Simulering af musklers strækrefleks

Simulering af musklers strækrefleks Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Indhold 1. Introduktion 2. Teori 3. Analyse af muskel model 4. Analyse af spindel model 5. Simulering af strækrefleksen 1 Introduktion Simple bevægelser som sker uden hjernens medvirken kaldes reflekser. Disse ses, når vi f. eks. fanger et faldende objekt i hånden. Her trækker musklerne sig hurtigt sammen i en grad som lige netop er nok til at holde objektet stationært. Figur 1: Refleksbuen Som vist på ovenstående fig. 1, er der strækreceptorer i musklerne, som sender nerveimpulser tilbage til rygraden. Herfra sendes nerveimpulser tilbage til musklen, som derved trækker sig sammen. Trækker musklen sig for lidt sammen, vil musklen stadig udstrækkes, og strækreceptorerne sender flere impulser til musklen via rygraden. Herefter øges muskelkraften yderligere. Trækker musklen sig derimod for meget sammen afslappes strækreceptorerne og sender færre impulser til musklen via rygraden. Derved reduceres muskelkraften en smule. I dette projekt skal man ud fra givne mekaniske modeller for muskler og strækreceptorerne opstille matematiske modeller for disse og estimere de indgående modelparametre ud fra Mat1 04/05 side 1

målte data, som beskriver komponenternes karakteristika. Den samlede model for strækrefleksen benyttes til at simulere musklens reaktion på en ydre belastning ved hjælp af et computerprogram. Endelig undersøges følsomheden over for ændringen i modellens parametre. 2 Teori I eksperimenter, hvor musklen stadig sidder i et dyr eller menneske, er det sjældent muligt at måle en muskels længde direkte. Istedet måles den indirekte ved f.eks. at måle vinkeldrejningen i et led. I denne projektopgave vil vi undersøge hvorledes nedbøjning af en underarm foregår, når armen pludselig udsættes for en ydre belastning. Vi tænker os overarmen fikseret i vandret retning på bord, medens underarmen fastholdes, således at vinklen θ imellem overarm og underarm er på ca. 135. Underarmen påføres en pludelig belastning, hvorved vinklen forøges. Vi vil i det følgende opstille en matematisk model, der kan beskrive vinklen θ(t) som funktion af tiden t. Modellen bygger på et arbejde fra 1981 af John. F. Soechting et. al. [1] 2.1 Dynamisk model for underarm Figur 2: Belasningsmoment og drejningsvinkel I fig. 2 er vist underarmens belastning med en ydre vægt. En ligning til bestemmelse af drejningensvinklen θ(t), får vi ved at opstille impulsmomentsætningen omkring understøtningspunktet (albueleddet) M x (t) M(t) = J θ(t), (1) hvor M x (t) er momentet 1 fra belastningen. M(t) er momentet fra musklen på underarm. J er underarmens inertimoment 1 omkring albueleddet. θ(t) er vinklen imellem over- og underarm. 1 Christiansen, Both & Sørensen, MEKANIK, DTU 2000, p. 5-3 og p. 7-9 Mat1 04/05 side 2

2.2 Muskel signalets oprindelse 2.2.1 Den neurale signalbane Figur 3: Snit gennem rygraden På fig. 3 ses et snit gennem rygraden. Strækreceptorens nerve (afferent axon) kommer ind bagest og forgrener sig i rygraden. En axon løber til hjernen og andre løber til motor-neuroner på samme og modsatte side. Figur 4: Motorisk enhed Motoraxonet leder impulser ud til musklen, hvor denne til sidst forgrener sig og innerverer mange muskelfibre, se fig. 4. En motoraxon og dens gruppe af muskelfibre kaldes en motorisk enhed. Man kan kun rekruttere muskelfibre i kvanter svarende til de motoriske enheder. Kraften kan dog gradueres kontinuert ved at ændre motoraxonernes impulsfrekvens [1]. Mat1 04/05 side 3

