Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.

Transkript

1 Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er placeret i delintervallet, er givet ved produktet m = ρ x. Den termiske energi, der er medgået til at opvarme denne masse til temperaturen T (x, t), er givet ved produktet H = c T (x, t) m = cρt (x, t) x. Ved opsummering af H over uendeligt mange, uendeligt små intervaller af den betragtede type fås den til hele stangen tilførte termiske energi. Og dette giver netop den søgte formel: H(a, b, t) = b a cρt (x, t)dx. (1) Sammenhængen bryder sammen ved høje temperaturer, hvor stangens geometri ændres, om ikke før, så når metallets smeltepunkt nås. Ved meget lave temperaturer kan man ikke regne den specifikke varme, c, for en konstant, så der bryder sammenhængen også sammen. (b) Lad x være midtpunktet af det interval, hvor T er konstant. Hvis I(x, t) > 0 vil varmen flyde fra den venstre halvdel af intervallet over til den højre halvdel. Dette er i modstrid med termodynamikkens II lov, som siger at varmen kun strømmer fra højere til lavere temperatur. I et infinitesimalt tidsinterval [t, t+ t] er varmemængden, som føres ind i intervallet [a, b], givet ved I(a, t) t mens varmemængden, der føres ud af intervallet, er givet 1 som ikke har studeret fysik siden 1964, og kun har skimmet lærebogsmaterialet til FY50 relativt overfladisk, og som derfor har søgt, og fået, værdifuld assistance fra Paolo Sibani. 1

2 ved I(b, t) t. Dermed får man bevarelsesligningen H (a, b, t) t = I(a, t) t I(b, t) t. () t T Ved at dividere med t for derefter at benytte den givne formel I(x, t) = k 1 (x, t) får man den søgte formel t H(a, b, t) = k T 1 (b, t) k T 1 (a, t), (3) (c) Indsæt (1) i (3) og differentier den resulterende ligning m.h.t. b. Herved fås b t b a T cρt (x, t)dx = k 1 (b, t). (4) b Venste side omskrives til cρ T (b, t) ved at ombytte differentiationsrækkefølgen og t benytte formlen b T (x, t)dx = T (b, t). På højresiden er der differentieret to gange b a mht den første variabel, og resultatet er evalueret i (b, t), så højresiden er k 1 T (b, t). Alt i alt har vi udledt ligningen cρ T t (b, t) = k T 1 (b, t). (5) Denne ligning gælder for alle b [ L, L], så man kan omdøbe b til x. Gør man det, og sætter man D = k 1, får man varmediffusionsligningen på formen cρ T (x, t) t (d) [I(x, t)] =Joule/sekund; [k 1 ] = meter/sekund Joule/Kelvin = D T (x, t). (6) [ T t ] = Kelvin/meter hermed (e) Lad c(x, t) være antal partikler per længdeenhed. Antallet af partikler mellem a og b er N(a, b, t) = b a c(x, t)dx. (7) Her er venstre side et rent tal. Integranden på højre siden har dimension af en reciprok længde, og integrationen svarer dimensionsmæssigt til at gange med en længde. Dimensionerne passer altså. Det er også klart, at det totale antal partikler fremkommer ved at integrere bidragene fra hvert differentiel længdeelement. Den fysiske lov, der foreskriver, at partikelstrømmen går mod gradienten er igen termodynamikkens II lov. Hvis det modsatte var gældende, ville partiklerne, som

3 er uniformt fordelt, spontant opbygge en gradient. Partikelstrømmen skrives som en lineær funktion af gradienten hvor [D] =meter /sekund. I(x, t) = D c (a, t) (8) (f) Jeg inkluderer dobbelt besvarelse for dette punkt. funktionen p 5 (x) Først 3 cosinuspolynomier for C 1 (x) = cos(πx), C (x) = cos(πx) cos(πx), C 3 (x) = cos(πx) cos(πx) cos(3πx). Dernæst tre cosinuspolynomier for h (x): C 1 (x) = cos(πx), C (x) = cos(πx) cos(πx), C 3 (x) = cos(πx) cos(πx) cos(3πx). Alle koefficienter er beregnet med Maple. Figurer produceret med Maple er gengivet på de to sidste sider af rapporten. (g) Betragt randværdiproblemet Vi antager, at en funktion af formen T t (x, t) = T (x, t), (9) T (±L, t) = 0. (10) T (x, t) = τ(t)ξ(x) (11) er løsning til ligningen (9). Dette betyder, at vi har ligningen τ (t)ξ(x) = τ(t)ξ (x). Ser vi nu bort fra, at der kan være nulpunkter for τ(t) og/eller ξ(x), kan ligningen skrives som τ (t) τ(t) = ξ (x) ξ(x). (1) Her afhænger venstresiden ikke af x, mens højresiden er uafhængig af t. Den fælles værdi er altså uafhængig af både x og t. Vi har altså en konstant λ så τ (t) τ(t) = ξ (x) ξ(x) 3 = λ. (13)

