Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100 2. Isoler y i ligningen 15 x+5 y 45=0 15 x+5 y 45+15 x=0+15 x 5 y 45=15 x 5 y 45+45=15 x+45 5 y=15 x+45 Dvs.: 5y 5 y=3 x+9 15 x+45 = 5 y=15 x 5 + 45 5 y=3 x+9
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 2 3. Højdeberegning Givet trekanten med mål som vist her. Da trekanten er ligebenet falder højde og median sammen; AH = 12/2 = 6 (idet H er fodpunktet for højden. Da trekant ABH er retvinklet, kan Pythagoras sætning benyttes: hyp 2 =k 1 2 +k 2 2 De kendte tal indsættes: 10 2 =6 2 +h b 2 100 36=h b 2 h b = 64 Dvs.: h b =8,0 4. Løs ligningen Givet ligningen: 2 x 2 8=0 som løses her: 2 x 2 8=0 x 2 4=0 x 2 =4 x=2 x= 2 L={-2 ; +2}
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 3 5. Hvilken funktion er en stamfunktion? Givet f(x) = 3 x + 2 Stamfunktionen findes: F ( x)=3 1 1+1 x1+1 +2 x+k F ( x)= 3 2 x 2 +2 x+k Heraf ses, at funktionerne g og h ikke er stamfunktioner. Da k er en vilkårlig konstant (som også kan være 1), er p en stamfunktion til f. 6. Find ligningen for tangenten Find ligningen for tangenten i punktet P(0,f(0)), når f (x)=4 e x +1. Den afledte funktion findes for at beregne tangentens hældningskoefficient. f ' ( x)=4 e x P findes: f (0)=4 e 0 +1=4 1+1=5 P = (0,5) Parameteren a = f'(0) findes: a= f ' (0)=4 e 0 =4 1=4
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 4 Parameteren b findes: Med formlen: b= y 1 a x 1 fås ved at indsætte de kendte tal: b=5 4 0=5 Tangentens ligning er derfor: y = 4 x + 5 7. Sangfugle a Parametre Der er givet nogle samhørende værdier af den gennemsnitlige kuldstørrelse og antal ynglende sangspurvepar pr. acre; disse data er gengivet i regnearket til højre. Ved lineær regression er sammenhængen fundet som y= 0,00971 x+3,81 ; dvs. parametrene er: a = -0,00971 og b= 3,81 b Beregning af antal ynglende par Ved skæring af regressionslinjen med y = 3 fås skæringspunktet (83,4 ; 3,0); ifølge modellen er der ca 83 ynglende par pr. acre, når kuldstørrelsen er 3,0.
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 5 8. Trekantsberegninger Givet sejlruten med de anførte mål. a Beregning af vinkel C i trekant ABC Da både AC og den stiplede linje går i retningen NS er det parallelle linjer (idet der ikke tages hensyn til at jorden er en kugle, men betragtes som en plan flade); derfor bliver den markerede vinkel med spids i B (og med størrelsen 43º) og vinkel BCA ensliggende vinkler ved parallelle linje (idet begge har venstre ben på den skærende linje.) Sådanne vinkler er lige store: derfor er vinkel C i trekanten også 43º a Beregning af afstanden fra B til C I enhver trekant gælder 180º-reglen og sinusrelationerne: vinkel B = 180º 58º 43º = 79º a sin (A) = b sin (B) De kendte størrelser indsættes: a sin(58) = 9,8 sin (79) a= 9,8 sin(79) sin(58) a=8,46 Afstanden fra B til C er 8,5 km
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 6 Arealet af trekant ABC Arealet kan findes med formlen T = ½ab sin(c), som gælder i enhver trekant. De kendte tal indsættes: T =0,5 8,5 9,8 sin(43)=28,29 Det afspærrede areal er 28,3 kvadratkilometer 9. Affaldsmodel mv. For årene 1994 og 2004 er det oplyst, hvor meget affald der er produceret i Danmark; det antages, at der har været en eksponentiel udvikling i perioden, a Find vækst i procent Ved eksponentiel regression ses at vækstfaktoren (fundet som f(1)/b) er 1,01865. Kaldes den årlige procentvise stigning r, gælder a = 1+r. Derfor
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 7 r = a 1 og ved indsætning: r = 1,01865 1 = 0,01865 = 1,865 % a = 1,865 % b En model Idet x er tiden fra 1994 målt i år og f(x) er affaldsmængden i det tilsvarende år gælder f (x)=11,1 1,01865 x c Fordoblingstiden Fordoblingstiden beregnes med formlen T 2 =log (2) (a) ; de kendte tal indsættes: log T 2 = log(2) log(1,01865) =37,51 Fordoblingstiden er 37,5 år
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 8 10. Samenhæng mellem kropstemperatur og tid siden død I Indien regnes der med sammenhængen vist ved funktionen f, hvis forskrift og graf ses på tegningen herover. Tiden der er gået, når kropstemperaturen er 90º F, fås som f(90) = 7,2 Når kropstemperaturen er 90º, er der gået 7,2 timer efter dødsfaldet Kropstemperatur 2 timer efter dødstidspunktet I skæringspunktet A på tegningen mellem grafen for f og y=2 ses, at kropstemperaturen 2 timer efter dødstidspunktet er 97,3º F
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 9 11. Test Der foreligger oplysninger fra 2010 om alle danske husholdningers adgang til Internettet i tabelform samt en stikprøve taget et år senere. Spørgsmålet er, om der er sket ændringer i måden, man får adgang på. Som nulhypotese (H 0 ) antages, at der er den samme fordeling i stikprøven som i populationen fra 2010. Populationen, der undersøges, er de danske husholdninger i 2011 med adgang til Internettet. 1 Stikprøven er en lile (repræsentativ) delmængde af disse. Med forholdstalsregning findes de forventede værdier i stikprøven med procenterne fra 2010: Forventet antal med adsl-adgang beregnes som: 38 % af 800 og tilsvarende for de øvrige. I lommeregneren indtastes de fundne tal og p-værdien findes: p-værdi = 4,1 % Da p-værdien er mindre end signifikansniveauet, forkastes H 0. Internetadgangen har ændret sig fra 2010 til 2011. 1 Det fremgår ikke specielt præcist. Det var i øvrigt omkring 86 % af samtlige husstande i 2010.