Rubens Flammerør Mathias Solstad og Mathias Rosdahl Jensen 9. marts 010 1
Indhold 1 Indledning 3 Teori 3.1 Tidligere observationer...................................... 5 3 Forsøgsopstilling 6 3.1 Kalibreringskurve......................................... 6 4 Tilstande 7 4.1 Udførelse............................................. 7 4. Resultater............................................. 7 4.3 Diskussion............................................. 9 5 Måling af lydhastigheden 9 5.1 Udførelse............................................. 10 5. Resultater............................................. 10 5.3 Diskussion............................................. 11 6 Fænomener ved lave frekvenser 11 6.1 Udførelse............................................. 1 6. Resultater............................................. 1 6.3 Diskussion............................................. 13 7 Lydhastighedens temperaturafhængighed 13 7.1 Udførelse............................................. 13 7. Resultater............................................. 13 7.3 Diskussion............................................. 14 8 Flammernes vibrationer 15 8.1 Udførelse............................................. 15 8. Resultater............................................. 15 8.3 Diskussion............................................. 16 9 Videre undersøgelser 16 10 Konklusion 16 11 Appendiks 17
1 Indledning For over 100 år siden var Heinrich Rubens blandt de første til at eksperimentere med at sende lydbølger gennem en svineblære ind i et gasfyldt rør for at observere flammemønstre, der på tydelig vis demonstrerer lydens bølgenatur. Disse meterlange flammerør har lige siden vakt stor forundring og har været flittigt brugt som demonstrationsforsøg, men rummer stadig adskillige uopklarede fænomener. Eksperimentet består af et vandret placeret rør, hvor der langs toppen er boret en række huller. Røret fyldes med gas, og gassen kommer ud gennem hullerne og antændes. Ved at sende lyd med bestemte frekvenser ind gennem en membran i enden af røret kan man få et flammemønster, der ligner en sinuskurve. Der er dog ingen nøjagtig teori, der forklarer dette flammemønster. Endvidere kan dette flammemønster ændre sig, afhængigt af gastrykket og lydens amplitude. Dette giver anledning til to forskellige tilstande, hvilket første gang blev beskrevet af Rubens i hans artikel [] fra 1905. Vi vil undersøge disse tilstande med de instrumenter, vi har til rådighed i dag. Vi vil i rapporten ikke have fokus på teoretiske udledninger, men derimod vil vi kort redegøre for den grundlæggende teori og beskrive og forklare de fænomener, vi observerer, samt sammenholde disse med tidligere observationer. Rubens nævner sære fænomener ved lave frekvenser såsom abnormt forlængede bølger og forhøjede flammer, hvilket vi vil undersøge nærmere. Desuden er flammerøret oplagt at måle lydens hastighed med, og vi vil bl.a. undersøge lydhastighedens temperaturafhængighed. Røret er flere gange blevet taget op igen heriblandt af Ficken og Stephenson, der i deres artikel [4] bekræfter Rubens observation af de to tilstande, men i modsætning til Rubens observerer de ikke, at flammerne vibrerer. Vi vil derfor undersøge dette ved at filme flammerne med et højhastighedskamera. Alt i alt vil vi gerne undersøge: De forskellige tilstande, der tidligere er blevet observeret. Fænomener ved lave frekvenser. Lydens hastighed i flaskegas og dennes afhængighed af temperaturen. Flammernes vibrationer. Teori Teorien bag flammerøret er forholdsvis kompliceret, da flammehøjden ikke er en veldefineret størrelse, og man ikke rigtig ved, hvordan den afhænger af trykket. Vi vil derfor ikke være i stand til fuldstændigt at redegøre for teorien bag de fænomener, vi observerer. I det følgende redegøres for den mest grundlæggende teori for lydbølger. I store træk følges udledningen i [1, kap. 0.4]. For det første antager vi, at trykudsvinget, f som funktion af positionen, (x, y, z) og tiden, t opfylder bølgeligningen: f (x, y, z, t) = 1 f (x, y, z, t) c s t, (1) hvor c s er lydens udbredelseshastighed. Vi gør nu følgende antagelser for at simplificere systemet: Lydbølgerne, der sendes ind, er plane (dvs. vi tager ikke højde for, at membranen har størst udsving på midten), og de påvirkes hverken af hullerne eller friktionen mod indersiden af røret 1. Hvis vi placerer vores koordinatsystem således, at z-aksen går langs rørets centrum, giver disse antagelser, at trykket er cylindersymmetrisk omkring z-aksen. Dermed afhænger trykket ikke af x og y, og venstresiden i bølgeligningen reduceres til: f = f x + f y + f z = f z. () Den bølgeligning, vi skal løse, er nu reduceret til én rumlig dimension: f (z, t) z = 1 c s og løsningerne til denne ligning kan skrives på formen: f (z, t) t, (3) f (z, t) = g (z c s t) + h (z + c s t), (4) 1 Dog er friktionen ikke negligerbar ifølge Rubens (se underafsnittet om tidligere observationer). 3
