Første konstruktion af Cantor mængden

DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er så snittet af alle alle I i erne: C = I i i= 7 8 Cantor-mængden, C, består altså af de tal mellem 0 og som ligger i alle I i erne Denne mængde er svær at tegne bla fordi den ikke indeholder nogen intervaller, og det er faktisk ikke let at afgøre om et givet tal mellem 0 og ligger in C eller ej C er tydeligvis ikke tom; mange af tallene j n, j, n N, 0 j n, ligger tydeligvis i C Men der er langt flere elementer: C er nemlig overtællelig Det kan feks indses ved at knytte et entydigt element i C til enhver følge i ordene højre og venstre : Til følgen højre, højre, venstre, venstre, venstre, højre, knytter vi det element i C der ligger i det højre af intervallerne i I, det højre af intervallerne fra I som ligger i det førstvalgte interval, det venstre af de intervaller i I som ligger i det andet vi valgte, det venstre af intervallerne i I 4 som ligger i det interval vi valgte i det tredje skridt OSV På den måde får vi lavet en bijektion mellem C og den uendelige produkt-mængde {højre, venstre} N Cantors berømte diagonal-argument viser at denne produktmængde er overtællelig Så der er altså væsentlig flere elementer i C end de få rationale tal man typisk først Version: December 8, 006

KLAUS THOMSEN får øje på Ikke desto mindre er det uhyre vanskeligt faktisk at bestemme hvilke tal det ligger i C Det vides således ikke om C indeholder et tal som er algebraisk, men ikke rationalt Karakterising af Cantor mængden som metrisk rum Dette foredrag handler dog om de unikke egenskaber som C har som metrisk rum, og er således uafhængig af hvorledes vi realiserer C - som delmængde af de reelle tal eller på anden måde Men C er jo ihvertfald et metrisk rum: Metrikken fremkommer feks ved at restringere den sædvanlige metrik fra de reelle tal til Cantor mængden Det er så ikke svært at vise, at C har følgende egenskaber C er kompakt dvs at enhver overdækning af C med åbne mængder har en endelig udtynding), C er totalt usammenhængende, hvilket betyder at enhver åben mængde i C er en foreningsmængde af delmængder som er både åbne og lukkede, og C har ingen isolerede punkter Dette kan udtrykkes på matematisk ved brug af metrikken d: x C ǫ > 0 y C\{x} : dx, y) < ǫ Op til homeomorfi er C det eneste metriske rum med disse tre egenskaber: SÆTNING : Hvis X er et metrisk rum som er kompakt, totalt usammenhængende og uden isolerede punkter, så er X homeomorf med C: Der findes en kontinuert bijektion ϕ : C X med kontinuert invers ϕ : X C Det følger fra denne sætning at Cantor mængden sagtens kan dukke frem på helt andre måder end den vi benyttede ovenfor Dette illustreres ved et producere C ud fra Dannebrog på en måde der er analog til den der blev brugt på [0, ] ovenfor) Den fremkomne mængde i planen er kompakt, totalt usammenhængende, og uden isolerede punkter Iflg sætningen ovenfor er det altså tale om en kopi af C Den universelle egenskab af Cantor mængden - den statiske version SÆTNING : Lad X være et kompakt metrisk rum Så findes der en kontinuert surjektion fra C på X Lidt poppet udtrykt siger sætningen at ethvert kompakt metrisk rum er skyggen af Cantor mængden! Vi kan iøvrigt sagtens skitsere et bevis: Først konstrueres en følge U, U, U, af endelige åbne overdækninger af X således at U n+ er en forfining af U n, dvs U U n+ V U n : U V, diameteren af ethvert element in U n er højest n, dvs dx, y) n når x, y V U n, U n er minimal i den forstand at vi ikke har en overdækning af X hvis vi udelader blot en af de åbne mængder i U n Et tal er algebraisk når det er rod i et polynomium med heltals koefficienter

DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN For ethvert n og ethvert U U n vælger vi et punkt x U U Vi konstruerer så en følge af funktioner f n : C X rekursivt på følgende måde: f konstrueres ved at inddele C i åbne og lukkede mængder I V, V U, så I V I V = når V V Vi sætter så f y) = x V når y I V Bemærk at f er kontinuert For at konstruere f vælger vi en afbildning h : U U så hu) V Bemærk at h er surjektiv pga den sidste ovenfor For ethvert V U vælger vi en opdeling af I V i disjunkte åbne og lukkede mængder I U, U h V ) Vi definerer så f : C X ved f y) = x U når y I U Bemærk at d f y), f y)) = d x U, x V ) diam V for alle y C Dernæst vælger vi en afbildning h : U U så hu) V Og for ethvert U U vælger vi en opdeling af I U i disjunkte åbne og lukkede mængder I W, W h U) Vi definerer så f : C X ved f y) = x W når y I W Så er f kontinuert og d f y), f y)) Fortsættes på denne måde får vi en følge f, f, f, af kontinuerte afbildninger f n : C X således at ) f n C) = {x U : U U n }, og ) d f n y), f n+ y)) n for alle y C og alle n N Det følger fra ) at {f n y)} n= er en Cauchy-følge i X for alle y C Derfor eksisterer grænsen fy) = lim f n y) n Pga uniform konvergens af funktionsfølgen {f n } bliver f : C X kontinuert Surjektiviteten af f følger let fra ) Jeg håber at nogle publikummer bliver en smule overrasket over den sidste sætning; ved første øjekast er det ikke geometrisk indlysende at den undseelige lille Cantor-mængde som ikke syner af meget i intervallet fra 0 til faktisk er stor nok til at afbilde kontinuert og surjektivt på et hvilket som helst kompakt metrisk rum - Men sker der så noget på C? Er der nogen dynamik på den lille ubetydelige klat mellem 0 og som vi kalder Cantor-mængden? Hovedformålet med foredraget er forklare hvorfor det rigtige svar på disse spørgsmål er: Ja, mon ikke! Dynamiske systemer I dette foredrag er et dynamisk system et par X, ϕ), hvor X er et kompakt metrisk rum, og ϕ : X X er en homeomorfi af X på sig selv Her er et par eksempler: Irrational rotation på cirklen Lad T = {λ C : λ = } være enhedscirklen i den komplekse plan Vælg et reelt tal α, som vi antager er irrationalt Definer en homeomorfi ϕ α : T T ved at ϕ α λ) = e πiα λ Så er T, ϕ α ) et dynamisk system Det fulde n + -skift Produkt-rummet {0,,,, n} Z = { x i ) i= : x i {0,,,, n}, i Z }

4 KLAUS THOMSEN er kompakt i produkt topologien, og et metrisk rum i metrikken d x i ), y i )) = i Z i x i y i Venstre-skiftet σ : X X er homeomorfien givet ved, at σ x i ) ) i= = x j j+ Så X, σ) er et dynamisk system De dynamiske systemer udgør, som så mange andre klasser af matematiske objekter, en kategori En morfi mellem to dynamiske systemer, X, ϕ ) og X, ϕ ), er en kontinuert afbildning π : X X som respekterer ϕ og ϕ i den forstand at ϕ π = π ϕ Når π er surjektiv kaldes π en faktor afbildning og X, ϕ ) er en faktor af X, ϕ ) Når π er en homeomorfi er den en isomorfi i kategorien af dynamiske systemer, og vi siger at X, ϕ ) og X, ϕ ) er konjugerede Konjugerede dynamiske systemer betragtes i stort alle sammenhænge som værende ens Lad X, ϕ) være et dynamisk system Banen, Ox), for et punkt x X er mængden Ox) = { ϕ j x) : j Z }, hvor ϕ 0 er identitets-afbildningen på X, ϕ k = ϕ ϕ ϕ når k og ϕ }{{} k = k ϕ ϕ ϕ }{{ når k } k Et dynamisk system X, ϕ) er minimalt når alle baner er tætte i X, dvs at Ox) = X x X Irrational rotation er minimal, men det fulde n + -skift er det ikke Den næste sætning give en væsentlig udvidelse af Sætning, og beskriver en dynamisk version af den universelle egenskab ved Cantor mængden SÆTNING Ethvert dynamisk system er en faktor af et dynamisk system på C Ethvert minimalt dynamisk system er en faktor af et minimalt dynamisk system på C Igen kan man formulere dette lidt populært ved at sige, at ethvert dynamisk system er skyggen af et dynamisk system på Cantor mængden Bevis: Lad X, ϕ) være et dynamisk system Ifølge Sætning findes der en kontinuert surjektion π 0 : C X Sæt Y = C Z = { c i ) i= : c i C i Z } Y er et kompakt metrisk rum på stort set samme måde som det fulde n + -skift er det Y er totalt usammenhængende fordi C er det Faktisk er Y homeomorf med C) Venstre-skiftet σ virker på Y på den sædvanlige måde: σ c i )) j = c j+, og Y, σ) bliver på denne måde et dynamisk system For ethvert x X og ethvert i Z kan vi vælge v x i C så Vi sætter så π 0 v x i ) = ϕi x) 0) w x = v x i ) i= Y

DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN 5 Definer π : Y X ved at π ci ) i= ) = π0 c 0 ) Så er π σ σ j w x ) )) = π σ j+ w x ) ) = π 0 v x j+ ) = ϕ j+ x) = ϕ ϕ j x) ) = ϕ π 0 v x j )) = ϕ π σ j w x ) )) 0) Sæt så D = {σ j w x ) : x X, j Z} Y Så er D et kompakt metrisk rum og totalt usammenhængende - men D kan have isolerede punkter Da σd) = D er D, σ) et dynamisk system, og det følger fra 0) at π σ = ϕ π 0) på D Da π D) = X er X, ϕ) altså en faktor af D, σ) På det topologiske produkt-rum C D definerer vi en homeomorfi ψ : C D C D ved at ψc, d) = c, σd)) Så er C D, ψ) et dynamisk system Da C D er kompakt metrisk, totalt usammnenhængende og uden isolerede punkter fordi C ingen har), er C D, ψ) konjugeret til et dynamisk system på C Dette følger af Sætning Definer nu π : C D X ved πc, d) = π d) Så er π kontinuert og surjektiv fordi π er det, og det følger fra 0) at ϕ π = π ψ Altså er X, ϕ) en faktor af et dynamisk system C, α) C D, ψ) på C Hvis X, ϕ) er minimalt er C, α) det ikke automatisk, men det kan repareres på flg måde: Lad π : C, α) X, ϕ) være en faktor afbildning Zorn s lemma eller Hausdorff s maximalitets sætning, der som bekendt er ækvivalent med udvalgsaksiomet, giver os en maximal totalt ordnet ved inklusion) samling af lukkede ikke-tomme α-invariante delmængder, L µ Sætter vi så Z = µ L µ fåes en lukket ikke-tom α-invariant delmængde Z C Minimaliteten af det dynamiske system Z, α) følger umiddelbart fra maximalitetet af L µ Da ϕ π = π α giver minimaliteten af Z, α) og X, ϕ) at πz) = X 04) Altså er X, ϕ) en faktor af Z, α) Bemærk at Z er kompakt metrisk og totalt usammnenhængende Da Z, α) er minimalt kan der kun være isolerede punkter i Z hvis alle punkter er isolerede, hvilket medfører at Z må være en endelig mængde Ifølge 04) er det umuligt med mindre X er en endelig mængde Altså kan vi konkludere fra Sætning at Z er en kopi af C med mindre X er en endelig mængde Dermed er det sidste udsagn i Sætning bevist i alle tilfælde hvor X ikke er en endelig mængde Det er let at håndtere tilfældet hvor X er endelig, men argumentet udelades her Ekspansive og minimale dynamiske systemer på Cantor mængden - en kort oversigt Som det fremgår af Sætning må strukturen af de dynamiske systemer på Cantor mængden være lige så komplicerede som dynamiske systemer generelt er Alligevel bliver de bla brugt til at studere dynamiske systemer på kompakte rum af højere dimension Det skyldes især to forhold: Topologien af Cantor mængden er næsten diskret, og som følge heraf er homeomorfierne på C meget kombinatoriske eller algebraiske af natur Flere klasser af homeomorfier på C er relativt vel-studerede, og der er derfor adskillige redskaber til rådighed til undersøgelser af dem

