Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Eksempler

Matematik på Åbent VUC Trin

Indledning til kursister på Trin II Indledning til kursister på Trin II Dette undervisningsmateriale består af 10 moduler med opgaver beregnet til brug på Trin I og 7 moduler med supplerende opgaver beregnet til brug på Trin II. I hvert modul er der en bestemt type opgaver. Der er fx et modul med Procentregning og et modul med Geometri. Du kan se navnene på alle modulerne i indholdsfortegnelsen. En hel del af fagstoffet er fælles for både Trin I og Trin II. Og dette fælles fagstof er kun med i modulerne til Trin I. Derfor vil mange kursister, der starter på Trin II, have brug for at arbejde med en del af opgaverne i Trin I-modulerne. Opgaverne i Trin I-modulerne er mærket: - nogle opgaver mærket med - nogle opgaver mærket med - nogle opgaver mærket med Jo mere farve der er i mærket, jo sværere er opgaven (synes jeg). Som Trin II-kursist skal du især regne opgaver mærket med og. Opgaverne i Trin II-moduler er ikke mærkede. Du skal regne så mange som muligt, men du kan sikkert ikke nå dem alle. Bed din lærer hjælpe dig med at vælge blandt opgaverne. Du må altid hoppe over en opgave eller noget af en opgave, hvis opgaven ligner de foregående, og du er sikker på, at du kan regne den. Til alle opgave-modulerne hører et modul med eksempler. Hvis du døjer med at regne en opgave, kan du næsten altid finde et eksempel, der ligner. Til alle opgave-modulerne hører også en facit-liste. Når du arbejder med opgaverne, er det en god ide regelmæssigt at kikke i facit-listen. Du får ikke noget ud af at regne en masse opgaver på en forkert måde. God fornøjelse med opgaverne! Niels Jørgen Andreasen Lektion 00s - Indledning til kursister på Trin II

Indholdsfortegnelse for eksempelsamling Eksempelsamlingen er inddelt i disse moduler: Grundliggende regning og talforståelse...1 Omregning... Sammensætning af regnearterne...1 Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler...18 a Brøker og forholdstal...19 Procent...8 Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler... a Bogstavregning...7 Bogstavregning - supplerende eksempler... a Funktioner og koordinatsystemer...7 Funktioner - supplerende eksempler... a Geometri...7 Statistik...71 Statistik...78 a Kombinatorik og sandsynlighedsregning...79 Rente, lån og opsparing - supplerende eksempler...8 Hvert modul er inddelt i en række afsnit, og alle modulerne starter med en indholdsfortegnelse over disse afsnit. Modulerne med supplerende eksempler er udelukkende beregnet til brug på Trin II ne er lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Arbejdet med eksemplerne er afsluttet i sommeren 00. Jeg vil meget gerne høre fra dig, hvis du opdager fejl i eksemplerne eller på anden måde har kommentarer hertil. Med venlig hilsen Niels Jørgen Andreasen niels.joergen.andreasen@vucaarhus.dk Lektion 00s - Indholdsfortegnelse til eksempelsamling med supplerende eksempler

Grundliggende regning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...0 Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine...1 Talsystemets opbygning - afrunding af tal... Store tal og negative tal... Lig med, større end og mindre end... Regning med papir og blyant... Gange og division med 10, 100, 1.000 o.s.v... Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side 0

Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine I eksemplerne herunder skal du bruge prislisten til højre. ne er enkle, men ideen er at vise, hvordan man bruger regnemaskinen. Mælk, pr. liter...7 kr. Rugbrød...1 kr. Kager, pr. stk... kr. Slik, kæmpepose... 0 kr. på opgaver Hvad koster en liter mælk og et rugbrød? Hvor meget får man tilbage, når man køber et rugbrød og betaler med 0 kr.? Hvad koster liter mælk? Mælk 7 kr. Betalt 0 kr. Rugbrød 1 kr. Rugbrød 1 kr. I alt 19 kr. Tilbage 8 kr. 7 kr. kr. På regnemaskinen tastes: 7 x Eller blot: 7 kr. + 1 kr. 19 kr. På regnemaskinen tastes: 7 + 1 Eller blot: 0 kr. - 1 kr. 8 kr. På regnemaskinen tastes: 0-1 Man skriver gange med en prik, men på regnemaskinen skal man taste et kryds. på opgaver Hvor mange kager kan man få for 0 kr.? børn deler en kæmpepose slik. Hvor meget skal de betale hver? 0 kr. : kr. På regnemaskinen tastes: 0 0 kr. : kr. På regnemaskinen tastes: 0 Man skriver division med to prikker, men på regnemaskinen ser tegnet anderledes ud. I eksemplet til venstre spørger man: Jeg har 0 kr. Hvor mange gange kan jeg få kr.? I eksemplet til højre deler man 0 kr. i lige store dele. Men regnestykket er det samme. Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side 1

Talsystemets opbygning - afrunding af tal Herunder er tegnet firkanter på to forskellige måder. Til venstre er de placeret på må og få. Til højre er de placeret, så de passer til vores talsystem. betyder nemlig 10+, eller to 10 ere og fire 1 ere. betyder på samme måde 100+ 10+, eller tre 100 ere, to 10 ere og fem 1 ere. Forestil dig, at du har tre 100-krone-sedler, to 10-kroner og fem 1-kroner., betyder to 1 ere (to hele) og fire 10.ende-dele. Det er et tal mellem og. De enkelte tal i et tal kaldes cifre. har to cifre. har tre cifre. Tal med komma i kaldes decimaltal. Cifrene efter kommaet kaldes decimaler. på opgaver Afrund, til en decimal. Afrund.1 til helt antal tusinde., er et tal mellem, og, men tættest på,. Derfor bliver resultatet:,,.1 er et tal mellem.000 og.000 men tættest på.000. Derfor bliver resultatet:.000.1,,.000.000 Hvis det tal, som skal afrundes, er præcis i midten, runder man opad., afrundes til,. I store tal ( som f.eks..1) sætter man ofte - men ikke altid - punktum efter hvert. ciffer regnet fra højre. Punktummerne må aldrig tastes med ind på regnemaskinen. Til gengæld ligner regnemaskinens komma et punktum Det er ret forvirrende! Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side

Store tal og negative tal Det kan være svært at forstå meget store tal, men det er vigtigt at kende navnene på dem. Her er et par eksempler: Der bor omkring fem millioner mennesker i Danmark. Tallet fem millioner skrives.000.000. Nogle gange skriver man blot fem mio. eller mio. En million skrives 1.000.000. Altså et et-tal med seks nuller bagefter. Det er det samme som 1.000 1. 000. Der bor omkring seks milliarder mennesker på jorden. Tallet seks milliarder skrives.000.000.000. Nogle gange skriver man blot seks mia. eller mia.. En milliard skrives 1.000.000.000. Altså et et-tal med ni nuller bagefter. Det er det samme som tusind millioner eller 1.000 1.000. 000 eller 1.000 1.000 1. 000 Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. på opgaver Udregn: 8 Udregn: - + 10 10 0 8 + 10 7 - -10 Man viser ofte alle tal (positive og negative) på en tallinie med nul i midten. -10-0 10 Lig med, større end og mindre end Du kender sikkert lighedstegnet. Man skriver +, fordi + er lig med. Man kan også skrive + 1 8 eller 117, 117,. Der findes også et tegn for større end og et tegn for mindre end. De ser således ud: 7> betyder at 7 er større end Det er faktisk det samme tegn, men det vender hver sin vej. Tegnet åbner sig altid imod det største tal. < 8 betyder at er mindre end 8 Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side

Regning med papir og blyant Når man regner med papir og blyant skal man sætte i mente og låne på opgaver Udregn: + Udregn: 78 + Tallene skrives op over 78 + hinanden og 1 erne lægges + 8 sammen. 78 Derefter lægges 10 erne + + sammen. 98 Til sidst lægges 100 erne 78 + sammen. Den tomme plads + 98 opfattes som 0. 1 1 1 1 1 1 erne lægges sammen og giver 1, men ti af 1 ere sættes i mente som en 10 er 10 erne lægges sammen og giver 1, men ti af 10 ere sættes i mente som en 100 er 100 erne lægges sammen og giver. på opgaver Udregn: 78-7 Udregn: - 8 78 Tallene skrives op over - 7 hinanden og 1 erne trækkes - 8 1 fra hinanden 7 10 Man må låne en 10 er for at kunne trække 1 erne fra hinanden. 10 10 78 Derefter trækkes 10 erne fra - 7-8 hinanden. 1 7 Man må låne en 100 er for at kunne trække 10 ere fra hinanden. 10 10 78 Til sidst trækkes 100 erne fra - 7 hinanden. Den tomme plads - 8 1 opfattes som 0. 17 100 erne trækkes fra hinanden. Der er fem 100 er i øverste række. Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side

på opgaver Udregn: Udregn: 9 Tallene skrives op, og og 9 ganges med hinanden. 9 og ganges med hinanden. 1 8 9 1 1 8 gange giver, men -tallet sættes i mente. gange 9 giver. Hertil lægges -tallet. Man får 8, men -tallet sættes i mente. gange giver 8. Hertil lægges -tallet. Man får 11. Gange og division med 10, 100, 1.000 o.s.v. på opgaver 10 1, 100 10 : 10 0 : 1.000 10 1 10, 100 0 10 :10 1 0 :1.000 0, Man ganger et tal med 10, 100, 1.000 o.s.v. ved at sætte 0 er på tallet eller rykke kommaet til højre. Man dividerer et tal med 10, 100, 1.000 o.s.v. ved at fjerne 0 er eller rykke kommaet til venstre. på opgaver 80 00 1.000 : 00 Man må se bort fra 0 erne i første omgang. 8 Derefter sættes de tre 0 er bagpå. I alt fås: 80 00.000 Man må fjerne 0 erne parvis på denne måde: 1.000 : 00 1.000 : 00 10 : 0 I den sidste beregning bruger man, at: 1 : Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side

Omregning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Kg-priser...7 Tid og hastighed...9 Valuta...11 Rente og værdipapirer...1 Lektion 0 - Omregning eksempler Side

Kg-priser De eksempler, som er vist herunder, kan ofte regnes og skrives op på flere måder. Vær også opmærksom på at man kan skrive division på to måder: Med et divisionstegn og med en brøkstreg. Det er ofte lidt tilfældigt, om man bruger den ene eller den anden skrivemåde. Oksefars koster 9 kr. pr. kg. Find prisen på 1,7 kg oksefars. 1,7 9 100,0 kr. Oksefars koster 9 kr. pr. kg. Find prisen på 0 g oksefars. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi 1 kg 1.000 g) sige: 1.000 g koster 9 kr. 9 1 g koster 0,09 kr. 1.000 0 g koster 0 0,09, kr. - Man kan i en beregning sige: 9 0 1.000, kr. - Eller man kan (fordi 0 g 0,0 kg) sige: 0,0 9, kr. Oksefars koster 9 kr. pr. kg. Hvor meget oksefars kan man få for 0 kr? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi 1 kg 1.000 g) sige: - Eller man kan i en beregning sige: 1.000 g koster 9 kr. 9 1 g koster 1.000 For 0 kr. kan man få: 0,09 kr. 0 0,09 78 g. 0 : 9 0,78 kg eller 78 g Lektion 0 - Omregning eksempler Side 7

, kg kartofler koster 9,9 kr. Find kg-prisen. 9,9 :,,98 kr. pr. kg. g leverpostej koster 11,7 kr. Find kg-prisen. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi 1 kg 1.000 g) sige: g koster 11,7 kr. 11, 7 1 g koster 0,01 kr. 1.000 g koster 0,01 1. 000,1 kr. - Man kan i en beregning sige: 11,7 1.000,1 kr. - Eller man kan (fordi g 0, kg) sige: 11,7 : 0,,1 kr. g leverpostej koster 7,9 kr. Hvad vil g koste? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan sige: - Eller man kan i en beregning sige: g koster 7,9 kr. 7,9 1 g koster 0,0 kr. g koster 0,0 11,8 kr. 7,9 11,8 kr. ne ovenfor drejer sig alle om vægtangivelser og kg-priser, men regnemetoderne kan let overføres til mange andre typer af opgaver. Det er f.eks. den samme tankegang, som er brugt i eksemplerne i de efterfølgende afsnit om tid og valuta. Lektion 0 - Omregning eksempler Side 8

Tid og hastighed Opgaver med tid er besværlige, fordi tids-enhederne ikke passer ind i vores talsystem. Det er let at regne med meter og cm, fordi der er 100 cm i en meter, og det er let at regne med kg og gram, fordi der er 1.000 gram i et kg. Men når der er 0 sekunder i et minut og 0 minutter i en time, kan man let lave fejl. på opgaver Hvor mange minutter er timer og 17 minutter? Omregn 10 sekunder til minutter og sekunder. 0+ 17 0+ 17 7 minutter Man siger først: 10 : 0,1... Det betyder, at der er hele minutter, som svarer til 0 00 sekunder. Derfor er: 10 sekunder minutter og 10 sekunder på opgaver Det koster kr. i timen at leje en båd. - Hvad koster det at leje båden i timer og 0 minutter? - Hvor længe har man haft båden, når man skal betale 10 kr? Man kan sige: t. og 0 min. 0+ 0 10minutter 1 min. koster 0,7 kr. 0 t. og 0 min. koster: 10 0, 711,0 kr. Man kan sige: 1 min. koster 0,7 kr. 0 For 10 kr. kan man få: 10 min. t. og 0 min. 10 10 min. 0,7 En håndværker tager 780 kr. for timer og 1 minutter. Hvad er timelønnen? Man kan sige: t. og 1 min. 0+ 1 19minutter Prisen pr. minut er: 780 : 19 kr. Prisen pr. time er: 0 0 kr. Lektion 0 - Omregning eksempler Side 9

på opgaver Omregn timer og 0 minutter til decimaltal. t. og 0 min.,8 time. 0 Det er fordi 0 min. time 0,8 time. 0 Du må aldrig sige at: t. og 0 min.,0 time. Omregn 1, time til timer og minutter. 1, time 1 t. og 1 min. Det er fordi 0, t. 0, 0 min. 1 min. Du må aldrig sige at: 1, time 1 t. og 0 min. En hastighed er den afstand, som noget bevæger sig (kører, cykler, går.) pr. tidsenhed. Hvis en bil kører 100 km/time, så vil den på en time kunne køre 100 km. Hastighed måles oftest i km/time, men man bruger også andre enheder. Fx m/sekund. på opgaver: En bil kører 0 km på timer. Hvad er bilens hastighed? Hvor langt kan du gå på timer, når din hastighed er km/time? Hvor lang tid tager det at cykle 0 km, når man kører 1 km/time? 0 80 km/time 10 km Man kan altid finde hastigheden med formlen til højre. Formlen kan omskrives som vist herunder. Afstand Hastighed Tid eller Tid 0 timer 1 Afstand Hastighed Tid Afstand Hastighed Prøv selv at sætte tallene fra eksemplerne ovenfor ind i de tre udgaver af formlen. Hvad er hastigheden i km/time, når man cykler km på 1 time 0 minutter? - Da 1 time og 0 min. 1, time, kan man sige: km/time 1, - Eller man kan finde hastigheden i km/min. og gange med 0. Det kan gøres i en beregning: 0 90 km/time Lektion 0 - Omregning eksempler Side 10

Valuta Kursen på en fremmed valuta er prisen i kroner for 100 stk. af den fremmede valuta. I disse eksempler og de tilhørende opgaver er der brugt valutakurser fra sommeren 001, men valutakurser ændrer sig hele tiden. Kursen på svenske kr. er 8,91. Det betyder, at 100 svenske kr. koster 8,91 danske kr. En svensk krone er altså mindre værd end en dansk krone. Helt præcist: 0,891 kr. eller 8,91 øre. Kursen på US-dollars er 8,91. Det betyder, at 100 US-dollars koster 8,91danske kr. En US-dollar er altså mere værd end en dansk krone. Helt præcist: 8,91 kr. eller 8,91 øre. Når man skal regne om mellem danske kroner og fremmed valuta, kan man bruge denne formel: F K D D Antal danske kroner F Antal fremmed valuta K Valutakursen 100 Formlen kan også skrives således: D 100 F eller K K D 100 F på opgaver: Hvor meget koster 0 US-dollars, når kursen er 8,91? Hvor mange svenske kr. kan man få for 800 danske kr., når kursen er 8,91? Hvad er kursen på pesetas, når 70.000 pesetas, koster.19 kr.? 0 8,91.1 kr. 100 Eller blot: 0 8,91.1 kr. fordi hver dollar koster 8,91 kr. 800 100 9 sv. kr. 8,91 Eller blot: 800 9 sv. kr. 0,891 fordi hver svensk krone koster 0,891 dansk krone..19 100,8 70.000 100 pesetas koster altså kun cirka,0 kr. Man kan meget let få stillet valuta-regnestykker forkert op, men brug din sunde fornuft til at vurdere, om resultatet er rimeligt. I eksemplet til venstre må man forvente, at krone-tallet er en del større end dollar-tallet. I eksemplet i midten må man forvente, at antal svenske kr. er lidt større end antal danske kr. I eksemplet til højre må man forvente, at kursen er lav (langt under 100), fordi antal pesetas er langt større end antal kr. Lektion 0 - Omregning eksempler Side 11

Rente og værdipapirer Hvis man sætter penge i banken, får man renter. Hvis man låner penge, betaler man renter. Renten opgives som et bestemt antal procent pr. år (kaldet pro anno), men pengene står sjældent i netop et år. Derfor beregnes renten efter det præcise antal dage. For at gøre beregningen lettere kan man lade som om, der er 0 dage i alle måneder og 0 dage i et år (fejlen bliver ikke ret stor), men bankens computere bruge de præcise tal. Man bruger denne formel (evt. med i stedet for 0): K r d R 100 0 R beregnet rente i kr. K kapital i kr. r renten pr. år i procent d antal dage (kaldet rentedage) på opgaver Der står.000 kr. fra 1. april til 1. juni på en konto med en rente på % pro anno. Beregn renten, hvis man regner - med 0 dage i hver måned. - med det præcise antal dage. Der går måneder 0 dage, så man får:.000 0,00 kr. 100 0 Der går 1 dage (tæl selv efter), så man får:.000 1,07 kr. 100 Aktier og obligationer er eksempler på værdipapirer. Aktier er andele i virksomheder (aktieselskaber). Hvis virksomheden giver overskud, får aktieejerne del i overskuddet (udbytte). En aktie har en pålydende værdi, men handelsprisen kan være højere eller lavere. Den kaldes kursværdien og afhænger af, hvor godt virksomheden går. Kursen på en aktie er handelsprisen for hver 100 kr. i pålydende værdi. Formlen viser sammenhængen: Kursværdi Pålydende værdi Kurs 100 Obligationer er gældsbeviser. Hvis man ejer en obligation har man en sum penge til gode. Dette beløb kaldes obligationens pålydende værdi. Man får hvert år udbetalt en bestemt procentdel af disse penge i rente, og ved slutningen af obligationens løbetid får man udbetalt penge svarende til den pålydende værdi. Obligationer kan købes og sælges. Man køber og sælger retten til at få de årlige renter samt - til sidst - den pålydende værdi. Renten på en obligation er fast gennem hele løbetiden (mange år), mens den varierer andre steder. Derfor svinger handelsprisen på obligationer på samme måde som handelsprisen på aktier. Er renten på en obligation højere end renten andre steder, så vil kursen på obligationen være høj - og omvendt. Udbytte og rente opgives altid som en procentdel af den pålydende værdi (ikke af kursværdien). Lektion 0 - Omregning eksempler Side 1

Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...1 Plus, minus, gange og division...1 Negative tal...1 Parenteser og brøkstreger...17 Potenser og rødder...18 Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 1

Plus, minus, gange og division på opgaver Udregn: 8 + + Udregn: + 8+ Man regner forfra og får: 8 + + + + 9 + + 7 Man regner forfra og får: + 8+ + 8+ 10+ 1 7 Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et plus-minus-regnestykke, som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt plus foran det forreste tal). Forestil dig at: - du skal have 8 kr., kr. og kr., - du skal af med kr. og kr. Du vil ende med at have 7 kr. uanset hvilken rækkefølge tingene sker i. (I praksis kan du naturligvis få et problem, hvis du skal af med penge først, og du ingen har). Man kan også tænke således: 8 + + 8+ + 1 9 7. Her samler man plus-tallene og minus-tallene i hver sin ende af regnestykket. på opgaver Udregn: : : Udregn: : : Man regner forfra og får: : : : : 8 : 0 : 0 Man regner forfra og får: : : 0 : : 10 : 0 : 0 Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et gange-divisions-regnestykke som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt gange foran det forreste tal). Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 1

