TERMODYNAMIK. Erik Both. Gunnar Christiansen

Transkript

1

2 TERMODYNAMIK Erik Both Gunnar Christiansen Polyteknisk Forlag 2018

3 TERMODYNAMIK Af Erik Both, Gunnar Christiansen Polyteknisk Forlag 1. udgave 1. oplag Trykt hos Eurografik ISBN Udgivet af: Polyteknisk Forlag B ygning 101 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Printed in Denmark 2018 Tidligere udgivet af Den private Ingeniørfond i 2004 under ISBN Forsidevignetten viser Giovanni Brancas "dampmølle" fra Bagsidevignetten viser en dampmaskine. Figuren stammer fra Julius Petersen: Varmelære, 1896.

4 Forord Denne bog er skrevet med henblik på at blive anvendt som undervisningsmateriale i faget Termodynamik ved DTH. Bogens niveau og emnekreds er således valgt i overensstemmelse med den tradition, der er opstået omkring Termodynamik som et 2./3. semesterfag med et indhold omfattende klassisk termodynamik, praktiske energiomsætningsprocesser og varmetransport. Emnerækkefølgen er et kompromis mellem et fagligt krav om en logisk opbygning og et pædagogisk krav om en tidlig introduktion af begreber, der er centrale ved problemløsning. Som lærebog ved en ingeniørskole er det vore håb, at bogen dokumenterer termodynamikkens anvendelsesområder. Det er tilsigtet, at bogen skal være anvendelig både for studerende, der senere i studiet skal benytte termodynamikken, og for studerende, der skal have en afsluttet orientering om energiforhold. Som de øvrige grundfag tilegnes dette fag bedst ved parallelt med teoriindlæringen at træne i problemløsning. Til brug for dette er bogen efter hvert kapitel forsynet med opgaver. I flere af de opgaver, der er inspireret af praktiske problemer, er ikke angivet alle nødvendige oplysninger. Opgaveløseren må her selv vurdere eventuelle forudsætninger og talværdier. Til udvalgte opgaver findes løsninger bagest i bogen. Det kan i øvrigt anbefales, at bogens eksempler gennemarbejdes også med henblik på indlæring af løsningsmetoder. Vi vil understrege, at de krav, et fag stiller, ikke alene defineres af kursusbeskrivelse og lærebog, men i høj grad tillige af den tradition, der er opstået omkring dets eksamensopgaver. Til brug på DTH er bogen "Eksamensopgaver i Termodynamik" således et nødvendigt sup- 0-3

5 plement til den foreliggende fremstilling. Lærebogen har nu været benyttet i seks år. Vi har følt det påkrævet, at få den tidligere udgave ændret, således at de afsnit, der har voldt brugerne problemer, eller som i den praktiske undervisning ikke har vist sig hensigtsmæssige, kunne blive forbedrede. Vi takker i den anledning de mange studerende, der har bistået med gode forslag og inspirerende spørgsmål. Vi takker også vore kolleger, Ole Alstrup, Kurt Petersen og Poul V. Thomsen for mange forbedringsforslag. En sådan bog kan kun skrives, hvis forfatterne får en udstrakt teknisk assistance. Hermed en tak til Grethe Hansen, Finn Mielke, Preben Nielsen, Bertil Ribe, Minna Rigelsen og Olaf Petersen, der har bistået os undervejs i tilblivelsesfasen. Specielt takkes Benedicte Achen for renskrivningen af den endelige udgave af bogen. Lyngby 1/ Erik Both Gunnar Christiansen Laboratoriet for Teknisk Fysik Bygning 307 Danmarks Tekniske Højskole 2800 Lyngby I dette 4. oplag foretaget en række småomskrivninger af afsnit, der har vist sig ikke at være tilstrækkelig præcise. Der er desuden foretaget en mindre udvidelse af bogens opgavedel. Vi ønsker hermed at takke de mange studerende, der siden 1. oplag har givet os gode råd og påpeget fejl. En særlig tak til Aksel, Allan, Anders, Anne Mette, Benjamin, Kristian, Lars, Martin, Mirza, Morten, Steffen, Søren, Tina og Torben, der alle har modtaget en beskeden præmie for oplysninger om fejl. Lyngby 15/ Erik Both Gunnar Christiansen Institur for Fysik Bygning 307 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kongens Lyngby 0-4

6 Indholdsfortegnelse 0.1 Eksempelfortegnelse 0.2 Tabelfortegnelse.. 1 Termodynamik, grundlæggende begreber 1.1 Indledning Grundlæggende begreber Nyttige relationer Specifikke størrelser Tryk, Daltons lov Sammendrag af kapitel Opgaver Temperatur 2.1 Indledning Termisk ligevægt. 0. Hovedsætning Lidt historie Konstant volumen gastermometer Definition af grundenheden kelvin Den Internationale Temperaturskala, Sammendrag af kapitel Opgaver Tilstandsflader og tilstandsligninger 3.1 Indledning Tilstandsformer Grundlæggende begreber Tilstandsflade for rent stof, gasfasen Tilstandsflade for rent stof, væske- og fast fase Differentiel tilstandsligning

