12 Bevisets stilling. Kapitel 12 Bevisets stilling 477

Transkript

1 12 Bevisets stilling Det er en fundamental del af beskæftigelsen med matematik at ræsonnere om og bevise forhold, der handler om tal, symboler og geometri. Den vægt, der har været lagt på beviser og ræsonnementer i skolematematikken, har imidlertid varieret ganske betydeligt over tid. I nogle perioder har der været lagt stor vægt på ræsonnementer og beviser. Det har da oftest været traditionen, at eleverne skulle tilegne sig beviser, der var udviklet på forhånd. Det har været situationen i forbindelse med den euklidiske geometri, hvor fx sætninger om vinkler og skæringspunkter i cirkler og trekanter har været en central del af indholdet. Traditionen blev også opretholdt i forbindelse med forsøg på at introducere beviser, fx i algebra, i 1960 ernes Nye matematik 1. I andre perioder er det pædagogiske pendul svinget væk fra beviser. Det har det gjort med argumenter om, at beviser ikke hjælper eleverne til at håndtere de grundlæggende færdigheder i og forståelser af fx talbehandling og geometriske beregninger, som matematikundervisningen også skal bidrage til. Desuden er argumentet mod at gøre beviser og ræsonnementer centrale i matematikundervisningen understøttet af billedet af usikre elever, der forsøger at memorere og reproducere trin for trin eller linje for linje af færdigudviklede beviser, uden at det har hjulpet dem til bedre at forstå indholdet i den pågældende sætning, eller hvad et bevis egentlig gør godt for. I de seneste årtier har der været ført en del diskussioner af, hvordan beviser og ræsonnementer kan få en central plads i undervisningen, uden at man havner i nogle af de problemer, de tidligere forsøg har givet anledning til. 1 For en udvidet diskussion af beviser og ræsonnementer i undervisningen, se δ-bogens afsnit om matematikundervisningens historie. Kapitel 12 Bevisets stilling 477

2 Baggrunden herfor er, at det næppe giver mening at kalde skolefaget matematik, hvis ikke ræsonnementer og beviser spiller en rolle i det dertil er ræsonnementerne og beviserne for vigtige i matematikken selv. Som følge heraf er der internationalt blevet lagt større vægt på beviser og ræsonnementer i de senere år, i hvert fald større vægt, end der har været siden først i 1970 erne. Det ses fx af, at der i NCTM s Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000) kaldet Standards 2000 er en gennemgående standard for alle klassetrin om ræsonnementer og beviser. I en indledende beskrivelse af ræsonnementer og beviser hedder det: Mathematical reasoning and proof offer powerful ways of developing and expressing insights about a wide range of phenomena. People who reason [ ] tend to note patterns, structure, or regularities in both real world situations and symbolic objects; they ask if those patterns are accidental or if they occur for a reason; and they conjecture and prove. Ultimately, a mathematical proof is a formal way of expressing particular kinds of reasoning and justification. (NCTM 2000, s. 56). I denne forståelse drejer matematiske ræsonnementer og beviser sig altså grundlæggende om to forhold: For det første består de af en udviklingsdel, idet der skal udvikles forståelser af og forklaringer på sammenhænge af forskellig slags. For det andet indebærer de en kommunikationsdel, idet sådanne forståelser skal kommunikeres til andre. Mens ræsonnement her er et bredere begreb, der omfatter eller i hvert fald har en glidende overgang til det at bevise, så er selve beviset en særlig formulering af et ræsonnement og et resultat. Det ses også af danske formuleringer, at ræsonnementer og beviser bør stå stærkt i matematikundervisningen på alle niveauer. Således er ræsonnementskompetence en af de otte matematiske kompetencer i den danske rapport om kompetencer og matematiklæring (Niss & Jensen (red.) 2002), normalt omtalt som KOM-rapporten. I KOM-rapporten drejer ræsonnementskompetence sig om: at kunne følge og bedømme et matematisk ræsonnement, dvs. en kæde af argumenter fremsat af andre på skrift eller i tale til støtte for en påstand, specielt at vide og forstå, hvad et matematisk bevis er, og hvordan det 478 del v matematisk argumentation

