Nyere fortolkninger af kvantemekanikken og måleproblemet. Anja Skaar Jacobsen Institut for de Eksakte Videnskabers Historie

Nyere fortolkninger af kvantemekanikken og måleproblemet Anja Skaar Jacobsen Institut for de Eksakte Videnskabers Historie November 1995

ii

Indhold 1 Indledning 1 1.1 Problemformulering........................ 2 1.2 Afgrænsning............................ 2 1.3 Kort oversigt over indholdet af kapitler............. 3 1.4 Vejledning til læseren....................... 3 2 Om interpretation 5 2.1 Teorien............................... 6 2.2 Interpretationen.......................... 8 3 Den kvantemekaniske måleteori 11 3.1 Måleproblemet.......................... 14 4 Tæthedsmatricen 21 4.1 Interpretation af tæthedsmatricen................ 23 4.2 Ensemblebeskrivelsen....................... 24 4.3 Den reducerede tæthedsmatrix.................. 25 4.4 Måleprocessen........................... 27 5 Københavnerfortolkningen 31 5.1 Rum-tid kontra kausalitet.................... 31 5.2 Overgangen fra det mulige til det faktiske........... 34 5.3 Grænsen og kvantespringet.................... 35 5.4 Anomalier............................. 36 6 Stokastiske fortolkninger 39 6.1 Dissipative kvantesystemer.................... 39 6.2 Kvantetilstandsdiffusion..................... 42 6.3 Lokalisering............................ 43 6.4 Reduktion under en måling................... 46 6.5 Interpretation eller skjulte variable............... 47 iii

iv INDHOLD 6.6 Kvante Monte-Carlo metoden.................. 48 6.7 Diskussion............................. 50 7 Dekoherente historier og logik 53 7.1 Historier.............................. 55 7.1.1 Egenskaber og sandsynligheder............. 55 7.1.2 Definition af historier................... 57 7.1.3 Konsistensbetingelser................... 60 7.1.4 Kritik af historiefortolkningen.............. 61 7.2 Logik................................ 62 7.3 Makroskopiske objekter...................... 64 7.3.1 Kollektive og mikroskopiske observable......... 65 7.4 Dekoherens af tæthedsmatricer................. 67 7.4.1 Den matematiske model................. 70 7.5 Omnès måleteori......................... 72 7.5.1 Ækvivalensen mellem data og resultater........ 72 7.5.2 Empiriske sandsynligheder................ 73 7.5.3 Reduktion af tilstandsvektoren.............. 73 7.5.4 Kritik af logikken..................... 75 7.5.5 Måleproblemet...................... 76 7.6 Dekoherens af historier...................... 78 7.6.1 Dekoherens og korrelation................ 79 7.7 Dekoherente historier og kvantetilstandsdiffusion........ 82 8 Modalfortolkningen 85 8.1 Indeterministisk overgang.................... 86 8.2 Von Neumann s interpretationsregel............... 89 8.3 Dynamisk tilstand og værditilsstand.............. 90 8.4 Gentagne målinger........................ 93 8.5 Omfortolkning af Borns regel.................. 93 8.6 Diskussion............................. 95 9 Konklusion 97 A Konsistensbetingelser 103 B Feynman historier 105 C Matematisk model af dekoherens 109

INDHOLD v D Stern-Gerlach eksperimentet 113 D.1 Interpretation af eksperimentet................. 113 D.2 Spinmålinger........................... 115 E Dobbeltspalteeksperimentet 119 Litteraturliste 123

vi INDHOLD

Figurer 3.1 Elektrisk kreds.......................... 13 3.2 Måleapparat............................ 15 3.3 Schrödingers kat.......................... 17 5.1 Skitse af en SQUID........................ 38 6.1 Simulering af en stokastisk måleproces............. 45 6.2 Kvantespring i Monte-Carlo modellen.............. 50 6.3 Skitse af eksperimentel opstilling................ 51 7.1 En celle i faserummet dækket af rektangulære bokse...... 67 9.1 Diagram over udvikling i tiden af tilstande i måleprocessen... 101 B.1 Feynmans sum over veje...................... 106 D.1 Stern-Gerlach eksperimentet................... 114 D.2 Dobbelt og trippelt Stern-Gerlach eksperiment......... 117 D.3 Nødvendigheden af en detektor................. 118 E.1 Dobbeltspalteeksperimentet................... 119 E.2 Skitse af fordelingen af klassiske partikler............ 120 E.3 Skitse af diffraktionsmønster................... 121 vii

viii FIGURER

Kapitel 1 Indledning Jeg har fra starten af mit studie været fascineret af og interesseret i kvantemekanikken og fortolkningen af den. Indtil jeg startede på dette speciale, og ofte undervejs i specialeforløbet, var der meget jeg ikke forstod; og der er (selvfølgelig) stadig meget, jeg ikke forstår ved kvantemekanikken og dens interpretation. Det er nok karakteristisk for kvantemekanikken, at man aldrig bliver færdiguddannet i selve teorien. M.h.t. disciplinen kvantemekanikkens interpretation er det et område, der er karakteriseret ved ikke at være eksakt. Kvantemekanikkens interpretation vil man til stadighed kunne diskutere. Specialet har været en stor udfordring for mig. Arbejdet med specialet har været en proces, hvor jeg har forstået mere og mere af det emne, jeg har behandlet (se 1.1 og 1.2). Derfor har det også været en proces, hvorigennem jeg har lært at se mere kritisk på meget af den skrevne litteratur om kvantemekanikkens interpretation. Med min baggrund i de eksakte naturvidenskaber har det været en udfordring for mig at blive sat overfor at skulle opveje argumenter mod hinanden, og ikke bare acceptere det skrevne som fakta. Jeg ønsker at takke min vejleder Ole Knudsen og Institut for de Eksakte Videnskabers Historier, fordi det blev gjort muligt for mig at beskæftige mig med dette spændende og kontroversielle emne. En stor tak skal gå til Klaus Mølmer fra DFI for samtaler om, og hjælp til forståelsen af de stokastiske fortolkninger og dekoherensfortolkningen. Derudover ønsker jeg at takke Jørgen Krogh, Morten Høyrup og Kurt Ramskov, fordi de har udvist så stor tålmodighed, når de har hjulpet mig med L A TEX. Sidstnævnte samt Bjarne Vestergaard og Poul skal have en stor tak for korrekturlæsning, og Poul endvidere for sin store støtte og opmuntring. Til slut en tak til kontorets beboere Niels Henriksen og Eva Kathrine (Trine) Pedersen for hyggeligt og sjovt samvær under forløbet. 1