2.2.2 Musklens sammentrækningskraft Musklens sammentrækningskraft genereres af bøjelige arme i overlapningen mellem de tykke og tynde filamenter i muskelcellens myofibriler, se fig. 5. Figur 5: Myofibriler Figur 6: Elasticitet og friktion Udover en kraftgenerator indeholder musklen også elasticitet som antydet i fig. 6. Denne elasticitet er jævnt fordelt over hele musklens længde. Endelig frembringer de bøjelige fangarme en friktion, som er lille i en afslappet muskel (få påhæftede fangarme) og større i en anspændt muskel [1]. 2.3 Muskelmodellen Figur 7: Neuromuskulær refleksmodel Musklen kan modelleres med tre mekaniske komponenter, som vist i fig. 7 : 1. En kraftgenerator M 0 (t) som styres af motoraxonets impulsfrekvens. 2. En dæmper B, som repræsenterer viskøs dæmpning i myoplasmaet. Ved små variationer af muskelkraften kan dæmpningskoefficienten B antages at være konstant. 3. En fjeder k, som repræsenterer muskelvævets elasticitet. Mat1 04/05 side 4

Indføres hjælpevariablen θ 1 (t), se fig. 7, bliver de styrende ligninger for muskelmodellen og M(t) = k (θ(t) θ 1 (t)) (2) M(t) = M 0 (t) + B θ 1 (t) (3) hvor M 0 (t) er momentet, som musklen udøver under isometriske betingelser. Kraftgeneratoren M 0 (t) er repræsenteret som en funktion af tiden, da den styres af alfa motorneuronernes impulsfrekvens. 2.4 Musklens føleorganer 2.4.1 Muskel receptorer Figur 8: Musklens receptorer Musklen indeholder to typer af føleorganer, se fig. 8: 1. Kraftreceptorer ( seneorgan ), som er placeret i musklens sener. 2. Længde- og hastighedsreceptorer ( spindel ), der sidder parallelt med muskelfibrene. Specielt om spindlerne gælder der at der findes 600-1300 spindler i én muskel at hver spindel indeholder 2-12 miniature muskelfibre, der er indkapslet i bindevæv (intrafusal fibers) I dette projekt vil vi udelade seneorganet. Mat1 04/05 side 5

2.4.2 Spindlens anatomi Figur 9: Aktivering af muskelspindel Når spindlerne strækkes ud, se fig.9, er det de myofibrilløse områder (equatorialregionerne), som strækkes. De spiralformede nervetråde strækkes, hvorved nerveimpulser genereres og sendes til rygraden. For at virke som længdereceptor skal ekvatorialregionen altid være udspændt uanset muskellængde. 2.4.3 Spindel model Figur 10: Muskel spindelmodel Det antages nu, at de afferente nerver, se fig. 3, genererer nerveimpulser med en frekvens, som er proportional med eqkvitorialregionens udspænding. Musklens aktive kraft er derfor proportional med nerveaxonets impulsfrekvens. Indføres hjælpevariablen θ 2 (t), se fig. 10, kan det neurale signal M 0 (t) fra spindlen skrives hvor β kaldes den afferente skalering. M 0 (t) = β(θ(t) θ 2 (t)) (4) Ved afkortning af muskellængden skal spindlernes polære regioner afkortes tilsvarende for at opretholde en udspændt equatorialregion. Dette sikres ved hjælp af de efferente axoner (gamma- og beta-axoner vist i fig. 9), som aktiverer de kontraktile elementer i spindlerne. Mat1 04/05 side 6