3 adskiller sig fra andre former for matematiske ræsonnementer [ ] På den anden side består kompetencen i at kunne udtænke og gennemføre informelle og formelle ræsonnementer [ ], herunder omforme informelle heuristiske ræsonnementer til egentlige (gyldige) beviser (s. 54; kursiv i originalen). I denne forståelse indeholder ræsonnementer både en fortolkende del ( følge og bedømme ) og en producerende del ( udtænke og gennemføre ). Samtidig påpeges det, at der kan arbejdes med formelle beviser med udgangspunkt i mere uformelle ræsonnementer, og at kompetencen indebærer, at man har en fornemmelse af, hvad et matematisk bevis er. Der synes at være en høj grad af overensstemmelse mellem formuleringerne i Standards 2000 og i KOM-rapporten. Udviklings- og kommunikationsaspekterne fra Standards 2000 genfindes i KOM-rapporten, og i begge omtales beviser som en særlig kommunikationsform, der kan forfine og præcisere mere uformelle måder at ræsonnere på. I det omfang, der er en egentlig forskel i de to formuleringer, kan den siges at handle om rækkefølgen og muligvis også vægten af hhv. de producerende og fortolkende aspekter af ræsonnementer og beviser. Mens Standards 2000 i formuleringen ovenfor især hæfter sig ved den producerende del og derfor ved, at eleverne formulerer egne ræsonnementer, så kan rækkefølgen i KOM-rapporten læses, som om eleverne primært skal følge andres ræsonnementer fx lærerens eller lærebogens før de selv for alvor engageres i at udvikle dem. Det er ikke indlysende, om den påpegede forskel i vægtning i Standards 2000 og KOM-rapporten afspejler en reel uenighed, eller om der blot er tale om forskellige formuleringer af den samme prioritering, og under alle omstændigheder er de som nævnt enige om, at både det at udvikle og kommunikere ræsonnementer skal have en plads i undervisningen. Det, vi ovenfor kaldte udviklingsdelen af et ræsonnement, drejer sig om mere eller mindre systematisk at lede efter mønstre, systemer eller modeksempler, der kan få en til at få gode idéer. Det indeholder således i høj grad et undersøgelseselement. Som nævnt har kommunikationsdelen af beviser og ræsonnementer både en fortolkende og en producerende side. Der er altså både et element af at kunne sætte sig ind i andres ræsonnementer og af at kunne formulere sine Kapitel 12 Bevisets stilling 479

4 egne, så andre har mulighed for at forstå dem. I begge tilfælde kan kommunikationen have forskellige kvaliteter. For eksempel kan man forsøge blot at demonstrere, at noget er sandt under de givne betingelser. Men en matematisk kommunikation kan også i større eller mindre grad forklare, hvorfor det er sandt under disse betingelser. Mens det første udelukkende kan være et spørgsmål om at sikre, at der er en følge af logiske skridt, der gør resultatet rigtigt under de givne forudsætninger, så er det sidste også et spørgsmål om, hvorvidt disse skridt samtidig har en forklaringsværdi, hvilket kan give kommunikationsdelen af et bevis eller et ræsonnement en anden karakter (jf. det indledende eksempel nedenfor). Det er vores udgangspunkt, at eleverne skal være såvel producerende som fortolkende i forhold til ræsonnementer fra begyndelsen af skoleforløbet. Vi skal i det følgende introducere en tænkning om beviser og ræsonnementer i skolematematikken, der er blevet central i de sidste årtier. Intentionen bag denne tænkning er at integrere arbejdet med ræsonnementer og beviser i det øvrige arbejde med færdigheder, begrebsforståelse m.m. Beviser og ræsonnementer er i denne forståelse ikke primært et emne, der skal have sin egen behandling i et afsluttet undervisningsforløb. Det er heller ikke et område, der udelukkende skal være knyttet til et enkelt indholdsområde, fx geometri. Derimod er det en tilgang til matematik, der skal være et gennemgående træk i alle dele af undervisningen, både hvad angår de undersøgende og de kommunikerende dele af ræsonnementer og beviser. Idéen i dette kapitel er, at læseren får mulighed for at: Udvikle en forståelse af, hvad matematiske ræsonnementer og beviser er, herunder hvad sammenhængen mellem dem kan være, og hvad der kan forstås ved ræsonnementskompetence. Arbejde med eksempler på matematiske ræsonnementer og beviser for at udvikle en tilgang til begge dele som faglige processer. Diskutere, hvordan elever kan engageres i at ræsonnere og bevise i skolen, herunder udvikle en forståelse af, hvordan man som lærer kan understøtte et sådant engagement. 480 del v matematisk argumentation

5 Tankegangen føres videre i de næste to kapitler, hvor læseren bl.a. får mulighed for at: Sætte sig ind i logiske slutningsregler og kende til nogle meget brugte bevistyper. Udvikle en opfattelse af, hvad aksiomer er. Et indledende eksempel Som udgangspunkt for arbejdet med ræsonnementer og beviser skal vi se på et eksempel. Den opgave, der er eksemplets kerne, er inspireret af en opgave for skolens mellemtrin fra Freudenthal Instituttet i Holland (de Moor 1991, s. 128). Opgave 1 Tegningen herunder viser et rektangel, der er delt ved hjælp af to linjer, der er parallelle med rektanglets sider. Der opstår så to mindre rektangler, A og B, inden for det store. A og B har hver et hjørne fælles med det store rektangel, og de har netop ét punkt til fælles. 1) Er A og B lige store i figuren nedenfor? 2) I den generelle situation, når A og B opstår som beskrevet, er de så altid, somme tider eller aldrig lige store? 3) Skriv ned, hvordan du/i kom frem til svaret på (2), inklusive alle blindgyderne. 4) Skriv et bevis, der kan overbevise andre om dit svar. Kapitel 12 Bevisets stilling 481

