Kvantemekanik for fodgængere

Transkript

1 Kvantemekanik for fodgængere "Fornuften i fornuften = det sande. Fornuften i viljen = det gode. Fornuften i fantasien = det skønne." (Hilsen fra H.C. Ørsted til H.C. Andersen) 24. april Teleportation - transport af kvanteinformation I TV-serien Star Trek med rumskibet Enterprise, Dr. Spock og de andre astronauter i det ydre rum, havde man et apparat til at ytte mennesker over fjerne afstande ved at opløse kroppen til atomer og samle dem igen på et nyt sted. De kaldte det teleportation. "Beam me up, Scotty!"er blevet et standardudtryk for foryttelse af et menneske til nye opgaver. De danske fysikere Eugene Polzik og Jens Sørensen gennemførte i 1998 en teleportation af en lysstråle. I juni 2002 teleporterede to australiere en laserstråle. Charles H. Bennett sammen med fem andre kolleger fra Californien beviste i 1992, at det i princippet er muligt at eftergøre nummeret i Star Trek: teleportation af et legeme med mange atomer. Teleportation af mennesker er dog ikke noget, der ligger lige om hjørnet. Et menneske består af atomer. Mængden af kvanteinformation fra disse atomer er uhyrlig og teleportering af denne information virker som en uoverstigelig opgave. 1

2 2 Denitioner Fysikkens udvikling kan beskrives efter opdagelsen af de tre grundlæggende naturkonstanter gravitationskonstanten G, lyshastigheden c og Plancks konstant h, som vil blive nævnt i det følgende: 1. G 1687: Klassisk mekanik, incl. Newtons gravitationslov 2. c 1864: Klassisk elektrodynamik 3. c 1905: Relativistisk mekanik (den specielle relativitetsteori) 4. c+g 1916: Relativistisk gravitation (den generelle relativitetsteori) 5. h 1927: Kvantemekanik 6. c+h ca : Kvantefeltteori (kombinerer kvantemekanik med relativitetsteori og elektrodynamik) 7. h+g? : Kvantegravitation (er endnu i støbeskeen) 3 Baggrund for kvantemekanikkens opståen Dagliglivet i 1800-tallet før 1900 var præget af industriel revolution, politiske omvæltninger og tekniske fremskridt overalt i samfundet: trådløs telegra, dampmaskinen, den elektriske pære, cyklen, bilen og kort efter 1900 yvemaskinen. Efter udgivelsen af Newtons værk Principia i 1687 anså de este naturen og universet som et mekanisk urværk med lodder og trisser, grundlagt på den fundamentale naturkonstant, gravitationskonstanten G. Efter, at den danske fysiker Hans Christian Ørsted ( ) i 1820 opdagede forbindelsen mellem elektrisk strøm og magnetisme og efter, at James Clerk Maxwell ( ) i 1864 formulerede de matematiske principper for elektrodynamikken, så det ud, som om fysikkens bygning var fuldendt. Lyshastigheden c, en anden fundamental naturkonstant, kunne Maxwell udregne eksakt og bekræftede Ole Rømers måling fra Der var lidt problemer med nde en konsistent beskrivelse af det medium, som lyset bevæger sig i. Maxwells teorier havde godt nok bevidst, at lys er elektromagnetiske bølger, men teorien om, at der fandtes et allestedsnærværende medium (en æter), som lyset bevæger sig i, var modbevist i 1887 af amerikanerne Albert A. Michelson og Edward W. Morley. Der var henimod 1900 ere og ere problemer, der var uløste. Fysikken vaklede i sit fundament. Hvad var da fysikkens lososke fundament omkring 1900? 2

