Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6 3. Konstanter a og b... 2, 7 4. Praktisk brug af regneforskrift... 3, 7 Simple opgaver med isolation af ubekendt i b a =y... 8 4.1) ( y ukendt)... 8 4.2) (b ukendt)... 8 4.3) (a ukendt)... 8 4.4) ( ukendt)... 9 4.5) (både b og y ukendte)... 9 4.6) (fordobling eller halvering)... 9 4.7) (gennemsnitlig rentefod eller vækstrate)... 9 6. Vækst over forskellige perioder...3, 10 7. Beregne a ud fra ( 1, y 1 ) og ( 2, y 2 )...3, 10 8. Voksende og aftagende eksponentielle sammenhænge...4, 10 9. Fordoblingstid og halveringstid (-konstant)...4, 11 10. Logaritmefunktionen... 4, 12, 15 11. Potensligninger... 5, 12, 13 13. Eksempler... 5 14. Teknisk appendi om potenser, rødder, logaritmer og enkeltlogarimisk koordinatsystem... 13 Variabel-sammenhænge Vi bruger i det følgende: 1
: Uafhængig variabel y : Afhængig variabel Grafen for en sammenhæng består af punkter (, y) Sammenhængende - og y-værdier kan skrives i et sildeben : y Nogle sammenhænge kan beskrives ved simple formler. Det gælder f. eks. lineære sammenhænge, eksponentielle sammenhænge, potens-sammenhænge. Vi omtaler nu: Ekspontielle sammenhænge Oversigt og begrundelser (mundtlig eksamen ). 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng? Definition: En eksponentiel sammenhæng beskrives ved en ligning Hvor a og b er positive konstanter. 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst En population vokser eksponentielt gennem en årrække, hvis den har samme procentiske vækst hvert år. F. eks. hvis befolkningstallet vokser med 8 % pr. år (konstanten a udregnes af vækstprocenten p pr -enhed (f. eks. pr år) med formlen: Se også side 6 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst uddybning 3. Konstanter a og b b : y-akse-skæringen Grafens skæring med y-aksen. Dvs. den y-værdi, der svarer til =0. (Eks.: befolkningsstørrelse i året 0). a: fremskrivningsfaktoren Når stiger med 1, bliver y ganget med a. (Eks.: hver gang der går 1 år, ganges folketallet med 1.05) Se også side 7 3. Konstanter a og b - uddybning ) 2
4. Praktisk brug af regneforskrift for eksponentiel sammenhæng y = b a Som eksempel, når regnes i år: : tid y : slutværdi b : begyndelsesværdi : årlig fremskrivningsfaktor 5. Omskrivninger af regneforskriften log y b log( a) b y a 1 y a b Se også side 7 4. Praktisk brug af regneforskrift - uddybning 6. Vækst over forskellige perioder Når stiger med 1, bliver y ganget med a Når stiger med 2, bliver y ganget med a a = a 2 Når stiger med 3, bliver y ganget med a a a = a 3... Når stiger med h, bliver y ganget med a h Dette kan også formuleres således: Når vokser fra 1 til 2 med stykket h = 2 1, vil y ganges med fremskrivningsfaktoren Bemærk: Der er to fremskrivningsfaktorer i spil her. Tænker vi f. eks. på befolkningsvækst er a : fremskrivningsfaktoren for en periode på 1 år F : fremskrivningsfaktoren for en periode på h år Se også side 10 6. Vækst over forskellige perioder - uddybning 7. Beregne a ud fra ( 1, y 1 ) og ( 2, y 2 ) eller Se også side 10 7. Beregne a ud fra (1, y1) og (2, y2) uddybning 3
8. Voksende og aftagende eksponentielle sammenhænge Se også side 10 8. Voksende og aftagende eksponentielle sammenhænge - uddybning Hvis a er større end 1, er y = b a Hvis a er mellem 0 og 1, er y = b a voksende aftagende (- og har en fordoblingskonstant) ( - og har en halveringskonstant) 9. Fordoblingstid og halveringstid (-konstant) Definition af Fordoblingstid (når måler tid): Den tid, T, det tager for y at fordobles Sætning: Ved en voksende eksponentiel udvikling, y = b a, afhænger fordoblingstiden, T, kun af konstanten a, og er den samme uanset hvilket tidspunkt 1 der bruges som udgangspunkt. Kaldes derfor også fordoblingskonstanten T kan beregnes af