6 A B Figur 1. 5) Sammenlign dit svar på (3) med dit bevis i (4). Karakteriser dit arbejde med hvert af de to spørgsmål med særlig vægt på, hvordan det undersøgende og det kommunikerende arbejde adskiller sig fra hinanden. Opgave 2 Herunder er der beviser for to sætninger om rektangler, der er tegnet som beskrevet ovenfor. Det ene bevis er algebraisk, det andet geometrisk. Læs grundigt på sætning 1 og sætning 2 og de tilhørende beviser. 1) Er de to sætninger om rektanglerne ensbetydende, dvs. siger de i realiteten det samme? 2) Vurder de to beviser ud fra deres potentialer til at dokumentere, at den pågældende sætning er sand, og til at kommunikere hvorfor den er det. Overvej i den forbindelse, om og i hvilken udstrækning de to beviser kan læses som blot en følge af logiske skridt, eller om de også kan ses som en præsentation af en følge af idéer og forståelser, der er relateret til det oprindelige spørgsmål om størrelsen af A og B. 482 del v matematisk argumentation

7 p A s 1 B q s 2 Figur 2. Sætning 1 I den ovenfor beskrevne situation er med betegnelserne på figuren herover A og B lige store, hvis og kun hvis p forholder sig til q som s til s. 1 2 Bevis Stadig med betegnelserne fra figuren får vi for s 1, s 2, p, q > 0, at A og B er lige store, hvis og kun hvis: p (s 2 q) = q (s 1 p) p s 2 p q = q s 1 q p p s 2 = q s 1 ensbetydende med ensbetydende med ensbetydende med p s = 1 q s2. Betingelsen bliver altså, at p forholder sig til q som s1 til s 2. Tænker man på p og q som variable, kan kravet udtrykkes som: p er ligefremt proportional med q og proportionalitetsfaktoren er s1 s. 2 Kapitel 12 Bevisets stilling 483

8 Sætning 2 De to rektangler er lige store, hvis og kun hvis deres fælles punkt ligger på diagonalen i det store rektangel. Bevis T U A P Q V B S R Figur 3. Med anvendelse af betegnelserne på figuren får vi: Hvis fællespunktet for A og B ligger på diagonalen, er A og B lige store: Arealet af A er i dette tilfælde lig med den halvdel af det store rektangel, der ligger over diagonalen, SU, fratrukket arealerne af PQS og TUQ. Tilsvarende er arealet af B lig med den halvdel af det store rektangel, der ligger under diagonalen, SU, fratrukket arealerne af RSQ og VQU. Da PQS og RSQ er kongruente, og TUQ og VQU er kongruente, er A og B lige store. Hvis fællespunktet for A og B ikke ligger på diagonalen i den store trekant, er A og B ikke lige store. Den situation kan vi sammenligne med den, hvor fællespunktet flyttes vandret, til det ligger på diagonalen (se figur 4). Med betegnelserne fra figuren bliver arealet af A udvidet med arealet af A 1, og arealet af B bliver reduceret med arealet af B 1. Fra beviset for den første del af sætningen ved vi nu, at summen af arealerne af A og A 1 er det samme som differensen mellem arealerne af B og 484 del v matematisk argumentation

9 B 1. Ved at flytte fællespunktet bliver arealet af det ene rektangel altså større og arealet af det andet mindre, og de ender med at være lige store. Altså er A og B ikke lige store til at begynde med. A A A1 B B1 B Figur 4. Eksemplet og opgaven ovenfor har skullet illustrere den pointe, at der er to sider af at ræsonnere matematisk. Dels er der en undersøgende og kommunikerende side, dels er der en særlig fremstillingsform, der ofte benyttes i forbindelse med præsentationen af et matematisk resultat: formuleringen af en sætning med et efterfølgende bevis for, at den er rigtig. Det fremgår også af eksemplet, at der er tydelige forskelle på de to sider af et matematisk ræsonnement. Mens det indledende arbejde med at udvikle resultatet og begrundelserne for det har undersøgende karakter og kan indeholde et stort element af kommunikation, der giver forklaringer på, hvorfor sætningen holder, så forskydes interessen i beviset mod i højere grad at dokumentere, at den holder. Selv om der således er forskelle mellem det at fremstille selve beviset og andre dele af ræsonnementet, så betyder det hverken, at de er uden indbyrdes berøringspunkter, eller at de skal behandles som indbyrdes isolerede aktiviteter. Vi skal i det følgende forsøge at beskrive, hvordan bevisførelse adskiller sig fra og ligner andre dele af matematiske ræsonnementer, og hvordan disse dele kan ses som aspekter af en samlet proces. Det betyder, at vi skal forsøge at balancere beskrivelsen af de måder, hvorpå delene er forskellige med beskrivelser af deres ligheder. Der er i denne dobbelthed i fremstillingen en samlet pædagogisk pointe, som vi skal vende tilbage til nogle gange: Det er i højere grad, end det har været traditionen i skolematematik, muligt at basere elevers forståelse af beviser og bevisers rolle på Kapitel 12 Bevisets stilling 485