hvor g og h er arbitrære funktioner. Funktionen g (z c s t) er konstant, når z c s t = konstant z = c s t + konstant. Dvs. hvis man bevæger sig med hastigheden c s i positiv z-retning, vil man observere, at g (z, t) er en konstant funktion, så g (z c s t) er en bølge, der udbreder sig med hastigheden c s i positiv z-retning. På samme måde er funktionen h (z + c s t) en bølge, der udbreder sig med hastigheden c s i negativ z-retning. Den bølge, vi sender ind i røret, kan skrives som: g (z, t) = A sin (k (z c s t) + φ), (5) hvor A amplituden, k er bølgetallet, og φ er faseforskydningen. Når denne bølge reflekteres i den anden ende af røret, fås: h (z, t) = A sin (k (z + c s t) + φ). (6) Da bølgeligningen er lineær, er enhver linearkombination af løsninger også en løsning. Når to bølger interfererer, vil den resulterende bølge derfor være summen af bølgerne. Dette kaldes superpositionsprincippet, og man siger at bølgerne superpositionerer. Denne superposition beregnes på følgende måde, hvor u og v er vilkårlige reelle tal: Den komplekse eksponentialfunktion defineres ved: e iu = cos (u) + i sin (u). (7) Af dette fås, at sin (u) kan skrives som imaginærdelen af den komplekse eksponentialfunktion. De to sinusfunktioner kan dermed lægges sammen som følgende, hvor e i u+v efterfølgende sættes uden for parentes: sin (u) + sin (v) = Im ( e iu + e iv) )) = Im (e i u+v (e i u v u v i + e. (8) Ved at benytte definitionen af den komplekse eksponentialfunktion samt, at cosinus er en lige funktion, og at sinus er en ulige funktion, omskrives den inderste parentes til: ( ) ( ) ( e i u v u v i u v u v + e = cos + i sin + cos u v ) ( + i sin u v ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u v u v u v u v u v = cos + i sin + cos i sin = cos ). (9) Da dette er et reelt tal, kan det sættes uden for imaginærdelen, og ved igen at bruge, at imaginærdelen af den komplekse eksponentialfunktion er lig med sinusfunktionen, får vi formlen: ) ( ) ( ) ( ) sin (u) + sin (v) = Im (e i u+v u v u + v u v cos = sin cos. (10) Nu kan vi beregne summen af vores to bølger: f (z, t) = A sin (k (z c s t) + φ) + A sin (k (z + c s t) + φ) = A sin (kz + φ) cos (ωt). (11) Her har vi også indsat vinkelfrekvensen, ω = kc s. Det er altså et produkt af en sinusfunktion, der kun afhænger af stedet, og en cosinusfunktion, der kun afhænger af tiden. For enhver afstand, z fra enden af røret vil trykket altså svinge harmonisk som funktion af tiden med amplituden A sin (kz). Der vil være punkter med konstant tryk, knudepunkter, og punkter, hvor trykket svinger med amplituden A, bugpunkter. I enden med højtaleren (z = 0) må trykudsvinget være maksimalt, dvs. sin (0 + φ) = ±1 φ = π. I enden, hvor bølgen reflekteres, må udsvinget ligeledes være maksimalt, da det er en trykbølge, så højtryk reflekterer højtryk, og tilsvarende med lavtryk. Hvis røret har længden L, må der gælde, at sin (kl + φ) = ±1 kl + π = π + πn k = πn L, hvor n er et naturligt tal. Vi har nu følgende udtryk for stående bølger: ( πn ) ( πn ) f (z, t) = A sin L z + φ cos L c st. (1) Da n er et naturligt tal, kan der kun fås stående bølger ved frekvenser, ν, der opfylder: Dvs. cos ( x) = cos (x), og sin ( x) = sin (x). πν = ω = πn L c s ν = n L c s. (13) 4
Når en bølge med frekvensen ν og bølgelængden λ udbreder sig med hastigheden c s, må der gælde, at: c s = νλ = Lν n λ = L n. (14) Dvs. at der ved stående bølger er et helt antal halve bølgelængder på rørets længde. Man kan også bruge formlen (10) til at beregne summen af to bølger, der bevæger sig i samme retning. Dette kan fx være bølger fra vores to tonegeneratorer. Vi interesserer os kun for tidsafhængigheden, så vi vælger et passende nulpunkt for z-aksen og får følgende: ( ω1 + ω sin (ω 1 t) + sin (ω t) = sin ) cos ( ω1 ω ). (15) Det giver et produkt af en sinusfunktion med den gennemsnitlige frekvens og en cosinusfunktion med en frekvens, der er halvdelen af forskellen mellem de to bølgers frekvenser. Hvis bølgernes frekvenser ligger tæt, vil man dermed få en funktion, der svinger harmonisk med den gennemsnitlige frekvens, men med en amplitude, der også svinger harmonisk. Denne amplitudemodulation får lavere frekvens, jo tættere de to bølgers frekvenser kommer. Hvis frekvenserne er ens, bliver det bare en bølge med den dobbelte amplitude. Dette bruger man til at stemme instrumenter efter hinanden ved at indstille frekvensen, så amplitudemodulationen bliver langsommere. Lydens hastighed, c s afhænger af temperaturen af gassen, T og massen af det enkelte molekyle i gassen, m og kan beregnes med følgende formel [3, s. 43]: γkt c s = m, (16) hvor γ = cp c v, når c p er den specifikke varmekapacitet ved konstant tryk, og c v er den specifikke varmekapacitet ved konstant volumen. Denne formel gælder for polyatomare gasser ved lave frekvenser, hvilket, vi antager, dækker over vores frekvensområde. Vi antager også, at lydhastigheden for en blanding af butan og propan kan approksimeres ved at lade γ og m være gennemsnittet af γ og gennemsnittet af m