Prisfastsættelse af danske konverterbare realkreditobligationer

HA-Almen 6. semester Institut for Økonomi Den 1. maj 2013 Forfattere: Michael Meldgaard Andersen (413121) Nicolaj Teilmann Toustrup (301393) Vejleder: Thomas Kokholm Bachelorafhandling Prisfastsættelse af danske konverterbare realkreditobligationer Business and Social Sciences, Aarhus Universitet Foråret 2013 Antal anslag: 116.672

Abstract The main purpose of the present thesis is to produce a model, which determines the price of Danish callable mortgage backed bonds. Callable bonds are one of the most complex products within the Danish mortgage credit market. Callable bonds are characterized by the fact that the borrower is able to prepay the value of the remaining debt at market price or par value, which makes the cash flow to the investors uncertain, and therefore the determination of the price important. Hence, the investors are exposed to prepayments and the reinvestment risk. In order to determine the price of callable bonds, the future term structure of the interest rates should be determined. The binomial model is used to create the short-term interest rate structure using the current zero-coupon yield curve and volatility, which creates an arbitrage-free yield curve. In order to estimate the zero-coupon yield curve and volatility, data for swap rates is retrieved from the market. Interest-rate sensitive securities can be priced by the use of this calculated binomial tree. The price of the callable bond can be described as the price of the non-callable bond deducted with the value of the borrowers prepayment option. The actual prepayment behavior of the borrowers is used in the determination of the price. The present paper is inspired by Svend Jakobsen s required gain model to calculate this. This model describes the prepayment behavior of the borrower, by a standard normal distribution with a mean required gain and a standard deviation. In order to estimate the mean required gain, 12 callable bonds were randomly chosen from the Danish stock exchange with coupon rates of 4% and 5%. The standard deviation was calculated as the standard deviation of the extraordinary prepayments from the 12 bonds. The mean required gain was estimated by minimizing the sum of squared errors between the estimated prices and the current prices. The required gain and the standard deviation is calculated as 20,79% and 6,39% respectively. The price of the callable bonds with a coupon rate of 4% and 5% were estimated to be 105,681 and 102,033 respectively. The model is assumed to estimate a higher price on the 4% bonds and a lower price on the 5% bonds. The model is restricted due to the fact that the estimated prices only depend on maturity and coupon rate. Consequently, an equal price on all bonds with 4% and 5% occur in the model. The model weakly explains the borrowers current conversion behavior. By implementing other explanatory variables, which can estimate the behavior of the borrowers more correctly, the model will become more realistic. Side i

Indhold 1 Indledning... 1 1.1 Problemformulering... 2 1.2 Afgrænsning... 2 1.3 Metode... 2 1.4 Afhandlingens struktur... 3 2 Realkreditmarkedet... 4 2.1 Det danske realkreditsystem... 4 2.1.1 Lånetyper... 6 2.2 Konverterbare obligationer... 7 2.3 Op- og nedkonvertering... 10 3 Nulkuponrente... 12 3.1 Nulkuponobligation... 12 3.1.1 Rentekurve... 12 3.1.2 Kuponbærende obligationer... 14 3.1.3 Renteswap... 14 3.2 Estimering af nulkuponrentekurven... 16 3.3 Delkonklusion... 18 4 Rentestrukturmodel... 19 4.1 Binomialtræ modellen... 19 4.2 Volatilitet... 21 4.2.1 Implicit volatilitet... 22 4.2.2 Historisk volatilitet... 22 4.3 Estimering af rentestrukturen... 23 4.4 Delkonklusion... 25 5 Konverteringsadfærd... 26 5.1 Optimal konverteringsadfærd... 26 5.2 Gevinstkravmodellen... 29 5.2.1 Gevinstkrav... 32 5.3 Delkonklusion... 33 Side ii

6 Prisfastsættelse... 35 6.1 Prisfastsættelse optimal konvertering... 35 6.2 Prisfastsættelse gevinstkrav... 36 6.3 Estimering af pris... 37 6.3.1 Betydning af løbetiden... 41 6.4 Delkonklusion... 42 7 Følsomhedsanalyse... 43 7.1 Volatilitet... 43 7.2 Kuponrente på inkonverterbar obligation... 45 7.3 Gevinstkrav... 46 7.4 Gevinstkravets spredning... 48 7.5 Konverteringsomkostninger... 49 7.6 Delkonklusion... 50 8 Evaluering af modellen... 52 9 Konklusion... 55 10 Litteraturliste... 57 11 Bilag... 59 Side iii

Figuroversigt FIGUR 1.1 OPGAVENS STRUKTUR... 3 FIGUR 2.1 SYSTEMET I DET DANSKE REALKREDITMARKED... 5 FIGUR 2.2 UDVIKLINGEN I REALKREDITLÅN FORDELT PÅ TYPER... 7 FIGUR 2.3 SAMMENHÆNG MELLEM INKONVERTERBAR OG KONVERTERBAR OBLIGATIONSKURS... 9 FIGUR 3.1 ILLUSTRATION AF PLAIN VANILLA PAYER RENTESWAP... 15 FIGUR 3.2 ESTIMERET NULKUPONRENTEKURVE... 18 FIGUR 4.1 REKOMBINERET BINOMIALTRÆ... 20 FIGUR 5.1 KONVERTERINGSRATEN VED OPTIMAL KONVERTERING OG GEVINSTKRAV... 31 FIGUR 6.1 AKTUEL GEVINST... 39 FIGUR 7.1 SAMMENHÆNG MELLEM KUPONRENTE OG OBLIGATIONSKURSEN... 45 FIGUR 7.2 SAMMENHÆNG MELLEM GEVINSTKRAVET OG OBLIGATIONSKURSEN... 46 FIGUR 7.3 SAMMENHÆNG MELLEM GEVINSTKRAVETS SPREDNING OG OBLIGATIONSKURSEN... 48 FIGUR 7.4 SAMMENHÆNG MELLEM KONVERTERINGSOMKOSTNINGER OG OBLIGATIONSKURSEN... 49 Tabeloversigt TABEL 2.1 AMORTISERING AF LÅN... 8 TABEL 3.1 DATA FOR RENTESWAPS... 16 TABEL 3.2 ESTIMEREDE BETAPARAMETRE... 17 TABEL 4.1 RESULTATER FOR DISKONTERINGSFAKTOREN, SPOT RENTEN OG 0-PRISEN FOR DE FØRSTE FIRE ÅR... 23 TABEL 4.2 INPUT TIL UDREGNING AF VOLATILITETEN... 23 TABEL 4.3 EN-PERIODE RENTESTRUKTUR FOR DE FØRSTE FIRE ÅR... 25 TABEL 6.1 DATA FOR DE TOLV UDVALGTE REALKREDITOBLIGATIONER... 37 TABEL 6.2 AMORTISERINGSPLAN... 38 TABEL 6.3 PRISEN FOR DEN INKONVERTERBARE OBLIGATION FOR DE FØRSTE FIRE ÅR... 38 TABEL 6.4 KONVERTERINGSRATE FOR DE FØRSTE FIRE ÅR... 40 TABEL 6.5 PRISEN FOR DEN KONVERTERBARE OBLIGATION FOR DE FØRSTE FIRE ÅR... 41 TABEL 6.6 RESULTAT VED ÆNDRING AF LØBETIDEN... 41 TABEL 7.1 GRUNDVÆRDIER DER ANVENDES... 43 TABEL 7.2 SAMMENHÆNG MELLEM VOLATILITET OG OBLIGATIONSKURSEN... 44 TABEL 7.3 RESULTATER NÅR GEVINSTKRAVET ESTIMERES ISOLERET FOR EN KUPONRENTE PÅ 4% OG 5%... 47 TABEL 8.1 ESTIMERET KURS FOR DE TOLV UDVALGTE REALKREDITOBLIGATIONER... 52 Side iv