10 deres mere uformelle ræsonnementer. Det kan gøres ved at præcisere og videreudvikle de måder, hvorpå elever kan forklare og begrunde deres resultater og måder at arbejde på. Det er også en del heraf, at vægten i arbejdet med ræsonnementer skal rykkes fra blot at dokumentere, at en sætning er sand vha. et på forhånd udviklet bevis til at undersøge en sammenhæng og kommunikere resultatet, herunder hvorfor det holder. Ræsonnementer som norm for deltagelse i matematik at undersøge og kommunikere Arbejdet med beviser har ofte i praksis været et særdeles individuelt forehavende. Med terminologien fra δ-bogens kapitel om læring har det i højere grad været præget af tilegnelse end af deltagelse. Med andre ord har det traditionelt været den enkelte elevs eller studerendes opgave både at sætte sig ind i konkrete beviser og at lære, hvad det at bevise overhovedet gør godt for. Det individuelle fokus er i de senere år blevet udfordret. Der er således stadig større opmærksomhed på, hvordan fælles klasserumspraksisser kan understøtte eller modvirke at eleverne udvikler forståelser af den rolle, ræsonnementer og beviser spiller i matematik. Det er i en sådan undervisning centralt, at eleverne engageres i at forklare og begrunde eller retfærdiggøre deres observationer og resultater. De skal således gøre rede for forklare dele af deres egen eller andres aktivitet, som ikke er indlysende for andre, eller som de ikke forventer er det. Altså skal de forklare, hvad der er gjort. Men når forklaringen ikke bare bliver en forklaring på, hvad man gør, men på hvorfor det, man gør, er legitimt, så er det en begrundelse. En forklaring på den første del af det geometriske bevis ovenfor kunne fx være: Jeg delte det store rektangel ved at tegne diagonalen. Så kunne jeg se, at de hvide trekanter var parvis lige store, så måtte de små rektangler også være det. En begrundelse for, at et sådant argument holder, kunne fx kræve, at man gør rede for, hvorfor de hvide trekanter er parvis kongruente. Det er intentionen med en sådan undervisning, at de forståelser af beviser og ræsonnementer, som eleverne udvikler, kan blive antaget-fælles. Det betyder, at selv om vi principielt ikke ved, i hvilken udstrækning der 486 del v matematisk argumentation

11 er overensstemmelse mellem elevernes forståelser og lærerens, så er der en sådan grad af overensstemmelse, at kommunikationen fungerer gnidningsløst for alle praktiske formål. Der skal altså udvikles en generel accept af, at det at forklare og begrunde egne og andres ræsonnementer er en vigtig matematisk aktivitet, og en antaget-fælles forståelse af, hvori sådanne forklaringer og begrundelser kan bestå. Den rolle, som forklaringer og begrundelser kan spille i matematiktimerne, har været et omdrejningspunkt for det arbejde Paul Cobb og hans kolleger har udført i USA (fx Cobb 2000; Yackel & Cobb 1996). Det er en afgørende pointe hos Cobb og hans kolleger, at man som matematiklærer ikke bare er forpligtet på at understøtte elevernes arbejde med det faglige indhold (fx arealer, brøker eller funktioner), men også på at etablere faglige normer for, hvad der er lødig matematisk aktivitet, herunder normer for hvad der er et godt ræsonnement. Der udvikles, siger Cobb og hans kolleger, i alle klasser normer for, hvad der er gensidige forventninger mellem elever og lærer, og mellem eleverne indbyrdes. Det kan fx være, at der udvikles en norm for, at der ikke bare skal gives et svar, men at et svar skal begrundes. Det er en meget generel social norm, der kan have en berettigelse i alle fag. Men der er nogle særlige karakteristika ved de forklaringer og begrundelser, der betragtes som værende af kvalitet i matematik. Der er altså normer for det, der i særlig grad drejer sig om det specifikt matematiske, det som Cobb m.fl. kalder socio-matematiske normer. Socio-matematiske normer er normer for det specielt matematiske ved de måder, man er sammen på i timerne. De udvikles i et samspil mellem elever og lærer, og de kan i forbindelse med beviser og ræsonnementer fx dreje sig om, hvad der er et godt matematisk argument eller en god eller acceptabel matematisk begrundelse. Yackel & Cobb (1996) beskriver et eksempel fra en 2. klasse, hvor der er udviklet socio-matematiske normer, der blandt andet indebærer, at man skal begrunde og retfærdiggøre sine resultater. Fx har eleverne arbejdet med opgaven En elev giver det rigtige svar og argumenterer, at svaret er 25, fordi 1 plus 1 er 2, og 2 plus 3 er 5. Det er altså en forklaring, der er ganske procedureorienteret i den forstand, at den beskriver en fremgangsmåde til at finde det rigtige resultat: Brug cifrene på den måde. Til gengæld relaterer forklaringen ikke til cifrenes betydning, og den forklarer således ikke, hvorfor det er acceptabelt at gøre, som eleven foreslår. Med sprogbrugen Kapitel 12 Bevisets stilling 487