3 4 Fysikkens grundlag 1. Determinismeprincippet: Hvis to dele af et isoleret system vekselvirker med hinanden, og deres position, fart og retning til at begynde med er kendt, så kan man vha. Newtons love beregne delenes position, fart og retning på ethvert senere tidspunkt. Før Efter V1 U1 U2 Figur 1: To kugler (e.g. billardkugler) støder sammen i decentralt stød. V2 2. Kontinuitetsprincippet: Alle processer forløber kontinuert i rum og tid. "Natura non saltus datur": naturen gør ingen spring, sagde man i middelalderen. a) Når en partikel bevæger sig fra A til B, gennemløber den alle punkter mellem A og B - uden overspring. b) Vand, der varmes op fra 15 C til 100 C gennem løber alle temperaturpunkter. A B Figur 2: En partikel bevæger sig fra A til B. Atomfysikken efter 1913 underminerede begge disse principper, så vi nu må leve med, at mikroverdenen er indeterministisk og diskontinuert. Lad os se på, hvordan det hele startede. 3

4 5 Klassisk fysik 600 f. Kr e. Kr. Den første, der begyndte med tanken, at naturen havde atomistiske træk var Demokrit ( f. Kr.) fra Lilleasien. Her var losoen startet ca. 600 f. Kr. med Thales fra Milet (ca f. Kr.), da han begyndte at stille spørgsmål til, hvad naturens og menneskets væsen var. Demokrit mente, at den livløse materie og selv psykologiske fænomener kunne beskrives ved at henvise til små udelelige stofdele, altså atomer. Den menneskelige sjæl bestod af små letbevægelige atomer, så når mennesket døde, var der ingenting tilbage. Mennesket ophørte med at eksistere. Dette livssyn kaldes materialisme. Det var der andre losoer, der reagerede imod bl.a. Platon ( f. Kr.) og Aristoteles ( f. Kr.). Platon, elev af Sokrates, gik til den modsatte yderlighed: den her verden er ikke den virkelige verden. Idéernes verden, dvs. åndens verden, er den virkelige verden. Mennesket skal gennem at skue de evige idéer hæve sig op over den materielle verden og ved døden indgå i den evige verden som en slags gud. Dette livssyn kaldes idealisme. Aristoteles var logiker og naturlosof, søn af en livlæge ved det makedonske hof, læste f. Kr. ved Platons akademi, f. Kr. lærer for den unge Alexander (senere kaldet den Store). Aristoteles mente ikke, at naturen og de psykiske fænomener består af atomer, men mente, at materie er ét stort sammenhængende hele - et kontinuum og, at legemer i bevægelse kun kan forblive i bevægelse, hvis de er påvirkede af en kraft. Aristoteles og senere Ptolemæus (ca e. Kr.) mente, at Jorden var universets centrum (det geocentriske verdensbillede), og at Jorden er rund. En anden græker i Alexandria, Aristarkos, oprindeligt fra Samos, havde målt Jordens radius meget simpelt og meget nøjagtigt. Aristarkos mente, at Solen var centrum i universet (det heliocentriske verdensbillede). Den katolske kirke gjorde de este af Platons og Aristoteles' tanker til dogmer. Nicolaus Kopernikus ( ) genoptog i 1509 Aristarkos' tanke, at Solen og ikke Jorden var centrum i vores Solsystem, men dette var kætteri i kirkens øjne. Folk var begyndt at tænke selv i tallet og var begyndt at eksperimentere. Fysiske eksperimenter begyndte for alvor med Galileo Galilei ( ), der lagde programmet for fysikken med at sige: Mål alt, der er måleligt, og gør det måleligt, der ikke er det. Galilei studerede bl.a. faldbevægelser med skråplaner og fandt faldloven s = 1 2 g t2. Han gik ind for det heliocentriske verdensbillede og skrev om det. Galilei måtte den 22. juni 1633 ind for inkvisitionen afsværge sine skrifter som kætterske og er først for nyligt blevet rehabiliteret. Han døde i husarrest i Atomteorien genopstod ikke før i 1803, da den engelske meteorolog og kemiker John Dalton ( ) brugte teorien som en måde at forklare mængden af stof i kemiske forbindelser. Han vidste ikke, hvordan atomerne så ud, men 4