I lange regnestykker skal man gange og dividere før man plusser og minusser. på opgaver Udregn: + 8 : Udregn: 7 1 : + 8 : + 8 : 0+ 7 1 : + 8 : 7 + På en god regnemaskine (en matematik-regner) kan du indtaste opgaverne, som de står. En mindre god regnemaskine vil typisk give 1, hvis man indtaster opgaven til venstre. Hvis opgaverne er lange - som den til højre - kan det være en fordel at skrive dem op således: 7 1 : + 8 : 7 + Så kan man f.eks. let se, at -tallet i anden linie er resultatet af 8 :. Negative tal Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. Der findes specielle regneregler for negative tal. Nogle af dem er lette at forklare ud fra praktiske eksempler. Andre er svære at forklare. Du må blot acceptere, at de gælder. på opgaver Udregn: 8 Udregn: + ( 8) 10 0 - -10 8 + ( 8) Opgaverne ligner hinanden, men de bør tænkes lidt forskelligt. I opgaven til venstre trækker du et positivt tal fra et andet positivt tal, men resultatet er negativt. Forestil dig, at du har kr. på en Dankort-konto og betaler en vare til 8 kr. med kortet. Så vil der være - kr. på kontoen (overtræk). I opgaven til højre lægger du et positivt og et negativt tal sammen. Forestil dig, at har kr. på en konto og -8 kr. (overtræk) på en anden konto. Du finder det samlede beløb ved at lægge tallene sammen. Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 1

på opgaver Udregn: ( ) Udregn: ( 7) ( ) 10 fordi ( ) svarer til + ( 7) fordi ( 7) svarer til + 7 Når man trækker et negativt tal fra, skal man reelt lægge til, fordi to minusser efter hinanden giver plus. Tænk på et minus-stykke som en beregning af forskellen på to tal. Tegningen til højre viser, at forskellen på - og er 10. - 0 10 Når man ganger og dividerer med negative tal gælder disse regler + + og + : : + og : + + på opgaver Udregn: ( ) Udregn: ( ) : ( ) 1 på grund af regnereglen: Forestil dig, at der på forskellige bankkonti alle står - kr. (overtræk). I alt står der -1 kr. på de konti. + ( ) : på grund af regnereglen: : Forestil dig, at en gæld på kr. deles i lige store gælds-portioner. Hver portion bliver en gæld på kr. + på opgaver Udregn: - ( ) Udregn: ( 0) : ( ) ( ) 8 på grund af regnereglen: + Dette eksempel er svært at forklare. ( 0) : ( ) på grund af regnereglen: : + Forestil dig, at en gæld på 0 kr. skal deles i mindre gælds-portioner på kr. Der bliver gælds-portioner. Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 1

Parenteser og brøkstreger Hvis der er parenteser i lange regnestykker, skal parenteserne udregnes først. på opgaver Udregn: (8 ) Udregn: + ( ) : (8 ) 0 + ( ) : + (1 ) : + 10 : + 8 En brøkstreg betyder det samme som et divisions-tegn. Hvis der er regnestykker over eller under brøkstregen, skal de udregnes før man dividerer. Hvis der er brøkstreger i lange regnestykker, skal de - ligesom parenteser - udregnes først. på opgaver Udregn: + 7 9 8 Udregn: + + 7 9 1 Opgaven i eksemplet svarer til at skrive ( + 7) : (9 ) 1 :, men brøkstregen er mere fiks. 8 + + + på opgaver Skriv 8 uden brøkstreg. Skriv 8 : : 10 på en brøkstreg. : : 8 8 8 8 : :10 10 Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 17

Potenser og rødder Hvis man ganger det samme tal med sig selv mange gange, kan man skrive det som en potens. på opgaver Skriv som en potens. Udregn også resultatet. Skriv 7 som et almindeligt gangestykke. Udregn også resultatet. Man siger seks i fjerde. På regnemaskinen trykkes ^ for at beregne resultatet. 1.9. 7 78.1 Man siger fem i syvende. ne viser at resultaterne af potens-udregninger ofte bliver meget store. Bemærk at potens-knappen også kan se således ud: y x på regnemaskinen. Den mest almindelige potens-beregning er at sætte i anden potens. De fleste regnemaskiner har en i anden-knap. Den ser således ud: x. For at finde tastes x og man får. Rødder er det modsatte af potenser. på opgaver Find 1 Find 8 1 kaldes for kvadratroden af 1. Man får fordi 1 eller er 1. Man skulle tro, at 1 også kan være, fordi 8 kaldes både for den tredje rod af 8 og for kubikroden af 8. Man får fordi 8 eller er 8. ( ) er 1 (husk regnereglen: + ). Men hvis man vil have det negative tal med, skriver man normalt ± 1. Og 1 betyder. Regnemaskiner kan beregne kvadratrødder med denne knap x. Regnemaskiner kan også beregne kubikrødder, men metoden varierer fra maskine til maskine. Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 18

Supplerende eksemplet til Trin II Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...18 a Potenser...18 b Rødder...18 d 10-tals-potenser...18 e Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18a

Supplerende eksemplet til Trin II Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18b Potenser Der findes nogle specielle regneregler for potenser. De er vist her til højre. Reglerne ser indviklede ud, men hvis man afprøver dem på almindelige tal, så er de meget logiske. på opgaver Skriv på kortere form: Man får iflg. regel I: + Man får iflg. regel II: Man får iflg. regel III: 0 ) ( Men man kan også skrive: og det er naturligvis Men man kan også skrive: Ved at forkorte får man Men man kan også skrive: 0 0 0 og det er naturligvis 0 på opgaver Skriv på kortere form: ( ) Man får iflg. regel IV: Man får iflg. regel V: ) ( Men man kan også skrive: og det er naturligvis Men man kan også skrive: ) ( og det er naturligvis I eksemplerne på denne side bliver man ikke bedt om at omregne de viste potenser til "almindelige" tal, men det kan let gøres på regnemaskinen. I: n m n m a a a + II: n m n m a a a III: n n n b) (a b a IV: n n n b a b a V: m n n m a ) (a

Supplerende eksemplet til Trin II Når man skriver en potens, kalder man det lille tal eksponenten. Selv om det lyder spøjst, kan en eksponent godt være negativ. Man definerer en negativ eksponent som vist til højre. 1 1 betyder derfor det samme som eller. Men skrive-måden fylder mindre end de andre. På regnemaskinen trykkes: ^ (-) eller på ældre modeller y x +/- Resultater bliver (naturligvis) et meget lille tal. 0,000771 n a 1 n a Man definerer også, at et tal opløftet til nulte potens altid giver en. Det betyder, at 0 1 og 117 0 1 og 1.000.000 0 1 og.. De regneregler for potenser, som stod øverst på forrige side, gælder også, hvis en eller flere af eksponenterne er negative tal eller nul. a 0 1 for alle a på opgaver Skriv på kortere form: - 0 ( ) - Man får iflg. regel I: Men man kan også skrive: 1 Ved at forkorte får man Bemærk også at Man får iflg. regel II: 0 + 0 Men man kan også skrive: 0 og det er naturligvis 1 Man får iflg. regel V: ( ) (-) Men man kan også skrive: 1 ( ) ( ) 1 og det er naturligvis Til sidst skal nævnes at eksponenten også kan være et decimaltal eller en brøk., Det er indviklet at forklare, hvad der helt præcis menes med regneudtryk som eller. Du kan evt. læse mere andre steder. Her skal du blot prøve at indtaste nogle potenser med decimal-eksponent på regnemaskinen. Du skal kontrollere (nogle af) tallene i tabellen herunder. 1,9,1,,,9,1 8,0.. 9 10,0.. 11,1.. 1,1,19.. 7 0,1.. Resultatet af potens-beregningen vokser jævnt i takt med, at eksponenten vokser. Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18c

Supplerende eksemplet til Trin II Rødder Rødder er det modsatte af potenser. Hvis man skriver så mener man det tal, som opløftet til. potens giver. Man siger den. rod af, og resultatet er, fordi På regnemaskinen trykkes: x eller (på ældre modeller): INV y x på opgaver Udregn:.011 -.8 0,001.011,8 (afrundet) fordi,8. 011 Bemærk at (,8) også er.011. Men. 011 betyder normalt det positive af tallene..8,8 (afrundet) fordi (,8). 8 Bemærk at man godt kan tage en ulige rod af et negativt tal. Men ikke en lige rod! 0,001 0, Bemærk at når man tager en rod af et tal, der er mindre end en, så bliver resultatet større end start-tallet. Der findes også specielle regneregler for rødder. De minder om reglerne for potenser. Reglerne for kvadratrødder (til venstre) er reelt kun specielle eksempler på reglerne til højre. Reglerne er meget logiske, hvis man afprøver dem på almindelige tal. n n n a b a b a b a b n a a a n b b n b a b Der findes også en særlig sammenhæng mellem potenser og rødder. Denne sammenhæng kan nogle gange bruges i beregninger. n a a 1 n på opgaver Skriv på kortere form: 100 Kontroller selv, at resultatet bliver det samme uanset hvilken skrive-måde, man vælger. Udregn: 1 1 Beregningen kan indtastes på regnemaskinen på mange måder. En af mulighederne er at bruge at: 1 1 1 1 Ved at trykke som vist ovenfor, får man: 1 8 Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18d

Supplerende eksemplet til Trin II 10-tals-potenser Man skriver nogle gange meget store og meget små tal med brug af 10-tals-potenser. på opgaver Skriv som almindelige tal: 8 10 1, 10-10 10 8 10 10 10... 10 100.000.000. 00.000.000 Der tilføjes i alt 8 nuller, 8 fordi der ganges med 10. Et nul for hver gang man ganger med 10., 10 1, 10 10 10... 10, 1.000.000.000.000..0.000.000.000 Kommaet rykkes pladser til højre, og der tilføjes 10 nuller. I alt 1 ændringer fordi der 1 ganges med10. Tænk først på at: 1 10 10 Derfor får man at: 10 1.000.000 1 1.000.000 0,00000 Det usynlige komma efter rykkes pladser til venstre, fordi omregningen svarer til gange at dividere med 10. Især det midterste eksempel giver en god fornemmelse af, at man kan spare plads ved at bruge 10-tals-potenser. Skrive-måden bruges bl.a. inden for videnskaber som fysik og kemi. Når man bruger denne skrive-måde, er det meget vigtigt at huske reglerne for, hvorledes man ganger og dividerer et tal med 10, 100 osv. Husk at: - man ganger et tal med 10, 100 osv. ved at flytte kommaet til højre og/eller tilføje nuller. - man dividerer et tal med 10, 100 osv. ved at fjerne nuller og/eller flytte kommaet til venstre. 8 7 Udregn: 10 10 Selv om opgaven ser indviklet ud, kan den godt regnes uden brug af regnemaskine: 8 7 8 7 8+ 7 1 10 10 10 10 10 10, Den sidste omskrivning - fra 1 10 til at skrive disse tal med netop et ciffer foran kommaet. 10 1 1, 10 - er udelukkende fordi, der er tradition for Hvis du skal bruge regnemaskine, kan du naturligvis bruge potens-knappen: ^ eller y x Men regnemaskinen har også en særlig 10-tals-potens-knap. Bed din lærer om hjælp. Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18e

Brøker og forholdstal Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...19 Hvad er brøker - nogle eksempler...0 Forlænge og forkorte...1 Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... Regning med brøker - plus og minus... Regning med brøker - gange og division... Forholdstal... Lektion 0 - Brøker eksempler Side 19

Hvad er brøker - nogle eksempler Tegningerne forestiller en lagkage og to plader chokolade. Lagkagen er inddelt i lige store stykker eller brøkdele. Hver brøkdel kaldes 1 (en fjerde-del). Chokoladen til venstre er inddelt i 1 lige store stykker. Ligesom en Rittersport. Hver del kaldes 1 1 (en sekstende-del). Chokoladen til højre er inddelt i lige store stykker. Hver del kaldes 1 (en sjette-del). Her er to lagkager og to plader chokolade, som der er spist af. Der er spist af lagkagen til venstre. Der er 1 tilbage. Der er spist 8 af lagkagen til højre. Der er 8 tilbage. Der er spist 1 7 af chokoladen til venstre. Der er 1 9 tilbage. Der er spist 1 7 af chokoladen til venstre. Der er 1 tilbage. Tallet over brøkstregen kaldes tæller. Tæller Tallet under brøkstregen kaldes nævner. Nævner En brøkstreg er også et divisionstegn. kan betyde to ting, som reelt er det samme: - en hel deles i dele - vi tager de - resultatet af divideret med Lektion 0 - Brøker eksempler Side 0

Forlænge og forkorte Der findes mange navne for den samme brøk. Man skifter navn ved at forlænge eller forkorte. r Forlæng brøken med. Forkort brøken 1 med. Man skal gange både tæller og nævner med : 8 1 Tegningen viser, at brøkerne og 1 8 er ens. Man skal dividere tæller og nævner med : 1 : 1: 1 Tegningen viser, at brøkerne 1 og 1 er ens. 8 1 1 : 1 : 1 Gør man tæller og nævner større uden at ændre brøken, så forlænger man brøken. Man forlænger ved at gange tæller og nævner med samme tal. Gør man tæller og nævner mindre uden at ændre brøken, så forkorter man brøken. Man forkorter ved at dividere tæller og nævner med samme tal. Man forkorter normalt mest muligt. Hvor stor en brøkdel udgør 1 ud af 0? 1 Man skal forkorte brøken mest mulig: 0 1 0 1: 0: Tegningen viser resultatet. Lektion 0 - Brøker eksempler Side 1

Udtage brøkdele Find af 1. Man kan finde af 1 på måder. - Man kan enten: 1 først sige: af 1 1: og derefter sige: af 1 8 1 - Eller man kan sige: 1 8. På regnemaskinen tastes 1 De tre skriveformer af 1 1 og 1 og betyder det samme. 18 svarer til af et tal. Find tallet. Man kan finde tallet - det hele - på to måder: - Man kan enten: 1 først sige: af det hele er 18 : 1 18 og derefter sige: Det hele må være 18 - Eller man kan sige:. På regnemaskinen tastes 18 Lektion 0 - Brøker eksempler Side

Uægte brøker og blandede tal Brøker er ofte mindre end en hel. Så er tælleren mindre end nævneren, og brøken kaldes en ægte brøk. og 1 er eksempler på ægte brøker. Hvis en brøk er større end en hel, er der to skriveformer: Man kan både sige, at der er 9 lagkage, og at der er Altså: 9 1 lagkage. 1 Brøken 9 kaldes en uægte brøk. Tæller er større end nævner. Tallet 1 kaldes et blandet tal. Det er sat sammen af et helt tal og en ægte brøk. Tegningen til højre viser, at 11 1. r 1 Omskriv til blandet tal. Omskriv til uægte brøk. 1 1 Der bliver hele, fordi 1 :, rest. Lav evt. selv en tegning, der viser omregningen. 1 7 Det er fordi + 1 7 Nogle gange skrives regnestykket således: 1 + 1 7 Lektion 0 - Brøker eksempler Side

Brøker og decimaltal Decimaltal er også brøker. De kaldes nogle gange decimalbrøker Første ciffer efter kommaet er 10.-dele, andet ciffer er 100.-dele o.s.v. Almindelige brøker kan laves om til decimaltal ved: - enten at forlænge til 10.-dele, 100.dele o.s.v. - eller at dividere tæller med nævner på regnemaskinen. r Omskriv 1 til decimaltal. Omskriv 1 til decimaltal. - Man kan enten forlænge: 1 10 0, - eller taste 1 på regnemaskinen. 1 Så får man: 0, - Man kan enten forlænge: 1 0, ( + 100 100 10 100 - eller taste 1 på regnemaskinen. 1 Så får man: 0, ) Omskriv 1 til decimaltal. Man kan ikke forlænge til hverken 10.-dele eller 100.dele eller.. 1 0,... ved at taste 1 på regnemaskinen, og afrunder til fx: 1 0, på opgaver Omskriv 0, til brøk. Omskriv 0,7 til brøk. 10 0, 7 100 0,7 Lektion 0 - Brøker eksempler Side

Regning med brøker - plus og minus Hvis to brøker har samme nævner, kan man lægge dem sammen ved at lægge tællerne sammen og beholde nævneren. Man trækker brøker fra hinanden på samme vis. på opgaver + 9 9 7 7 9 9 9 +, som kan forkortes til. 7 7 7 Tegningen viser beregningen til venstre: 9 + 9 9 Hvis to brøker med forskellige nævnere skal lægges sammen eller trækkes fra hinanden, skal man først finde en fællesnævner. på opgaver 1 1 1 + 8 1 1 + + 1 8 8 8 1 8 Tegningen viser beregningen til venstre: 1 + 1 + Lektion 0 - Brøker eksempler Side

Regning med brøker - gange og division Man ganger et tal og en brøk ved at gange tælleren med tallet og dividere med nævneren. 8 (eller 8 - rækkefølgen er ligegyldig) 8 8 - Det kan både betyde af 8 hele (til højre) - Og betyde 8 portioner på (her under) Tegningerne viser, at begge dele giver. På regnemaskinen tastes 8 Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. 1 1 Tegningerne viser - på to måder - at resultatet er rimeligt. (Men de er lidt svære at forstå) er det samme som af eller - da rækkefølgen er ligegyldig: er det samme som af eller eller af eller eller af eller eller Lektion 0 - Brøker eksempler Side

Man dividerer en brøk med et tal ved at gange nævneren med tallet. : : 8 Tegningen til højre viser regnestykket : 8 Hvis divisionen går op kan man også gøre som i dette eksempel: 7 : : 7 7 Man dividerer et tal med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. : 1 : Tegningen til højre viser, at når man har hele, kan man gange få Man dividerer en brøk med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. 1 1 : 1 1 1 1 1 1 : 1 Tegningen skal vise, at hvis man har 1 plade chokolade, kan man 1 1 få plade 1 gang 1 Tegningen er svær at forstå 1 1 : : Lektion 0 - Brøker eksempler Side 7

Forholdstal Del 1.000 kr. mellem to personer i forholdet :. Beløbet skal deles i portioner, fordi +. Den ene person får 1.000 00 kr. Den anden person får 1.000 00 kr. En læskedrik skal blandes med vand i forholdet 1 :. Drikken sælges i flasker med 00 ml (½ liter). Hvor meget færdigblandet drik bliver der ud af en flaske? Hver meget koncentreret drik skal man bruge for at få en liter færdigblandet drik? Der skal bruges 00. 000 ml vand til 00 ml koncentreret drik. I alt får man.00 ml, liter færdigblandet drik. 1 Fordi 1 + 7 skal der bruges liter koncentreret drik til en liter færdigblandet drik 7 Det svarer til 0,1 liter eller 1 ml. Et forhold kan forkortes ligesom en brøk. Forholdet 0 : 0 kan forkortes til :. Man dividerer begge tal med 10. Lektion 0 - Brøker eksempler Side 8

Procentregning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...9 Find et antal procent af...0 Procent, brøk og decimaltal...1 Hvor mange procent udgør..?... Find det hele... Promille... Moms... Ændring i procent... Forskel i procent... Lektion 0 - Procent eksempler Side 9

Ordet procent betyder pr. hundrede, og procentregning er en slags brøkregning, hvor man regner 1 med 100-dele - eller prøver at regne om til 100-dele. En procent er. Man skriver 1%. 100 Find et antal procent af. På et VUC er der 7 kursister. Heraf er 0% mænd. Hvor mange procent af kursisterne er kvinder? Hvor mange mænd er der? De to procent-tal for mænd og kvinder skal give 100% tilsammen. Derfor er der 100% - 0% 0% kvinder. Antallet af mænd kan findes på flere måder. - Man kan - se tegningen - sige: 100% 7 kursister 7 1% 7, kursist 100 0% 7, 0 9 kursister Denne måde er nem at forstå men besværlig at skrive. 1% 7, kursist 0% 9 kursister 100% 7 kursister - Eller man kan - i en beregning - sige: 7 0 0% af 7 9 kursister 100 0 Denne skrive-måde er brøk-regning. Man finder af 7. 100 På regnemaskinen tastes 7 x 0 100 Beregnings-metoden kan sættes på formel på denne måde: Del Det hele Antal procent 100 - Endelig kan man - i en beregning - sige: 0% af 7 0,0 7 9 kursister. Her bruger man, at 0% er det samme som decimal-tallet 0,0 (se næste side). Lektion 0 - Procent eksempler Side 0

Procent, brøk og decimaltal Procent-tal, brøker og decimal-tal er tre sider af samme sag. Således er 0% både det samme som 1 og det samme som 0,. Et procent-tal kan altid omskrives til det samme antal 100-dele. Nogle gange kan man forkorte. Omskriv disse procent-tal til brøker: 7%, 80% og 0% 7 % 7 100 80 80 % 100 Tegningen viser at 80 % 0 1 0 % 100 En brøk kan nogle gange omskrives til procent-tal ved at forlænge eller forkorte til 100-dele. Men langt fra alle brøker kan forlænges eller forkortes til 100-dele (se næste side). Man laver et procent-tal om til et decimal-tal ved at rykke kommaet to pladser til venstre. Man laver et decimal-tal om til et procent-tal ved at rykke kommaet to pladser til højre. Omskriv disse procent-tal til decimal-tal: %, 0% og 17% % 0, 0 0 % 0, 0 (eller blot 0,) 17% 1,7 Omskriv disse decimal-tal til procent-tal: 0,00 ; 0,7 og, 0,00 0,% 0,77 7%, 0% Lektion 0 - Procent eksempler Side 1

