Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1
Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet... 15 Intervaller... 17 Potenser og rødder... 20 Ligninger... 24 Uligheder... 28 Formler... 32 2. Funktioner... 38 Koordinat systemet... 38 Funktions begrebet... 40 Grafisk billede... 44 Nogle elementære funktioner... 51 Funktioners monotoniforhold... 55 Grafisk løsning af ligninger og uligheder... 59 Generelt om funktioner... 65 3. Lineære funktioner og deres grafer... 69 Ret linje gennem to punkter... 77 4. Procentregning... 83 Regning med procenter... 83 Ændring af et tal med en procentdel... 84 Indekstal... 91 5. Rentesregning... 97 Renteformlen... 97 Rentefod for forskellige tidsrum... 103 2
Gennemsnitlig vækstrate... 105 6. Opsparing og lån... 108 Annuitets opsparing... 108 Annuitets lån... 114 7. Ensvinklede og retvinklede trekanter... 120 Ensvinklede trekanter... 120 Phytagoras sætning... 123 Trekanters areal... 125 Sinus og cosinus... 127 Den retvinklede trekant... 129 Tangens... 133 8. Eksponentielle funktioner... 137 To vækstmodeller... 137 Eksponentielle funktioner... 142 Enkelt logaritmiske koordinat systemer... 147 Bestemmelse af forskriften for en eksponentiel funktion... 149 Logaritme funktionen... 157 Eksponentielle ligninger... 161 Fordoblings konstant... 163 Halverings konstant... 167 9. Potensfunktioner og potensudviklinger... 173 Potensfunktioner... 173 Potensudviklinger... 176 Dobbelt logaritmiske koordinat systemer... 177 Bestemmelse af forskriften for en potensudvikling... 179 Procentvis ændring af den afhængige og den uafhængige variabel... 188 Potensligninger... 190 10. Beskrivende statistik... 191 Ugrupperede observationer... 191 3
Grupperede observationer... 199 Statistiske beskrivende størrelser for grupperede observationer... 208 4
1. Tal og bogstavregning De fire regningsarter Regningsarternes hiearki Parenteser, plus og minusparenteser Brøker Bogstavregning Talsystemet Intervaller Potenser og rødder Ligninger Uligheder Formler Dette kapitel omhandler de grundlæggende regler for regning med tal og bogstaver, hvilket kaldes for aritmetik. De elementære regnings arter og deres rækkefølge De fire elementære regnings arter er subtraktion med tegnet (minus). Resultatet af en subtraktion kaldes en differens. multiplikation med tegnet (gange). Resultatet af en multiplikation kaldes et produkt. division med tegnet : (divideret med). Resultatet af en division kaldes en kvotient. addition med tegnet + (plus). Resultatet af en addition kaldes en sum. 5
Man siger f.eks. at summen af 8 og 5 er 13 produktet af 6 og 7 er 42 differensen mellem 7 og 4 er 3 kvotienten mellem 12 og 6 er 2 differensen mellem 6 og 9 er 3 kvotienten mellem 2 og 8 er REGNINGS-ARTERNES RÆKKEFØLGE Hvis der i et udtryk indgår flere regnings arter, skal de udføres i en bestemt rækkefølge. Man kaldes også dette for regnings arternes hiearki. Man regner f.eks. sådan 4 6321 og 1018 613 Det almindelige princip er følgende: Man ganger og dividerer inden man lægger til eller trækker fra. Disse regler er indbygget i lommeregneren, så udtryk som de ovenstående indtastes som de står: 4 6 3 og 10 18 6 Hvis der også optræder potenser, udregnes de før multiplikation og division: 4 2 527 Eksempel 1 4 3 5 17, 4 3 5 6 13, 2 5 644 12 3 5 9, 10 6 3 8, 7 2 547 6
PARENTESER Man bruger parenteser, når man vil ophæve den vedtagne rækkefølge af udregninger. Hvis man f.eks. ønsker at lægge sammen inden man ganger, så skriver man 4 37 40 og 17 3 72 fordi man uden parenteser får 4 3719 og 18 6 3 16 Man bruger desuden parenteser i forbindelse med fælles faktorer for flere led. Vi udregner 24 9 15 18 Her går 3 op i alle tallene 24, 9 og 15 og man siger at 3 er en fælles faktor for tallene. Den kan derfor sættes uden for en parentes 24 9 15 18 3 835 3 618 Man kan også gange ind i en parentes. F.eks. giver disse to udregninger det samme: 5 10 3 5 735 og 5 105 335 Man siger at man har ganget ind i parentesen, når man skriver Tilsvarende fås 5 10 3 5 105 3 6 72 6 76 2 7
