Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold Introduktion 2 Punkt + Punkt 2 Linje + Punkt 4 4 Linje + Linje 9 4. To ens linjer....................... 0 4.2 To linjer som skærer i et punkt............ 2 4. To linjer som ikke skærer, men er parallelle...... 5 4.4 To linjer som ikke skærer og er vindskæve..... 8 5 Plan + Punkt 2 6 Plan + Linje 2 6. Linjen ligger i planen.................. 2 6.2 Linjen skærer planen i et punkt............ 0 6. Linjen skærer ikke planen............... Plan + Plan 5. De to planer skærer langs en linje........... 6.2 De to planer skærer ikke................ 9
Resumé I dette dokument viser vi nogle eksempler på typiske beregninger i analytisk rumgeometri. Vi ser på afstande, skæringer og vinkler mellem de mest basale objekter: Punkter, linjer og planer. Introduktion Vi skal her se nogle eksempler på typiske problemer der kan løses inden for analytisk rumgeometri. Bemærk at eksemplerne er inddelt efter hvilke geometriske objekter der er i spil. Så hvis du har brug for et bestemt eksempel, så anbefales det at navigere ved hjælp af indholdsfortegnelsen. Forudsætninger For at forstå dette dokument skal du først kende til almindelig vektorregning med tredimensionelle vektorer, herunder krydsproduktet. Du bør også være fortrolig med de objekter som vi arbejder med: Punkter, linjer og planer herunder de forskellige måder at beskrive sådanne objekter på og de forskellige begreber som er knyttet til dem, såsom retningsvektorer og normalvektorer. Til gengæld er eksemplerne skrevet sådan at det ikke er nødvendigt at læse dem i rækkefølge. Tværtimod vil du opdage at der er rigtigt mange gentagelser såfremt du læser hele dokumentet. side
2 Punkt + Punkt Vi starter med det allersimpleste eksempel. Hertil har vi brug for følgende sætning: Sætning (Afstandsformlen) Hvis og P = (x ; y ; z ) Q = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) er to punkter i det tredimensionelle koordinatsystem, så er afstanden mellem dem, P Q, givet ved: P Q = (x 2 x ) 2 + (y 2 y ) 2 + (z 2 z ) 2 Eksempel Lad os sige at vi har punkterne: A = (; 9; ) og B = ( ; 4; 0) Dermed er afstanden imellem dem: AB = ( ) 2 + (4 9) 2 + (0 ( )) 2 = ( 0) 2 + ( 5) 2 + 2 = 26 8, Dette er forresten det samme som først at beregne den såkaldte forbindende vektor mellem punkterne: side 2
AB = 4 9 0 ( ) = 0 5 Og derefter finde længden af denne vektor: AB = ( 0) 2 + ( 5) 2 + 2 side
Linje + Punkt Når man har et punkt og en linje i rummet, så er der to fornuftige spørgsmål at stille:. Ligger punktet på linjen? 2. Hvis ikke, hvad er så afstanden (underforstået: Den kortest mulige afstand) fra punktet til linjen. Til det sidste kan man f.eks. benytte sig af følgende formel hvis man holder mere af at sætte tal ind i formler end at være kreativ. Det skal dog bemærkes at man ofte kan spare en masse tid ved at være kreativ. Sætning 2 (Afstand fra punkt til linje) Hvis P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) er et punkt i det tredimensionelle koordinatsystem, og L er en linje hvorpå vi kender et punkt: Q = (x ; y ; z ) og hvortil vi har en retningsvektor r = r r 2 r så er den vinkelrette afstand fra P til L givet ved: dist(p, L) = P Q r r side 4
Eksempel 2 Lad os sige at vi har et punkt: P = ( ; 2; ) og en linje, L, givet ved parameterfremstillingen: x y z = 9 4 + t 8 Dermed har vi umiddelbart et punkt på linjen, nemlig: Q = (; 9; 4) og en retningsvektor for linjen, nemlig: r = (Se i øvrigt figur ) Vi kunne starte med at undersøge om P ligger på L. Dette svarer til at undersøge om der findes en værdi af parameteren, t, sådan at: 9 4 + t 8 8 = 2 Dette er tre ligninger med t som den eneste ukendte. Den første ligning kræver at: + t ( 8) = t = side 5
