Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger"

Transkript

1 enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger. Endvidere ses på en type af lineære differentialligninger, hvor den ukendte funktion og dens første afledede indgår, såkaldte 1. ordens lineære differentialligninger. Noten bygger på kendskab til lineære afbildninger. Noten er udgangspunkt for de to følgende noter, enote 12 og enote 13. Version Hvad er en differentialligning? En differentialligning er en ligning, hvori en funktion er den ukendte. Det er altså en funktion, vi vil finde. Differentialligninger optræder naturligt bl.a. i mange fysiske, mekaniske, kemiske og elektromagnetiske problemer, hvorfor det er et vigtigt emne. Forklaring 11.1 Hvad er en differentialligning? Et eksempel på en (lineær) differentialligning er x (t) + 2x(t) = t. (11-1) Den ukendte funktion x(t) kan optræde sammen med nogle af dens differentialkvotienter af vilkårlige ordner fx x (t) eller x (t) som også er funktioner. Altså har vi en ligning med flere ubekendte; både funktionen selv og dens differentialkvotienter. På trods af, at der er flere end én ubekendt i ligningen, er den dog mulig at løse,

2 enote LINEARITET OG LØSNINGSSTRUKTUR 2 da der selvfølgelig er en sammenhæng mellem disse ubekendte, altså funktionen og dens differentialkvotienter. Løsningen til (11-1) er x(t) = t + ce 2t. (11-2) At løsningen har denne form, og hvordan vi er kommet frem til resultatet, handler denne note om. Differentialligninger kan ofte løses på forskellige måder. Fx kan nogle differentialligninger løses på samme måde, som man normalt løser én ligning med én ukendt (fx 2y + 3 = 1). Her bytter man om på led i ligningen. Andre gange opstilles en løsningsformel, hvor forarbejdet allerede er gjort (fx ved andengradsligninger). Løsningen til en differentialligning fungerer på samme måde som en løsning til en normal ligning, og man kan derfor gøre prøve. Løsningen skal nemlig passe ind i differentialligningen. I eksemplet i forklaring 11.1 kan man differentiere løsningen for at få differentialkvotienten x (t) = 4 2ce 2t. Indsættes denne sammen med udtrykket for x(t) i den oprindelige differentialligning, er det muligt at se, om løsningen passer. Prøv selv. Lineære differentialligninger har ikke kun én løsning. De har faktisk uendeligt mange. Løsningerne kan dog opskrives på en måde, så man i ét udtryk har den såkaldte fuldstændige løsningsmængde eller blot den fuldstændige løsning. Den fuldstændige løsningsmængde er derfor ikke nogen funktion, men en samling af uendeligt mange funktioner det er derfor ikke muligt at tegne grafen for den fuldstændige løsning; man kan højst tegne grafen for nogle af løsningerne, som den fuldstændige løsning indeholder. Nogle gange kan det være hensigtsmæssigt at bruge komplekse tal i differentialligningers løsningsproces, hvilket leder til komplekse løsninger. Disse løsninger kan imidlertid ikke bruges konkret hvorfor løsningerne transformeres til reelle løsninger. De komplekse tal bliver derfor kun brugt som et værktøj, hvilket behandles i en senere enote Linearitet og løsningsstruktur Inden vi skal i gang med at behandle de enkelte typer af lineære differentialligninger, betragtes de generelt under ét. Dette gøres for at vise, hvad det vil sige, at en differentialligning er lineær, og hvilken form løsninger til sådanne differentialligninger har.