vægtet med blandingsforholdet 3..1 Tidligere observationer Som beskrevet ovenfor forventes det, at der vil være nogle bestemte frekvenser, hvor vi får stående bølger, men vi kan ikke teoretisk forudsige, hvordan flammehøjden vil variere ned langs røret. Derfor vil vi bygge vores forventninger på tidligere observationer. Rubens observerede to tilstande: Ved kraftig lydpåvirkning blev flammerne højest ved bugpunkterne. Disse flammer vibrerede, mens flammerne ved knudepunkterne var lavere og vibrerede ikke. Dette kaldte han første tilstand. Ved lavere lydpåvirkning blev flammerne højest ved knudepunkterne, og ingen af flammerne vibrerede. Dette kaldte han anden tilstand 4. Rubens mente, at første tilstand var det, man skulle forvente af bølgelærens teori. Med det må han have ment, at, når trykudsvinget er postivt, vil flammerne blive højere, og hvis trykket svinger med lydens frekvens, vil det være denne flammehøjde, man kan se. Anden tilstand forklarede han ved friktionen mellem gassen og rørets sider. I de punkter, hvor trykudsvinget har knudepunkter, er der den største bevægelse, mens dér, hvor trykudsvinget er størst, ligger gassen stille. Dér hvor bevægelsen er størst, bliver gassen, der ligger op ad siderne, bremset af friktionen, hvilket giver en ophobning af gas og dermed et højere tryk omkring knudepunkterne (se illustration i figur 1). Friktionen findes også i første tilstand, men kun i anden tilstand er trykudsvinget så lavt, at det er effekten af friktionen, der bliver dominerende. Dette stemmer også overens med, at han observerede, at de højeste flammer i første tilstand havde vibratorisk karakter. I anden tilstand syntes flammerne derimod kontinuerlige, fordi trykudsvinget er så småt, at man ikke ser effekten. Ved lave frekvenser observerede Rubens det, han kaldte abnormt forlængede bølgelængder, hvor han fik stående bølger, men produktet af lydens frekvens og den bølgelængde, han målte, var markant større end lydens hastighed. Ved endnu lavere frekvenser observerede han, at flammemønstret ikke længere var bølgeformet, og at flammerne blev betydeligt højere end uden lydpåvirkning. Ovenstående er beskrevet i hans artikel []. 3 Butan og propan har næsten samme kemiske struktur, og da både γ og m næsten er det samme for de to gasser, er der en vis fornuft i approksimationen. 4 Grunden til disse benævnelser er, at han brugte musikinstrumenter til sine undersøgelser, fx en stemmegaffel, som først klingede kraftigt og derefter blev svagere. Vi har valgt at bruge hans benævnelser om tilstandene. 5
Figur 1: Rubens begrundelse for anden tilstand: I knudepunkterne for trykket (illustreret med K) bevæger gassen sig mest, hvilket giver friktion mod rørets sider, og der ophobes gas. De grønne streger indikerer, at gassen står stille, selvom trykudsvinget er maksimalt. Ficken og Stephenson observerede også første og anden tilstand, de kaldte blot første tilstand reversal og anden tilstand normal. De var dog uenige i Rubens forklaring. I artiklen forklares, at deres målinger indikerer, at effekten af friktionen er meget lille. I stedet forklares. tilstand ved hjælp af følgende formel, der udledes: F = A ρ (p g + p m sin (ωt)), (17) hvor F er masseflowet, A er arealet af hullerne, p g er trykforskellen mellem trykket i røret og det omgivende tryk, p m er lydtrykket, og ω er vinkelfrekvensen af lyden. Af den formel ses, at masseflowet ikke stiger lige så meget, når trykudsvinget er positivt, som det falder, når trykudsvinget er negativt 5. Første tilstand forklares i artiklen ved, at når gastrykket er tilpas lavt i forhold til lydtrykket, suges der luft ind i røret, hvilket bliver kaldt gulping. Ifølge formel (17), skulle masseflowet svinge med samme frekvens som den lyd der sendes ind. Derfor burde flammerne vibrere med samme frekvens, hvilket Ficken og Stephenson ikke har observeret. Ovenstående er beskrevet i deres artikel [4]. Formel (17) kan åbenlyst ikke gælde for alle værdier af p g og p m, da p m > p g giver et imaginært masseflow når trykudsvinget er negativt. Desuden stemmer den heller ikke overens med deres observation af gulping, hvor der må være et negativt masseflow til nogle tidspunkter. 3 Forsøgsopstilling Det benyttede rør var ca. m og var lige godt 10 cm i diameter 6. I den ene ende tilførtes en blanding af butan og propan 7. Den anden ende var lukket med en gummimembran 8, og en højtaler, som var tilsluttet en tonegenerator, sendte lyd gennem membranen. Dette var enten en analog tonegenerator 9 eller en digital tonegenerator 10. Figur viser en tegning af opstillingen. 