Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen
Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er lineære. f er aftagende (da a = -1,5 <0) og begyndelsesværdien er 1. Derfor svarer f til grafen A. g er voksende med begyndelsesværdi 0. Derfor svarer g til grafen C. Endelig er h også en voksende funktion; begyndelsesværdien er den største (b = 2) og hældningskoefficienten er mindre end for g: Derfor svarer h til grafen B. Opgave 2 Givet ligningen: x 2 +8 x+15=0 Diskriminant og løsning a=1 ;b=8 ;c=15 d =b 2 4 a c d =64 4 1 15=64 60=4 x= 8±2 2 1 x= 5 x= 3 Diskriminanten d = 4 L = {-5 ; -3} Opgave 3 Trekanten, som er gengivet på næste side, har mål som anført på tegningen; desuden vides, at omkredsen er 30.
Ib Michelsen stx_121_b_gl 3 af 11 Længden af AB Da trekant ABD er retvinklet, kan Pythagoras sætning anvendes: hyp 2 =k 1 2 +k 2 2 De oplyste tal indsættes: c 2 =8 2 +6 2 c 2 =100 c=10 AB = 10 Arealet af trekant ABC Da omkredsen af trekanten er 30, fås længden af AC som: AC = 30 10 7,5 = 12,5 Arealformlen for en vilårlig trekant er T =½ h g højde: T =½ 6 12,5=37,5 Trekantens areal er 37,5 Opgave 4 ; AC benyttes som grundlinje og BD som Det er oplyst, at funktionen f har fordoblingskonstanten 3; tabellen herunder skulle så udfyldes med de farvede tal: Forklaring: Når x vokser fra 0 til 3 med 3, som er fordoblingskonstanten, skal y-værdien 7 fordobles: dvs. under 3 skrives14. Tilsvarende er forskellen mellem 3 og 6 også fordoblingskonstanten.og derfor skal der stå 28 under 6. Og da 56 er det dobbelte af 28 findes svaret 9 ved at addere fordoblingskonstanten til 6.
Ib Michelsen stx_121_b_gl 4 af 11 Opgave 5 Givet: f (x)=2e x +1 Bestem f'(x) f ' ( x)=2(e x )'+0 f ' ( x)=2e x Bestem tangentligning f (0)=2e 0 +1=2 1+1=3 P(0,f(0)) = (0,3) Tangentens hældningskoefficient = f ' (0)=2 e 0 =2 1=2 Parameteren b i tangentligningen fås med formlen: b= y 1 a x 1 b=3 2 0=3 Tangentligningen: y=2 x+3 ; ved indsætning ses: Opgave 6 For funktionen f (x)=4 x+3 skal der findes en stamfunktion, hvis graf går genne P(1,10). Mængden af stamfunktioner kan findes som F ( x)=4 1 (1+1) x1+1 +3 x+k=2 x 2 +3 x+k Heraf ses, at blandt de foreslåede funktioner passer den første og den sidste, men begge kan ikke have en graf, der går gennem P. F 1 (1)=2 1 2 +3 1+5=2+3+5=10 Heraf ses, at F 1 ( x) er den søgte stamfunktion.
Ib Michelsen stx_121_b_gl 5 af 11 Opgave 7 Solcellekapaciteten (målt i MW) for i Tyskland er oplyst for perioden 2005-10. En eksponentiel model kan beskrive udviklingen. Data er gengivet i regnearket herunder: Bestemmelse af forskriften S(t) Data i regnearket er koordinater til punkterne A, F. Med kommandoen fitexp findes funktionen S (eksponentiel regression). Med 3 betydende cifre kan funktionen skrives: S (t)=1900 1,52 t Skøn over kapaciteten i 2015 Da 2015 er 10 år efter 2005, beregnes S (10)=1900 1,52 10 =128.000 ; dvs. at den skønnede kapacitet for 2015 er 128.000 MW
Ib Michelsen stx_121_b_gl 6 af 11 Parametrenes betydning b = 1900 fortæller, at i modellen sættes kapaciteten i 2005 (begyndelsesåret) til 1900 MW. a = 1,52 fortæller, at kapaciteten hvert år stiger med 52 % Opgave 8 Givet en trekant med mål som på tegningen: Bestem BC Da trekant BCD er retvinklet, kan hypotenusen BC findes med Pythagoras sætning: hyp 2 =k 1 2 +k 2 2 De oplyste tal indsættes: a 2 =6 2 +(5+2) 2 =85 a= (85)=9,22 BC = 9,22
Ib Michelsen stx_121_b_gl 7 af 11 Bestem arealet af trekant ABC For enhver trekant gælder arealsætningen: T =½h g h= CD ).. Heri indsættes de kendte tal (g = c = 5 og T =½ 6 5=15 T =15 Bestem vinkel B Da vinkel B er en spids vinkel i den retvinklede trekant BCD, kan den findes med formlen v=sin 1 ( mk hyp ) Heri indsættes de kendte tal: B=sin 1 ( 6 7 )=40,6o Vinkel B=40,6 o Bestem medianen m a Da MB = ½ BC og cosinusrelationerne gælder i alle trekanter, fås ved indsættelse af de kendte tal i: m a 2 =c 2 +(½a) 2 2 c (½a) cos(b) følgende: m a 2 =5 2 +(½ 9,22) 2 2 5 (½ 9,22) cos(40,6 o ) m a =3,35 Opgave 9 Sammenhængen mellem (nogle) græskars vægt og radius kan beskrives ved funktionen v(r)=0,0060 r 2,6657, hvor vægt (v) måles i kg og radius (r) i cm. Bestem radius (hvis vægten er 40 kg) Vægt indsættes, hvorved jeg får ligningen: 40=0,0060 r 2,6657 40 0,0060 =r2,6657 2,6657 40 0,0060 =r r = 27,19 Dvs., at et græskar med vægten 40 kg har en radius på 27,2 cm