7 3.7 Matematiske hjælperelationer Sammendrag af kapitel Opgaver Hovedsætning, arbejde og varme 4.1 Indledning Arbejde Hovedsætning, indre energi og varme 4-8 Lidt historie Varmekapacitet og varmereservoir Sammendrag af kapitel Opgaver Varmetransmission 5.1 Indledning Varmeledning 5-2 Varmeledningsevnen.X Varmeledning i specielle geometrier Varmeledning gennem bygningsdele Den tidsafhængige varmeledningsligning Hvordan i praksis? Konvektion Varmestråling, indledning Elektromagnetisk stråling Lidt historie Exitans, irradians og absorptionsfaktor Kirchhoffs lov Solstråling Sammendrag af kapitel Opgaver Ideal gas 6.1 Indledning Om tilstandsligninger for gasser Joules eksperiment og ideale gasser Vigtige relationer for en ideal gas ved kvasistatiske processer Kvasistatisk, adiabatisk proces med en ideal gas Sammendrag af kapitel

8 6.7 Opgaver Maskiner, køleanlæg, 2. Hovedsætning 7.1 Indledning Omdannelse af varme til arbejde Stirlingkredsprocessen Dampmaskinen, rankinekredsprocessen. 7.5 Benzinmotoren, ottokredsprocessen Dieselmotoren, dieselkredsprocessen Hovedsætning, Kelvin-Plancks formulering 7.8 Kølemaskiner og varmepumper, generelt Stirlingkredsprocessen, kølemaskiner Konventionelle kølemaskiner og varmepumper Hovedsætning, Clausius' formulering Sammendrag af kapitel Opgaver Reversibilitet, termodynamisk temperatur og entropi Indledning Reversibilitet og irreversibilitet Termodynamisk temperatur Carnotkredsproces Tilstandsstørrelsen entropi og Clausius' ulighed Sammendrag af kapitel Opgaver Entropi 9.1 Indledning. 9.2 Entropi Udregning af entropiændringer 9.4 TB-diagram Princippet om entropiens vækst. 9.6 Entropi og sandsynlighed. Orden og uorden 9.7 Exergi og anergi Exergiindhold af et system Hvorfor har entropi interesse? 9.10 Sammendrag af kapitel Opgaver

9 10 Kinetisk gasteori og statistisk mekanik 10.1 Indledning Kinetisk gasteori, indledning Forudsætninger for kinetisk gasteori Matematiske hjælperelationer Maxwells hastighedsfordeling Stødtal Tryk, tilstandsligning, indre energi og varmefylde Fri middelvejlængde Varmeledning i gasser Statistisk mekanik Sammendrag af kapitel Opgaver Generel Teori 11.1 Indledning Termodynamiske potentialer Tilstandsfunktion og eksakt differentialform 11.4 Maxwells relationer Indre energi og enthalpi 11.6 Entropiligninger Varmefyldeligningen Clapeyrons ligning Og hvad kan kapitel 11 så bruges til? Sammendrag af kapitel Opgaver Specielle emner 12.1 Indledning Endelig-tids termodynamik Åbne systemer, kontrolvolumen Joule-Thomson-effekten. Fremstilling af flydende nitrogen Varmepumper Opgaver Appendiks 13.1 Symbolliste 13.2 Væsentlige formler i termodynamik

10 13.3 Facitliste Tabeller Persongalleri Litteraturliste Autoriserede betegnelser Engelsk ordliste Græsk alfabet Stikordsregister

11 Eksempelfortegnelse Eksempel 3.1 Eksempel 3.2 Eksempel Eksempel Eksempel 3.5 Eksempel 3.6 Eksempel Eksempel 4.1 Eksempel 4.2 Eksempel 4.3 Eksempel 4.4 Eksempel 4.5 Eksempel 4.6,: V ægtstangsreglen" Clapeyrons ligning Kvasistatiske processer med en ideal gas Luftfugtighed Kogende vand Bestemmelse af (3 og K, for en ideal gas Tilstandsligningen for en metaltråd Arbejdet ved nogle kvasistatiske processer med en ideal gas Arbejdet ved fri ekspansion Bestemmelse af isotermt arbejde for system i gasfase og i fast fase Kredsproces Mikroskopiske betragtninger Udregning af varme: arbejde og ændring i indre energi for hver delproces af en kvasistatisk kredsproces med en ideal gas Eksempel 5.1 Varmestrøm gennem rude Eksempel 5.2 Varmestrøm gennem rude, overgangsisolans Eksempel 5.3 Varmestrøm gennem termorude Eksempel 5.4 Beregning af transmissionskoefficient for hulmur med isolation Eksempel 5.5 Newtons konvektionsligning Eksempel 5.6 Konvektion i termorude Eksempel 5. 7 Praktisk isolans af luftlag Eksempel 5.8 Plancks strålingslov og temperaturmåling Eksempel 5.9 Baggrundsstrålingen i Universet Eksempel 5.10 Varmestråling i termorude Eksempel 6.1 Eksplosion af CO2-ildslukker Eksempel 6.2 Arbejdet ved en kvasistatisk, adiabatisk proces med en ideal gas Eksempel 6.3 Clement og Desormes metode til bestemmelse af varmefyldeforholdet Eksempel 6.4 Riichhardts metode til bestemmelse af varmefyldeforholdet Eksempel 7.1 Gasturbineprocessen