6 KLAUS THOMSEN De minimale homeomorfier på C udgør en af store relativt vel-forståede klasser Den vigtigste reference til disse er T Giordano, I Putnam, C Skau, Topological orbit equivalence and C -algbras, J f die reine u angew Math 46 5), 5- Det er interessant at notere sig, at de centrale redskaber og ideer der benyttes i studiet af minimale homeomorfier på C omfatter C -algebraer of K-teori Det er næppe disse emner den typiske matematiker, der vil forsøge at forstå en klasse af homeomorfier, vil gribe til i første forsøg En anden vigtig og meget studeret klasse af homeomorfier på Cantor mængden udgøres af de ekspansive homeomorfier Et dynamisk system X, ϕ) er ekspansivt når der findes et δ > 0 så d ϕ j x), ϕ j y) ) δ j Z x = y Irrational rotation på enhedscirklen er ikke ekspansiv, men det fulde n + -skift er Lad os checke at δ = virker: Hvis x = x i) i= og y = y i) i= er to elementer i {0,,,, n} Z som opfylder at d σ j x), σ j y)) for alle j Z, ser vi, at x j y j i Z i x i+j y i+j = d σ j x), σ j y) ) Altså må x j = y j Da dette gælder for alle j finder vi at x = y Bemærk nu at hvis Y er en lukket ϕ-invariant delmængde af X, og X, ϕ) er ekspansiv, så er Y, ϕ) også ekspansiv Så hvis Σ {0,,, n} Z er lukket og invariant under venstre-skiftet σ, så er Σ, σ) endnu et eksempel på et ekspansivt dynamisk system Et sådant dynamisk system kaldes et skiftrum Der gælder flg SÆTNING 4: En ekspansiv homeomorfi af C er konjugeret til et skiftrum Et bevis for Sætning 4 kan findes i WL Reddy, Lifting expansive homeomorphisms to symbolic flows, Math Syst Theory 68), - Det er næsten rigtigt at alle skiftrum svarer til en ekspansiv homeomorfi på Cantor mængden: Et skiftrum Σ er altid et kompakt metrisk rum og totalt usammnenhængende, men det kan undtagelsesvist indeholde isolerede punkter Alle interessante skiftrum er dog homeomorfe med C Skiftrum kan være minimale, og altså svare til minimale homeomorfier på C med mindre de er endelige - og dermed ikke særligt interessante), men det er ikke rigtigt at alle minimale homeomorfier på C er konjugerede til et minimalt skiftrum - langtfra Relationen mellem de to klasser af dynamiske systemer er som illustreret nedenfor: Nu er der egentlig ikke mange danskere der brug for at give disse dynamiske systemer et navn, og det er værd at notere sig, at ordet skiftrum blot er min favorit til at være den nyttigste oversættelse af det engelske ord subshift

DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN 7 Minimale homeomorfier på C Minimale skiftrum Skiftrum Ligesom i forbindelse med de minimale homeomorfier spiller både C -algebraer og især) K-teori en vigtig rolle i studiet af generelle skiftrum Men som noget nyt er der for en meget vigtig klasse af skiftrum en fundamental og tæt sammenhæng til formelle sprog, som er en klassisk disciplin i datalogi En fremragende første indføring i studiet af skiftrum finder man i bogen D Lind, B Marcus, An introduction to Symbolic Dynamics and Coding, Cambridge University Press, 5