3 enote LINEARITET OG LØSNINGSSTRUKTUR 3 En vilkårlig lineær differentialligning kan skrives på formen f (x(t)) = q(t), t I, (11-3) hvor q : I R er en funktion af t og kaldes højresiden, og x : I R er den ukendte funktion, man ønsker at bestemme. f : C n (R) C 0 (R) er en lineær afbildning med definitionsrummet C n (R) og dispositionsrummet C 0 (R). Netop når f er en lineær afbildning, er differentialligningen lineær. Værdien af tallet n 0 er bestemt af differentialligningens orden. Højresiden indeholder alle led i ligningen, hvor funktionen x(t) eller dens afledede ikke indgår. Følgende definition er en gentagelse af en allerede kendt definition om lineære afbildninger (se definition 8.5). Med den er det muligt at afgøre, om f er en lineær afbildning, og derfor om differentialligningen f (x(t)) = q(t) er lineær. Definition 11.2 Lineære differentialligninger En differentialligning f (x(t)) = q(t) er lineær, hvis ligningens venstreside f (x(t)) opfylder begge linearitetsbetingelser: 1. f (x 1 (t) + x 2 (t)) = f (x 1 (t)) + f (x 2 (t)) 2. f (k x(t)) = k f (x(t)), altså hvis f : C n (R) C 0 (R) er en lineær afbildning hvor n angiver differentialligningens orden (det højeste antal gange x(t) forekommer differentieret i ligningen). x(t), x 1 (t), x 2 (t) er løsninger til differentialligningen, og k C er en konstant. Eksempel 11.3 Lineære differentialligninger? Givet er de to differentialligninger x (t) + x 2 (t) = 4t og (11-4) (t 1)x (t) t 2 x(t) + 3 = 0. (11-5) Undersøg, om de to differentialligninger er lineære. Vi benytter definition På grund af overskueligheden skrives x(t) blot som x i dette eksempel. Først undersøges det, om f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) + f (x 2 ) er opfyldt, altså om f (x 1 + x 2 ) ( f (x 1 ) + f (x 2 )) er lig nul, og derefter om f (k x(t)) = k f (x(t)) er opfyldt, altså om

4 enote LINEARITET OG LØSNINGSSTRUKTUR 4 f (k x) k f (x) er lig nul. Den første ligning For (11-4) er højresiden q(t) = 4t og f (x) = x + x 2. Betingelse 1 i sætning 11.2 testes: f (x 1 + x 2 ) ( f (x 1 ) + f (x 2 )) =(x 1 + x 2 ) + (x 1 + x 2 ) 2 (x 1 + x1 2 + x 2 + x2) 2 =x 1 + x 2 + x1 2 + x x 1 x 2 x 1 x1 2 x 2 x2 2 =2x 1 x 2 = 0 (11-6) Vi stopper allerede nu, da det første krav ikke er opfyldt. x (t) + x 2 (t) = 4t er altså en ikke-lineær differentialligning. Den anden ligning (11-5) omskrives først til formen f (x(t)) = q(t), og vi får da, at venstresiden er f (x) = (t 1)x t 2 x, og at højresiden er q(t) = 3. f afprøves nu med betingelse 1 i sætning 11.2: f (x 1 + x 2 ) ( f (x 1 ) + f (x 2 )) =(t 1)(x 1 + x 2 ) t 2 (x 1 + x 2 ) (t 1)x 1 + t 2 x 1 (t 1)x 2 + t 2 x 2 =(t 1)x 1 + (t 1)x 2 t 2 x 1 t 2 x 2 (t 1)x 1 + t 2 x 1 (t 1)x 2 + t 2 x 2 =0 (11-7) Den første betingelse er opfyldt. Hvad med den anden? f (k x) k f (x) =(t 1)(kx) t 2 (kx) k((t 1)x t 2 x) =(t 1)(kx) t 2 (kx) (t 1)kx + t 2 kx = 0 (11-8) Andet kriterium er ligeså opfyldt, og differentialligningen (t 1)x (t) t 2 x(t) + 3 = 0 er derfor lineær. Ved at kigge på en differentialligning, er det med lidt øvelse muligt at se, om den er lineær eller ej: For eksempel hvis der optræder potenser, logaritmer eller opløftninger af x(t), er differentialligningen ikke lineær. Løsningen til en lineær differentialligning er opbygget på samme måde som løsningen til en lineær ligning. Løsningen er en sum af ligningens kerne (den fuldstændige løsningsmængde til den tilsvarende homogene ligning) og en partikulær løsning til den inhomogene ligning. I lineære ligninger er kernen enten nulvektoren eller flerdimensional. I lineære differentialligninger har kernen altid flere dimensioner. Det vil sige, at differentialligningens løsningsmængde er entydig og flerdimensional men udspænder uendeligt mange funktioner, og derfor samlet set ikke er en entydig funktion. Herunder er en sætning, der ligesom definitionen ovenfor gentager, hvad vi allerede