En brøk kan altid omskrives til procent-tal ved at dividere tæller med nævner og rykke kommaet to pladser til højre. Man bruger decimal-tal som mellem-resultat Omskriv disse brøker til procent-tal: og 0,7 7% 0,... 7% 7 I opgaven med kan man også sige 7%. 100 I opgaven med er resultatet et uendeligt decimal-tal. Man kan også sige,7% eller,7%. Hvor mange procent udgør..? På et VUC er der 9 kursister. Heraf er 7 kvinder. Hvor mange procent af kursisterne er kvinder? Procent-tallet kan findes på flere måder. - Man kan sige: 100 % 9 kursister 9 1 %,9 kursist 100 7 Kvinderne udgør % af kursisterne.,9 - Eller man kan - i en beregning - sige: Kvinderne udgør 7 100 % af kursisterne. 9 7 Man omregner brøken til procent-tal. På regnemaskinen tastes 7 9 x 100 9 Man beregner, hvor mange procent en del udgør af det hele, på denne måde: Del 100 Antalprocent Det hele Lektion 0 - Procent eksempler Side

Find det hele.. 1 personer deltog i sports-klubbens årsmøde. Det svarer til 1% af medlemmerne. Hvor mange medlemmer er der i alt? Tallet kan findes på flere måder. - Man kan sige: 1% 1 personer 1 1 %, person 1 I alt er der, 100 0 medlemmer af sportsklubben. - Eller man kan - i en beregning - sige: I alt er der 1 100 0 medlemmer af sportsklubben. 1 På regnemaskinen tastes 1 1 x 100 Når man ved, hvor mange procent en del udgør, kan man beregne det hele på denne måde: Det hele Del 100 Antal procent Promille Promille ligner procent, men ordet betyder pr. tusinde. En promille er altså Promille-opgaver regnes stort set som procent-opgaver. 1 1.000 og skrives 1. Find af 0.000 kr. af 0.000 kr. 0.000 10 kr. 1.000 Læg mærke til, at der divideres med 1.000 i stedet for med 100. Lektion 0 - Procent eksempler Side

Moms Alle priser tillægges % moms. Et par bukser koster 1 kr. uden moms. Find prisen med moms. Opgaven kan besvares på mange måder: - Man kan sige: Pris uden moms: 1 kr. 1 Moms: 100 9 kr. I alt 19 kr. - Eller man kan sige: Pris uden moms: 1 kr. Moms: 0, 1 9 kr. I alt 19 kr. - Eller man kan - i en beregning - sige: 1 1 Pris med moms: 19 kr. 100 - Eller man kan - i en beregning - sige: Pris med moms: 1, 1 19 kr. Pas på når du skal regne baglæns og finde prisen uden moms. Tegningen til højre viser, at: - momsen udgør % eller 1 af prisen uden moms. 1 - men momsen udgør eller 1 eller 0% af prisen med moms. Pris uden moms Moms % 100% Pris med moms 100% % 100% % % En boremaskine koster 99 kr. med moms. Find prisen uden moms. Pris uden moms: 99 100 99,0 kr. 1 Lektion 0 - Procent eksempler Side

Ændring i procent En ændring kan her både betyde en stigning og et fald. på opgaver En togbillet koster 10 kr. Prisen stiger med 1%. Find prisen efter stigningen. En computer koster 9.99 kr. Prisen falder med 0%. Find prisen efter faldet. Begge opgaver kan regnes på flere måder: - Man kan sige: Gammel pris: 10 kr. 10 1 Stigning: 100 kr. Ny pris 18 kr. - Man kan sige: Gammel pris: 9.99 kr. 9.99 0 Fald: 100 1.999 kr. Ny pris 7.99 kr. - Eller man kan - i en beregning - sige: 10 11 Ny pris: 18 kr. 100 - Eller man kan - i en beregning - sige: Ny pris: 1,1 10 18 kr. - Eller man kan - i en beregning - sige: 9.99 80 Ny pris: 7.99 kr. 100 - Eller man kan - i en beregning - sige: Ny pris: 0,80 9. 99 7.99 kr. Man finder en ændring i procent på denne måde: Ændring i procent Ændring i tal 100 Starttal på opgaver Prisen på en busbillet er vokset fra 18 kr. til kr. Find stigningen i procent. Prisen på et TV er faldet fra.999 kr. til 1.999 kr. Find faldet i procent. Stigning i tal: - 18 kr. Stigning i procent: 100,% 18 Fald i tal:.999-1.999 1.000 kr. 1.000 100 Fald i procent:,%.999 Du skal altid dividere med start-tallet uanset om start-tallet er størst eller mindst. Lektion 0 - Procent eksempler Side

Forskel i procent Du skal finde en forskel i procent, når der i en opgave bliver spurgt om, hvor meget et tal er større end (eller mindre end) et andet tal. Eller højere end eller lavere end eller dyrere end eller... Man finder en forskel i procent på denne måde: Forskel i Forskel i tal 100 procent "End"-tal Man kan også skrive Sammenligningstal under brøkstregen, men ordet end bliver næsten altid brugt i spørgsmålene. Nu kommer to eksempler, som ligner hinanden, men alligevel giver forskellige resultater. Hold tungen lige i munden!!! på opgaver En liter mælk koster,00 kr. i Super-Køb og 7,0 kr. i Nær-Kiosken. Hvor mange procent er Nær-Kiosken dyrere end Super-Køb? En liter mælk koster,00 kr. i Super-Køb og 7,0 kr. i Nær-Kiosken. Hvor mange procent er Super-Køb billigere end Nær-Kiosken? Man skal dividere med prisen i Super-Køb, fordi der blive spurgt end Super-Køb. Forskel i tal: 7,0 -,00 1,0 kr. Man skal dividere med prisen i Nær-Kiosken, fordi der blive spurgt end Nær-Kiosken. Forskel i tal: 7,0 -,00 1,0 kr. Forskel i procent: 1,0 100 %,00 Forskel i procent: 1,0 100 0% 7,0 Tegningen viser, at forskellen fylder mere sammenlignet med Super-Køb end sammenlignet med Nær-Kiosken. Pris i Super-Køb Pris i Nær-Kiosken Forskel Forskel Pris i Super-Køb Forskel Pris i Nær-Kiosken Lektion 0 - Procent eksempler Side

Supplerende eksempler til Trin II Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... a Procenter og decimaltal... b Vækst-fomlen... d Fra side f og fremefter vises eksempler på brug af vækstformlen. Formlen skrives normalt på denne måde: K + n n K 0 (1 r) K n slutværdi K 0 startværdi r vækstprocenten som decimaltal n antal ændringer Der er vist fire typer af eksempler med vækstformlen: - eksempler hvor K n er ukendt - eksempler hvor K 0 er ukendt - eksempler hvor r er ukendt - eksempler hvor n er ukendt Det er meget vigtigt, at du er klar over, at vækstformlen er i familie med x eksponentialfunktionen, der normalt skrives på denne måde: y b a Det kan være lidt forvirrende, men de to formler/funktioner udtrykker faktisk præcis det samme rent matematisk. Lektion 0s - Procent og eksponentiel vaekst supplerende eksempler Side a

Supplerende eksempler til Trin II Procenter og decimaltal Når et tal skal ændres med et bestemt antal procent, og man skal finde den nye værdi, så er langt den hurtigste metode at udnytte sammenhængen mellem procenttal og decimaltal. Det er altid det oprindelige tal, der sættes til 100% 1,00 på opgaver Du har en timeløn på 88,0 kr., og du får lovning på en lønforhøjelse på %. Hvad bliver din nye timeløn? En cykel, der normalt koster.99 kr., sælges nu med en rabat på 1%. Hvad bliver den nye pris for cyklen? Den nye løn bliver 100% + % 10% af den gamle løn. Da 10% 1,0 får man: 88,0 1,0 9,8 kr. Den nye pris bliver 100% - 1% 8% af den gamle pris. Da 8% 0,8 får man:.99 0,8.,7 kr. Metoden kan sættes på formel på denne måde: (prøv selv at indsætte tallene fra eksemplerne) Nyt tal Gammelt tal (1+ r) r ændringsprocenten som decimaltal (med fortegn) Metoden kan også bruges, hvis du skal regne baglæns. på opgaver Du får efter en lønforhøjelse på,% nu en månedsløn på 18.9 kr. Hvad var din løn før forhøjelsen? Et komfur koster efter en prisnedsættelse på % nu.9,7 kr. Hvad kostede komfuret før nedsættelsen? Den nye løn er 100% +,% 10,% af den gamle løn. Da 10,% 1,0 får man: 18.9 Gammel løn 1,0 18.9 Gammel løn 18.80 kr. 1,0 Den nye pris er 100% - % % af den gamle pris. Da % 0, får man:.9,7 Gammel pris 0, Gammel pris.9,7.99 kr. 0, Bemærk at det altid er det "gamle tal", der sættes til 100%. Uanset om der sker en stigning eller et fald, og uanset om man regner fremad eller bagud i tid. Lektion 0s - Procent og eksponentiel vaekst supplerende eksempler Side b

Supplerende eksempler til Trin II Hvis et tal over flere omgange skal ændres med bestemte antal procent, så beregnes ændringen altid i forhold til "der, hvor man er kommet til". Som nyansat i et firma får du en startløn på 1.00 kr. pr. måned. Men du får hurtigt lønforhøjelse to gange. Først på 10% og siden på 1%. Hvor meget kommer du til at tjene? Efter den første lønforhøjelse kommer du til at tjene 100% + 10% 110% af startlønnen. Da 110% 1,10 bliver lønnen: 1.00 1, 10 17.80 kr. Efter den anden lønforhøjelse kommer du til at tjene 100% + 1% 11% af 17.80 kr. Da 11% 1,1 bliver lønnen: 17.80 1, 1 0.9 kr. Det hurtigste er at finde resultatet i en beregning på denne måde: 1.00 1,10 1,1 0.9 kr. Bemærk at startlønnen ganges med 1,10 1,1 1,. Derfor er lønnen efter de to forhøjelser hele,% højere end startlønnen, selv om 10% + 1% %. Bemærk også at det er forkert at regne opgaven som vist til højre. Den sidste stigning på 1% skal beregnes af lønnen efter den første stigning og ikke af startlønnen. Rent sprogligt kan dette være svært at høre, men sådan er "reglerne". Startløn 1.00 kr. + Forhøjelse på 10%: 1.00 0, 10 1.0 kr. + Forhøjelse på 1%: 1.00 0, 1.0 kr. Løn efter begge forhøjelser: 0.0 kr. Metoden ovenfor kan også bruges, hvis et tal falder, og/eller hvis man skal regne baglæns. Et par bukser er under et udsalg sat ned to gange. Først med 0% og siden med 0%. Bukserne koster nu 18 kr. Hvor meget kostede bukserne før udsalget? En nedsættelse på 0% svarer til at beholde 100% - 0% 80% 0,80 En nedsættelse på 0% svarer til at beholde 100% - 0% 0% 0,0 18 Førpris 0,80 0,0 Førpris 0,8 Førpris 18 0,8 87,0 kr. Lektion 0s - Procent og eksponentiel vaekst supplerende eksempler Side c

Supplerende eksempler til Trin II Vækst-fomlen Når et tal over flere omgange skal ændres med det samme antal procent, bruger man vækst-formlen: K + n n K 0 (1 r) K n slutværdi K 0 startværdi r ændringsprocenten som decimaltal (med fortegn) n antal ændringer Man bruger bogstaverne K og r i formlen, fordi den ofte bruges til renteberegning. Så står K for kapital, mens r står for rentesatsen. på opgaver Du har en forsikring, hvor den årlige præmie lige nu er på 1.8 kr. Præmien skal stige med % om året de kommende år. Hvad bliver præmien om år? På en ø bor der lige nu 81 indbyggere, men tallet forventes at falde med ca. % om året de næste mange år. Hvor mange indbyggere kan man forvente, at der vil være på øen om 7 år? K 0 (startværdien) er 1.8, r (ændringsprocenten) er % 0,0 og n (antal ændringer) er. Slutværdien (K ) findes således: K K K 1.8 (1+ 0,0) 1.8 1,0 1.0kr. 1.8 1,1... K 0 (startværdien) er 81, r (ændringsprocenten) er -% -0,0 og n (antal ændringer) er 7. Slutværdien (K 7 ) findes således: K K K 7 7 7 81 (1 0,0) 81 0,9 1 indbyggere Bemærk at eksemplerne ovenfor helt svarer til eksemplerne på sidste side. At gange med 1,0 svarer til at gange med 1,0 1,0 1,0 1, 0. At gange med 0,9 7 svarer til at gange med 0,9 0,9... 0, 9. 7 7 81 0,71... Bemærk også at 1,0 1,1. Selv om % 1%, så lægger man i alt 1,% til starttallet. Det er fordi, de % procent hver gang - som vist herunder - beregnes af et lidt større tal. Antal år fra nu 0 1 Pris i kr. pr. år 1.8,00 1.8, 1.,00 1.,7 1.0, 1.0 Ændring + 7, + 8, + 9,7 + 0,91 Der regnes med flere decimaler end de viste. Bemærk også at 0,9 7 0,7. Selv om 7 % 8%, så trækker man i alt kun % fra starttallet. Det er fordi, de % hver gang beregnes af et lidt mindre tal. Lav selv en tabel som ovenfor. Lektion 0s - Procent og eksponentiel vaekst supplerende eksempler Side d

Supplerende eksempler til Trin II Udtrykket eksponentiel vækst - som står i overskriften - betyder ganske enkelt, at noget regelmæssigt vokser (eller falder) med et bestemt antal procent. Vær opmærksom på, at vækst-formlen er i familie med eksponentialfunktionen. x Den skrives normalt på formen y b a. Den er omtalt i et andet modul. De to formler/funktioner udtrykker præcis det samme rent matematisk. I eksemplerne på sidste side, blev vækst-formlen brugt til at finde K n. Men formlen kan også bruges til at finde en af de andre størrelser (K 0, r eller n). Det er dog en del sværere, fordi man enten skal regne baglæns (lignings-løsning) eller prøve sig frem (simulation). I de næste eksempler skal vi finde K 0. på opgaver I 1991 blev et beløb indsat på en konto, der giver en fast årlig rente på %. I 001 var beløbet vokset til 0.7 kr. Hvor mange penge blev der indsat? I 1999 var der ca. 00 harer i et område. Bestanden var faldet med ca. 1% pr. år i årene forinden. Hvor mange harer var der i 199? r (ændringsprocenten) er % 0,0 n (antal ændringer) er 001-1991 10 K 10 (slutværdien) er 0.7 K 0 (startværdien) er ukendt og findes således: 0.7 K 0.7 K K 0 0 0 (1+ 0,0) 1,0 10 10 0.7.000 kr. 10 1,0 r (ændringsprocenten) er -1% -0,1 n (antal ændringer) er 1999-199. K (slutværdien) er 00 K 0 (startværdien) er ukendt og findes således: 00 K 00 K K 0 0 0 00 0,8 (1 0,1) 0,8 900 harer På regnemaskinen trykkes 07 1,0 ^ 10 i eksemplet til venstre I eksemplet til højre, får man 901 som resultat, men der er naturligvis ingen, der kan vide, hvor mange harer der præcis er i et område. Tallene 00 og 1% er behæftet med usikkerhed. Derfor opgives facit som et rundt tal. Med fare for forvirring vises her en typisk fejl. Det er fristende at regne eksemplet til højre således, men resultatet bliver anderledes, og det er forkert. I den forkerte beregning er der regnet "fremad" i stedet for "bagud". Men det er vigtigt at holde styr på, hvad der er starttal, og hvad der er sluttal. K K K 00 (1+ 0,1) 00 1,1 800 harer 00,01... Lektion 0s - Procent og eksponentiel vaekst supplerende eksempler Side e

Supplerende eksempler til Trin II Nu kommer der eksempler på, hvorledes man kan beregne r, når de andre størrelser er kendte. Hold tungen lige i munden. Det er meget svært! på opgaver I 199 blev der indsat 1.000 kr. på en konto. I 001 var beløbet (m. rente) vokset til 17.8 kr. Find den årlige rente? Oplaget for en avis er fra 199 til 000 faldet fra 7.00 til 1.100 eksemplarer. Find det gennemsnitlige årlige fald målt i procent? n (antal ændringer) er 001-199 9 K 9 (slutværdien) er 17.8 K 0 (startværdien) er 1.000 r (ændringsprocenten) er ukendt og kan findes således: 17.8 1.000 (1+ r) 17.8 (1+ r) 1.000 9 1,8.. (1+ r) 1,8.. 1+ r 1,0 1+ r 9 9 r 1,0 1 0,0,% Altså en årlig rente på,% 9 n (antal ændringer) er 000-199 K (slutværdien) er 1.100 K 0 (startværdien) er 7.00 r (ændringsprocenten) er ukendt og kan findes således: 1.100 7.00 (1+ r) 1.100 (1+ r) 7.00 0,770.. (1+ r) 0,770.. 1+ r 0,99 1+ r r 0,99 1-0,01 -,1% Altså et årligt fald på,1% 9 I eksemplet til venstre tager man den 9. rod af 1,8 og får 1,0. Altså: 1,8 1, 0 Det er fordi, at 1,0 opløftet til 9. potens giver 1,8. Altså fordi: 1,0 9 1, 8 På regnemaskinen trykkes: 9 x 1,8 eller (på ældre modeller): 1,8 INV y x 9 I eksemplet til højre finder man et gennemsnitligt årlige fald på,1%. Men det præcise fald kan godt have været større nogle år og mindre andre år. I eksemplet til venstre kan renten godt være variabel. Så er,% også et gennemsnitstal. Her vises igen en typisk fejl. Det er fristende at regne eksemplet til højre således, men resultatet bliver anderledes, og det er forkert. Når der står gennemsnitlig ændring i procent, (og en ændring kan både være en stigning eller et fald) skal man bruge vækst-formlen. Samlet fald i tal: 7.00-1.100.00.00 100 Samlet fald i procent:,0% 7.00,0% Gennemsn. fald i procent:,% Lektion 0s - Procent og eksponentiel vaekst supplerende eksempler Side f

Supplerende eksempler til Trin II Til sidst kommer der eksempler på, hvorledes man kan finde n, når de andre størrelser er kendte. I stedet for at regne baglæns (lignings-løsning), prøver man sig frem (simulation). på opgaver Du sætter.000 kr. ind på en konto med en fast årlig rente på %. Hvornår vil beløbet (m. rente) nå op på 10.000 kr.? Der bor lige nu 1.80 personer i en kommune, men tallet forventes at falde med % om året. Hvornår vil befolkningstallet nå 1.000? K n (slutværdien) er 10.000 K 0 (startværdien) er.000 r (ændringsprocenten) er % 0,0 n (antal ændringer) er ukendt. Man gætter på et tal som n-værdi, sætter tallet ind i formlen og beregner K n. Vi gætter først på 10 år (n 10) og får: 10 K10.000 1,0 8.881 kr. Resultatet er mindre end 10.000, så vi må prøve med et større n. Her n 1: 1 K1.000 1,0 10.80 kr. Nu er resultatet for stort men dog lidt tættere på. Ved fortsat at prøve os frem, når vi til at: 1 K1.000 1,0 9.990 10.000 kr. n må altså være 1 år. K n (slutværdien) er 1.000 K 0 (startværdien) er 1.80 r (ændringsprocenten) er -% -0,0 n (antal ændringer) er ukendt Man gætter igen på et tal som n-værdi, sætter tallet ind i formlen og beregner K n. Vi gætter igen på 10 år (n 10) og får: 10 K10 1.80 0,98 11.1 personer Resultatet er mindre end 1.000, så vi prøver med et mindre n. Her n : K 1.80 0,98 1.19 personer Nu er resultatet for stort men dog lidt tættere på. Ved fortsat at prøve os frem, når vi til at: 7 K 7 1.80 0,98 1.0 1.000 pers. n må altså være 7 år. Eksemplet ovenfor til venstre kan også regnes således: 10.000 10.000 1,0.000 1,... 1,0 n.000 1,0 Så kan man efterfølgende - som ovenfor - sætte forskellige n n n-værdier ind og forsøge at ramme 1,0 n 1,.... For n 1 får man: 1,0 1 1, Metoden er hurtigere, men den er også sværere at forstå. Prøv selv at bruge metoden på eksemplet ovenfor til højre. Til sidst disse bemærkninger: eksemplerne ovenfor er lidt for "pæne". Du finder meget sjældent en n-værdi, der får formlen til at passe så godt som i disse eksempler. der findes en metode til at beregne n. Men den kræver brug af logaritme-funktionen, og den må du læse om andre steder. Lektion 0s - Procent og eksponentiel vaekst supplerende eksempler Side g