Man ser dog øjeblikkeligt at denne værdi af t ikke får de to andre ligninger til af være opfyldt, så der findes ingen sådanne t-værdier, og derfor ligger P ikke på linjen. I stedet kan vi beregne den vinkelrette afstand fra P til L. For at bruge formlen fra sætning 2 skal vi beregne: P Q = Derefter krydsproduktet: P Q r = ( ) 9 ( 2) 4 ( ) 8 = 8 Derefter længden af dette krydsprodukt: = 8 0 64 2 P Q r = ( 0) 2 + ( 64) 2 + 2 2 = 640 29,4 Derefter længden af retningsvektoren: r = Og så kan vi beregne afstanden: Alternativ metode: ( 8) 2 + 2 + 2 = 4 8,6 dist(p, L) = P Q r r 5,04 Man kan dog finde denne afstand ved en helt anderledes metode også. Denne metode er i virkeligheden smartere, fordi den kan bruges i mange andre situationer. side 6
Vi opskriver afstanden fra P til et vilkårligt punkt på L. Et vilkårligt punkt på L er givet ved: (x; y; z) = ( + t ( 8); 9 + t ; 4 + t ) = ( 8t; 9 + t; 4 + t) hvor t er et vilkårligt reelt tal. Derfor bliver afstanden fra P til sådan et punkt en funktion af t, givet ved: A(t) = (x ( )) 2 + (y ( 2)) 2 + (z ( )) 2 = (( 8t) ( )) 2 + ((9 + t) ( 2)) 2 + ((4 + t) ( )) 2 = (8 8t) 2 + ( + t) 2 + ( + t) 2 Vores problem kan således løses ved at finde den mindste funktionsværdi for funktionen A. Dette kan f.eks. gøres ved at differentiere A og løse ligningen: A (t) = 0 Dette vil give de mulige ekstremumssteder, som derefter kan indsættes i A for at finde de tilhørende ekstremumsværdier. Vi vil her blot tegne grafen for A (se figur 2) og få grafprogrammet til at bestemme den mindste funktionsværdi. Dette bliver selvfølgelig det samme som sidst, nemlig: A(0,24) 5,04 En anden fordel ved denne metode er at man kan finde det punkt Q på linjen som ligger nærmest P. Det er bare et spørgsmål om at huske A(t) angav afstanden fra P til det punkt på linjen som svarede til parameterværdien t i parameterfremstillingen for L. Når vi derfor har fundet minimumsstedet for A til at være: t 0,24 side
så mangler vi kun af spørge parameterfremstillingen for L om hvilket punkt dette svarer til. Det giver: Altså er: x y z = 9 4 + 0,24 8 = Q = (4,406; 9,9; 4,24) det punkt på L som ligger nærmest P. 4,406 9,9 4,24 Figur : Punktet og linjen fra eksempel 2 side 8
20 0 0 2 Figur 2: Grafen for funktionen A i eksempel 2 4 Linje + Linje Hvis man har to linjer i rummet, så er der mange fornuftige spørgsmål at stille:. Er de parallelle? 2. Skærer de hinanden, og i givet fald hvor?. Hvis de skærer hinanden i et enkelt punkt, hvad er så vinklen som de danner i skæringspunktet? 4. Hvis ikke de skærer hinanden, hvad er så den kortest mulige afstand mellem dem? Til det sidste kan vi nogle gange bruge følgende formel: (Husk at to linjer kaldes vindskæve hvis de ikke skærer hinanden og ikke er parallelle.) Sætning (Afstand mellem to linjer) Hvis L og L 2 er to vindskæve linjer i rummet, hvortil vi kender et punkt, som ligger på hver af dem: P L og P 2 L 2 side 9
samt en retningsvektor for hver af dem: r og r 2, så er den korteste afstand imellem de to linjer givet ved: dist(l, L 2 ) = P P 2 ( r r 2 ) r r 2 4. To ens linjer Eksempel Dette er nok det mærkeligste eksempel. To linjer kan nemlig godt se ret forskellige ud, og alligevel være præcis den samme linje. Lad os sige at vi har de to linjer på parameterform (se figur ): og L : L 2 : x y z x y z = = 9 4 2 2 + t + t 8 6 6 2 Hvis vi skal undersøge om de skærer hinanden, skal vi altså spørge om den ene parameterfremstilling nogensinde frembringer et punkt som den anden parameterfremstilling også frembringer. Med andre ord: Findes der en værdi, t, af parameteren for L og en (eventuelt anden ) værdi, s af parameteren for L 2, sådan at: 9 4 + t 8 = 2 2 + s 6 6 2 Dette er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning siger at: 8t = 2 + 6s side 0
