Indhold.1 Beskrivelse af regulatorer............................. 2.2 Krav til regulator................................. 2.2.1 Integrator anti-windup.......................... 4.3 Overføringsfunktion for det samlede system................... 4.3.1 Rodkurveundersøgelse.......................... 4.4 Digital implementering af PI-regulator..................... 7.4.1 Valg af samplefrekvens.......................... 8.4.2 Diverse plots............................... 8 Der skal designes en regulator, der kan regulere DC-motoren til at køre med en konstant vinkelhastighed ud fra input fra omdrejningsmåleren i såvel generator- som motordrift. Regulatoren indgår som en del af et lukket kredsløb, se gur 1. Regulatoren reagerer på fejlen e(s), der er dierensen mellem referencesignalet r(s) og det tilbagekoblede signal. Styresignalet, u(s), justeres så fejlen bliver mindre, og når der ikke er nogen fejl kører processen stationært. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip En regulator kan opbygges af et eller ere led, afhængig af de krav, der stilles til reguleringen. De enkelte led vil blive beskrevet, derefter opstilles der krav til regulatoren, og der vælges den type regulator, der kan opfylde kravene [?, side 216-22]. 1
INDHOLD.1 Beskrivelse af regulatorer Den simpleste regulator er en P-regulator, hvor udgangssignalet, u, er proportionalt med indgangssignalet, e, med proportionalitetsfaktoren, k P : Ved Laplace-transformation fås: u = k P e U(s) E(s) = k P En P-regulator kan reducere stigetiden og stationærfejlen, men kan forøge oversvinget. For at opfylde de stillede krav kan det være nødvendigt at give P-regulatoren en stor k P -værdi. Dette kan dog medføre, at systemet bliver ustabilt, og der kan stadig forekomme en vis stationær fejl. En måde at forbedre dette på er at tilføje et integratorled, der integrerer over fejlsignalet så regulatoren bliver en PI-regulator. Udgangssignalet kan beskrives som: Ved Laplace-transformation fås: t u(t) = k P e + k I e(τ)dτ U(s) E(s) = k P + k I s = k P τis + 1 τ i s hvor τ i er integraltiden, τ i = kp /k I. Regulatoren har et nulpunkt i s = 1 /τ i og har en pol i origo. PI-regulatoren kan reducere stigetiden, forøge oversvinget og indsvingningstiden, og eliminerer stationærfejlen. For at kompensere for de ulemper, som de to ovennævnte reguleringsled har, kan der indsættes et dientialled, så regulatoren kaldes en PID-regulator. Dientialleddet medfører, at regulatoren kan reagere hurtigere på små ændringer. Regulatoren får en hurtigere stigetid, mindre oversving og ingen stationær fejl. Udgangssignalet kan beskrives som: Ved Laplace-transformation fås: u(t) = k P e + k I t e(τ)dτ + k D de(t) dt U(s) E(s) = k P + k I s + k Ds Afhængig af de krav, der stilles til regulering af systemet kan regulatoren kombineres som en P-, PI-, PD- eller PID-regulator..2 Krav til regulator Kravene til regulatoren baseres på nogle tidskrav, der har indydelse på systemets dynamik, nogle krav til systemets stabilitet og et krav til systemets stationære tilstand. 2
.2. KRAV TIL REGULATOR Stigetiden, t r, er den tid, det tager for systemet at nå fra 1% til 9% af den ønskede sluttilstand. Indsvingningstiden, t s, er den tid, det tager systemets transienter at ligge indenfor et bånd omkring den ønskede sluttilstand. Den margin, som systemet må svinge omkring, vælges typisk til enten 1 %, 2 % eller 5 %. Oversvinget, M p, er den maksimale værdi, som systemet overstiger den ønskede sluttilstand. Stationærfejlen, e s s, angiver, hvor meget systemet må afvige fra den ønskede sluttilstand. Kravene til dynamik og stabilitet fremgår af gur 2 Figur 2: Denition af t r, t s og M p Tidskravene til t r og t s