2 KAPITEL 1. INDLEDNING 1.1 Problemformulering Emnet for specialet er nyere fortolkninger af kvantemekanikken og måleproblemet. Jeg ønsker at sammenligne og diskutere stokastiske fortolkninger, den dekoherente historiefortolkning og modalfortolkningen. Beskrivelsen af den kvantemekaniske måling er det centrale i en fortolkning. Her skiller fortolkningerne sig kraftigt ud fra hinanden. Derfor har jeg centreret min redegørelse for og sammenligning af fortolkningerne omkring deres beskrivelse af måleprocessen og deres løsning af måleproblemet. Jeg har derudover valgt netop behandlingen af måleproblemet, fordi det er en meget spændende problemstilling. 1.2 Afgrænsning Jeg har valgt at behandle forskellige fortolkninger, der er opstået i tidsrummet fra begyndelsen af 1980 erne til begyndelsen af 1990 erne. Jeg har ikke undersøgt, i hvor høj grad de er gengangere af tidligere fortolkninger i historien, selvom det også kunne være et meget interessant aspekt. Min fremstilling af de forskellige fortolkninger er præget af arten af den litteratur, der umiddelbart har været tilgængelig for mig. Hermed mener jeg fortolkernes egen redegørelse for f.eks. valg af axiomer, og hvilken betydning begreber som tilstand, observabel og sandsynlighed har. Jeg har ikke haft så meget litteratur af mere filosofisk tilgang til emnet, når det gælder de stokastiske fortolkninger, som jeg har haft om de andre fortolkninger, hvor Roland Omnès og B.S. van Fraassen begge i detaljer har beskrevet deres fortolkninger af forskellige begreber, og er gået i dybden med axiomer. Det kan derfor opfattes, som om de forskellige fortolkninger er gennemgået med forskellig grundighed. Der er forskel på den umiddelbare årsag til fortolkningernes opståen. I nogle tilfælde er fortolkningen opstået i forsøget på eksplicit at løse måleproblemet, som i tilstandsdiffusionsfortolkningen og i modalfortolkningen. Det er ikke målet for den dekoherente historiefortolkning. Den er derimod opstået omkring det ambitiøse formål at spore de klassisk fysiske love tilbage i kvantemekanikken, og med henblik på at beskrive hele universet. Alligevel har jeg mest lagt vægt på behandlingen af måleproblemet i dekoherent historiefortolkningen, og har karakteriseret fortolkningen herudfra. Formalismen, der benyttes i den dekoherente historiefortolkning, er imidlertid meget ny for mig sammenlignet med den kvantemekanik jeg er opdraget med. Det kan derfor synes, som om jeg er gået mere i dybden med den formalisme end med den, der forekommer i de stokastiske fortolkninger; og måske endnu mere i forhold

1.3. KORT OVERSIGT OVER INDHOLDET AF KAPITLER 3 til redegørelsen for modalfortolkningen, men det skyldes at min tilgang til sidstnævnte primært har været litteratur af filosofisk karakter. Jeg har samlet matematiske udledninger, som jeg finder ville gøre specialet usammenhængende og virke forstyrrende, men som alligevel er relevante, i et appendiks bagerst. Deri findes deslige en gennemgang af Stern-Gerlach eksperimentet og af dobbeltspalteeksperimentet. 1.3 Kort oversigt over indholdet af kapitler I kapitel 2 forsøger jeg at klargøre, hvad jeg mener, en interpretation af en teori består i. Den kvantemekaniske teori, som er den, der skal interpreteres, opstilles i form af axiomer. Kapitel 3 er en redegørelse for måleproblemet i kvantemekanikken, som diskussionen i specialet er centreret omkring. Kapitel 4 er en indføring i tæthedsmatrix terminologien, som benyttes i stor udstrækning i diskussionen af måleproblemet. Kapitel 5 er en kort redegørelse for Niels Bohrs, Werner Heisenbergs og J. von Neumanns fortolkning af måleprocessen. De tre herres fortolkninger refererer jeg samlet til som Københavnerfortolkningen. I kapitlerne 6, 7 og 8 redegør jeg for og diskuterer de tre fortolkninger, den stokastiske, den der består af dekoherens, historier og logik og modalfortolkningen, som jeg har valgt at sammenligne specielt med henblik på løsning af måleproblemet. Kapitlet 9 er en konklusion. 1.4 Vejledning til læseren Jeg har valgt at give citater på dansk, og i tilfælde hvor de var på engelsk, står jeg derfor som ansvarlig for oversættelsen. I gengivelsen af de forskellige fortolkninger, har jeg oversat notationer til min egen foretrukne. På den måde er det lettere at overskue og dermed at sammenligne de forskellige fortolkningers løsning af f.eks. måleproblemet. Derved er også den efter min mening svært tilgængelige notation i [42] blevet oversat. Jeg benytter Diracs notation med bra er og ket er i angivelsen af tilstandsvektorer og matrixelementer m.v. (Undtagelser findes dog i appendiks B og C). F.eks. skrives skalarproduktet som: ψ ψdτ ψ ψ, hvor dτ er et infinitisimalt volumenelement, og der integreres over hele rummet. ψ n φ n er en forkortet udgave af ψ n φ n. Operatorer er angivet med

4 KAPITEL 1. INDLEDNING fed skrift f.eks. A, observable med store bogstaver i kursiv A, og navne på fysiske systemer med kaligrafiske bogstaver A.

Kapitel 2 Om interpretation Disciplinen fysik består i dels at undersøge fysiske systemers opførsel ved at eksperimentere med dem, dels i at forklare og beskrive denne opførsel med en fysisk teori. Man kan derfor sige, at man interpreterer eller på godt dansk fortolker fysiske systemers opførsel v.h.a. en fysisk teori. F.eks. kan fænomenet lys fortolkes enten med en partikelteori eller med en bølgeteori. Et bestemt eksperiment fortolkes på lignende måde v.h.a. den ene eller den anden teori. Et godt eksempel herpå er Stern-Gerlach eksperimentet. 1 Da eksperimentet blev udført i 1921 havde man klassisk fysik og en utilstrækkelig kvanteteori at fortolke eksperimentet med. Eksperimentet kunne delvist fortolkes, men der måtte indføres nogle ikke-tilfredstillende ad hoc løsninger. Først da S. Goudsmit og G.E. Uhlenbeck i 1925 viste, at opsplitningen af spektrallinier, der opstår når et atom placeres i et magnetisk felt (Zeeman effekten), kunne forklares hvis elektronerne var i besiddelse af et indre magnetisk moment foruden det magnetiske moment, som skabes p.g.a. elektronens bevægelse, kunne resultaterne fra Stern-Gerlach eksperimentet forklares og dermed fortolkes. Det nyopdagede indre magnetiske moment er et kvantemekanisk fænomen. Det var således nødvendigt at benytte kvanteteorien for at opnå en tilfredsstillende fortolkning af eksperimentet. En anden brug af begrebet interpretation end den benyttet i ovenstående eksempel, hvor eksperimenter interpreteres v.h.a. den ene eller den anden teori, er den omvendte, hvor teorien interpreteres ud fra eksperimentelt kendskab til fænomenerne. Det er interpretationen af den kvantemekaniske teori, der diskuteres fremover. Da kvantemekanikken blev udviklet i slutningen af 20 erne som en elegant, abstrakt matematisk formalisme, var fysikerne ikke altid helt enige om, hvordan denne formalisme skulle tydes. Eksperimenter med mikroverdenen 1 Se appendiks D.1. 5

