = VarS = a a 2 n. (iii) Vis, at for λ R er for i = 1,...,n. Vis også at E e λxi = 1 2 (eλ + e λ ) E e λs = n i=1 (e λai + e λai ). 2 (iv) Lad U = Y X og V = X. Gør rede for at (U, V ) er absolut kontinuert med tæthedsfunktion f U,V givet ved e v hvis u > 0 og v ]0, 1[ f U,V (u, v) = (v) Gør rede for U R(0, 1). (vi) Gør rede for at U og V er uafhængige. (vii) Vis, at E Y =

16 Opgave 76. Lad (X, Y ) være en absolut kontinuert 2-dimensional stokastisk vektor med simultan tæthedsfunktion f X,Y (x, y) givet ved 4x(x + y) hvis 0 < x < 1 og 0 < x + y < 1 f X,Y (x, y) = Lad f X (x) og f Y (y) betegne tæthedsfunktionerne for X og Y. (i) Vis, at og 2x hvis 0 < x < 1 f X (x) = 0 ellers 2 (1 3 y)2 (2 + y) hvis 0 y < 1 4 f Y (y) = 3 + 2y 2 3 y3 hvis 1 < y 0 (ii) Vis, at EX = 2 3, EX2 = 1 2 og Var X = (iii) Vis, at P(X a, X + Y b) = a 2 b 2 for 0 < a < 1 og 0 < b < 1. Opgave 77. Lad k 1 og (U, V ) være en to-dimensional diskret stokastisk vektor med sandsynlighedsfunktion 1 hvis u, v 1,..., k} p U,V (u, v) = P(U = u, V = v) = k 2 Lad p U (u) = P(U = u) og P V (v) = P(V = v) betegne de marginale sandsynlighedsfunktioner. (i) Vis, at 1 hvis u 1,..., k} p U (u) = k 0 ellers samt at p U (s) = p V (s) for alle s R. (ii) Vis, at U og V er uafhængige. (iii) Vis, at Cov(U, U + V ) = Var(U) og EU = EV = k+1 2. VINK: Det kan uden bevis benyttes at k i=1 i = k(k+1) 2. (iv) Vis, at s 1 P(U + V = s) = k 2 2k s+1 k 2 hvis s 2,...,k} hvis s k + 1,...,2k}

17 Opgave 78. Lad (X 1, X 2 ) være en absolut kontinuert to-dimensional stokastisk vektor med simultan tæthedsfunktion f X1,X 2 (x 1, x 2 ) givet ved f X1,X 2 (x 1, x 2 ) = x1 e x1 hvis 0 < x 1 og 0 < x 2 < 1 x 1 Lad Y 1 = X 1 og Y 2 = X 1 X 2. (i) Vis, at (Y 1, Y 2 ) er en absolut kontinuert to-dimensional stokastisk vektor med simultan tæthedsfunktion f Y1,Y2 (y 1, y 2 ) givet ved e y 1 hvis 0 < y f Y1,Y2 (y 1, y 2 ) = 1 og 0 < y 2 < 1 (ii) Vis, at de marginale tæthedsfunktioner er e y 1 hvis 0 < y f Y1 (y 1 ) = 1 0 ellers og (iii) Vis, at Y 1 og Y 2 er uafhængige. 1 hvis 0 < y2 < 1 f Y2 (y 2 ) = (iv) Beregn Var(Y 1 Y 2 ), E(e Y2 ) og EX 2 1 X 2}. (v) Lad α > 0 og vis, at EY α 1 exp( 1 2 Y 1Y 2 )} = 2Γ(α)(2 α 1). (vi) Beregn Cov(2Y 1 +Y 2, Y 1 +2Y 2 ) og afgør om 2Y 1 +Y 2 og Y 1 +2Y 2 er uafhængige. Opgave 79. Lad λ 1, λ 2 > 0. Lad (X, Y ) være en to-dimensional diskret stokastisk vektor således at sandsynlighedsfunktionen p X,Y (x, y) er givet ved e p X,Y (x, y) = P(X = x, Y = y) = λ1 λx 1 λy x 2 e λ2 hvis x, y 0, 1,...} og x y x! (y x)! Lad p X (x) = P(X = x) og p Y (y) = P(Y = y) betegne de marginale sandsynlighedsfunktioner. (i) Lav en tegning hvori supp p X,Y skitseres. (ii) Vis, at Det vil sige, at X po(λ 1 ). (iii) Vis, at e λ 1 λ x 1 p X (x) = x! hvis x 0, 1,...} e (λ 1+λ 2) (λ 1+λ 2) y hvis y 0, 1,...} p Y (y) = y! Slut heraf at Y er Poissonfordelt og angiv parameteren i denne fordeling. VINK: Overvej, at der for y 0, 1,...} gælder y x=0 y! x!(y x)! λx 1 λy x 2 = (λ 1 + λ 2 ) y. (iv) Gør rede for at X og Y ikke er uafhængige. (v) Antag at λ 1 = 1. Vis, at P(X = 0) = e 1 og at P(X 2) = 1 2e

