Motivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
|
|
- Alexander Andresen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren ønsker resultatet med en nøjagtighed på ±3mm. Eksempel: Lægemiddelstyrelsen kræver, at et lægemiddelselskab estimerer sandsynlighed θ for bivirkninger af en medicin med en nøjagtighed på ± 0.01% Problem: Hvordan fortolker og håndterer vi disse specifikationer i praksis, hvor alle målinger er behæftet med en (stokastisk) usikkerhed? 1 / 42 2 / 42 Specifikationer af nøjagtighed under hensyntagen til tilfældighed I praksis beregner landmåleren et estimat ˆλ på basis af et antal målinger l 1,..., l n, f.eks. ˆλ = 1 n n i=1 I praksis er målingerne behæftede med målefejl e i, l i = λ + e i Vi opfatter hver e i som en realisation af en stokastisk variabel E i og lader L i = λ + E i angive de tilsvarende stokastiske udfald af målingerne. Dermed (med lidt misbrug af notation) kan vi også anskue ˆλ = 1 n L i n i=1 l i Vi kan nu omformulere entreprenørens specifikation: fejlen ˆλ λ skal være mindre end 3mm med en meget stor sandsynlighed - f.eks. 99.9%. Dvs. forestiller man sig, at længdebestemmelsen blev gentaget et stort antal (hypotetiske) gange, så må fejlen kun overstige 3mm i 0.1% af gentagelserne. Dette giver naturligvis ikke en absolut sikkerhed for længdebestemmelsen i et konkret tilfælde! - men det vil sjældent gå galt... som en stokastisk variabel. 3 / 42 4 / 42
2 Lidt beregninger med middelværdi og varians Hvis X er en stokastisk variabel med middelværdi og varians EX = µ VarX = σ 2 Landmålerens opgave er nu at beregne sandsynligheden for, at ˆλ λ 3 og tjekke, at denne sandsynlighed er lille nok Dvs. han har brug for at kende sandsynlighedsfordelingen af ˆλ - anskuet som en stokastisk variabel. så gælder for et reelt tal a, EaX = aex Var(aX ) = a 2 VarX Hvis X 1,..., X n er stokastiske variable med middelværdier µ i og varianser σi 2 gælder E i X i = i µ i Hvis X i erne yderligere er uafhængige: Var i X i = i σ 2 i 5 / 42 6 / 42 Normalfordelte stokastiske variable Centrale grænseværdi-sætning Hvis X i erne er normalfordelte så er ax i og X = i også normalfordelte (middelværdi og varians for X bestemmes jf forrige slide) X i Hvis X i erne er uafhængige og identisk fordelte med fælles middelværdi µ og varians σ 2, så gælder for gennemsnittet at eller ækvivalent, X = 1 n X 1 n (X nµ) N(0, σ 2 ) X N(µ, σ2 n ) n( X µ) N(0, σ 2 ) Approksimationerne bliver bedre jo større n! 7 / 42 8 / 42
3 Tilbage til landmåleren Antag fejlene E i er uafhængige med middelværdi nul (dvs ingen systematisk målefejl) og kendt varians σ 2 Dermed bliver målingerne L 1,..., L n uafhængige med middelværdi λ og varians σ 2. Bemærk: ˆλ λ 3 3 ˆλ λ 3 Han/hun kan nu benytte CLT hvorved ˆλ λ N(0, σ 2 /n) Ukendt σ 2 Hvis σ 2 er ukendt kan estimatet anvendes i stedet s 2 = 1 n 1 (L i ˆλ) 2 Tilfører ekstra approksimation til resultaterne (udover evt. brug af CLT). i Dvs. skal blot udregne sandsynligheden for, at en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi 0 og varians σ 2 /n ligger mellem 3 og 3 (Excel, Maple, TI-89,...) 9 / / 42 Kvantificering af estimations-usikkerhed Variansen af ˆλ er σ 2 /n. Jo mindre varians des mindre er den forventede værdi af fejlen ˆλ λ. I praksis benyttes ofte standardafvigelsen sd = Varˆλ = σ n som et mål for usikkerheden. Intervaller og sandsynligheder Hidtil: sandsynlighed for at estimationsfejl mindre end givet øvre grænse. Nu: givet sandsynlighed, f.eks. 95%, hvad er så den øvre grænse? For en normalfordelt stokastisk variabel X med middelværdi µ og varians σ 2 gælder: sandsynlighed for at er X µ kσ 95%(k = 1.96) 95.4%(k = 2) 99.7%(k = 3) 99.99%(k = 4) Bemærk, at vi direkte kan omsætte k til sandsynligheder, hvis vi bruger standardafgivelse σ som enhed. 11 / / 42