6 KAPITEL 2. OM INTERPRETATION dikterede dog mere eller mindre, om ikke altid lige forståeligt, hvad formalismen udtalte sig om. Arbejdet med kvantemekanikken åbnede et uudforsket felt i fysikken; et felt, som ved sin egen afsløring skabte stadig undren. Der var ikke meget gammelkendt ved kvantemekanikken og de fænomener, den repræsenterer. Det blev nødvendigt med et delvist nyt begrebsapparat til beskrivelse af de nyopdagede fænomener og deres adfærd, selvom fysikerne bestræbte sig på at benytte det gamle klassiske begrebsapparat i daglig tale. Niels Bohr formulerede det således:... beskrivelsen af den eksperimentelle opstilling og registreringen af vores iagttagelser må gives i det sædvanlige sprog, forfinet på passende måde med den almindelige fysiske terminologi. Dette er et simpelt logisk krav, eftersom vi med ordet eksperiment kun kan mene en fremgangsmåde, hvor vi er i stand til at meddele andre, hvad vi har gjort, og hvad vi har lært. [6, s. 43]. I takt med opbygningen af et nyt matematisk fundament voksede et behov for at kunne forstå, hvad det udtalte sig om. Et behov der strakte sig ud over selve benyttelsen af formalismen. Altså et behov for en fortolkning af teorien. Denne tydning eller fortolkning af kvantemekanikken har lige siden været meget diskuteret. For at kunne finde hoved og hale i virvaret af bidrag til dette kontroversielle emne, er det vigtigt at gøre sig klart, hvilken formalisme det er, der skal interpreteres. Som et grundlag for en diskussion af de forskellige nyere fortolkninger og af måleproblemet er det obligatorisk først at nævne John von Neumann, 2 fordi det er hans opstilling af den kvantemekaniske formalisme, der næsten altid benyttes som udgangspunkt. Derfor er det naturligt at begynde med von Neumanns axiomer. Von Neumanns axiomer er ikke uomtvistelige. Det er vel i høj grad p.g.a. at de er omtvistelige, at der stadig foregår en så livlig diskussion omkring f.eks. måleproblemet og andre uafklarede aspekter af kvantemekanikkens interpretation. 2.1 Teorien I 1932 publicerede von Neumann et værk om kvantemekanikkens matematiske formalisme. Ifølge ham bygger kvantemekanikken på følgende axiomer: 3 Axiom 1 Til ethvert fysisk system svarer et Hilbertrum H hvis vektorer ϕ 2 Se i kapitel 3 hvad måleproblemet består i. 3 Formuleringen er taget fra Jammers bog [28, s. 5].

2.1. TEORIEN 7 (kaldet tilstandsvektorer eller bølgefunktioner) fuldstændigt beskriver systemets tilstande. Axiom 2 Til enhver observabel A svarer entydigt en selvadjungeret operator A som virker i H. Axiom 3 (Borns fortolkningsregel) For et system i den normerede tilstand ϕ er sandsynligheden for, at resultatet af en måling af den observable A, repræsenteret ved A, er a k, givet ved a k ϕ 2, hvor a k er en normeret egenvektor for A hørende til egenværdien a k. Axiom 4 Tidsudviklingen af tilstandsvektoren ϕ er bestemt af Schrödingerligningen H ϕ = i h ϕ, hvor H er Hamiltonoperatoren for systemet. t Axiom 5 Hvis en måling af den observable A, repræsenteret af A, giver resultatet a k, så er tilstanden af systemet straks efter målingen beskrevet ved en egenvektor hertil, nemlig a k. Kun rene tilstande repræsenteres ved vektorer i et Hilbertrum, som det nævnes i axiom 1. 4 Det samme gælder ikke for blandinger. Axiom 4 giver bevægelsesligningen for kvantemekaniske systemer. Man kan definere en tidsudviklingsoperator: U(t) = e iht/ h. (2.1) Der gælder, at hvis tilstandsvektoren til tiden 0 er ψ(0), er værdien til et senere tidspunkt t givet ved ψ(t) = U(t) ψ(0). Udviklingsoperatoren er unitær d.v.s. U(t)U (t) = U (t)u(t) = I (2.2) hvor U er den adjungerede operator til U. Tidsudviklingen af en operator skrives: A(t) = U (t)au(t). (2.3) Det kaldes Heisenbergrepræsentationen, når man angiver tidsudviklingen af operatorerne. Det svarer til den klassiske fysik, hvor det er de observable, der varierer i tiden. Det kaldes Schrödingerrepræsentationen, når der er tilstandsvektorerne, der udvikler sig i tiden. 4 Se kapitel 4 angående rene tilstande og blandinger.

8 KAPITEL 2. OM INTERPRETATION 2.2 Interpretationen En interpretation er en oversættelse af det matematiske sprog, til det sprog hvori vi beskriver den fysiske virkelighed. Med andre ord ekstrapolerer den matematiske formalisme interpretationen over i vores forståelse af, hvad den fysiske teori udtaler sig om. Oversættelsen fra det ene sprog til det andet er ikke altid entydig, hvorfor der findes flere forskellige interpretationer af kvantemekanikken. I en fysisk teori findes der allerede et moment af interpretation. Den abstrakte matematiske formalisme udgør ikke i sig selv den fysiske teori. Det er axiom 3, der kaldes Borns fortolkningsregel, et eksempel på. Bestemte faktorer i den matematiske formalisme fortolkes således som fysiske størrelser. Derudover skal det i teorien være angivet, hvordan den forbindes til den fysiske virkelighed. Det skal indgå, hvordan målinger og data relateres til teorien. Det er axiom 5 og 3 eksempler på. Axiom 5 udtaler, at hvis der gennem en måling opnås et bestemt resultat, repræsenteret i teorien med en bestemt egenværdi for en operator, kan det umiddelbart efter målingen antages, at systemet befinder sig i en tilhørende egentilstand for operatoren. Omvendt betyder det, at kun når systemet er i en egentilstand for en operator, kan systemet tilskrives en bestemt værdi af denne fysiske størrelse. På den måde indeholder teorien til en vis grad en interpretation af sig selv. De fem axiomer udgør ikke kun det matematiske skelet af teorien. Med kvantemekanikkens interpretation hentydes dog ikke kun til de fortolkningsmomenter, teorien i sig selv indeholder. Interpreterer man kvantemekanikken, fortolkes hele den fysiske teori, d.v.s. den matematiske formalisme samt de allerede tilstedeværende fragmenter af fortolkninger. Interpretationen er ikke en teori i sig selv, men et lag af forståelse lagt ovenpå teorien. Med en interpretation giver man teorien kulør. På den måde kan man godt sige, at man tilfører teorien noget, men den ændres ikke derved. Man kan ikke sige, at det at interpretere er en tilføjelse af skjulte variable, fordi at tilføje skjulte variable ville være at ændre selve teorien. 5 De begreber von Neumann benyttede i axiomerne, er ikke entydige, men lægger op til at kunne fortolkes på forskellig vis. Axiomet 5, kan siges at 5 Skjulte variable er de hypotetiske størrelser, som i nogle interpretationer indføres for at modificere teorien, betegnes skjulte variable. Ideen om skjulte variable er lige så gammel som den fysiske tænkning. Skjulte variable blev brugt i menneskets tidlige forsøg på at forklare den synlige verden v.h.a. en postuleret usynlig verden [28, s. 257]. Skjulte variable kom nok først rigtigt på tale i en kvantemekanisk sammenhæng efter EPR-artiklen i 1935 [15]. Skjulte variable skulle bl.a. ifølge David Bohm [4] forklare oprindelsen af den korrelation, der findes mellem to kvantemekaniske systemer, som har vekselvirket i fortiden, men som igen er adskilte. Det er siden vist af J.S. Bell i 1964 [1], at skjulte variable er uforenelige med den kendte version af kvantemekanikken.

