Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89) og GeoGebra-CAS og multimeter. De elektroniske komponenter der vil være tale om er modstande som er lineære dvs. sammenhængen mellem strøm/spænding kan beskrives ved en lineær model (linje) og diode som ikke-lineære. Matematik og Fysik (ellære): 1. Lineære modeller 2. Trinvis lineære modeller 3. Eksponentielle modeller 4. Fortolkning Øvelse 1 : Sammenhængende værdier af strøm/spænding måles for en elektrisk modstand Ohm s Lov. Modstands øvelse i fysik kan f.eks. give følgende sammenhæng mellem strøm og spænding: I[A] U[V] 13 0,092 14 0,105 16 0,119 18 0,112 20 0,146 1
Programmet Graph, GeoGebra og Ti-89 anvendes i det følgende til at analysere disse tal: Graph: Først indsættes tallene. Dernæst tegnes punkterne som vist 2
Vi vælger en lineær model som vist: Så har vi lige figuren. 3
Som ses ligger punkterne ikke præcis på linjen, eller sagt på en anden måde ligger punkterne tilnærmelsesvis på ret linje. Målet er at få alle punkter til at ligge på linjen i en lineær model da vi er rimeligt sikker på at vi har en lineær sammenhæng mellem strøm og spænding som Ohm s lov udtrykker. Hvis vi nu gør de lodrette afstande fra punkterne til linjen minimale så kan vi finde en metode til at beregne koefficienterne til den lineære model sammen med som hedder forklaringsgraden. Forklaringsgraden fortæller hvor godt fordelingen af punkterne passer sammen med den valgte model. Jo tættere er forklaringsgraden til tallet 1 des bedre! Ovenstående model har vi som er ok i dette tilfælde. Og da vi på forhånd ved at Ohm s lov er en lineær model skal vi ikke prøve at vælge andre modeller. I det følgende skal vi beskrive metoden programmet Graph, TI-89 eller GeoGebra CAS bruger til at regne frem til forskriften og forklaringsgraden. Metoden hedder mindste kvadraters metode som går ud på at minimere kvadraten af summen af punkternes lodrette afstand til linjen, dvs. der kun er 5 punkter. Der er tale om et optimeringsproblem hvis løsningen resulterer i bestemmelse af regressionskoefficienterne a og b i linjes ligning og forklaringsgraden. Disse er givet i det følgende uden bevis. da 4
Lad os bruge regressionsmetoden til at beregne koefficienterne for at se, hvordan Graph, TI-89 eller GeoGebra-CAS regner disser værdier ud ved at anvende det samme tabelværdier: 13 0,092 1,196 169 10,24 14 0,105 1,47 196-2,2 4,84 16 0,119 1,904 256-0,2 0,02 18 0,112 2,016 324 1,8 3,24 20 0,146 2,92 400 3,8 14,44 81 0,574 1345 9,506 0,20464 32,8 og,,,,, 5
Indsættes ovenstående får vi følgende lineær model som er det samme som fra Graph: GeoGebra-CAS: GeoGebra startes som vist nedenunder Inden tallene indsættes, skal vi lige have lukket CAS-vinduet og åbnet regneark som vist 6
Vi skal lige huske at ændre afrundingen til 10 decimaler under Indstillinger/Afrunding inden vi indsætter tallene i regnearket som vist. Vi markerer tallene og vælger med højre museklik Create/List of Points og aktiverer Algebra vindue under Vis 7
Nu vælges Bedste rette linje og efter nogle justeringer osv fås følgende figur. TI-89: Først skal du være sikker på at få renset din TI-89 s RAM ved at trykke på MEM og vælge ALL RAM som vist nedenunder. Vælg nu Data/Matrix og opret en ny variable lin eller hvad du nu selv finder et navn på. 8
Nu er du klar til at indsætte tabelværdierne så snart variablen oprettes. Start med x-værdierne i den første kolonne c1 og y-værdierne i c2 som følger: Tryk på F5 og vælg LinReg som står for Lineær Regression og udfyld tabellen som vist og Enter. Som ses af ovenstående finder TI-89 koefficienterne og forklaringsgraden sammen med korrelationskoefficienten som er kvadratroden af forklaringsgraden. Nu mangler vi blot at skitsere funktionen. Men før man gør det skal vi Green diamond og F1 og vælge Plot1 for at definere plot værdier som Plot Type og Mark som vist nedenunder. Tryk på F2 og vælg 9 Zoomdata for at få skitseret forløbet. 9
Spørgsmål til Øvelse1: Som ses af ovenstående har vi nøjagtig det samme resultat som før! Vi har altså vist at Graph, GeoGebra og TI-89 alle sammen anvender regressionsmodellen til at finde koefficienterne af modellen og dermed finde den bedst tænkelige lineær model for datasættet som vi har til rådighed. I ovenstående har vi brugt Ohm s lov men vi skitserede funktionen baseret på et eksempel datasæt. Brug nu dine egne måleresultater fra fysik til at svare på nedenstående spørgsmål: a. Kan du gøre rede for hvordan vi har isoleret strømmen I i ovenstående udtryk? b. Skitser udtrykket og ved at bruge Graph, GeoGebra og Ti-89 c. Kan du se nogen forskel mellem disse to skitseringer? Hvorfor/hvorfor ikke? d. Overbevis dig selv om at y = ax+b er det samme som på nær koefficienten b som er så lille at man godt kan se bort fra. e. Forklar begrebet proportionalitet og omvendt proportionalitet. Brug evt. det udleverede dokument på 2 sider om proportionalitet. f. Er din model proportional? Hvas viser proportionalitetsfaktoren? g. Modstand R måles i ohm [ ], spænding U i volt[v] og strøm I i Ampere[A] så Spænding er lig modstand gange strøm eller volt = ohm ampere h. Find modstandens størrelse ud fra ovenstående data og beregninger. 10
Øvelse 2 : Sammenhængende værdier af strøm/spænding måles for en diode. Vi forestiller os at vi har målt følgende strøm/spændings karakteristik U[ I[A] 0.44 0,01 0,46 0,06 0,48 0,08 0,50 0,10 0,52 0,20 0,54 0,30 0,56 0,40 0,58 0,50 0,60 1,00 0,62 2,25 0,64 4,00 Igen skal vi nu bruge Graph, Geogebra og TI-89 for at skitsere forløbet og finde forskriften for sammenhængen mellem strøm og spændingen for ovenstående datasæt som tænkes at stamme fra en diodeøvelse. 11
Punkternes placering i koordinatsystemet viser tydeligt en eksponentiel sammenhæng. 12
Vi vælger nu en eksponentiel model Og grafen skitseres 13
Som vist har vi en eksponentielfunktion med varierende hældningstal. Vi vil ikke gøre mere ud af eksponentielle funktioner nu men vi skal prøve at dele funktionen i to dele så vi får en stykkevis lineær funktion! 14
GeoGebra: 15