12 ovenfor kan man sige, at der nok er tale om en forklaring, men ikke om en begrundelse. Den forklaring, som eleven har givet, udfordres af nogle af de andre elever, der argumenterer, at der ikke står og 2 + 3, men og 2 + 3: That s 20 That s 10 right here. This [is] 10 and 10. That s 20. And this is five more and it s 25. Denne forklaring indeholder et element af begrundelse, idet den gøre rede for, hvorfor det giver mening at lægge de to 1 taller sammen: De er begge tiere, og hvis man har én tier og én tier mere, så har man to tiere eller 20. Eleverne bygger her på en antaget-fælles forståelse, at man må omgruppere tallene. Formelt (og naturligvis meget mere formelt end eleverne ville sige det) kan man sige, at deres argument er: = = = = 25. Havde dette ikke været en antaget-fælles forståelse, så kunne læreren også have stillet spørgsmålet: Hvorfor må man gøre sådan? Det centrale ved eksemplet fra Yackel & Cobb er i vores aktuelle sammenhæng, at eleverne bygger på og konsoliderer deres forståelse af positionssystemet og samtidig benytter en uformel version af, at man må omgruppere, når man adderer, og af at addendernes orden er ligegyldig. Med andre ord giver de begrundelser med henvisning til meningsindholdet i cifrene. Læreren vælger at prioritere denne begrundelse og påpeger i hvert fald indirekte, at den første og mere proceduremæssige forklaring ikke er tilstrækkelig matematisk set. Læreren gør således den sidste forklaring til det, Cobb har kaldt en privilegeret argumentationsform i den forstand, at hun forsøger at samle opmærksomheden omkring den og udvikle den som en antagetfælles strategi for eleverne. Ved at privilegere den sidste begrundelse opnår læreren i dette tilfælde implicit at argumentere for, at der er nogle typer af matematiske begrundelser, der er bedre end andre, og hun bidrager til at udvikle elevernes fornemmelse af, hvad der er en acceptabel forklaring. Lampert har også arbejdet med og forsøgt at udvikle elevers måder at ræsonnere på i matematikundervisningen. I hendes tilfælde er der tale om en 5. klasse, som hun lige har overtaget (Lampert 2001). Hun beskriver, hvordan ræsonnementer kan blive en central del af den klasserumskultur, der udvikles, og hvordan hun dermed kan kombinere det at undervise i betydningsfuldt matematisk indhold med at engagere eleverne i noget, der med rimelighed kan kaldes matematisk praksis. Lampert beskriver selv sin intention som at udvikle en modkultur til en overvejende procedureorienteret tilgang til matematik, hvor kun de elever, der betragtes som 488 del v matematisk argumentation

13 dygtige, kommer til at udfordre andres tænkning, og hvor de primært eller udelukkende gør det i kraft af deres resultater, dvs. uden væsentlig vægt på ræsonnementer (ibid., s. 65). For at forskyde elevernes aktivitet i retning af at ræsonnere, introducerer Lampert tre typer af matematiske aktiviteter, som eleverne nok ikke havde været engageret i før, men som nu skal være centrale i deres matematiktimer: At producere formodninger eller kvalificerede gæt om en problemsituation og dens løsning, formodninger som siden kan gøres til genstand for yderligere undersøgelse og argumentation. At finde og give udtryk for betingelser eller antagelser, som må tages i betragtning, når man skal undersøge, om en løsningsstrategi er farbar og velegnet, eller om en formodning holder. At revidere formodninger, egne såvel som andres, på baggrund af ny viden eller nye oplysninger, der fx kan komme ud af at undersøge problemsituationen yderligere. I et af sine eksempler beskriver Lampert, hvordan der arbejdes med disse tre aktiviteter i hendes klasse i et forløb, der strækker sig over det meste af en uge. Hun starter den første time med at skrive to additionsstykker op på tavlen med en forklaring om, at eleverne ikke skal lægge tallene sammen. Derimod skal de lave additioner, der giver resultater mellem resultaterne af de to stykker, hun har skrevet, men de skal gøre det uden at finde svarene på de to stykker. I første omgang er de to stykker og Find additions with answers between the answers to: and Figur 5. Kapitel 12 Bevisets stilling 489