2.2. INTERPRETATIONEN 9 være ladet med københavnsk interpretation. Det er ikke så underligt, at der er en sådan sammenhæng, da Københavnerfortolkningen og den matematiske formalisme blev dannet i vekselvirkning med hinanden, som et svar på de eksperimentelle erfaringer man gjorde. 6 (Dengang kaldte man det dog ikke Københavnerfortolkningen). Det er op til alternative fortolkninger at være enige eller uenige med von Neumanns og Københavnernes fortolkning af begreber som fysiske systemer, tilstande, observable og sandsynligheder. Som det vil fremgå, inkluderer emnet kvantemekanikkens interpretation både forskellige fortolkninger af den samme grundlæggende matematiske formalisme og fortolkninger hvori faktiske fornyelser af eller tilføjelser til teorien forekommer. 6 Se kapitel 5 om Københavnerfortolkningen.

10 KAPITEL 2. OM INTERPRETATION

Kapitel 3 Den kvantemekaniske måleteori Inden von Neumann konstruerede den første formalistiske måleteori i starten af 30 erne [44], var det mest Niels Bohr, der havde beskæftiget sig med at beskrive, hvad der sker under en måling. Målingen er en vekselvirkning mellem de atomare objekter og iagttageren, skrev Bohr [7, s. 134]. Han foretog dog samtidig en... fundamental skelnen mellem måleinstrument og undersøgelsesobjekt [6, s. 43]. Som måleinstrumenter benyttes makroskopiske systemer, og de skal behandles klassisk, mens objekterne i atomar størrelse skal beskrives v.h.a. kvantemekanikken. Der er en grænse mellem makroskopiske klassisk beskrevne systemer og mikroskopiske systemer. Hvor grænsen præcist ligger, kan ikke siges generelt. Den trækkes i den givne situation. I kapitel 2 blev von Neumanns axiomer opstillet. Med dem må en målings forløb kunne beskrives på en mere konkret måde. Det antages, at vi har at gøre med et kvantemekanisk objekt A. Objektet udgør et fysisk system, og ifølge axiom 1 beskrives systemets tilstande med vektorer i et Hilbertrum, som kan kaldes H A. En bestemt af objektets observable, A, er vi interesseret i at måle. Det lyder meget abstrakt. Eksempelvis kunne objektet være en elektron, og den observable, som ønskes målt, kunne være en af de tre spinkomponenter. 1 Axiom 2 fortæller, at den observable A er repræsenteret med den Hermiteske operator A. Rummet, en Hermitesk operator virker i, er udspændt af et fuldstændigt sæt af ortonormale egenvektorer for operatoren. Det kan for nemheds skyld antages, at operatoren A har et diskret, endeligt og ikke-degenereret sæt af ortonormale egenvektorer ψ k, og et tilhørende sæt af egenværdier a k. D.v.s. hver egenværdi tilknyttes kun én egenvektor, som så kaldes unik. Antag, at objektets nuværende tilstand kan udtrykkes med vektoren ψ. I den hensigt at skabe en forbindelse mellem vores viden om systemets tilstand 1 Se appendiks D.2 om Stern-Gerlach-lignende eksperimenter til det formål. 11

12 KAPITEL 3. DEN KVANTEMEKANISKE MÅLETEORI og den observable, vi ønsker at kende størrelsen af, kan ψ udvikles på sættet af ortonormale egenvektorer for A: ψ = n c n ψ n, (3.1) hvor c k er udviklingskoefficienter, der angiver amplituden af egentilstanden ψ k i superpositionen. Den fysiske betydning af normkvadratet c k 2 er sandsynligheden for, at værdien a k opnås ved en måling af den observable ifølge axiom 3. Ifølge axiom 5 vides det nu, at straks efter målingen, der resulterede i egenværdien a k, befinder objektet sig i egentilstanden ψ k. En måling af den observable A resulterer altså i en overgang: ψ = n c n ψ n måling ψ k. (3.2) Før målingen var objektet i en tilstand, der kunne skrives som en superposition af egenstilstande for operatoren A. Efter målingen befinder objektet sig, ifølge axiom 5, i en enkelt af disse egentilstande. Målingen har reduceret systemets tilstand fra en superposition til en enkelt egenvektor. Axiom 4, der giver os bevægelsesligningen for kvantemekaniske systemer, er endnu ikke blevet benyttet. Kunne vi med denne bevægelsesligning beskrive den proces, som tilstandsvektoren tilsyneladende udsættes for under en måling? For at kunne gøre det, må det igen pointeres, at en måling er en vekselvirkning mellem et måleinstrument og det objekt, der ønskes målt på. Derfor er ovenstående billede af en kvantemekanisk måling egentlig ikke korrekt, da der er set bort fra virkningen, som måleapparatet har på objektet. En måling er en gensidig vekselvirkning. Det gælder også i den klassiske fysik. F.eks. vil en måling af spændingsfaldet over en modstand i et elektrisk kredsløb v.h.a. et voltmeter (se figur 3.1), påvirke spændingen vi ønsker at måle, fordi voltmeteret trækker en strøm. Strømmen gennem modstanden ændres derfor, og dermed ændres også spændingen over modstanden. I den klassiske fysik er det muligt at gøre den virkning, som måleapparatet har så lille, at der helt kan ses bort fra den. I eksemplet med det elektriske kredsløb gøres det ved at indlægge en modstand i voltmeteret, der er stor relativt til modstanden i kredsen. Voltmeteret vil da trække en relativt lille strøm og derfor kun påvirke den målte spænding så lidt, at der kan ses bort fra det. I ovenstående redegørelse for en kvantemekanisk måling har vi ladet som om, virkningen fra måleapparatet på objektet kunne negligeres. I kvantemekanikken kommer man imidlertid ud for, at den virkning, som måleapparatet har på objektet, ikke kan gøres negligibel i forhold til det universelle virkningskvantum, repræsenteret i teorien ved Plancks konstant ht. Derfor skal