4 Konfidensinterval Konfidensinterval fortsat Med f.eks. k = 1.96 er der 95% sandsynlighed for X µ 1.96σ 1.96σ X µ 1.96σ Dette giver anledning til to forskellige intervaller: a) (for X ) µ 1.96σ X µ b) (for µ) X 1.96σ µ X σ Bemærk: intervallet svarende til (b) er stokastisk - kaldes et 95% konfidensinterval for µ (baseret på data X ) Antag X 1,..., X n uafhængige og identisk fordelte med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Da er gennemsnit X approksimativt N(µ, σ 2 /n) og vi benytter X som estimat for µ. Jf forrige slide definerer et 95% konfidensinterval for µ. X 1.96 σ n µ X σ n 13 / / 42 Simulationsstudie 100 simulerede 95% konfidensintervaller baseret på X gennemsnit af 100 normalfordelte variable med middelværdi 3 og varians 2 konfidens interval eksperiment nr. Konfidensintervallerne indeholder sande middelværdi µ = 3 i ca. 95% af tilfældende. Praktisk brug af konfidensinterval Hvis vi hver gang vi udfører et eksperiment hævder, at den ukendte middelværdi ligger i det beregnede 95% interval, så tager vi kun fejl i 5% af tilfældende Hvis vi vil have større sikkerhed kan vi i beregningen af konfidensintervallet erstatte 1.96σ/ n med 3σ/ n eller 4σ/ n - giver 99.7% eller 99.99% intervaller. Da tager vi kun fejl i 0.3% eller 0.01% af tilfældene. Men intervallerne bliver da naturligvis bredere, så vores udsagn bliver mere udvandede 15 / / 42
5 Den lidt tricky skelnen Den 95% sandsynlighed vedrører et fremtidigt ikke endnu gennemførte eksperiment Hvis vi f.eks. observerer en stikprøve fra 10 stokastisk variable med σ = 2 er det konkrete udfald af konfidensintervallet [ ; ] = [1.1; 2.3] Dette interval er naturligvis ikke stokastisk, og det giver derfor ikke mening at tillægge en 95% sandsynlighed til dette interval (sandsynligheden er enten 0 eller 100% men vi ved ikke hvilken) Stokastiske intervaller er erfaringsmæssigt lidt vanskelige for studerende. Måske nemmere at udnytte at X 1.96 σ n µ X σ n X µ 1.96 σ n Dvs. med 95% sandsynlighed ligger estimationsfejlen i det ikke-stokastiske interval ±1.96σ/ n Vanskeligt, og måske heller ikke nødvendigt, at få studerende til at fange denne pointe 17 / / 42 Ukendt varians Vi har jf CLT Z = X µ σ/ N(0, 1) n Dvs. Z er (approksimativt) en pivot-størrelse: fordelingen af Z afhænger hverken af µ eller σ. Konfidensinterval for sandsynlighedsparameteren i en binomial fordeling Antag Y er binomialfordelt med kendt antalsparameter n og ukendt sandsynlighedsparameter θ. Hvis σ erstattes af et estimat ˆσ gælder i almindelighed stadig Da estimerer vi θ ved andelen ˆθ = Y /n. X µ ˆσ/ n N(0, 1) Mht konfidensinterval er der ikke noget nyt under solen da hvorved [ X 1.96 ˆσ n ; X 1.96 ˆσ n ] Y = I I n er et approksimativt 95% interval. Dvs. hvis variansen er ukendt, kan vi i almindelighed blot erstatte den ukendte varians med et estimat, når vi udregner et 95% konfidensinterval. 19 / 42 hvor I i erne er uafhængige binære variable med sandsynlighed P(I i = 1) = θ. Dvs ˆθ = Y /n er gennemsnittet Ī = 1 n i I i 20 / 42