den sædvanlige y = b a, hvor y gives den dobbelte værdi af b. Eller: Formel Definition af Halveringstid (når måler tid): Den tid, T, det tager for y at halveres Sætning: Ved en aftagende eksponentiel udvikling, y = b a, afhænger halveringstiden, T, kun af konstanten a, og er den samme uanset hvilket tidspunkt 1 der bruges som udgangspunkt. Kaldes derfor også halveringskonstanten T kan beregnes af den sædvanlige y = b a, hvor y gives den halve værdi af b. Eller: Formel Omformninger: Omformninger: Se også side 11 9. Fordoblingstid og halveringstid (-konstant) - uddybning 10. Logaritmefunktionen Logaritmefunktionen, log(t), er defineret sådan at gælder for alle tal,. Eksempel log(1000) = 3, da Se også side 12 10. Logaritmefunktionen - uddybning og evt.appendi side 15 14.5. Logaritmer 4
11. Potensligninger Eksempler: Se også side 12 11. Potensligninger - uddybning og evt. side 13 14. Teknisk appendi om potenser, rødder, logaritmer og enkeltlogarimisk koordinatsystem ( 12. udgået) 13. Eksempler Renter Befolkningsvækst Prisstigninger Radioaktivt henfald Rapport om medicin i blodet 14. Teknisk appendi om potenser, rødder, logaritmer og enkeltlogarimisk koordinatsystem Side 13 5
Om uddybningerne nedenfor (begrundelser, beviser, eksempler). Regneudtrykket y er lettest at forstå, når er et helt positivt tal, f. eks. 3:. Regler og formler om eksponentiel vækst gælder imidlertid også, for -værdier (tidsangivelser) som er decimaltal. Det giver mening at spørge: Hvor stor er populationen efter 3.4 år? Og at udregne et svar som Den matematiske betydning af den slags potenser er berørt i appendi: Potenser, rødder og logaritmer. Men i nedenstående beviser og begrundelser vil vi holde os til de anskuelige tilfælde med -værdier, som er positive hele tal eller evt. 0. Havde man bevist potensregnereglerne for alle reelle tal som eksponenter, ville det ikke være svært at bevise sætningerne om eksponentielle sammenhænge helt generelt. - - - Vi vil i regler og begrundelser ofte tale om den eksponentielle sammenhæng som én der beskriver en størrelse, y, (f. eks. en population) der vokser med tiden,, hvor regnes i år. Matematisk set er dette naturligvis ingen nødvendighed, resultaterne gælder uanset hvad er for en størrelse, og hvilken enhed den angives i. En del af de 14 punkter i oversigten side 2-5 uddybes nedenfor. Et teknisk appendi til sidst (fra side 13 til 17) rækker ud over hvad der forventes i matematik C. 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst uddybning En population vokser eksponentielt gennem en årrække, hvis den har samme procentiske vækst hvert år. F. eks. hvis en kapital vokser med 8 % pr. år (konstanten a udregnes af vækstprocenten p pr -enhed (f. eks. pr år) med formlen: Forklaring: Fra procentregning kender vi fremskrivningsfaktoren F fra y 1 til y 2, som opfylder y 2 = y 1 F Ved eksponentiel vækst bruger man bogstavet a i stedet for F, for den fremskrivningsfaktor, der optræder, når stiger med 1. Hvis måles i år: det som y ganges med, når der går 1 år. I stedet for skriver vi altså, og p er nu den vækstprocent der gælder pr. -enhed, f. eks. den årlige vækstprocent. Eksempel om rentetilskrivning: 1000 kr. indsættes og forrentes med 8 procent om året. Hvor mange penge står på kontoen efter 10 år? Hvert år tillægges 8%, det betyder at beløbet ganges med fremskrivningsfaktoren a = ) 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6