12 Eksempel 8.1 Idealgastemperatur svarer til termodynamisk temperatur Eksempel 8.2 Clausius' ulighed og definition af entropi Eksempel 9.1 Entropiændring for en ideal gas Eksempel 9.2 Carnotkredsproces afbildet i et TB-diagram Eksempel 9.3 Universets entropiændring ved irreversibel varmeoverførsel Eksempel 9.4 Universets entropiændring ved Joules eksperiment Eksempel 9.5 Gibbs' teorem, Gibbs' paradoks Eksempel 9.6 Universets entropiændring ved en irreversibel, isochor proces Eksempel 9.7 Entropiændr. set fra mikroskopisk synspunkt 9-14 Eksempel 9.8 Entropiændring ved faseovergange Eksempel 9.9 Maksimal virkningsgrad for en maskine, der arbejder mellem to varmereservoirer Eksempel 9.10 Tab i exergi ved en irreversibel proces Eksempel 9.11 Nødvendigt arbejde ved en køleproces Eksempel 10.1 Mikroskopisk beskrivelse af adiabatisk proces Eksempel 10.2 Mere om adiabatiske processer Eksempel 10.3 Trykfald i beholder med lille hul Eksempel 10.4 Trykmåling med en piranisonde Eksempel 11.1 Termodynamiske størrelser udtrykt ved termodynamiske potentialer Eksempel 11.2 Beregning af ændring i indre energi for en van der Waals' gas Eksempel 11.3 Strækning af metaltråd Eksempel 11.4 Reversibel, adiabatisk proces med en van der Waals' gas Eksempel 11.5 Reversibel, isoterm proces med en van der Waals' gas Eksempel 11.6 Mollierdiagram Eksempel 11.7 Termodynamik og lys Eksempel 12.1 Virkningsgrad af kraftværk Eksempel 12.2 Problemløsning ved stationære flow Eksempel 12.3 Fodvorter og Joule-Thomson-effekten Eksempel 12.4 Hvor meget varme kan hentes op af jorden med en varmepumpe?

13 Tabelfortegnelse Tabel 1.1 Tabel 2.1 Tabel 3.1 Tabel 5.1 Tabel 5.2 Tabel 5.3 Tabel 5.4 Tabel 6.1 Tabel 7.1 Tabel 10.1 Tabel 11.1 Definitioner Temperaturfikspunkter i ITS Van der Waals' konstanter Varmeledningsevne >. for nogle materialer Størrelsesorden af varmeoverføringskoefficienten, h 5-16 Isolans for plant ikke-ventileret luftlag Absorptionsfaktorer Kritisk temperatur og tryk Data for udvalgte kølemidler Varmefylde ved konstant rumfang for gasser ved 25 C Termodynamiske potentialer Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3 Tabel 4 Tabel 5 Tabel 6 Tabel 7 Konstanter Omsætningsfaktorer Nogle gassers fysiske egenskaber Enkelte væskers fysiske egenskaber Nogle faste stoffers fysiske egenskaber Mættede dampes tryk Forskellige kølemidlers fysiske egenskaber

14 Kapitel 1 Termodynamik, grundlæggende begreber 1.1 Indledning Termodynamikken er den naturvidenskabelige disciplin, der omhandler energi og energitransformationer. Grundlaget for termodynamikken er fire hovedsætninger, 0., 1., 2. og 3. Hovedsætning. Disse hovedsætninger er postulater. Hovedsætningerne kan ikke bevises, men er fremsat som naturlove på basis af erfaringer. Man kan fremstille termodynamikken strengt matematisk, idet de fire hovedsætninger opfattes som aksiomer 1, ud fra hvilke en samlet teori udvikles, se f.eks. H.B. Callen: "Thermodynamics". I modsætning hertil, vil termodynamikken i denne bog blive fremstillet på en mere beskrivende måde og blive knyttet til kendte fænomener. Udgangspunktet vil være 1. og 2. Hovedsætning, idet 0. Hovedsætning opfattes som indlysende, og 3. Hovedsætning ikke benyttes. Termodynamik er en forholdsvis ny gren inden for fysikken. Dampmaskiner har arbejdet siden starten af 1700-tallet, men først midt i 1800-tallet blev det erkendt, at varme er en energiform, der kan omdannes til andre energiformer. Tidligere var varme blevet opfattet som et stof, caloric 2, hvis mængde var konstant. Denne varmeopfattelse, caloricteorien, blev imidlertid forkastet omkring 1842 gennem erkendelsen af, at varme er en energiform og ved postulatet om ener- 1 Græsk: axiun ~ bedømme, vurdere. Grundsætning, der ikke kan bevises. 2 Latin: calor ~ Yarrne. Indledning 1-1