14 Figur 6. Eleverne er tydeligt i vildrede med, hvad de skal gøre, og Lampert laver på stedet opgaven om ved at slette de to stykker og erstatte dem med og Hun forklarer, at de to opgaver, der nu står på tavlen er så simple, at dem kan eleverne sikkert hurtigt give svarene på. Men hun er, siger hun, ikke interesseret i svarene, men i formodninger om eller gode gæt på, hvilke andre additionsstykker, der giver svar imellem de to på tavlen. En del elever rækker fingeren i vejret, og Lampert skriver deres forslag op på tavlen mellem de to stykker (se figuren). Idéen med at symbolisere elevernes forslag på tavlen er, at forslagene dermed kan blive gjort til genstand for en fælles diskussion om, hvorfor de virker. De første elever, der markerer, refererer et enkelt eksempel hver og siger fx: Ni og fire er tretten og tretten er mellem resultaterne af de to problemer. Men det er det generelle ræsonnement, Lampert er interesseret i, og da Eddie, en elev i klassen, får formuleret, at tallene skal være større end 3 og 4, men mindre end 7 og 9, siger hun: OK, så Eddie prøver at sige noget generelt om det, der altid virker. Eddie har altså her formuleret en formodning, der nu kan gøres til genstand for yderligere undersøgelser i klassen: gælder det, Eddie siger, for alle tal, hvor addenderne er større end 3 og 4, men mindre end 7 og 9? Og har han dermed fundet alle de mulige løsninger? Både hos Cobb og hans kolleger og hos Lampert er det afgørende for at introducere ræsonnementer, at diskussionen i klassen skifter niveau. I begge tilfælde begynder eleverne med at finde mulige svar på en relativt konkret opgave, men ræsonnementerne kommer ind, når diskussionen skifter fra svarene selv (hhv. 25 og fx ) til at diskutere begrundelser for svarene eller for de måder, de er fremkommet på. Lærerens rolle i klassesam- 490 del v matematisk argumentation

15 talen er således at bidrage til, at et sådant niveauskift kan finde sted. Med andre ord er fælles klassesamtaler, hvor læreren understøtter niveauskift i kommunikationen, afgørende for, at eleverne kan udvikle specielt faglige måder at forklare og begrunde på og dermed for udviklingen af lødige socio-matematiske normer for ræsonnementer og beviser. Opgave 3 Se på den opgave, Lampert først stillede i sin 5. klasse, men som hun opgav, dvs. den, hvor eleverne skulle finde additioner, der giver resultater mellem resultaterne af og ) Formuler formodninger om, hvordan addenderne skal vælges for at få sådanne resultater. 2) Gælder din/jeres formodning altid, dvs. har du/i formuleret en tilstrækkelig betingelse? Eller kan du finde modeksempler? Gælder den i nogle tilfælde? 3) Er der andre mulige eksempler end dem, der er omfattet af din formodning, eller har du/i formuleret en nødvendig betingelse? 4) Kan du/i bevise formodningen? 5) Kan du/i generalisere formodningen: Hvilke additioner giver mellem og c + d eller mellem a + b og c + d, hvor a, b, c, og d er reelle tal? 6) Se tilbage på din/jeres proces og sammenlign med de tre matematiske aktiviteter, som Lampert nævner (producere formodninger, finde betingelser/antagelser, revidere formodninger). Kapitel 12 Bevisets stilling 491

16 Overvej-diskuter 1 Mikkels elever i 3. C har arbejdet med lige og ulige tal. På baggrund af en beskrivelse af de lige tal som hvert andet tal når man starter med 2, er der i klassen udviklet en antaget-fælles forståelse af, at de lige tal er dem, som man kan repræsentere som to lige lange rækker af tællematerialer (centicubes, kastanjer el.lign.), og at det er dem, der ender på 0, 2, 4, 6 eller 8. Disse forståelser behøver man altså ikke længere at argumentere for i klassen. Derimod hører de til den slags fælles erkendelser, der kan refereres tilbage til som argument: hvis et tal kan repræsenteres som to lige lange rækker af tællematerialer, så er det lige, ellers er det ikke. Eleverne arbejder nu med, hvad der sker, hvis man bruger regnearterne på ulige og lige tal, først med spørgsmålet om, hvad der sker, hvis man lægger to ulige tal sammen. Eleverne har prøvet med en hel del tal og får hver gang, at det bliver lige. Spørgsmålet er da, hvordan det her ser ud, hvis man bruger tællematerialer. Der udspiller sig da følgende samtale på klassen: Søren: Men hvis man tager 9 og 11, så er det jo 20, og det er jo lige. Mikkel (læreren): Er I alle sammen med på det? Hvis man tager 9 og 11, så er det 20, og det er jo lige. Hvordan ved vi, at 20 er lige? Flere elever: Det ender på 0. Mikkel: Prøv nu lige at finde jeres kastanjer frem. Læg 9 og 11 med kastanjerne, så I kan se, at de begge er ulige. [eleverne går i gang] Mikkel: OK, Caroline, vil du vise, hvad du har gjort [han tænder overheadprojektoren, som hun kan lægge sine kastanjer på]. [Caroline lægger dem sådan på projektoren]: Figur del v matematisk argumentation