1 Indledning Det danske realkreditmarked er et af de største og mest likvide i verden 1. Da finanskrisen indtraf i starten af 2008 blev verdens realkreditmarkeder sat på hård prøve. Det danske realkreditmarked har dog ikke oplevet ligeså meget turbulens som andre markeder. Blandt investorer og rating bureauer anses danske realkreditobligationer som en sikker investering, hvilket har resulteret i høj rating(realkredit Danmark, 2008). I andre lande har recessionen betydet sammenbrud i de finansielle systemer, og statsgarantier har været nødvendige for at muliggøre udstedelser af realkreditobligationer(realkreditrådet, 2012). Et realkreditlån gives med sikkerhed i fast ejendom, og finansieres ved udstedelse af obligationer. Det danske realkreditsystem blev oprettet tilbage i 1795, hvor der efter en stor brand i København blev behov for at låne penge til boligbyggeri. Siden da har markedet udviklet sig til et af de mest veludviklede realkreditmarkeder, som er kendetegnet ved høj gennemsigtighed og bredt produktudvalg. Obligationerne handles på Københavns Fondsbørs, og priserne fastsættes af markedet. På det danske realkreditmarked er der match mellem låntagernes realkreditlån og de udstedte obligationer, hvilket mindsker risikoen for realkreditinstitutterne. Hver obligationsserie består af mange lån, hvilket sikrer en høj likviditet(realkredit Danmark, 2008). Konverterbare realkreditobligationer er et populært produkt hos investor og låntager. De konverterbare realkreditobligationer er karakteriseret ved, at låntager har mulighed for at indfri sit lån før tid til markedskurs eller kurs pari. På grund af konverteringsretten følger kursen på den konverterbare obligation ikke den almindelige kurs-rente sammenhæng som observeres ved inkonverterbare obligationer. Konverteringsretten gør det fremtidige cash flow til investor usikkert. Det rentefølsomme cash flow gør prisfastsættelsen kompliceret. Hvis låntager vælger at indfri sit lån til kurs pari, vil det mindske investors cash flow. Indfrielserne før tid sker typisk til lavere kuponrente, så låntager opnår en lavere ydelse på sit lån(tuckman, 2012). For at foretage en prisfastsættelse af en konverterbar realkreditobligation skal den fremtidige rentestruktur fastlægges, og en model for låntagers konverteringsadfærd skal opstilles. Ved at kombi- 1 I 2012 var størrelsen på udestående danske realkreditobligationer over 2500 milliarder kr., hvilket gør det danske realkreditmarkedet til det andet største i verden, kun overgået af Tyskland(Nationalbankens Statistikdatabase). Side 1

nere rentestrukturen med konverteringsadfærden er det muligt, at fastlægge det cash flow investor modtager frem til obligationens udløb, og derved kan prisen bestemmes. 1.1 Problemformulering På baggrund af indledningen opstilles en model til prisfastsættelse af danske konverterbare realkreditobligationer. Modellen skal tage højde for rentestrukturen og konverteringsadfærden hos låntagerne. Der vil derudover blive undersøgt og analyseret, hvad ændringer af væsentlige input vil betyde for prisen af obligationerne. 1.2 Afgrænsning Nærværende opgave vil se bort fra låntagers opsigelsesfrist 2. Modellen vil tage udgangspunkt i, at der kun er en terminsdag per år for at reducere omfanget af beregninger. Endvidere er betragtningen af skat udeladt af modellen ligeledes for at forenkle beregningerne. Disse afgrænsninger er alle foretaget på baggrund af begrænset tid og opgavens kompleksitet. Forenklingerne vil have indflydelse på modellens endelige resultater, men det vurderes dog, at modellen stadig er pålidelig, og er i stand til at kunne skabe valide resultater og solide konklusioner. Udeladelsen af disse parametre vil dog blive diskuteret nærmere når den endelige model evalueres. Modellen vil udelukkende omfatte fastforrentede konverterbare realkreditobligationer. 1.3 Metode Afhandlingen er teoretisk og kvantitativ. For at skabe en model til prisfastsættelse af konverterbare realkreditobligationer har det været en nødvendighed at indhente data for swaprenter samt udvalgte obligationer. Dette data, anvendt til estimering af modellen, er indhentet fra offentlige tilgængelige hjemmesider, som anses for troværdige. Al benyttet litteratur i afhandlingen er sekundær i form af publikationer, artikler, bøger samt empirisk data. I afhandlingen er der i prisfastsættelsen af konverterbare obligationer taget udgangspunkt i Svend Jakobsens Ph.d. afhandling. Han udviklede gevinstkravsmodellen, som er en af de mere realistiske modeller til at analysere konverteringsadfærd. Alle teorier præsenteret igennem afhand- 2 Denne gør det muligt for låntager at udnytte sin konverteringsoption helt frem til termin Side 2

lingen har basis i bøger og artikler. Kritikken af disse teorier vil blive kommenteret løbende gennem opgaven. 1.4 Afhandlingens struktur Baseret på problemformulering og afgrænsning vil denne afhandling opstille en model for prisfastsættelse af konverterbare realkreditobligationer, og analysere effekten af ændringer i diverse input. De følgende afsnit vil indeholde gennemgang af teori samt implementering af den anvendte teori og analyse af resultaterne. Slutteligt vil afhandlingen evaluere den opstillede model. Figur 1.1 Opgavens struktur Nulkuponrentestruktur Volatilitet Rentestruktur Konverteringsadfærd Prisfastsættelsesmodel Evaluering af modellen På den vedlagte CD vil alle beregninger, som er fremlagt gennem opgaven, være præsenteret 3. 3 I bilag 1 er vist en indholdsoversigt for Excel-filen Side 3