Polarregionerne modelleres, se fig. 10, med en kraftgenerator med værdien Γ 0 siddende parallelt med en viskøs dæmper med dæmpningskoefficienten B s, der repræsenterer friktionen, samt en fjeder med stivheden k sp, der repræsentere elasticiteten. Disse elementer er serieforbundet med en fjeder med stivheden k ss, der repræsenterer elasticiteten i equatorialregionen, se fig. 10. Disse sammenhænge kan udtrykkes ved ligningerne og M s (t) = k ss (θ(t) θ 2 (t)) (5) M s (t) = Γ 0 + B s θ 2 (t) + k sp θ 2 (t), (6) 3 Analyse af muskel model Den matematiske model, som vi skal arbjede med i de følgende afsnit, er nærmere behandlet i et afsnit i en lærebog om kontrolteori af Michael C.K.Khoo [2]. De grundlæggende ligninger (1-3) i muskelmodellen er givet på side 2 og på side 5. 1. Udled en differentialligning i albueleddets drejningsvinkel θ(t) udtrykt ved funktionerne M x (t) og M 0 (t). Vi indfører nu vinkelhastigheden ω(t) ved ligningen derved får differentialligningen fra spørgsmål 1 formen ω(t) = θ(t), (7) ω(t) + k B ω(t) + k J ω(t) = k J f (t), (8) hvor f (t) er en funktion, der afhænger af funktionerne M x (t) og M 0 (t). 2. Indfør vinkelhastigheden ω(t) i differentialligningen fra spørgsmål 1, og bring denne på formen givet ved ligning (8). Bestem derved f (t) udtrykt ved M x (t) og M 0 (t). 3. Opskriv karakterligningen for differentialligningen (8) og find rødderne. 4. Find den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning hørende til ligning (8), når følgende talværdier er givet: J = 1/10, k = 80 og B = 2. Bestem dernæst den partikulære løsning, der opfylder (ω(0), omega(0) = 0) = (1,0), og plot løsningen ved hjælp af MAPLE. Systemet tænkes nu påvirket til tiden t = 0 med en ydre påvirkning, således at f (t) = E(t), hvor E(t) er en stepfunktion (Heavisides enhedsspring) givet ved Mat1 04/05 side 7

{ 0, t < 0 E(t) = 1, t > 0. (9) Det inhomogene led i ligning (8) kan skrives q inh (t) = k J f (t) I ethvert interval, hvor q inh (t) er kontinuert, ved vi fra eksistens- og entydighedsætningen 2 for differentialligninger, at løsningen ω(t) er kontinuert og har kontinuerte afledede af 2. orden. Hvis f (t) = E(t), bliver q inh (t) stykvis kontinuert, hvilket betyder, at nogle af de afledede for ω(t) ikke behøver at være kontinuerte for t = 0. Vi antager, at der eksisterer en løsning ω(t) til differentialligningen (8) i hele intervallet < t < +. For at undersøge kontinuitets- og differentiabilitetsforholdene for t = 0, ser vi på løsningerne i hvert af intervallerne t < 0 og t > 0 ved at sætte ω(t) = { ω (t), t < 0 ω + (t), t > 0. Vi skal så bagefter stykke de to løsninger ω (t) og ω + (t) sammen for t = 0. Hvad sker der med løsningen ω + (t) for t = 0? For at besvare dette spørgsmål, integrerer vi differentialligningen (8) i et lille interval omkring t = 0. 5. Vis, at for f (t) = E(t) gælder følgende betingelser for ω (t) og ω + (t) ω + (0) = ω (0), ω + (0) = ω (0) ved at integrere differentialligningen (9) et passende antal gange i intervallet [ ε,+ε], ε > 0, omkring t = 0, og dernæst lade ε 0. Hvad bliver værdien af ω + (0) ω (0)? 6. Find for f (t) = E(t) løsningen (stepresponset) til den inhomogene ligning (8), når systemet er i hvile for t < 0, og når talværdierne fra spørgsmål 4 benyttes. Plot løsningen ved hjælp af MAPLE. I virkeligheden kendes kun værdien J = 0.1 for inertimomentet, medens værdierne af størrelserne k og B er ubekendte. Disse størrelser må derfor måles. I fig. 11 på næste side er vist det målte steprespons for ω(t), svarende til f (t) = E(t). 7. Benyt det målte steprespon fra fig. 11 til at estimere værdier for dæmpningen B og elasticitet k, når det antages, at inertimomentet. Vink: Udled et udtryk for værdien af stepresponset i maksimum og det tilhørende tidspunkt udtrykt ved k og B. 2 Helge Elbrønd Jensen, Matematisk Analyse 1, DTU 2000, sætning 5.1, p.5.2 Mat1 04/05 side 8