Ib Michelsen stx_121_b_gl 8 af 11 Bestem den procentvise vægtforøgelse Når vægten forøges med 10 % svare det til at at en ny vægt findes ved at anvende x-faktor 1,10. Den tilsvarende y-faktor findes: y-faktor = 1,10 2,6657 =1.2893 Dvs. at vægten stiger med 29 % Opgave 10 f (x)=x 4 2x 2 +4 Løs f'(x) = 0 f ' ( x)=4 x 4 1 2 2 x 2 1 =4 x 3 4x f ' ( x)=0 4 x 3 4x=0 4 x( x 2 1)=0 4 x (x+1) ( x 1)=0 Ifølge nulreglen ses, at L = {-1 ; 0 ; +1} Bestem monotoniforhold x x < -1 x = -1-1 < x < 0 x = 0 0 < x < +1 x = +1 +1 < x f' (x) - 0 + 0-0 + f (x) aftagende lok. min. voksende lok. max. aftagende lok. min voksende I ], 1 ] er f aftagende (da f' (x) < 0). Tilsvarende fås: I [ 1,0 ] er f voksende I [ 0,+1 ] er f aftagende I [ +1,+ {[ er f voksende Tegn grafer og bestem arealet af M Funktionsforskrifterne er indtaste i GeoGebra og graferne tegnes automatisk. Skæringspunkterne mellem graferne findes: A = (-1,3) og B = (1,3). Da f (x) g( x) for alle x i intervallet fra -1 til 1 fås arealet som +1 Areal= ( f (x) g ( x))dx 1 som findes med kommandoen integrale[f,g,-1,1]
Ib Michelsen stx_121_b_gl 9 af 11 Med GeoGebra beregnes arealet: Areal(M) = 2,4 Opgave 11 I 4. kvartal 2007 er antal hushandler i Danmark opgjort for hver af de 11 landsdele: Sortering efter størrelse: 181, 251, 439, 687, 803,1218, 1298, 1536, 1600, 1615, 1976 Efter sortering af observationerne findes medianen som den midterste observation, dvs nr. 6 (1218). Tilsvarende findes de øvrige kvartiler som medianer for hhv. observationer under og over medianen. Kvartilsæt = {439 ; 1218 ; 1600} Middeltallet = (251 + 687 +.1298 + 1615) /11 = 11603/11= 1054,8 Middeltallet = 1055 Boksplot For 2010 er der tilsvarende oplyst kvartilsæt og mindste og største antal handler. For begge år bruges disse oplysninger til at tegne boksplot som vist på figur herunder:
Ib Michelsen stx_121_b_gl 10 af 11 Kommentar Tilsyneladende er der i alle landsdele en nedgang i antallet af handler fra 2007 til 2010. Det kunne tænkes, at der i en enkelt landsdel havde været flere handler og at denne evt. havde byttet rang med en anden landsdel, men det er nok kun teoretisk. Variationsbredden er blevet mindre især på grund af faldet i landsdelen(e) med de fleste handler. Relativt er der dog næsten samme forskel som tidligere, selvom landsdelene med mange handler har oplevet et kraftigt fald og 1. kvartil ikke har ændret sig meget. Opgave 12 Et metalstykke har form som på figurens mørke del, idet halvcirklerne er fjernet. Omkredsen er 6 cm. 1 Bestem h som funktion af r Omkredsen for metalstykket består af 2 sider med længden h samt 2 halvcirkler med radius r, der har en samlet omkreds på 2 π r. Deraf fås: Omkreds=6 2 h+2 π r=6 2 h=6 2 π r h= 6 2 π r 2 h=3 π r 2 1 Hvis figurens mørke del skal være sammenhængende, ses det let, at h > 2r 2 Med foregående fodnote fås: 3 π r>2 r 3>r(2+π) 3 >r r>0. Dvs. DM for 2+π 3 omkredsfunktionen Omkreds(r) er:[ 0 ; 2+π [
Ib Michelsen stx_121_b_gl 11 af 11 Arealet Arealet af det resterende metalstykke fås som differensen mellem arealet af et rektangel og en cirkel: Areal =h 2r π r 2 Areal=(3 π r) 2 r π r 2 Areal=6 r 2 π r 2 π r 2 Areal=6r 3 π r 2 Maksimering af areal Da arealfunktionens graf er en parabel med grenene nedad (a < 0), findes størsteværdien for r = x-værdien i toppunktet (= -b/ (2a) ) a= 3 π b=6 r= 6 2 ( 3 π) r= 1 π 3 Dvs. radius = 0,32 cm 3 r=0,32<0,58=3/(2+π) ; dvs. den fundne værdi tilhører definitionsmængden.