2 Realkreditmarkedet Det danske realkreditmarkedet er kendetegnet ved at være et af de største realkreditmarkeder i Europa såvel som i resten af verdenen. Dette er anerkendt af både forskere og rating bureauer rundt om i verden, Moody s udtaler Operating within an extremely strong legal framework All are very cost efficient Solid asset quality ( ) no bankruptcy or liquidation either at the series level or at the mortgage credit institution level has ever taken place (Moodys, 2002: side 3 og 7). Det danske realkreditmarkeds karakteristika er, at det for investorerne er et stabilt og likvidt marked. I de følgende afsnit vil der blive redegjort for, hvordan det danske realkreditsystem fungerer, herunder principperne som gør det danske realkreditmarked stabilt og likvidt. 2.1 Det danske realkreditsystem Det danske realkreditsystem er opbygget sådan, at en låntager optager et lån gennem et realkreditinstitut, som så udsteder obligationer på Københavns fondsbørs. Investorer opkøber herefter obligationerne med henblik på at få ydelser til gengæld. Låntager er anonym for investorerne, og er desuden ikke tilknyttet en bestemt investor. I 2011 udgjorde realkreditobligationer 78,3% af den cirkulerende mængde obligationer, hvilket svarer til 2,501 mia. kr.(finanstilsynet, 2011). De store markedsaktører er Realkredit Danmark (som har en markedsandel på 29%), Nykredit Realkredit (hvis markedsandel er på 24,2%), Totalkredit (med en markedsandel på 19,2%), og Nordea Kredit (som sidder på 13,6% af markedet). Det danske realkreditmarked er karakteriseret ved, at der er høj konkurrence blandt udbyderne. I figur 2.1 nedenfor er den basale opbygning af det danske realkreditmarked illustreret. Realkreditinstituttet udsteder obligationer på låntagers vegne, som investorer køber med henblik på at få et afkast i form af ydelser. Efter låntager har modtaget sit lån, skal der ved hver forfaldsdag betales en fast ydelse samt nogle bidragsomkostninger. De faste ydelser tilfalder investorerne, mens bidragsomkostninger tilfalder realkreditinstituttet. Institutternes indtægt er kun bidragsomkostninger, samt omkostninger låntager har i forbindelse med eksempelvis omlægning af lån(realkreditrådet, 2012). Side 4

Figur 2.1 Systemet i det danske realkreditmarked Lån Investering Låntager Realkreditinstitut Investor Ydelser Som tidligere nævnt er det danske realkreditmarked et af verdenens mest likvide. Internationale rating bureauer rater det danske realkreditmarked højt. Den begrænsede risiko, som er forbundet med danske realkreditobligationer, skyldes en række principper som realkreditmarkedet skal følge(realkreditrådet, 2013): Obligationer, Ydelser Sikkerhed for realkreditlån Realkreditinstitutterne benytter sig af balanceprincippet Realkreditinstitutterne benytter sig af den maksimale lånegrænse ud fra ejendomsværdien Realkreditinstitutterne skal overholde regler omkring kapitaldækning Investorerne har konkursprivilegium, hvis et institut går konkurs Finanstilsynet kan kræve restriktioner mod realkreditinstitutter, der ikke overholder reglerne Ved udstedelse af obligationer, får realkreditinstitutter pant i låntagerens faste ejendom, dvs. hvis låntager ikke opfylder låneforpligtelserne, kan realkreditinstitutterne sælge boligen på tvangsauktion. Ved at panten tinglyses, sikrer man sig imod dobbeltbelåning. Balanceprincippet medfører, at der er en én-til-én sammenhæng mellem de udstedte lån og solgte obligationer. Balanceprincippet sikrer, at de renter og afdrag som låntagerne betaler, stemmer overens med de renter og afdrag, som investorerne modtager. Endvidere sikrer dette princip, at realkreditinstitutterne udelukkende påtager sig kreditrisiko. Balanceprincippet muliggør, at låntager kan indfri lånet før tid ved at tilbagekøbe de udstedte obligationer til enten kurs pari eller markedskursen, hvilket vil blive beskrevet senere. Realkreditinstitutter skal overholde de lovbestemte grænser om maksimal belåning af en bolig. Denne grænse varierer for forskellige ejendomstyper. Hovedregelen for en privat bolig er, at man Side 5

kan belåne 80% af boligens værdi. Dette betyder, at det resterende beløb eksempelvis skal finansieres igennem et banklån. Realkreditinstitutter skal, af sikkerhedsmæssige årsager, som minimum have en solvensgrad på 8%. Institutterne skal have en basiskapital på 8% af deres risikovægtede aktiver. De risikovægtede aktiver dækker blandt andet over de udlån institutterne har. I 2011 var realkreditinstitutternes solvensgrad tilsammen på 18,87%(Finanstilsynet, 2011). 2.1.1 Lånetyper Der findes mange forskellige produkter indenfor realkredit. Nedenfor illustrerer figur 2.2 udviklingen af de fire lånetyper, som dominerer realkreditmarkedet. Det fremgår af figur 2.2, at de traditionelle fastforrentede obligationslån, også kaldet konverterbare obligationer, er blevet mindre og mindre eftertragtede fra 2007 og frem, hvilket er illustreret ved en klar faldende tendens. I 1996 blev rentetilpasningslånet, hvor de mest populære lån er F1-lån, indført. Disse lån er karakteriseret ved, at et 30-årige lån refinansieres ved udstedelse af 1-årige obligationer hvert år. Figuren nedenfor indikerer, at denne lånetype er blevet mere og mere populær, hvilket fremgår af en stigende tendens. En forklaring på udviklingen i konverterbare obligationer og rentetilpasningslån skyldes rentens udvikling. Udviklingen i spændet mellem den korte og den lange rente, er blevet større, og derved er rentetilpasningslånet blevet mere attraktivt(forelæsningsnoter, 2012). Derudover er der to andre lånetyper, nemlig det variabelt forrentede lån uden og med renteloft. Det variable lån uden renteloft er karakteriseret ved 30-års løbetid med en variabel rente. I 2006 kom de variabelt forrentede lån med renteloft, også kendt som rentegaranti obligationslån, disse er karakteriseret, at der aftales et maksimum for renten. Det variabelt forrentede lån uden og med renteloft udgør dog en mindre del af realkreditmarkedet, men har begge relative stabile kurver jf. figur 2.2. Side 6

Figur 2.2 Udviklingen i realkreditlån fordelt på typer 2000 1500 Mia. kr. 1000 500 0 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 År Rentetilpasningslån Variabelt forrentet obligationslån uden loft Variabelt forrentet obligationslån med loft Fast forrentet obligationslån Kilde: Nationalbanken.dk 2.2 Konverterbare obligationer Konverterbare lån er et fastforrentede lån, hvor ydelsen i hver periode er fastsat. Rente- og afdragsandelen af ydelsen er henholdsvis aftagende og stigende med løbetiden. Fastforrentede lån kan beskrives som et annuitetslån, hvor kuponrenten er fastsat ved obligationens udstedelse. Et annuitetslån kan forklares ud fra følgende ligninger(jensen, 2009): Y = RG! R 1 1 + R!! Ligning 2.1 RG! = RG!!! Y Ligning 2.2 R! = RG!!! R Ligning 2.3 Side 7