Vi kan da opstille følgende oversigt (se i øvrigt eksempel om Renters rente i Rentesregning side 3 Efter 0 år: 1000 Efter 1 år: 1000 1,08 Efter 2 år: 1000 1,08 1,08 Efter 3 år: 1000 1,08 1,08 1,08 = 1000 1,08 3 Efter 10 år: 1000 1,08 1,08 = 1000 1,08 10 = 2158,92 Med bogstaver: b a = y 3. Konstanter a og b - uddybning Sætning om b: b er grafens skæring med y-aksen. Dvs. når =0, er y = b. (Eks.: b er befolkningsstørrelse i året 0). Bevis: I regneforskriften for en eksponentiel sammenhæng indsætter vi =0, og husker at a 0 = 1: y = b a y = b a 0 = b 1, altså y = b Sætning om a: Når stiger med 1, bliver y ganget med a. ( fremskrivningsfaktoren ) (Eks.: hver gang der går 1 år, ganges folketallet med 1.05) Begrundelse ud fra definitionen y = b a (med taleksempel for -værdier): Vi ser på eksempler hvor -værdierne er hele tal, her 1 =3 og 2 er 1 større: 2 = 1 +1 = 4 De tilsvarende y-værdier udregnes ved hjælp af forskriften y = b a Altså hvilket viser at y ganges med a, når stiger med 1 4. Praktisk brug af regneforskrift - uddybning y = b a Når regnes i år: : tid y : slutværdi b : begyndelsesværdi : årlig fremskrivningsfaktor 7
Simple opgaver med isolation af ubekendt i b a =y 4.1) ( y ukendt) 100 kr. forrentes i 5 år med 12% hvert år. Beregn slutkapitalen. = 5 (år) y =? b = 100 kr. b a y 100 1,12 5 176,26 Altså slut-kapital (y) bliver 176,26 kr. 4.2) (b ukendt) På en bankkonto fås 7,5% årligt Om 15 år ønskes et rådighedsbeløb på 25000 kr. Hvor meget skal man sætte ind nu? = 15 (år) y = 25000 kr. b =? b a b y 15 1, 075 25000 Med solve/løs ligning i f. eks. WordMat / Casio FX 991/ b 8449,15 eller b a y Idet b skal findes bruges omkrivningen y 25000 b 8449,15 15 a 1,075 Der skal nu altså indsættes beløbet 8449,15 kr. 4.3) (a ukendt) I en reklame står at en kapital på 6 år øges fra 500 kr. til 800 kr. Hvor stor er den årlige rentefod? = 6 (år) y = 800 kr. b = 500 kr.? p =? b a y 6 500 a 800 Med solve/løs ligning i f. eks. WordMat / Casio FX 991/ a 1, 0815 eller b a y Idet a skal findes bruges omskrivningen 1 1 6 y 800 a 1, 0815 b 500 Procentændringen på en tidsenhed beregnes således: p ( a 1) 100 (1,0815 1) 100 8,15 Den årlige rentefod er altså 8,15% 8
4.4) ( ukendt) Verdens befolkning er 6 mia. og vokser med 1,8% om året. Hvornår når den op på 10 mia.? =? y = 10 mia. b = 6 mia b a y 6 1,018 10 Med solve/løs ligning i f. eks. WordMat / Casio FX 991/ 28,6 eller b a y Idet skal findes bruges omskrivningen y 10 log log b 6 28,6 log( a) log(1, 018) (Om logaritmer: log er en lommeregner-tast, regneteknisk hjælpemiddel, se evt. kort gennemgang side ) Om 28,6 år når verdens befolkning op på 10 mia., hvis den fortsat vokser med 1,8% hvert år - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Andre opgavetyper 4.5) (både b og y ukendte) Undertiden kendes hverken y eller b som absolutte tal, men kun forholdet mellem dem, f. eks. udtrykt i procent. Det kan som regel betale sig at sætte b = 100%. Vi giver et eksempel. Eksempel Et beløb blev forrentet med fast rentefod i 6 år, og voksede derved med i alt 60%. Hvad var rentefoden? Vi sætter startværdien til 100% og får så: = 6 (år) b = 100% y = 100% + 60% = 160% a ukendt p =? b a y 6 100 a 160...(se type 3 ovenfor, a ukendt)... a 1, 0815 p ( a 1) 100 (1, 0815 1) 100 8,15 Dvs. rentefoden var 8,15% 4.6) (fordobling eller halvering) Mange opgaver eller problemstillinger handler om hvor lang tid en eksponentielt voksende størrelse er om at fordobles. (Eller halveres, hvis det er en aftagende udvikling). Man taler om fordoblingstid henholdvis halveringstid. Sådanne opgaver kan løses uden at huske andre formler end regneforskriften Øvelse En population voksede med 3% om året. Hvor længe var den om at blive fordoblet? Vi sætter som ovenfor begyndelseværdien b til 100%, og slutværdien til det dobbelte: 200% 9 b a 4.7) (gennemsnitlig rentefod eller vækstrate) Ofte vokser en størrelse uregelmæssigt og med alt andet end samme procent hvert år. Måske ønsker man at vide hvor mange procent den årlige vækst været i gennemsnit. Man har vedtaget at give begrebet gennemsnitlig rentefod eller gennemsnitlig vækstrate en præcis matematisk betydning, som måske er lidt anderledes end man ville forvente. Man definerer den gennemsnitlige vækstrate (rentefod) som svaret på følgende spørgsmål: y