8t = 6 + 6s t = 2 2s Denne sammenhæng kan indsættes i de to andre ligninger, som dermed bliver: 9 + ( 2 2s) = 6s og 4 + ( 2 2s) = 2 2s Hvis man kigger efter, så opdager man at begge disse ligninger er opfyldt uanset hvad s er! Det betyder at s kan være hvad som helst. Hvis bare t er lig 2 2s, så frembringer de to parameterfremstillinger det samme punkt. Men det betyder at hvert eneste punkt på L 2 også ligger på L med andre ord: De to linjer er fuldstændig ens! Figur : To ens linjer side
4.2 To linjer som skærer i et punkt Eksempel 4 Lad os sige at vi har de to linjer på parameterform (se figur 4): og L : L 2 : x y z x y z = = 9 4 5 5 6 + t + t 8 4 6 2 Hvis vi skal undersøge om de skærer hinanden, skal vi altså spørge om den ene parameterfremstilling nogensinde frembringer et punkt som den anden parameterfremstilling også frembringer. Med andre ord: Findes der en værdi, t, af parameteren for L og en (eventuelt anden 2 ) værdi, s af parameteren for L 2, sådan at: 9 4 + t 8 = 5 5 6 + s 4 6 2 Dette er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning siger at: 8t = 5 + 4s 8t = 8 + 4s t = 2 s Denne sammenhæng kan indsættes i de to andre ligninger, som dermed bliver: 9 + ( s) = 5 6s 2 side 2
og 4 + ( s) = 6 2s 2 Hvis man kigger efter, så opdager man at disse to ligninger siger præcis det samme om s. De kan nemlig begge to omskrives til: 2 s = 2 2s 2s 2 s = 2 s = s = 2 Nu kan vi gå tilbage til den første ligning og se hvad t så må være, nemlig: t = 2 s = 2 Det betyder at de to parameterfremstillinger frembringer det samme punkt præcis hvis man sætter t = 2 ind som parameteren i den første parameterfremstilling og s = 2 ind som parameteren i den anden. Gør vi det første, får vi skæringspunktets koordinater: 9 4 + ( 2) 8 = Og gør vi det andet, får vi selvfølgelig de samme koordinater: 5 4 2 5 + 2 6 = 6 2 2 Altså er: Q = (2; ; 2) 2 2 side
skæringspunktet mellem de to linjer. Bemærk at vi her var heldige med at de to sidste ligninger sagde præcis det samme om s, sådan at løsningen til den ene af disse ligninger også passede med den anden. Dette held svarer til det held som skal til for at to tilfældige linjer i rummet lige præcis skærer hinanden. De fleste gange vil de to sidste ligninger sige noget forskelligt om s, sådan at de ikke kan blive opfyldt på samme tid. Det skal vi se to eksempler på lige om lidt. Lige nu har vi fundet ud af at de to linjer skærer hinanden i et enkelt punkt, og så er det meget naturligt at tilføje spørgsmålet: Hvad er den vinkel som de to linjer danner i skæringspunktet? Dette er heldigvis meget nemt. Hvis man forestiller sig de to retningsvektorer indtegnet fra skæringspunktet, så er strategien indlysende: Vi finder bare vinklen imellem de to retningsvektorer. Denne vinkel, α er som bekendt fastlagt af sammenhængen: I vores tilfælde er: og længderne er: cos(α) = r r 2 r r 2 r r 2 = ( 8) 4 + ( 6) + ( 2) = 44 r = ( 8) 2 + 2 + 2 = 4 og Så derfor er: r 2 = 4 2 + ( 6) 2 + ( 2) 2 = 56 cos(α) = 44 4 56 0,684 side 4
α cos ( 0,684), Bemærk dog at to linjer som skærer hinanden altid vil danne to forskellige vinkler: en stump og en spids. Normalt er det den spidse vinkel man mener når man bare siger vinklen mellem dem. Denne kan hurtigt udregnes ved: 80 α 46,9 Figur 4: To linjer som skærer i et enkelt punkt. 4. To linjer som ikke skærer, men er parallelle Eksempel 5 Lad os igen starte med to linjer på parameterform: L : x y z = 9 4 + t 8 side 5