3.1 Kalibreringskurve Da den analoge tonegenerator ikke nødvendigvis udsender den frekvens, den er indstillet til, har vi måttet foretage en kalibrering. Til dette har vi brugt en digital tonegerator, som vi antog var mere præcis. Vi satte tonegeneratorerne til at addere på et oscilloskop og ved at se på amplitudemodulationen, som beskrevet i teoriafsnittet, kunne vi få tonegeneratorerne til at stemme med vilkårlig nøjagtighed. Herefter har vi for hver indstilling plottet frekvensen aflæst på den digitale tonegenerator, som funktion af den frekvens, den analoge tonegenerator var indstillet til. Punkterne lå tilnærmelsesvist på en ret linje, som vi derfor fittede efter og fik ν digital = (0, 993 ± 0, 004) ν analog + (1, ± 0, 3) Hz for indstillingen ved faktor 10 og ν digital = (1, 07 ± 0, 004) ν analog + (18 ± 3) Hz for indstillingen ved faktor 100. Se figur 13 og 14 i appendiks. 5 Dette kan ses af, at x har en aftagende differentialkvotient, så for en ændring δx er ændringen af x større, hvis δx trækkes fra, end hvis δx lægges til. 6 Mere præcist har vi målt røret til at være 1,978 ± 0,001 m langt og med en diameter på 10,6 cm. 7 Vi anvendte såkaldt F-gas fra firmaet BP-gas, indeholdende 10-90% propan og 10-90% butan. 8 Vi brugte en gummihandske, der var klippet op og spændt ud, så håndfladen dækkede åbningen. 9 Vi brugte Function Generator-Amplifier 500.50 af mærket Frederiksen. 10 Vi brugte Funktions Generator Type FNG100 af mærket Elcanic. 6
Figur : Vores forsøgsopstilling med kurver i røret, der indikerer trykket til de tidspunkter, hvor udsvinget er maksimalt, når der er stående bølger. 4 Tilstande Som beskrevet i afsnittet om tidligere observationer, kan vi forvente at observere to forskellige tilstande, afhængigt af gastrykket og lydens amplitude. 4.1 Udførelse Vi har hverken noget præcist mål for gastryk eller amplitude. Derfor har vi ved de forskellige gastryk målt flammehøjden 11 med lyden slukket for derefter at undersøge, hvilke tilstande vi får, når vi langsomt øger amplituden. Vi har også varieret gastrykket, mens vi har holdt amplituden på lyden konstant. Vi har undersøgt tilstandene ved 399 Hz svarende til 6 halve bølgelængder, men har også observeret lignende ved andre antal stående bølger, dog ikke ved de lave frekvenser, der gav 1 til 3 halve bølgelængder. 4. Resultater Vi har ligesom tidligere observatører observeret første og anden tilstand. Første tilstand har høje vibrerende flammer over bugpunkterne, mens anden tilstands flammer er højest ved knudepunkterne og ikke vibrerer. Da vi har kunnet få meget højere gastryk og amplitude på lyden end Rubens, har vi også observeret andre tilstande. Vi har observeret det, vi kalder tredje tilstand, som er karakteriseret ved lave, blafrende, blå flammer ved bugpunkterne og høje gule flammer ved knudepunkterne. Derudover har vi observeret tilstande, der ligner blandinger af første og anden tilstand eller første og tredje tilstand. Førsteanden tilstand er en overgang mellem de to tilstande, hvor begge tilstandes maksima er større end de øvrige flammer. Første-tredje tilstand er, når amplituden skrues op fra første tilstand, så flammerne bliver små, blafrende og blå ved bugpunkterne, mens de øvrige flammer er som i første tilstand. Tredje-første 1 tilstand er ligesom tredje bortset fra, at flammerne ved bugpunkterne er højere end de omkringstående flammer, som også blafrer. De forskellige tilstande er vist på figur 3 til 8. Se tabel 1 for en systematisk oversigt over de observerede tilstande ved forskellige gastryk. Denne tabel er for overblikkets skyld mere skarpt opdelt, end den burde være. Faktisk har vi stort set ikke kunne få første og anden tilstand rent, idet den flamme, der burde være mindst, var højere end de omkringstående. Som det fremgår af tabel, 1 har vi uanset gastrykket observeret, at når amplituden bliver tilpas stor, begynder flammerne omkring bugpunkterne at blafre. Jo mere amplituden øgedes, jo flere flammer omkring disse punkter begyndte at blafre. I forsøget med konstant amplitude observerede vi, at hvis vi var i anden eller tredje tilstand, kom vi over i første tilstand, når vi reducerede gastrykket. 11 Flammehøjden målte vi med en lineal fra hullet til toppen af flammen som en indikation af, hvor højt gastrykket er. 1 Bemærk, at der skelnes mellem første-tredje og tredje-første tilstand. 7
Figur 3: Dette er første tilstand, karakteriseret ved høje vibrerende flammer ved trykudsvingets maksima og lavere flammer ved knudepunkterne. (Knudepunkterne er markeret med K er.) Figur 4: Dette er anden tilstand, karakteriseret ved højest flammer ved knudepunkterne, men mindre variation i flammehøjderne. Figur 5: I anden-første tilstand er flammerne både højere ved knudepunkterne (de de røde pile) og bugpunkterne (se de grønne pile). De er ikke meget forhøjede, men det skal ses i forhold til de øvrige flammer. Det kan sådan set ligne, at der er det dobbelte antal bølgelængder. Figur 6: Tredje tilstand karakteriseres ved lave, blafrende flammer ved bugpunkterne. (Her observeret ved gastryk svarende til 15 cm uden lyd.) Figur 7: Første-tredje tilstand ligner første tilstand, men ved bugpunkterne er flammerne lave, blålige og blafrende (market med blå pile). 8