5 enote LINEARITET OG LØSNINGSSTRUKTUR 5 ved om sådanne lineære afbildninger og lineære ligninger, men som er specificeret til differentialligninger. Den skal dels give et overblik over, hvordan vi kan gribe en differentialligning an og løse den, og dels sætte nogle enkelte begreber på plads. Sætning 11.4 Løsningsstruktur Den lineære differentialligning f (x(t)) = q(t), t I (11-9) kaldes inhomogen, når højresiden q(t) = 0. Den tilsvarende differentialligning kaldes homogen. f (x(t)) = 0, t I (11-10) Den fuldstændige løsningsmængde L inhom til den inhomogene differentialligning har formen L inhom = x 0 (t) + L hom, (11-11) hvor x 0 (t) er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning, og L hom er den fuldstændige løsningsmængde til den tilsvarende homogene differentialligning. Additionen i ligning (11-11) betyder, at den fuldstændige løsningsmængde til den inhomogene ligning er lig den partikulære løsning til den inhomogene ligning adderet med samtlige funktioner udspændt af den fuldstændige løsningsmængde til den homogene ligning. Sætningen er en følge af, at f er en lineær afbildning og behøver derfor ikke et bevis i denne sammenhæng. Læg mærke til at x 0 (t) er en funktion, hvorimod L hom og L inhom er mængder af funktioner. For at give et overblik over, hvordan notationen er omkring sammenspillet mellem løsninger i form af funktioner og mængder, gives herunder et eksempel. Det er vigtigt at forstå denne notation, der bliver brugt i resten af enoten.

6 enote LINEARITET OG LØSNINGSSTRUKTUR 6 Eksempel 11.5 Løsningsstruktur Givet er den lineære inhomogene differentialligning Tilsvarende findes den homogene differentialligning x (t) + 2x(t) = t, t R. (11-12) x (t) + 2x(t) = 0, t R, (11-13) som har den fuldstændige løsningsmængde L hom bestående af følgende funktioner for alle c R : x(t) = ce 2t, t R. (11-14) Hvordan vi er kommet frem til løsningen, er ikke relevant i denne sammenhæng (gør eventuelt selv prøve). En anden måde at skrive præcis det samme er som L hom = { ce 2t t R, c R }. (11-15) Det læses sådan: Den fuldstændige homogene løsningsmængde L hom er lig mængden af alle funktionerne ce 2t, hvorom der gælder, at t R og c R. Begge skrivemåder vil blive brugt fremover. En partikulær løsning til den inhomogene differentialligning er x 0 (t) = t, t R. (11-16) Læg mærke til, at den partikulære løsning er en funktion og ikke en mængde af funktioner heraf kommer navnet partikulær. Det er nu muligt at opstille den fuldstændige løsningsmængde til den inhomogene differentialligning ved hjælp af sætning 11.4: L inhom = x 0 (t) + L hom = t + { ce 2t t R, c R } = { t + ce 2t t R, c R }. (11-17) Det læses således: L inhom er mængden af funktioner t + ce 2t, hvorom der gælder, at t R og c R. Tilsvarende kan man skrive følgende: Den fuldstændige løsningsmængde L inhom til den inhomogene differentialligning er lig mængden af følgende funktioner for alle c R: x(t) = t + ce 2t, t R. (11-18)

7 enote ORDENS LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER ordens lineære differentialligninger Vi betragter nu den generelle 1. ordens lineære differentialligning, der kan udtrykkes ved x (t) + p(t)x(t) = q(t), t I, (11-19) hvor p : I R og q : I R er kontinuerte funktioner. Det overlades til læseren at vise, at differentialligningen er lineær. Hvis højresiden q(t) er forskellig fra nul, er differentialligningen inhomogen; i modsat fald er den homogen. Vi ønsker at bestemme den fuldstændige løsningsmængde L inhom, hvilket gøres generelt i nedenstående løsningsformel, som populært kaldes Panserformlen. Sætning 11.6 Panserformlen Den 1. ordens lineære differentialligning, som har formen x (t) + p(t)x(t) = q(t), t I, (11-20) hvor p : I R og q : I R er kontinuerte funktioner, har den fuldstændige løsningsmængde L inhom bestående af følgende funktioner for alle de arbitrære konstanter c R: ( ) x(t) = e P(t) e P(t) q(t)dt + c, t I, (11-21) hvor P(t) = p(t)dt. Bemærk specielt at den fuldstændige løsningsmængde L hom til den tilsvarende homogene differentialligning (hvor q(t) = 0) består af følgende funktioner for alle de arbitrære konstanter c R: x(t) = c e P(t), t I. (11-22) Bevis I den inhomogene differentialligning (11-20) indgår funktionen p(t), og vi indfører en vilkårlig stamfunktion til denne, så P(t) = p(t)dt. Man får den idé at gange ligningen igennem med e P(t) og betragter derefter venstresiden: e P(t) x (t) + e P(t) p(t)x(t) = e P(t) q(t). (11-23) Med et vågent øje lægger man mærke til, at venstresiden er en differentialkvotient til et produkt af to bestemte funktioner, nemlig e P(t) x(t), fordi man ved hjælp af produktreglen får