Hvis væksten havde været eksponentiel, hvad skulle den konstante vækstrate så være for at komme fra samme udgangsposition til samme slutposition på samme tid? Øvelse I år 2006 kostede en bestemt vare 200 kr, og i 2008 var prisen 242 kr. Hvad var den gennemsnitlige årlige vækstrate? = 2 (år) y = 242 (kr). (slutværdi ifølge faktiske oplysninger) b = 200 (kr.) (udgangsposition) a = ukendt (gennemsnitlig fremskrivningsfaktor) p =? (procenttal for gennemsnitlig vækstrate, beregnes ud fra a) (Svaret er : Den gennemsnitlige vækstrate var 10% ; vis mellemregningerne!) 6. Vækst over forskellige perioder - uddybning Sætning: Når stiger med 1, bliver y ganget med a Når stiger med 2, bliver y ganget med a a = a 2 Når stiger med 3, bliver y ganget med a a a = a 3... Når stiger med h, bliver y ganget med a h Begrundelse: Antag at y har nået værdien y 1. Se Eksponenitiel begrundelse 3a ovenfor Når herefter stiger med 1 ( der går 1 år), og herefter med endnu 1 og endnu 1, fås følgende værdier af y: y 1 a, y 1 a a, y 1 a a a At y bliver ganget med a h, når stiger med h, kan vi også skrive sådan: y 1 a h = y 2, hvor -stigningen h er 2-1. Om fremskrivningsfaktoren F ved vi: y 1 F = y 2 Og vi ser dels at F = a h. Dels kan vi isolere F af ligningen y 1 F = y 2, og det giver I alt har vi altså 7. Beregne a ud fra ( 1, y 1 ) og ( 2, y 2 ) uddybning ( 1, y 1 ) og ( 2, y 2 ) er to punkter på grafen for y = b a I fortsættelse af ovenstående 6. Vækst over forskellige perioder - uddybning side 10 isolerer vi a i af og får ifølge reglen om løsning af 11. Potensligninger side 5 eller Da h = 2-1 kan dette omskrives: eller 10
8. Voksende og aftagende eksponentielle sammenhænge - uddybning Sætning: Hvis a er større end 1, er y = b a voksende Begrundelse: Tænk på en population, der vokser med en årlig fremskrivningsfaktor på 1.05 Hvert år ganges populationen med 1.05, og da dette tal er større end 1 bliver populationen større og større. Sætning: Hvis a er mellem 0 og 1, er y = b a aftagende Tænk på en population, der ændres med en årlig fremskrivningsfaktor på 0.97 Hvert år ganges populationen med 0.97, og da dette tal er mindre end 1 bliver populationen mindre og mindre. 9. Fordoblingstid og halveringstid (-konstant) - uddybning Sætning: Ved en voksende eksponentiel udvikling, y = b a, afhænger fordoblingstiden, T, kun af konstanten a, og er den samme uanset hvilket tidspunkt 1 der bruges som udgangspunkt. Kaldes derfor også fordoblingskonstanten Eksempel: Se på en population, der vokser med 2% om året, det passer omtrent med verdens befolkning. Den årlige fremskrivningsfaktor er Ifølge 6. Vækst over forskellige perioder ovenfor ganges popuiationen med a h i enhver periode af længde h. Lad os nu se på en periode på 35 år. Populationens størrelse ganges i løbet af enhver 35-årsperiode med tallet Det er altså næsten præcist rigtigt at sige at populationen fordobles på 35 år, dvs. at fordoblingstiden er 35 år (eller fordoblingskonstanten ). For den nøjagtige fordoblingskonstant skrives T eller T 2 i stedet for h. Vi har altså, at Reglerne om løsning af potensligninger (side )giver: Begrundelserne vedrørende halveringstid/halveringskonstant følger samme mønster. 11