13 Figur 3.1: Vi ønsker at måle spændingen over modstanden med vores måleapparat, et voltmeter. måleinstrumentet tages med i betragtning, hvis vekselvirkningen skal kunne beskrives. Bohr fremhævede, at denne vekselvirkning er speciel og ukontrollerbar, og at den tvinger os til at give afkald på kausalitetsprincippet [5, s. 62]. 2 Hermed afviste han muligheden for overhovedet at kunne beskrive forløbet af måleprocessen. Til erstatning af kausalitetsidealet, som indtil da havde været grundlag for al fysik, indførte Bohr komplementaritetssynspunktet. 3 Bohrs ideer om måleprocessen var heuristisk af natur. Det er ikke altid nemt at sætte sig ind i Bohrs filosofiske tankegang. Det ville være lettere, hvis 2 Kausalitetsprincippet er loven om årsag og virkning, der er det styrende princip i den klassiske fysik. Den klassiske fysik er en kausal teori, d.v.s. enhver hændelse kan begrundes med en årsag. I kvantemekanikken afvises det, at en forudgående hændelse kausalt kan forklare, hvorfor én given hændelse sker fremfor en anden. 3 Begrebet komplementaritet dækker over et forhold mellem to forskellige aspekter af én realitet, som hver udtrykker vigtige sider af fænomenet. I en fuldstændig og udtømmende beskrivelse må man medtage begge sider af beskrivelsen. Samtidigt er de forskellige aspekter af den samme virkelighed uforenelige. På trods heraf kan de komplementære sider aldrig være i direkte modstrid. Eksempler på komplementaritet kan være, som det beskrives i afsnittet om Københavnerfortolkningen, den kausale beskrivelse og beskrivelsen i rum og tid. Tilsammen giver de to beskrivelser et fuldstændigt og udtømmende billede af kvantemekaniske fænomener, men samtidigt udelukker de hinanden. Et andet eksempel er partikel- og bølgebeskrivelsen af elektroner og fotoner. To konkrete komplementære fysiske størrelser er et objekts sted og dets impuls.

14 KAPITEL 3. DEN KVANTEMEKANISKE MÅLETEORI det kunne udtrykkes med formler, hvad han mente. Med Bohrs filosofiske forklaringer kan en i fysisk forstand tilbundsgående redegørelse for, hvad der helt nøjagtigt sker under målingen, ikke gives. Det ville Bohr nok også have afvist at gøre. Han accepterede diskontinuiteten som et faktisk træk ved kvantemekaniske fænomener og ikke som noget, der kausalt kan forklares. Diskontinuiteten skyldes tilstedeværelsen af Plancks virkningskvantum, eller rettere at dets endelige størrelse får betydning. 3.1 Måleproblemet Måleproblemet opstår, når man forsøger at beskrive en måling med den kvantemekaniske teori. Med kvantemekanikken som den mest grundlæggende teori vi har, synes det rimeligt, at den skal kunne gøre rede for, hvad der sker under en måling. Generelt opfattes en måleproces som en vekselvirkning mellem to systemer, der resulterer i korrelationer mellem nogle af de observable for systemerne, d.v.s. værdien af det ene systems observable kan man slutte sig til ud fra værdien af den korrelerede observable for det andet system. Korrelationen er et resultat af den kvantemekaniske teori for vekselvirkningen. Lad os kalde de to systemer A og B. Hvert system for sig er beskrevet i et Hilbertrum H A og H B. Systemet, sammensat af de to delsystemer, beskrives i det større Hilbertrum H A H B = H, d.v.s. H A og H B s tensorprodukt, hvori begge underrum er indeholdt. Tensorproduktet H A H B består af alle de mulige linearkombinationer af tensorprodukter af elementerne i de to Hilbertrum. Måske burde der være et axiom, der gjorde det klart, hvordan to ikke-vekselvirkende fysiske systemer repræsenteres i teorien. I Roland Omnès fortolkning, der gennmgås i kapitel 7, er repræsentationen af to ikkevekselvirkende systemer klarlagt med et axiom. Sammenkoblingen kan foretages, uden at de to delsystemer har vekselvirket. De er da uafhængige, d.v.s. Hamiltonoperatoren er på formen H = H A + H B (3.3) hvor H A kun virker i underrummet H A og H B i H B. Når der således ikke er nogen vekselvirkning har bevægelsesligningen løsninger på formen hvor og tilsvarende Ψ = ψ φ (3.4) i h ψ t i h φ t = H A ψ (3.5) = H B φ

3.1. MÅLEPROBLEMET 15 Figur 3.2: Skitse af et måleapparat med viserpositionen som den observable. til enhver tid, og i h Ψ = (H A + H B ) Ψ. (3.6) t Var H ikke på formen (3.3), ville (3.4) i almindelighed ikke være løsninger til Schrödingerligningen. Måleapparatet (se figur 3.2), som nu er det ene kvantemekaniske system, kaldes B. Måleapparater er kendetegnet ved, at de udsiger noget om det, der måles på. F.eks. kan måleinstrumentet have en viser, som slår ud under en måling og giver en værdi for den observable for det objekt, der måles på. Denne viser er måleinstrumentets observable B, og det antages at den i teorien er repræsenteret ved den Hermiteske operator B. Egenværdierne for B i form af b j svarer til de forskellige viserpositioner. Ved en ideel eller perfekt måling har viseren en bestemt position b i, netop når objektets observable har en værdi a i. Måleinstrumentets egenvektorer kaldes φ j. Som for objektet antages det, at B har et diskret, endeligt og ikke-degenereret spektrum. Før måleapparatet måler nogen værdi, står viseren på værdien b 0, som svarer til, at tilstanden for apparatet kan beskrives med egenvektoren φ 0. Efter målingen skal måleapparatet afspejle, hvilken egentilstand objektet er i. Hvis objektet allerede befinder sig i en egentilstand for den observable A, f.eks. ψ i, skal målingen forløbe således: ψ i φ 0 måling ψ i φ i. (3.7)