8 enote ORDENS LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER 8 følgende: (e P(t) x(t)) = e P(t) x (t) + (e P(t) ) x(t) = e P(t) x (t) + e P(t) p(t)x(t). (11-24) Det er altså muligt at erstatte venstresiden af (11-23) med (e P(t) x(t)), hvilket giver (e P(t) x(t)) = e P(t) q(t). (11-25) Integreres begge sider med hensyn til t fås: e P(t) x(t) = e P(t) q(t)dt + c, (11-26) hvor c R er en arbitrær konstant. Ganges på begge sider med e P(t) fås løsningsformlen, som vi kalder Panserformlen: ( ) x(t) = e P(t) e P(t) q(t)dt + c, t I. (11-27) Den fuldstændige løsningsmængde består af ovenstående funktioner for alle c R. Eksempel 11.7 Løsning med Panserformlen Givet er differentialligningen x (t) + 2 t x(t) = 8t 10 t, t > 0. (11-28) Med Panserformlen, sætning 11.6, er det muligt at finde den fuldstændige løsningsmængde L inhom. Vi har p(t) = 2 10 t og q(t) = 8t t. Først bestemmes P(t): 2 P(t) = p(t)dt = dt = 2 ln t. (11-29) t Vi har da e P(t) = e 2 ln t = e ln(t 2) = t 2 = 1 t 2. (11-30) Af dette følger, at e P(t) = t 2. Nu bruges Panserformlen: ( ) x(t) = e P(t) e P(t) q(t)dt + c = 1 ( ( t 2 t 2 8t 10 ) ) dt + c t = 1 ( ) t 2 (8t 3 10t)dt + c = 1 ) (2t 4 t 2 5t 2 + c x(t) = 2t c t 2, t > 0. (11-31)

9 enote ORDENS LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER 9 Den fuldstændige løsningsmængde L inhom består af de ovenstående funktioner, hvor alle c R. Man kan ligeså skrive det sådan: L inhom = { 2t c t 2 } t > 0, c R. (11-32) Eksistens og entydighed Vi ser på den 1. ordens lineære differentialligning, som har formen x (t) + p(t)x(t) = q(t), t I, (11-33) og som kan løses med sætning I sætningen indgår den arbitrære konstant c, som angiver, at der er uendeligt mange funktioner, som er løsninger til differentialligningen, og de udspænder en løsningsmængde. Ofte er man kun interesseret i netop én løsning altså én funktion som opfylder nogle betingelser. En sådan betingelse kaldes en begyndelsesværdibetingelse. En begyndelsesværdibetingelse kan for eksempel være, at man kender funktionsværdien i t = 0. Af de uendeligt mange funktioner, som en lineær differentiallignings løsningsmængde indeholder, er der måske kun få måske endda kun én som opfylder netop den betingelse. Dette beskrives i sætning 11.9 nedenfor om eksistens og entydighed. Forklaring 11.8 Hvad er eksistens og entydighed? Eksistens og entydighed handler om, hvorvidt der findes løsninger til differentialligninger og om disse er entydige. Eksistens er forholdsvis ligetil: Findes der en løsning til ligningen? Hvis ja, eksisterer løsningen. Nogle gange finder man ud af, at løsningen eksisterer ved at bestemme den. Andre gange er det muligt at finde ud af, at løsningen eksisterer uden at kunne bestemme den. At udføre sådanne eksistensbeviser er ikke en del af denne enote. Entydighed er en smule mere komplekst. Vi har før lært, at når man løser lineære ligninger, vil løsningen nogle gange indeholde frihedsgrader (frie variable). Det betyder i så fald, at der ikke kun er en enkelt løsning, men uendeligt mange. Med lineære differentialligninger udspænder de fuldstændige løsningsmængder altid uendeligt mange løsningsfunktioner. Vi har altså ikke en entydig funktion, selvom vi har den fuldstændige løsningsmængde. En ikke-entydig løsning er i mange praktiske tilfælde ikke brugbar det er ikke