Z! = Y R! Ligning 2.4 Hvor Y er den konstante ydelse, RG t er restgælden i periode t, R er kuponrenten på lånet, R t er rentebetalingerne i periode t og Z t er afdragene i periode t. Summen af afdragene tilbagediskonteret med kuponrenten er den nominelle hovedstol. Et simpelt eksempel er illustreret nedenfor. Låntager ønsker at optage et realkreditlån på 1.000.000 kr. med en løbetid på tre år. Obligationerne bliver udstedt til kurs 97. Den nominelle hovedstol bliver således: RG! = 1.000.000 97 100 = 1.030.928 Derefter kan ydelsen beregnes ud fra ligning 1.1. Y = 1.030.928 0,05 (1 1,05!! = 378.566 Renterne og afdragene i år 1 kan beregnes ud fra henholdsvis ligning 2.3 og ligning 2.4. R! = 1.030.928 5% = 51.546 Z! = 378.566 51.546 = 327.019 Amortiseringen af lånet er vist i tabel 2.1 nedenfor. Her kan annuitetslånets karakteristika ses ved, at renternes andel er aftagende og afdragenes andel voksende. Tabel 2.1 Amortisering af lån År Restgæld Rente Afdrag Ydelse Restgæld ultimo 1 1.030.928 51.546 327.019 378.566 703.909 2 703.909 35.195 343.370 378.566 360.539 3 360.539 18.027 360.539 378.566 0 Forskellen mellem en konverterbar- og inkonverterbar obligation er konverteringsretten. En konverterbar obligation har en tilhørende call-option(martellini et al., 2003). Forskellen er beskrevet Side 8

ved ligning 2.5. Da optionen ikke kan være negativ, så er den konverterbare obligation altid lig med eller mindre end den inkonverterbare obligationsværdi, som vist i ligning 2.5. P!"# = P!"#$" V!"## Ligning 2.5 Låntagere med et konverterbart lån har altid mulighed for at indfri lånet til kurs pari før tid, hvilket især har værdi for låntager ved faldende renter. Ved indfrielsen til strike prisen, som højst kan være kurs pari, er restgælden dermed også en sikker størrelse for låntager i modsætning til den inkonverterbare obligation. Konverteringsoptionen er en amerikansk option, da låntager kan indfri optionen ved hver termin. Sammenhængen mellem de to obligationer er vist i figur 2.3 nedenfor. Figur 2.3 Sammenhæng mellem inkonverterbar og konverterbar obligationskurs 170 150 Kurs 130 110 90 70 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% 5,5% 6,0% Effektiv rente Inkonverterbar obligation Konverterbar obligation I figur 2.3 ses den sammenhæng som er beskrevet i ligning 2.5, hvor værdien af optionen stiger, da den kommer in-the-money (ITM). Desto dybere optionen kommer ITM, des større bliver sandsynligheden for konvertering. Derfor bliver afstanden mellem den inkonverterbare obligation og konverterbare obligation større. Ved kurser under 100 er optionens værdi lille, og derfor vil værdien af den konverterbare obligation og inkonverterbare obligation være sammenfaldende. De faktorer der spiller ind på optionsværdien, er volatilitet og tid til udløb, hvis en af disse faktorer Side 9

bliver større stiger værdien på optionen, da det vil give større sandsynlighed for, at optionen kommer ITM(Fabozzi, 2005). En grund til at den konverterbare obligation overstiger kurs 100 er, at ikke alle låntagere agerer rationelt, og at der er omkostninger ved at omlægge lånet. Fra investors synspunkt er kendskab til konverteringsadfærd derfor vigtig, da en indfrielse før tid bevirker mindre afkast fra investeringen. Det er optimalt for låntager at tilbagekøbe obligationerne, når nutidsværdien af de månedlige ydelser overstiger nutidsværdien af det nye lån(tuckman, 2012). For eksempel, en konverterbar obligation, der har kurs 105, vælger låntager at indfri, ved at tilbagekøbe obligationerne til kurs 100. Låntager opnår en kursgevinst på 5 kr. per obligation, hvoraf en del af gevinsten, 1 kr. per obligation, går til realkreditinstituttet i omlægningsomkostninger. Investor taber 5 kr. per obligation i forhold til markedskursen. Udover kursgevinsten får låntager en reduktion i den månedlige ydelse, som udregnes med en lavere kuponrente. Da det nye lån udstedes til under kurs 100, vil restgælden stige, under forudsætning af lånet optages til en lavere rente. I eksemplet er den asymmetriske afregning en fordel for investor, da låntager skal have dækket omlægningsomkostningerne, førend en konvertering er profitabel. Det mindsker sandsynligheden for konvertering, samt giver investor den højere ydelse i perioden indtil konvertering. Investor er eksponeret over for to risici i forbindelse med konvertering nemlig kursrisiko og den efterfølgende geninvesteringsrisiko. Kursrisiko indebærer, at investor er udsat for at kursen falder grundet rentefald, og låntager konverterer til kurs pari. Geninvesteringsrisiko betyder, at investor skal geninvestere beløbet fra de tilbagekøbte obligationer til en lavere rente(christensen, 2009). 2.3 Op- og nedkonvertering Den mest populære konvertering er i store træk beskrevet i afsnit 2.2, hvor låntager konverterer med formålet om geninvestering i obligationer med lavere kuponrenter. Sandsynligheden for tilbagekøb af obligationer er størst, når nutidsværdien af de fremtidige ydelser er større end det udestående beløb, der skal tilbagebetales. Der skal være en gevinst ved at konvertere til en lavere rente. Side 10

Den anden tilgang til konvertering kaldes opkonvertering, som kom til debat efter det lave renteniveau i 2005(Jakobsen & Hansen, 2006). En opkonvertering er lidt mere kompleks og spekulativ, da det er en flertrins aktion. Først skal renten stige, så låntager med et fastforrentet lån kan indfri lånet til markedskursen og få en kursgevinst, som kommer af udstedelseskursen fratrukket markedskursen. De nye obligationer er dermed udstedt til en højere rente, hvor restgælden er mindre, men ydelsen er blevet højere på grund af renten. Derefter skal låntager håbe på, at der kommer et fald i renten til niveauet før opkonverteringen eller lavere, for at det er profitabelt(jakobsen & Hansen, 2006). Dette er selvfølgelig meget spekulativt; for hvor meget skal renten stige og derefter falde for, at det er profitabelt? Forskellen fra nedkonvertering er, at man ved opkonvertering benytter muligheden for at score en større kursgevinst. Dette skulle i sidste ende give en lavere restgæld og lavere rente end før konverteringen. Side 11