15 gibevarelse, 1. Hovedsætning. Termodynamikkens 2. Hovedsætning, der vedrører begrænsninger i energiomdannelsesprocesser, var på basis af den "gamle" varmeopfattelse allerede blevet postuleret 18 år tidligere. I 1907 blev 3. Hovedsætning fremsat. Den siger, at entropien nærmer sig nul, når temperaturen går mod det absolutte nulpunkt. Endelig blev det i 1939 påvist, at det for at opnå en korrekt aksiomatisk opbygning var påkrævet at indføre endnu en hovedsætning, som blev kaldt den nulte, og som omhandler temperaturligevægte. Termodynamik behandlede oprindeligt kun processer med gasser og væsker. Imidlertid har hovedsætningernes generelle natur gjort dem anvendelige langt ud over dette område. Kemi, faststof- og materialefysik er således eksempler på områder, inden for hvilke termodynamikken anvendes med stort udbytte. Man er i dag i stand til at forklare en lang række af termodynamikkens makroskopiske begreber og lovmæssigheder ved hjælp af teorier, der involverer en statistisk behandling af de enkelte molekylers bevægelse. Disse teorier, der betegnes kinetisk gasteori og statistisk mekanik, benytter en såkaldt mikroskopisk beskrivemåde. Fremstillingen i denne bog går videre end det, der traditionelt betegnes termodynamik, idet såvel mikroskopiske teorier som varmetransport behandles. Formålet med behandlingen af mikroskopisk teori er at give en øget viden om og en bedre forståelse af makroskopiske begreber som temperatur, tryk, varme, arbejde, energi, entropi, tilstandsligninger, varmeledning, o.a. Varmetransport behandles, fordi en basal viden om dette emne er yderst ingeniørrelevant. Resten af dette kapitel indeholder definitioner og nyttige oplysninger, hvoraf flere vil være kendte fra tidligere undervisning. Kapitlet kan virke usammenhængende, idet det er en opremsning af begreber og relationer, der skal anvendes i det følgende. En del af definitionerne vil senere i bogen blive gentaget i uddybet form. 1.2 Grundlæggende begreber Ved et system forstås en endelig mængde stof afgrænset fra resten af verden. Resten af verden benævnes systemets omgivelser. I termodynamikken er univers den ambitiøse betegnelse for summen af et system og dets omgivelser. I denne bog betragtes næsten udelukkende systemer med konstant masse, f.eks. gas i en cylinder forsynet med et stempel. Ved videregående anvendelser, se kapitel 12, betragtes tillige 1-2 Termodynamik, grundlæggende begreber

16 som system et fast volumen, f.eks. en turbine eller en varmeveksler, der gennemstrømmes af stof. Et system kan beskrives ved et sæt af termodynamiske koordinater. Rumfang, tryk og temperatur er eksempler på termodynamiske koordinater. Senere i bogen skal vises, hvorledes en lang række andre størrelser også kan betragtes som termodynamiske koordinater. De termodynamiske koordinater giver en makroskopisk beskrivelse af systemet, mens et kendskab til de enkelte molekylers position, tæthed og hastighed giver en mikroskopisk beskrivelse af systemet. Ved trykket i et system forstås den kraft per arealenhed, som systemet påvirker omgivelserne med. Et hydrostatisk system er betegnelsen for et system, der på sine omgivelser overalt udøver samme tryk, og hvor trykket på et arealelement inden for systemet har samme størrelse uanset dets orientering. I et afsnit sidst i dette kapitel omtales trykenheder og Daltons lov. Et system siges at være i en ligevægtstilstand, når dets termodynamiske koordinater ikke varierer som funktion af tiden. Et system udfører en proces, når dets termodynamiske koordinater ændrer sig. Hvis koordinaternes variation er så langsom, at alle dele af systemet hele tiden er i samme tilstand, betegnes processen kvasistatisk 1. I kapitel 8 indføres begrebet reversibel proces 2. En proces er reversibel, hvis det er muligt at komme tilbage til udgangstilstanden, uden at der er sket nogen ændring i systemets omgivelser. Der vil i de fleste praktiske situationer ikke være nogen forskel på kvasistatiske og reversible processer. Et stof kan optræde i forskellige faser eller tilstandsformer, f.eks. fast, flydende eller gasformet. Bemærk, at en faseændring tillige er en tilstandsændring, mens det omvendte ikke behøver at være tilfældet. 1.3 Nyttige relationer I det følgende skal kort repeteres en række begreber og sammenhænge, der i vid udstrækning anvendes i bogen og ved problemløsning. I tabel 1.1 er nævnt en række hyppigt anvendte størrelser, der skal kommenteres. Et mol er defineret som den stofmængde af et system, 1 Latin: quasi ~ ligesom, næsten 2 Latin: reversus ~ vende om Nyttige relationer 1-3

17 Tabel 1.1. Definitioner. Symbol Betydning Størrelse eller enhed N A Avogadros konstant mol- 1 (antal molekyler per mol) M molar masse, molmasse kg mo1-1 n stofmængde mol N antal molekyler p massefylde, densitet kg m- 3 m masse af et molekyle kg M masse af systemet kg V systemets volumen m 3 R gaskonstanten 8,31 J mo1-1 K- 1 k Boltzmanns konstant 1, J K- 1 der indeholder lige så mange elementære dele, som der er atomer i 0,012 kilogram carbon-12, se "Standarder for SI-enheder, Fysiske størrelser, måleenheder og symboler", Dansk Standardiseringsråd, Der gælder følgende relationer Nm=nM=M=pV og nn A =N (1.1) hvor Avogadros konstant 1, NA, har størrelsen N A =6, mo1-1. Tilstandsligningen for ideale gasser eller idealgasligningen er hvor gaskonstanten, R, er pv=nrt R = 8,31 J mo1-1 K- 1 Idealgasligningen kan også skrives som pv = NkT hvor k =!!:_ = J K- 1 N A Størrelsen k benævnes Boltzmanns konstant. (1.2) (1.3) (1.4) 1 De nyeste og mest præcise værdier for denne og en række andre fundamentale konstanter kan findes på Termodynamik, grundlæggende begreber