Bogstavregning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...7 Formler...8 Reduktion...9 Ligninger...0 Lektion 0 - Bogstavregning eksempler Side 7

I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift, hvor man med bogstaver viser, hvorledes noget skal regnes ud. F.eks. formler til beregning af areal og rumfang af geometriske figurer. Man skifter formlens bogstaver ud med tal og regner så løs som i et almindeligt regnestykke. Hvis formlen er kompliceret, bliver regnestykket det også. på opgaver Beregn: R S+ 7 når S Beregn: F (, g 1) når g 9 og h : h R S+ 7 + 7 1+ 7 F (, g 1) : h (, 9 1) (, 1) : : 10, : 1,7 I de næste eksempler er der udeladt gangetegn i formlerne. Det gør man ofte. på opgaver Beregn: n M n+ 8 når n 11 Beregn: Z x y når x og y n M n+ 8 11 11+ 8 + 8 9 Z x y 9 1 Lektion 0 - Bogstavregning eksempler Side 8

Reduktion Reduktion betyder, at man prøve at skrive bogstavudtryk (det samme som formler) på en kortere måde. Man regner med bogstaver. på opgaver Reducer: a a+ a Reducer: x+ y + x y Bogstavet a symboliserer et tal. Ikke et bestemt tal. Blot et eller andet tal. Når a står alene, er det det samme som1 a a a+ a a eller blot a Man kan regne x er sammen, man kan regne y er sammen, og man kan regne tal sammen. x+ y + x y x+ x+ y y x+ y 7 Det kan være svært at forstå ideen i bogstav-reduktion, men prøv at tænke på, at: - eksemplet til venstre svarer til at sige: agurker - agurker + 1 agurk agurker - eksemplet til højre til: æbler + pærer - + 1 æble - pærer - æbler + pærer - 7 Sammenligningen med frugt og grønt holder ikke helt, men den er god at tænke på. på opgaver Reducer: a a : + a Reducer: x + x x x a a : + a 8a a+ a a Læg mærke til at a : bliver til a. Det svarer til det halve af a x x + x x x x + x x x + x Man kan ikke regne x er og x er sammen Prøv at udskifte a med i startudtrykket til venstre (og hold hovedet koldt). : + 9+ 18. Det er det samme som a, altså. Prøv også at udskifte a med i startudtrykket til venstre (og hold fortsat hovedet koldt). : + 0 1+ 0. Det er stadig det samme som a, altså. Prøv selv at udskifte a med andre tal. Du får altid tallet. Det er ideen i bogstavreduktion. Lektion 0 - Bogstavregning eksempler Side 9

De sidste eksempler med reduktion er stygge: på opgaver Reducer: a + ( a) + Reducer: b (b + a) + a Reducer: (+ a) + (8a ) : a+ ( a) + a+ - a+ a- a+ + a+ 7 b (b + a) + a b b+ a+ a a+ b+ (+ a) + (8a ) + a+ 8a 0+ 10a+ a 1a+ 17 : : : Man kan uden videre hæve (fjerne) en plus-parentes. Man hæver en minus-parentes ved at ændre fortegnene på hvert led i parentesen. Man ganger en parentes med et tal ved at gange hvert led i parentesen med tallet. Man dividerer en parentes med et tal ved at dividere hvert led i parentesen med tallet. Ligninger En ligning er et slags regnestykke, hvor et af tallene mangler - det er udskiftet med et bogstav. Man skal finde ud af, hvilket tal der får regnestykket til at passe. på opgaver Løs ligningen: 1 x+ Du må gerne gætte eller prøve dig frem. Løs ligningen: x + 0 Du må gerne gætte eller prøve dig frem. Du kan sikkert straks se, at x må være 7. Man skriver x 7 Det kaldes at gætte en løsning. Du kan måske se, at x må være. Man skriver x For at være sikker kan man regne efter: + 0 18+ 0 0 0 Lektion 0 - Bogstavregning eksempler Side 0

Man må altid gerne gætte eller prøve sig frem, når man løser ligninger, men når ligningerne er komplicerede, er det både svært og tidskrævende. Der findes særlige metoder til at løse ligninger. Her kommer nogle eksempler. Hvis det første eksempel er for indviklet så prøv at blade videre til de næste sider. på opgaver Løs ligningen: x 1 Tænk på ligningen som et spørgsmål der lyder: Hvilket tal har den egenskab, at gange tallet minus giver 1? Tænk også på x som et tal der er pakket ind i nogle beregninger. Vi skal pakke x ud og se, hvilket tal der gemmer sig inde bagved. Til venstre er metoden vist trin for trin. Til højre er nogle af trinene hoppet over. x 1 Når x er lig med 1, kan man lægge til på begge sider af lighedstegnet. x + 1+ Der kommer til at stå noget andet på begge sider, men lighedstegnet gælder stadig. x 1+ Man lægger til for at ophæve -. x 1 x x 1 1 x, Der kommer til at stå x i stedet for x, og x er blevet pakket delvist ud. Senere dividerer man med på begge sider af lighedstegnet for at ophæve, at der står foran x. Til sidst er x pakket helt ud, og man kan regne ud, at x er,. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. x 1 x 1+ x 1 x 1 x, Når du løser ligninger kan du også tænke på en gammeldags skålvægt. Der står lodder på begge skåle og vægten er i balance. På lodderne står der, hvor meget de vejer, men tallet mangler på det mørke lod (x). Ved at flytte rundt på lodderne, og ved at tilføje og fjerne lodder, skal man få det mørke lod (x) til at stå alene på den ene vægtskål, uden at vægten tipper. Når det mørke lod står alene, kan man regne ud, hvad det vejer ved at kikke på lodderne på den anden vægtskål. Lektion 0 - Bogstavregning eksempler Side 1

Når man løser ligninger, må man: - lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. - trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. - gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. - dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. Løs ligningen: x 7 9 x 7 9 x 7+ 7 9+ 7 x 9+ 7 x 1 Man lægger 7 til på begge sider af lighedstegnet x 7 9 for at ophæve -7. x 9+ 7 Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. x 1 Når man lægger det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et minus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et plus-tal. Løs ligningen: 7 x+ 19 7 x+ 19 Man trækker 19 fra på begge sider af lighedstegnet 7 19 x+ 19 19 for at ophæve +19. 7 19 x Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. 18 x Den sidste ændring, hvor x flyttes over på venstre x 18 7 x+ 19 7 19 x 18 x side, er kun til pynt. x 18 Når man trækker det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et plus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et minus-tal. Lektion 0 - Bogstavregning eksempler Side

Løs ligningen: x 1 1 x x 1 1 x x Man ganger med på begge sider af lighedstegnet for at ophæve at x bliver divideret med. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. Den sidste ændring, hvor x flyttes over på venstre side, er kun til pynt. 1 x 1 x x x x Når man ganger med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et divisions-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et gange-tal. Løs ligningen: x x x x x 8 Man dividerer med på begge sider af lighedstegnet for at ophæve, at x bliver ganget med. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. x x x 8 Når man dividerer med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et gange-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et divisions-tal. Lektion 0 - Bogstavregning eksempler Side

Her kommer et par eksempler, som er drilske, selv om de ser lette ud: på opgaver Løs ligningen: 1 9 - x 1 9 x 1+ x 9 x 9 1 x 1 Løs ligningen: 1 x 1 1 x x x 1 x Man kan ikke ende med at have x til at stå alene bag et minus, bag et divisionstegn eller under en brøkstreg. Derfor laver man disse tricks : - til venstre fjerner man - x ved at lægge x til på begge sider af lighedstegnet. - til højre fjerner man x fra pladsen under brøkstregen ved at gange med x på begge sider af lighedstegnet. Her kommer nogle mere indviklede eksempler: Løs ligningen: x 9 1 x 9 1 x 1+ 9 x 0 x 0 x 10 Først lægger man 9 til på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om -9 flyttes over på den anden side og ændres til +9). Derefter dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til :. Husk at brøkstregen betyder divisionstegn). Lektion 0 - Bogstavregning eksempler Side

Løs ligningen: x 11 7 x 11 7 x 11 7 x 11 8 x 8+ 11 x 9 x 9 x 7,8 Først ganger man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om : flyttes over på den anden side og ændres til ). Derefter lægger man 11 til på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om -11 flyttes over på den anden side og ændres til +11). Til sidst dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til :. Husk at brøkstregen betyder divisionstegn). Løs ligningen: x x+ 1 x x+ 1 x x+ 1+ x x 1+ x 7 x 7 x, Først lægger man til på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om - flyttes over på den anden side og ændres til +). Derefter trækker man x fra på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om x flyttes over på den anden side og ændres til - x). Derefter regner man sammen på begge sider af lighedstegnet. Til sidst dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til :. Der er et usynligt gangetegn, og brøkstregen betyder divisionstegn). Det er altid en god ide, at kontrollere sine beregninger. I eksemplet ovenfor får man:,,+ 1 1 1+ 1 1 1 Lektion 0 - Bogstavregning eksempler Side

Til sidst kommer et par eksempler, hvor der indgår potenser og rødder: på opgaver Løs ligningen: x 9 Løs ligningen: x x 9 x x ± x ± 7 9 x x 1 I eksemplet til venstre tager man kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. Tænk på at x må være x. I eksemplet til højre sætter man begge sider af lighedstegnet i anden potens. Tænk på at ( x ) må være x. Potenserne og rødderne kan også være "pakket ind" som vist herunder: på opgaver Løs ligningen: Løs ligningen: x 11 x 8 x 11 x 8 x x 0, x± 11 x±, 0, Man skal først have x eller x 8+ x 11 x 11 x 11 x til at stå alene. Derefter gør man som i de øverste eksempler. Lektion 0 - Bogstavregning eksempler Side

Supplerende eksempler til Trin II Bogstavregning - supplerende eksempler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... a Reduktion... b Ligninger... d Lektion 0s - Bogstavregning supplerende eksempler Side a

Supplerende eksempler til Trin II Reduktion Her er først et par eksempler med bogstavudtryk, hvor der indgår brøker. på opgaver Reducer: a a + a Reducer: + b 1 b Vær opmærksom på at opgaven helt svarer til at skrive: a 1 a+ a Man finder først en fællesnævner for brøkerne. Her vælges (den mindste), og man får: a a a + a a eller med den anden skriveform: a 1 a+ a a a+ + a a 7 7a a Opgaven ligner den ved siden af, men det kan forvirre, at der er et bogstav under brøkstregen. Man finder igen en fællesnævner. Den mindst mulige er b. 1 + b b b + b 7 b Man ganger to parenteser med hinanden ved - hver for sig - at gange alle ledene i den første parentes med alle ledene i den anden parentes. Men det kan være indviklet at få det hele med. Læs eksemplerne herunder mere end en gang!! Hvis to parenteser står tæt ved siden af hinanden, er der altid et usynligt gange-tegn imellem. på opgaver Reducer: (a ) (a+ ) Reducer: ab + (a+ )(b ) + a a a+ a a 8a 8a + 1a 1a + a ab+ a b+ a ( ) + b+ ( ) + a ab+ ab a+ b 8+ a ab+ a+ b 8 Man skal især passe på, når der er minus-tegn foran tal eller bogstaver. I eksemplet til højre er det negative tal "pakket ind" for at vise, at minuset hører til tallet. Lektion 0s - Bogstavregning supplerende eksempler Side b

Supplerende eksempler til Trin II Du vil oftest have brug for at gange en parentes med et tal eller et bogstav, men man kan også gå den anden vej. Man kan sætte noget uden for parentes. Her er et par eksempler. på opgaver Sæt mest muligt uden for parentes i disse udtryk: a + 1b x + 1xy Reducer dette udtryk: m mn m n a+ 1b a+ b (a+ b) x + 1xy x x+ x y x (x+ y) Start med at sætte uden for parentes over brøkstregen. m mn m (m n) m m n m n I eksemplerne herover skal man tænke omvendt af, når man ganger. Man opdeler hvert led i tal eller bogstaver, som ganget med hinanden giver ledet. Men pas på: Man kan ofte opdele ledene på flere måder, hvoraf kun en kan bruges. Til sidst vises et par eksempler med potenser og rødder. på opgaver Reducer disse udtryk: x x x x (y) x x x x x x x x x x x x x x x x y y 18y x x x ne ovenfor kan godt regnes uden de viste mellemregninger (eller med mellemregninger skrevet på anden vis). Herunder er vist nogle regneregler og definitioner, som gælder for regning med potenser og rødder. Kontroller selv at de to eksempler ovenfor til venstre, svarer til de to første regneregler. a a a m m n a n a a m n m+ n n n (a b) a b n a b (a m ) n n a b n a n m n n n n a b a b a b a b n 1 a n a a n a a a 1 n b b b n n n b a a Lektion 0s - Bogstavregning supplerende eksempler Side c

Supplerende eksempler til Trin II Ligninger Ligninger med parenteser og brøkstreger kan være svære at løse. Her er et par eksempler. Læg mærke til den måde hvorpå x'et bliver "pakket ud". Rækkefølgen er ikke ligegyldig! I det første eksempel skal man fjerne 7 og, før man kan fjerne. Løs ligningen: (x+ ) 7 (x+ ) 7 (x+ ) 7 (x+ ) 8 x+ 8 x+, x, x, Først ganger man med 7 på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om : 7 flyttes over på den anden side og ændres til 7 ). Husk at brøkstregen betyder det samme som et divisionstegn! Derefter dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til : ). Husk at der er et usynligt gangetegn mellem tal og parentes! Til sidst trækker man fra på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om + flyttes over på den anden side og ændres til ). Løs ligningen: x+ 9 + 1 x+ 9 + 1 x+ 9 1 x+ 9 7 x+ 9 7 x+ 9 1 x 1 9 x 1 1 x, Først trækker man fra på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om + flyttes over på den anden side og ændres til ). Derefter ganger man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om : flyttes over på den anden side og ændres til ). Derefter trækker man 9 fra på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om + 9 flyttes over på den anden side og ændres til 9 ). Til sidst dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til : ). Lektion 0s - Bogstavregning supplerende eksempler Side d

Supplerende eksempler til Trin II Hvis der er flere brøkstreger i en ligning, kan man finde en fællesnævner. Løs ligningen: x + x + x + x + x + x 1 + 1 x + x 1 + 1 1 x+ (+ x) x+ 1+ x 1 x x 9 x 9 x x, Først ganger man med 1 på begge sider af lighedstegnet. Man vælger 1 fordi både og går op i 1. Det er derfor, at man kan forkorte ud som vist. Man tænker på samme måde, som når man finder en fællesnævner. Derefter løses ligningen på "normal" vis. Man regner sammen på begge sider af lighedstegnet Man trækker x og 1 fra på begge sider af lighedstegnet. Her er det gjort på samme tid. Til sidst dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. Der er ofte flere skrive-måder for ligninger og regneudtryk. Ligningen i eksemplet ovenfor er således magen til ligningen: Til sidst vises nogle eksempler på ligninger med potenser og rødder. Mange af resultaterne er afrundede. Man får sjældent pæne tal ved den slags beregninger. på opgaver Løs disse ligninger: x 0 x, 1 x+ ( + x) 1 x 0 x x, 0 Man ophæver en potens ved at tage den tilsvarende rod. På regnemaskinen trykkes: x 0 eller på ældre modeller: 0 INV y x x, x, x 1.78 Man ophæver en rod ved at tage den tilsvarende potens. På regnemaskinen trykkes:, ^ eller på ældre modeller:, y x Lektion 0s - Bogstavregning supplerende eksempler Side e

Supplerende eksempler til Trin II Hvis der står en potens (eller en rod) inde i en ligning, skal man først isolere potensen (roden). på opgaver Løs disse ligninger: x 8 x 9 1.0 + 1,,0 x 9 1.0 x x x 1.0+ 9 1. 1. 8 x 8,8 8 x + 1,,0 8 8 x,0 1, 0,7 x 0,7,8 x,8 8.778 I eksemplet til venstre kan x også være -,8, fordi (-,8) også er 8 Til allersidst vises et par lidt specielle eksempler med potenser og rødder. på opgaver Løs disse ligninger: (x+ ) 1.9 7 900+ x, 7 (x+ ) 1.9 7 900+ x,7 x+ 1.9 x+ x 900+ x,7 7 900+ x 1.0 x 1.0 900 1 I eksemplet til venstre opfatter man i første omgang (x + ) som en helhed, der isoleres. Man får x + fordi 1. 9 Men der er faktisk en svarmulighed mere end den viste, fordi (-) også er 1.9. Man får så: x+ x 8 I eksemplet til højre opfatter man i første omgang 900 + x som en helhed. Lektion 0s - Bogstavregning supplerende eksempler Side f

Funktioner og koordinatsystemer Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...7 Brug af grafer og koordinatsystemer...8 Lineære funktioner...1 Andre funktioner... Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 7

Brug af grafer og koordinatsystemer Et supermarked sælger kartofler for kr. pr. kg. Lav en graf i et koordinatsystem. Billige kartofler Kun kr. pr. kg - Vej selv af - Først beregnes nogle priser: - 1 kg kartofler koster 1 kr. - kg kartofler koster kr. - og så videre.. og 0 kg kartofler koster naturligvis 0 kr. Man kan lave en tabel som denne: Antal kg kartofler 0 1 Pris i kr. 0 8 10 Ud fra tallene i tabellen kan man lave tegningen herunder: Pris i kr 10 9 8 7 1 0, kg koster kr 0 1 Antal kg kartofler Prikkerne på tegningen svarer til tal-parrene i tabellen. Men man behøver ikke at købe et helt antal kg kartofler. Det viser den skrå streg gennem prikkerne. Man kan f.eks. se, at, kg kartofler koster kr. Tal-akserne og gitteret på tegningen kaldes et koordinat-system. Prikkerne kaldes punkter. Den skrå streg kaldes en graf. Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 8

Et koordinatsystem har en vandret og en lodret tal-akse. Den vandrette akse kaldes x-akse eller første-akse. Den lodrette akse kaldes y-akse eller anden-akse. Herunder er vist to koordinatsystemer. I det øverste koordinat-system er der markeret tre punkter. Det ene punkt ligger lige over 1-tallet på x-aksen og lige ud for -tallet på y-aksen. Derfor hedder punktet (1,). Tallene 1 og kaldes punktets koordinater. Det andet punkt har koordinaterne og. Derfor hedder punktet (,). Tallet kaldes x-koordinat eller første-koordinat. Tallet kaldes y-koordinat eller anden-koordinat. Det tredje punkt ligger på x-aksen og hedder (,0) 1 0 (, ) (1, ) (, 0) 0 1 I det nederste koordinat-system er der tegnet to grafer. Den skrå graf går igennem alle de punkter, hvor x-koordinaten og y-koordinaten er ens. For eksempel (0,0) og (1,1). Den vandrette graf går igennem alle de punkter, hvor y-koordinaten er,. For eksempel (0 ;,) og (1 ;,). Læg mærke til at der bruges et semikolon (;), når der er komma (,) i koordinaterne 1 0 0 1 Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 9

I koordinat-systemerne på forrige side går begge tal-akser til, men tal-akserne kan indrettes på mange andre måder, og akserne kan godt være forskellige. Her er et par eksempler: 100 80 0 0 0 0 0 0 0 0 80 100 1,0 0,8 0, 0, 0, 0,0 0 8 10 Nogle gange forlænger man tal-akserne bagud og nedad for at få de negative tal med. Det er vist herunder: (-, ) 1 0 - - - - -1 0 1-1 (-, -) - - - - (, -) Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 0

Lineære funktioner En funktion er en sammenhæng mellem to talstørrelser. Tallene kan variere, men de afhænger af hinanden. Her er et par eksempler: Prisen på en taxa-tur afhænger normalt af, hvor mange km man kører. En taxa-tur kan være både være billig og dyr. Og den kan både være kort og lang. Men de to tal kan ikke variere på må og få. Prisen afhænger af turens længde. Prisen er en funktion af antal km. Prisen for at sende et brev afhænger normalt af, hvor mange gram brevet vejer. Prisen (portoen) er en funktion af brevets vægt. En funktion kan beskrives ved hjælp af: - en tabel - en graf i et koordinatsystem - en funktionsforskrift (et regneudtryk, en formel) - kaldes ofte blot funktion Grafen for en funktion er ofte en ret linie. Så kaldes funktionen en lineær funktion. Tre foto-butikker tager forskellige priser når de fremkalder film og laver billeder. Sammenlign priserne ved at: - lave tabeller - tegne grafer i et koordinatsystem - opstille funktioner Først udregnes prisen for nogle forskellige film hos Andersens Foto: - ved 10 billeder bliver prisen: 10+ 0 0+ 0 0 kr. - ved 0 billeder bliver prisen: 0+ 0 0+ 0 70 kr. - og så videre.. Tallene samles i en tabel. Andersens Foto kr. pr. billede 0 kr. for fremkaldelse Billed-Ringen kr. pr. billede Prisen er med fremkaldelse City-Film 90 kr. pr. film Prisen er med fremkaldelse og uanset antal billeder Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 1