10 enote ORDENS LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER 10 muligt at få entydige funktionsværdier, og man kan ikke tegne grafen for funktionen. I dette afsnit har vi set på løsningen til 1. ordens differentialligninger, der ved hjælp af sætning 11.6 ser således ud: ( ) x(t) = e P(t) e P(t) q(t)dt + c. (11-34) For alle c R udgør disse funktioner den fuldstændige løsningsmængde og altså ikke en entydig funktion. Konstanten c udtrykker graden af frihed, som funktioner, der er løsninger til differentialligningen, må have. c bliver derfor kaldt en arbitrær konstant. Funktionsværdien x(t) er ikke entydig, før vi har bestemt c. Arbitrær betyder vilkårlig. Man gør løsningen entydig ved hjælp af såkaldte begyndelsesværdibetingelser eller randværdibetingelser. En begyndelsesværdibetingelse er i denne sammenhæng et sæt af to tal, der kæder én værdi af t (kaldet t 0 ) sammen med den tilsvarende funktionsværdi x (kaldet x 0 ). Man skal kende begge værdier. Med dem er det muligt at opstille en ligning og bestemme c. Man får derved en løsning, kaldet en betinget løsning, som er en entydig funktion. Det er nu muligt at beregne funktionsværdier og tegne grafen for funktionen. I andre sammenhænge kan der optræde flere tal i et sæt af begyndelsesværdibetingelser for at få entydige, betingede løsningsfunktioner. Sætning 11.9 Eksistens og entydighed Til ethvert talsæt (t 0, x 0 ) findes der netop én (betinget) løsning x bet (t) til differentialligningen x (t) + p(t)x(t) = q(t), t I, (11-35) hvor p : I R og q : I R er kontinuerte funktioner, således, at (t 0, x 0 ) kaldes en enkelt begyndelsesværdibetingelse. x bet (t 0 ) = x 0. (11-36)

11 enote ORDENS LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER 11 Bevis Vi har fra sætning 11.6, at løsningen til differentialligningen (11-35) er af formen ( ) x(t) = e P(t) e P(t) q(t)dt + c, (11-37) hvor integralet er ubestemt. Det ubestemte integral indeholder samtlige bestemte integraler, og derfor må følgende bestemte integral også være en løsning til differentialligningen: ( t ) x(t) = e P(t) e P(u) q(u)du + c. (11-38) t 0 Integrationsvariablen må ikke være den samme som variablen i grænserne, så derfor er integrationsvariablen skiftet til u. Begyndelsesværdibetingelsen x bet (t 0 ) = x 0 er givet, og denne indsættes i ligningen: ( t0 ) x 0 = e P(t 0) e P(u) q(u)du + c = e P(t0) (0 + c). (11-39) t 0 Med en hurtig omskrivning finder vi ud af, at der kun er én løsning for c. c = e P(t 0) x 0 (11-40) Derfor er der netop kun én løsning x bet (t), der opfylder kravene, og sætningen er vist. Eksempel Entydig, betinget løsning I eksempel 11.7 fandt vi den fuldstændige løsningsmængde til differentialligningen x (t) + 2 t x(t) = 8t 10 t, t > 0, (11-41) nemlig L inhom = { 2t c/t 2 t > 0, c R }. Med sætning 11.9 og begyndelsesværdibetingelsen (t 0, x 0 ) = (1, 2) kan man bestemme en entydig løsning, her kaldet x bet (t), med x bet (1) = 2. x bet (t) udtrækkes af den fuldstændige løsningsmængde, og begyndelsesværdibetingelsen indsættes for at bestemme c. x 0 = 2t c t = c 1 2 c = 5. (11-42) Derfor er den entydige og betingede løsningsfunktion til differentialligningen givet ved x bet (t) = 2t t 2, t > 0. (11-43)