18 1.4 Specifikke størrelser Termodynamiske størrelser, der som tryk, temperatur og massefylde er uafhængige af systemets masse, betegnes intensive variable. Ekstensive variable er størrelser, der som rumfang og indre energi er masseafhængige. Fordobles massen, men holdes systemets øvrige variable konstante, vil volumen og indre energi også fordobles. Enhver ekstensiv variabel vil, hvis den divideres med systemets masse, blive en intensiv variabel. Et eksempel forklarer dette. Det specifikke rumfang, Vmasse, defineres som systemets rumfang, V, divideret med dets masse, Jvf Man har, at Vmasse = M 1 1 Vmasse = lvf = - V p (1.5) hvor p er systemets massefylde eller densitet. Da p er uafhængig af systemets masse, ses, at Vmasse er en intensiv variabel. På tilsvarende måde kan defineres specifik indre energi, u, specifik entropi, s, specifik varmemængde, q, specifikt arbejde, w, osv. Bemærk, at specifikke størrelser betegnes med små bogstaver. Der optræder imidlertid en lille komplikation, idet man ofte arbejder med andre specifikke størrelser. Ovenfor er defineret massespecifikke størrelser, men molspecifikke størrelser anvendes hyppigere. Ved et molspecifikt rumfang, her midlertidigt betegnet Vmol, forstås det totale rumfang divideret med stofmængden, n, altså V Vmal = - n (1.6) Da nm = M, hvor M er stoffets molare masse (i øvrigt også en specifik størrelse), og M er systemets masse, fås V V M n - }vi p Vmol = - = M = VmasseM = - (1. 7) Hverken masse- eller molspecifikke størrelser angives normalt med et specielt indeks. Det vil, når taleksempler indsættes, fremgå, hvilken af de to specifikke størrelser, der skal benyttes. I denne bog benyttes som nævnt små bogstaver som betegnelse for specifikke størrelser. Den Specifikke størrelser 1-5

19 autoriserede betegnelse er anderledes. I "Standarder for SI-enheder" står: Ved et stofs molare volumen, V m, forstås stoffets volumen divideret med stofmængden. SI-normens V m er således identisk med denne bogs V mo l eller v. Kemikere benytter normalt symbolet V m for det molspecifikke rumfang. Tilstandsligningen for ideale gasser, p V = nrt, bliver med det molspecifikke rumfang til pv=rt (1.8) Anvendes massespecifikt volumen, er tilstandsligningen 1 pv = M RT (1.9) Når en tilstandsligning angives som pv = RT, er det underforstået, at v er det molspecifikke volumen. Varmekapacitet og varmefylde er andre eksempler på ekstensive og intensive størrelser. Ved en bestemt proces defineres et legemes varmekapacitet, C, som forholdet mellem tilført varmemængde, d' Q, og dertil svarende temperaturændring, dt, altså d'q C = dt (1.10) I kapitel 4 vil blive omtalt, at der findes to typer differentielle størrelser. Apostroffen i d'q markerer, at varmemængden er en funktion af vejen, dvs. af den proces, ved hvilken varmen er tilført. Differentielle størrelser uden apostrof repræsenterer ændringer, der kun afhænger af processens start- og sluttilstand, dvs. er uafhængige af den mellemliggende vej. Materialets varmefylde, c, er den specifikke varmekapacitet C 1 d'q = C Jv[ = M dt (1.11) I denne bog vil den af Ørsted indførte betegnelse, varmefylde, blive brugt i stedet for den standardiserede betegnelse, specifik varmekapacitet. En varmefylde er ikke en entydig størrelse, hvis ikke den aktuelle proces specificeres. Hyppigt anvendes størrelserne c v og e p, der er et materiales varmefylde ved processer, hvor rumfang, henholdsvis tryk holdes konstant. For en ideal gas udledes i kapitel 6 udtrykkene C p - c v = R og C p - Cv = nr. Som nævnt oplyses i praksis sjældent, om en specifik størrelse i en ligning er mol- eller massespecifik. Hvad der er tilfældet, finder man 1-6 Termodynamik, grundlæggende begreber

20 ud af ved at se på de optrædende størrelsers enheder. I varmefyldetilfældet er det således normalt at angive faste stoffers varmefylde som en massespecifik størrelse, mens gasser i tabeller hyppigst optræder molspecifikt. Et stofs smelte-, fordampnings- eller sublimationsvarme, (fællesbetegnelsen er stoffets latente varme), der betegnes med symbolet fl., er også en specifik størrelse. Ved stoffets latente varme forstås den varmemængde, der skal tilføres per masseenhed eller per mol, for at bevirke en faseændring henholdsvis fra fast stof til væske, fra væske til gas eller fra fast stof til gas, altså Q = fl.m. 1.5 Tryk, Daltons lov 'fryk er defineret som kraft per arealenhed. SI-enheden for tryk er N m- 2, der benævnes pascal, forkortet Pa. 'fraditionelt benyttes en række andre enheder inden for specielle anvendelsesområder. Det er derfor nødvendigt at kende en række andre hyppigt anvendte trykenheder. Se tabel 2 bagest i bogen. Er to eller flere gasser samtidig til stede i et system, bestemmes det samlede tryk ved Daltons lov. Loven kan udtrykkes således Det samlede tryk er lig summen af de tryk, partialtryk, de enkelte komponenter ville udøve, hvis de befandt sig alene i systemet. Er der n1 mol af gas 1 og n2 mol af gas 2 i et system, og kan tilstandsligningen for ideale gasser benyttes, bliver de to partialtryk p1 = n1 RT /V og p2 = n2rt /V. Det samlede tryk, p, bestemmes af ( 1.12) 1.6 Sammendrag af kapitel 1 I dette kapitel er omtalt en række begreber, der bliver benyttet senere i bogen. En specifik størrelse er blevet defineret som en ekstensiv størrelse divideret med enten systemets stofmængde eller dets masse. Tryk, Daltons lov 1-7