8. Check (evt. ved brug af MAPLE), at de estimerede parameterværdier for B og k giver det målte steprespons. 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figur 11: Måling af steprespons fra muskel 4 Analyse af spindelmodel I det følgende vil vi alene betragte spindelen. De grundlæggende ligninger (4-6) i spindelmodellen er givet i afsnit 2.4.3. Ved at eliminere størrelserne M s (t) og θ 2 (t) af ligningerne kan man opnå følgende ligningen i M 0 (t) hvor τ og η er konstanter defineret ved Ṁ 0 (t) + 1 τ M 0(t) = β ητ θ(t) + β θ(t) + β B s Γ 0, (10) τ = B s k ss + k sp, η = k ss + k sp k sp. (11) 9. Udled differentialligningen givet i (10). 10. Argumentér for, at man i studiet af en muskelrefleks kan se bort fra leddet med det efferente input Γ 0 til spindlen. Spindelen tænkes nu påvirket til tiden t = 0 med en ydre påvirkning, idet θ(t) pludselig springer med værdien 1, således at θ(t) = E(t), hvor E(t) er stepfunktionen givet i (9). Det inhomogene led q inh (t) i ligning (10) er givet ved Mat1 04/05 side 9

q inh (t) = β ητ θ(t) + β θ(t) q inh (t) ikke defineret for t = 0, da leddet θ(t) ikke eksisterer for t = 0. Det betyder, at M 0 (t) ikke er differentiable for t = 0.Vi ser derfor på løsningen M 0 (t) i hvert af intervallerne t < 0 og t > 0, og sætter M 0 (t) = { M0 (t), t < 0 M 0+ (t), t > 0 11. Vis, at for θ(t) = E(t) springer funktionen M 0 (t) med beløbet β for t = 0, d.v.s., at der gælder følgende begyndelsesbetingelser. M 0+ (0) M 0 (0) = β. Vink: Benyt samme fremgangsmåde som spørgsmål 5, d.v.s.integrér differentialligningen (10) omkring t = 0. Udled dernæst et bogstavudtryk for stepresponset for M 0 (t). 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 Figur 12: Måling af steprespons fra spindel I fig.12 er vist det målte steprespons for M 0 (t) svarende til θ(t) = E(t). 12. Sammenhold det udledte udtryk med det målte steprespons i fig. 12, og estimér derved værdier for β, η og τ. Mat1 04/05 side 10

5 Simulering af strækrefleksen Vi vil nu arbejde med den fulde model. Ud fra ligningerne (8) og (10) kan følgende system af samhørende differentialligninger opstilles i albueleddets drejningsvinkel θ(t) og belastningens drejningsmoment M x (t).... θ(t) + k B θ(t) + k J θ(t) = k ( M x (t) M 0 (t) + 1 ) BJ J Ṁx(t), (12) Ṁ 0 (t) + 1 τ M 0(t) = β ητ θ(t) + β θ(t). (13) Vi ser, at at koefficienterne til de ubekendte funktioner θ(t) og M 0 (t) og deres afledede er konstanter. Leddene med M x (t), der optræder på højre siden i ligning (12) repræsenterer det inhomogene led q inh (t), bestemt ved q inh (t) = k BJ M x(t) + B k Ṁx(t), (14) Vi tænker os nu, at belastningens drejningsmoment M x (t) for t = 0 momentant øges med 5Nm, svarende til at M x (t) = { 0, t < 0 5, t > 0. Indsættes udtrykket for M x (t) i (14) får vi { 0, t < 0 q inh (t) = 5 BJ k, t > 0. q inh (t) er ikke defineret for t = 0, da leddet Ṁ x (t) ikke eksisterer for t = 0. Det betyder, at nogle af de afledede for θ(t) ikke er differentiable for t = 0. Vi ser på løsningerne θ(t) og M 0 (t) i hvert af intervallerne t < 0 og t > 0, og sætter θ(t) = { θ (t), t < 0 θ + (t), t > 0, M 0 (t) = { M0 (t), t < 0 M 0+ (t), t > 0. 13. Vis, at funktionerne θ(t), θ(t) og M 0 (t) alle er kontinuerte for t = 0, d.v.s., at der gælder følgende begyndelsesbetingelser θ + (0) = θ (0), θ + (0) = θ (0), M 0+ (0) = M 0 (0). Vink: Benyt samme fremgangsmåde som spørgsmål 5, d.v.s.integrér differentialligningerne (12) og (13) et passende antal gange omkring t = 0. Vis endvidere, at θ(t) springer for t = 0, og bestem værdien for θ + (0) θ (0). Mat1 04/05 side 11