16 KAPITEL 3. DEN KVANTEMEKANISKE MÅLETEORI Objektets og måleapparatets observable er således korrelerede. Hvis vi umiddelbart efter at have udført en sådan måling, gentager målingen, fås samme resultat. Det kaldes en måling af type I. Betragtes i stedet situationen, hvor objektet er beskrevet med tilstandsvektoren ψ, som ikke er en egenvektor for operatoren, kan ψ relateres til den aktuelle operator A, ved at formulere ψ som en lineær superposition af egenvektorer for operatoren, som i (3.1): ψ = n c n ψ n. I det tilfælde vil tidsudviklingen af begyndelsestilstanden for det samlede system resultere i sluttilstanden c n ψ n φ 0 måling c n ψ n φ n, (3.8) n n idet den lineære udvikling svarer til en transformation af en enkelt tilstandsvektor over i en enkelt tilstandsvektor. Det kaldes en måling af type II. Axiom 5 udtalte, at kun systemer, der befinder sig i egentilstande for Hermiteske operatorer, kan betragtes, som om de er i besiddelse af værdier af de eventuelle tilsvarende størrelser. Ovenstående tilstandsvektor er ikke én egentilstand for operatoren, der repræsenterer viserpositionen. Derfor kan målingen ikke siges at have noget resultat. Viseren er ikke repræsenteret med én bestemt position. Sluttilstanden informerer ikke om, hvilken tilstand måleapparatet er i, og dermed heller ikke om hvilken tilstand objektet er i. Det synes ikke i overensstemmelse med virkeligheden. Viseren er et makroskopisk legeme, og sådanne findes normalt ikke i superponerede tilstande. Reduktionen af tilstandsvektoren til en egenvektor, som vi mener at observere, når vi foretager en måling, gør teorien ikke rede for. Konsekvensen af denne makroskopiske superposition er gjort ekstra tydelig i det populære eksempel, fundet på af Schrödinger i 1935. 4 Heri udgør en kat måleapparatet, der måler om et radioaktivt stof er henfaldet (se figur 3.3). Katten ender med at kunne repræsenteres i den kvantemekaniske teori med en tilstand, der er en superposition mellem tilstandene at være død og levende; tilstande som vi til hverdag betragter som værende utvetydigt adskilte. 4 Schrödinger [38, s. 489] betragtede en kat indespærret i en kasse. I kassen er der tillige en mængde radioaktivt stof, hvori der i løbet af tidsrummet en time er en sandsynlighed på 1 2 for et henfald. Sker der et henfald, detekteres det af et tilstedeværende Geigerrør, der gennem et relæ aktiverer en hammer, som så vil knuse en kolbe med et indhold af blåsyre. Dette vil dræbe katten. Har kassen været overladt til sig selv en times tid, har vi den viden om katten, at den vil være død, hvis der er sket et atomart henfald og ellers ikke. Opstiller man en tilstandsvektor for hele systemet, vil det være en superposition af en tilstand, der repræsenterer katten som død, og en der repræsenterer katten som levende.

3.1. MÅLEPROBLEMET 17 Figur 3.3: Schrödingers kat [10]. Lad os et øjeblik vende tilbage og betragte og interpretere superpositionen (3.8). Hvis vi tager normkvadratet på en af de implicerede amplituder, f.eks. den k te, siger Borns fortolkningsregel, at denne angiver sandsynligheden for, hvis der laves en måling, at få den k te egenværdi som resultat. Måske kunne det opnås, at resultatet af målingen afspejles i teorien ved at tilslutte endnu et måleinstrument, der skulle måle hvilken tilstand, det oprindelige instrument er i; altså hvor viseren står. Dette nye måleinstrument vekselvirker med det oprindelige system bestående af måleapparat og objekt. Denne vekselvirkning gøres der rede for ved at betragte det overordnede system bestående af det nye måleinstrument og systemet der måles på, der i sig selv består af det første måleinstrument og det kvantemekaniske objekt. Dette sammensatte system udvikler sig i tiden efter Schrödingerligningen. Kaldes begyndelsestilstanden af det nye måleinstrument α o, opnås sluttilstanden for det samlede system som: c n ψ n φ n α 0 måling c n ψ n φ n α n. (3.9) n n På denne måde opnås ikke information om det oprindelige måleinstruments tilstand (i hvert fald ikke hvis vi forventer at finde en egentilstand), fordi det nye måleinstrument nu, gennem vekselvirkningen, er korreleret med det system det måler på. Faktisk bliver vi bare hvirvlet ind i en uendelig regression, og kollapset kan ikke frembringes ved at medtage mere og mere af omverdenen i beskrivelsen.

18 KAPITEL 3. DEN KVANTEMEKANISKE MÅLETEORI Den uendelige regression von Neumann fik ved at opstille teorien for en kvantemekanisk måling sammenholdt med, hvordan makroskopiske instrumenter opleves, tvang ham til at postulere en anden form for overgang af tilstandsvektoren end den, der er givet ved Schrödingerligningen. Erfaringen viste nemlig en ganske anderledes udvikling af tilstandsvektoren, når der laves en måling på systemet. Schrödingerligningen giver en deterministisk, 5 kausal, kontinuert og reversibel tidsudvikling af tilstandsvektoren, hvorimod der under en måling sker en diskontinuert, indeterministisk og irreversibel overgang af tilstandsvektoren. Kollapset, som også kaldes en reduktion eller en projektion, udspringer ikke af teorien, som den står udtrykt i de angivne axiomer i afsnit 2.1. I stedet postulerede von Neumann kollapsmekanismen og føjede dermed et led til teorien: Postulat 1 (Reduktionspostulatet) I slutningen af en måleproces, hvor den observable A måles, sker der en akausal, indeterministisk og diskontinuert overgang af tilstanden Ψ = n c n ψ n φ n, der repræsenterer systemet bestående af måleapparat og objekt, til en af tilstandene ψ k φ k, og denne overgang vil ske med sandsynligheden c k 2. Det er den samme overgang Bohr refererede til. Når en måling beskrives med den kvantemekaniske teori, ender vi med en makroskopisk superposition, som ikke afspejler, hvad vi oplever i virkeligheden. Måske er det en fejltagelse at tro, at en måling kan repræsenteres med en ganske almindelig fysisk vekselvirkning, men det er nu engang vores udgangspunkt. Kollapset kan ikke fremkaldes på grundlag af de fem axiomer. Derfor må der tilføjes et led til teorien. Det ekstra led afspejler, at målingen først er fuldført, når måleapparatet er aflæst. Det kunne se ud til, at projektionspostulatet er empirisk nødvendigt. Uden det stemmer måleteorien ikke overens med, hvad vi ser. Samtidigt kan projektionspostulatet tilføjes, uden at kvantemekanikkens generelle forudsigelser derved ændres. Det bliver svært empirisk at afgøre, om det indførte kollaps i formalismen virkeligt sker. Det er jo indført for netop at forklare, hvad der sker under en måling. Kollapset kan derfor strengt taget udsættes for princippet om Occams kniv. 6 Kollapset må dog siges at være et godt bud på, hvad der sker. Selve brugen af det som en teoretisk forklaring, har haft stor succes. Når der udarbejdes nye fortolkninger, er reduktionspostulatet altid et meget centralt punkt, hvilket måske er, fordi von Neumann ikke selv gjorde 5 D.v.s. at har vi givet en begyndelsestilstand for det betragtede system, er tilstanden af det til et vilkårligt senere tidspunkt fuldstændigt bestemt. 6 Princippet om Occams kniv lyder, at man ikke bør introducere variable i teorien, som ikke har rødder i vores viden om de systemer teorien udtaler sig om [31].