Tabellen ser således ud: Antal billeder på en film: 0 10 0 0 0 Pris hos Andersens Foto: 0 0 70 90 110 Det er måske ikke så realistisk med 0 billeder, men tallet er taget med for systemets skyld. Derefter udregnes priser hos Billed-Ringen: - hvis der er 10 billeder på en film, bliver prisen: 10 0 kr. - hvis der er 0 billeder på en film, bliver prisen: 0 80 kr. - og så videre.. Hos City-Foto er prisen 90 kr. uanset antal billeder. Nu kan tabellen udviddes: Antal billeder på en film: 0 10 0 0 0 Pris hos Andersens Foto: 0 0 70 90 110 Pris hos Billed-Ringen: 0 0 80 10 10 Pris hos City-Film: 90 90 90 90 90 Ud fra tallene i tabellen laves disse grafer: Pris i kr 10 10 10 100 80 0 City-Film Andersens Foto 0 0 0 Billed-Ringen 0 10 1 0 0 0 Antal billeder på en film Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side

Graferne viser bl.a. at: - at Billed-Ringen er billigst, hvis der er under 1 billeder på en film. - at Billed-Ringen og Andersens Foto er lige dyre ved 1 billeder. - at Andersens Foto er billigst, hvis der er mellem 1 og 0 billeder på en film. - at Andersens Foto og City-Film er lige dyre ved 0 billeder. - at City-Film er billigst, hvis der er over 0 billeder på en film. Da de fleste film er på enten eller billeder, vil der være mest fornuft i at vælge Andersens Foto eller City-Film. Nu kaldes antallet af billeder på en film for x, og prisen kaldes for y. y er en funktion af x, og y kaldes for funktionsværdien af x. Sammenhængen mellem x og y kan beskrives med disse funktions-forskrifter: Foto-butik Funktion Andersens Foto y x+ 0 Billed-Ringen y x City-Foto y 90 Alle tre funktioner kaldes lineære funktioner, fordi deres grafer bliver rette linier. Lineære funktioner kan generelt skrives på formen: y a x+ b I funktionen y x+ 0 er a og b 0. I funktionen y x er a og b 0. Men man skriver ikke nullet. I funktionen y 90 er a 0 og b 90. Men man skriver ikke nullet. Tallet a fortæller, hvor meget grafen hælder. Det kaldes stigningstal. Hvis a er lille, er grafen flad. Hvis a er stor, er grafen stejl. Hvis a er negativ, så hælder grafen nedad. Tallet b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. Der hvor grafen starter. Hvis b 0, er x og y ligefrem proportionale. De vokser i takt. Hos Billed-Ringen er prisen ligefrem proportional med antallet af billeder. Hvis to funktions-grafers skæringspunkt er svært at aflæse, kan det beregnes. Man kan beregne, hvor grafen for Andersens Foto og grafen for Billed-Ringen skærer hinanden ved at løse ligningen: x+ 0 x Man finder skæringspunktets x-værdi, når man sætter funktionernes højre-sider lig med hinanden. Kontroller selv, at man får x 1. Det betyder, at priserne bliver ens ved 1 billeder. Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side

Det er ofte bogstaverne x og y, der indgår i funktions-forskrifter, men andre bogstaver kan bruges også. Funktionerne kan have selv bogstav-navne. Hvis funktionen hedder f, kaldes funktionsværdien f(x) i stedet for y. Tegn i et koordinatsystem grafen for disse funktioner: f(x) 0, x+ g(x) x+ 1 Først beregnes en række sammenhængende værdier af x og f(x). - hvis x 0: f(x) 0, 0+ 0+ - hvis x 1: f(x) 0, 1+ 0,+, - hvis x : f(x) 0, + 1+ 10 og så videre. Tallene sættes ind i en tabel: x 0 1 f(x),, 8 Derefter laves en tilsvarende tabel for funktionen g. Regn selv efter: x 0 1 g(x) 1 7 9 Til sidst tegnes graferne i et koordinatsystem. Læg mærke til, at: - grafen for f går 1 hen og 0, op - grafen for g går 1 hen og op - grafen for f skærer y-aksen i - grafen for g skærer y-aksen i 1 y 0,x+ Grafen går 1 hen og 0, op. y x+1 Grafen går 1 hen og op. 0-0 - Mange funktioner, beskriver virkelige (eller realistiske) ting. Som i eksemplet med foto-priserne. Andre funktioner er ren tal-gymnastik. Som eksemplet herover. Ofte giver det kun mening at kikke på de positive tal. Som i eksemplet med foto-priserne. Nogle gange tager man negative tal med. Som på graferne herover. Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side

Andre funktioner Mange af de funktioner, som du møder, er lineære funktioner. Men du kan også støde på grafer og funktioner, hvis grafer ikke er rette linier. Her er et par eksempler: Et skur skal være firkantet (et rektangel eller et kvadrat). Arealet skal være 1 m. - Lav en tabel og en graf over mulige mål. - Opstil også en funktion Den anden side (bredde) Den ene side (længde) 1 m Først udregnes forskellige mulige kombinationer af sidelængder: 1 - hvis den ene side er m, så bliver den anden side m - hvis den ene side er m, så bliver den anden side, og så videre. Tallene samles i en tabel (nogle af tallene er afrundede): Den ene side i m 1 7 8 9 10 11 1 Den anden side i meter 1, 1,7 1, 1, 1, 1,1 1 I virkeligheden vil man næppe lave et skur, hvor den ene side er 1 m og den anden side er 1 meter, men muligheden er med for systemets skyld. Tallene i tabellen kan vises på grafen til højre. Grafen er ikke en ret linie men en blød bue. 1 Man kan opstille denne funktion: y, x hvor x er den ene side, og y er den anden side. Læg mærke til at graf og tabel er symetriske. Når er x så er y, og omvendt når x, så er y. Man siger, at x og y er omvendt proportionale. 1 10 0 0 10 1 Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side

Tegn en graf for funktionen f(x) x x+ 8. Start med at udfylde denne tabel: x 0 1 f(x) Først beregnes de sammenhængende værdier af x og f(x). - hvis x 0: f(x) 0 0+ 8 0 0+ 8 8 - hvis x 1: f(x) 1 1+ 8 1 + 8 - hvis x : f(x) + 8 1+ 8 0 og så videre. Tabellen ser således ud: x 0 1 f(x) 8 0-1 0 8 Grafen bliver igen en blød bue men af en anden type end før. 10 8 0-0 8 10 - Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side

Supplerende eksempler til Trin II Funktioner - supplerende eksempler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... a Oversigt over forskellige typer af funktioner... b Omvendt proportionalitet og hyperbler... c.gradsfunktioner og parabler... f Eksponentialfunktioner... i Lektion 07s - Funktioner supplerende eksempler Side a

Supplerende eksempler til Trin II Oversigt over forskellige typer af funktioner Du skal kende disse funktionstyper. Den første type er grundigt omtalt på de foregående sider. Lineære funktioner kan skrives på formen: - Graferne er rette linier. y a x+ b - a er hældningskoefficient, og størrelsen af a fortæller, hvor stejl grafen er. Hvis a er positiv hælder linien opad, hvis a er negativ hælder den nedad. - b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. - Hvis funktionen kan skrives på formen: y a x (altså b 0), så er x og y ligefrem proportionale. De øvrige typer bliver grundigt omtalt på de efterfølgende sider. a Hyperbler kan skrives på formen: y + b x+ c - Graferne består af to adskilte symmetriske buer (her er kun vist den ene). - a fortæller, hvor meget buerne krummer. - b og c fortæller, hvor grafen er placeret. a - Hvis funktionen kan skrives y så er x og y omvendt proportionale. x.gradsfunktioner er funktioner på formen: y a x + b x+ c - Graferne kaldes parabler og er symmetriske buer, med et toppunkt og en lodret symmetriakse. - a bestemmer parablens form. Hvis a er positiv, vender "benene" opad, hvis a er negativ, vender de nedad. Jo "større" a er (uanset fortegn), jo mere "spids" er parablen. - b og c bestemmer grafens placering, men sammenhængen er kompliceret. Eksponentialfunktioner er funktioner på formen: y b a Funktionerne beskriver størrelser, der regelmæssigt ændrer sig med et bestemt antal procent. - Graferne er bløde buer. - a bestemmer vækstens størrelse og dermed, hvordan buen krummer. Hvis a > 1 krummer grafen opad, hvis a < 1 krummer grafen nedad. - b fortæller hvor grafen skærer y-aksen. Du kan sagtens støde ind i helt andre funktioner, men du skal kende disse hoved-typer. x Lektion 07s - Funktioner supplerende eksempler Side b

Supplerende eksempler til Trin II Omvendt proportionalitet og hyperbler Et redskabsskur skal være 1 m og have form som et rektangel eller et kvadrat. Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem de mulige sidelængder. Opstil også en funktion, der viser sammenhængen. Hvis vi regner i meter, og sidelængderne kaldes for x og y, må der skulle gælde at: x y 1. 1 Det kan omskrives til funktionsforskriften: y, og man kan lave en tabel som denne: x x 1,00,00,00,00,00,00 7,00 8,00 10,00 1,00 1,00 1,00 y 1,00 8,00,,00,0,7,9,00 1,0 1, 1,1 1,00 Mange af tallene i tabellen er urealistiske. Man vil aldrig lave et skur, der måler 1 m x 1 m. Men tallene er taget med for at vise den matematiske sammenhæng mellem x og y. Regnemæssigt kan man sagtens bruge x-værdier mindre end 1 og større end 1, men man kan aldrig bruge 0 som x-værdi. Grafen kommer til at se ud som vist herunder. Både tabel og graf er symmetriske. Du kan fx finde tal-parret (,00;8,00) i den ene ende af både tabel og graf, og du kan finde det modsatte talpar (8,00;,00) i den anden ende. Der eneste grund til, at der er lidt længere mellem x-værdierne sidst i tabellen er, at grafen her er fladere og lettere at tegne. Men der er ingen faste regler for valg af x-værdier. 1 10 Der gælder at: - y-værdien bliver halveret, når når x-værdien bliver fordoblet. - y-værdien falder til en tredjedel, når x-værdien bliver tredoblet o.s.v. Denne sammenhæng mellem x og y kaldes omvendt proportionalitet. 0 0 10 1 a Funktioner der kan skrives på formen y kaldes omvendt proportionale funktioner. x Graferne for omvendt proportionale funktioner kaldes hyperbler, og de ligner altid grafen herover. Lektion 07s - Funktioner supplerende eksempler Side c

Supplerende eksempler til Trin II Rent praktisk giver negative tal ingen mening i eksemplet med redskabsskuret, men rent regnemæssigt kan man godt indsætte negative x-værdier i funktionen: Man får en tabel som denne (husk, at 0 ikke kan bruges som x-værdi): 1 y x x -1,0-8,0 -,0 -,0 -,0 -,0-1,0 1,0,0,0,0,0 8,0 1,0 y -1, -,0 -,7 -,0 -, -8,0-1,0 1,0 8,0,,0,7,0 1, Herunder er grafen for 1 y indtegnet sammen med grafen for x 1 y (stiplet graf). x 10 0-1 -10-0 10 1 - -10 Hyperbler består altid af to grene som vist herover, og de har altid to symmetri-akser. Ofte tegner man dog kun den ene gren, og symmetrien er kun tydelig, hvis der er brugt den samme inddeling på begge tal-akser. Hvis man tegner grafer for forskellige hyperbler, vil man se at: - hvis a er lille, vil grafen være tæt på tal-akserne. - hvis a er stor, vil grafen være langt fra tal-akserne. - hvis a er negativ vil grafen "vende rundt", således at den venstre gren ligger over x-aksen, og den højre gren ligger under x-aksen. -1 Husk at funktionsforskriften altid er: a y x Lektion 07s - Funktioner supplerende eksempler Side d

Supplerende eksempler til Trin II En taxa-vognmand tager 1 kr. i startgebyr og kr. pr. km. Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem antal km (x) og prisen pr. km (y). Opstil også en funktion, der viser sammenhængen. Eksemplet ligner mange typiske opgaver med lineære funktioner. Men i disse opgaver er y den samlede pris. Her er y prisen pr. km, og så bliver graf og funktion meget anderledes. Hvis man kører km, bliver den samlede pris 1+ kr. Prisen pr. km bliver 9 kr. På den måde kan man lave en tabel: x 1 7 8 10 1 1 1 y 1,00 1,00 10, 9,00 8,0 7,7 7,9 7,00,0,,1,00 Grafen ser ud som vist til højre: Prisen pr. km. kan findes således: - først deles startgebyret på 1 kr. ud på det kørte antal km. - derefter lægges den faste km-pris på kr. oveni. Derfor kan man opstille denne funktionsforskrift: 1 y + x Både tabel og graf er ligner meget tabellen og grafen fra eksemplet med haveskuret på side c. x-værdierne er de samme og alle y-værdierne er præcis større. 0 1 10 Denne gang er x og y ikke omvendt proportionale, men grafen kaldes stadig en hyperbel. Grafen har præcis sammen form som før, men den er parallelforskudt opad i koordinatsystemet. Grafen for alle funktioner, der kan skrives på formen Størrelsen af tallet a bestemmer hyperblens form. 0 0 10 1 a y + b, er hyperbler. x Lektion 07s - Funktioner supplerende eksempler Side e

Supplerende eksempler til Trin II.gradsfunktioner og parabler Funktioner, der kan skrives på formen y a x + b x+ c kaldes.gradsfunktioner. Graferne for alle.gradsfunktioner ligner hinanden og kaldes parabler Her er et par eksempler på.gradsfunktioner: y x x+ a, b - og c y x a 1, b 0 og c - y x + x a -1, b og c 0 Bemærk at a ikke må være 0. Lav en tabel og en graf for funktionen: y x Tabellen kommer til at se således ud: x - - - - -1 0 1 y 1 9 1 0 1 9 1 Grafen ser ud som vist til højre: Da mange af y-værdierne er store, er hele tabellen ikke vist på grafen. Funktionen y x er en slags "standard-.gradsfunktion", og grafen for funktionen er en "standard-parabel". Læg mærke til, at både tabel og graf er symmetriske omkring x 0 (y-aksen). y-aksen er symetri-akse for parablen. Punktet (0,0) er top-punkt for parablen. Alle andre parabler har også et toppunkt, og de er symmetriske som grafen til højre. 10 9 8 7 1 0 - - - -1 0 1-1 Lektion 07s - Funktioner supplerende eksempler Side f

Supplerende eksempler til Trin II Lav tabeller og grafer for disse funktioner: + f(x) x g(x) x 8x+ h(x) 0, x x Tabellen kommer til at se således ud (kontroller selv nogle af tallene): x - - - - -1 0 1 f(x) - - -1 - - -1 - - g(x) 9 7 7 1 - - - 1 h(x) 1, 10,0,,0-0, -,0 -, -,0-0,,0, Graferne ser ud som vist til højre. Når man sætter x-værdier ind i.gradsfunktioner, skal man være omhyggelig. Især hvis x-værdierne er negative, eller hvis a- og b-værdierne i funktionsforskriften er negative. Her er et par regne-eksempler: f( 1) ( 1) 1+ + h( ) 0, ( ) + 0, 9+ - ( ),+ -, Læg mærke til, at både tabeller og grafer er symmetriske lige som i eksemplet på forrige side. Men det er kun f, der er symmetrisk om x 0 (y-aksen). Funktionerne g og h har andre symmetri-akser. Læg også mærke til, at: - graferne for f og g har samme facon. De vender blot hver sin vej. - graferne for f og g er meget "spidse", mens grafen for h er lidt mere "flad". 8 7 f(x) h(x) 1 0 - - - -1 0 1-1 - - - g(x) - - -7 Lektion 07s - Funktioner supplerende eksempler Side g

Supplerende eksempler til Trin II Grafen for en.gradsfunktion (funktion af typen y a x + b x+ c ) er en symmetrisk parabel med toppunkt og en lodret symmetri-akse. Tallet a bestemmer parablens form. - hvis a er "stort" (uanset fortegn) så er parablen "spids" - hvis a er "lille" (uanset fortegn), så er parablen "flad" - hvis a er positivt, har parablen "benene" opad - hvis a er negativt, har parablen "benene" nedad Kontroller selv, at reglerne ovenfor passer på eksemplerne på de sidste par sider. x-værdien til en parabels toppunkt kan findes således: b x top a på opgaver Find toppunkterne til disse parabler: + f(x) x g(x) x 8x+ h(x) 0,x x b 0 x top 0 a ( ) y top f(0) 0 + b ( 8) 8 x top a y top f() 8 + 8 1+ b ( 1) 1 x top 1 a 0, 1 y top f(1) 0, 1 0, -1-1 -, I eksemplet ovenover bruges de sammen parabler, som er tegnet på forrige side. Kontroller selv at de beregnede toppunkter passer med tegningen. Hvis man skal tabel-lægge en.gradsfunktion og tegne den tilhørende parabel, er det ofte en fordel først at finde top-punktet. Når man kender det, er det lettere at lave tabellen og tegne grafen. Der findes også en særlig metode til at finde de steder, hvor en parabel skærer x-aksen (parablens nul-punkter). Metoden er nævnt i de tilhørende opgaver. Til sidst en vigtig oplysning: Parabler og.gradsfunktioner kan bruges til at beskrive mange ting fra den virkelige verden. Det kan du se eksempler på i de tilhørende opgaver. Men sammenhængen mellem virkelighed og matematik er ikke så nem at forstå. Derfor er disse eksempler lavet som ren "tal-gymnastik". Lektion 07s - Funktioner supplerende eksempler Side h

Supplerende eksempler til Trin II Eksponentialfunktioner Lønstigningerne i eksemplet herunder er (desværre) urealistisk høje, men det skal du ikke tænke på. Anna får en timeløn på 80 kr. Hun bliver lovet en årlig lønstigning på 1% de kommende år. Børge får en timeløn på 10 kr. Han bliver lovet en årlig lønstigning på 8% de kommende år. Lav tabeller, grafer og funktioner, der beskriver Annes og Børges timeløn år for år. Den letteste måde at lægge 1% til et tal er ved at gange tallet med 1,1. Derfor får man: Annas løn efter 1 år: 80,00 1, 1 9,00 kr. Annas løn efter år: 9,00 1, 1 10,80 kr. eller 80,00 1,1 1, 1 80 1,1 10,80 kr. Annas løn efter år: 10,80 1, 1 11,7 kr. eller 80,00 1,1 1,1 1,1. 80 1,1 11,7 kr. Børges løn kan fremskrives på tilsvarende måde ved at gange med 1,08. I alt får man: Antal år (x) 0 1 7 8 Annas løn 80,00 9,00 10,80 11,7 19,9 10,91 18,0 1,80,7 Børges løn 10,00 11,0 1,7 1,7 1,8 1,8 1, 179,9 19, Grafen ser ud som vist til højre: Hvis x er antal år regnet fra "nu", og y er timelønnen, kan man opstille denne funktion for Anna: y 80 1,1 og denne funktion for Børge: x y 10 1,08 Bemærk at funktionerne godt nok passer 0 for x 0 fordi: 80 1,1 80 1 80 og 1 for x 1 fordi: 80 1,1 80 1,1 9. x Når en størrelse regelmæssigt vokser (eller aftager) med et bestemt antal procent, siger man, at den vokser eksponentielt. Funktionerne ovenfor er eksempler på eksponentialfunktioner. Graferne buer mere og mere opad fordi lønstigningerne bliver større og større målt i kr. Graferne er ikke rette linier. 0 00 10 100 0 0 0 1 7 8 Lektion 07s - Funktioner supplerende eksempler Side i

Supplerende eksempler til Trin II Funktioner, der kan skrives på formen y x b a kaldes eksponentialfunktioner. Eksponentialfunktioner bruges til at beskrive talstørrelser, der regelmæssigt ændrer sig med et bestemt antal procent. - b er startværdien. På forrige side startlønningerne. - a er "1 + ændringsprocenten som decimaltal". Fx 1 + 1% 1 + 0,1 1,1 Vær opmærksom på, at eksponentialfunktioner er i familie med vækst-formlen. Den skrives normalt på formen K n + r) De to formler/funktioner udtrykker præcis det samme rent matematisk. n K 0 (1 Den er omtalt i et andet modul. En bil koster som ny 10.000 kr. Bilens værdien falder med % om året Lav en tabel, en graf og en funktion, der beskriver bilens værdi år for år. Man trækker % fra et tal ved at gange tallet med 0,7. Man beholder 100% - % 7%. Værdi efter 1 år: 10.000 0, 7 10.000 kr. Værdi efter år: 10.000 0, 7 90.000 kr. eller 10.000 0,7 0, 7 10.000 0,7 90.000 kr. x Funktionsforskriften må være y 10.000 0,7, hvor x er antal år, og y er bilens værdi. Tabellen kommer til at se således ud: Antal år (x) 0 1 Bilens værdi 10.000 10.000 90.000 7.00 0. 7.99 8.77 Grafen ser ud som vist til højre: x Funktionen y 10.000 0,7 er også en eksponentialfunktion, men der er tale om en negativ eksponentiel vækst. Grafen buer mindre og mindre nedad, fordi det årlige værditab bliver mindre og mindre målt i kr. En eksponentialfunktion skrevet x på formen y b a beskriver: - en positiv vækst når a > 1 - en negativ vækst når a < 1 10.000 10.000 10.000 100.000 80.000 0.000 0.000 0.000 0 0 1 Lektion 07s - Funktioner supplerende eksempler Side j