10. Logaritmefunktionen - uddybning Logaritmefunktionen er defineret som "den omvendte funktion til 10 " Det betyder at den "tæller nuller" når den anvendes på meget runde tal: Da 10 3 = 1000 er log(1000) = 3 Da 10 2 = 100 er log(100) = 2 Da 10 1 = 10 er log(10) = 1 Da 10 0 = 1 er log(1) = 0 Da 10-1 = 0,1 er log(0,1) = -1 Da 10-2 = 0,01 er log(0,01) = -2 (Dette princip gælder også for mere skæve tal: Da 10 1,5 = 31,6 er log(31,6) = 1,5 (lille afrundingsfejl)) Man kan også sige at sildebenet vendes: -2-1 0 1 1,5 2 10 0,01 0,1 1 10 31,6 100 Vendes på hovedet: 0,01 0,1 1 10 31,6 100 log() -2-1 0 1 1,5 2 Se eventuelt mere i det tekniske appendi 14.5. Logaritmer side 15. 11. Potensligninger - uddybning 3 12 hhv. 5 20 Eksempel 11.1 I et potensopløftnings-udtryk kan den ubekendte stå "oppe" som eksponent, og så skal den "logges" ned. Se på ligningen 100 1000000 Her kan man måske gætte at =3 idet 100 3 = 100 100 100 = 1 000 000. Tallet 100 3 = 100 100 100 har nemlig 3 2 = 6 nuller Division af de 6 nuller (i 1 000 000) med de 2 nuller ( i 100) giver i virkeligheden resultatet =3. Vi skriver således: 100 = 1000000 log(1000000) 6 = log(100) 2 = 3 Vi viser nu et lignende eksempel, men med mindre pæne tal: (Eksempel 11.2) 3 = 12 log(12) = log(3) = 2,26 Gør selv prøve ved at udregne om 3 2,26 giver 12 (eller tæt på)! Eksempel 11.3 Hvis den ubekendte står for neden, gøres således: 12
(Eksempel 11.3) 5 = = 20 20 1 5 = 1,82 Det lille 5-tal flyttes altså over på den anden side af lighedstegnet og bliver til (1/5) - - - 1 Alternativ skrivemåde (og indtastning): Ofte skrives 5 5 20 som 20 (Den femte rod af 20, dvs. det positive tal, som ganget med sig selv 5 gange giver 20). Se evt. mere i nedenstående tekniske appendi 14.3. Rødder side 13 14. Teknisk appendi om potenser, rødder, logaritmer og enkeltlogarimisk koordinatsystem 14.1. Potenser (læses i n te ) hvor n er et positivt, helt tal. Eksempler: 14.2. Potenser hvor n er 0 eller et negativt, helt tal. Ovenstående tabel fortsættes ved hver gang at dividere med 10 hhv. med 14.3. Rødder (læses den n te rod af ) hvor n er et positivt, helt tal, t er positiv eller 0 Som illustration forklarer vi den tredje rod af 64, Tallet er det positive tal,, der opfylder (altså ) (Dette kan vi også udtrykke på en måde, der fremtidig hjælper os med ligningsløsning Ligningen har løsningen At alle positive tal har en tredje rod, kan anskueliggøres ved at tegne en graf for funktionen Sildeben: 0 1 2 3 =? 5 0 1 8 27 64 125 Graf: 13
14.4. Potenser, hvor er uforkortelig brøk med hele positive tal i tæller og nævner. Som eksempel vælger vi Man definerer dette tal således: ( ) Baggrunden for denne definition er, at de såkaldte potensregneregler derved er opfyldt (så længe er et positivt tal). Dette er dog et langsommeligt arbejde at bevise. (Potensregnereglerne: se side 10 af folkeskole-formelsamling vedlagt her som sidste side) Som specialtilfælde har vi brøker med tæller 1, f.eks. som eksponent. Der gælder og (se 3. Rødder ovenfor): Når t er et postitivt tal, og q 0 gælder (som anført under 11. Potensligninger side 5 ) at ligningen har løsningen Hvordan har man fundet på at definere ( )? Potensregnereglen er let nok at forstå i et taleksempel med hele tal som eksponenter: Hvis reglen også skal gælde for tal som 0.01 og 0.13 som eksponenter, så må der gælde om tallet at, altså hvoraf (se afsnit 3 Rødder på forrige side). Herved ses at er nødt til at være lig hvis potensreglerne skal passe. Med samme begrundelse kan vi fortsætte: ( ) 14
14.5. Logaritmer Definition: Tallet ( =) log(t) er defineret som det tal,, der opfylder 10 = t. Grafen for 10 antyder grunden til at sådan et tal kan findes for alle positive værdier af t. Eksempel 14.5.1. Tallet = log(100) er det tal, der opfylder 10 = 100, altså tallet 2, idet 10 2 =100. Som man også kan efterprøve på lommeregneren, gælder altså log(100) = 2 Eksempel 14.5.2. Tallet (=) log(50) findes på lommeregneren til 1,69897. Vi prøver om det passer med at 10 = 50. Med de anførte decimaler fås (se definition 4 ovenfor) ( ) - det er altså rigtigt nok bortset fra afrundningsfejl. 15
16