Figur 8: I tredje-første tilstand er de blafrende, blå flammer i bugpunkterne på højde med flammerne i knudepunkterne, så det ser ud som det dobbelte antal bølgelængder. Flammehøjde Tilstande lavest amplitude højest amplitude 1 cm første første-tredje 3 cm anden anden-første første første-tredje 5 cm svagt anden anden-første svagt første første-tredje 7 cm anden anden-første første-tredje tredje 10 cm anden anden-første tredje tredje-første 15 cm anden tredje tredje-første 0 cm anden tredje Tabel 1: Tilstande i den rækkefølge, vi fik, da vi skruede langsomt op for amplituden på lyden (ved 399 Hz svarende til 6 halve bølgelængder), for forskellige flammehøjder målt, når lyden er slukket. 4.3 Diskussion Vi har bekræftet eksistensen af de to tilstande, som tidligere er blevet observeret. Vi kan ikke ud fra vores observationer afgøre, hvilken af teorierne for første og anden tilstand, der er rigtig, da begge teorier kan forklare observationerne. Desuden har vi observeret en overgang mellem de to tilstande, som hverken Rubens eller Fickens og Stephensons artikler nævner. Det kunne tyde på at begge tilstande hele tiden eksisterer, men at den ene kan dominere den anden 13. Dette underbygges af, at der i første tilstand oftest er en højere flamme lige ved et knudepunkt end lige ved siden af knudepunktet. Desuden er der i anden tilstand oftest en højere flamme lige ved et bugpunkt end lige ved siden af punktet 14. Vi har derudover konstateret en tredje tilstand som ikke er beskrevet i tidligere undersøgelser, vi er bekendte med, samt nogle blandede tilstande mellem tredje og første. Disse tilstande forekommer, når amplituden bliver tilpas høj, og flammerne ved bugpunkterne begynder at blafre. Denne blafren lader til at være forårsaget af det, Ficken og Stephenson kalder gulping, hvor der i trykudsvingets negative fase suges luft ind i røret, som blandes med gassen. De brugte det til at forklare første tilstand. Vi mener også det kan forklare tredje, da en blanding af gas og luft vil give en renere forbrænding og dermed en mere blå flamme. At flammerne blafrer må være forårsaget af, at der skiftevis bliver suget luft ind og pustet en blanding af luft og gas ud, hvilket skaber turbulens. At flammerne er lavere betyder ikke nødvendigvis, at der er lavere gasflow, da flammerne har ændret karakter. Det kunne altså tyde på, at overgangen mellem første og tredje tilstand kommer, når mængden af gas, der suges ind, bliver stor nok til at lave den turbulens, der forårsager blafren. 5 Måling af lydhastigheden Noget af det mest oplagte at benytte et flammerør til er at måle lydens hastighed. 13 Rubens nævner også dette som en mulighed, men har ikke beskrevet overgangen. 14 Både i Rubens og især i Ficken og Stephensons artikler kan dette fænomen ses på deres billeder, men det nævnes ikke i artiklerne. 9
5.1 Udførelse For at måle lydens hastighed fandt vi den frekvens, der gav et maksimalt udsving15, og talte antallet af halve bølgelængder. Mellem hver måling slukkede vi for røret for at holde temperaturen konstant omkring stuetemperatur. Figur 9: Lydhastigheden er den reciprokke værdi af hældningen på ν, λ 1 -grafen, her målt ved stuetemperatur på til 11 halve bølgelængder. Den grønne graf er fittet til vores data, mens de blå linjer er det teoretisk forventede for 10-90% og 90-10%-fordelingen af propan og butan. 5. Resultater Med bølgelængden sat til at være to gange længden af røret delt med antal halve bølgelængder har vi plottet λ 1 som funktion af ν (se figur 9). Det gav som forventet en tilnærmelsesvis ret linje, og det fittede vi derfor efter. Usikkerheden på ν findes vha. ophobningsloven [5, s. 75]: s ν ν ν δν = δνanalog + δa + δb νanalog a b = q (aδνanalog ) + (νanalog δa) + (δb) (18) Her er a og b hhv. hældning og skæringspunkt fra den tilhørende kalibreringskurve, og νanalog er frekvensen aflæst på tonegeneratoren. Usikkerhederne på νanalog er 0,1 Hz på tonegeneratorens skrueknap, hvilket blev til 1 Hz ved faktor 10-indstillingen og 10 Hz ved faktor 100-indstillingen, og usikkerhederne 15 I et interval lige omkring frekvensen for en stående bølge var der stadig stående bølger, men disse havde ikke så stort trykudsving som, når man ramte en stående bølge. 10
på a og b er usikkerhederne fra vores kalibreringskurve. Usikkerhederne på λ 1 har vi også fundet vha. ophobningsloven: ( δ ( λ 1) ) (λ 1 ) = λ δλ = δλ λ (19) Vores fit gav følgende: λ 1 = (0, 0040 ± 0, 00005) (m/s) 1 ν (0, 18 ± 0, 015)m 1 (0) Fittet burde ifølge (14) være en proportionalitet. Det relativt store konstantled, antages at være forårsaget af fejlkilder, og c s beregnes som den reciprokke værdi af hældningen. Vi fik c s til (38 ± 3) m/s, hvor usikkerheden igen beregnedes vha. ophobningsloven: ( δc s = c s ( c 1 )δ ( c 1 ) ) s = c sδ ( c 1 ) s (1) s 5.3 Diskussion Den teoretisk forventede værdi for lydens hastighed ligger mellem 18 m/s og 46 m/s ved o C ifølge (16) 16. Vores udregning af lydhastigheden ligger dermed i det teoretisk forventede interval. Dog har vi et konstantled, vi ikke umiddelbart kan forklare, da de fejlkilder, vores teori måtte give os, kun ville påvirke proportionalitetsfaktoren. 