og L 2 : x y z = 5 5 6 + t 6 6 2 Hvis vi skal undersøge om de skærer hinanden, skal vi altså spørge om den ene parameterfremstilling nogensinde frembringer et punkt som den anden parameterfremstilling også frembringer. Med andre ord: Findes der en værdi, t, af parameteren for L og en (eventuelt anden 4 ) værdi, s af parameteren for L 2, sådan at: 9 4 + t 8 = 5 5 6 + s 6 6 2 Dette er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning siger at: 8t = 5 + 6s 8t = 8 + 6s t = 2s Indsætter vi denne sammenhæng i de to sidste ligninger, får vi: og 9 + ( 2s) = 5 6s 4 + ( 2s) = 6 2s Disse to ligninger er ret underlige. De kan nemlig omskrives til henholdsvist: 6 6s = 5 6s og 2s = 6 2s side 6
Og det er klart at ingen værdier af s kan få disse ligninger til at gælde 5 Der er altså ingen værdier af parametrene som får de to parameterfremstillinger til at producere det samme punkt. Derfor skærer vores linjer ikke hinanden. I denne situation er næste oplagte skridt at undersøge om de to linjer er parallelle eller ej. Det gør man ved at undersøge om linjernes retningsvektorer: og r = r 2 = 8 6 6 2 er parallelle. Her er det måske ret indlysende at: r 2 = 2 r Så de to linjer er parallelle. Men det kan nogle gange være lidt sværere at se om to vektorer er parallelle eller ej. I så fald kan man beregne deres krydsprodukt og se om det giver nulvektor. I vores tilfælde er: r r 2 = 8 6 6 2 = Hvilket igen viser at de to linjer er parallelle. Nu er det meget naturligt at tilføje spørgsmålet: Hvad er den korteste afstand mellem de to linjer? Eftersom linjerne er parallelle er dette meget nemt at besvare: Den korteste afstand kan beregnes ved at vælge et tilfældigt punkt på den ene linje, f.eks. P = (, 9, 4) 0 0 0 side
(som ligger på L ) og så beregne den vinkelrette afstand fra dette punkt til L 2. Dette foregår præcis som i eksempel 2, så vi vil ikke gentage det her. Figur 5: To linjer som ikke skærer hinanden, men som er parallelle. 4.4 To linjer som ikke skærer og er vindskæve Den sidste mulighed er den som forekommer oftest hvis man bare vælger to tilfældige linjer: Eksempel 6 Vi starter med to linjer på parameterform (se figur 6): L : x y z = 9 5 + t side 8
og L 2 : x y z = 5 5 6 + t 8 Hvis vi skal undersøge om de skærer hinanden, skal vi altså (igen igen) spørge om den ene parameterfremstilling nogensinde frembringer et punkt som den anden parameterfremstilling også frembringer. Med andre ord: Findes der en værdi, t, af parameteren for L og en (eventuelt anden 6 ) værdi, s af parameteren for L 2, sådan at: 9 5 + t = 5 5 6 + s 8 Dette er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning siger at: + t = 5 + 8s t = 2 + 8s Indsætter vi denne sammenhæng i de to sidste ligninger, får vi: og 9 + (2 + 8s) = 5 s 5 (2 + 8s) = 6 s Den første af disse ligninger kan hurtigt løses og giver at: 2s = 0 s = 0 2 = 0 9 Men den anden ligning kan løses lige så hurtigt og giver: 2s = 4 side 9
s = 4 2 Så de to sidste ligninger kan aldrig komme til at blive opfyldt på samme tid. Altså findes der ingen valg af parametrene som giver det samme punkt i de to parameterfremstillinger, og derfor skærer linjerne ikke hinanden. I stedet kan vi nu undersøge om linjerne skulle være parallelle. Det gør vi igen ved at se på retningsvektorer for de to linjer: og r = r 2 = Krydsproduktet af disse giver: r r 2 = 8 8 = 2 2 2 Da dette ikke er nulvektor, er de to linjer ikke parallelle. Nu er det så oplagt at stille spørgsmålet: Hvad er den mindste afstand mellem de to linjer? Hertil kan vi bruge formlen fra sætning. Vi har allerede krydsproduktet af de to retningsvektorer: side 20