17 Caroline: Så der er der 9 og der er der 11 [peger på hhv. den øverste og den nederste række]. Så kan man flytte den sidste herop [se figur 8]. Så er der 20. Figur 8. Mikkel: Og hvordan kan man se fra dine kastanjer, at 20 er et lige tal? Caroline: Nu er der jo to lige lange rækker. Mikkel: Forstod I andre det? Er der nogen af jer andre, der vil prøve at forklare, hvad Caroline har tænkt? [Anders, Carolines sidekammerat, gentager næsten ordret Carolines forklaring] Mikkel: Men kan vi nu være sikre på, at hvis man tager to ulige tal, så vil resultatet altid være lige? [ingen respons] Mikkel: Kunne vi se af den måde, Caroline lagde 9 og 11 på, at de var ulige tal? Det var jo rigtig fint, det Caroline gjorde, så vi kunne se, at var et lige tal. Men kunne vi se på den måde, hun lagde 9 og 11 på, at det var ulige tal? [ingen respons] Mikkel: Hvis I nu skulle lægge 3 eller 5 på en måde, så man kan se, at de er ulige, hvordan ville I så gøre? Eller nej, hvis vi skulle lægge et lige tal, så kunne man gøre det i to lige rækker. Det var jo også det, Caroline gjorde med 20. Men hvad med et ulige tal? Tine? Tine: Men det kan jo ikke lægges i to lige lange rækker. Kapitel 12 Bevisets stilling 493

18 Mikkel: Nej. Hvis vi prøver med 9, hvordan vil det så komme til at se ud? Kom op og vis det. [Tine tæller 9 af de kastanjer, der stadig ligger på projektoren, og efter lidt prøven sig frem ender hun med at placere dem som i figuren herunder] Mikkel: Ja, prøv så også med 11. [Tine flytter rundt på de sidste 11 kastanjer og ender til sidst med en placering som på figuren] Figur 9. Tine: og så kan man gøre ligesom Caroline, man kan flytte den ene fra 9 oven på den ene fra 11 [hun flytter den ene fra 11 oven på den ene fra 9]. Mikkel: Man kan flytte den ene fra 9 oven på den ene fra 11 forstår I det? Er der en, der kan give en forklaring på det? Hvorfor fortæller det, at så er resultatet et lige tal? Maria: Men jeg tænkte, man kunne da også gøre noget andet, hvis man nu drejede den med 11 rundt, eller hvis man bare lagde den ene i den anden side ovenover, så passede det. Mikkel: Det forstår jeg ikke. Prøv at vise os det. [Maria kommer op til projektoren] Maria: Men hvis man nu tager den her [tager den enlige kastanje fra 11 og flytter den hen i den anden ende for oven, se figur 10]. Og så, øhhmm, hvad var det nu, nå, jo, hvis man så tager og flytter alle dem her herover, altså skubber til dem alle sammen [forsøger med blandet held at flytte alle 11 kastanjer til højre på projektoren over mod de andre 9, se figur 11]. 494 del v matematisk argumentation

19 Figur 10. Figur 11. Mikkel: Ja, og hvad kan man så se? Maria: Men så er der jo to lige lange rækker, fordi den [peger på den enlige kastanje af de 11] kommer hen oven på den [peger på den enlige af de 9]. Mikkel: Det kan jeg godt se, men jeg spurgte jo egentlig, om du kunne give en forklaring på det, Tine havde gjort. Så kan jeg jo spørge i stedet: Er det det samme I har gjort, eller er der en forskel? 1) Er der i jeres øjne forskel på det, Tine og Maria har gjort? 2) Er der i jeres øjne forskel på det, Caroline har gjort sammenlignet med de to andre? 3) I hvilken udstrækning har klassen på det her tidspunkt undersøgt det, der var Mikkels intention, nemlig om summen af to ulige tal altid er lige? I hvilken udstrækning har de lavet et ræsonnement, der bygger på deres antaget-fælles forståelse af, at et lige tal er et, der kan repræsenteres med to lige lange rækker af tællematerialer? 4) Vend tilbage til Carolines forslag til løsning af den oprindelige opgave. Det var måske ikke et godt svar på den oprindelige opgave, men kan det fortolkes som svar på et mere generelt spørgsmål? Og kunne det være en idé at gøre noget ved det mere generelle spørgsmål i klassen? Kapitel 12 Bevisets stilling 495