Eksempel 2 Man sætter uden for en parentes sådan: 30 25 10 5 652 5 315 Man ganger ind i en parentes sådan: 2 975 2 92 72 518141022 I nogle udregninger har man brug for at fjerne parenteser og her skal man kende forskel mellem plusparenteser og minusparenteser. Plusparenteser er parenteser med tegnet + foran. Den slags parenteser kan fjernes uden videre. F.eks. fordi man ved udregning får 312792 312792 venstre side: 3 12 15 højre side: 31279215 Minusparenteser har fortegnet foran. De fjernes ved at skifte fortegnet i alle led i parentesen. F.eks. 16 728 16728 Eksempel 3 Plus og minusparenteser hæves sådan: 3862 7 3862 71161419 53 24 46 3 53 24 46 35616183 85 6 2 3 856238 8
Brøker Vi skal her gennemgå de gængse regneregler for brøker. Brøkregning har især interesse, når man skal regne på formler med bogstaver. I første omgang vil vi se på udregninger med rene tal. FORLÆNGNING OG FORKORTNING Man forlænger en brøk med et tal, hvis tæller og nævner ganges med samme tal. Brøken ændrer ikke værdi ved forlængning. Vi forlænger 4 7 8 5 med 2 og får 4 2 7 2 8 14 8 3 med 3 og får 5 3 24 15 Man forkorter en brøk med et tal ved at dividere tæller og nævner med tallet. Brøken ændrer ikke værdi ved forkortning. F.eks. kan vi forkorte 21 15 med 3 og få 21: 3 15: 3 7 5 24 36 med 12 og få 24: 12 36: 12 2 3 ADDITION OG SUBTRAKTION Brøker med samme nævner, lægges sammen og trækkes fra hinanden ved at lægge sammen og trække fra i tælleren og beholde nævneren: 5 9 8 9 58 13 9 9, 17 8 6 8 17 6 11 8 8 9
Brøker med forskellige nævnere lægges sammen og trækkes fra hinanden, ved at finde en fællesnævner for brøkerne. Dette sker ved at forlænge hver brøk med passende tal, f.eks. er 7 5 3 4 7 4 5 4 3 5 4 5 28 20 15 28 15 43 20 20 20 5 6 1 9 5 3 6 3 1 2 9 2 15 18 2 18 13 18 MULTIPLIKATION Man ganger en brøk med et tal ved at gange tælleren med tallet, f.eks. 5 7 2 5 7 2 35 2, 3 7 83 8 7 24 7 Et specialtilfælde, som vi senere skal bruge, er følgende: hvis man ganger en brøk med dens nævner, fås tælleren: Tilsvarende fås at 7 3 7 7 3 7 21 7 3 5 6 65 6 6 30 6 5 To brøker ganges med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner: 4 5 2 3 4 2 5 3 8 15, 1 7 3 8 1 3 7 8 3 56 10
DIVISION Man dividerer en brøk med et tal ved at gange med tallet i nævneren. F.eks. er 10 7 6 10 7 6 10 42 5 21 2 3 7 2 3 7 2 21 Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte brøk, f.eks.. 8 6 7 8 7 6 8 7 6 56 6 28 3 3 4 3 5 3 4 5 3 3 5 4 3 15 12 5 4 11
Regning med bogstavudtryk I bogstavregning lader man bogstaver stå istedet for tal. Eksempel 4 Udtrykket 32 2 3 4 skal reduceres. Først ganges der ind i parentesen: 6 3 2 6 44 Så hæves parenteserne: 6 3 2 6 4 4 6 6 4 3 2 4 16 3 2 4 16 Eksempel 5 Hvis man er blevet vant til at reducere, kan man undvære nogle mellemregninger: 35 243 523 3 15 3 2 8 6 5 10 15 24 18 5 12
Eksempel 6 Sikkersoq har købt 5 appelsiner, 3 bananer og 2 citroner. appelsiner koster 4 kr. stk. og man kan skrive 4 bananer koster 6 kr. stk. og man kan skrive 6 citroner koster 5 kr. stk. og man kan skrive 5 Den samlede pris skrevet med bogstaver er: pris 5 3 2 og kan så udregnes at være: pris5 43 62 520181048 kr. Eksempel 7 Erneeraq har været inde i den samme butik som Sikkersoq og har købt 8 appelsiner, 10 bananer og 7 citroner. Hvor meget har de tilsammen købt for? Den samlede pris skrevet med bogstaver er: pris 5 8 3 10 2 7 13 13 9 og kan så udregnes at være: pris 13 4 13 6 9 5 56 78 45 175 kr. 13