fastsættes på baggrund af den mekaniske tidskonstant, τ m, der i kapitel?? på side?? blev beregnet til 1, 87 s. t r vælges til cirke 5 gange denne værdi, og t s til godt 1 gange denne værdi. Der kan opstilles følgende krav til regulatoren: Stigetid, t r 9 s Indsvingningstid, t s 2 s ved ±2 % Oversving, M p 1 % Stationær fejl, e ss 1 % Til regulering af motoren vælges en PI-regulator, D-reguleringen fravælges, da det mekaniske system er meget langsommere end det elektriske system. Derfor er der ikke et behov for en så hurtig stigetid og regulering på små udsving, som D-reguleringen kan give. 3
INDHOLD.2.1 Integrator anti-windup (Der skal skrives noget mere) Et integrator anti-windup kredsløb, der afbryder og nulstiller integrationen kan let implementeres digitalt ved at inkludere et statement á lá hvis u = u max, k I = [?, side 227-23]..3 Overføringsfunktion for det samlede system Der kan opstilles nedenstående overføringsfunktion for det samlede system i gur 1 på side 1: G system (s) = = = G r G e G m 1 + G r G e G m H T G r T Ge T Gm N Gr N Ge N Gm 1 + T Gr TGe TGm T H N Gr N Ge N Gm N H T Gr T Ge T Gm N H (1) N Gr N Ge N Gm N H + T Gr T Ge T Gm T H Nedenstående overføringsfunktioner indgår i lukketsløjfesystemet på gur 1 på side 1: G r (s) = k P τis + 1 τ i s G e (s) = 2 G m (s) = H(s) = 1 7 s +, 92 Ved indsættelse i formel 1 fås overføringsfunktionen, hvori der indgår de ubekendte parametre til PI-regulatoren: G system (s) = = k P (τ i s + 1) 2 7 1 τ i s 1 (s +, 92) 1 + k P (τ i s + 1) 2 7 1 14k P s + 14 k P τi s 2 + (, 92 + 14k P )s + 14 k P τi (2) For at beregne k P og τ i gennemføres en rodkurveundersøgelse..3.1 Rodkurveundersøgelse I dette afsnit laves en rodkurveundersøgelse for at kunne fastlægge systemets overføringsfunktion ud fra de opstillede krav, samt de målte og beregnede værdier. Nedenstående formler anvendes kun som retningslinier i forbindelse med dimensionering af PI-regulatoren, idet de kun er nøjagtige for andenordens systemer uden nulpunkter. 4
.3. OVERFØRINGSFUNKTION FOR DET SAMLEDE SYSTEM Overføringsfunktionens karakteristiske ligning fremgår af nævneren i formel 2 på modstående side: s 2 + (, 92 + 14k P )s + 14 k P τi, hvor førstegradsleddet, (, 92 + 14k P ) er bestemmende for placeringen af realdelen af overføringsfunktionens poler, og nultegradsleddet er et udtryk for den naturlige egenfrekvens, ω n, der blandt andet er bestemmende for placeringen af imaginærdelen af overføringsfunktionens poler. Der kan opstilles følgende formler for disse udtryk: 2ξω n = (, 92 + 14k P ) (3) ω 2 n = 14 k P τ i (4) Dæmpningsfaktoren, ξ, ndes ved hjælp af formel 5 ud fra kravet om M p 1 % [?, side 147]: M p = e ( πξ/ 1 ξ 2), ξ 1. (5) Ved indsættelse ndes, at ξ skal være, 6. I det komplekse plan indtegnes ξ som to rette linier i s-planets venstre halvplan med start i origo, og vinklen φ ξ = sin 1 ξ med imaginæraksen, se gur 3 på den følgende side. For ξ =, 6 er φ ξ 37. Overføringsfunktionens poler skal ligge mellem linerne med hældningskoecienten, α = ± cos(37 ) = ± 1, 33. sin(37 ) Indsvingningstiden, t s, skal være 2 s ved ±2 %. Dette er bestemmende for placeringen af den negative realdel af polerne, σ = ξω n. σ ndes ved hjælp af formel 6:, 2 = e ξωnts (6) σ = 3, 912 t s Indsættes t s, ndes σ, 2 s. Dette krav indtegnes som en lodret linie på gur 3 på den følgende side, og området for polplacering ligger til venstre for denne linie. Ud fra kravet til stigetid, t r 9 s ndes kravet til den naturlige egenfrekvens, ω n ud fra følgende formel [?, side 145]: ω n = 1, 8 t r (7) Kravet til ω n beregnes som ω n, 2 rad s. ω n indtegnes som en halvcirkel i s-planets venstre halvplan med centrum i origo og radius =, 2, se gur 3 på næste side. Området for polplacering ligger til venstre for denne halvcirkel. Området for polplacering er nu fastlagt, og herefter kan k P og τ i bestemmes. Der ndes et udtryk for proportionalforstærkningen, k P, ved hjælp af formel 3: 2ξω n = (, 92 + 14k P ) k P = 2, 2, 92 14 k P =, 37 (8) 5