6 Hvis n ikke er for lille kan vi jf CLT (og slide 19) bruge at Hvornår er n stor nok? Fordeling af ˆθ for forskellige værdier af n og θ: hvor er et estimat af ˆθ θ ˆσ/ N(0, 1) n ˆσ 2 = ˆθ(1 ˆθ) σ 2 = VarI i = θ(1 θ) θ = 0.1 n = 5 θ = 0.1 n = 10 θ = 0.1 n = Derved bliver [ˆθ 1.96 ˆσ n ; ˆθ ˆσ n ] et (approksimativt) 95% konfidensinterval for θ θ = 0.4 n = 5 θ = 0.4 n = 10 θ = 0.4 n = / / 42 Generelt set-up Lineær regression θ parameter i en parametrisk statistisk model. Hvis ˆθ er (approksimativt) normalfordelt med middelværdi θ og spredning sd(ˆθ) så er ˆθ ± 1.96sd(ˆθ) et (approksimativt) 95% konfidensinterval for θ. (analogt med ˆµ = X og sd(ˆµ) = σ/ n) Antag Y 1,..., Y n følger en regressionsmodel Y i = α + βx i + E i hvor x 1,..., x n er kendte og E i er uafhængige normalfordelte med middelværdi 0 og varians σ 2 Da er mindste kvadraters metode estimaterne i ˆβ = Y ix i nȳ x i (x i x ) 2 ˆα = Ȳ ˆβ x Disse estimater er normalfordelte! (lineære funktioner af data) 23 / / 42
7 Konfidensintervaller for α og β Konfidensinterval for µ i = EY i ˆα og ˆβ har varianser Varˆα = σ 2 i x 2 i n i (x i x ) 2 Var ˆβ = σ 2 i (x i x ) 2 µ i estimeres ved ˆµ i = ˆα + ˆβx i Variansen for ˆµ i : σ 2 estimeres ved 1 n 2 (Y i ˆµ i ) 2 hvor ˆµ i = ˆα + ˆβx i er estimatet af µ i = E[Y i ] i hvor Varˆµ i = Varˆα + x 2 i Var ˆβ + 2x i Cov(ˆα, ˆβ) (1) Cov(ˆα, ˆβ) = σ 2 x i (x i x ) 2 Dermed lige ud af landevejen at konstruere 95% konfidensintervaller for α og β vha generel opskrift: estimat plus/minus 1.96 standardafvigelsen af estimatet Igen kan generel opskrift benyttes: estimat plus/minus 1.96 standardafvigelsen af estimatet. 25 / / 42 Prædiktionsinterval for ny observation y Antag, at vi har estimeret en regressionslinje baseret på en stikprøve (y 1, x 1 ),..., (y n, x n ). Lad Y n+1 være en uobserveret variabel som vi gerne vil forudsige på baggrund af den observerede værdi x n+1 af den tilhørende forklarende variabel. Vores bedste bud på Y n+1 er ˆµ n+1 = ˆα + ˆβx n+1 Usikkerhed på prædiktion af Y n+1 vha ˆµ n+1 kvantificeres vha prædiktionsinterval x 27 / / 42
8 Der gælder Y n+1 ˆµ n+1 = Y n+1 µ n+1 + µ n+1 ˆµ n+1 = E n+1 + µ n+1 ˆµ n+1 Her er E n+1 normalfordelt med middelværdi 0 og varians σ 2 og uafhængig af estimationsfejlen µ n+1 ˆµ n+1, som er normalfordelt med middelværdi nul og varians Varˆµ n+1 beregnet tidligere. Dermed er Y n+1 ˆµ n+1 normalfordelt med middelværdi nul og varians ω 2 = σ 2 + Varˆµ n+1. Dvs med 95% sandsynlighed gælder 1.96ω Y n+1 ˆµ n ω ˆµ n ω Y n+1 ˆµ n ω Dette interval er altid bredere end konfidensintervallet for µ n+1 da det både afspejler usikkerheden vedr. estimationen af µ n+1 samt variationen af Y n+1 omkring µ n+1 y / 42 x 30 / 42 Eksempel > fit=lm(y~x) > summary(fit) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * x e-08 *** % konfidensinterval for β: 2.99 ± = [2.74; 3.24] Yderligere emner (til selvstudium) brug af eksakt fordeling af ˆθ? konfidensinterval og transformation transformation for θ δ-metoden konfidensinterval for σ 2 teoretisk middelværdi og varians opgaver Specielt kan vi bemærke, at konfidensintervallet ikke indeholder nul. Dvs. vi kan afvise at β = 0 og Y i afhænger dermed signifikant af x i. 31 / / 42
9 Opsummering For en ukendt parameter θ er et α-konfidensinterval et stokastisk interval som med sandsynlighed α indeholder θ Sandsynligheden refererer til et endnu ikke gennemført eksperiment Andelen af fremtidige eksperimenter hvor θ er indeholdt i konfidensintervallet knyttet til eksperimentet er ca. α. I almindelighed udregnes konfidensintervallet som ˆθ ± ksd(ˆθ) hvor k = 1.96, 3, 4 svarer til α = 95%, 99.7%, 99.99%. For et konkret datasæt er konfidensintervallet ikke stokastisk - vi kan ikke tillægge sandsynlighed til et konkret udregnet konfidensinterval Eksakt fordeling af ˆθ Forskellen ˆθ θ er fordelt som hvis fordeling let kan tabelleres. Y n θ Problem: fordelingen afhænger af ukendte θ - vi kan ikke