18 Opgave 80. Lad (X 1, X 2 ) betegne en absolut kontinuert stokastisk vektor med simultan tæthedsfunktion f X1,X2 (x 1, x 2 ) givet ved x1 x f X1,X2 (x 1, x 2 ) = x2 2 hvis 0 < x 2 < 2 og 0 < x 1 + x2 < 1 2 Lad f X2 (x 2 ) betegne tæthedsfunktionen for X 2. (i) Vis, at 1 f X2 (x 2 ) = x 2 2 hvis 0 < x 2 < 2 (ii) Vis, at EX 2 = 4 3, EX2 2 = 2 og Var(X 2) = 2 9. Lad Y 1 = 2X 1 + X 2 og Y 2 = X 2. (iii) Vis, at (Y 1, Y 2 ) er absolut kontinuert med tæthedsfunktion f Y1,Y2 (y 1, y 2 ) givet ved 1 f Y1,Y2 (y 1, y 2 ) = y 4 1y 2 hvis 0 < y 1 < 2 og 0 < y 2 < 2 (iv) Vis, at Y 1 og Y 2 er uafhængige samt at Y 1 har samme tæthedsfunktion som Y 2. (v) Vis, at E(2X 1 + X 2 )X 2 } = 16 9, EX 1 = 0 og Cov(X 1, X 2 ) = EX 1 X 2 = 1 9. Opgave 81. Lad (X 1, X 2 ) betegne en absolut kontinuert stokastisk vektor med simultan tæthedsfunktion f X1,X2 (x 1, y 2 ) givet ved 1 f X1,X2 (x 1, x 2 ) = 2 x2 1e x2 hvis 0 < x 1 < x 2 Lad f X1 (x 1 ) og f X2 (x 2 ) betegne tæthedsfunktionerne for X 1 og X 2. (i) Vis, at og 1 f X1 (x 1 ) = 2 x2 1 e x1 hvis x 1 > 0 0 ellers 1 f X2 (x 2 ) = 6 x3 2 e x2 hvis x 2 > 0 (ii) Vis, at X 1 er gamma fordelt Γ(3, 1) og at EX 1 = 3. Lad Y 1 = X 1 og Y 2 = X 2 X 1. (iii) Vis, at (Y 1, Y 2 ) er absolut kontinuert med tæthedsfunktion f Y1,Y2 (y 1, y 2 ) givet ved 1 f Y1,Y2 (y 1, y 2 ) = 2 y2 1e y1 y2 hvis y 1 > 0 og y 2 > 0 (iv) Vis, at Y 2 er eksponentialfordelt e(1) og at Y 1 og Y 2 er uafhængige. (v) Vis, at EX 2 X 1 } = 1, EX 2 = 4, EX 1 (X 2 X 1 )} = 3 og Cov(X 1, X 2 ) =

19 Opgave 82. Lad (X, Y ) betegne en absolut kontinuert stokastisk vektor med simultan tæthedsfunktion f X,Y (x, y) givet ved ye xy hvis x > 0 og 0 < y < 1 f X,Y (x, y) = Lad f X (x) og f Y (y) betegne tæthedsfunktionerne for X og Y. (i) Vis, at og 1 (1 e f X (x) = x xe x ) hvis x > 0 x 2 1 hvis 0 < y < 1 f Y (y) = (ii) Vis, at Y er uniformt fordelt R(0, 1). Vis også at EY = 1 2 samt at EY p = 1 1+p for p > 0. Lad U = X Y og V = Y. (iii) Vis, at (U, V ) er absolut kontinuert med tæthedsfunktion f U,V givet ved e u hvis u > 0 og 0 < v < 1 f U,V (u, v) = (iv) Vis, at U og V er uafhængige og U er eksponential fordelt e(1). (v) Vis, at EU = 1, EX Y p+1 } = 1 1+p for p > 0 samt at EY (X + Y )} = 4 3. Opgave 83. Lad (X, Y ) betegne en absolut kontinuert stokastisk vektor med simultan tæthedsfunktion f X,Y (x, y) givet ved xe x(y+1) hvis x > 0 og y > 0 f X,Y (x, y) = Lad f X (x) og f Y (y) betegne tæthedsfunktionerne for X og Y. (i) Vis, at og e x hvis x > 0 f X (x) = (1 + y) 2 hvis y > 0 f Y (y) = (ii) Vis, at X er eksponential fordelt e(1), og EX = 1, EX 2 = 2 samt at E Y + 1} = 2. Lad U = X Y. (iii) Vis, at (1 e P(U u, X v) = v )(1 e u ) hvis u > 0 og v > 0 (iv) Vis, at U er eksponential fordelt e(1), og at X og U er uafhængige. (v) Vis, at EX 2 Y } = 1 og EX(1 + Y )} =

