Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold 1 Introduktion 1 1.1 Om at læse matematiske symboler........... 1 2 Matematisk grammatik 2 2.1 Udtryk.......................... 3 2.2 Operationer....................... 3 2.3 Relationer........................ 3 2.4 Konjunktioner...................... 4 3 Udtryk 5 4 Operationer 7 5 Relationer 9 6 Konjunktioner og andre logiske forkortelser 11
Resumé Dette dokument er en oversigt over nogle af de symboler der anvendes i matematik og deres betydning. 1 Introduktion På de følgende sider kan du finde en oversigt over nogle af de matematiske symboler og deres betydninger og anvendelser. Oversigten er lavet som en slags ordbog, og den bør også bruges på den måde: Hav den altid i nærheden når du læser andre tekster, og brug den hver gang du støder på et symbol du ikke er sikker på betydningen af. Ud for hvert symbol er der angivet hvordan symbolet skal læses, hvilen sammenhæng det normalt optræder i samt et eksempel på anvendelse af det. 1.1 Om at læse matematiske symboler Det er altid frustrerende at lære et nyt sprog, fordi man hele tiden støder på ord som man ikke har lært eller ikke kan huske betydningen af. Det betyder at man læser ekstremt langsomt i starten og hele tiden skal slå op i sin ordbog. I mange tilfælde kan man dog, ved hjælp af lidt detektivarbejde, gætte et ords betydning ud fra den sammenhæng det indgår i. Det sparer en masse tid, og giver samtidigt en fantastisk støtte når man læser, fordi man hele tiden kan kontrollere sig selv ved at tjekke at sammenhængen passer sammen med den betydning man tillægger ordet. Her er et eksempel på polsk: Muszȩ iść na dworzec po bilety Hvis du får at vide at Muszȩ betyder Jeg skal, iść betyder gå, na betyder til og po betyder efter, så ved du også hvad resten af sætningen betyder. Hvorfor egentlig det? side 1
For det første kan dworzec under ingen omstændigheder betyde tredive, at flyve eller forelsket. Det ville ganske enkelt ikke passe ind i sammenhængen. Derimod er der nok stor sandsynlighed for at det betyder et eller andet sted, hvor man kan gå hen. Hvis man så samtidigt er lidt modig og gætter på betydningen af bilety, er der ikke ret langt til betydningen af sætningen. Selvfølgelig er man på et tidspunkt nødt til at kontrollere at man har gættet rigtigt. Især hvis den præcise betydningen er vigtig. Men i første omgang har man altså forstået den overordnede mening med sætningen, uden at kende alle ordene. Præcis det samme gør sig gældende i matematik. Når du ser et symbol du ikke kender, skal du derfor altid starte med at få så meget information ud af den grammatiske sammenhæng som det indgår i. Det kan hjælpe at stille følgende spørgsmål: Står symbolet alene? Står det foran, bagved eller måske på begge sider af et enkelt objekt? Eller står det mellem to objekter? Hvis symbolet står sammen med et eller flere objekter, er disse objekter så mængder, tal, funktioner, udsagn eller noget andet? Hvis symbolet indgår i en større helhed, er denne helhed så et udsagn eller et udtryk? Alle disse spørgsmål kan som regel besvares uden at kende symbolets betydning, og de vil helt sikkert hjælpe dig i retning af at forstå symbolet. Nogle gange er det ligefrem nødvendigt at se på den sammenhæng et symbol indgår i for at vide hvad det betyder. For eksempel betyder symbolet noget helt forskelligt alt efter som det står mellem to udsagn inde i en mængdeparentes, eller det står mellem to hele tal. 2 Matematisk grammatik Eftersom de matematiske symboler er svære at opstille alfabetisk, har vi i denne ordbog opdelt dem efter deres grammatiske klasse. Ligeside 2
som ethvert andet sprog består af udsagnsord, navneord, forholdsord o.s.v. har matematik forskellige typer ord. Disse typer er kort gennemgået i dette afsnit. 2.1 Udtryk Udtrykkene fungerer præcis lige som navneordene i andre sprog. Det er de objekter som vi snakker om, undersøger og beskriver. Et udtryk kan både bestå af et enkelt symbol (f.eks. N) eller være sammensat af adskillige andre udtryk (f.eks. x 2 + 2x y). Langt de fleste udtryk bliver defineret undervejs i matematiske tekster, og kan let skifte betydning fra situation til situation. (Tænk f.eks. på hvor mange forskellige ting x kan betyde.) Der er dog enkelte faste udtryk som altid betyder det samme, og det er et udpluk af disse som er samlet i den første liste nedenfor. 2.2 Operationer Operationer bliver brugt til at forme nye, sammensatte udtryk ud fra gamle udtryk. En operation udtrykker altid at der er gjort noget ved et eller flere udtryk, hvorved der er fremkommet et nyt. For eksempel, består udtrykket: x + y af to mindre udtryk (nemlig x og y) og en operation, som er udført på dem (nemlig at de er blevet lagt sammen). Dette resulterer i et nyt udtryk der læses som summen af x og y. En operation vil altid stå mellem, rundt om eller sammen med et eller flere udtryk, og den vil altid danne et nyt, samlet udtryk. 2.3 Relationer Relationer i matematik er det samme som i alle andre sprog. Det er de udsagnsord som udtrykker hvad en ting har med en anden ting (eller side 3