6 Fænomener ved lave frekvenser Som beskrevet i teoriafsnittet, burde man kun kunne få stående bølger ved nogle bestemte frekvenser, nemlig de frekvenser, hvor der er et helt antal halve bølgelængder på rørets længde. Dette passede også godt nok ved de høje frekvenser, hvor man skulle ramme frekvensen ret præcist, før der kom stående bølger. Ved de lave frekvenser observerede Rubens til gengæld de såkaldte abnormt forlængede bølgelængder, der ikke kan være egentlige stående bølger i det lukkede rør, da produktet af frekvensen og bølgelængden blev markant større end lydens hastighed. Denne forlængelse og hans observationer af, at flammerne bliver højere, vil vi undersøge i dette afsnit. Figur 10: En abnormt forlænget bølge. Læg mærke til, at flammerne har maksimum i den ene ende af røret (enden med gastilførsel), samtidigt med at det har minimum i den anden ende af røret (højtalerenden). 16 Vi har brugt tabelværdierne for c p og c v fra http://www.engineeringtoolbox.com/spesific-heat-capacity-gasesd_159.html. 11
6.1 Udførelse Ved lave frekvenser konstaterede vi at der var stående bølger, der ikke havde et helt antal halve bølgelængder, og der var ikke nødvendigvis samme afstand fra rørets ender til knudepunkterne (se figur 10). Ved at øge frekvensen blev disse stående bølgers knudepunkter forskudt væk fra højtaleren17. Vi målte derfor den kvarte bølgelængde i modsat ende af højtaleren og noterede den tilhørende frekvens. 6. Resultater Vi har igen plottet λ 1 som funktion af ν, men denne gang ved at bruge målingen af den kvarte bølgelængde (se figur 11). Usikkerhederne udregnede vi ligeledes jf. (18) og (19), og vi fik følgende fra vores fit: 1 λ 1 = (0, 0036 ± 0, 00017) m/s ν (0, 0 ± 0, 013) m 1 () Igen benyttes (14) og (1), og cs fås til (80 ± 13) m/s. Figur 11: Lydhastigheden formodes at være den reciprokke værdi af hældningen på ν, λ 1 -grafen, her målt ved stuetemperatur på de abnormt forlængede bølgelængder. Den grønne graf er fittet til vores data, mens de blå linjer er de teoretisk forventede for 10-90% og 90-10%-fordelingen af propan og butan. Grunden til, at usikkerhederne på λ 1 varierer så meget, er, at vi har målt bølgelængden og inverteret denne, samt at det ved nogle frekvenser var sværere at se, hvor knudepunktet var, end ved andre. Desuden observerede vi i overensstemmelse med Rubens observationer, at flammerne blev betydeligt højere ved de lave frekvenser, og desuden konstaterede vi også, at de kunne blive smalle og blålige. 17 Faktisk var der stående bølger i hele intervallet mellem 1 og halve bølgelængder i form af, at der dukkede et nyt minimum op, som bevægede sig fra højtalerenden ind mod dets position for stående bølger med n =. 1
6.3 Diskussion Hvis man måler den kvarte bølgelængde i den ende, hvor der er gastilførsel, dvs. modsat højtaleren, får man en lydhastighed, der ikke ligger langt over det teoretisk forventede interval (18-46 m/s). Vi får i modsætning til Rubens en lydhastighed, der ikke er urealistisk, når vi kun måler på denne ene ende. Det er meget bemærkelsesværdigt, at vi ved lave frekvenser får disse sære stående bølger, som kun i den ene ende opfylder teorien for stående bølger. Da Rubens havde gastilførsel og lydkilde i samme ende, mens vi har det i hver sin ende, ved vi ikke, om det, han kalder abnormt forlængede bølger, har set ud som vores. Vi ved sådan set heller ikke, om det fordi vi måler i enden modsat højtaleren, eller om det er fordi vi måler i enden med gastilførsel. Forklaringen på de høje flammer kan være, at (17) passer, og da det samlede masseflow er konstant, må flammerne blive højere på nogle tidspunkter, hvis de er lave på andre tidspunkter. Dette undersøges nærmere i afsnittet om flammernes vibrationer. Hvis der ligefrem bliver suget luft ind i røret, hvilket de blå flammer tyder på, må dette også betyde et negativt masseflow til nogle tidspunkter. Da luften er lettere end gassen, vil dette også kunne øge lydhastigheden 18, hvilket stemmer overens med, at vi har fået en højere måling af lydhastigheden end teoretisk forventet. Endnu end fejlkilde kan være, at røret er blevet varmet op til mere end de o C, som de teoretiske værdier er beregnet ud fra. 7 Lydhastighedens temperaturafhængighed Af ligning (16) ses, at lydens hastighed forventes at være proportional med kvadratroden af temperaturen. 7.1 Udførelse Først kølede vi røret ned ved at hælde flydende nitrogen 19 i. Da nitrogenet var fordampet, fyldte vi røret med gas og lod det stå lidt for at lade røret køle gassen ned. Derefter tændte vi røret, fandt hurtigt stående bølger med 10 halve bølgelængder og slukkede derefter røret igen for at undgå unødig opvarmning af røret. Temperaturen aflæste vi på et termometer, der var monteret, så spidsen af det var i midten af røret. Denne procedure gentog vi, indtil røret var varmet op til 13 o C. Vi varmede herefter røret ved at dreje det, så flammerne stod op langs siden. Herefter tog vi målinger efter samme procedure som med det nedkølede rør, indtil temperaturen var faldet til 5 o C. Vi tog til sidst nogle målinger imellem 13 o C og 5 o C ved at køle røret af udenfor. 