20 Opgave 84. Lad (X, Y ) betegne en absolut kontinuert stokastisk vektor med simultan tæthedsfunktion f X,Y (x, y) givet ved x f X,Y (x, y) = 2 ye y hvis 0 < y < x Lad f X (x) og f Y (y) betegne tæthedsfunktionerne for X og Y. (i) Vis, at og x f X (x) = 2 (1 e x xe x ) hvis x > 0 e y hvis y > 0 f Y (y) = (ii) Vis, at Y er eksponential fordelt e(1) og E2Y + 3} = 5. Lad U = Y og V = X Y. (iii) Vis, at P(V a, Y b) = (1 1 a )(1 e b ) hvis a > 1 og b > 0 (iv) Vis, at V og Y er uafhængige og at V er absolut kontinuert med tæthed f V (v) givet ved v 2 hvis v > 1 f V (v) = (v) Vis, at E V } = 2 og E XY } = 2. Opgave 85. Lad (X 1, X 2 ) være en absolut kontinuert to-dimensional stokastisk vektor med simultan tæthedsfunktion f X1,X2 (x 1, x 2 ) givet ved x 1 hvis 0 < x f X1,X2 (x 1, x 2 ) = x 2 1 < 1 og x 2 > x 1 2 Lad f X1 (x 1 ) og f X2 (x 2 ) betegne de marginale tætheder for X 1 og X 2. (i) Vis, at og 1 hvis 0 < x1 < 1 f X1 (x 1 ) = 0 ellers 1 hvis x 2x f X2 (x 2 ) = 1 hvis 0 < x hvis x 2 0. (ii) Gør rede for at X 1 er uniformt fordelt R(0, 1) og vis, at E7X 1 } = 7/2 og E X 2 } = 4 3. Lad Y 1 = X 1 og Y 2 = X 1 X 2. (iii) Vis, at (Y 1, Y 2 ) er en absolut kontinuert to-dimensional stokastisk vektor med simultan tæthedsfunktion f Y1,Y2 (y 1, y 2 ) givet ved 1 hvis 0 < y 1 < 1 og 0 < y 2 < 1 f Y1,Y2 (y 1, y 2 ) = 0 ellers (iv) Vis, at Y 1 og Y 2 er uafhængige og identisk fordelte. (v) Vis, at E X2 1 X 2 } = 1 4 samt at P(Y 1 2Y 2 ) =

21 Opgave 86. Lad λ 1, λ 2 > 0. Lad (X, Y ) være en to-dimensional diskret stokastisk vektor med sandsynlighedsfunktion P(X = x, Y = y) = p X,Y (x, y) givet ved e p X,Y (x, y) = λ1 λx 1 x! e λ2 λy 2 y! hvis x, y = 0, 1,... 0 ellers. Opgave 87. Lad (X 1, X 2 ) være en to-dimensional diskret stokastisk vektor. Lad p X1,X 2 betegne sandsynlighedsfunktionen for (X 1, X 2 ). Antag at supp p X1,X 2 = (x 1, x 2 ) x 1, x 2 = 1, 0, 1} samt at p X1,X 2 (x 1, x 2 ) er givet ved nedenstående tabel for (x 1, x 2 ) supp p X1,X 2 : 1) Vis, at X po(λ 1 ) og Y po(λ 2 ). 2) Vis, at X og Y er uafhængige. 3) Vis, at E(X 2 ) = λ 1 + λ 2 1 samt at E(X 2 Y ) = (λ 1 + λ 2 1)λ 2. 4) Angiv fordelingen for X + Y. 5) Beregn E(X(X + Y )). 6) Antag at λ 1 = λ 2 = 1. Vis, at P(X Y 1) = 3e 2. 7) Antag at λ 1 = λ 2 = 1. Vis, at P(X = 0 eller Y = 0) = e 1 (2 e 1 ). X 2 \ X Dermed har vi altså, at p X1,X 2 ( 1, 1) = 0.07, at p X1,X 2 ( 1, 0) = 0.10 og så videre. 1) Angiv sandsynlighedsfunktionerne for X 1 og X 2 og vis at X 1 og X 2 ikke er uafhængige. 