14. Løs differentialligningssystemet (12,13 ), og plot θ(t) som funktion af tiden. Vink: Benyt dsolve i MAPLE til at løse ligningssystemet numerisk. 15. Undersøg konsekvensen af at mindske eller øge β eller η med 50 % 16. Undersøg effekten af at ændre andre af modelparametrene. 6 Ekstra spørgsmål: Stabilitetsundersøgelse For at undersøge stabiliteten af muskel-spindel systemet omskrives det koblede differentialligningssystem givet i (8) og (10) til et system af 4 første ordens differentialligninger på formen ż(t) = Az(t) + R(t) (15) hvor z(t) er en vektor, der indeholder θ(t) og dens afledede. Systemmatricen A er en konstant 4 4 matrix, og R(t) er en søjlevektor, der kun afhænger af M x (t). 17. Omskriv det koblede differentialligningssystem givet i (9) og (10) på formen givet i ligning (15) udtrykt ved bogstaverne k, J, B, β og η. 18. Opstil det karakteristiske polynomium p(λ) til for A på formen p(λ) = λ 4 + a 1 λ 3 + a 2 λ 2 + a 3 λ + a 4, (16) hvor koefficienterne a 1, a 2, a 3 og a 4 er udtrykt ved konstanterne k, J, B, β og η. Rødderne i det karakteristiske polynomium har i almindelighed den komplekse form λ = a + i b. Den tilhørende løsning til differentialligningssytemet vil da indeholde tidsfunktionen e (a+ib)t = e at (cos(bt) + sin(bt)) (17) Hvis Re(λ) = a > 0 vil løsningen ikke være begrænset når t, og differentialligningssystemet siges at være ustabilt. Omvendt, hvis Re(λ) = a < 0 vil løsningen gå mod nul når t, og differentialligningssystemet siges at være asymptotisk stabilt. 19. Benyt MAPLE til at finde et udtryk for rødderne λ i p(λ), og undersøg dernæst om der findes værdier for k, J, B, β og η, hvor løsningen θ(t) er ustabil? Vink: Man kan f.eks.holde tre af parametrene fast og lade MAPLE plotte realdelen af λ som funktion af de to resterende parametre. En mere systematisk måde at undersøge om et polynomium har rødderne beliggende i den venstre del af den komplekse plan er ved hjælp af Routh-Hurwitz metode. Ved denne metode kan man alene ud fra kendskabet til polynomiets koefficienter a 1, a 2, a 3 og a 4 sige noget om stabiliteten i systemet. Metoden er nærmere beskrevet i Matematisk Analayse 3 3. 20. Benyt Routh-Hurwitz metode til at sige noget om stabliliteten for løsningerne til differentialligningssystemet (15) og sammenlign med resultaterne fundne i spørgsmål 19. 3 M.P.Bendsøe,W.Kliem: Matematisk Analyse 3, DTU 2000, p. 201-203 Mat1 04/05 side 12

Litteratur [1] JF Soechting and F Lacquaniti, Journal of Neuroscience, Vol 1, 710-720, Copyright l 1981 by Society for Neuroscience [2] Michael C.K. Khoo, Physiological Control Systems. Analysis, Simulation, and Estimation. IEEE Press Series in Biomedical Engineering.Section 4.7. Mat1 04/05 side 13