7. Resultater Vi udregnede lydhastigheden med: c s = λν = L n ν (3) Hvor L er rørets længde og n er antal halve bølgelængder, dvs 10 i det her tilfælde. Usikkerheden beregnede vi vha. ophobningsloven: ( cs ) ( ) (L ) ( ) δc s = ν δν cs ν + L δl = n δν + n δl (4) Usikkerheden på L er 1 mm, og usikkerheden på ν er 1 Hz, fordi vi brugte den digitale tonegenerator og indstillede 1 Hz ad gangen. Temperaturen har en usikkerhed på 1 for de tre laveste temperaturer og 0,1 for resten (termometeret angiver kun i hele grader ved lave temperaturer). Usikkerheden på T har vi beregnet således: ( ) δ T = ( T ) δt T = δt T Vi har plottet c s som funktion af T. På grafen kunne vi tydeligt se, at de målinger, der var taget hhv. i måleserien med ekstrem nedkøling af røret og måleserien med ekstrem opvarmning af røret, lå på hver 18 Lydhastigheden i luft er omkring 340 m/s. 19 Nitrogens kogepunkt er -196 o C ved atmosfærisk tryk. (5) 13
sin rette linje. De øvrige punkter lå meget usystematisk spredt. Derfor har vi fittet de to måleserier til hver sin lineære funktion, mens de øvrige punkter er plottet i orange, se figur 1. Resultatet af vores fit blev for de lave temperaturer: m/s T + (37 ± 6) m/s cs = (1, 4 ± 0, 4) K (6) m/s cs = (10, 5 ± 0, 13) T + (75 ± ) m/s K (7) Og for de høje temperaturer: Figur 1: Målingen af lydens hastighed er plottet som funktion af T, hvor det grønne fit 1 er en ret linje fittet efter de lave temperaturmålinger, og det lilla fit er fittet efter de høje temperaturmålinger. De orange punkter er de punkter, der ikke stemmer overens med den teoretiske forventede proportionalitet. De blå linjer indikerer den teoretiske forventning for 10-90%- og 90-10%-fordelingen af propan og butan i gassen. 7.3 Diskussion Vores punkter ligger, som forventet, tilnærmelsesvis på rette linjer. Disse linjer hælder dog forskelligt, hvilket nok skyldes, at, da temperaturen var lav, blev røret varmet op af omgivelserne. Da termometeret ikke kun har målt på gassen, men også på røret og luften omkring, vil dette give højere temperaturer og dermed større hældning. Omvendt vil der ved de høje temperaturer fås en lavere hældning, fordi omgivelserne er koldere. Der er dog et interval i midten, hvor vi som beskrevet ovenfor ikke kunne få gode målepunkter. Dette forårsages sandsynligvis af, at røret og gassen er meget tæt på at have samme temperatur i dette interval, hvilket gør at gassen ikke bliver påvirket lige så meget af røret. 14
Påvirkningen fra flammerne kan derved have større betydning ved små temperaturforskelle end ved store temperaturforskelle, hvor gassen hurtigt vil nærme sig rørets temperatur. Den teoretisk forventede proportionalitetsfaktor er. Da gassen ikke er nærmere specificeret, har vi beregnet denne faktor for γk m en 90-10% og en 10-90% butan/propan-blanding, og fået hhv. 1,7 m/s K og 14,3 m/s K, og vi forventer at vores hældning skulle ligge derimellem. Igen har vi et konstantled fra vores fit, der skyldes nogle fejlkilder, der ikke er umiddelbart til at forklare, og dette kan være årsagen til, at vi får lavere værdier end forventet. Da kvadratrodsafhængigheden er tydelig, er vores resultat overordnet set i overensstemmelse med teorien, vores relativt simple målemetoder taget i betragtning. 8 Flammernes vibrationer Som beskrevet i afsnittet om tidligere observationer, forventer vi, at flammerne i første tilstand vibrerer med samme frekvens som lyden ifølge formel (17). I anden tilstand forventer vi ingen vibration. Ved lave frekvenser forventer vi også, at den vibration, der er nævnt i afsnittet om fænomener ved lave frekvenser, har samme frekvens som lyden. 8.1 Udførelse Ved at filme flammerne med højhastighedskamera, ville vi undersøge flammernes vibrationer. Vi filmede flammerne ved forskellige frekvenser, og ved både første og anden tilstand. Vi kalibrerede højhastighedskameraet efter vores digitale tonegerator, ved at sætte den til en tæller, som talte hver periode, og filme den med kameraet, når dette var indstillet til 100 fps (frames per second). På den måde målte vi, vha. programmet Tracker 0, at kameraet ved denne indstilling, tager 1193,6 fps. 8. Resultater frekvens [Hz] flammer lyd 99,99 ± 0,0 100,00 ± 0,05 80,00 ± 0,015 80,00 ± 0,05 59,995 ± 0,009 60,00 ± 0,05 39,990 ± 0,008 40,00 ± 0,05 30,00 ± 0,008 30,00 ± 0,05 19,998 ± 0,004 0,00 ± 0,05 9,997 ± 0,004 10,00 ± 0,05 Tabel : Flammernes vibrationer Vi observerede at flammerne vibrerede i første tilstand, men ikke i anden. De vibrerede også ved de abnormt forlængede bølgelængder, samt ved de lave frekvenser, hvor der er generel forhøjelse af flammerne. Vibrationen var tydeligst ved de lave frekvenser. Ved hjælp af programmet Tracker målte vi, hvor mange frames der gik på et helt antal perioder af flammernes vibration ved frekvenser fra 10 til 100 Hz (se figur 15 i appendiks). Hvis N er antal frames, p er antal perioder og N ps er antal fps, har vi beregnet flammernes frekvens som: ν = pn ps (8) N Usikkerheden beregnes vha. ophobningsloven: ( ) ( ) (pnps ) ν ν ( p ) δν = N δn + δn ps = N ps N δn + N δn ps (9) Hvor vores usikkerhed på antal frames er 1 for frekvenserne 100, 80 og 60 Hz, for 40, 30 og 0 Hz og 5 for den på 10 Hz. Grunden til at de er forskellige er at ved de lavere frekvenser svingere flammerne så 0 Vi brugte onlineversionen, som vi fandt på hjemmesiden http://www.cabrillo.edu/ dbrown/tracker/ 15