20 5) Hvilke socio-matematiske normer om ræsonnementer ser det ud, som om Mikkel ønsker at bidrage til at udvikle? I hvilken udstrækning synes du/i, han har succes med sin intention? 6) Gør med reference til referatet af Lamperts arbejde ovenfor rede for, hvordan betingelser eller antagelser, formodninger og revisioner af formodninger spiller en rolle eller kunne komme til at spille en rolle i situationen fra Mikkels klasse. 7) I en mere formel beskrivelse kan man sige, at et lige tal, p, kan skrives som 2 n, hvor n er et naturligt tal. Undersøg og bevis regler for, hvad der sker, når man adderer, subtraherer og multiplicerer lige og lige, lige og ulige og ulige og ulige tal med hinanden. 8) Hvad sker der, hvis du i stedet for at operere på de tal, der er eller ikke er med i 2 tabellen, valgte 3 tabellen? Eller en anden tabel? Det kan have været et element i Mikkels bestræbelser i situationen ovenfor at provokere eleverne til at bevæge sig fra empirisk argument til et mere logisk ræsonnement. Ved et empirisk argument undersøger man en række enkelttilfælde og formulerer på den baggrund en forslag til en generel sammenhæng eller et generelt resultat. I vores eksempel består det i, at eleverne lægger forskellige ulige tal sammen, og når de har gjort det et antal gange, konkluderer de måske, at resultatet altid er lige. Et af de problemer, som elever selv meget sent i uddannelsessystemet kan have med bevisførelse, er en forståelse af, at uanset hvor mange eksempler man undersøger, så kan man ikke alene på baggrund af et sådant empirisk argument sige, at man har bevist sætningen: man kan i princippet ikke vide, om den gælder for alle par af ulige tal. Det logiske ræsonnement, som Mikkel kan siges at lægge op til i klassesamtalen ovenfor, har en anden karakter. Det bygger på en præmis om, at det, vi kalder lige tal, kan repræsenteres som to lige lange rækker af tællematerialer, og at de ulige så kan repræsenteres som to lige lange rækker med én ekstra. Idéen går ud på at introducere et skift i elevernes tænkning, således 496 del v matematisk argumentation

21 at de ikke bare arbejder med 9 og 11, men kommer til at argumentere mere generelt: Men alle ulige tal kan jo laves som to lige lange rækker og så én ekstra. Så hvis man har to ulige tal, kan de flyttes rundt, så man lægger de to lige lange rækker lige efter hinanden; så har man bare to længere lige lange rækker. Og så er der to ekstra, som man kan lægge oven på hinanden, og så er der igen bare to lige lange rækker. Her har eleverne brugt præmissen om, at et ulige tal kan repræsenteres som to lige lange rækker og så én ekstra som udgangspunkt for at lave et generelt argument. Og pointen er ikke bare, at de har udviklet et generelt resultat, men at de gradvist kan udvikle en forståelse af behovet for det generelle argument, og altså for at selv et nok så stort antal eksempler ikke er tilstrækkeligt. Med andre ord kan de udvikle en antaget-fælles forståelse af, at det at udvikle ræsonnementer og beviser af en generel karakter er en væsentlig del af matematisk tænkning og af det, man er sammen om i matematikklasser. Overvej-diskuter 2 7. A har arbejdet med lineære funktioner og er blevet stillet en opgave, der lyder: Grafen for en lineær funktion med hældningskoefficient 1 2 går igennem (7,-2). Hvor stor er y-værdien, når x-værdien er 13? Af en efterfølgende klassesamtale fremgår det, at tre elever, Camilla, Lukas og Liva, har forsøgt at løse opgaven på tre forskellige måder: (7,-2) ½ ½ ½ Figur 12. Kapitel 12 Bevisets stilling 497

22 Camilla: Jeg afsatte (7,-2), og så gik jeg bare 1 til højre og 1 2 op, 1 til højre og 1 2 op, og så blev jeg bare ved, til jeg kom hen til 13. (Hun viser et koordinatsystem, hvor hun omhyggeligt har indtegnet stiplede trekanter, der forbinder heltalsværdierne på grafen fra (7,-2) til (13,1). En lille del af hendes graf er vist i figur 12). Lukas: Men det er jo, hva var det nu, hvis man skal 1 hen, skal man 1 2 op. Så hvis man skal hen til 13, så er det jo 6,5. Så det må jo være 13 og 6,5. Liva: Man starter jo i (7,-2), og så, nej det kan jeg ikke huske Jo, så skal man gå hen til 13, dvs. man skal gå 6 hen. Men så må man jo gå 3 op, så det er (13,3), nej vent, (13,1). 1) Se på hver af de tre elevløsninger ovenfor. Hvad ser fra din synsvinkel ud til at være antaget-fælles udgangspunkter for deres tænkning? Hvilke styrker og svagheder er der i hvert af de tre forslag, hvis du/i ser på det fra et indholdsperspektiv, dvs. et perspektiv, der handler om lineære funktioner? Hvilke styrker og svagheder er der i hver af dem, hvis du/i ser på dem fra et ræsonnementsperspektiv? 2) Forestil dig/jer en klassesamtale, hvor Camillas, Lukas og Livas forslag er blevet præsenteret. Digt en eller flere mulige klassesamtaler og overvej, hvilke muligheder man som lærer ville have for at understøtte elevernes læring af det faglige indhold og for at bidrage til udviklingen af socio-matematiske normer med fokus på ræsonnementer. 3) Overvej, hvordan formodninger, betingelser/antagelser og revisioner af formodninger kunne komme til at spille en rolle i en efterfølgende diskussion i 7. A. 498 del v matematisk argumentation