Eksempel 8 Arealet af en trekant kan skrives som:, hvor er grundlinjen og højden. Hvis man får at vide, at 5 cm og 7 cm, hvad er så arealet? 1 2 1 5 cm 7 cm 17.5 cm 2 I en anden trekant er 2 cm og 10 cm. Hvad er arealet? 1 2 1 2 cm 10 cm 10 cm 2 Dette viser hvorfor det er praktisk at skrive udtryk med bogstaver: man udskifter bogstaverne med de tal som er gældende i den givne situation. Eksempel 9 Man skal reducere udtrykket 3 2 6 5 4 Først skal man finde en fællesnævner. Den mindste fællesnævner er 12. 2 3 2 2 6 6 4 12 3 5 3 4 15 3 12 6 4 15 3 12 3 19 12 14
Talsystemet Tallene vi regner med, kan afsættes på en tallinje, hvor de positive tal afsættes til højre for 0 og de negative til venstre for 0. På tallinjen herover er kun afsat hele tal, men også brøker og decimalbrøker har deres plads på tallinjen. TYPER AF TAL Man bruger forskellige betegnelser for de forskellige taltyper. De naturlige tal Et naturligt tal er et helt, positivt tal. Vi betegner mængden af disse tal med og skriver sådan: De hele tal Samlingen af alle hele tal betegnes : 1,2,3,4, 3, 2 1, 0, 1, 2, 3, De hele tal består af de naturlige tal, de negative hele tal og det specielle tal 0, som hverken er positivt eller negativt. 15
De rationale tal Et rationalt tal er et tal, der kan skrives som en brøk med hele tal i tæller og nævner. Et par eksempler på rationale tal er 5 12, 9 6, 20 4, 30 65, 17 1 Vi ser, at hele tal er rationale. Desuden er endelige decimalbrøker rationale, fordi vi f.eks. kan skrive 0.7 7 10, 2.43 243 100 De rationale tal betegnes med Q, der står for 'quotient', fordi en brøk kan opfattes som resultatet af en division. De fleste kvadratrødder er ikke rationale tal. F.eks. er 3 og 19 ikke rationale der findes ingen brøk, der præcis er lig med disse tal. De kaldes irrationale tal. De reelle tal Samtlige tal på tallinjen kaldes reelle tal. De omfatter de hele tal, de rationale tal og irrationale tal. Man skriver de reelle tal med symbolet. På intervalform skrives de rationale tal således: ; 16
Intervaller Det er praktisk at indføre en skrivemåde for intervaller på tallinjen. Man deler intervaller op i begrænsede og ubegrænsede intervaller. BEGRÆNSEDE INTERVALLER Et begrænset interval er et afsnit af tallinjen, der ligger mellem to givne tal, der kaldes intervallets endepunkter. Man kan vælge at medtage et eller begge endepunkter eller ingen af endepunkterne. Der er derfor fire forskellige typer af begrænsede intervaller, med hver sin skrivemåde. Eksempler: 5 ; 8 alle tal mellem 5 og 8, men 5 og 8 er ikke med i intervallet. 2 ; 10 alle tal fra og med 2 til 10, dvs. 2 er med og 10 er ikke med i intervallet. 3 ; 8 alle tal fra 3 til og med 8, dvs. 3 er ikke med og 8 er med i intervallet. 5 ; 9 alle tal fra og med 5 til og med 9, dvs. 5 er med og 9 er med i intervallet. I almindelighed er der altså de fire intervaltyper: ;, ;, ;, ; Den første type interval kaldes et åbent interval, fordi de to endepunkter ikke er med i intervallet. De to næste typer kaldes halvåbne, fordi det ene endepunkt er med og det andet ikke er med i intervallet Den sidste type kaldes et lukket interval, fordi begge endepunkter er med i intervallet. 17
Man viser de forskellige typer af intervaller med nogle specielle symboler for endepunkterne. Endepunktet tegnes med en fyldt cirkel, hvis det er med i intervallet. Endepunktet tegnes med en tom cirkel, hvis det ikke er med i intervallet. Eksempel 10 Herunder ses nogle eksempler på begrænsede intervaller og den tilhørende skrivemåde. 18
UBEGRÆNSEDE INTERVALLER Et ubegrænset interval på en tallinje består af alle de tal, der ligger til højre eller til venstre for et givent tal. Denne type intervaller skrives sådan: 7 ; alle tal, der er større end eller lig med 7 2 ; alle tal, der er større end 2 ; 5 alle tal, der er mindre end eller lig med 5 ; 3 alle tal, der er mindre end 3 Symbolerne og læses 'uendelig' og ' minus uendelig'. De er ikke tal, men viser at intervallerne fortsætter i det uendelige til højre eller venstre på tallinjen. 19