Geometri Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...7 Længdemål og omregning mellem længdemål...8 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater...9 Omkreds og areal af andre figurer...0 Omregning mellem arealenheder... Nogle geometriske begreber og redskaber... Målestoksforhold... Rumfang... Omregning mellem rumfangsenheder...7 Massefylde...8 Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras sætning)...9 Regne baglæns...70 Lektion 08 - Geometri eksempler Side 7

I geometri bruges en lang række formler til beregning af bl.a. areal og rumfang. På disse sider, er der eksempler på, hvorledes man bruger nogle af formlerne. Du skal ikke huske formlerne udenad. Du kan bruge en formel-samling. Længdemål og omregning mellem længdemål Vi bruger flere forskellige måleenheder, når vi måler længde (eller afstand), men standardenheden er en meter (m). En meter kan - som vist herunder - opdeles i: - decimeter (dm). Der går 10 dm til en meter. Ordet "deci" betyder tiende-del. - centimeter (cm). Der går 100 cm til en meter. Ordet "centi" betyder hundrede-del. - millimeter (mm). Der går 1000 mm til en meter. Ordet "milli" betyder tusinde-del. (millimeter er ikke med på tegningen - der var ikke plads) 1 m 10 dm 1 dm 10 cm 1 cm Her er sammenhængen mellem måleenhederne stillet op i en tabel: 1 m 10 dm 100 cm 1.000 mm 1 dm 10 cm 100 mm 1 cm 10 mm Hvis man måler større afstande bruger man ofte kilometer. - en kilometer (km) er 1.000 meter. Ordet "kilo" betyder tusinde. Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. på opgaver Omregn 97, cm til mm. Omregn 1.0 m til km. I skemaet står der 10 fordi, hver cm svarer til 10 mm. 97, cm 97, mm 10 97 mm I skemaet står der : 1. 000 fordi, hver km svarer til 1.000 m. 1.0 m 1.0 km :1.000 1,0 km Lektion 08 - Geometri eksempler Side 8

Omkreds og areal af rektangler og kvadrater Et rektangel er en firkant, hvor: - siderne er parvis lige lange - hjørnerne er rette vinkler på rektangler: Et kvadrat er en firkant, hvor: - alle sider er lige lange - hjørnerne er rette vinkler på kvadrater: Et kvadrat er et særligt pænt rektangel på opgaver Find omkreds og areal af et rektangel med længden m og bredden m. Find arealet af et rektangel med længden 0 cm og bredden,0 m. Omkredsen findes ved: - enten at sige: m + m + m + m 1 m - eller at sige: m + m 1 m Arealet findes ved at bruge formlen: Areal længde bredde eller blot A l b A m m 1 m Tegningen viser, at rektanglet svarer til 1 kvadrater, som måler 1 m på hver led. Et sådant kvadrat kaldes en kvadratmeter (1 m ) m Man kan ikke regne med både m og cm, så 0 cm laves om til,0 m. A,0 m,0 m 8,7 m Tegningen viser, at resultatet er rimeligt. Hvis du tæller de hele, de halve og den kvarte kvadratmeter sammen, så får du 8,7 m. 0 cm,0 m,0 m m Hvis du er usikker på, hvorledes man omregner længdemål, så blad en side tilbage. Der er et par eksempler. Lektion 08 - Geometri eksempler Side 9

Omkreds og areal af andre figurer Tegningen til højre er en skitse af et hus. Find husets areal. m 1 m For at finde arealet må huset opdeles i rektangler. Det kan f.eks. gøres således: 7 m 10 m Der mangler tilsyneladende nogle mål for det nederste rektangel, men ved at kikke på tallene på skitsen kan man regne ud at: - arealet af det øverste rektangel må være: - arealet af det nederste rektangel må være: I alt er huset derfor: A 1 m m A m m 7 m 0 m 9 m Arealer som det ovenfor kan ofte findes på flere måder. Tænk selv over om du kunne have fået resultatet på andre måder Ud over rektangler og kvadrater skal du kende trekanter, parallelogrammer, trapezer og cirkler. I de næste eksempler kan du se, hvorledes de ser ud. Find arealet af en trekant med grundlinie cm og højde cm. A 1 h g 1 cm cm 7, cm Tegningen viser, at arealet af trekanten svarer til halvdelen af arealet af et rektangel, med længden cm og højden cm. 1 A h g højde grundlinie Den lille tegning viser, at højden i en trekant nogle gange kan falde uden for. Lektion 08 - Geometri eksempler Side 0

Find arealet af et parallelogram med grundlinie cm og højde cm. A h g cm cm 1 cm A h g Tegningen viser, at arealet af parallelogrammet svarer til arealet af et rektangel, med længden cm og højden cm. Du klipper venstre ende af og flytter stykket mod højre. højde grundlinie Find arealet af et trapez hvor de parallelle sider (a og b) er cm og cm og højden er cm. A 1 h (a + b) 1 cm ( cm + cm) 18 cm Tegningen viser, at trapezet kan klippes i stykker og laves om til et rektangel, med længden, cm og højden cm. 1 A h (a + b) a højde b Den lille tegning viser, at trapezer godt kan være skæve. Lektion 08 - Geometri eksempler Side 1

Find omkredsen af en cirkel med en radius på 1, cm. (Det svarer til en diameter på cm) - enten O π d π cm 9, cm - eller O π r π 1, cm 9, cm O π d eller O π r radius diameter Tegningerne viser en cirkel, der rulles ud. Omkredsen et altid et bestemt tal gange diameteren. Dette tal kaldes π (læses pi). π er et uendeligt decimaltal, som starter med,1 Mange regnemaskiner har en π -knap. radius diameter radius diameter omkreds Find arealet af en cirkel med en radius på, cm. A π r π, 19, cm På regnemaskinen tastes: π X, x På tegningen bliver cirklen skåret i lagkagestykker og lagt omvendt. Forestil dig at stykkerne gøres meget tyndere. Resultatet vil ligne et rektangel. Længden bliver en halv omkreds - altså π, Højden bliver lig med radius - altså, cm Arealet bliver derfor π,, π, A π r cm 19, cm radius Lektion 08 - Geometri eksempler Side

Omregning mellem arealenheder Man skal tænke sig meget godt om, når man laver omregning mellem arealenheder. Når der skal 10 dm til en meter, kan man let tro, at der også skal 10 dm til en m, men tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 10 100 dm til en m. 1 m 100 dm 1 cm 1 dm 100 cm Her er sammenhængen mellem arealenhederne stillet op i en tabel: 1 m 100 dm 10.000 cm 1.000.000 mm 1 dm 100 cm 10.000 mm 1 cm 100 mm Bemærk at den mindste af enhederne (mm ) ikke er med på tegningen Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. på opgaver Omregn 00 cm til m. Omregn, cm til mm. I skemaet står der : 10. 000 fordi, hver m svarer til 10.000 cm. 00 cm 00 m :10.000 0, m I skemaet står der 100 fordi, hver cm svarer til 100 mm., cm, mm 100 0 mm Lektion 08 - Geometri eksempler Side

Nogle geometriske begreber og redskaber. Når man arbejder med geometriske figurer, har man ofte brug for en passer og en vinkelmåler. Passeren skal bruges til at tegne cirkler, og den kan også anvendes til andre tegneopgaver. Vinkelmåleren bruges til at måle og afsætte vinkler. De to redskaber er vist til højre. En vinkel er et mål for størrelsen af et cirkeludsnit eller størrelsen af et hjørne (en vinkelspids) i f.eks. en trekant eller en firkant. En cirkel måler 0 (læses 0 grader) hele vejen rundt. Et lige hjørne måler 90 og kaldes en ret vinkel. Det er en kvart cirkel. En vinkel på mindre end 90 kaldes en spids vinkel. Den viste vinkel er 0 En vinkel på mere end 90 kaldes en stump vinkel. Den viste vinkel er 10 I en trekant er de tre vinkler altid 180 tilsammen. Nogle særligt pæne trekanter har specielle navne: I en ligesidet trekant er alle siderne lige lange, og alle vinklerne er 0. I en ligebenet trekant er to af siderne lige lange og to af vinklerne lige store. I en retvinklet trekant er en af vinklerne ret - altså 90. Særligt pæne figurer kan være regulære eller symmetriske. Her er et par eksempler: Regulær sekskant Symmetrisk figur med vandret symmetriakse (eller spejlingsakse). Lektion 08 - Geometri eksempler Side

Målestoksforhold Tegningen viser et hus i målestoksforhold 1:00. Find husets længde og bredde. Find også husets areal. Grundrids af hus 1:00 Først måles længde og bredde på tegningen. Man får 7, cm og,0 cm. Så beregnes de rigtige mål ved at gange med 00. - længde: 7, cm 00 100 cm 1,00 m - bredde:,0 cm 00 800 cm 8,00 m Arealet beregnes til: 1 m 8 m 10 m På tegningen i eksemplet ovenfor er længdemålene 00 gange mindre end i virkeligheden. Eller man kan sige, at målene på det rigtige hus er 00 gange større end på tegningen. Det er definitionen på et målestoksforhold. Tegningen er en formindsket kopi af huset. Men arealet af det rigtige hus er 00 00 0.000 gange større end arealet af tegningen. Kik tilbage på siden med "Omregning mellem arealenheder". Så forstår du sikkert hvorfor! En byggegrund har form som et rektangel. Længden er 0 m og bredden er 0 m. Lav en tegning i målestoksforhold 1:00 Tegningens mål findes ved at dividere med 00. - længde: 0 m : 00 0,0 m cm - bredde: 0 m : 00 0,0 m cm Tegningen ser ud som til højre Hvis man vil skrive mål på tegningen, skal det være de rigtige mål - ikke de tegnede mål. 0 m 0 m 1:00 Når to figurer er præcise forstørrede/formindskede kopier af hinanden, siger man, at de er ligedannede. Men selv om man forstørrer/formindsker længdemålene, så er er vinklerne uforandrede. Lektion 08 - Geometri eksempler Side

Rumfang Ladet på en lastbil har de mål, som er vist på skitsen. Hvor mange m (kubikmeter) kan det rumme? Rumfanget findes ved at bruge formlen: Rumfang længde bredde højde eller blot V l b h (Bogstavet V bruges for rumfang) V 8 m m m 8 m Det betyder, at ladet kan rumme 8 terninge-formede kasser, som måler 1 m på hver led. En sådan terning kaldes en kubikmeter (m ). m 8 X 1 m m 7 m En kasse har de mål, som er vist på skitsen. Hvor mange liter kan den rumme? Liter er det samme som kubikdecimeter (dm ). (se evt. næste side om rumfangsenheder) Derfor laves målene om fra cm til dm inden beregningen. V 7, dm dm dm 90 dm eller 90 liter 0 cm 7 cm 0 cm cm En lille dåse har de mål, som er vist på skitsen. Hvor mange milliliter (ml) kan den rumme? 9 cm Milliliter er det samme som kubikcentimeter (cm ) og dåsen har form som en cylinder. V π r h π 9 707 cm eller 707 ml På regnemaskinen tastes: π X x X 9 Til højre er vist formlen for rumfanget af en cylinder. Der findes en række andre formler, som du også kan få brug for, når du regner opgaver med rumfang. V π r h radius højde Lektion 08 - Geometri eksempler Side

Omregning mellem rumfangsenheder Der bruges to systemer af rumfangsenheder. Meter-enheder og liter-enheder. Tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 10 10 1.000 dm til en m. 1 dm 1.000 cm 1 m 1.000 dm 1 cm Her er sammenhængen mellem rumfangsenhederne vist i en tabel: 1 m 1.000 dm 1.000.000 cm 1.000.000.000 mm 1 dm 1.000 cm 1.000.000 mm 1 cm 1.000 mm Man måler også rumfang med liter-enheder: liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) og milliliter (ml). Her er hoppet mellem enhederne kun en ti-gang. Det er vigtigt at vide, at: 1 liter 1 dl 1 cl 1 ml - 1 dm er det samme som en liter (l) - 1 cm er det samme som en milliliter (ml) Her er vist sammenhængen mellem liter-enhederne: 1 liter 10 dl 100 cl 1.000 ml 1 dl 10 cl 100 ml 1 cl 10 ml Omregn, m til liter. En liter er det samme som en dm. Derfor skal man gange med 1.000., m, dm 1.000.00 dm.00 liter Lektion 08 - Geometri eksempler Side 7

Massefylde Masse er et andet ord for vægt, og fylde betyder rumfang. Derfor er massefylde det samme som vægt pr. rumfangsenhed. Som formel skrives det normalt som vist til højre, men formlen kan også omskrives som vist herunder: Massefylde Vægt Rumfang Vægt Rumfang Massefylde eller Rumfang Vægt Massefylde Hvis et materiale har massefylden, g pr. cm, betyder det, at en cm (en kubikcentimeter-terning) vejer, g. Vand har en massefylde på 1 g pr. cm. Massefylde er vægt pr. rumfangsenhed. Fx vægt pr. cm. Lette ting, der kan flyde (fx træ), har en massefylde under 1 g pr. cm. Tunge ting, der ikke kan flyde (fx de forskellige metaller), har en massefylde på over 1 g pr. cm. Når man regner med massefylde, er det vigtigt at have styr på både rumfangsenhederne (se forrige side) og vægtenhederne. 1 ton 1.000 kg 1.000.000 g 1 ton 1 kg 1.000 g 1 kg 1 g på opgaver En metalklods vejer g og har et rumfang på 8 cm. Hvad er massefylden? Hvor meget vejer m grus, når massefylden for gruset er, tons pr. m? Hvor meget fylder 0, kg alkohol, når massefylden er 0,8 kg pr. liter? g Massefylde 8 cm,8 g pr.cm Vægt m 11, tons, tons pr.m 0, kg Rumfang 0,8 kg pr. liter 0, liter I eksemplerne ovenfor er der sat enheder på tallene i beregningerne og ikke kun på facit. Det behøver man ikke, men mange synes, at det er en god hjælp. Pas på med opgaver hvor der er små decimaltal som i eksemplet til højre. Man bliver let forvirret! Lektion 08 - Geometri eksempler Side 8

Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras sætning) Læresætningen om sidelængderne i en retvinklet trekant, er måske den mest berømte regneregel inden for matematik. Pythagoras har fået æren for sætningen. Han levede i Grækenland for mere end.000 år siden. B Det mest enkle eksempel er en såkaldt ---trekant. Hvis man laver en trekant, hvor siderne måler cm, cm og cm, vil trekanten altid være retvinklet. Det gælder naturligvis også, hvis man bruger andre måleenheder. Fx m, m og m. Man bruger normalt bogstavnavne som vist på tegningen, og sætningen lyder: A c cm b cm a cm C Man navngiver hjørner med store bogstaver og sider med små bogstaver. a + b c Hvis du regner efter, får du at: og det er jo ganske rigtigt. + eller 9 + 1, Denne sammenhæng mellem sidelængderne gælder altid for retvinklede trekanter. Det er vigtigt, at c er den længste side - siden modsat den rette vinkel. Det er lige meget, hvilken af de korte sider man kalder a og b. på opgaver Tegningen viser en retvinklet trekant. A c a 1 cm B b cm Find den manglende sidelængde c. C Skitsen viser en stige, der er stillet op ad en høj mur. Stigens længde er,0 m. 110 cm Hvor højt når stigen op? Man sætter ind i formlen og løser en ligning: 1 + c 1 + c 19 c c 19 1 cm a + b c Stigen, muren og jorden danner en retvinklet trekant, hvor c,0 m og en af de korte sider er 110 cm 1,10 m. Denne side kaldes a. Siden langs muren kaldes b og findes således: 1,10 + b 1,1+ b b,0 0, 0, 1,1 19,0 b 19,0, m Lektion 08 - Geometri eksempler Side 9

Regne baglæns Formlerne for areal og rumfang bruges (naturligvis) mest, når man skal beregne arealer og rumfang. Men hvis man mangler et af længdemålene på en figur, og man kender figurens areal eller rumfang og det andet (de andre) længdemål, så kan man regne baglæns (lignings-løsning). på opgaver Find bredden af et rektangel med arealet 1 m og længden,8 m. Formlen for arealet af et rektangel er: A l b Man sætter de kendte tal ind i formlen og regner baglæns (løser en ligning): A l b 1,8 b 1,8 b, b b, m Find højden af en kasse, der rummer 0,87 m og har længden 1 cm og bredden 80 cm. Rumfangs-formlen lyder: V l b h For at enhederne kan passe sammen laves 1 cm om til 1, m og 80 cm laves om til 0,80 m 0,87 1, 0,80 h 0,87 1,1 h 0,87 1,1 V l b h h 0,7 h h 0,7 m 7 cm på opgaver Find arealet af en cirkel der har en omkreds på cm. Find radius i en cylinder der er 0 cm høj og kan rumme 118 liter. Der er ingen formel, der direkte forbinder omkreds og areal, men man kan finde radius med denne formel: O π r,8 π r,8 r r r 7,0 cm Nu findes arealet med formlen: A A π r Rumfangs-formlen lyder: V π r h For at enhederne kan passe sammen laves 0 cm om til dm (husk at 1 liter 1 dm ). 118 π r 118 18,8 r 118 18,8 V π r h, r π r π 7,0 1,9 cm r,,dm cm r Lektion 08 - Geometri eksempler Side 70

Statistik Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...71 Middelværdi med mere...7 Hyppigheds- og frekvens-tabeller...7 Diagrammer...7 Hvilket diagram er bedst?...7 Grupperede observationer...77 Lektion 09 - Statistik eksempler Side 71

Når man skal holde styr på mange oplysninger, f.eks. en masse tal, kan det være en fordel at samle dem i en tabel eller lave et diagram ud fra tallene. Dette kaldes for statistik. Man ser ofte tabeller og diagrammer i aviser og på TV. Du skal: - kunne forstå og aflæse tabeller og diagrammer. - selv kunne lave tabeller og diagrammer ud fra tal eller andre oplysninger. Du skal også vide, at man kan snyde med tal og statistik. Vidste du at: En statistiker er en person, som kan ligge med fødderne i en varm bageovn og hovedet i en kold dybfryser og sige: I gennemsnit er temperaturen meget behagelig. Middelværdi med mere På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister. Den første siger fag, den næste siger fag o.s.v Her er alle svarene:,,,,,,,, 1,, 1,,,,, 1,, 1 Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. Find typetal og middelværdi. Mindsteværdien er det mindste af svarene. Man får 1 fag. Størsteværdi er det største af svarene. Man får fag. Variationsbredde er forskellen på det største og det mindste svar: Man får 1 fag. Typetal er det svar, som gives flest gange. Man får fag. Middelværdien findes ved at lægge alle svarene sammen og dele med antal svar. + + + + + 1 7, fag pr. kursist. 18 18 Middelværdi kaldes også gennemsnit. De to ord betyder det samme. Lektion 09 - Statistik eksempler Side 7

Hyppigheds- og frekvens-tabeller (fortsat) På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister. Svarene er:,,,,,,,, 1,, 1,,,,, 1,, 1 Lav en tabel over hyppighed og frekvens. Hyppighederne findes ved at tælle hvor mange der har svaret 1, hvor mange der har svaret o.s.v. Antal fag 1 I alt Hyppighed 1 18 I stedet for Hyppighed, kunne man i tabellen skrive Antal svar eller Antal kursister. Det ville man gøre, hvis det var en rigtig tabel i en avis eller på TV. 100 Frekvenserne findes ved at udregne procent-tal. Frekvensen for 1 fag er %. 18 Tabellen udviddes og man får: Antal fag 1 I alt Hyppighed 1 18 Frekvens % % % % 17% 100% I dette eksempel er procent-tallene afrundet til helt tal. Ofte tager man en decimal med, men lad være med at skrive hele rækken af decimaler. I stedet for Frekvens, kunne man i tabellen skrive Antal procent. Det ville man gøre, hvis det var en rigtig tabel i en avis eller på TV. Lektion 09 - Statistik eksempler Side 7

Diagrammer Herunder er vist hvorledes man laver et pindediagram, et cirkeldiagram og en kurve. Men der findes mange flere diagrammer end disse. Kik i de matematik-bøger som er på dit VUC. (fortsat) På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister. Svarene er vist i tabellen: Antal fag 1 I alt Hyppighed 1 18 Lav et pindediagram over hyppighederne. Pindediagrammet kan se således ud: 7 Hyppighed 1 0 1 Antal fag Man kan også lave et diagram over frekvenserne. De to diagrammer vil ligne hinanden. Lektion 09 - Statistik eksempler Side 7