3 Nulkuponrente Til prisfastsættelse af konverterbare obligationer er rentekurven et essentiel input, da denne benyttes til at tilbagediskontere obligationens cash flow. Rentekurven estimeres ud fra den nuværende nulkuponrentekurve kombineret med et estimat af volatiliteten i renten, hermed skabes forskellige forløb for den fremtidige korte rente. Til prisfastsættelsen af konverterbare obligationer kræves nulkuponobligationer og den tilhørende nulkuponrente gældende fra tid 0 til tid t. I de følgende afsnit vil nulkuponrentekurven estimeres på baggrund af observerede swaprenter ved brug af Nelson Siegel metoden. 3.1 Nulkuponobligation En nulkuponobligation er et stående lån, som ikke bærer rentebetalinger. Betalingsrækken på obligationen består, udover initialbetalingen, udelukkende af en betaling på udløbstidspunktet(jensen, 2009). For en investor betyder det, at afkastet opnås igennem den kursgevinst, som opstår ved, at nulkuponobligationen udstedes til under kurs 100. I Danmark eksisterer nulkuponobligationer ikke med samme løbetid som konverterbare obligationer. I Danmark er eneste nulkuponobligation skatkammerbeviser(jensen, 2009), som sælges ved auktioner af nationalbanken. Skatkammerbeviser har en løbetid på mellem 3 og 12 måneder, og kan derfor ikke anvendes i denne opgave(børsen, 2012). 3.1.1 Rentekurve Da udbuddet af nulkuponobligationer i Danmark er begrænset, og derfor ikke er brugbare i denne opgave, benyttes kuponbærerende obligationer i stedet til at skabe nulkuponrentekurven. Rentekurven kan findes ved hjælp af direkte eller indirekte metoder(martellini et al., 2003). Bootstrapping er en direkte metode, som fremstiller nulkuponrentekurven kunstigt ud fra eksisterende markedsdata. Metoden bygger på, at der skal bruges lige så mange obligationer som betalingstidspunkter, hvilket kræver n ligninger med n-ubekendte(martellini et al., 2003). Dette er en iterativ fremgangsmåde, hvor de beregnede spot renter bruges til at beregne næste periodes ubekendte spot rente. Derved får man en kurve, hvor punkterne for hver termin skal forbindes, hvilket muligvis skaber en ujævn kurve. Til prisfastsættelsen af en 30 årig konverterbar obligation Side 12

vil det derfor kræve 30 obligationer med forskellig løbetid, en for hvert år, da der anvendes en terminsdag per år. Der er udviklet mere praktiske alternativer nemlig de indirekte metoder. Disse indirekte metoder forsøger at fitte markedsdata til en rentekurve(martellini et al., 2003). Cubic spline er en indirekte metode, der tager udgangspunkt i, at rentestrukturen kan beskrives ved et polynomium. Ved denne metode inddeles rentestrukturen i forskellige intervaller afhængig af obligationens løbetid, f.eks. mindre end 4 år, 4-8 år, 8-12 år og over 12 år. Herefter kædes de enkelte intervaller sammen(anderson et al., 1996). For at sikre at samlingspunkterne mellem de forskellige rentekurver bliver kontinuerlige, er der indlagt restriktioner i de individuelle rentestrukturkurver. En opdeling i intervaller på løbetiden giver en mere nuanceret rentestruktur end den direkte metode(christensen, 2009). Et alternativ til cubic spline metoden er Nelson Siegel metoden. Denne metode forsøger at fitte rentekurven til markedsdata. Metoden er fleksibel og tager højde for pukler og S-former. Ud fra nedenstående ligning skal fire ukendte parametre bestemmes, så r(m) fitter de kuponbærende obligationers rente(nelson & Siegel, 1987). r(m) = β! + β! e!!!! + β! m τ!!! e!! Ligning 3.1 I ligning 3.1 angiver Beta 0 den lange rente, Beta 1 spredningen mellem den lange og korte rente og Beta 2 angiver krumningen på rentekurven. Da Beta 0 er konstant, vil kurven bevæge sig mod denne værdi. Leddet e (!!!! ) er designet som den komponent, der forklarer Beta 1 s betydning, som værende spredningen mellem den lange og korte rente(nelson & Siegel, 1987). Denne komponent starter ved 1, og bevæger sig mod nul, hvor det er tau s værdi, der bestemmer, hvor hurtigt faldet er. Beta 0 og Beta 1 angiver den korte rente. Tau angiver tidspunktet, hvor den estimerede rentekurve opnår den maksimale værdi(pooter, 2007). Leddet!!! e!! forklarer krumningen på den!! estimerede rentekurve. Den starter i 0, hvorefter den er stigende, når rentekurven har nået sit maksimum, vil værdien være aftagende. Side 13

Efterfølgende er modellen blevet udvidet af Svensson (1994). Den udvidede Nelson Siegel metode giver mere fleksibilitet til den korte rente først i forløbet. I denne model tilføjes en ekstra Beta og Tau parameter, som giver fleksibiliteten(martellini et al., 2003). Ifølge Svensson (1994) giver den oprindelige Nelson Siegel metode i de fleste tilfælde et tilfredsstillende fit. I denne afhandling vil Nelson Siegel metoden anvendes. Der er klare fordele ved modellen. For det første estimerer Nelson Siegel metoden en rentekurve ved at benytte få parametre sammenlignet med cubic spline metoden. Derudover skal der ikke antages antal delsegmenter og deres størrelse. En anden begrundelse er, at det ud fra de estimerede værdier er muligt at observere relationen og sammenhængen mellem de forklarende variabler. 3.1.2 Kuponbærende obligationer Til at skabe nulkuponrentekurven kan, som nævnt tidligere, kuponbærende obligationer benyttes. De kuponbærerende obligationer som benyttes, skal indeholde samme kredit- og likviditetsrisiko som realkreditobligationer. Kreditrisiko dækker over den præmie, investor kræver for at påtage sig risikoen for at miste dele eller hele sin investering. En likvid obligationsserie sikrer investors mulighed for at kunne frasælge sine obligationer hurtigt til en fair pris(christensen, 2009). I en likvid obligationsserie kræver en investor derfor ikke en særlig høj likviditetspræmie. Både renteswaps og statsobligationer kan benyttes som kuponbærende obligationer. Der eksisterer både et likvidt marked for renteswaps og statsobligationer. Kreditrisikoen i statsobligationer er meget lille, derfor er det nødvendigt at tillægge et spread, hvis de benyttes til prisfastsættelsen. Dette kreditrisiko tillæg er vanskelig at estimere(christensen, 2009). Renteswaps indeholder imidlertid kreditrisiko, da der er en risiko for, at låntager ikke kan tilbagebetale sit lån. Denne afhandling vil derfor benytte renteswaps til at estimere nulkuponrente kurven. 3.1.3 Renteswap En swap kontrakt er en aftale om at bytte cash flow. Der findes forskellige former af swaps. Et standard renteswap kaldes et plain vanilla renteswap, og er en aftale om at bytte rentebetalinger. Et plain vanilla payer renteswap er en aftale om at betale fast og modtage variabel rente en illustration heraf er vist i figur 3.1. Ved indgåelse af et plain vanilla payer renteswap aftales en fiktiv Side 14