Potenser og rødder Vi skal se, at potenser og rødder er to sider af samme sag, idet rødder kan udtrykkes ved potenser. REGNEREGLER FOR POTENSER OG RØDDER Herunder ses eksempler på regning med potenser af tallet (nogle af regningerne forudsætter at 0 1 Disse regneregler udtrykkes i bogstaver sådan: Potensregneregler 20
Eksemplerne ovenfor demonstrerer kun regnereglerne for positive hele værdier af eksponenterne og. Man ønsker at reglerne skal gælde for alle hele eksponenter, dvs. også for eksponenten 0 og negative eksponenter. Eksponent 0 Det ses ved at indsætte 0 i den første regneregel at 1 1 Negativ, hel eksponent I den første regel sætter vi 3 og 3 og får 1 1 Dette argument kan gennemføres for et hvilket som helst tal. så vi i almindelighed får at: 1 Der gælder f.eks. at 2 1 2 1 8, 10 1 10 1 100 000 0.00001 1 2 1 1 16 21
POTENSER MED BRØKEKSPONENT Nu indføres potenser, hvor eksponenten ikke er et helt tal, men en brøk. Det er f.eks. potenser af typen 2, 12.7. Man kan f.eks. betragte potensen Efter den sidste regel er Derfor må der gælde at På samme måde er Derfor må der gælde at Man definerer nu at: Således er 5 5, 8 8, 57 57 Nu betragtes potenser med eksponenter der er brøker, hvis tæller ikke er 1. Som eksempel bruges regnereglen 22
på potensen Man får: Det sidste lighedstegn fås ved brug af definitionen på. Desuden gælder at Generelt defineres derfor Et eksempel er 7 7 49 2.1779 Regnereglerne for de specielle potenser er sammenfattet herunder: 1 1 23
Ligninger I dette afsnit skal vi se på hvordan man løser førstegradsligninger med én ubekendt. En typisk problemstilling, der kan formuleres som en ligning er følgende: Det koster 15 kr. i gebyr at sende en pakke og 10 kr. pr. kg. Hvor tung en pakke kan man sende, hvis man har 575 kr.? Man kan opstille følgende ligning 15 10 575 Dette er et eksempel på en førstegradsligning med een ubekendt. At løse ligningen vil sige at finde de værdier af, som passer i ligningen. OMFORMNINGS-REGLER FOR LIGNINGER Når man skal løse en ligning, dvs. finde den eller de værdier af den ubekendte, der passer i ligningen anvendes en række omformnings regler. Når man bruger disse regler ændres løsningen ikke, men man kan skrive ligningen på en simplere form, der gør det nemt at se hvad løsningen er. Omformnings reglerne er: 1. Man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 2. Man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 3. Man må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet, bortset fra 0 4. Man må dividere på begge sider af lighedstegnet med det samme tal, bortset fra 0 24
Ligninger der fås af hinanden ved at bruge disse regler samt de almindelige reduktionsregler, kaldes ensbetydende, dvs. de har de samme løsninger. For at vise at to ligninger er ensbetydende bruger man tegnet, som er en pil, der peger begge veje. Man skriver f.eks. 2 1 9 2 8 fordi begge ligninger har løsningen 4 De to ensbetydende ligninger fremgår af hinanden ved at bruge omformningsreglerne. I dette tilfælde: Den sidste ligning fremgår af den første ved at trække 1 fra på begge sider. Den første ligning fremgår af den sidste ved at lægge 1 til på begge sider. Eksempel 11 I dette eksempel vises hvordan man bruger omformnings reglerne til at forsimple en ligning. 342 1210 3 Gang ind i parentesen på venstre side. 12612103 Hæv parentesen på højre side. 12 6 1 2 10 3 Reducer begge sider. 13683 Læg 6 til på begge sider. 13 6 6 8 3 6 Reducer begge sider. 13 8 3 Læg 8 til på begge sider. 138883 Reducer begge sider. 25
21 3 Divider med 3 på begge sider 21 3 3 3 7 Når man er vant til at løse ligninger, vil man ofte udelade nogle af mellemregningerne. F.eks. 725 3 2232 1 7 10 6 22 6 3 13 10 19 6 32 16 2 Ligningen fra indledningen kan løses ved at bruge omformnings reglerne: 15 10 575 15 15 10 575 15 10 560 10 10 560 10 56 Man kan derfor sende en pakke på 56 kg, hvis man har 575 kr. 26
Man kan også løse ligninger, hvor den ubekendte står i nævneren på en brøk. F.eks. 20 6 20 6 20 6 20 6 6 6 20 6 27
Uligheder En ulighed opstår, når man mellem to tal eller bogstavudtryk sætter et ulighedstegn, dvs. et af følgende fire tegn: mindre end f.eks. 710, 2 9 større end f.eks. 5 11, 143 mindre end eller lig med f.eks. 88, 3 2 større end eller lig med f.eks. 72, 6 5 De to første er skarpe ulighedstegn, de to sidste er svage. Man benytter desuden ulighedstegn til at angive tal, der på tallinjen ligger mellem to bestemte tal, dvs. et interval. F.eks. 4 10 hvilket læses x ligger mellem 4 og 10 inklusive At løse en ulighed vil sige at angive de værdier af, som passer i uligheden, dvs. gør den sand. I uligheden 3 1 11 er 5 en løsning, fordi 5 passer: 3 5111 er sandt men 2 er ikke en løsning, da 3 2111 er falsk 28
Man kan måske se, at løsningerne er alle værdier af, som er større end eller lig med 4, dvs. løsningerne er 4 OMFORMNINGSREGLER FOR ULIGHEDER Omformningsreglerne ligner dem for ligninger : 1. Man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 2. Man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 3. Man må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet, bortset fra 0 4. Man må dividere på begge sider af lighedstegnet med det samme tal, bortset fra 0 Men der er een vigtig ekstra regel: Når man ganger eller dividerer med et negativt tal, skal man vende ulighedstegnet. Den ekstra regel kan forklares ved at se på nogle eksempler. Se på den sande ulighed 12 8 Hvis man ganger med 3 på begge sider eller dividerer med 2 på begge sider fås igen sande uligheder: 36 24 og 6 4 29
Se på den sande ulighed 18 6 Hvis man ganger med 2 på begge sider eller dividerer med 3 på begge sider uden af vende ulighedstegnet fås: Disse to uligheder er falske. 36 12 og 6 2 Man får sande uligheder ved at vende ulighedstegnet om: 36 12 og 6 2 Dette forklarer hvorfor man skal vende ulighedstegnet om, når man ganger eller dividerer med et negativt tal. Eksempel 12 Vi løser et par simple uligheder, og vælger at skrive udregningerne op under hinanden: 2 4 9 2 13 2 2 13 2 6.5 8320 3 12 3 3 12 3 4 30
Eksempel 13 Vi løser en ulighed ved at bruge omfornings reglerne: 4 3 325 4 12 3 10 2 4 12 5 10 2 Løsningerne er derfor alle tal som er mindre end eller lig med 2. Dette er den såkaldte løsningsmængde som kaldes for, og kan skrives ;2 Løsningsmængden kan vises på en tallinje: 31
Formler Vi har allerede set på formlen for trekantens areal: Hvor er grundlinjen og er højden. 1 2 Der findes andre nyttige formler fra geometri, som man bør kende. Cirkelarealet: Cirkelomkredsen: 2 Hvor 3.14159 og er cirklens radius. 32
Den krumme overflade på en cylinder: 2 Volumen af cylinder: Hvor er højden af cylinderen. For at finde hele overfladen af cylinderen skal man lægge arealet af de to cirkler i enderne sammen med arealet af den krumme overflade. I science kan man finde denne her slags formler: hvor er massefylde (densitet), er masse og er volumen af en eller anden genstand eller en væske. hvor er fart, er afstand og er tid. De bogstaver, der optræder i en formel kaldes også for formlens variable. 33
Formler kan omskrives. F.eks. kan formlen omskrives på disse måder: Den størrelse som står alene på den ene side af lighedstegnet siges at være isoleret. Eksempel 14 Hvis en sten har massen 20 g og massefylde 2 stenens volumen så? hvor stort er 20 g 2 10 cm Eksempel 15 En cirkel har en omkreds 60 cm. Hvor stor er cirklens radius? 2 2 2 60 cm 2 9.55 cm 34
Eksempel 16 En cirkel har arealet 25 cm. Hvor stor er cirklens radius? 25 2.82 cm Hvis man synes det er for indviklet at omskrive formler, kan man også sætte alle tal man kender ind først: 25 3.14159 25 3.14159 7.96 7.96 2.82 Fordelen ved at omskrive til en færdig formel er, at man slipper for at lave hele udregningen forfra hver gang. 35
Kapiteloversigt 1 Regningsarternes rækkefølge 1. Potensopløftning og rodudragning. 2. Multiplikation og division. 3. Addition og subtraktion. Parenteser Parenteser sættes for at ophæve regningsarternes normale rækkefølge. Plusparenteser : fjernes uden videre. Minusparenteser: fjernes ved at skifte fortegn for leddene i parentesen. Brøker Regel Formulering Symbolsk Forlængning af en brøk Tæller og nævner ganges med samme tal Forkortning af en brøk Multiplikation af en brøk med et tal Multiplikation af en brøk med en brøk Tæller og nævner divideres med samme tal Tælleren ganges med tallet Tæller ganges med tæller og nævner med nævner : : Division af en brøk med et tal Nævneren ganges med tallet : 36
Division af et tal med en brøk Man ganger med den omvendte brøk Division af brøk med en brøk Man ganger med den omvendte brøk : Talsystemet de naturlige tal 1,2,3 : de hele tal, 3, 2, 1, 0, 1, 2,3, Q : de rational tal : de reelle tal Alle tal, der kan skrives som brøker Alle tal på tallinjen Ligninger 1. Man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 2. Man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 3. Man må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet, bortset fra 0 4. Man må dividere på begge sider af lighedstegnet med det samme tal, bortset fra 0 Uligheder Omformningsreglerne er de samme som for ligninger, men hvis man ganger eller dividerer med et negativt tal, skal man vende ulighedstegnet. 37
2. Funktioner Koordinat systemet Funktionsbegrebet Regneforskrift for en funktion Definitions og værdimængde Elementære funktioner Monotoniforhold Grafisk løsning af ligninger og uligheder Generelt om funktioner Koordinat systemet Det sædvanlige koordinat system i planen består af to tallinjer, der står vinkelret på hinanden i deres fælles nulpunkt. Den ene, aksen. er orienteret mod højre, den anden aksen opad. Ved hjælp af koordinat akserne kan punkter i planen forsynes med koordinatsæt (også kaldet koordinater). Man nævner koordinaten først. På fig. 1 er afsat nogle punkter og koordinaterne er angivet. Koordinatakserne deler planen i 4 dele, de såkaldte kvadranter. De nummereres i omløbsretning mod uret som vist på fig. 1 med romertal. 38
Figur 1. 39
Funktions begrebet Vi forklarer funktionsbegrebet ved at se på nogle eksempler, der viser tankegangen og fastlægger bestemte udtryk. 1. Et taxifirma tager 20 kr. i startgebyr og 17 kr. pr. km for at køre. Hvad koster det at køre 8 km? hvor langt kan man køre for 200 kr.? 2. Der hældes kogende vand på en termokande (100. Temperaturen af vandet aftager med 5 i timen. Hvor varmt er vandet efter 3 timer? Hvornår er temperaturen faldet til 70? Den uafhængige variabel Begge eksempler indeholder en størrelse, vi frit kan vælge værdier for. Den kaldes den uafhængige variabel. Den uafhængige variabel er i de to eksempler: det kørte antal kilometer antal timer efter at vandet er hældt på kanden Man bestemmer selv, hvor langt man vil køre og man bestemmer selv, hvornår man vil måle temperaturen. 40
Den afhængige variabel Begge eksempler har også en størrelse, som ikke kan vælges frit. Den afhænger af den frit valgte variabel. Den størrelse, der ikke kan vælges frit kaldes den afhængige variabel og er i de to eksempler: Prisen for at køre et bestemt antal kilometer Vandets temperatur I hvert af eksemplerne er der tale om en funktion, Vi siger at : prisen er en funktion af kilometerantallet vandtemperaturen er en funktion af antallet af timer I almindelighed siger man at: den afhængige variabel er en funktion af den uafhængige. REGNEFORSKRIFT De funktioner, vi skal arbejde med er stort set altid fastlagt ved deres regneforskrifter. Man kan finde regneforskriften ved at udskifte en fast værdi af den uafhængige variabel med et. 1. Hvis man kører 8 km med taxifirmaet skal man betale 20 8 17 156 kr. Hvis man kører km, skal man betale 20 17 kr. Man siger så, at man har fundet en regneforskrift for funktionen. 41