Figur 6: To linjer som ikke skærer hinanden, og som er vindskæve. r r 2 = 2 2 2 Længden af dette krydsprodukt er hurtigt udregnet: r r 2 = ( 2) 2 + ( 2) 2 + ( 2) 2 = 402,44 Til sidst skal vi bruge den forbindende vektor mellem et punkt P på den ene linje og et punkt P 2 på den anden. Vi vælger: P = (; 9; 5) og Dermed er: P 2 = (5; 5; 6) P P 2 = 2 6 side 2
Og prikproduktet med krydsproduktet ovenfra: P P 2 ( r r 2 ) = 2 ( 2) + 6 ( 2) + ( 2) = 59 Dermed giver sætning at den korteste afstand mellem de to linjer er: dist(l, L 2 ) = 59 5,46 402 Bemærk at formlen fra sætning kun giver mening når krydsproduktet af de to retningsvektorer er forskelligt fra nulvektor. (Ellers kommer vi til at dividere med nul). Hvis man ikke bryder sig om at sætte tal ind i formler, så kan man også finde afstanden mellem de to linjer ved følgende snedige fremgangsmåde. Dette er i øvrigt også fremgangsmåden i beviset for sætning. Ideen er ikke nem at få, fordi det er ret svært at forestille sig at man til to vindskæve linjer altid kan finde to planer som er parallelle og som indeholder hver sin linje. Hvis man ser på figur bliver det forhåbentlig lidt lettere at visualiere.. Beregn krydsproduktet af de to retningsvektorer. Dette er en vektor som er vinkelret på begge retningsvektorerne. 2. Vælg et punkt på hver af linjerne.. Lav nu to planer som begge har ovenstående krydsprodukt som normalvektor, og som går gennem hvert af de to valgte punkter. Disse planer vil være parallelle, og hver især indeholde en af de to linjer (fordi linjerne løber vinkelret på den fælles normalvektor). 4. Beregn nu afstanden mellem de to parallelle planer (se afsnit 0 hvordan det foregår.) side 22
Figur : De to vindskæve linjer fra eksempel 6 med deres indlagte parallelplaner. 5 Plan + Punkt Når man har en plan og et punkt, så er der kun to oplagte spørgsmål at stille:. Ligger punktet i planen? 2. Hvis ikke, hvad er så afstanden (underforstået: den kortest mulige afstand) fra punktet til planen? Til at besvare det sidste spørgsmål kan man f.eks. bruge følgende formel: Sætning 4 (Afstand fra punkt til plan) Hvis P er et punkt i rummet, og α er en plan, hvorpå vi kender et punkt, P 0 samt en normalvektor: n, så er den vinkelrette afstand fra P til α givet ved: dist(p, α) = P 0 P n n side 2
Eksempel Det kunne tænkes at vi havde en plan givet ved parameterfremstillingen: x 8 2 α : y = 9 + t + s z 4 Og et punkt P = (; 9; ) Hvis vi skal undersøge om P ligger i α, så skal vi altså undersøge om der findes værdier s og t af de to paramtre, sådan at: 9 4 + t 8 + s 2 = Det er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning kan omskrives til: 8t + 2s = s = + 4t Dette indsættes i de to andre ligninger, hvilket giver: 9 + t + ( + 4t) = 9 9 og 4 + t + ( + 4t) = Den første af disse to ligninger giver at: t = t = side 24
Men den anden af ligningerne giver at: 29t = 8 t = 8 29 Disse to ligninger kan altså ikke komme til at gælde på samme tid, så der findes ingen værdier af s og t, sådan at planens parameterfremstilling producerer punktet P. Så P ligger ikke i planen. Til gengæld kan vi så spørge: Hvad er den korteste afstand fra P til planen? Til dette kan vi bruge sætning 4, som siger at vi skal bruge et punkt i planen og en normalvektor. Som punktet kan vi bruge: P 0 = (; 9; 4) og som normalvektor kan vi bruge krydsproduktet af de to retningsvektorer: 8 2 20 n = = 58 4 Så er det blot at beregne den forbindende vektor: P 0 P = = 9 9 4 Og prikproduktet: P 0 P n = 6 20 + 0 58 + ( 4) = 8 Og længden af normalvektoren: n = 20 2 + 58 2 + ( 4) 2 = 960 62,9 6 0 side 25