hovedstol som rentebetalingerne udregnes af. Udveksling heraf sker imidlertid ikke, da det blot ville være at bytte ens beløb(jensen, 2009). Figur 3.1 Illustration af plain vanilla payer renteswap Fast rente Variabel rente Part A Variabel rente Part B Kilde: Inspiration fra Hull, 2012 Swappet består af to ben; et fast ben hvor rentebetalingerne er afhængig af en fast rente, samt et variabelt ben der er afhængig af en variabel rente. Betalingen af hvert ben sker på fastsatte dage. Den variable rente følger typisk IBOR renterne, f.eks. Copenhagen Interbank Offered Rate (CIBOR) eller London Interbank Offered Rate (LIBOR)(Jensen, 2009). Det variable bens betaling er for hver periode fastsat i begyndelsen, hvilket vil sige, at den første rentebetaling af swappet er kendt i forvejen af begge parter. På trods af begge parter betaler og modtager betalinger er det kun differencen mellem det faste og variable ben, der udveksles. For at swap kontrakten er fair for begge parter har begge ben ved indgåelsen af swappet den samme værdi, hvilket betyder at swap kontrakten har en værdi af nul. Værdien af swappet er efterfølgende afhængig af udviklingen i renten. Ligning 3.2 viser, med årlige betalinger, at værdien af et payer renteswap kan opfattes som en lang position i en variabel forrentet obligation samt en kort position i en fastforrentet obligation(jensen, 2009). V!"#$ = S!"# S!"#$ Ligning 3.2 Betalingen af det variable ben afhænger af markedsrenten. Nutidsværdien af det variable ben er rentebetalingerne, som er bestemt af markedsrenten, diskonteret med markedsrenten derfor vil prisen på det variable ben på hver fastsættelses dag være lig kurs pari(jensen, 2009). Da den faste rente er kendt ved aftalens indgåelse, kan rentekurven beregnes sådan, at den fastforrentede obligation prisfastsættes til kurs pari. Side 15

3.2 Estimering af nulkuponrentekurven Renteswapkurven estimeres ved Nelson Siegel metoden. Denne swapkurve omregnes til nulkuponrentekurven, som senere anvendes til at skabe rentestrukturen. Beregningerne foretaget kan findes i Excel-arket NS Swaprente. Data til estimering er plain vanilla renteswaps, hentet fra Nordea Analytics. Der er indhentet data den 25/01-2013 for 15 plain vanilla renteswap med løbetid fra 1-30 år. Det antages, at der er en årlig betalingsdag på det faste og variable ben. Tabel 3.1 Data for renteswaps Swap Fast Swap-rente DKK Swap 1Y 0,49% DKK Swap 2Y 0,83% DKK Swap 3Y 0,97% DKK Swap 4Y 1,13% DKK Swap 5Y 1,29% DKK Swap 6Y 1,47% DKK Swap 7Y 1,63% DKK Swap 8Y 1,78% DKK Swap 9Y 1,91% DKK Swap 10Y 2,02% DKK Swap 12Y 2,20% DKK Swap 15Y 2,38% DKK Swap 20Y 2,48% DKK Swap 25Y 2,50% DKK Swap 30Y 2,49% Kilde: Nordea Analytics For at estimere swapkurven er problemløser funktionen i Excel benyttet. De fire Nelson Siegel parametre bestemmes ud fra ovenstående data ved hjælp af mindste kvadraters metode. Dette mindsker forskellen mellem de observerede swaprenter og renterne regnet via Nelson Siegel formlen. De fire Nelson Siegel parametre som bedst fitter de 15 observerede swaprenter er illustreret i tabel 3.2. Side 16

Tabel 3.2 Estimerede betaparametre β0 β1 β2 τ NS Parametre 0,000078 0,002585 0,066252 24,070371 Som tidligere nævnt er Beta 0 et estimat af den lange rente. Estimeringen af Beta 0 er ikke god, da den lange rente ifølge estimatet blot vil blive 0,008%. Havde der været behov for at estimere den lange rente længere end 30 år, ville denne være gående mod 0,008%. Da Beta 2 indikerer spændet mellem den korte og lange rente, bliver den korte rente jf. beta estimaterne, 0,267%. Rentekurven når sit maksimum efter 24 år, hvilket Tau forklarer. De fire estimerede Nelson Siegel parametre benyttes derefter til at udregne renten for 30 perioder. Ved at benytte diskonteringsfaktoren kan Nelson Siegel renten omregnes til en nulkuponrente. Diskonteringsfaktoren findes ved hjælp af følgende ligning(tuckman, 2012): Hovedstol Hovedstol + NS rente! = DF! Ligning 3.3 NS rente! DF! + Hovedstol Hovedstol + NS rente! = DF! Ligning 3.4 Hvor NS renten er den udregnede Nelson Siegel rente. Udregningen er en iterativ proces, som udregnes for alle obligationer med udløb fra år 1-30. Når diskonteringsfaktoren er kendt, er det muligt at udregne spot renten for hver enkel nulkuponobligation(tuckman, 2012). Spot rate! = 1 DF!!!ø!"#$% 1 Ligning 3.5 Hvor spot renten i periode i udregnes ud fra diskonteringsfaktoren i periode i og løbetiden. Ved at kende spot renten kan værdien for en obligation findes i tidspunkt 0, ved at sætte prisen ved udløb lig 100, og tilbagediskontere prisen i hver knude. Resultatet af beregningerne for nulkuponrentestrukturen er vist i figur 3.2 Side 17

Figur 3.2 Estimeret nulkuponrentekurve 3,0% Nulkuponrente 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Løbetid Fra figur 3.2 ses det, at renten stiger indtil omkring 22 års løbetid, hvorefter renten er faldende. 3.3 Delkonklusion I dette afsnit er nulkuponrentekurven estimeret. Da der i Danmark ikke er nulkuponobligationer med samme løbetid som konverterbare obligationer, er swaprenter benyttet. Swaprenterne er observeret i markedet, hvorefter Nelson Siegel metoden er blevet benyttet for at skabe en renteswapkurve. Derefter er Nelson Siegel renterne omregnet til en nulkuponrentekurve, som kan benyttes til at skabe rentestrukturen. Side 18

4 Rentestrukturmodel Til prisfastsættelsen af konverterbare obligationer skal cash flowet fra disse tilbagediskonteres med en passende rente. For at finde denne renteudvikling over tid bruges en rentestrukturmodel. Der er udviklet forskellige modeller til estimeringen af rentestrukturen. Merton s (1973) model og Vasicek s (1977) model er nogle af de første forsøg på at skabe en model til estimering af rentestrukturen. Begge er en-faktor modeller, der betragter rentestrukturen som en funktion af en variabel(martellini et al., 2003). Denne ene variabel er den korte rente. Forskellen mellem de to modeller er den korte rentestrukturs dynamik. En af manglerne ved disse en-faktor modeller er, at de ikke giver fleksibilitet til at fange forskellige variationer af rentekurvens form. Endvidere giver Merton s (1973) og Vasicek s (1977) modeller sandsynlighed for en negativ rente. For at kompensere for disse mangler er multifaktor modeller udviklet. I multifaktor modeller specificeres dynamikker for flere rente variabler, for eksempel den korte rentestruktur, volatiliteten og et gennemsnit for den korte rente. Dette gøres blandt andet i Fong og Vasicek s (1991) model(martellini et al., 2003). En populær model til estimering af rentestrukturen er binomialtræ modellen. I denne model kan renten i hver periode med en bestemt sandsynlighed, enten bevæge sig op eller ned med en bestemt faktor. Dermed skabes et rentegitter. I det følgende afsnit vil denne model blive forklaret. 4.1 Binomialtræ modellen Til at fastlægge rentestrukturen benyttes binomialtræ modellen ofte. I binomialtræ modellen implementeret af Black, Derman og Toy (1990), BDT-modellen, antages den korte rente at være lognormal fordelte. Ideen bag binomialtræ modellen er at hvis den nuværende korte rente kendes, kan den korte rente for næste periode beregnes ud fra ideen, at der i hver periode er to mulige udfald (r 1,1 og r 1,0 ) med hver sin sandsynlighed (p og (1-p)). Den efterfølgende periode følger samme princip, hvilket vil give 4 mulige udfald af den korte rente i periode 2. Generelt kan den korte rente tage 2 i værdier i periode i. Dette betegnes som det ikke-rekombinerede rentetræ. At prisfastsætte en 30 årig konverterbar obligation i et ikke-rekombineret rentetræ vil være meget krævende, da renten i år 30, Side 19