3.1. MÅLEPROBLEMET 19 sig nogen tanker omkring, hvordan overgangen sker. I hvert fald lod han ikke sine tanker herom komme frem på tryk. Han beskæftigede sig kun med, hvordan kollapset konsistent kunne indføjes i teorien og har dermed ladet spørgsmålet om, hvordan overgangen sker stå åbent. Spørgsmålet for andre fortolkere bliver da for det første, om kollapset sker eller ej. Og hvis det sker, om det da bare er en matematisk nødløsning, eller om det ontologisk set sker. 7 Skal man forsøge at undgå kollapset, eller skal man forsøge at beskrive i detaljer, hvad der sker under et kollaps? I kvantemekanikken kan den information, vi behøver for at kunne udtale os om systemets opførsel, udtrykkes i form af forventningsværdier af operatorer, der repræsenterer de fysisk målelige størrelser. Faktisk er den information, vi har om et systems tilstand ofte givet os i form af forventningsværdier. Hvis det vides om et fysisk system, at det er i tilstanden ψ, som ikke er en egentilstand for operatoren Q, der repræsenterer den observable, vil en serie af målinger på systemer præpareret i den tilstand give alle mulige egenværdier. 8 Resultatet af denne række målinger må da angives som en middelværdi Q, og den er lig med forventningsværdien af operatoren i den tilstand ψ Q ψ. Betragt igen målingen af type II. Tilstanden for det målte objekt var udtrykt som en superposition af egentilstande for A. Tilstanden for det totale system blev skrevet som i Ψ = n c n ψ n φ n. Betragt en operator Q, der repræsenterer en af objektets andre observable, som ikke kommuterer med A. D.v.s. egenvektorerne for A er ikke egenvektorer for Q. Sammenlignes forventningsværdien af Q før vekselvirkningens start: c n c n ψ n φ 0 Q ψ n φ 0 = n n n n c n c n ψ n Q ψ n (3.10) 7 Ontologi er læren om det værende. I ontologien beskæftiger man sig med spørgsmål om, hvad der udgør virkelighedens yderste byggestene, som i den aktuelle situation er kvantemekaniske systemer, og relationerne mellem disse, d.v.s. hvordan de opfører sig. 8 Man siger, at systemet er præpareret i den ene eller den anden tilstand. Kravet til en præpareringsmekanisme må være, at den sørger for, at systemet vekselvirker på en eller anden bestemt måde, sådan at systemets tilstand bliver derefter. Men hvilke slags vekselvirkninger kan være præpareringer af tilstande? Det må være vekselvirkninger, der sørger for, at en bestemt egentilstand opnås for systemet, der betragtes; at der opnås et kollaps. Det er ikke nok bare at foretage en eller anden form for filtrering (se appendiks D.2). Der skal en faktisk detektion til, for at man kan påvirke et systems tilstand. En præparering er altså også en måling; en måling hvor system og måleapparat vekselvirker, men hvor systemet efter vekselvirkningens ophør kan betragtes som isoleret.

20 KAPITEL 3. DEN KVANTEMEKANISKE MÅLETEORI med forventningsværdien efter vekselvirkningen er endt c n c n ψ n φ n Q ψ n φ n = c n c n ψ n Q ψ n φ n φ n n n n n = c n 2 ψ n Q ψ n, (3.11) n ses, at interferensleddene, som forekommer før vekselvirkningen, er forsvundet i det sidste udtryk. Før vekselvirkningen beskrives objektet med en ren tilstand, mens objektet efter vekselvirkningen beskrives med en blanding af tilstande. De to begreber fortæller os noget om det samlede systems og delsystemernes såkaldte koherente egenskaber m.h.t. den bestemte operator. En diskussion af koherente egenskaber foregår lettere v.h.a. tæthedsmatrixformalismen.

Kapitel 4 Tæthedsmatricen Beskrivelsen af fysiske systemer med tilstandsvektorer går godt, så længe systemet kan repræsenteres i en bestemt tilstand. (Sandsynligheden for at være i den tilstand er 1). Det kan kun gøres lige efter en måling, hvor vi får et resultat, der svarer til, at systemet er i en bestemt tilstand. Man siger, at systemet er i en ren tilstand. Hvis systemet kun har bestemte sandsynligheder ( 1) for at være i den ene eller den anden veldefinerede tilstand, karakteriserede ved forskellige tilstandsvektorer, har vi altså ikke en fuldstændig viden om systemets tilstand. Der må da laves en statistisk midling over de mulige tilstande, som systemet kan befinde sig i. Det svarer til, hvad man gør i den klassiske statistiske fysik, når systemer vi ikke har en fuldstændig viden om behandles. Von Neumann indførte i 1927 tæthedmatrixformalismen med det formål, at beskrive statistiske fænomener i kvantemekanikken [43]. Tæthedsmatrixformalismen kan både beskrive systemet, når det er i en ren tilstand, men også når systemet befinder sig i en blanding af tilstande. Det er klart, at kender vi kun bestemte sandsynligheder for, at systemet er i forskellige tilstande, kan systemet ikke beskrives med en enkelt tilstandsvektor. Hver tilstandsvektor i blandingen kan udvikles på et passende sæt af ortonormale basistilstande som i ligning (3.1): ψ k = m a (k) m φ m (4.1) og ψ k = m a (k) m φ m. (4.2) Hvis der findes n mulige tilstande, systemet kan befinde sig i, er tæthedsoperatoren defineret ved: ρ = w n ψ n ψ n = w n a (n) m a (n) m φ m φ m, (4.3) n nmm 21

22 KAPITEL 4. TÆTHEDSMATRICEN hvor w k er den statistiske vægt for at være i den k te uafhængigt præparerede tilstand. Tilstandsvektorerne ψ k er ikke nødvendigvis ortonormale. I en matrixrepræsentation af operatoren i basis { φ n } fås matrixelementet mellem tilstande φ j og φ i φ i ρ φ j = n w n a (n) i a (n) j. (4.4) Med i,j løbende over alle basistilstande kan vi opstille en matrix for operatoren; tæthedsmatricen. Betragtes igen det ij te matrixelement ses det, at operatoren er hermitesk φ i ρ φ j ρ ij, (4.5) φ i ρ φ j = φ j ρ φ i, (4.6) d.v.s. operatorens egenværdier er reelle. Som nævnt i afsnit 3.1, er det ofte forventningsværdier af operatorer, der har interesse, mere end det er egentlige specificeringer af den fysiske tilstand. Med tæthedsoperatoren bliver det en nem sag at behandle forventningsværdier og middelværdier af relevante operatorer, da forventningsværdien af en operator Q findes som: Q = Tr(ρQ). (4.7) Ved at benytte tæthedsmatricen bliver behandlingen af den kvantemekaniske tilstand ens, hvadenten den er kendt fuldstændigt eller ej. Bevægelsesligningen for tæthedsoperatoren bliver i h ρ = [ρ, H], (4.8) t hvor H er Hamiltonoperatoren for det betragtede lukkede system. Bevægelsesligningen for tæthedsmatricen er udledt direkte fra den tidsafhængige Schrödingerligning. Vi har altså stadig en deterministisk og reversibel beskrivelse af tidsudviklingen til rådighed. 1 Fordelen ved bevægelsesligningen for ρ er selvfølgelig, at med den kan udviklingen i tiden af blandinger også beskrives. 1 For udledninger og beviser se [3].