Dermed giver sætning 4 at afstanden fra P til α er: dist(p, α) = P 0 P n n = 8 960,24 Eksempel 8 Det kunne også tænkes at vi havde planen givet ved en ligning. F.eks: (x ) + (y + 2) 4 (z + ) = 0 Hvis vi så fik et punkt, f.eks. P = (; 0; ) så er det endnu nemmere at tjekke om punktet ligger i planen. Vi skal blot undersøge om punktets koordinater opfylder planens ligning. Når x =, y = 0 og z =, så giver: (x ) + (y + 2) 4 (z + ) = 2 + 2 4 2 = 0 Dermed opfylder P s koordinater planens ligning, og derfor ligger P i planen. Dette havde man også opdaget hvis man havde forsøgt at finde afstanden mellem P og planen. I dette tilfælde kan vi aflæse koordinaterne til en normalvektor som koefficienterne i planens ligning. Dermed får vi en normalvektor: n = 4 Og et punkt i planen kan findes ved (fordi vi er dovne) finde tre koordinater som opfylder planens ligning. Det hurtigte gæt er: P 0 = (; 2; ) side 26
Når vi nu beregner den forbindende vektor: P 0 P = 0 ( 2) ( ) Så får vi sjovt nok prikproduktet: = 2 2 2 P 0 P n = 2 + 2 + 2 ( 4) = 0 6 Plan + Linje Når man har en plan og en linje, så er der følgende fornuftige spørgsmål at stille:. Skærer linjen planen? 2. Hvis linjen skærer planen i et enkelt punkt, hvad er så vinklen som der dannes i skæringspunktet?. Hvis ikke linjen skærer planen, hvad er så afstanden fra punkterne på linje til planen? 6. Linjen ligger i planen Det kan forekomme at en given linje simpelt hen ligger i en given plan (også selvom det ikke umiddelbart kan ses). Eksempel 9 Vi ser på linjen givet ved parameterfremstillingen: L : x y z = + t 6 2 side 2
Og så indfører vi en plan, α, givet ved parameterfremstillingen: x 5 8 α : y = 5 + t 4 + s z 6 Denne plan kan også angives med ligningen: α : (x 5) + (y 5) 20 (z 6) = 0 Vi skal nu se at det er meget smartere at bruge ligningen for α frem for parameterfremstillingen. Man kan dog gøre begge dele, og vi starter naturligvis med det mest besværlige. At spørge hvorvidt linjen skærer planen svarer til at spørge om der findes en værdi, u af parameteren for linjen, samt (gerne helt forskellige) værdier s og t af parametrene for planen, sådan at de to paramterfremstillinger producerer det samme punkt. Dvs: + u 6 2 = 5 5 6 + t 8 4 + s Dette er tre ligninger med u, s og t som ukendte. Den første ligning kræver at: + 6u = 5 + 8t + s og s = 6 + 6u 8t Hvis dette indsættes i de to andre ligninger, så bliver de til: + 2u = 5 4t + (6 + 6u 8t) ( ) + u = 6 t (6 + 6u 8t) Dette er to ligninger med u og t som ukendte. Vi isolerer t i den nederste: + u = 6 t 6 6u + 8t side 28
+ u = t t = + u Indsættes dette i den øverste, får vi: + 2u = 5 4 ( + u) + (6 + 6u 8 ( + u)) ( ) + 2u = 5 4 4u 8 8u + 24 + 24u Kigger man nøje efter, så ser man at denne ligning overhovedet intet siger om u. Den er opfyldt uanset hvilken værdi vi giver u. Det betyder at parameteren, u i linjens parameterfremstilling kan være hvad som helst, og så vil planen producere det samme punkt som linjen hvis blot vi bruger parameterværdierne: og t = + u s = 6 + 6u 8t Sagt med andre ord: Ethvert punkt på linjen ligger også i planen. Alternativ metode: Det er meget nemmere at bruge planens ligning frem for paramterfremstillingen. Hvis man vil undersøge hvorvidt linjen skærer planen, skal man blot undersøge om der finden nogen værdier, t af parameteren for linjen, sådan at det producerede punkt opfylder planens ligning. Vi undersøger altså om et punkt af typen: (x; y; z) = ( + 6t; + 2t; + t) side 29