2) Vis, at EX 1 = 0.11, EX 2 = 0.18 og beregn Var X 1, VarX 2 og P(X 1 < X 2 ). 3) Beregn Var(X 1 + 3X 2 ). 4) Lad Z = X 1 X 2. Angiv sandsynlighedsfunktionen for Z. Lad Y 1, Y 2 og Y 3 være uafhængige og identisk fordelte diskrete stokastiske variable således at Y 1, Y 2 og Y 3 har samme fordeling som X 1. Det vil sige, at sandsynlighedsfunktionen p Yi for Y i er p Yi (y) = 0.27 hvis y = hvis y = hvis y = 1 5) Vis, at E(Y 1 + Y Y 3 ) = 0.44 og beregn Var(Y 1 + Y 2 Y 3 )

22 Opgave 88. Betragt modellen M: X 1,...,X n er uafhængige med X i N(µ, σ 2 ) for i = 1,..., n, hvor µ R er kendt og σ 2 > 0 er ukendt. Lad x 1,...,x n være udfald af X 1,...,X n. Som estimat for σ 2 vil vi benytte s 2 defineret ved s 2 = 1 n n (x i µ) 2 i=1 1) Vis, at s 2 σ 2 χ 2 (n)/n. Sammenlign med situationen hvor µ er ukendt. 2) Angiv et 95%-konfidensinterval for σ 2. Opgave 89. Når man betragter diskrete stokastiske variable benyttes sandsynlighedsfunktionen til at definere likelihood funktionen. Lad X b(n, π) hvor n er kendt og π [0, 1] er ukendt. Lad x være et udfald af X. 1) Vis, at likelihood funktionen er L(π) = ( n x ) π x (1 π) n x. 2) Vis, gerne ved at differentiere log likelihood funktionen, at π = x n. 3) Vis, at E( X ) = π og n Var(X ) = 1 π(1 π). Kommentér disse resultater i lyset n n af 2). Opgave 90. Betragt modellen M: X 1,...,X k er uafhængige og X i po(λ i ) hvor λ i > 0 er ukendt for i = 1,..., k. Lad x 1,...,x k være udfald af X 1,...,X k og antag for nemheds skyld at disse udfald er positive. 1) Vis, at 2) Vis, at λ i = x i for i = 1,...,k. 3) Betragt hypotesen H 0 : λ 1 =... = λ k = λ > 0. Vis, at under H 0 er maksimum likelihood estimatet for λ givet ved λ = x.. 4) Vis, at likelihood ratio teststørrelsen for H 0 under M er Q(x 1,...,x k ) = ( x.) x. k i=1 xxi i 5) Vis, at under H 0 er E( X. ) = λ og Var( X. ) = λ n. Bemærkning: Det er ikke helt let at beregne testsandsynligheden hørende til Q i 4) eksakt. Desuden afhænger denne sandsynligheden af λ, som er ukendt. Vi skal senere definere approximative testsandsynligheder. Opgave 91. Lad x være et udfald af en stokastisk variabel X med X Γ(α, λ) hvor α > 0 er kendt og λ > 0 ukendt. Find maksimum likelihood estimatet for λ. Opgave 92. Betragt modellen M: X 1,...,X k er uafhængige og X i Γ(α i, λ i ) for i = 1,...,k, hvor α i erne er kendte tal og λ i erne er ukendte. Lad x 1,...,x k være udfald af X 1,...,X k. 1) Opstil likelihood funktion for (λ 1,..., λ k ) og vis at λ i = αi x i. 2) Betragt hypotesen H 0 : λ 1 = = λ k = λ. Vis, at under H 0 er λ = α. x. og at likelihood ratio teststørrelsen for H 0 er Q(x) = L( λ,..., λ) L( λ 1,..., λ k ) =. λα.. αi λ i k i=1 Der gælder samme bemærkning vedrørende beregning af den tilhørende testsandsynlighed som i opgave 90. L(λ 1,..., λ k ) = k i=1 λxi λi i e x i!