flere andre ting) at gøre. I hverdagssprog har vi masser af eksempler på relationer. F.eks. at gå i klasse med at holde af at sidde på at være i familie med En relation står næsten altid mellem to udtryk, og den vil altid danne et udsagn. 2.4 Konjunktioner Konjunktioner eller bindeord forekommer i matematik på præcis samme måde som i andre sprog. Det er de ord, som binder udsagn sammen. Nogle eksempler fra hverdagssprog, der også forekommer i matematik er: og som i: Toget var forsinket, og jeg blev irriteret. men som i: Toget var forsinket, men jeg nåede alligevel frem til tiden. fordi som i: Toget var forsinket fordi personalet strejkede. eller som i: Toget var forsinket eller også var mit ur foran. derfor som i: Toget var forsinket, og derfor blev jeg irriteret. hvis - så som i: Hvis toget var forsinket, så ville jeg blive irriteret. En konjunktion står næsten altid mellem to udsagn, og den vil altid danne et udsagn. side 4
3 Udtryk Læses som: De naturlige tal N Anvendes: Selvstændigt N er en mængde Læses som: De hele tal Z Anvendes: Selvstændigt Læses som: De rationelle tal Q Anvendes: Selvstændigt Læses som: De reelle tal R Anvendes: Selvstændigt Læses som: De positive reelle tal R + Anvendes: Selvstændigt Læses som: De negative reelle tal R Anvendes: Selvstændigt Læses som: De komplekse tal C Anvendes: Selvstændigt Læses som: Den tomme mængde Anvendes: Selvstændigt Læses som: Mængden bestående af { } Anvendes: Rundt om elementerne {1, 2, π} Læses som: Det lukkede interval [ ] Anvendes: Rundt om endepunkterne [2, 7] side 5
Læses som: Det åbne interval ] [ Anvendes: Rundt om endepunkterne ]2, 7[ Læses som: Uendelig Anvendes: Selvstændigt [3, [ Læses som: Det todimensionelle koordinatsystem R 2 Anvendes: Selvstændigt Læses som: Det tredimensionelle koordinatsystem R 3 Anvendes: Selvstændigt side 6
4 Operationer Læses som: Plus + Anvendes: Mellem to udtryk x + 8 Læses som: Minus Anvendes: Mellem to udtryk x 8 Læses som: Gange Anvendes: Mellem to udtryk 8 x Læses som: Divideret med () Anvendes: Med et udtryk i hver af parenteserne () x 8 Læses som: Opløftet i () () Anvendes: Med et udtryk i hver af parenteserne x 8 Læses som: Summen af Anvendes: Foran et indekseret udtryk k 2 6 Læses som: Anvendes: k=1 Produktet af Foran et indekseret udtryk 6 k k=1 Læses som: Forenet med Anvendes: Mellem to mængder A N Læses som: Snittet med Anvendes: Mellem to mængder B Q side 7
Læses som: Fraregnet \ Anvendes: Mellem to mængder Z \ N Læses som: Nummerisk værdi Anvendes: Rundt om et tal x + 1 Læses som: Afstanden mellem Anvendes: Rundt om to punkter AB Læses som: Længden af Anvendes: Rundt om en vektor v Læses som: Sammensat med Anvendes: Mellem to funktioner f g Læses som: Prikproduktet Anvendes: Mellem to vektorer a b Læses som: Krydsproduktet Anvendes: Mellem to tredimensionelle vektorer a b side 8
5 Relationer Læses som: Er lig med = Anvendes: Mellem to udtryk 2 x = 3 y Læses som: Er forskellig fra Anvendes: Mellem to udtryk 2 x 3 y Læses som: Er afrundet til Anvendes: Mellem to taludtryk π 3,1416 Læses som: Er kongruent med Anvendes: Mellem to heltalsudtryk 7 127 mod 5 Læses som: Er større end > Anvendes: Mellem to taludtryk (det største til venstre) 2 x > 3 y Læses som: Er mindre end < Anvendes: Mellem to taludtryk (det største til højre) 2 x < 3 y Læses som: Er større end eller lig med Anvendes: Mellem to taludtryk (se >) 2 x 3 y Læses som: Er mindre end eller lig med Anvendes: Mellem to taludtryk (se <) 2 x 3 y Læses som: Går op i Anvendes: Mellem to heltalsudtryk (tallet til venstre går op i det til højre) 2 24 side 9
Læses som: Går ikke op i Anvendes: Mellem to heltalsudtryk (se ) 2 23 Læses som: Er parallel med Anvendes: Mellem to rette linjer l m Læses som: Er vinkelret på Anvendes: Mellem to rette linjer l m Læses som: Tilhører Anvendes: Mellem et element (til venstre) og en mængde (til højre) 2 Z Læses som: Tilhører ikke / Anvendes: Mellem et element (til venstre) og en mængde (til højre) π / Q Læses som: Er en delmængde af Anvendes: Mellem to mængder (mængden til venstre er en delmængde af den til højre) N Q Læses som: Er ikke en delmængde af Anvendes: Mellem to mængder (se ) {1, 2, π} Q Læses som: Går imod Anvendes: Mellem to udtryk (tallet til venstre nærmer sig tallet til højre) x side 10
6 Konjunktioner og andre logiske forkortelser Læses som: Og Anvendes: Mellem to udsagn x N x > 3 Læses som: Eller Anvendes: Mellem to udsagn x = 1 x = 2 Læses som: Som opfylder at Anvendes: Som Mængdebygger {x N x > 3} Læses som: Det vil sige Dvs. Anvendes: Mellem to udsagn x er lige, dvs. 2 x Læses som: Hvilket skulle vises q.e.d. Anvendes: I slutningen af et bevis Læses som: Hvis... så... Anvendes: Mellem to udsagn x 2 = 1 x 0 Læses som: For alle... Anvendes: Foran to udsagn med kolon imellem x R : x 2 0 Læses som: Der eksisterer... Anvendes: Foran to udsagn med kolon imellem x R : x 2 = 2 side 11