finde nedre og øvre grænser, der ikke afhænger af θ. Derimod er ˆθ θ ˆσ/ N(0, 1) n som med 95% ssh sandsynlighed ligger indenfor grænserne 1.96 og 1.96, der ikke afhænger af θ. 33 / 42 Dermed bliver normalfordelingsapproksimationen for ˆθ θ en bekvem genvej til at etablere et konfidensinterval 34 / 42 Konfidensinterval og transformation Anvendelse for binomial fordeling Antag [L, U] er et α konfidensinterval for θ (f.eks. α = 95%) Lad η = g(θ) hvor g er en injektiv transformation Da er [g(l); g(u)] (eller [g(u); g(l)]) et α konfidensinterval for η For sandsynlighedsparameteren θ i en binomialfordeling benyttede vi estimatet ˆθ = Y n og konfidensintervallet ˆθ ± 1.96sd(ˆθ) hvor vi estimerede sd(ˆθ) ved ˆθ(1 ˆθ)/n. Problem: dette interval er ikke nødvendigvis indeholdt i [0, 1]! 35 / / 42
10 Logit-transformation Løsning: parameteren η = g(θ) = log ( θ ) 1 θ har variationsområde ], [ når θ varierer i ]0, 1[ (og omvendt!) Vi kan danne konfidensinterval for η og dernæst transformere tilbage vha den inverse transformation θ = g 1 (η) = exp(η) 1 + exp(η) Vores estimat for η er ˆη = g(ˆθ) og variansen approksimeres ved (δ-metoden) Varˆη (g (θ)) 2 Varˆθ = Konfidensintervallet for η bliver 1 ˆη ± 1.96 nθ(1 θ) 1 nθ(1 θ) og konfidensintervallet for θ bliver ( ) )] [g 1 1 ˆη 1.96 ; g 1 1 (ˆη nθ(1 θ) nθ(1 θ) som med garanti er indeholdt i [0, 1]! 37 / / 42 δ-metoden Lad X = g(y ) hvor Y er en stokastisk variabel med middelværdi µ og varians σ 2 og g er differentiabel. Da gælder (lineær approksimation) X g(µ) + g (µ)(y µ) VarX (g (µ)) 2 VarY (igen vha. regneregler for middelværdi og varians) 39 / 42 Konfidensinterval for varians For en lineær regressionsmodel med normalfordelte observationer, kan man vise, at (n 2) ˆσ2 σ 2 er χ 2 (n 2) fordelt (og dermed en pivot-størrelse). Dermed gælder med 95% sandsynlighed, at χ (n 2) (n 2) ˆσ2 σ 2 χ (n 2) hvor χ 2 p(n 2) angiver p-fraktilen for en χ 2 (n 2)-fordeling (0 p 1). Dette giver konfidensintervallet [ ] ˆσ 2 n 2 n 2 χ (n 2); ˆσ2 (n 2) for σ 2. χ Dette er at foretrække fremfor at bruge approksimativ 40 / 42
11 Opgaver 1. Check resultaterne på slide 8 når er erstattet med = og X i erne antages at være normalfordelte. 2. (vedr. slide 9) Hvad gør landmåleren hvis sandsynligheden ikke er under 99.9%? 3. Check (jf slide 21) at 3.1 VarI i = θ(1 θ) 3.2 ˆθ(1 ˆθ) = 1 (I i n Ī ) 2 Dvs variansestimatet er (n 1)/n gange det sædvanlige variansestimat s 2 = 1 (I i Ī ) 2 n 1 4. Antag θ = 0.1. Hvor stor skal n være, for at bredden på konfidensintervallet bliver mindre end 0.02? i i 4. Mindste kvadraters estimaterne af α og β kan udregnes som [ˆαˆβ] = (X T X ) 1 X T Y hvor X er n 2 matricen med søjler (1, 1,..., 1) T og (x 1,..., x n ) T og Y = (Y 1,..., Y n ) T. Brug dette til at udregne kovariansmatricen for (ˆα, ˆβ) T Bemærk: kovarians-matricen Σ for en stokastisk vektor Z har indgange Σ ij = Cov(Z i, Z j ). Hvis A er en matrix af passende dimension, så har AZ kovariansmatrix AΣA T. 5. Vis (1) på slide 26 ved at bruge resultatet og vinket fra forrige opgave. 6. (slide 35) Vis at [g(l); g(u)] er et α konfidensinterval for η når g er voksende 7. Check resultaterne på slide / / 42
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereHvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm
Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereNanostatistik: Konfidensinterval
Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling:
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereØkonometri: Lektion 7 Emne: Prædiktionsintervaller, RESET teset, proxy variable og manglende data.