Et hold med 18 nystartede VUC-kursister bliver spurgt om, hvorledes de kommer til VUC. Svarene er vist i tabellen. Lav et cirkeldiagram over tallene Transportmiddel Antal personer Til fods Cykel Bus Bil I alt 18 En hel cirkel er 0º (0 grader). Cirklen skal inddeles i lagkagestykker. En for hver transportform. 0 Lagkagestykket for Til fods skal udgøre af 0º: 80º 18 18 De andre lagkagestykker bliver 10º, 0º og 100º. Regn selv efter. Du kan også beregne grad-tal ud fra procent-tal (frekvenser). Først laves en cirkel med en passer. Så laves lagkagestykkerne et af gangen med en vinkelmåler. Til fods Cykel % Bus 17% Til fods % Bil 8% Man beregner ofte procent-tal og skriver dem på som vist her over. Man kan også måle vinklerne i et diagram og regne baglæns og finde procent-tallene. Lektion 09 - Statistik eksempler Side 7

I august starter der 18 kursister på et VUC-hold. I årets løb er der både nye kursister, der kommer ind på holdet, og kursister, som må stoppe. Tabellen viser antal kursister måned for måned. Måned Aug. Sept. Okt. Nov. Dec. Jan. Feb. Marts April Maj Antal kursister 18 1 0 17 1 18 17 1 1 Lav en kurve over tallene. Kurven tegnes i et koordinatsystem og ser således ud: Antal kursister 0 1 10 0 Maj April Marts Feb. Jan. Dec. Nov. Okt. Sept. Aug. Måned Hvilket diagram er bedst? Der findes ingen faste regler for, hvornår man skal bruge de forskellige diagrammer. Men her er et par tommelfinger-regler. Kurven er god, når man skal vise, hvorledes det samme tal ændrer sig over tiden. Pinde- og cirkeldiagrammer er gode, når man vil vise forskellige tal på samme tidspunkt. Pindediagrammet giver et godt billede af, hvor store tallene er i forhold til hinanden. Cirkeldiagrammet giver et godt billede af, hvor stor en del hvert tal udgør af det hele. Lektion 09 - Statistik eksempler Side 7

Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål, hvor der er mange mulige svar, så må man samle svarerne i grupper. Det kaldes intervaller. På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor langt (helt antal km) de har til VUC. Der er 18 kursister. Svarene er: 10, 1, 18,, 1,,,, 19, 8, 1,, 1, 10, 0,, 1 Grupper svarene i intervallerne 0 - km, - 9 km o.s.v. Lav en tabel over hyppighed og frekvens. Lav et diagram over frekvensfordelingen: Tabellen laves på præcis samme måde som tidligere vist. Først tæller man op, hvor mange der har svaret 0, 1,, eller km. Så tæller man op, hvor mange der har svaret,, 7, 8 eller 9 km. O.s.v. Tabellen ser således ud: Antal km 0 - - 9 10-1 1-19 0 - I alt Hyppighed 8 1 18 Frekvens % 11% 8% 11% % 100% Diagrammet kan se således ud: 0% 0% Frekvens 0% 0% 10% 0% 0-1 - 19 10-1 -9 0 - Antal km Lektion 09 - Statistik eksempler Side 77

Tabellen og diagrammet her over ser ud, som de typisk vil gøre det i en avis eller på TV. Men i matematik bruges ofte en speciel måde at skrive intervaller på. Man bruger enten firkantede parenteser eller større end- og mindre end-tegn. Her er nogle eksempler: Lukket interval Åbent interval Halvåbent interval Halvåbent interval [0 ; ] ] 0 ; [ [0 ; [ ] 0 ; ] 0 x 0 < x < 0 x < 0 < x 0 0 0 0 0-1 - 0-1 - eller 0,0 -,0 eller 0,1 -,9 eller 0,0 -,9 eller 0,1 -,0 eller 0,00 -,00 eller 0,01 -,99 eller 0,00 -,99 eller 0,01 -,00 eller. eller. eller. eller. Med firkantede parenteser kan hyppigheds- og frekvenstabellen skrives således: Antal km [0 ; [ [ ; 10[ [10 ; 1[ [1 ; 0[ [0 ; [ I alt Hyppighed 8 1 18 Frekvens % 11% 8% 11% % 100% Diagrammer for grupperede observationer laves ofte således: 0% 0% 0% 0% 10% 0% 0 10 1 0 Det kaldes et søjlediagram eller et histogram. Lektion 09 - Statistik eksempler Side 78

Supplerende eksempler til Trin II Statistik - supplerende eksempler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...78 a Middelværdi for grupperede observationer...78 b Summeret frekvens og sumkurver...78 c Indekstal...78 e Lektion 09s - Statistik supplerende eksempler Side 78a

Supplerende eksempler til Trin II Middelværdi for grupperede observationer Tabellen til højre viser månedslønningerne for de ansatte i et firma. Find et cirka-tal for gennemsnitslønnen? Man kan naturligvis ikke finde en præcis middelværdi, når man ikke kende de ansattes præcise lønninger, men man kan finde et cirka-tal. (husk at gennemsnit og middelværdi er det samme). Metoden kaldes interval-midtpunkts-metoden. Månedsløn i kr. Antal [1.000 ; 1.000[ 11 [1.000 ; 0.000[ 1 [0.000 ;.000[ 8 [.000 ; 0.000[ [0.000 ; 0.000[ Man lader som om, at de 11 personer, der har en månedsløn i intervallet [1.000 ; 1.000[, alle tjener 1.000 kr. Altså lønnen midt i intervallet. Det gør de givetvis ikke, men hvis deres lønningerne er (nogenlunde) jævnt fordelt på intervallet, så bliver fejlen ikke så stor. Man gør det samme for de andre løn-intervaller, og den samlede månedsløn bliver: 11 1.000+ 1 18.000+ 8.00+ 7.00+.000 89.00 kr. 89.00 Da der i alt er ansatte bliver gennemsnitlønnen: 19.70 kr. Lektion 09s - Statistik supplerende eksempler Side 78b

Supplerende eksempler til Trin II Summeret frekvens og sumkurver (fortsat) Tabellen til højre viser månedslønningerne for de ansatte i et firma. Udvid tabellen således at den også viser frekvens og summeret frekvens. Tabellen kommer til at se ud som vist herunder. For overblikkets skyld er der tilføjet en i alt-række. Månedsløn i kr. Antal [1.000 ; 1.000[ 11 [1.000 ; 0.000[ 1 [0.000 ;.000[ 8 [.000 ; 0.000[ [0.000 ; 0.000[ Frekvenserne er fundet ved almindelig procent-beregning. Fx er frekvensen for intervallet [1.000 ; 1.000[ fundet således: De summerede frekvenser findes ved at lægge frekvenserne sammen nedad. Den første summerede frekvens er lig med den første "almindelige" frekvens. 11 100 % Månedsløn i kr. Antal Frekvens Summeret frekvens [1.000 ; 1.000[ 11 % % Den næste summerede frekvens (%) er fundet som % + 8%. Den viser, at der er % af de ansatte, der tjener op til 0.000 kr. Den tredje summerede frekvens (8%) er fundet som % + 8% + 19% (eller lidt hurtigere som % + 19%) Den viser, at der er 8% af de ansatte, der tjener op til.000 kr. [1.000 ; 0.000[ 1 8% % [0.000 ;.000[ 8 19% 8% [.000 ; 0.000[ 1% 9% [0.000 ; 0.000[ % 100% I alt 100% Således fortsætter man - man kan dog ikke beregne en summeret frekvens for "i alt". Man kan også beregne summerede hyppigheder (antal). Det gøres på tilsvarende vis. Prøv selv at gøre det! Bemærk at alle procent-tallene ovenfor er afrundet til helt tal. Ofte tager man en decimal med, men der er normalt ingen grund til at tage en masse decimaler med. Man kan også skrive frekvenstal og summerede frekvenstal som brøker eller decimaltal. Lektion 09s - Statistik supplerende eksempler Side 78c

Supplerende eksempler til Trin II (fortsat) Tabellen til højre viser månedslønningerne for de ansatte i et firma. Lav en sumkurve ud fra de summerede frekvenser. Aflæs medianen og vurder hvor stor en andel af de ansatte der har en månedsløn over.000 kr. Månedsløn i kr. Frekvens Summeret frekvens [1.000 ; 1.000[ % % [1.000 ; 0.000[ 8% % [0.000 ;.000[ 19% 8% [.000 ; 0.000[ 1% 9% [0.000 ; 0.000[ % 100% Sumkurven ser ud som vist herunder. Først afsættes ud fra de summerede frekvenser "knækpunkterne". Altså punkterne: (1.000 kr. ; 0%), (1.000 kr. ; %), (0.000 kr. ; %) (0.000 kr.; 100%). Så laver man lige streger fra punkt til punkt, fordi man antager, at lønningerne er jævnt fordelt på intervallerne. 100% 90% 80% 70% 0% 0% 0% 0% 0% 10% Her aflæses at ca. 7% tjener op til.000 kr. Her aflæses medianen Sumkurver er svære at forstå. Men dette punkt betyder fx, at 8% tjener op til.000 kr. Sumkurven starter ved 1.000 kr., fordi ingen af de ansatte tjener under dette beløb. 0% 10.000 1.000 0.000.000 0.000.000 0.000 Månedsløn i kr. Medianen er 0%-værdien. Den aflæses til ca.18.00 kr. Det betyder, at den lavest lønnede halvdel tjener op til ca. 18.00 kr., mens den bedst lønnede halvdel tjener mere. Medianen kan let forveksles middelværdien, men den betyder ikke det samme. På sumkurven aflæses også, at 100% - ca. 7% ca. 8% tjener over.000 kr. Lektion 09s - Statistik supplerende eksempler Side 78d

Supplerende eksempler til Trin II Indekstal Indekstal er en slags procenttal, der bruges til at beskrive, hvordan en talstørrelse (fx en pris) forandrer sig over tid. Indekstal beregnes således: Periodens tal 100 Indekstal Basisperiodens tal Yrsa Olsen arbejder på en fabrik. Hun bor i en lejlighed i en anden by, og hun tager hver dag bussen på arbejde. Tabellen viser hendes timeløn og husleje samt prisen på et månedskort til bussen. År 1990 199 199 199 1998 000 Timeløn 7 7 7 8 89 9 Husleje..1.98.7.817.07 Buskort 7 80 10 Sammenlign løn- og prisudviklingen ved at lave en indekstabel. Brug 1990 som basisår. Man laver en tabel præcis magen til tabellen ovenfor, men i stedet for krone-beløbene skriver man indekstal. Alle tre indekstal for 1990 sættes til 100, da dette år er basisår. De øvrige indekstallene beregnes som vist herunder: Timeløn 199: 7 100 107, Timeløn 199: 7 7 100 11, Timeløn 199: 7 Læg mærke til at man altid dividerer med timelønnen fra 1990 (basisåret). I alt får man denne tabel (kontroller selv tallene): År 1990 199 199 199 1998 000 Timeløn 100,0 107, 11, 1, 1,8 1, Husleje 100,0 10,1 107, 11,0 11,1 11,8 Buskort 100,0 11, 18,0 1,0 1, 10,7 8 100... 7 I tabellen er indekstallene skrevet med en decimal. Ofte afrunder man til helt tal. Indekstallene viser, at huslejen er steget klart langsommere end lønnen. Til gengæld er prisen på buskortet vokset noget hurtigere end lønnen. Indekstal er gode til at vise en udvikling, da det er let at sammenligne et tal med tallet 100. Indekstal er gode, hvis man skal sammenligne udviklingen af meget forskellige talstørrelser. Lektion 09s - Statistik supplerende eksempler Side 78e

Supplerende eksempler til Trin II Indekstal er en slags procental. Men når indekstallet for Yrsa Olsens løn fra 199 til 199 stiger fra 11, til 1,, så siger man, at stigningen er på 1, - 11, 9,0 procentpoint. Stigningen er ikke på 9% af lønnen i 199 men på 9% af lønnen i 1990 (basisåret). Derfor siger man procentpoint og ikke procent. Det kan være svært at huske (og forstå). (fortsat) Indekstabellen viser udviklingen i prisen på et månedskort til en busrute. År 1990 199 199 199 1998 000 Buskort 100,0 11, 18,0 1,0 1, 10,7 Find stigningen fra 199 til 199 i både procentpoint og procent. Stigningen i procentpoint er forskellen i indekstal: 1,0-18,0 8,0 procentpoint. 8,0 100 Stigningen i procent findes ved almindelig procentregning:,% 18,0 Kik evt. i modulet om procentregning, hvis du døjer med at huske regnemetoderne. Hvis man beregner stigningen i procent fra 199 til 199 ud fra de rigtige buspriser fra 0 100 eksemplet på forrige side, så får man:,%. Altså præcis samme resultat. 80 Det vil altid være tilfældet. Tabellen i eksemplet ovenfor viser tydeligt, at prisstigningen er størst i starten. Den største stigning målt i procentpoint er på 1,7 procentpoint fra 199 til 199. 1,7 100 Det svarer til en stigning på : 1,0% 11, Men den største stigning i "almindelige" procent er faktisk fra 1990 til 199. Her er stigningen på 1,% (og i øvrigt også på 1, procentpoint). Danmarks Statistik udregner indekstal for den gennemsnitlige prisudvikling i samfundet. Tallene kaldes forbrugerprisindeks. Beregningen af tallene er kompliceret, og den er ikke kun baseret på priserne på almindelige "købmandsvarer". Der indgår også udgifter til fx husleje og transport. Her er vist forbrugerprisindeks med 1980 som basisår. År 1980 198 198 198 1988 1990 199 199 199 1998 000 Indeks 100,0 1,0 19,8 11,7 1,0 177, 18, 191, 199,7 07,9 19, I tabellen er af pladshensyn kun vist tal fra hvert andet år, men der bliver beregnet nye tal hver eneste måned året rundt. Tallene er gode som sammenligningsgrundlag. Lektion 09s - Statistik supplerende eksempler Side 78f

Supplerende eksempler til Trin II (fortsat) Sammenlign udviklingen i prisen på et månedskort (se forrige sider) med udviklingen i forbrugerprisindekset. Man kan ikke umiddelbart sammenligne indekstal med forskellige basisår, men det er alligevel muligt at lave en sammenligning. Man kan omregne forbrugerprisindekset, således at 1990 bliver basisår. År 1980. 1988 1990 199 199 199 1998 000 Indeks,. 9,0 100,0 10, 108,0 11, 117, 1, De nye indekstal for 1998 er fx fundet således: 07,9 100 117, 177, Nu kan man tydeligt se, at prisen på buskortet er vokset en del hurtigere end forbrugerprisindekset. Men sammenligningen kan også laves på flere andre måder. Overvej selv hvordan. Et forsikringsselskab regulerer sine præmier efter udviklingen i forbrugerprisindekset. En indboforsikring kostede 778 kr. i 1998. År 199 1997 1998 1999 Indeks 199,7 0,1 07,9 1,0 Find prisen på forsikringen i 1999. Prisen kan beregnes således: Pris i1998 Indekstalfra1999 Pris i 1999 Indekstalfra1998 778 1,0 07,9 797 kr. Metoden kan sættes på formel på denne måde: Nyt tal Gammelt tal Nyt indekstal Gammelt indekstal NB: Beregningen i eksemplet ovenfor er lidt urealistisk. Man kender naturligvis ikke forbrugerprisindekset for 1999, når man skal beregne forsikringspræmien for 1999. I praksis vil man lave en "forsinket" indeksregulering. Man vil bruge indekstallene fra 1997 og 1998 som det gamle og det nye indekstal. Lektion 09s - Statistik supplerende eksempler Side 78g

Sandsynlighed og kombinatorik Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...79 Simpel sandsynlighed...80 Kombinatorik...81 Sandsynlighed og kombinatorik...8 Kombinatorik og kugletrækning...8 Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 79

Sandsynlighedsregning og kombinatorik er to matematik-områder, som ofte hæftes sammen. Det er fordi, at kombinatorik kan anvendes som hjælpemiddel i sandsynlighedsregning. Men man kan dog: - både arbejde med sandsynlighedsregning uden brug af kombinatorik. Det kaldes herunder for simpel sandsynlighed. - og bruge kombinatorik til andet end sandsynlighedsregning. Simpel sandsynlighed Sandsynlighed beregnes på denne måde: Sandsynlighed Antal gunstige udfald Antal mulige udfald på opgaver Du kaster med en almindelig terning. - hvad er sandsynligheden for at få en er? - hvad er sandsynligheden for at få et lige tal? Terningen kan lande på måder, så der er mulige udfald. Men kun et 1 af udfaldene ( er) er gunstigt. 1 som kan omregnes til 0,17 17 % Der er stadig mulige udfald. Nu er af udfaldene (, og ) gunstige. 1 som kan omregnes til 0, 0 % Hvad er sandsynligheden for, at en bus er forsinket over min? 1 9+ + 1 1 87 0,18 18% En optælling viser at: - 9 busser kørte præcis til tiden - busser var forsinket 1 - min. - 1 busser var forsinket over min. ne med terningen kaldes teoretisk sandsynlighed. Eksemplet med busserne kaldes statistisk sandsynlighed. Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 80

Kombinatorik Du kaster med en sort og en hvid terning. På hvor mange måder (antal kombinationsmuligheder) kan terningerne lande? Begge terninger kan lande på måder. kombinationsmuligheder. Mulighederne er vist som felter i skemaet til højre. Pilen peger på kombinationen af en sort er og en hvid er. Der er også kombinationsmuligheder, når terningerne er ens. Slår man med to ens terninger rigtig mange gange, vil man få kombinationen en er og en er (eller en er og en er) dobbelt så ofte som kombinationen to ere. På en restaurant kan man frit sammensætte en retters-menu ud fra det viste menu-kort. Hvor mange kombinationsmuligheder er der? Forret Salat Suppe Hovedret Bøf Steg Pizza Lasagne Dessert Is Kage Frugt kombinationsmuligheder. Mulighederne er vist på tegningen til højre. Tegningen kaldes et tælletræ. Den viser, at man: - først vælger mellem forretter - derefter vælger mellem hovedretter Suppe Bøf Steg Pizza Lasagne Is Kage Frugt - til sidst vælger mellem desserter Hver grenspids svarer til en kombinationsmulighed, men der er ikke plads til at skrive tekst over alt. Salat Den øverste pil peger på: Suppe - lasagne - kage Den nederste pil peger på: Salat - steg - frugt Tælletræer er gode til at vise kombinatorik, men de er svære at tegne. De bliver let for store. Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 81

ne på denne side ligner hinanden to og to, men er alligevel forskellige. Hold hovedet koldt og tænk grundigt over forskellene. på opgaver En alarm har de viste tryk-knapper. For at slå alarmen fra skal man indtaste en kode på bogstaver. - Hvor mange kombinationsmuligheder er der, hvis hvert bogstav må bruges flere gange? F.eks. DCAC eller BBCB eller FEAB. Det første bogstav kan vælges på måder, det andet bogstav kan vælges på måder, og så videre.. 1.9 kombinationsmuligheder - Hvor mange kombinationsmuligheder er der, hvis hvert bogstav kun må bruges en gang? F.eks. FEAB. Det første bogstav kan vælges på måder, men det andet bogstav kan kun vælges på måder, da der allerede er valgt et bogstav. Det tredje bogstav kan vælges på måder og det fjerde bogstav på måder. 0 kombinationsmuligheder på opgaver På et VUC-hold med disse 1 kursister skal der vælges personer til skolens kursistråd. - Hvor mange kombinationsmuligheder er der, når der: - først vælges et medlem til rådet - derefter vælges en suppleant? Medlemmet kan vælges på 1 måder. Suppleanten kan kun vælges på 11 måder, da der allerede er valgt en person. 1 11 1 kombinationsmuligheder F.eks. Ida som medlem og Bo som suppleant, eller Bo som medlem og Ida som suppleant, eller.. Anna Carl Ida Kaj Mie Pia Bo Else Jens Lis Ole Ulf - Hvor mange kombinationsmuligheder er der, når begge personer skal være medlemmer af rådet? Det første medlem kan vælges på 1 måder. Det andet medlem kan kun vælges på 11 måder, da der allerede er valgt en person. Men man får kun: 1 11 kombinationsmuligheder fordi mulighederne er parvis ens. Der er lige meget om Ida eller Bo vælges først. Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 8