12 enote ORDENS LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER Løsningsstrukturen til 1. ordens differentialligninger I nogle tilfælde kan det være svært at bruge sætning 11.6 til at løse en 1. ordens differentialligning, fordi den indeholder integralet e P(t) q(t)dt, som kan være grimt og svært at bestemme. Hvis differentialligningen derimod har et pænt udseende, kan man gætte sig til en enkelt løsning til differentialligningen og samtidig bestemme samtlige løsninger til den tilsvarende homogene ligning ved hjælp af ligning (11-22) i samme sætning. Det bygger på den grundlæggende struktursætning for løsninger til lineære differentialligninger fra sætning 11.4 og munder ud i følgende metode omhandlende løsningsstrukturen af den lineære 1. ordens differentialligning. Metode ordens løsningsstruktur Den fuldstændige løsningsmængde L inhom til den lineære 1. ordens differentialligning x (t) + p(t)x(t) = q(t), t I, (11-44) kan ved hjælp af sætning 11.4 opdeles i to: 1. Den fuldstændige løsningsmængde L hom til den tilsvarende homogene ligning, for eksempel bestemt ved hjælp af sætning En partikulær løsning til den inhomogene ligning x 0 (t), for eksempel bestemt med et gæt. Strukturen af løsningen er da L inhom = x 0 (t) + L hom = { x 0 (t) + ce P(t) t I, c R }, (11-45) hvor P(t) = p(t)dt. Eksempel Løsningen opdeles Den lineære 1. ordens differentialligning har den fuldstændige løsningsmængde x (t) + 2x(t) = t, t R (11-46) L inhom = { t + ce 2t t R, c R }. (11-47) Ifølge metode om strukturen (og sådan set også sætning 11.4) kan løsningen deles op i den fuldstændige løsningsmængde L hom til den homogene ligning og en partikulær løsning

13 enote ORDENS LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER 13 x 0 (t) til den inhomogene ligning. Dette er vel at mærke også gældende, selvom løsningen er fundet ved hjælp af sætning Man kan umiddelbart finde de to udtryk ud fra funktionsudtrykket ovenfor: L hom = { ce 2t t R, c R } og (11-48) x 0 (t) = t, t R. Eksempel Løsning ved hjælp af gæt Givet er differentialligningen x (t) t 1 x(t) =, t > 1. (11-49) 2 + 2t 1 + t Denne differentialligning har samme form som ligningen omtalt i metode 11.11, hvorfor vi bruger denne løsningsmetode. Man kunne lige vel have prøvet at bruge sætning 11.6, men der er en idé i at bruge den anden metode, og det gøres der rede for her. Ved brug af Panserformlen Når sætning 11.6 bruges, bestemmes P(t) og e P(t). p(t) aflæses af differentialligningen, og vi har og P(t) = t dt = t dt = 1 ln(1 + t) (11-50) 2 e P(t) = e 1 2 ln(1+t) = 1 + t. (11-51) I Panserformlen indgår integralet e P(t) q(t)dt, som i dette tilfælde ser således ud: 12t 1 12t t 1 + t dt = dt. (11-52) 1 + t Det er ikke nemt at bestemme dette integral. Derfor tyer vi til helt andre midler og bruger metode i stedet. Ved brug af et gæt 1) Først bestemmes en partikulær løsning x 0 (t) til den inhomogene ligning. For at gøre dette, ganges differentialligningen (11-49) igennem med 1 + t, (1 + t)x (t) + 1 x(t) = 12t 1. (11-53) 2 Ud fra differentialligningens form ses det, at et førstegradspolynomium må være en partikulær løsning! Dette kan konkluderes, fordi højresiden er et førstegradspolynomium, faktoren foran x (t) højst har graden én, og faktoren foran x(t) har graden nul. Vi gætter altså på en løsning, der har form som et førstegradspolynomium, nemlig x 0 (t) = at + b, og vi skal nu bestemme de to konstanter a og b, hvilket gøres ved indsættelse. Vi har desuden x 0 (t) = a. (1 + t)a + 1 (at + b) = 12t 1 ( ) a 12 t + (a + 12 ) b + 1 = 0. (11-54)

14 enote ORDENS LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER 14 For at denne ligning kan være opfyldt for ethvert t R, må der gælde, at 3 2 a 12 = 0 og a + 1 2b + 1 = 0. Ved at løse disse to ligninger fås a = 8 og b = 18. En partikulær løsning til den inhomogene differentialligning er derfor x 0 (t) = 8t 18. Det var altså muligt at bestemme en løsning ved hjælp af et gæt. 2) Nu bestemmes den fuldstændige løsningsmængde L hom til den tilsvarende homogene ligning: x (t) + 1 x(t) = 0. (11-55) 2 + 2t Dette kan gøres ved brug af ligning (11-22) i sætning Vi skal bruge e P(t), men da vi allerede kender e P(t) fra ligning (11-51), har vi nemt, at e P(t) = t. (11-56) Den fuldstændige løsningsmængde L hom til den homogene differentialligning er L hom = { ce P(t) t > 1, c R } { } c = t > 1, c R. 1 + t (11-57) 3) Den fuldstændige løsningsmængde L inhom til den inhomogene differentialligning (11-49) er så givet ved L inhom = x 0 (t) + L hom = { 8t 18 + c 1 + t } t > 1, c R. (11-58) I eksempel benyttede vi, at uanset om vi bruger strukturmetoden, metode 11.11, eller Panserformlen, sætning 11.6, er det altid muligt at dele løsningen op i to: løsningen til den homogene differentialligning og løsningen til den inhomogene differentialligning (den partikulære løsning). Kombineres dette med, hvad vi har lært om entydighed, kan vi komme frem til en generel fremgangsmåde for løsning af lineære differentialligninger, som står i nedenstående boks og er illustreret i figur 11.1.