Økonometri: Lektion 7 Emne: Prædiktionsintervaller, RESET teset, proxy variable og manglende data. 1 / 32 Motivation Eksempel: Savings = β 0 + β 1 Income + u Vi ved allerede, hvordan vi estimerer regresseionlinjen:
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereLineær regression: lidt mere tekniske betragtninger om R 2 og et godt alternativ
Lineær regression: lidt mere tekniske betragtninger om R 2 og et godt alternativ Per Bruun Brockhoff, DTU Compute, Claus Thorn Ekstrøm, KU Biostatistik, Ernst Hansen, KU Matematik January 17, 2017 Abstract
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereEstimation og usikkerhed
Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 12 Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge 1 Fordelingen af én (1): Regressionsanalyse udfaldsvariabel responsvariabel afhængig variabel Y variabel 2
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere1 Regressionsproblemet 2
Indhold 1 Regressionsproblemet 2 2 Simpel lineær regression 3 2.1 Mindste kvadraters tilpasning.............................. 3 2.2 Prædiktion og residualer................................. 5 2.3 Estimation
Læs mereMindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning
1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereProgram. Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve I SAS. Øvelse: effekt af diæter
Program Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Øvelse: effekt af diæter. Repetition fra sidst... Parrede og ikke-parrede
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2003 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 32 Konsekvenser af Heteroskedasticitet Antag her (og i resten) at MLR.1 til MLR.4 er opfyldt. Antag MLR.5 ikke er opfyldt, dvs. vi har heteroskedastiske
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mere02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset
02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også
Læs mereEpidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse
Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet
Læs mereVægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen
Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereØkonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31
Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Estimation: Kapitel 9.1-9.3 Estimation Estimationsfejlen Bias Eksempler Bestemmelse af stikprøvens størrelse Konsistens De nitioner påkonsistens Eksempler på konsistente og middelrette estimatorer
Læs mere1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ Teststatistik P-værdi Signifikansniveau...
Indhold 1 Statistisk inferens: Hypotese og test 2 1.1 Nulhypotese - alternativ.................................. 2 1.2 Teststatistik........................................ 3 1.3 P-værdi..........................................
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning
Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke
Læs mereEpidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk
Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.
Læs merePraktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereOmrådeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30
Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)
Læs mereMuligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.
Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8... Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side
Læs mereHvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau
Hvad skal vi lave? 1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ. Teststatistik P-værdi Signifikansniveau 2 t-test for middelværdi Tosidet t-test for middelværdi Ensidet t-test for middelværdi
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereProgram. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen)
Faculty of Life Sciences Program Logistisk regression Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Odds og odds-ratios igen Logistisk regression Estimation og inferens Modelkontrol Slide 2 Statistisk Dataanalyse
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereDagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at
Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af
Læs mereNanostatistik: Opgaver
Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner
Læs mereSimpel Lineær Regression: Model
Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]
Læs merePerspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression
Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem
Læs meren r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1
(a) Denne opgave bygger på resultaterne fra 2 forsøg med epo-behandling af for tidligt fødte børn, idet gruppe 1 og 3 stammer fra første forsøg, mens gruppe 2 og 4 stammer fra det andet. Det må antages,
Læs mere12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse
. september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2002 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereSide 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereOversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens
Oversigt Oversigt over emner 1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens 2 Konfidensinterval Konfidensinterval for andel Konfidensinterval - normalfordelt stikprøve
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mere