4 Vi har altså to differentialligninger til at bestemme τ(t) og ξ(x), nemlig τ (t) = λτ(t) og ξ (x) = λξ(x). (14) Da τ(t) er antaget forskelig fra nul, oversætter randbetingelsen (10) til følgende betingelse for ξ(x) ξ (±L) = 0. (15) (h) Den generelle løsning for τ(t) kendes fra fra Adams, Calculus, side 18. Den er hvor C er en vilkårlig konstant. τ(t) = Ce λt, (16) Den generelle løsning til differentialligningen for ξ(x) kendes fra Adams, Calculus, afsnit 3.7. Den er bestemt af rødderne i den karakteristiske ligning r λ = 0, og afhænger dermed af fortegnet for λ. Vi sætter λ = ±Ω, hvor Ω 0. For λ < 0 er r = ±iω, og ξ(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx). For λ = 0 er nul dobbeltrod og ξ(x) = A + Bx. For λ > 0 er rødderne r = ±Ω, og ξ(x) = Ae Ωx + Be Ωx. I alle tre tilfælde er A og B vilkårlige konstanter. (i) For λ > 0 har vi ξ (x) = AΩe Ωx BΩe Ωx. Randbetingelsen (15) bliver derfor til to ligninger i de to ubekendte A, B Dette systems matriks har determinanten AΩe ΩL BΩe ΩL = 0, AΩe ΩL BΩe ΩL = 0. Ω e ΩL + Ω e ΩL = Ω sinh(ωl). Da sinh(x) kun er nul for x = 0, og da både Ω og L er strengt positive, er determinanten forskellig fra nul. Derfor har systemet kun den trivielle løsning A = B = 0. Dette giver ξ(x) = 0, en løsning, som vi i det videre negligerer. (j) For λ 0 er det nødvendigt at skelne mellem tilfældet, hvor λ = 0 og tilfældet λ < 0. Først tager vi λ = 0. Da er ξ (x) = B, så (15) siger, at B = 0. Dette giver ξ(x) = A. Opsummeret i termer af Ω får vi i dette tilfælde: Ω = 0, τ(t) = C, ξ(x) = A. (17) 4

5 Dernæst behandles tilfældet, hvor λ < 0. Da er ξ (x) = AΩ sin(ωx) + BΩ cos(ωx). Betingelserne (15) tager derfor form af to lineære ligninger med de to ubekendte A, B (husk, at sinus er en ulige funktion og cosinus en lige funktion) AΩ sin(ωl) + BΩ cos(ωl) = 0, (18) AΩ sin(ωl) + BΩ cos(ωl) = 0. (19) Her kan Ω forkortes væk. Når det er gjort, adderer, hhv. subtraherer, man de to ligninger, hvorved man får de to nye ligninger B cos(ωl) = 0 og A sin(ωl) = 0. (0) Enten A eller B (eller begge) må være nul for at (0) er opfyldt, thi cos(ωl) = sin(ωl) = 0 er umuligt. Hvis A = B = 0 har vi den uinteressante løsning, ξ(x) = 0. Hvis A 0 og B = 0, reduceres systemet til ligningen sin(ωl) = 0, som har løsningerne ΩL = pπ med p = 1,, 3, (husk, at Ω > 0 og L > 0). Vi opsummerer løsningerne i dette tilfælde således, idet vi inkluderer løsningen (17) som passer med p = 0 Ω = p π L, τ(t) = Ce Ωt, ξ(x) = A cos(ωx), p = 0, 1,,. (1) Hvis omvendt B 0 og A = 0 reducerer systemet til ligningen cos(ωl) = 0, som har løsningerne ΩL = (p + 1 )π, p = 0, 1,,. Dette tilfælde opsummeres således: Ω = (p + 1 ) π L, τ(t) = Ce Ωt, ξ(x) = B sin(ωx), p = 0, 1,,. () Tager vi A = C = 1 og indsætter vi funktionerne fra (1) i ligningen (13), får vi (et gæt på) en skare løsninger til randværdiproblemet, givet ved (9) og (10), nemlig T p (x, t) = e p k t cos(pkx), p = 0, 1,, 3,... (3) Her er k = π L ligesom tidligere. (k) Man har fra standard differentiationsregler T p (x, t) t = p k T p (x, t) og Altså løser T p (x, t) differentialligningen (9). Da Tp(x,t) T p (x, t) = p k T p (x, t). = pke p k t sin(pkx), og sin(pk(±l)) = sin(p(±π)) = 0, er randbetingelsen (10) også opfyldt. 5

6 (l) Nu suppleres ligningerne (9) og (10) med begyndelsesbetingelsen T (x, 0) = b 0 +b 1 cos(kx)+b cos(kx)+ +b n cos(nkx) = b 0 +Σ n p=1b p cos(pkx). (4) Her er som tidligere k = π, og det skal vises, at L er en løsning til alle tre ligninger. T (x, t) = b 0 + Σ n p=1b p T p (x, t) (5) Da hver af funktionerne T p (x, t) opfylder (9), får vi ved simple differentiationer af konstanter, summer og produkter mellem konstanter og funktioner. t T (x, t) = t ( b 0 + Σ n p=1b p T p (x, t)) = Σ n p=1b p t T p(x, t) = Σ n p=1b p Altså opfylder T (x, t) også (9). T p(x, t) = ( b 0 + Σ n p=1b p T p (x, t)) = T (x, t). Da hver af funktionerne T p (x, t) opfylder (10), får man ved endnu simplere regnerier, at T (±L, t) = T p Σn p=1b p t (±L, t) = Σn p=00 = 0. Altså opfylder T (x, t) også (10). Endelig følger begyndelsesbetingelsen (4) ved at observere, at T p (x, 0) = cos(pkx) og derefter regne T (x, 0) = b 0 + Σ n p=1b p cos(pkx). (m) For p > 0 gælder det, at e p k t 0 for t. Derfor er lim T (x, t) = b 0 t. Fysisk set svarer dette til at temperaturen (eller partikelkoncentrationen) er uniform i stangen eller beholderen. I tilfældet med partikeldiffusion er den konstante grænsekoncentration b 0 = N, hvor N er det totale antal partikler. L 6

7 Figure 1: Grafer relateret til funktionen p 5 (x) 7

8 Figure : Grafer relateret til funktionen h (x) 8