23 Opgave 93. Betragt modellen M: X 1,...,X n er uafhængige med X i N(µ, σ 2 ) for i = 1,..., n, hvor µ R er kendt og σ 2 > 0 er ukendt. Lad x 1,...,x n være udfald af X 1,...,X n. 1) Vis, at σ 2 = 1 n n i=1 (x i µ)

24 EDB opgave 1. Om at downloade ps-filer og pdf-filer. Gennemfør flg. program 1) Vælg en UNIX maskine (dobbeltklik på smaug, aragorn eller gandalf) og log ind. 2) Lav en xlogin til en linux maskine. Det vil sige, at du skriver f.eks. xlogin durin (hvor du i stedet for durin kan skrive frodo, radagast eller legolas) i et terminalvindue. 3) Start netscape (eller mozilla) ved at skrive netscape (eller mozilla) i det nye terminalvindue. Som udgangspunkt anbefales, at man benytter netscape. 4) Gå ind på kursets hjemmeside 5) Download Ugeseddel 1 både som ps- og pdf-fil ved at klikke. Når du klikker, vil du blive udsat for et spørgsmål i retning af What should Netscape do with this file? Du trykker på Save this file to disk. 6) Nu skulle du gerne have to filer med navnene uge1.ps og uge1.pdf. Check dette ved at skrive ls i et terminalvindue eller se efter i file manageren. Du kan nu lukke netscape eller mozilla. EDB opgave 2. Om at læse og printe ps-filer og læse pdf-filer. (Fortsættelse af Edb opgave 1). Det antages, at man i sit katalog har en postscript-fil der hedder uge1.ps og en pdf-fil der hedder uge1.pdf (se foregående opgave). 1) Lad os nu se hvordan man læser og udskriver postscript-filen uge1.ps. Skriv ghostview uge1.ps i det oprindelige terminalvindue (altså ikke i et linux vindue). Der skulle nu poppe et vindue op, hvori indholdet af uge1.ps kan læses. 2) Ønsker du nu at udskrive uge1.ps på en printer, kan dette gøres på forskellig vis. (Se den lille blå intro til EDB). Her kræves blot, at du har penge på kontoen til at udskrive filer. Se den lille blå (side 17) igen. Det er nemmest simpelthen at gøre som følger, mens du læser filen i ghostview: Under file vælg print og tryk okay. Filen bliver så sendt til printeren D04. (I stedet for D04 kan du også vælge H2 eller H3, hvis du ønsker at sende filen til en anden printer). Ønsker du af den ene eller anden grund at fjerne en fil fra printerkøen, kan dette gøres som beskrevet side 18 i den lille blå. Du kan nu fjerne uge1.ps ved at skrive rm uge1.ps i et terminalvindue. 3) Læs uge1.pdf ved at skrive acroread uge1.pdf i det oprindelige terminalvindue (altså ikke i linux vinduet). Forlad uge1.pdf og fjern filen ved at skrive rm uge1.pdf i et terminalvindue

25 EDB opgave 3. Et eksempel på et SAS program. Gennemfør flg. program. 1) Vælg en UNIX maskine (dobbeltklik på smaug, aragorn eller gandalf) og log ind. 2) Lav en xlogin til en linux maskine. Det vil sige at du skriver f.eks. xlogin durin (hvor du i stedet for durin kan skrive frodo, radagast eller legolas) i et terminalvindue. 4) Start SAS. Da vi skal køre flere processer på samme tid, er det smart at få frigivet vinduet. Skriv derfor sas & i det relevante (linux) vindue. 5) Hvis ikke størrelser af vinduer o.l. i SAS er som du ønsker, kan du evt. kigge lidt i Granfeldts lille blå på siderne 41 og 45. 6) Start netscape (gerne i samme vindue hvor du kører SAS) ved at skrivenetscape. 