INDHOLD Figur 3: Område for polplacering (Billedet er ikke opdateret) For at overholde kravet til indsvingningstiden, t s, skal k P være større end eller lig med ovennævnte formeludtryk, og for at få et stabilt system skal k P være større end. Der kan nu vælges en værdi for k P, hvorefter τ i kan beregnes. k P vælges til 1 6 ganges forstærkning. Der er en lineær sammenhæng mellem k P og polernes realdel, σ, og for den valgte k P, beregnes σ som: σ = (, 92 + 14 1 6 ) 2 =, 46 Polernes imaginærdel er givet ved ± ω n (1 ξ 2 ). For at overholde kravet til størrelsen af oversvinget skal følgende overholdes: ω n (1 ξ 2 ) < α σ (9) ω 2 n(1 ξ 2 ) < (α σ) 2 Tidskonstanten, τ i, ndes idet ξ sættes til, 6, og ω 2 n fremgår af formel 4 på foregående side: 14 1 6 (1, 6 2 ) τ i < (1, 33, 46) 2 (1) τ i > 2, 3938 1 4 [s] 6
.4. DIGITAL IMPLEMENTERING AF PI-REGULATOR Ved indsættelse i k P og τ i i formel 2 på side 4 fås systemets samlede overføringsfunktion: Den stationære fejl, e ss, ndes som: G system (s) = 1, 4 1 4 s +, 5848 s 2 +, 9214s +, 5848 1 e ss = lim s sg aa (s) (Denne formel skal lige vericeres og der skal skrives noget mere!)..4 Digital implementering af PI-regulator PI-regulatoren skal implementeres i C167. Derfor skal dens overføringsfunktion omskrives til en rekursiv dierensligning ved hjælp af bilinear z-transformastion [?, side 245-25 og 648-662]. PI-regulatorens overføringsfunktion er: G r (s) = U(s) E(s) = 2, 3938 1 4 s + 1 1 6 2, 3938 1 4 s = 2, 3938 1 1 s + 1 6 2, 3938 1 4 s For at nde den diskrete ækvivalente overføringsfunktion anvendes Tustin's regel til at bringe overføringsfunktionen over i z-domænet. Hertil anvendes den diskrete operator 2 z 1 T s z + 1 der sættes ind på s plads. T s er sampleperioden. Den diskrete operator ndes: 2 z 1 1 z + 1 2 Den diskrete overføringsfunktion ndes: D d (z) = U(z) E(z) = 4 (z 1) (z + 1) = G r (s) s= 4 (z 1) z+1) D d (z) = 2, 3938 1 1 4 (z 1) + 1 6 (z+1) 2, 3938 1 4 4 (z 1) (z+1), 144 +, 144z 1 D d (z) = 1 z 1 Den diskrete overføringsfunktion konverteres til en diskret dierensligning: (1 z 1 )U(z) = (, 144 +, 144z 1 )E(z) u(k) u(k 1) =, 144e(k) +, 144e(k 1) u(k + 1) = u(k) +, 145(e(k + 1) + e(k)) 7 (11) (12) (13)
INDHOLD Dermed er PI-regulatorens overføringsfunktion blevet omskrevet til en dierensligning, der kan implementeres i software i C167, se kapitel?? på side??..4.1 Valg af samplefrekvens Der skal vælges en samplefrekvens, f sample, til PI-regulatoren, der er så høj, at den digitaliserede regulator ikke bliver for upræcis i forhold til en analog implementation af regulatoren. Derfor sættes samplefrekvensen ofte til tyve til fyrre gange lukketsløjfe 3dB båndbredden, ω BW [?, side 689]. ω BW ndes som: f sample,min er 1, 78 Hz, og den vælges til 2 Hz..4.2 Diverse plots (Disse plots er bare midlertidig sat ind] ω BW 1, 4 ω n (14) 1.4 1.2 1 Amplitude.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Tid [s] Figur 4: Steprespons 8
.4. DIGITAL IMPLEMENTERING AF PI-REGULATOR Impulse Response.35.3.25 Amplitude.2.15.1.5 2 4 6 8 1 12 Time (sec.) Figur 5: Impulsrespons Bode Diagrams 5 Phase (deg); Magnitude (db) 1 15 5 1 15 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 Frequency (rad/sec) Figur 6: Bodeplot 9
INDHOLD 5 4 3 2 1 Imag Axis 1 2 3 4 5 1 8 6 4 2 Real Axis Figur 7: rlocus Figur 8: Fra simulink 1
.4. DIGITAL IMPLEMENTERING AF PI-REGULATOR Figur 9: Fra simulink 11