15 enote ORDENS LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER 15 Når man løser en lineær differentialligning (ikke nødvendigvis en af 1. orden), er det meget ofte således, at man er interesseret i en entydig og betinget løsning; altså en løsning, der opfylder et sæt af begyndelsesværdibetingelser. Man kan dog ikke gå den direkte vej til denne løsning, men er nødt til at gå over tre trin først: 1) den fuldstændige løsningsmængde til den homogene ligning, 2) en partikulær løsning til den inhomogene ligning (hvis q(t) = 0), hvilket giver 3) den fuldstændige løsningsmængde til den inhomogene ligning. Med denne løsning og en tilpas mængde af begyndelsesværdibetingelser kan man endeligt bestemme den betingede løsning. Læg mærke til, at den partikulære løsning ikke nødvendigvis er den ønskede betingede løsning, selvom den er entydig. Der kræves blot en vilkårlig partikulær løsning. Løsningsfremgangsmåden er illustreret i figur L hom Begyndelsesværdibetingelser f (x(t)) = q(t) L inhom x bet (t) x 0 (t) Figur 11.1: Forløbet ved løsning af en lineær differentialligning Herunder kommer et eksempel, der viser, hvordan det er muligt at gå baglæns i proceduren vist i figur Løsningen til en 1. ordens differentialligning er givet, men hvordan ser differentialligningen egentlig ud? Eksempel Fra løsning til differentialligning Givet er den fuldstændige løsningsmængde til en lineær 1. ordens inhomogen differentialligning, L inhom = { te 5t + ct t > 0, c R }. (11-59) Bestem den tilhørende differentialligning, som har formen (Altså bestem p(t) og q(t).) x (t) + p(t)x(t) = q(t). (11-60) Først betragtes den tilsvarende homogene differentialligning. Løsningen til denne kan spot-

16 enote ORDENS LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER 16 tes i ligning (11-59). Der gælder således, at L hom = { ct den homogene differentialligning generelt ser således ud t > 0, c R }. Endvidere vides, at x (t) + p(t)x(t) = 0. (11-61) x(t) = ct er en løsning til denne differentialligning, og derfor kan p(t) bestemmes. Vi har også at x (t) = c. c + p(t)ct = 0 p(t) = 1 t. (11-62) Da vi nu kender p(t), mangler vi kun at bestemme højresiden q(t) i den oprindelige inhomogene differentialligning. x(t) = te 5t + ct er en løsning til denne differentialligning, hvilket ses af ligning (11-59). Vi har også, at x (t) = e 5t 5te 5t + c. Udtrykkene for x(t) og x (t) indsættes i den generelle differentialligning, hvor vi nu også ved, at p(t) = 1/t: e 5t 5te 5t + c 1 t (te 5t + ct ) = q(t) q(t) = 5te 5t. (11-63) Da nu både p(t) og q(t) er bestemt, er hele differentialligningen bestemt: x (t) 1 t x(t) = 5te 5t. (11-64)

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Lektion ordens lineære differentialligninger

Lektion ordens lineære differentialligninger Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Hans J. Munkholm: En besvarelse af

Hans J. Munkholm: En besvarelse af Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002

Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 Differentialligninger og nummeriske metoder Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 1 INDHOLD 2 Indhold 1 Indledning 3 2 Definition af 1. og 2. ordens differentialligninger 3 2.1 1. ordens differentialligninger....................

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger en blid start på Differentialligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer

INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssstemer x-klasserne Gammel Hellerup Gmnasium 1 Indholdsfortegnelse DIFFERENTIALLIGNINGER... 3 Lineære 1.ordens

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Differensligninger og populationsstørrelser

Differensligninger og populationsstørrelser Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere