Kapitel Design af effektregulering I dette kapitel gennemgås principperne bag regulering af motorer, der opstilles krav til, og der designes de to regulatorer til henholdsvis pitchregulering af sevomotoren og effektregulering af DC-motoren.. Beskrivelse af regulatorer Regulatoren indgår som en del af et lukket kredsløb, se figur.. Regulatoren reagerer på fejlen e s, der er differencen mellem referencesignalet r s og det tilbagekoblede signal. Styresignalet, u s, justeres, så fejlen bliver mindre, og når der ikke er nogen fejl, kører processen stationært. G r ( s ) G m ( s ) r( s ) e( s ) + u( s ) c ( s ) Regulator M otor - H ( s ) S en s or Figur.: Blokdiagram over regulatorprincip En regulator kan opbygges af et eller flere led afhængig af de krav, der stilles til reguleringen. De enkelte led vil blive beskrevet, derefter opstilles der krav til regulatoren, og der vælges den type regulator, der kan opfylde kravene... Overføringsfunktion for et reguleringssystem Der kan opstilles nedenstående overføringsfunktioner for et reguleringssystem i figur.. Åbensløjfe overføringsfunktionen, G ol s, der defineres som produktet af alle overføringsfunktioner rundt i sløjfen:
KAPITEL. DESIGN AF EFFEKTREGULERING G ol s G r s G m s H s (.) Lukketsløjfe overføringsfunktionen, G cl s, der er overføringsfunktionen af det samlede lukketsløjfe system fra input, r s, til output, c s, idet T står for de enkelte blokkes overføringsfunktioners tæller, og N for nævner: G cl s c s r s G r s G m s G r s G m s H s T Gr s T Gm s N H s N Gr s N Gm s N H s T Gr s T Gm s T H s (.2) Disse overføringsfunktioner anvendes i den efterfølgende dimensionering og design af regulatorne...2 Specifikationer til beskrivelse af systemet Der findes flere forskellige specifikationer, der kan beskrive systemets dynamik, stabilitet og stationære tilstand [?, side 8 - ]. Der anvendes følgende specifikationer til beskrivelse af systemet: Stigetiden, t r, er den tid, det tager for systemet at nå fra % til 9% af den ønskede sluttilstand. Indsvingningstiden, t s, er den tid, det tager systemets transienter at ligge indenfor et bånd omkring den ønskede sluttilstand. Den margin, som systemet må svinge omkring, vælges typisk til enten % 2% eller 5%. Oversvinget, M p, er den maksimale værdi, som systemet overstiger den ønskede sluttilstand. Stationærfejlen, e ss, angiver hvor meget systemet må afvige fra den ønskede sluttilstand. Tidsdomænespecifikationerne til dynamik og stabilitet fremgår af figur.2 på modstående side. e ss er et udtryk for lukketsløjfesystemets reguleringsnøjagtighed. Der kan opstilles et udtryk for stationærfejlen for referencesignalet, hvor formel. på foregående side anvendes [?, side 23-3]. e ss lim s s c K s M (.3) c er ordenen af den inputfunktion, der påtrykkes. c er for et step, for en rampe og 2 for en parabel. K er den statiske sløjfeforstærkning, der fås, når polynomierne i G ol s normeres, så konstantleddene bliver, og M er antallet af integratorer i G ol s. Resultatet af formel.3 kan være, en konstant forskellig fra eller uendeligt. Det ses endvidere, at hvis der ønskes at den stationære fejl er for et step, skal der være mindst én integrator i G ol s. 2
.. BESKRIVELSE AF REGULATORER.4.2 Mp +/ 2 % Amplitude.8.6 ts.4.2 tr 5 5 2 25 3 35 Tid [s] Figur.2: Definition af t r, t s og M p P-, I- og D-regulatorer Den simpleste regulator er en P-regulator, hvor udgangssignalet, u, er proportionalt med indgangssignalet, e, med proportionalitetsfaktoren, k P : Ved Laplace-transformation fås: u k P e U s E s k P En P-regulator kan reducere stigetiden og stationærfejlen, men kan forøge oversvinget. For at opfylde de stillede krav kan det være nødvendigt at give P-regulatoren en stor k P -værdi. Dette kan dog medføre, at systemet bliver ustabilt, og der kan stadig forekomme en vis stationær fejl [?, side 266-27]. En måde at forbedre dette på er at tilføje et integrationsled, der integrerer over fejlsignalet, så regulatoren bliver en PI-regulator. Integratoren regulerer med voksende styrke, indtil motoren har den rigtige hastighed eller position. Udgangssignalet kan beskrives som: u t k P e k I t e τ dτ Ved Laplace-transformation fås: U s E s k P k I s k P τ i s τ i s (.4) 3
KAPITEL. DESIGN AF EFFEKTREGULERING τ i er integrationstiden, τ i k p k I. Regulatoren har et nulpunkt i s τ i og en pol i origo. PIregulatoren kan reducere stigetiden, forøge oversvinget og indsvingningstiden, hvis nulpunktet placeres uheldigt, og eliminerer stationærfejlen [?, side 27-274]. For at kompensere for de ulemper, som de to ovennævnte reguleringsled har, kan der indsættes et differentationsled, så regulatoren kaldes en PID-regulator. Differentationsleddet medfører, at regulatoren kan reagere hurtigere på små ændringer. Regulatoren kan få en hurtigere stigetid, mindre oversving og ingen stationær fejl [?, side 292-296]. Udgangssignalet kan beskrives som: t u t k P e k I e τ dτ k D de t dt Ved Laplace-transformation fås: U s E s k P k I s k Ds k P τ i τ d s k τ d er differentationstiden, τ d D kp. Afhængig af de krav, der stilles til regulering af systemet kan regulatoren kombineres som en P-, PI-, PD- eller PID-regulator. Efter at have gennemgået de generelle principper bag regulering, vil pitch- og effektreguleringen blive designet..2 Pitchregulering De blokke som pitchreguleringssystemet indeholder, er beskrevet i kapitel?? på side??. I dette afsnit samles de enkelte blokkes overføringsfunktioner, og overføringsfunktionen for regulatoren designe. Pitchreguleringssystemets samlede overføringsfunktion skal til sidst opstilles som en differensligning, som kan implementeres i C67. På figur.3 ses det samlede pitchsystem med overføringsfunktionerne for de enkelte blokke. T t ø r G ( s ) G r p ( s ) G ( s ) G a k ( s ) K rø j e p o s i t i o n r( s ) S erv o A erod y n am i + Regulator + - m otor k + K rø j e i n erti H ( s ) K rø j ev i n k el m å ler Figur.3: Blokdiagram for pitchreguleringssystemets overføringsfunktioner Pitchreguleringssystemet består af to tidskonstanter, τ p, der repræsenterer tidsforsinkelsen mellem PWM-signalet til servomotoren og pitchvinklen, og τ B, der repræsenterer tidsforsinkelsen mellem krøjemoment og krøjehastighed. 4
.2. PITCHREGULERING Servomotorens overføringsfunktion, G p s, er blev fundet ved en test, som er beskrevet i appendiks?? på side??. Testen blev udført ved at ændre på PWM-signalet til servomotoren og derudfra måle, hvilke pitchvinkler dette ville give. Ud fra denne måling kan der optegnes en kurve for forholdet mellem dutycycle på PWM-signalet til servomotoren og pitchvinklen. indsæt kurve... Derefter kan der opstilles en overføringsfunktion, som indeholder τ p på 7 6. 8 og en forstærkning G p s 7 6 s τ p τ p 7 6 τ p s For at finde J og B i nacellens overføringsfunktion, G k s, blev der lavet en måling og en test, se appendiks?? på side??. For finde J blev nacellens vægt og radius målt og derudfra kunne en tilnærmet værdi beregnes. Testen for finde B, blev gennemført ved, at nacellen blev drejet og derudfra beregnet ud fra en udløbskurve. B er fundet til 5 og J er beregnet til 5. τ B er dermed beregnet til 3. Overføringsfunktionen for G k s er vist i formel.5: G k s Js B J J s 3 (.5) For at finde overføringsfunktionen for aerodynamik, G a s, blev der lavet en række beregninger ved hjælp af Matlab, se?? på side??, Det blev også lavet målinger til at verificere disse og var afvigelse på cirka 4. Var det vurderet at det målte værdi vil være tætter på virkeligheden. Resultatet blev en overføringsfunktion kun indeholdende en forstærkning og er vist i formel.6: G a s 2 (.6) Åbensløjfe overføringsfunktionen for det ukompenserede system uden regulator, kan opstilles som på formel.7: G s 7 2 s 2 5 s 3 s (.7) Det ukompenserede system har følgende poler, se tabel.: Pol s Pol s 2 3 Pol s 3 2 5 Tabel.: Åbensløjfe poler for ukompenseret system.2. Krav til pitchregulator Når pitchreguleringssystemet skal varetage krøjningen af nacellen, skal kravet til oversvinget sættes højt, sådan der ikke tillades stor oversving M p. Det formodes, at et stort oversving vil resultere i store belastninger til de mekaniske dele i vindmøllen. Kravet til krøjehastigheden kan sættes lavt, fordi vindretningen sjældent ændrer sig hurtigt, derfor kan indsvingningstiden t s være stor. Der 5
KAPITEL. DESIGN AF EFFEKTREGULERING skal stilles et krav om en lav stationær fejl e ss, fordi en stationær krøjefejl kan resultere i en mindre energiproduktion. Indsvingningstid, t s 6s ved 2% Oversving, M p % Stationær fejl, e ss %.2.2 Valg af regulator For at systemet kan overholde kravet om en stationær fejl på %, skal det indeholde en integrator. Den stationære fejl kan blandt andet opstå på grund af tørfriktionen T tr i krøjesystemet. Systemet indeholder en naturlig integration, som skulle fjerne den stationære fejl, men ved simulering med en P-regulator viste det sig, at der stadig er en stationær fejl, hvis T tr ikke er lig med, se figur.4. Den stationære fejl kan aflæses til 7 ved k P 25 og en T tr. For at undgå den stationære fejl vælges en PI-regulator. 9 8 7 6 krøjevinkel 5 4 3 2 5 5 2 25 3 tid(s) Figur.4: Stationær fejl når tørfriktionen regnes med, ved step fra til.2.3 Design af regulator Designet af PI-regulatoren er baseret på frekvensresponsdesignet [?, kap.6]. Her findes integrationstidskonstanten, τ i, og forstærkningen, k p, så kravene til M p, t s og e ss overholdes. For at kunne designe regulatoren omsættes kravet til M p til en fasemargin. Et oversving på % kræver minst en fasemargin på cirka 6 for et andetordenssystem [?, 47]. Da dette system er et fjerdeordenssystem, kan denne fasemargin kun bruges som en rettetråd, og derfor vælges en fasemargin på minst 6
.2. PITCHREGULERING 75. Forholdet, α, mellem det designede nulpunkt og den første pol, s 2, efter origo, sættes til at være højst 5, hvilket svarer til en fasemargin på 75 [?, 42]. α vælges til at være, som er to dekader under polen s 2, for at tage højde for indvirkningen fra den sidste pol s 3, som vil få fasemarginen til at falde. Når α er kendt kan nulpunktet, N p, i reguleringen beregnes. N p bestemmes til at være α s 2 3. Nu er k P den eneste ukendte parameter i regulatoren. For at finde k P tegnes Bodeplottet for åbensløjfeoverføringsfunktionen, se figur.5, hvor k P, se formel.8. G ol s k P 7 2s 56 s 4 5 5s 3 37 5s 2 (.8) Bode Diagrams Gm=3.468 db (at 6.856 rad/sec), Pm=75.53 deg. (at.4549 rad/sec) 5 Phase (deg); Magnitude (db) 5 5 2 25 3 2 Frequency (rad/sec) Figur.5: Bodeplot for åbensløjfeoverføringsfunktion med k P Grænsefrekvensen bestemmes, hvor fasemarginen er størst. Ud fra bodeplottet aflæses forstærkningen F i grænsefrekvensen, og k P beregnes ved at sætte k P F. Ved grænsefrekvensen på cirka 22 rad s aflæses F til cirka 6 5 db 2. PI-regulatorens konstanter kan herefter opstilles som i tabel.2 τ i 33,3 k p 475 Tabel.2: Bodeplottet for det kompenserede åbensløjfesystem ses på figur.6 på næste side. 7
KAPITEL. DESIGN AF EFFEKTREGULERING Bode Diagrams Gm=34.623 db (at 6.856 rad/sec), Pm=77.259 deg. (at.2845 rad/sec) 5 Phase (deg); Magnitude (db) -5 - - -5-2 -25-3 -2 - Frequency (rad/sec) Figur.6: Bodeplot for kompenseret overføringsfunktion PI-regulatorens overføringsfunktion vises i formel.9, og reguleringssystemets overføringsfunktion vises i formel.. G r s 475 s 3 s (.9) 7 2s 56 G cl s 475 s 4 5 5s 3 37 5s 2 (.).3 Effektregulering af DC-motor I dette afsnit opstilles først kravene til effektregulering af DC-motoren og derefter dimensioneres den valgte regulator ved hjælp af en rodkurveundersøgelse. Der skal designes en regulator, der kan regulere DC-motoren til at køre med en konstant vinkelhastighed ud fra input fra omdrejningsmåleren i såvel generator- som motordrift. Et blokdiagram over regulatorsystemet kan ses på figur.7 på modstående side. 8
.3. EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR G ( s ) r G e ( s ) G m ( s ) r( s ) e( s ) u( s ) + E f f ek t- v ( s ) M otor ( s ) Regulator f ors tæ rk er m ed gear - H ( s ) S en s or Figur.7: Blokdiagram over regulatorprincip til effektregulering.3. Krav til effektregulering af DC-motor Nedenstående krav er ikke fastsat ud fra regulering af en rigtig vindmølle, men er fastsat i forhold til et design af regulering af den anvendte DC-motor. De fastsatte tidskrav er valgt på baggrund af nogle overvejelser om, at det ikke er nødvendigt at regulerere meget hurtigt, i ms, og at det heller ikke drejer sig om flere minutter, før motoren har reguleret sig ind. Tidskravene til t r og t s fastsættes på baggrund af motorens tidskonstant, τ motor, der i kapitel?? på side?? blev beregnet til 28s. Denne tidskonstant kommer fra motorens mekaniske pol. t r vælges til godt 3 gange denne værdi, og t s til godt 8 gange denne værdi. Kravet til stationærfejlen er sat ud fra nogle overvejelser om, at det forstyrrelsesinput, der kan påvirke effektreguleringen, typisk vil være, at vinden pludselig forsvinder eller dukker op. Det svarer til, at reguleringen skal kunne regulere tilfredsstillende på et step som input. Der kan opstilles følgende krav til regulatoren: Stigetid, t r 4s Indsvingningstid, t s s ved 2% Oversving, M p % Stationær fejl, e ss Valg af regulator Da der er et krav om e ss, er det ikke nok med en P-regulator. Til regulering af motoren vælges derfor en PI-regulator. D-reguleringen fravælges, da der ikke et behov for en hurtig regulering på små udsving, som D-reguleringen kan give. Der vil være en stor inerti i vingerne og nacellen, og det mekaniske system vil derfor ikke kunne nå at reagere på kortvarige ændringer i vindpåvirkningen som følge af for eksempel kastevinde og hurtige hastighedsvariationer i vinden. Dette vil heller ikke være ideelt, idet det kan give meget store kraftpåvirkninger på motor og vinger. 9
KAPITEL. DESIGN AF EFFEKTREGULERING.3.2 Overføringsfunktion for effektregulering af DC-motor I dette afsnit opstilles overføringsfunktionerne for systemet, og med udgangspunkt i disse bestemmes parametrene til PI-regulatoren, der kan overholde de i afsnit.3. på forrige side opstillede krav. Nedenstående overføringsfunktioner indgår i lukketsløjfesystemet på figur.7 på foregående side: G r s k P τ i s τ i s G e s 4 G m s 9 47 279s H s Ved indsættelse i formel. på side 2 og.2 på side 2 fås henholdsvis åbensløjfe og lukketsløjfe overføringsfunktionerne, hvori der indgår de ubekendte parametre til PI-regulatoren: k G ol s P τ i s 4 9 47 τ i s 279s τ 272 58k P i s s 279s (.) G cl s ω s r s k P τ i s 4 9 47 τ i s 279s k P τ i s 4 9 47 23 2 k P τ s 2 τ i s 782 23 2k P s 23 2 k P τi (.2) For at beregne k P og τ i gennemføres en rodkurveundersøgelse..3.3 Rodkurveundersøgelse I dette afsnit laves en rodkurveundersøgelse for at kunne fastlægge systemets overføringsfunktion ud fra de opstillede krav, samt de målte og beregnede værdier.i en rodkurveundersøgelse ses der på systemets åbensløjfeoverføringsfunktion, hvor systemets kendte poler indtegnes. Derefter vælges en placering for PI-regulatorens nulpunkt, og der undersøges for hvilke værdier af k P, at lukketsløjfens poler overholder de opstillede krav. Nedenstående formler anvendes kun som retningslinier i forbindelse med dimensionering af PI-regulatoren, idet de kun er nøjagtige for andenordens systemer uden nulpunkter. Først beregnes de begrænsninger, som de opstillede krav giver til lukketsløjfepolernes placering. Dæmpningsfaktoren, ξ, findes ved hjælp af formel.3 ud fra kravet om M p % [?, side 47]: M p e πξ! ξ 2" ξ # (.3) Ved indsættelse findes, at ξ skal være $ 6. I det komplekse plan indtegnes ξ som to rette linier i s-planets venstre halvplan med start i origo, og vinklen φ ξ sin ξ med imaginæraksen, se
.3. EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR figur.8. For ξ 6 er φ ξ % 37. Overføringsfunktionens poler skal ligge mellem linerne med cos hældningskoefficienten, α & 37' " sin 37' " ( 33. Indsvingningstiden, t s, skal være s ved 2%. Dette er bestemmende for placeringen af den negative realdel af polerne, σ ξω n. σ findes ved hjælp af formel.4: 2 e ξω n t s (.4) ) σ 3 92 t s Ved indsættelse af t s findes σ $ 39s. Dette krav indtegnes som en lodret linie på figur.8, og området for polplacering ligger til venstre for denne linie. Ud fra kravet til stigetid, t r formel [?, side 45]: 4s findes kravet til den naturlige egenfrekvens, ω n, ud fra følgende ω n * 8 t r (.5) Kravet til ω n beregnes som ω n $ 45 rad s. ω n indtegnes som en halvcirkel i s-planets venstre halvplan med centrum i origo og radius 45, se figur.8. Området for polplacering ligger til venstre for denne halvcirkel. Im n O mr å d e f o r p o l p l a c e r i n g R e s i n - Figur.8: Område for polplacering Området for lukketsløjfens polplacering er nu fastlagt, og herefter kan k P og τ i bestemmes. Åbensløjfens overføringsfunktion er givet ved formel. på forrige side. Integratoren giver en pol i origo, og motoren giver en pol i 782 rad s. Det vælges at placere nulpunktet i ω i 8 rad s, hvilket er en dekade højere end motorens pol, se figur.9 på den følgende side.
KAPITEL. DESIGN AF EFFEKTREGULERING Im R e 8, 7 82 Figur.9: Åbensløjfens poler og nulpunkter for ω i 8rad s For forskellige værdier af k P vil polerne bevæge sig rundt på halvcirklerne, se figur.. For en forstærkning på under cirka bevæger de reelle poler sig imod hinanden. Ved en forstærkning på over bliver de to poler til et komplekst konjugeret polpar, hvor motorens pol har positiv imaginærdel, og integratoren har negativ imaginærdel. Det skal nu undersøges for hvilke værdier af k P, at systemet er stabilt, og de opstillede krav er overholdt. 8 6 4 2 Imag Axis 2 4 6 8 6 4 2 8 6 4 2 Real Axis Figur.: Rodkurve for polplacering ved forskellige værdier af k P Nulpunktets placering giver en integrationstid, τ i ωi 25s. Ved indsættelse i formel. på side fås følgende udtryk for G ol s : G ol s k P 28 64 25s s 279s (.6) Derefter beregnes for hvilken værdi af k P, at formel.6 har en forstærkning på, og der laves et bodeplot af G ol s for at se, om der er en fasemargin på mindst 45 ved denne forstærkning. Forstærkningen beregnes til k P 469, og som det fremgår af figur. på modstående side, er der en fasemargin på cirka 52, hvilket betyder, at systemet er stabilt. 2
.3. EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR Bode Diagrams 4 Gm = Inf, Pm=5.74 deg. (at.7449 rad/sec) 2 Phase (deg); Magnitude (db) 2 4 6 2 4 6 8 Frequency (rad/sec) Figur.: Bodeplot for åbensløjfe med k P 469 Derefter skal lukketsløjfens poler beregnes, og det skal kontrolleres, om de ligger i det gyldige område. Ved indsættelse af k P og τ i i formel.2 på side findes polerne som: s (+ 44 j 78 Som det fremgår af figur.2 på den følgende side, ligger polerne udenfor det gyldige område. Det er kravet til en dæmpningsfaktor større end 6, der ikke er overholdt. Det betyder, at der kommer et for stort oversving, hvilket kan ses på figur.3 på næste side, hvoraf det fremgår, at stepresponset har et oversving på cirka 8%. Det betyder, at der skal findes en anden værdi af k P, der kan opfylde alle de stillede krav. På figur. ses det, at der kan opnås en fasemargin på mindst 45 både ved at øge forstærkningen, og ved at sænke forstærkningen. Øges forstærkningen, bliver knækfrekvensen, ω c, også større, hvilket stiller større krav til samplingsfrekvensen ved implementering af PI-regulatoren i C67, se afsnit.4. på side 6. Det vil ikke være muligt at opnå så høj en samplingsfrekvens, som en forøgelse af k P ville kræve, så derfor vælges det at finde en mindre værdi for k P. Da M p er cirka dobbelt så stor som krævet, prøves med k P 26. Herved opnås en fasemargin på cirka 62 ved en knækfrekvens på ω c 4832 rad s, se figur.4 på side 5. Lukketsløjfens poler ligger i: s 42 j 52 Denne placering ligger i det gyldige område, se figur.5 på side 5. 3
KAPITEL. DESIGN AF EFFEKTREGULERING -,4 4 + j,7 8 Im,5 R e,5 Figur.2: Polplacering for lukketsløjfe med k P 469. Der er kun vist den ene pol..4 Mp = 8 %.2 Amplitude.8.6.4.2 2 4 6 8 2 4 6 8 Tid [s] Figur.3: Steprespons på lukketsløjfe med k P 469 Som det fremgår af figur.6 på side 6, er oversvinget nu på cirka 8%, og kravene til t r og t s er ligeledes overholdt. Herefter kan de faktiske værdier af t r, t s, ξ, σ og ω n beregnes. 4
.3. EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR Bode Diagrams Gm = Inf, Pm=6.748 deg. (at.4838 rad/sec) 2 Phase (deg); Magnitude (db) 2 4 6 2 4 6 8 Frequency (rad/sec) Figur.4: Bodeplot for åbensløjfe med k P 26 Im -,4 2 + j,52,5 R e,5 Figur.5: Polplacering for lukketsløjfe med k P 26. Der er kun vist den ene pol. 5
KAPITEL. DESIGN AF EFFEKTREGULERING.4.2 Mp = 8 % Amplitude.8.6.4 ts = 9,3 s.2 tr = 2,7 s 2 4 6 8 2 4 6 8 Tid [s] Figur.6: Steprespons på lukketsløjfe med k P 26 Systemets poler ligger i: s σ -, + ξ 2 Polernes realdel er udtryk ved σ, som er 42 for den valgte τ i og beregnede k P. Ved indsættelse i formel.4 på side fås t s 9 3s. Dæmpningsfaktoren beregnes som ξ 63 for M p 8% ved indsættelse i formel.3 på side. Polernes imaginærdel er givet ved ω n. + ξ 2. ω n beregnes til 67 rad s, og stigetiden beregnes til t r 2 7s ved indsættelse i formel.5 på side. Ovennævnte beregninger er kontrolleret i Matlab med kommandoen [Wn,Z,P] = damp(g cl ), hvorved der fås værdierne ω n 6659, ξ 6289 og s /+ 488 j 577..4 Digital implementering af regulatorer Regulatorerne skal implementeres i C67. Derfor skal deres overføringsfunktioner omskrives til en rekursiv differensligning ved hjælp af bilinear z-transformation [?, side 245-25 og 648-662], og det skal beregnes hvilken frekvens, det tilbagekoblede signal fra omdrejningsmåler og positionsgiver skal samples med..4. Valg af samplefrekvens Der skal vælges en samplefrekvens, f sample, der er så høj, at den digitaliserede regulator ikke bliver for upræcis i forhold til en analog implementation af regulatoren. Derfor sættes samplefrekvensen 6
5.4. DIGITAL IMPLEMENTERING AF REGULATORER ofte til tyve til fyrre gange lukketsløjfe 3dB båndbredden, ω BW [?, side 689]. ω BW findes som: Formlen til beregning af samplefrekvensen er: ω BW % 2 ω c rad s (.7) f sample 4 ω BW 2 π Hz (.8).4.2 Diskretisering af overføringsfunktion For at finde den diskrete ækvivalente overføringsfunktion anvendes Tustin s sætning til at bringe overføringsfunktionen over i z-domænet [?, side 245-25]. Dette gøres ved at erstatte s med en diskret operator: t sample er sampleperioden. D d z U z E z G r s 32 s4 2 t sample 65 z 7 z8 7 (.9) PI-regulator til pitchregulering ω c aflæses på Bodeplottet vist på figur.6 på side 8 til ω c med formel.8 til f sample 8Hz 2Hz. Diskretisering af overføringsfunktion: 28 rad s. Samplefrekvensen beregnes D d z 79z + 77z z + U z E z (.2) Herefter kan z funktionen transformeres til en diskret differentialligning vist i formel.2 og.22 z + U z 9 79z + 77 E z (.2) u k : u k + ; 79e k <+ 77e k + (.22) Differentialligningen kan nu implementeres i C67 programmet. PI-regulator til effektregulering af DC-motor For at beregne samplefrekvensen findes ω c ved hjælp af et Bodeplot for åbensløjfen til ω c 4832 rad s, se figur.4 på side 5. Der vælges en samplefrekvens på cirka 4 gange ω BW. Derved bliver f sample 6 2Hz, og den vælges til 6Hz. PI- regulatorens overføringsfunktion er: G r s U s E s 325s 26 25s 7
) KAPITEL. DESIGN AF EFFEKTREGULERING Den diskrete operator findes, idet t sample for en f sample på 6Hz er 67s: 2 z + 67 z 2 z + z Den diskrete overføringsfunktion findes ved indsættelse i formel.9 på foregående side: D d z 325 2 z " z " 26 25 2 z " z " D d z 433 + 87z + z Den diskrete overføringsfunktion konverteres til en diskret differensligning: + z U z 433 + 87z E z ) u k =+ u k + > 433e k =+ 87e k + ) u k? u k + 433e k =+ 87e k + Dermed er PI-regulatorens overføringsfunktion blevet omskrevet til en differensligning, der kan implementeres i software i C67, se kapitel?? på side??..4.3 Simulering Pitchregulering Det samlede system med lukketsløjfe overføringsfunktion vist i formel.23 simuleres i Simulink. Der laves en simulering på et step for henholdsvis kontinuert og diskret tid for at se, om de systemer reagerer ens. På figur.7 på modstående side vises en sammenligning af steprespons for to systemer. Det ses at oversvingent på det diskrete system er cirka 4%, mens det på det kontinuerte system er cirka 8%. Til gængæld har det diskrete system en større indsvingningstid, t s, cirka s længere end det kontinuerte system. T s 63s 386 s 4 5 5 3 37 5s 2 63s 362 (.23) Effektregulering af DC-motor Der er lavet en simulering på et step i Simulink af det samlede system i henholdsvis kontinuert og diskret tid for at se, hvordan de to systemer reagerer. Som det fremgår af figur.8 på næste side, er der meget god overensstemmelse mellem de to steprespons. Der er et lidt større oversving ved diskret tid, men det ligger stadig under %, og t r og t s er stort set ens for de to simuleringer. 8
.5. OPTIMERING AF OVERFØRINGSFUNKTION FOR EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR 2 8 Amplitude 6 4 2 2 3 4 5 6 7 8 9 Tid [s] Simulering kontinuert tid Simulering diskret tid.2 Figur.7: Stepresponsen for det kompenserede system.8 Amplitude.6.4.2 2 3 4 5 6 7 8 9 Tid [s] Simulering kontinuert tid Simulering diskret tid Figur.8: Plot af steprespons for simulering i kontinuert og diskret tid.5 Optimering af overføringsfunktion for effektregulering af DC-motor Som det fremgår af målerapporten i appendiks?? på side??, er den diskrete differensligning, 9 der blev fundet i formel.23 på forrige side meget langsommere under test end ved simulering i
KAPITEL. DESIGN AF EFFEKTREGULERING Simulink. Det har ikke været muligt at finde årsagen hertil ved en debugging af såvel overføringsfunktioner, hardware som software. For at få et hurtigere system vil der nedenfor blive designet en ny PI-regulator, der skal gøre det muligt at foretage nogle målinger på systemet. Kravene fra afsnit.3. på side 9 søges fortsat overholdt. Integratorens nulpunkt fastholdes i ω i 8 rad s. Ved hjælp af Matlab kommandoen RLOCFIND findes en ny værdi af k P 466, se figur.9. 5 5 Imag Axis -5 - -5-2 -5 - -5 Real Axis Figur.9: Polplacering for ny overføringsfunktion Ved hjælp af et Bodeplot for G ol s ses det, at der er en fasemagin på cirka 6% ved ω c 2 rad s, se figur.2 på modstående side. Ved hjælp af formel.8 på side 7 findes f sample bliver: 75Hz og den diskrete overføringsfunktion u k u k + 499e k =+ 44e k + (.24) Der laves en simulering af et step på henholdsvis det kontinuerte og det diskrete system med de nye værdier sat ind, se figur.2 på modstående side. Som det fremgår af figur.2 på næste side, er det nye reguleringssystem meget hurtigere end det gamle i simuleringen, se figur.8 på forrige side. Kravet om et oversving på under % er imidlertid ikke overholdt, og det vil sandsynligvis også giver problemer at implementere den nye diskrete overføringsfunktion med f sample 75Hz, idet omdrejningsmåleren ved en vinkelhastighed på 7 rad s giver 22 pulser s. Derfor er der ingen grund til at sample med end højere frekvens end højst 22 Hz. 2
.5. OPTIMERING AF OVERFØRINGSFUNKTION FOR EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR Bode Diagrams 8 Gm = Inf, Pm=59.92 deg. (at.933 rad/sec) 6 4 Phase (deg); Magnitude (db) 2-2 - -2-4 -6-8 - Frequency (rad/sec) Figur.2: Bodeplot for ny overføringsfunktion med k P 466.2 Amplitude.8.6.4.2.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Tid [s] Simulering kontinuert tid Simulering diskret tid Figur.2: Plot af steprespons for ny overføringsfunktion med f sample 75Hz 2
KAPITEL. DESIGN AF EFFEKTREGULERING f sample vælges til 2Hz, og der gennemføres en ny simulering af et step med den diskrete overføringsfunktion fra formel.24 på side 2, se figur.22..2 Amplitude.8.6.4.2.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Tid [s] Simulering kontinuert tid Simulering diskret tid Figur.22: Plot af steprespons for ny overføringsfunktion med f sample 2Hz Som det fremgår af figur.22, er oversvinget nu på cirka 9%, og systemet er blevet lidt langsommere end, når der samples med 75Hz, men tidsdomænekravene er overholdt. En anden mulighed var at finde en ny diskret overføringsfunktion for k P 466 og med f sample 2 Hz. Denne overføringsfunktions differensligning kan beregnes til: u k u k + = 5592e k =+ 3728e k + Dette vil imidlertid ikke give en overføringsfunktion, der overholder de stillede krav. Som det fremgår af figur.23 på modstående side, vil det give et oversving på cirka 3% Det vælges derfor at implementere den diskret overføringsfunktion for PI-regulatoren fra formel.24 på side 2 med en f sample 2Hz. Alle test af effektreguleringssystemet vil blive testet med denne reguleringsalgoritme..6 Delkonklusion Skrive - skrive - skrive 22
.6. DELKONKLUSION.4.2 Amplitude.8.6.4.2.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Tid [s] Figur.23: Plot af steprespons Simulering kontinuert tid Simulering diskret tid 23