21 1.7 Opgaver 1-1 I 1654 viste Otto von Guericke i Magdeburg et forsøg til demonstration af lufttryk. Med en pumpe, han havde opfundet, evakuerede han to messinghalvkugler. 8 heste spændt for hver halvkugle var ikke i stand til at trække dem fra hinanden. Halvkuglernes radius var 0,3 m, og trykket i kuglen var ~0,1 atm. a) Hvilken kraft skulle hver hest yde for at skille de magdeburgske halvkugler? b) Vurder, hvilken radius halvkuglerne skulle have haft, for at hestene kunne hive dem fra hinanden. 1-2 I en hydraulisk løfteanordning er stempeldiametrene 20 cm og 4,0 cm. a) Med hvilken kraft skal det lille stempel påvirkes, for at det store kan løfte en bil med massen 900 kg? b) Hvor meget løftes bilen, når det lille stempel forskydes 10 cm? 1-3 Et U-formet rør med konstant tværsnitsareal, A = 1,0 cm 2, indeholder kviksølv. Rørets dimensioner og kviksølvsøjlens længde fremgår af figuren. Barometer- h1 = 50 cm trykket er 75 cmhg. Røret tænkes først åbent i begge ender. Dernæst lukkes det i begge ender, h 2 = 50 cm og den venstre gren udpumpes til trykket P s = 0 mmhg. Idet temperaturen holdes u ændret, ønskes højdeforskellen mellem de to kviksølvoverflader fundet. 1-8 Termodynamik, grundlæggende begreber

22 1-4 Angiv, om følgende størrelser er intensive eller ekstensive a) Det elektriske felt i et fast stof. b) Det magnetiske moment af en gas. c) Længden af en tråd. d) Overfladespændingen i en oliehinde. 1-5 Vands massefylde er 1,0 gcm- 3 Atmosfærisk lufts molare masse er kg mo1-1. Angiv for vand og luft (ved O C og 1 atm) i SI-enheder a) Massefylde. b) Massespecifikt volumen. c) Molspecifikt volumen. d) Molekyltæthed. 1-6 Ved bygning af dæmninger mellem Rømø, Mandø, Fanø og Esbjerg opstår et inddæmmet areal på ~300 km 2. Antag, at tidevandet kan bevirke en forskel i vandstanden ved flod og ebbe på ~ 1 m i det inddæmmede område. a) Hvilken energimængde kan per døgn udvindes med et tidevandkraftværk i Vadehavet? b) Kan man løse Danmarks energiproblemer ved en udnyttelse af tidevandet i Vadehavet? 1-7 Under vejrforhold kan tryk og temperatur i atmosfæren nær jordoverfladen antages at være givet ved følgende udtryk og T(h) h) 5,252 p(h) = p(o) ( 1 - -;;: = T(O) - bh hvor h er højden over jordoverfladen, mens a og b er konstanter med værdierne a =44, m og b =6, K m- 1. a) Angiv luftens massefylde, p, som funktion af højden. b) Bestem dp/dh. Opgaver 1-9

23 1-8 På en væg er fastspændt tre forskellige, lodrette cylindre, hver forsynet med et stempel. Cylinder 1 har diameteren d 1, cylinder 2 har diameteren d 2, mens cylinder 3 lige over stemplet har diameteren d 1 og højere oppe diameteren d 3. Der gælder, se figuren, at d 1 > d2 > d3. I hver cylinder hældes nu samme mængde vand. Vandets overflade står i højden henholdsvis h 1, h2 og h 3 over stemplet, hvor h1 < h 2 < h 3. Vandets masse er M, stemplets masse er m, og tyngdeaccelerationen er g. a) Angiv den kraft, F, der i hver af de tre cylinderarrangementer er nødvendig for at holde stemplet i den viste stilling. b) Hvis svaret i a) viste, at Fi # F 3, ønskes en verbal forklaring på, hvorfor der ikke kræves en kraft på ( m + M)g for at holde massen ( m + M) løftet. 1-9 Temperaturen i atmosfæren antages at være uafhængig af højden, h. Betragt en infinitesimal "atmosfæreskive" med tykkelse dh. Trykket på skivens overside er p + dp og på dens underside p. Luftens massefylde er p, tyngdens acceleration erg, og luften antages at være en ideal gas. a) Vis, at dp/dh = -pg. b) Udled heraf barometerformlen, p = f (p 0, g, M, R, T, h), hvor p 0 er trykket i højden nul, og M er luftens molare masse Termodynamik, grundlæggende begreber