under antagelsen om årlige betalinger, kan tage over en milliard værdier, ved halvårlige eller kvartalvise betalinger vil tallet være endnu større(martellini et al., 2003). I det rekombinerede rentetræ fører en op-ned bevægelse til samme rente som en ned-op bevægelse, hvilket vil reducere antallet af udfald markant. I periode 2 vil den korte rente i dette træ føre til 3 udfald mod 4 i de ikke-rekombinerede rentetræ. Generelt kan den korte rente i det rekombinerede træ tage i+1 værdier i periode i, hvilket mindsker antallet af udfald der skal estimeres til prisfastsættelse af en 30 årig obligation markant. Figur 4.1 illustrerer et rekombineret rentetræ. Figur 4.1 Rekombineret binomialtræ Kilde: Inspireret af Martellini et al. 2003 I rentegitteret noteres hvert punkt med (i,j), hvor i angiver hvilken periode man befinder sig i, og j angiver hvilken tilstand man er i. Ved at kalibrere rentetræet til den tidligere estimerede nulkuponrentestruktur sikres et arbitrage-fri rentetræ(martellini et al., 2003). Rentetræet bestemmes ud fra nulkuponobligationer. Det er en iterativ proces, hvor den korte rente for periode 1 bestemmes ud fra en 2 årig nulkuponobligation prisfastsat til kurs pari. Herefter kan den korte rente næste periode bestemmes ud fra en 3 årig nulkuponobligation og så videre. Da nulkuponobligationens pris, som nævnt, er kendt ved udløb, kan denne pris tilbagediskonteres i rentegitteret. Dette gøres ved hjælp af følgende ligning. Side 20

P!,! = q P!!!,!!! + 1 q P!!!,! (1 + r!,! ) Ligning 4.1 Hvor prisen på obligationen i punkt (i,j) udregnes ved at tilbagediskontere prisen for en op- og en ned bevægelse i den kommende periode med renten r i,j. I ligning 4.1 angiver (q og (1-q)) sandsynligheden for henholdsvis en op- og en ned bevægelse. Dermed kan renten i periode i udregnes ved at benytte nulkuponobligationen med udløb i år n+1. Sammenhængen mellem størrelsen på op- og ned bevægelserne i den korte rente, udregnes ud fra ligning 4.2(Martellini et al., 2003). r!,! = r!,! e!!! Ligning 4.2 Hvor op- og nedbevægelsernes størrelse bestemmes ved hjælp af volatiliteten, angivet ved σ. Denne ligning sikrer ligeledes, at der skabes et rekombineret rentetræ, altså at en op-ned bevægelse er det samme som en ned-op bevægelse. En svaghed ved binomialtræ modellen er at den ikke tager højde for at renten har tendens til at bevæge sig mod en gennemsnitlig værdi(martellini et al., 2003). I modellen er sandsynligheden for at en stigning/fald forekommer konstant, uafhængig af udviklingen i tidligere perioder. Derved opnås både ekstrem høje og lave renter, da renterne stiger/falder eksponentielt. I afhandlingen vil rentestrukturen beskrives ved hjælp af det rekombinerede binomial rentetræ. Dette gøres da modellen kombinerer den nuværende nulkuponrentestruktur og volatiliteten, og gør det derved muligt at prisfastsætte rentefølsomme værdipapirer. 4.2 Volatilitet I afsnit 4.1 blev volatiliteten præsenteret som en væsentlig faktor i ændringerne i den korte rente. Volatiliteten er et udtryk for usikkerheden omkring størrelsen af renten, og er defineret som standard afvigelsen. Der findes forskellige metoder til estimering af volatiliteten, heriblandt implicit volatilitet og historisk volatilitet. Disse vil i det følgende blive gennemgået. Side 21

4.2.1 Implicit volatilitet Den fremtidige rentevolatilitet bliver handlet i optionsmarkedet hver dag, hvorfor et udgangspunkt for et rentevolatilitets forecast vil være det, der kan observeres i markedet. En options pris er en funktion af volatiliteten, hvilket betyder, at hvis optionsprisen er kendt kan den implicitte volatilitet udledes(pedersen, 1996). Til at udlede volatiliteten skal en optionsprisfastsættelses model benyttes, f.eks. Black-Scholes formelen. På baggrund af de udregnede priser kan de enkelte renteoptioners implicitte volatilitet findes(pedersen, 1996). Den implicitte volatilitet af renten kan beregnes på baggrund af swaptioner. 4.2.2 Historisk volatilitet Den historiske volatilitet er lettere at beregne, da den udregnes på baggrund af observerede markedsdata. Denne metode til forecasting antager, at rentevolatiliteten er stabil over tid, hvilket gør at, det bedste bud på den fremtidige volatilitet er den historiske volatilitet(pedersen, 1996). Det er svært at bestemme en passende datamængde(hull, 2012). Generelt leder mere data til bedre estimat. På den anden side ændres standardafvigelsen over tid, og data kan blive for gammelt til at være relevant for estimeringen af fremtidens volatilitet(hull, 2012). Den historiske volatilitet kan udregnes på baggrund af swaprenter. Estimeringen af volatiliteten kan udregnes som standardafvigelsen af logaritmen til nulkuponrentens afkast. Første skridt i estimeringen er at udregne denne logaritme(hull, 2012): u! = ln S! S!!! for i = 1,2,., n Ligning 4.3 Hvor S i er swaprenten for tidspunkt i, og S i-1 er renten for det forgående tidspunkt. Dernæst skal standardafvigelsen af u i, udregnes(hull, 2012): s = 1 n 1!! u!!!! 1 n(n 1)! u!!!!! Ligning 4.4 Hvor variablen s angiver standard afvigelsen per dag. For at udregne standard afvigelsen per år ganges estimatet per dag med kvadratroden af antal handelsdage per år. Side 22