Hvis angiver prisen, er sammenhængen mellem prisen og kilometer tallet : 20 17 Det er praktisk at give funktionen et navn, og man bruger tit bogstaverne, og til dette. Altså kan man skrive: 20 17 Hvis man kører 8 km med taxaen skriver man: 8 20 8 17 156 og man siger at funktionsværdien af 8 er 156. Hvis man har 200 kr. kan man regne ud, hvor langt man kan køre: 200 20 17 200 20 17 180 17 180 17 17 17 10.59 Derfor kan man køre 10.59 km, hvis man har 200 kr. 42
2. Vandets temperatur i kanden falder med 5 i timer, så efter 3 timer er temperaturen og efter timer er den 100 3 5 85 100 5 på samme måde som før kan man navngive: og 100 5 100 5 En temperatur på 70 svarer til at 70. Derfor gælder der at: 70 100 5 70 100 5 30 5 30 5 5 5 6 Det er derfor efter 6 timer at temperaturen er 70 43
Eksempel 1 En funktion er givet ved forskriften 52 Funktionsværdierne udregnes ved at erstatte med et tal. F.eks. fås funktionsværdierne af 3 og 4 sådan: 3 5 3217 4 5 4 218 Man kan opstille en tabel over funktionsværdier: 4 3 2 1 0 1 2 3 18 13 8 3 2 7 12 17 Grafisk billede Vi ser igen på eksemplet med funktionen, der angiver temperaturen af vandet i termokanden: 100 5 Som vist i eksempel 1 kan man opstille en tabel over sammenhørende værdier af og : 0 1 2 3 6 10 100 95 90 85 70 50 Vi afsætter disse punkter i et koordinat system, dvs. vi afsætter punkterne 0,100, 1,95, 2,90, og trækker en streg igennem, som vist på fig. 2 44
Figur 2. Grafen kan også tegnes med CAS, det er nemmere end at tegne den ind på papir. Det viser sig at punkterne ligger på en ret linje, og hvis vi udvider tabellen med flere punkter vil de også ligge på samme linje. Den rette linje kaldes funktionens grafiske billede eller graf. 45
På fig 3. er vist grafen for funktionen, der angiver prisen for at køre km med taxifirmaet. Grafen er tegnet med CAS Figur 3. 46
DEFINITIONS- OG VÆRDIMÆNGDE For funktionen ovenfor har det ingen mening at fortsætte grafen til venstre for aksen man kan jo ikke køre et negativt antal kilometer. Man kan også vælge at begrænse sin kørsel til f.eks. 400 km Altså bruges der kun værdier mellem 0 og 400. Man siger at: og man skriver Definitions mængden for er 0 ; 400 Dm 0 ; 400 På samme måde med funktionen, der angiver temperaturen af vandet i kanden. Et negativt antal timer giver ingen mening. Hvis stuetemperaturen er 20 standser afkølingen, når vandet har denne temperatur, hvilket sker efter 16 timer. Derfor er definitionsmængden for alle tal mellem 0 og 16 inklusive : Dm 0 ; 16 I almindelighed har man følgende definition: Definition. Definitions mængden for en funktion består af alle de talværdier, som den uafhængige variabel kan have. Den kaldes for Dm. Definitions mængden angiver grafens udstrækning i aksens retning 47
Det har også interesse at se på de værdier af som bruges. I eksemplet med taxikørslen, var køreturen blevet begrænset til 400 km. 400 20 400 17 6820 kr. Da man jo mindst skal betale 20 kr. er der brug for værdier mellem 20 kr. og 6820 kr. Dette interval kaldes funktionens værdimængde og man skriver Vm 20 ; 6820 I almindelighed har man følgende definition: Definition. Værdimængden for en funktion består af alle de talværdier, som den afhængige variabel kan have. Den kaldes for Vm. Værdimængden angiver grafens udstrækning i aksens retning 48