24 1-10 En haveslange er rullet omkring et kosteskaft, som vist på figuren. a) Forklar, hvorfor en forsigtig påfyldning af vand i tragten kun medfører, at vandet passerer ud gennem slangens anden ende, hvis tragten er hævet ret højt over kosteskaftet. b) Hvor ledes kan de overvejelser, der er nødvendige ved løsning af a) bruges til noget praktisk? Eller an der ledes formuleret: Angiv virkemåden af en simpel pumpe til overrislingsanlæg i ulande (Kilde: Trine Dahl- Jensen, Gamma, nr. 54, 1983) Bestem massen af det vand, der findes i luften i det lokale, du i øjeblikket befinder dig i. Godt råd: Benyt begreber som luftfugtighed, mættede dampes tryk og Daltons lov Denne opgave har som formål, at øve læseren i at benytte bogen som opslagsværk. a) Angiv størrelsen af benzins brændværdi. b) I denne bog er nævnt navne på 67 personer, der på forskellig måde har deltaget i udviklingen af termodynamikken. Hvilket sprog har majoriteten af disse personer talt? c) Angiv nitrogens kritiske tryk. d) Hvorledes defineres specifik enthalpi? e) Ved hvilken temperatur størkner kviksølv? f) Hvad hedder kølemiddel på engelsk? g) Hvad er facit i opgave 9-1? Opgaver 1-11

25 1-13 I det følgende er citeret uddrag af et læserbrev i INGENIØREN 18/ "Strømmen i Lillebælt anvendt til vandkraft? Gennem Lillebælt strømmer hver dag meget store vandmængder med meget stor hastighed. Strømmen vender ofte, afhængig af flod og ebbe og af vindforholdene. Endelig er bæltet meget dybt.... Min tanke er, at man skal fremstille nogle store mobile turbinegeneratorenheder med en tragt i hver ende.... Enhederne anbringes på de strategisk optimale pladser, hvor strømmen er stor, og hvor de ikke kan genere f.eks. skibsfart... Jeg håber, at man vil foretage konkrete beregninger og overvejelser over de muligheder, der foreligger for udnyttelse af en forureningsfri energikilde - ikke mindst nu, hvor drivhuseffekten truer os alle." a) Foretag en overslagsberegning og bestem størrelsesordenen af den effekt, som det foreslåede vandkraftværk i Lillebælt kan yde. b) Kan man løse Danmarks energiproblemer ved en udnyttelse af strømmen i Lillebælt? 1-14 Der ligger en 25-øre på jorden. Man får ikke meget for 25 øre i dag. Måske kan det slet ikke betale sig, at samle den op? Overvej, hvor meget energi du skal bruge for at samle mønten op. Kan du mon for 25 øre købe føde med et energiindhold, så det kan betale sig at samle mønten op? 1-15 Når du drikker koldt vand, vil det hurtigt blive varmet op til kroppens temperatur. Det koster energi, som må komme fra forbrændingen af føden. Hvor meget koldt vand skal du drikke, for at det netop svarer til energien i et bolsje med massen 5 g? 1-16 En isklump med massen 50 g puttes ned i et glas, der indeholder 0,150 kg vand ved temperaturen 60 C. Glassets masse er negligibel. Bestem temperaturen af vandet i glasset, når temperaturen er faldet til ro Til tiden t = 0 har et legeme temperaturen T1. Det placeres nu på et sted, hvor temperaturen, T 0, er lavere. Legemets tern Termodynamik, grundlæggende begreber

26 peratur, T(t), som funktion af tiden, t, bestemmes af differentialligningen dt - = -A(T-T) 0 dt a) Beskriv med ord, hvad differentialligningen siger. b) Vis, at udtrykket T(t) = T 0 + C exp(-at) er en løsning til differentialligningen. c) Bestem konstanten C Et stykke jern falder 2,0 m ned, hvor det rammer et fast underlag. a) Bestem en omtrentlig værdi af stykkets temperaturstigning. b) En meteor af jern rammer Jorden efter en lang tur ude i rummet. Bestem (om muligt) meteorens temperaturstigning Figuren viser et system bestående af to glasrør forbundet med en gummislange med kviksølv. I det lukkede rør til venstre står kviksølvoverfladen højere, og den afgrænser en indespærret mængde luft. Røret til højre er åbent foroven. Omgivelsernes tryk, Po, er 102,5 kpa. Højdeforskellen, h, mellem de to kviksølvoverflader er 11,3 cm. Glasrørene har en indvendig radius, r, på 2,5 mm. Den indespærrede luft, der kan betragtes som ideal, har til at begynde med et rumfang, V, på 10,5 ml. Der hældes nu kviksølv i det åbne rør, indtil trykket i den indespærrede luftmængde bliver det samme som omgivelsernes tryk. Bestem massen af den mængde kviksølv, der hældes i det åbne rør En termodynamikstuderende, der aktivt følger en forelæsning i aud. 33 på DTU, har en effektafgivelse på 150 W. Antag, at der er 65 deltagere ved forelæsningen, og (fejlagtigt) at den afgivne effekt udelukkende går til opvarmning af luften i auditoriet, der (helt fejlagtigt) antages at være lufttæt. Ventilationssystemet Opgaver 1-13

27 er lukket. Der er (ligeledes fejlagtigt) intet varmetab til Matematiktorvet og resten af bygn Bestem temperaturstigningen af luften i aud. 33 under en 35 minutters forelæsning. (Svar inden for 10 % af det korrekte, vil blive accepterede). Kommenter resultatet En termodynamikstuderende, der aktivt følger en forelæsning i aud. 34 på DTU kan ikke undgå at svede. Ved denne fordampning skal benyttes energi. En normal person afgiver gennem huden under normale omstændigheder ca. 1,5 1 vand om dagen. Antag, at der er 65 deltagere ved forelæsningen. Antag (fejlagtigt): at auditoriet er lufttæt, og at ventilationssystemet er lukket. a) Bestem den effekt en termodynamikstuderende må benytte til fordampningen af sveden. b) Vil de 65 studerende kunne mætte auditoriet med vanddamp i løbet af en normal forelæsning? Kommenter resultatet I et køleskab fremstilles isterninger med temperaturen -12 C. Startmaterialet er vand ved 15 C. Bestem den energi, der skal fjernes fra 500 g vand for at producere en portion isterninger Termodynamik, grundlæggende begreber