opfylder ligningen: (x 5) + (y 5) 20 (z 6) = 0 (( + 6t) 5) + (( + 2t) 5) 20 (( + t) 6) = 0 6 + 6t + 4 + 4t 20 20t = 0 0 = 0 Igen ser vi at denne ligning er opfyldt uanset hvilken værdi af t vi indsætter. Det betyder (endnu en gang) at ethvert punkt på linjen ligger i planen. 6.2 Linjen skærer planen i et punkt Dette er langt det hyppigste tilfælde. Eksempel 0 Vi ser på linjen, L, givet ved parameterfremstillingen: x 4 L : y = 2 + t 2 z Og planen, α, givet ved ligningen 8 : 6x + y z + 6 = 0 Hvis vi skal undersøge hvorvidt linjen skærer planen, så kan vi spørge om der findes en værdi t af parameteren for linjen, sådan at det producerede punkt opfylder planens ligning. side 0
Vi undersøger altså om et punkt af typen: opfylder ligningen: (x; y; z) = (4 t; 2 + 2t; t) 6x + y z + 6 = 0 6 (4 t) + (2 + 2t) ( t) + 6 = 0 24 6t + 4 + 4t 2 + 9t + 6 = 0 2 + t = 0 t = 2 Præcis for denne værdi af t producerer linjens parameterfremstilling et punkt som ligger i planen. Hvis vi er interesserede i hvilket punkt det er, skal vi blot indsætte værdien i parameterfremstillingen: x y z = 4 2 2 2 Det vil sige at linjen skærer planen i punktet: P (5,5; 0,06;,06) 5,5 0,06,06 I denne situation er det oplagt at tilføje spørgsmålet: Hvilken vinkel danner linjen med planen i skæringspunktet? side
Det er ikke helt oplagt hvordan man skal finde denne vinkel. Det viser sig at man skal en lille omvej:. Find en normalvektor for planen. 2. Find vinklen, v mellem denne normalvektor og en retningsvektor for linjen.. Hvis v er mellem 0 og 90, er den søgte vinkel er 90 v Ellers er den v 90 I vores tilfælde kan en normalvektor for planen aflæses fra ligningen: 6 n = Og en retningsvektor for linjen er jo: r = 2 Vinklen, v mellem disse to vektorer er givet ved: cos(v) = = = n r n r 6 ( ) + 2 + ( ) ( ) 6 2 + 2 + ( ) 2 94 4 0,4 ( ) 2 + 2 2 + ( ) 2 side 2
Dvs. v cos (0,4) 62, Dermed er vinklen som linjen danner med planen i skæringspunktet: 90 v 2,9 Figur 8: En plan og en linje som skærer den. 6. Linjen skærer ikke planen Til sidst skal vi lige se et eksempel hvor linjen slet ikke skærer planen. Eksempel Vi ser på linjen, L, givet ved parameterfremstillingen: L : x y z = 9 0 + t side
Og planen, α, givet ved ligningen: 6x + y z + 6 = 0 Hvis vi skal undersøge hvorvidt linjen skærer planen, så kan vi spørge om der findes en værdi t af parameteren for linjen, sådan at det producerede punkt opfylder planens ligning. Vi undersøger altså om et punkt af typen: opfylder ligningen: (x; y; z) = (9 + t; 0 t; t) 6x + y z + 6 = 0 6 (9 + t) + (0 t) ( t) + 6 = 0 54 + 8t + 0 2t + t + 6 = 0 = 0 Denne ligning har helt tydeligt ingen løsninger. Derfor er der ingen skæringspunkter mellem linjen og planen. Vi kan i stedet stille spørgsmålet: Hvad er den korteste afstand mellem linjen og planen? Eftersom linjen nødvendigvis løber parallelt med planen, kan dette gøres bare ved at vælge et punkt på linjen, og så beregne afstanden fra dette punkt til planen, præcis som i eksempel. side 4