7) Gå ind på kursets hjemmeside under og klik på Program til EDB opgave 3. 8) Kopier programmet over i SAS program editor. (Husk at få det hele med). 9) Kør programmet som beskrevet under punkt 8. side 64 i Granfeldts lille blå. Det vil sige, at du benytter følgende to trin: (i) marker, med musen, den del af programmet, der skal køres (det vil her sige hele programmet); (ii) vælg Submit Clipboard i Run menuen. Hvis du kører SAS 6, skal du ændre navnet på datasættet journalister så at det får færre end 8 tegn. 10) Gem programmet ved at vælge save as under File i SAS program editor. Du kan f.eks. gemme programmet som test1.sas. Gem output ved at vælge save as under File i SAS output vindue. Du kan f.eks. gemme programmet under test1.out. 11) Udskriv filerne test1.sas og test1.out. Da dette er tekst-filer (og altså ikke ps-filer) kan du f.eks. gøre som følger. Skriv, i det oprindelige terminalvindue, a2ps -PD04 test1.sas der udskriver filen test1.sas på printeren D04. Til orientering nævnes, at at kommandoen a2ps er kort for for ascii-to-ps. BENYT DERFOR IKKE a2ps TIL AT UDSKRIVE ps-filer! (alternativt kan man benytte kommandoen lp til at udskrive filerne; se side 16 i Granfeldts lille blå.) 12) Gå ud af netscape og SAS. Log ud. Om datasættet og den praktiske problemstilling. Man har noteret blodtryk og alder for 13 mandlige journalister. Data indlæses i datasættet journalister, der altså har 13 observationer og 2 variable. Vi betragter en model der løst kan skrives som blodtryk α + β alder. (1) Det vil sige, at blodtrykket stiger (idet vi forventer at β er større end 0!) lineært med alderen for mandlige journalister. Et plot af data understøtter modellen. (Vi ser på dette senere). Dernæst vil vi give bud på interceptet α og skæringen β. Vi siger, at disse parametre skal estimeres. Desuden er det ønskeligt at måle usikkerheden på estimaterne, hvilket f.eks. kan gøres med et konfidensinterval 1. Et smalt konfidensinterval (bredt) afspejler at estimatet er sikkert (usikkert). Bemærk at estimaterne for α og β afhænger af observationerne: Vælger vi at måle på andre (eller flere) personer, så vil estimaterne ændres. Derfor skelnes mellem estimaterne (som er stokastiske, da de afhænger af hvilke personer der udtages til undersøgelsen) og de teoretiske ( sande ) værdier. Lidt om proc glm. Denne procedure kan gennemregne mange modeller, herunder (1). I linjen MODEL blodtryk=alder angives, at vi ønsker at gennemregne (1). Med SS1 begrænses output og med CLPARM specificeres, at vi ønsker at få konfidensintervaller for parametrene. Lidt om output. Proceduren proc glm udregner bedste rette linje 2 og leverer en mængde output. På nuværende tidspunkt vil vi kun diskutere en lille del af dette output. Under parameter intercept og estimate findes estimatet for interceptet α (som er ). Tilsvarende aflæses under parameter alder og estimate estimatet for β. Desuden er det muligt at aflæse konfidensintervaller for parametrene. 1 Konfidensintervaller diskuteres i detaljer i 3. kvarter 2 Denne linje beregnes ved mindste kvadraters metode. For detaljer henvises til 3. kvarter