Eksempel 2 På fig. 4 er tegnet det grafiske billede af en funktion. Figur 4. Man kan aflæse definitions og værdimængden : Dm 1; 12 Vm 4; 6 Desuden kan man aflæse forskellige funktionsværdier, f.eks. 2 2, 7 1, 12 6 49
Man har så følgende definition på en funktion: Definition En funktion er en forskrift, der opfylder følgende: Til hver værdi af i definitions mængden svarer præcis et tal i værdimængden. Tallet kaldes funktionsværdien af, og man skriver 50
Nogle elementære funktioner KVADRAT-FUNKTIONEN Ved kvadratet på et tal forstås tallets 2. potens. Den såkaldte kvadrat funktion har forskriften og dens definitions mængde er alle reelle tal. Grafen ses på fig. 5, den kan tegnes med CAS. Grafen kaldes en parabel. Det ses at Vm 0 ; Parabler optræder mange stedet i naturen og i teknikken. Eksempelvis følger en bold som kastes, en riffelkugle og vandstrålen fra et springvand alle en parabelformet bane. Parabler bruges også i konstruktionen af broer og andre former for bygningsværker. Figur 5. 51
KVADRATRODS-FUNKTIONEN Alle positive tal har en kvadratrod. Kvadratroden af et positivt tal er det positive tal, der ganget med sig selv giver. F.eks. er 25 5 fordi 5 525 og 49 7 fordi 7 7 49 Desuden har 0 en kvadratrod: 0 0 fordi 0 0 Negative tal har ikke kvadratrødder, fordi et tal i 2. potens er positivt eller 0. Vi ser her på kvadratroden som funktion: Tabelværdier: 0 0 1 1 4 2 9 3 16 4 25 5 Grafen for kvadratrods funktionen ses på fig. 6 52
Figur 6. 53
RECIPROKFUNKTIONEN At to tal er reciprokke betyder at de ganget med hinanden giver 1. Nogle eksempler på reciprokke tal er 2 og 0.5, 4 og 0.25, 5 og 0.2 det reciprokke tal til er fordi 1 1 1 På lommeregneren findes en reciproktast. Funktionens graf kan tegnes med CAS. Grafen ses på fig. 7. Den kaldes en hyperbel. De to dele af grafen kaldes for de to grene. Figur 7. 54
Funktioners monotoniforhold I dette afsnit indføres begreberne voksende, aftagende og konstant funktion og desuden forklares begrebet monotoni interval. Endelig skal vi se på funktioners såkaldte maksimum og minimum, dvs. mulige største og mindsteværdier for funktioner. VOKSENDE, AFTAGENDE OG KONSTANT FUNKTION Vi ser på den funktion, hvis graf er angivet på fig. 8. For denne funktion gælder: større og større værdier giver større og større funktionsværdier ( værdier). En sådan funktion kaldes voksende. Det ses, at hvis man går mod højre på aksen gennem større og større tal, så vil værdierne også blive større og større. Figur 8. 55
På fig. 9 er tegnet grafen for en funktion, for hvilken der gælder: større og større værdier giver mindre og mindre funktionsværdier ( værdier). En sådan funktion kaldes aftagende. Hvis vi løber mod højre på aksen gennem større og større tal, vil de tilsvarende værdier blive mindre og mindre. Figur 9. Endelig kaldes en funktion konstant, hvis alle funktionsværdier er ens. Grafen er så en vandret linje. 56
MONOTONI-INTERVALLER Man kan opdele definitions mængden i såkaldte monotoni intervaller, hvor funktionen er voksende, aftagende eller konstant. Den funktion, hvis graf ses på fig. 10 har tre monotoni intervaller, idet man vælger monotoni intervallerne så store som muligt: er voksende i 1; 5 og 9; 12 er aftagende i 5; 9 Figur 10. Når man opskriver funktionens monotoni intervaller og angiver om funktionen er voksende, aftagende eller konstant i intervallet, har vi anført dens monotoniforhold. 57
Læg mærke til følgende: Monotoni intervaller aflæses udelukkende på aksen. Funktionens værdier på aksen indgår slet ikke. De punkter, hvor to monotoni intervaller støder sammen, medregnes til dem begge. MAKSIMUM OG MINIMUM I mange tilfælde har en funktion en størsteværdi og/eller en mindsteværdi, også kaldet maksimum og minimum. På fig. 10 er den største funktionsværdi 6 og den mindste funktionsværdi er 3 Man siger at: har et maksimum på 6 som antages for 12 har et minimum på 3 som antages for 9 58