Figur 9: En plan og en linje som ikke skærer den. Plan + Plan Når man står med to planer, så er følgende spørgsmål fornuftige at stille:. Skærer de to planer hinanden? 2. Hvis de skærer hinanden langs en linje, hvad er det så for en linje, og hvad er vinklen mellem de to planer langs med denne linje?. Hvis ikke de skærer hinanden, hvad er så afstanden imellem dem? For at undersøge om to planer skærer hinanden kan man enten have dem begge givet ved en parameterfremstilling, begge givet ved en ligning, eller den ene ved en ligning og den anden ved en parameterfremstilling. Det viser sig at være det sidste som er langt nemmest at håndtere. Derfor vil vi antage at det er tilfældet i alle eksemplerne 9. 9 Man kan sagtens stille noget op i de andre tilfælde. Men det vil næsten altid være hurtigere at omskrive den ene plan sådan at de er givet på hver sin måde. side 5
. De to planer skærer langs en linje Lad os sige at vi har en plan, α, givet ved parameterfremstillingen: α : x y z = 9 0 + t og en anden plan, β, givet ved ligningen: + s β : (x ) 2(y + ) + (z + 8) = 0 Figur 0: To planer som skærer hinanden langs en ret linje. Hvis vi skal undersøge hvorvidt de skærer hinanden, kan vi spørge om der findes værdier, s og t af parametrene i parameterfremstillingen for α hvor det producerede punkt opfylder ligningen for β. Vi skal altså undersøge hvornår punkter af typen: opfylder ligningen: (x; y; z) = (9 + t s; 0 t s; t s) (x ) 2(y + ) + (z + 8) = 0 side 6
((9 + t s) ) 2((0 t s) + ) + (( t s) + 8) = 0 6 + 2t s 20 + 6t + 6s 2 + t s + 24 = 0 6 + 24t 4s = 0 s = 6 + 6t = 5,25 + 6t 4 Hvis man bruger værdier af s og t som hænger sammen på denne måde, så vil parameterfremstillingen for α altså producere punkter som også ligger i β. Man kan altså selv bestemme værdien af t, men så skal man til gengæld vælge ovenstående værdi af s. Når man gør det, så kan udregningen skrives som: x y z = = = 9 0 9 0 + t + t 6,25 5,5 4,25 + t + (5,25 + 6t) + 2 5,25 45,5 5,25 + t 6 8 6 Nu er der kun en fri parameter tilbage, og således står vi sørme med en parameterfremstilling af en linje. Dette er selvfølgelig skæringslinjen mellem de to planer. Man kan nu tilføje spørgsmålet: Hvad er vinklen som de to planer danner langs med skæringslinjen? side
Bemærk at der som regel er to sådanne vinkler: En som er spids og en som er stump. Når der ikke nævnes andet, er det altid den spidse man mener. For at finde denne vinkel går man en lille omvej, som kan være lidt svær at finde på selv. Det hjælper hvis man forestiller sig at se de to planer fra siden, idet man kigger langs med skæringslinjen. Nu ligner de to planer bare to linjer som skærer, og som danner præcis den vinkel vi er ude efter. Desværre har vi ikke nogen vektorer som peger præcis langs med disse linjer. Derfor finder vi på at kigge på normalvektorer til de to planer i stedet for. Her er metoden:. Find en normalvektor for hver af planerne. 2. Beregn vinklen v imellem disse to normalvektorer.. Hvis v er mellem 0 og 90, så er det den vinkel vi er ude efter. 4. Hvis v er mellem 90 og 80, så er den spidse vinkel mellem planerne: 80 v 5. Hvis v er mellem 80 og 20, så er den spidse vinkel mellem planerne: v 80 6. Hvis v er mellem 20 og 60, så er den spidse vinkel mellem planerne: 60 v I vores tilfælde kan vi beregne en normalvektor for α som krydsproduktet af de to retningsvektorer: n = = 0 4 2 side 8
Og vi har en normalvektor for β direkte fra ligningen: n 2 = 2 Vinklen v imellem disse to er givet ved: cos(v) = n n 2 n n 2 0 + 4 ( 2) + ( 2) = 0 2 + 4 2 + ( 2) 2 2 + ( 2) 2 + 2 44 = 60 62 0,44 Dvs. ( ) v = cos 44 6,2 60 62 Så vi er i tilfælde (4) ovenfor. Derfor er den spidse vinkel mellem planerne: 80 v 6,8.2 De to planer skærer ikke Den sidste situation er meget simpel: Hvis ikke de to planer skærer, så er det fordi de er parallelle. Det kan de dog godt være uden at det er tydeligt fra præsentationerne af dem. Eksempel 2 Lad os sige at vi har en plan α givet ved parameterfremstillingen: side 9