Sandsynlighed og kombinatorik Ved en fodboldturnering kan man gætte på resultatet af nogle kampe. Man skal udfylde den viste tipskupon. Hvad er sandsynligheden for at gætte alle resultaterne rigtigt? Man skal først finde antal kombinationsmuligheder. Den første kamp kan ende på måder (sejr til Gåsedal, uafgjort eller sejr til Andebjerg). Den næste kamp kan også ende på måder o.s.v. Der er i alt muligheder, fordi der er kampe. Sandsynligheden for at ramme den rigtige er: 1 0,00 0,% Tælletræet til højre viser ideen i udregningen, men det er næsten umuligt at tegne træet helt færdigt 1 X Kombinatorik og kugletrækning Alle kombinatorik-opgaver kan "oversættes" til, at man et antal gange skal trække en kugle fra en pose med et antal kugler. (Men det kan være svært at oversætte) Kombinatorik-opgaver handler om situationer, hvor der et antal gange skal vælges mellem et antal valgmuligheder. Hvis man udfylder en almindelig tipskupon, skal man 1 gange (ud for hver kamp) vælge mellem valgmuligheder (1, X eller ). Det svarer til, at man 1 gange trækker en kugle fra en pose med kugler. Hvis man kaster terninger, skal terningerne gange "vælge" mellem valgmuligheder. Det svarer til, at man gange trækker en kugle fra en pose med kugler. På næste side er en oversigt over forskellige "kugle-træknings-modeller". Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 8

: På hvor mange måder kan man sammensætte en -retters menu ud fra et menukort med forretter, hovedretter og desserter? Opgaven svarer til, at man har forskellige poser, med forskellige antal kugler. Der er: kombinationsmuligheder Poserne er forskellige: : Hvor mange kombinationsmuligheder er der på en cykellås med trykknapper, der kan stå i positioner? Opgaven svarer til, at man har ens poser, med kugler i hver pose, eller at man bruger den samme pose gange og lægger den trukne kugle tilbage efter hver trækning. Der er:... 79 kombinationsmuligheder : I en bestyrelse med medlemmer skal der vælges en formand, en næstformand og en kasserer. På hvor mange måder kan det gøres? Opgaven svarer til, at man gange fra den samme pose trækker en kugle. Man starter med kugler i posen, og der må ikke lægges tilbage. Der er: 0 kombinationsmuligheder. Posen kan genbruges. Kuglerne lægges tilbage. Posen kan genbruges. Kuglerne lægges ikke tilbage. Rækkefølgen har betydning. Posen genbruges. Kuglerne lægges ikke tilbage. Rækkefølgen er ligegyldig. : På hvor mange måder, kan man ud af en bestyrelse på medlemmer finde personer til en arbejdsgruppe? Der er 10 kombinationsmuligheder. Man kunne tro, at der var 0 muligheder, men mulighederne er parvis ens. (De samme personer fundet i forskellig rækkefølge). : På hvor mange måder, kan man ud af en bestyrelse på medlemmer finde en arbejdsgruppe på personer? Der er 10 kombinationsmuligheder. 1 Hvis rækkefølgen havde haft betydning, var der 0 muligheder, men mulighederne kan samles i grupper af muligheder med de samme personer fundet i forskellige rækkefølger. Og personer kan findes på 1 måder. Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 8

Supplerende eksempler til Trin II Rente, lån og opsparing - supplerende eksempler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...8 Simpel rente og sammensat rente...8 Nogle vigtige begreber omkring lån og opsparing...87 Serielån...88 Annuitetslån...89 Opsparing...9 Lektion 11s - Rente, laan og opsparing supplerende eksempler Side 8

Supplerende eksempler til Trin II Simpel rente og sammensat rente Hvis man sætter penge i banken, får man renter. Hvis man låner penge, betaler man renter. Renten oplyses normalt som et bestemt antal procent pr. år (kaldet pro anno). Pengene står sjældent i netop et år, så renten beregnes efter det præcise antal dage. På terminsdagen lægges den beregnede rente oveni det beløb, der er på kontoen. På indlån er der normalt en årlig terminsdag. Det er ofte 1/1 (til nytår). På udlån er der tit flere terminsdage pr. år. på opgaver Der indsættes 10.000 kr. på en konto med årlig på rente på %. Hvor meget bliver renten, hvis beløbet står på kontoen - i mdr. fra 0/ til 1/8? - i mdr. fra 0/11 til 1/1? Årsrenten bliver % af 10.000 kr. 00 kr. Perioden er på dage (tæl selv efter), så renten bliver af årsrenten. Man får 00 0,9 kr. 10.000 I en beregning skrives 0, 9kr. 100 Ofte er det præcist nok at tælle måneder. Så får man 00 0,00 kr. 1 Fra 0/11 til 1/1 er der 1 dage. 1 Renten bliver 00,8 kr., som lægges til de 10.000 kr., fordi 1/1 er terminsdag. Efter 1/1 skal renten beregnes af 10.0,8 kr. Årsrenten bliver % af 10.0,8kr. 00,7 kr. Fra 1/1 til 1/1 er igen 1 dage, og renten bliver 1 00, 7, kr. Den samlede rente er,8 +, 1,0 kr. I eksemplet ovenfor til venstre taler man om simpel rente. Beregningen er vist på flere måder, men der er bl.a. brugt denne formel: K r d R 100 R beregnet rente i kr. K kapital i kr. r renten pr. år i procent d antal dage (kaldet rentedage) I eksemplet ovenfor til venstre bliver den præcise rente 0,9 kr. I eksemplet til højre er den præcise rente øre højere, selv om beløbet på 00 kr., står lige lang tid på kontoen. Forskellen skyldes at pengene står hen over en terminsdag. De ekstra øre, der beregnes for januar måned, er renterne af den rente, der blev tilskrevet på terminsdagen 1/1. Beløbet kaldes for rentes rente. Hvis en kapital forrentes i flere år, og renten er høj, kan rentes rente betyde en hel del. Lektion 11s - Rente, laan og opsparing supplerende eksempler Side 8

Supplerende eksempler til Trin II Hvis et beløb forrentes over flere hele rente-tilskrivnings-perioder (terminer), bruger man sammensat rentesregning. En rente-tilskrivnings-periode er ofte et kalenderår, men det kan også være en måned, et kvartal eller et halvt år. på opgaver Et år til nytår indsættes.000 kr. på en konto med en årlig rente på %. Hvor meget står der på kontoen (med rente) - efter præcis et år? - efter år? Der skal lægges % til. Det gøres lettest ved at gange med 1,0. Man får.000 1, 0.00 kr. Der skal lægges % til tre gange. Det gøres lettest ved at gange med 1,0 tre gange. Man får.000 1,0 1,0 1, 0., kr. Heraf må renten udgøre, kr. I en beregning skrives.000 1,0., kr. I eksemplet ovenfor til højre er brugt denne formel (ofte kaldet vækst-formlen): K + n n K 0 (1 r) K n kapital efter n rente-tilskrivninger K 0 startkapital. r renten som decimaltal n antal rentetilskrivnninger på opgaver Et år til nytår optages et lån på 0.000 kr. til en årlig rente på 10%. Lånet skal betales tilbage (med renter) på en gang efter år. Hvor meget skal der betales tilbage, hvis der er - helårlig rentetilskrivning? - kvartårlig rentetilskrivning? Man får ved at bruge formlen ovenfor, at K 10 0.000 1,.10 kr. Der er reelt lagt 1% til fordi 1,10 1, 1 Den kvartårlige rentetilskrivning betyder, at der hvert kvartal skal lægges 10 % :,% til. Der er 0 kvartaler, så i alt fås: 0 K 0 0.000 1, 0.77 kr. I eksemplet overfor til højre ganges hvert år med 1,0 1, 108. Derfor lægges der reelt 10,8% til hvert år. Dette tal kaldes den nominelle rente, mens 10% er den pålydende rente. Lektion 11s - Rente, laan og opsparing supplerende eksempler Side 8

Supplerende eksempler til Trin II Nogle vigtige begreber omkring lån og opsparing Når man låner penge skal man normalt betale renter og afdrag hver termin. En termin er en periode på f.eks. en måned et kvartal eller et år. Den periode, det tager at betale lånet tilbage, kaldes lånets løbetid. Det beløb, man i alt låner, kaldes lånets hovedstol. Et afdrag er det beløb, som man i en bestemt termin reelt betaler af på lånet. Det beløb, som man mangler at betale tilbage, kaldes restgæld. Renten i en termin er en bestemt procentdel af restgælden. Renten er betaling for at låne penge. Summen af renter og afdrag i en termin kaldes ydelse. Når man betaler renter får man et skattefradrag og skal derfor betale mindre i skat. Hele ydelsen kaldes bruttoydelsen. Nettoydelsen er ydelsen minus det beløb, man sparer i skat Når man sparer op får man renter hver termin, men renten på opsparing er lavere end renten på lån. Det er på den måde, at bankerne tjener penge. Der findes mange forskellige former for lån, og man kan låne penge mange andre steder end i banken. Hvis man låner penge til køb af et hus eller en ejerlejlighed, så låner man de fleste af pengene i en kreditforening. Hvis man køber noget på afbetaling, så optager man reelt et lån. Det sker ofte i et finansieringsselskab. Du kan læse mere om de forskellige slags lån andre steder. Der er ret stor forskel på renten på forskellige lån. Det er mange gange let at få et lån hos et finansieringsselskab, men til gengæld er renten høj. Det kan være sværere at få banklån og kreditforeningslån, men her er renten ofte lidt lavere. Hvis dem, der låner pengene ud, kan føle sig sikre på at få deres pengene tilbage, så er renten lavere end, hvis der er en risiko for, at pengene ikke bliver betalt tilbage. Det er ofte meget kompliceret at regne på rigtige lån og opsparinger. Derfor er eksemplerne og opgaverne i dette materiale lidt forenklede sammenlignet med mange rigtige lån. Lektion 11s - Rente, laan og opsparing supplerende eksempler Side 87

Supplerende eksempler til Trin II Serielån Ved et serielån betaler man et fast afdrag hver termin. Renten bliver mindre og mindre, fordi restgælden bliver mindre og mindre. Ydelsen bliver ligeledes mindre og mindre Serielån bruges ikke så ofte i praksis, men de er lette at regne på. Et serielån på 0.000 kr. afvikles over år med helårlige terminer og en årlig rente på 10%. Find først det årlige afdrag og første års rente. Opstil også en amortiseringstabel og vis lånets afvikling grafisk. Det årlige afdrag bliver Amortiseringstabellen ser således ud: 0.000 10.000 kr. Første års rente bliver 10% af 0.000.000 kr. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 0.000 1.000 10.000 1.000 0.000.000 10.000 1.000 0.000.000 10.000 1.000 0.000.000 10.000 1.000 10.000 1.000 10.000 11.000 0 Termin 0 er ved lånet optagelse, og restgælden er 0.000 kr. det første år. Efter et år (termin 1) betales et afdrag på 10.000 kr. samt.000 kr. i rente. Restgælden falder til 0.000 kr. Efter to år (termin ) betales igen et afdrag på 10.000 kr. Renten er nu 10% af 0.000.000 kr. Efter fem år er lånet betalt tilbage. Bemærk at summen af afdragene (naturligvis) er 0.000 kr. Summen af renterne er 1.000 kr., og det er en del mere end 10% af 0.000 kr. Grafisk kan lånets afvikling vises på mange måder. Til venstre er vist ydelsernes fordeling på renter (øverst) og afdrag (nederst). Til højre er vist restgælden termin for termin. 1.000 1.000 10.000 8.000.000.000.000 0 1 0.000 0.000 0.000 0.000 10.000 0 0 1 Lektion 11s - Rente, laan og opsparing supplerende eksempler Side 88

Supplerende eksempler til Trin II Annuitetslån Ved et annuitetslån betaler man en fast ydelse hver termin. I starten, hvor restgælden og renten er stor, er der kun plads til små afdrag. Senere falder renten, mens afdragene vokser. Langt de fleste rigtige lån er annuitetslån. Et annuitetslån på 0.000 kr. afvikles med en årlig ydelse på 1.000 kr., og en årlig rente på 10%. Opstil en amortiseringstabel. Amortiseringstabellen ser således ud. Det er vigtigt, at du selv prøver at regne (nogle af) tallene efter. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 0.000 1.000 8.000 1.000.000.00 8.800 1.000.00.0 9.80 1.000.0. 10.8 1.000 1.87 1.87 11.71 1.000 1.19 11 1.19 1.7 0 Efter et år (termin 1) betales den faste ydelse på 1.000 kr. Fordi renten er 10% af 0.000.000 kr., bliver der 1.000 -.000 8.000 kr. til afdrag. Restgælden falder til.000 kr. Efter to år (termin ) betales igen den faste ydelse på 1.000 kr. Renten er nu kun 10% af.000.00 kr. Derfor bliver afdraget nu lidt større. Efter fem år er der stadig en lille restgæld, så der bliver brug for en noget mindre. ydelse. Det er besværligt, at opstille tabeller, som den ovenfor, men hvis du prøver, får du en god fornemmelse af, hvorledes et annuitetslån er skruet sammen. I eksemplet ovenfor er ydelsen et rundt tal, nemlig 1.000 kr. Til gengæld bliver den sidste ydelse anderledes end de øvrige. Hvis man betaler en ydelse, der er lidt større end 1.000 kr., kan man nøjes med at betale lige store ydelser. Ydelsen kan findes med denne formel: G r y 1 (1+ r) n y ydelsen pr. termin G gælden (lånets hovedstol) r renten pr. termin som decimaltal n antal terminer Formlen kaldes for ydelsesformlen. På de næste sider kan du se eksempler på brug af formlen. Forklaring på formlen er indviklet. Den kan du finde andre steder. Her skal kun lære at bruge formlen. Lektion 11s - Rente, laan og opsparing supplerende eksempler Side 89

Supplerende eksempler til Trin II Et annuitetslån på 0.000 kr. afvikles over år med helårlig ydelse og en årlig rente på 10%. Beregn den årlige ydelse. Opstil en amortiseringstabel og vis lånets afvikling grafisk. Ydelsen beregnes således G r 1 (1+ r) 0.000 0,10 1 1,10 y n 1.190kr. På regnemaskinen trykkes 0000 X 0,10 ( 1 1,10 ^ (-) ) eller på lidt ældre modeller således 0000 X 0,10 ( 1 1,10 y x +/- ) 0.000 0,10.000.000 Du kan også lave mellemregninger: y 1.190 1 1,10 1 0,09... 0,791... Amortiseringstabellen ser således ud: Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 0.000 1.000 8.190 1.190 1.810.181 9.009 1.190.801.80 9.910 1.190.89.89 10.901 1.190 11.991 1.199 11.991 1.190 0 Efter et år (termin 1) betales den faste ydelse på 1.190 kr. Fordi renten er 10% af 0.000.000 kr. bliver der 1.190 -.000 8.190 kr. til afdrag. Restgælden falder til 1.810 kr. Efter to år (termin ) betales igen den faste ydelse på 1.000 kr. Renten er nu kun 10% af 1.810.181 kr. Derfor bliver afdraget nu lidt større. Grafisk kan lånets afvikling vises på mange måder. Til venstre er vist ydelsernes fordeling på renter (øverst) og afdrag (nederst). Til højre er vist restgælden termin for termin. 1.000 1.000 10.000 8.000.000.000.000 0 1 0.000 0.000 0.000 0.000 10.000 Grafen til venstre viser tydeligt, at renterne falder og afdraget vokser. Grafen til højre viser - dog ikke så tydeligt - at restgælden falder hurtigst til sidst. 0 0 1 Lektion 11s - Rente, laan og opsparing supplerende eksempler Side 90

Supplerende eksempler til Trin II Et annuitetslån på 1.000.000 kr. afvikles over 0 år med kvartårlige terminer og en årlig rente på 8%. Beregn ydelsen og undersøg, hvor meget der i alt bliver betalt i rente. Opstil også et par rækker af en amortiseringstabel. Der er i alt 0 10 terminer, og renten pr. termin er 8 % : %. Man får G r 1 (1+ r) 1.000.000 0,0 1 1 1,0 y n 0 I alt betales der 10. 08..70 kr..08kr. Heraf må..70-1.000.000 1..70 kr. være renter. Tallene kan lyde voldsomme, men lånet ligner mange realkreditlån til køb af bolig. Amortiseringstabellen starter på denne måde: Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 1.000.000 1 0.000.08.08 997.9 19.99.089.08 99.8 Det ses tydeligt, at der i starten næsten kun betales renter. Amortiseringstabeller som den ovenfor er umulige at lave fuldt ud i hånden, men de kan let laves på computer med et regnearksprogram. Til højre er - lidt formindsket - vist nogle udsnit at amortiseringstabellen for lånet i eksemplet ovenfor. Læg mærke til at man - efter halvdelen af løbetiden - stadig betaler langt mere i rente end i afdrag. Læg også mærke til at man - efter halvdelen af løbetiden - kun har betalt lidt under ¼ af lånet tilbage. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 1.000.000 1 0.000.08.08 997.9 19.99.089.08 99.8 19.917.11.08 99.7 19.87.17.08 991.9 8 1.71..08 779.8 9 1.89.9.08 77.000 0 1.0.88.08 7.11 1 1.8.70.08 79.9 1.19.8.08 7.87 11.078 19.970.08 8.9 117 1.79 0.9.08.8 118 1.7 0.77.08.808 119 8 1.19.08 1.1 10 1.1.08 0 Lektion 11s - Rente, laan og opsparing supplerende eksempler Side 91

Supplerende eksempler til Trin II Ydelsesformlen kan omskrives på denne måde: 1 (1+ r) G y r n G gælden (lånets hovedstol) y ydelsen pr. termin r renten pr. termin som decimaltal n antal terminer Denne udgave af formlen kaldes for gældsformlen. Formlen bruges til at beregne, hvor stort et lån man kan få, når renten er kendt, og man kan betale en bestemt ydelse i et bestemt antal terminer. Du vil købe en computer på afbetaling over år. Renten er 1,% pr. måned, og du kan betale en ydelse på 00 kr. pr. måned. Hvor dyr en computer kan du købe? Når man køber på afbetaling, optager man reelt et lån. Derfor kan man bruge gældsformlen. Man får 1 (1+ r) G y r n 1 1,01 00 0,01 10.01kr. 10.000 kr. På regnemaskinen trykkes 00 X ( 1 1,01 ^ (-) ) 0,01 eller på lidt ældre modeller således 00 X ( 1 1,01 y x +/- ) 0,01 Bemærk at der i alt skal betales 00 1.000 kr., så renterne udgør cirka.000 kr. En rente på 1,% pr. måned lyder voldsom, men ved køb på afbetaling kan renten sagtens være endnu højere. Det er vigtigt, at du er klar over, at rigtige lån ofte er mere indviklede at regne på end lånene i disse eksempler og de tilhørende opgaver. Det kan fx skyldes at: rigtige lån næsten aldrig har helårlige terminer. der ud over renter og afdrag skal betales forskellige "gebyrer" og "omkostninger". der skal betales et afdrag hver måned men kun beregnes og betales renter hvert kvartal. lånet næsten aldrig optages på "terminsdagen". Hvis lånet optages midt i en termins-periode, skal der til første termin kun betales rente for resten af denne periode. Ikke for en hel termin. man på grund af "kurstab" skal betale renter og afdrag af et beløb, der er større end det beløb, man får udbetalt. Det er tilfældet ved realkreditlån til køb af bolig. renten ofte er variabel. Den kan ændre sig mens lånet betales tilbage. Du kan få en god fornemmelse for, hvorledes lån afvikles, ved at regne opgaverne. Men du skal være klar over, at dine beregninger nogle gange kun giver dig cirka-tal. Lektion 11s - Rente, laan og opsparing supplerende eksempler Side 9

Supplerende eksempler til Trin II Opsparing På en opsparingskonto indsættes hvert år til nytår.000 kr. Renten er % pr. år. Lav en tabel der beskriver opsparingen år for år. Tabellen starter således: Indbetaling Rente Indsat Opsparing 1 0.000.000 00.000 1.00 1.000 18.91 Ved. indbetaling har de første.000 kr. stået på kontoen i et år. Derfor tilskrives en rente på % af.000 00 kr. Ved. indbetaling har der stået 1.00 kr. på kontoen det seneste år. Derfor tilskrives en rente på % af 1.00 1 kr. Det er besværligt, at lave en tabel som den ovenfor, hvis der foretages mange indbetalinger. Men der findes en formel til at beregne opsparingen efter et bestemt antal indbetalinger: O n (1+ r) y r n 1 O n opsparingen efter n indbetalinger y indbetaling pr. termin n antal indbetalinger r renten pr. termin På en opsparingskonto indsættes hvert år til nytår.000 kr. Renten er % pr. år. Find opsparingen (med renter) efter den 8. indbetaling. Man får O 8 8 1,0 1.000 7.9 kr. 0,0 På regnemaskinen trykkes.000 X ( 1,0 ^ 8 1 ) 0,0 Da der er indbetalt 8. 000 8.000 kr., må der i alt være tilskrevet 9.9 kr. i renter. Bemærk også at den 8. indbetaling sker 7 år efter at indbetalingerne er begyndt. Rigtige opsparinger er ofte mere indviklede at regne på. Det kan fx skyldes at: der indbetales penge hver måned men kun beregnes og tilskrives renter hvert år. pengene bliver stående på kontoen i en periode efter sidste indbetaling. Men du får udmærkede cirka-tal ved at bruge opsparingsformlen. Lektion 11s - Rente, laan og opsparing supplerende eksempler Side 9