28 Kapitel 2 Temperatur 2.1 Indledning I dette kapitel skal begrebet temperatur behandles. Trods det, at alle har en umiddelbar fornemmelse af, hvad der forstås ved et legemes temperatur, er begrebet ikke simpelt at forklare nøjagtigt. Som måleenhederne for længde, tid og masse er også temperaturenheden en grundenhed. En forklaring af temperaturbegrebet ud fra andre grundlæggende størrelser er derfor ikke mulig. Når yderligere tages i betragtning, at definitionen af temperaturenheden, kelvin, kræver kendskab til emner som tilstandsflader, varme, energi og carnotkredsprocesser, er det naturligt, at den følgende fremstilling undlader at benytte den deduktive metode, men i stedet gennem en empirisk beskrivelse søger at klargøre temperaturbegrebet. Efter en diskussion af begrebet termisk ligevægt og termodynamikkens 0. Hovedsætning omtales kort temperaturmålingens historiske udvikling. Med udgangspunkt i et konstant volumen gastermometer omtales den i dag benyttede temperaturdefinition samt "Den Internationale Temperaturskala, 1990." 2.2 Termisk ligevægt. 0. Hovedsætning Et grundlæggende begreb, der skal kendes, inden et temperaturbegreb kan indføres, er termisk ligevægt. En række fysiske størrelser (massefylde, specifik elektrisk resistans, Indledning 2-1

29 varmefylde, viskositetskoefficient, varmeledningsevne o.a.) er temperaturafhængige. Er to legemer i kontakt med hinanden, vil der, mens der udveksles energi mellem legemerne, kunne måles, at disse temperaturafhængige størrelser ændrer værdi. Det er en erfaring, at denne variation ophører efter en kortere eller længere tids kontakt. Man siger, at legemerne er kommet i termisk ligevægt med hinanden, eller at de har samme temperatur. Man kan på tilsvarende måde tale om mekanisk og kemisk ligevægt. En spændt fjeder, der overlades til sig selv, vil efter nogen tid finde en ligevægtstilstand. Et lukket system, hvori der foregår kemiske reaktioner, vil efter nogen tid finde en ligevægtstilstand. Et system, der er i termisk, mekanisk og kemisk ligevægt, siges at være i termodynamisk ligevægt. På samme måde som i matematikken kan en fysisk disciplin opbygges på basis af nogle få grundsætninger, såkaldte aksiomer. Mens den klassiske mekanik bygger på Newtons tre love, er termodynamikken hovedsagelig baseret på to såkaldte hovedsætninger. Disse hovedsætninger blev postulerede af Carnot, Joule, Mayer og (måske) Colding i første halvdel af 1800-tallet. I 1907 formulerede Nernst 3. Hovedsætning og så sent som i 1939 viste Guggenheim og Fowler, at det for at opnå en korrekt aksiomatisk opbygning af termodynamikken var påkrævet at indføre endnu en hovedsætning. Denne hovedsætning, der benævnes den nulte, kan formuleres på følgende måde 0. Hovedsætning Hvis et legeme, A, er i termisk ligevægt med et legeme, B, og hvis et legeme, C, er i termisk ligevægt med legeme B, da vil A være i termisk ligevægt med C. Denne hovedsætning, der vel føles ganske indlysende, postulerer eksistensen af en temperatur og giver samtidig en metode til temperaturmåling. Sætningen postulerer, at man med et legeme (B) kan konstatere en termisk ligevægt mellem to andre legemer ( A og C) uden at disse to legemer bringes i kontakt med hinanden. 2.3 Lidt historie Selv om mennesker altid har kendt og udnyttet temperaturforskelle, er det først ret sent, at forsøg på temperaturmåling er begyndt. De tid- 2-2 Temperatur

30 ligste "temperaturmålinger" har baseret sig på en umiddelbar følelse af, om noget er "varmere" eller "koldere" end noget andet. Følesansen kan imidlertid narre. Berør f.eks. med hånden et stykke metal og et stykke træ. Selv om de to materialer hver er i termisk ligevægt med luften i det rum, hvor de befinder sig, vil metallet føles koldere end træet. Denne følelse skyldes, at metallet er en god varmeleder, der fjerner varme fra den berørende hånd, mens træ som en dårligere varmeleder ikke i mærkbar grad giver nogen varmeudveksling med hånden. Spørgsmål: Hvad føles varmest ved håndspålæggelse: Træ eller metal ved 50 C? (Prøv i en sauna.) 1 D 0 a b Fig a) Galileis termoskop benyttet af Sanctorius. b) Sanctorius' febertermometer. De tidligste apparater til temperaturmåling blev udviklet i begynde!- 1 Bogen indeholder spredt i teksten en række spørgsmål af meget varierende sværhedsgrad. En del af spørgsmålene (som dette) skal inspirere læseren til selvtænkning, mens andre kan virke som oplæg til lærerens gennemgang. Lidt historie 2-3