langsomt at det er svært at se præcis hvornår de er i samme fase som på det frame hvor man startede med at tælle. Usikkerheden på antal fps er 0,1 frame, da vi ved kalibreringen talte at kameraet tog 11936 frames på 10 s. I dette forsøg har vi brugt den digitale tonegenerator så usikkerheden på frekvensen er 0,05 Hz. 8.3 Diskussion Vi har bekræftet Rubens observation af, at flammerne i første tilstand har vibratorisk karakter. Denne observation er ikke bekræftet af Ficken og Stephenson, selvom deres formel for masseflowet indikerer, at en vibration med lydens frekvens er forventelig. Vi fik meget præcist, at flammernes frekvens er lig med lydens frekvens inden for usikkerhederne. Vi har også fået meget små relative usikkerheder på under en promille. Denne måling er dog kun foretaget ved de lave frekvenser, hvor der enten har været generel forhøjelse af flammerne, abnormt forlængede stående bølger, eller stående bølger med en halv bølgelængde, da det er i dette frekvensområde, vibrationerne er tydeligst. 9 Videre undersøgelser Det er stadig mange uafklarede fænomener og aspekter omkring flammerøret: årsagerne til de forskellige tilstande der observeres; de abnormt forlængede bølger; hvordan masseflowet egentlig afhænger af gastrykket og lydtrykket. Med et andet flammerør kunne man undersøge, om det ville være anderledes med de abnormt forlængede bølgelængder, hvis man ligesom Rubens havde gastilførsel i samme ende som højtaleren eller et længere rør, end vi har brugt 1. Præcise målinger af gastrykket og lydtrykket ville give en grundigere undersøgelse af de forskellige tilstande og hvilke betingelser, der giver dem. Desuden kunne Ficken og Stephensons formel for masseflow efterprøves, især hvis man også kunne måle på selve masseflowet. 10 Konklusion Efter at have undersøgt flammerørets egenskaber har vi bekræftet Rubens observationer af eksistensen af første og anden tilstand, og vi har desuden fundet en tredje tilstand, Rubens ikke var i stand til at finde, da den krævede et højere gastryk, end han havde. Desuden har vi konstateret, at de bølger, Rubens kaldte abnormt forlængede, forholder sig meget normalt, hvis vi måler på den kvarte bølgelængde i enden, der er modsat højtaleren, dvs. i samme ende som gastilførslen. Disse målinger kan ligesom de normale stående bølger bruges til at bestemme lydhastigheden. På trods af de relativt simple målemetoder har vi også været i stand til at måle temperaturafhængigheden af lydens hastighed, hvilket gav en proportionalitet, der stemte godt overens med den teoretisk forventede. Mest opsigtsvækkende har vi vha. et højhastighedskamera bekræftet Rubens observationer af flammernes vibrationer og konstateret, at flammerne vibrerer med lydens frekvens, hvilket også stemmer overens med Ficken og Stephensons formel for masseflowet. Vores resultater kan opsummeres i følgende punkter Vi har bekræftet eksistensen af første og anden tilstand samt fundet en tredje tilstand, der ikke tidligere er blevet beskrevet. Vi har målt, at sammenhængen mellem de abnormt forlængede bølger og deres tilhørende frekvens svarer til sammenhængen for normale stående bølger. Vi har målt lydens hastighed i flaskegas og dennes afhængighed af temperaturen og fået resultater, der stemmer overens med teorien. Vi har målt, at frekvensen af flammernes vibrationer er lig med frekvensen af den lyd, der sendes ind. 1 Rubens havde som standard et 4 m langt rør, men målte også på andre størrelser. 16
11 Appendiks Figur 13: Vores kalibreringskurve for faktor-10-indstillingen. Figur 14: Vores kalibreringskurve for faktor-100-indstillingen. 17
Figur 15: En billedserie med hvert andet frame i en periode fra vores højhastighedsoptagelse af flammerøret ved 100 Hz. 18
Litteratur [1] K. F. Riley; M. P. Hobson; S. J. Bence. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press, 3. edition, 006. [] Heinrich Rubens; Otto Krigar-Menzel. Flammenröhre für akustische beobachtungen. Ann. Phys. (Leipzig), pages 149 164, Marts 1905. På dansk ved K. Hvidtfelt Nielsen og W. H. P. Nielsen i 010. [3] Charles Kittel; Herbert Kroemer. Thermal Physics. W. H. Freeman and Company San Francisco,. edition, 1980. [4] George Ficken; Francis Stephenson. Rubens flame-tube demonstration. The Physics Teacher, pages 306 310, Maj 1979. [5] John R. Taylor. An Introduction to Error Analysis. University Science Books,. edition, 1997. 19