Nærværende afhandling vil benytte den historiske volatilitet. På baggrund af den simple beregningsmetode, vil den benyttes. Det er vurderet at denne udregning vil give tilstrækkelig indsigt i volatilitetens størrelse, som kan benyttes i udarbejdelsen af rentestrukturen. 4.3 Estimering af rentestrukturen I det følgende afsnit vil estimeringen af rentestrukturen blive gennemgået. I opgaven antages en fiktiv hovedstol på 100 samt årlige betalinger. Beregningerne foretaget kan findes i Excel-arkene NS Swaprente og Rentetræ. Før estimeringen af binomialtræet kan ske, skal prisen på nulkuponobligationen bestemmes i tidspunkt 0. For at udregne 0-prisen benyttes de tidligere beregnede diskonteringsfaktorer og spot renten for nulkuponobligationerne. Ud fra diskonteringsfaktoren og spot renten, udregnes prisen på obligationen i år 0 ud fra ligning 4.5. 0 Pris = Hovedstol 1 + Spot rate!!ø!"#$% Ligning 4.5 Tabel 4.1 Resultater for diskonteringsfaktoren, spot renten og 0-prisen for de første fire år Løbetid DF Spot rente 0-Pris 1 0,9948 0,52% 99,48 2 0,9851 0,75% 98,51 3 0,9715 0,97% 97,15 4 0,9547 1,17% 95,47 Før rentegitteret kan skabes, skal volatiliteten bestemmes. Volatiliteten vil blive udregnet ud fra renten på et 2 årigt fast renteswap. Data er indhentet fra Nationalbankens statistikbank. Der er indhentet swaprenter fra 01/10-2008 til 08/02-2013 hvilket resulterer i n=1090. Tabel 4.2 Input til udregning af volatiliteten n Σ u i 2 Σ u i 1090 1,8208 0,6731 Side 23

s = 0,6731 1089 1,8208! 1090 1089 = 0,0248 De indhentede data giver en standard afvigelse per dag på 2,48%. Med en antagelse om 252 handelsdage per år giver det en årlig standard afvigelse på 39,46%. I forhold til den videre brug af volatiliteten til bestemmelse af udviklingen i renten, er den meget høj, hvilket resulterer i knudepunkter i binomialtræet med meget høje renter ved mange opbevægelser i rentetræet. Den historiske volatilitet udregner relative ændringer i renten, da renten har været meget lav i perioden dataen er hentet, bliver små absolutte ændringer i renten til store relative ændringer. Dette bevirker, at den estimerede historiske volatilitet er meget høj. Endvidere er volatiliteten aftagende over tid, så antagelsen som den historiske volatilitet bygger på, at den er konstant over tid, er urealistisk. På baggrund heraf antages volatiliteten at være på 20%, da dette menes at være et mere realistisk estimat på en konstant volatilitet på en 30 årig tidshorisont. Når 0-prisen for alle obligationer med udløb op til år 30, og volatiliteten er bestemt, kan konstruktionen af rentetræet foretages. Som tidligere nævnt er det en iterativ proces, hvor renten bestemmes ved hjælp af Excel funktionen målsøgning, dermed sikres sammenhæng mellem rentetræet og nulkuponobligationspriserne. I opgaven anvendes samme størrelse på en op- og en nedbevægelse, q = 0,5. Renten bestemmes således, at tilbagediskonteringen af prisen ved udløb passer med den udregnede 0-pris. Den ubekendte ved udregning er renten i knudepunkt (i,0). Renten ved opbevægelser bestemmes ud fra ligning 4.2. Størrelsen af volatiliteten på 20% bestemmer størrelsen på op- og nedbevægelserne. Der vil være en konstant sammenhæng mellem renterne på tidspunkt i. Sammenhængen findes som r(i,j+1)/r(i,j)(black et al., 1990). Forholdet bliver med den fastsatte volatilitet 1,49. Resultatet for den korte rente fra tidspunkt 0 til tidspunkt 4 ses i tabel 4.3. Side 24

Tabel 4.3 En-periode rentestruktur for de første fire år Tid 0 1 2 3 4 r0 0,52% r1,1 1,18% r2,2 2,01% r3,3 3,03% r4,4 4,29% r1,0 0,79% r2,1 1,35% r3,2 2,03% r4,3 2,88% r2,0 0,90% r3,1 1,36% r4,2 1,93% r3,0 0,91% r4,1 1,29% r4,0 0,87% Det bemærkes, at niveauet for renten i tidspunkt 1, både i op- og nedtilstanden, er større end renten i tidspunkt 0. Dette er en konsekvens af at renten er så lav at markedet forventer en stigning. Det samme er tilfældet i punkt (2,0) og (2,1) samt (3,0) og (3,1). Derfra og frem fører en nedbevægelse til en lavere rente. Den estimerede rentestruktur benyttes i den senere prisfastsættelse. 4.4 Delkonklusion I dette afsnit er binomialtræet konstrueret på baggrund af nulkuponrentekurven og volatiliteten. Til at konstruere binomialtræet er den historiske volatilitet brugt. På grund af det lave renteniveau bliver den relative ændring i renten stor, derved bliver den beregnede volatilitet meget stor. Volatiliteten antages derfor at være 20%, som benyttes til udregningerne. Renterne, som er vist i tabel 4.3 vil benyttes i den senere prisfastsættelse af de konverterbare obligationer. Side 25

5 Konverteringsadfærd Til at prisfastsætte en konverterbar obligation kræves viden om låntagers konverteringsadfærd. Konverteringsretten på en realkreditobligation er en reel mulighed for låntager og en reel trussel for investor. I takt med renten falder, stiger sandsynligheden for at låntager udnytter sin konverteringsmulighed. Hvis det ikke var muligt at konvertere, ville prisfastsættelsen være let at analysere. Antallet af konverteringer har betydning for det cash flow, som investor modtager. Ved konvertering refinansierer låntager sit lån. Et afgørende motiv ved konvertering er at reducere omkostninger forbundet med lånet. Besparelsen opstår ved, at renten ved optagelse af et nyt lån falder tilstrækkeligt i forhold til det eksisterende låns rente, dermed opnås en lavere nutidsværdi af lånet. I det følgende vil konverteringsraten som angiver andelen af de tilbageværende låntagere, som på en given termin vælger at indfri deres lån til kurs pari, forklares ud fra rationel eller optimal konverteringsadfærd og gevinstkrav modellen. Medmindre andet er angivet, vil afsnit 5.1 og 5.2 som udgangspunkt tage afsæt i Svend Jakobsen 1992b. 5.1 Optimal konverteringsadfærd Som tidligere nævnt kan låntager, med et konverterbart lån, betragtes som indehaver af en inkonverterbar obligation plus en amerikansk call option, som giver retten til at tilbagekøbe hele lånet til kurs pari. For at simplificere beregningerne i opgaven, kan denne option kun udnyttes lige inden terminsdagen. Optimal konverteringsadfærd kan betragtes som standard options teori, hvor låntager følger en værdi-minimerende strategi. Her udnytter låntager tilbagekøbsretten, når værdien af den inkonverterbare obligation minus værdien af call optionen er større end exerciseprisen, vist ved ligning 5.1. P!"# V!"## > 100 + omk Ligning 5.1 Side 26