4.1. INTERPRETATION AF TÆTHEDSMATRICEN 23 4.1 Interpretation af tæthedsmatricen Nu har vi en ren matematisk beskrivelse af tæthedsoperatoren og dens matrixrepræsentation. Hvordan fortolkes denne operator så? Da den er Hermitesk, betyder det, at den kan repræsentere en målelig størrelse (ikke at den nødvendigvis gør det). I udtrykket for tæthedsoperatoren fortolkes w n som sandsynligheden for at finde systemet i tilstanden ψ n. Sandsynligheden for at en måling på et system beskrevet med ψ n resulterer i tilstanden φ m, er givet ved a (n) m 2. D.v.s. matricens diagonalelementer ρ mm = n w n a (n) m 2, (4.9) kan nu fortolkes som sandsynligheden for at finde systemet i egentilstanden φ m, hvis der foretages en måling. Da sættet af basisvektorer udgør samtlige mulige egentilstande for operatoren, må sporet af matricen være 1: trρ = 1, idet summen af sandsynlighederne for at få den ene eller den anden egenværdi altid er 1. Sandsynligheder er positive tal, hvorfor alle diagonalelementerne også vil være positive eller nul: ρ mm 0. Matricens elementer udenfor diagonalen giver os informationer om systemets koherente egenskaber. Der en forbindelse mellem et systems koherens og interferensleddenes tilstedeværelse i udtrykket for forventningsværdien af den aktuelle operator. Et system siges at være koherent i basis φ n, hvis systemets tæthedsmatrix i denne repræsentation indeholder ikkediagonalelementer. Hvis tæthedsmatricen er diagonal i denne repræsentation, er systemet inkoherent i den basis. Når vi snakker om et systems koherente egenskaber, gør vi det altså i forhold til en bestemt repræsentation. Ses igen på tæthedsoperatoren fra ligning (4.3): ρ = n w n ψ n ψ n = nmm w n a (n) m a (n) m φ m φ m, ses, at ρ-matricen er diagonal i basis ψ n w 1 0 0 0 w 2 0.., (4.10) 0 0 w n

24 KAPITEL 4. TÆTHEDSMATRICEN mens den har ikke-diagonal elementer i basis φ m n w n a (n) 1 2 a (n) 1 a (n) 2 a (n) 1 a (n) m a (n) 2 a (n) 1.. a (n) m a (n) 1 a (n) m 2. (4.11) D.v.s. i førstnævnte basis er systemet inkoherent. Der er ingen bestemt faserelation mellem tilstandsvektorerne, der indgår i ρ. I basis φ m udtrykkes tilstandene ψ n som lineære superpositioner. Heri er faserne af amplituderne veldefinerede. Der eksisterer en bestemt faserelation mellem de indgående basisvektorer, d.v.s. systemet er koherent. Hvis matricen, når den transformeres over på diagonalform, viser sig kun at indeholde et eneste element som i: 0 0.. 0 ρ nn, (4.12) hvor ρ nn = 1, siger man, at systemet er repræsenteret med en ren tilstand, nemlig den egentilstand der svarer til den observables egenværdi. Den ene tilstand kan altid udtrykkes som en lineær superposition af passende basistilstande, og systemet siges også at være fuldstændigt koherent. Hvis der er givet en beskrivelse af et fysisk system med en tæthedsmatrix, kan den transformeres over på diagonalform, for at undersøge om systemet kan repræsenteres med en ren tilstand. 4.2 Ensemblebeskrivelsen Indtil nu er tæthedsmatricen kun blevet benyttet til at repræsentere et enkelt system. Når man foretager målinger på kvantemekaniske systemer, sker det ofte på et helt ensemble af systemer, f.eks. en stråle af atomer eller frie elektroner. I det tilfælde er tæthedsmatrixbeskrivelsen særlig nyttig, og gør beregningen af forventningsværdier meget simpel. Den rene tilstand fremkommer, hvis alle enkeltsystemer befinder sig i ens tilstande. Tæthedsmatricen vil på diagonalform da kun indeholde et enkelt element, som svarer til den egentilstand. En ren tilstand repræsenterer maximal viden, fordi enhver fysisk størrelse vil have samme forventningsværdi, uanset om den måles i hele ensemblet eller i et af dets underensembler. Hvis ikke alle systemer i ensemblet kan repræsenteres med samme tilstand, beskrives det som værende i en blanding af tilstande. Dette er som

4.3. DEN REDUCEREDE TÆTHEDSMATRIX 25 regel tilfældet. F.eks. kan man forestille sig en impuls- og hastighedsspredning i beamet. Hver tilstand er tilstede med en vis sandsynlighed, hvorfor en blanding beskriver et system, der ikke er maximal viden om. I tilfældet hvor tæthedsmatricen beskriver et helt ensemble af systemer, tolkes diagonalelementerne som relative frekvenser for hvor mange systemer, der befinder sig i hver enkelt tilstand. Sagt med andre ord angiver diagonalelementerne populationen af de mulige tilstande. En statistisk beskrivelse kan også opnås for et enkelt system, hvis der foretages en måling på mange ens præparerede enkeltsystemer. Skulle man beregne forventningsværdier i en blanding af tilstande uden tæthedsmatricen, ville det være nødvendigt først at beregne forventningsværdierne for hver enkelt tilstand: Q n = ψ n Q ψ n (4.13) og derefter tage middelværdien af alle disse forventningsværdier: Q = 1 N N Q n. (4.14) n Benyttes tæthedsmatricen beregnes forventningsværdierne v.h.a. (4.7): Q = Tr(ρQ). 4.3 Den reducerede tæthedsmatrix En anden situation hvor tæthedsmatrixformalismen er særlig nyttig, er i beskrivelsen af et system, som er en del af et større system. Ofte kommer man ud for at skulle beskrive et kvantesystem, der består af et undersystem, som er koblet til sine omgivelser. Det er den situation, vi kommer ud for i beskrivelsen af vekselvirkningen mellem et måleapparat og det objekt, der måles på. I afsnit 3.1 sås, at når de to systemer har vekselvirket i fortiden, er det ikke muligt at tilskrive en enkelt tilstandsvektor til hverken det ene eller det andet undersystem, bestående af måleapparatet og det fysiske system, der måles på. Måleapparatet og objektet befinder sig hver især i en blanding af tilstande. Efter vekselvirkningen har fundet sted, befinder det samlede system sig i tilstanden (3.8): Ψ = n c n ψ n φ n. (4.15)