5 sagde, at hvis to grundstoer danner mere end én kemisk forbindelse, og der i de respektive forbindelser er forskel på antal atomer af de enkelte grundstoffer, så er der et heltalligt forhold mellem masserne af de enkelte grundstoer. For eksempel: 133 g oxygen reagerer med 100 g kulstof og danner 233 g kulmonoxid. 266 g oxygen reagerer også med 100 g kulstof og danner 366 g kuldioxid. Forholdet mellem masserne af oxygen er 266:133 = 2:1. Dette kaldes loven om multiple proportioner, og disse heltallige forhold mellem masserne inspirerede Dalton til at genoptage Demokrits teori om eksistensen af atomer. Elektricitet og i sidste ende elektronens opdagelse spillede en central rolle i fremkomsten af moderne atomfysik. Fra den græske oldtid kendte man til elektricitet som fænomen, men man havde ikke kunnet forklare det i moderne forstand. Længe før Thales vidste man, at rav blev besjælet ved at blive gnedet med skind. Magnetjernsten var levende, dvs. magnetisk. Ordet elektricitet blev første gang anvendt af dronning Elisabeth den 1.'s livlæge William Gilbert, da han i 1600 udgav bogen De Magneta, hvor han anvendte ordet den elektriske kraft ud fra det græske ord for rav, ɛλεκτϱoν. Den engelske fysiker og kemiker Michael Faraday ( ) samlede i 1834 sine erfaringer med elektrolyse og konkluderede, at elektrisk ladning er bundet til atomerne. Ireren George J. Stoney ( ) konluderede i 1874 ud fra Faradays forsøg, at der måtte ndes en elektrisk mindsteladning, en elementarladning. Uafhængig af Stoney nåede tyskeren Herman von Helmholtz ( ) til samme konklusion. Stoney foreslog ordet elektron til den elektriske elementarladning. I 1869 opdagede den tyske fysiker Wilhelm Hittorf ( ) katodestrålerne. De er helt analoge med de elektriske udladninger, der sker i atmosfærens højere lag. Atmosfæren består af forskellinge gasarter: ilt, kvælstof, vand, kuldioxid m.m., og ved tilstrækkelig stor spændingsforskel mellem to skyer eller en sky og jorden vandrer elektrisk ladning fra gasmolekyle til gasmolekyle og får disse til at udsende lys (lyn). Faraday havde opfundet et lukket glasrør (udladningsrør), som indeholder to metalelektroder, der er indstøbt i hver sin ende af røret. Røret pumpes næsten lufttomt eller forsynes med en alternativ, udtyndet gasart. Når en høj spænding lægges hen over elektroderne, ses nogle stråler (katodestråler) gå fra den negative elektrode (katoden) til den positive elektrode (anoden) samtidig med, at glasset ourescerer. Fra Hittorfs opdagelse begyndte en intens forskning i katodestråler. De este tyske fysikere mente, at de bestod af elektromagnetiske bølger, mens de engelske fysikere hældede til den opfattelse, at det var partikler. I 1895 kom Wilhelm Conrad Röntgen ( ) til at lade en fotogrask plade ligge ved siden af sit udladningsrør. Dermed var røntgenstrålerne opdaget. I 1896 havde en franskmand Henri Besquerel bemærket, at et mineral, han havde liggende på hans bord, sværtede en fotogrask plade. Dermed var radioaktiviteten opdaget. Pierre ( ) og Marie Curie ( ) isolerede de radioaktive grundstoer polonium og radium og påviste, at radioaktivitet er en egenskab ved 5

6 atomet. I 1897 undersøgte Sir Joseph John Thomson de negative katodestråler i hans udladningsrør og fandt, at strålen bestod af partikler. Disse negativt ladede partikler kaldte han korpuskler. Da korpusklerne kom fra katodens metalatomer, sluttede han, at både den positive ladning og de negative korpuskler er bundet til atomerne. En anden irsk fysiker, George Fitzgerald ( ), nevø til George Stoney, konkluderede ud fra Thomsons forsøg, at de ladningsbærende korpuskler var frie elektroner. + J. J. Thomson beskrev atomet som + et plumpudding atom, på dansk + rosinbolle atom, hvor elektronerne er + tilfældigt lejrede som rosiner i en positiv bolledej. + + Mange begyndte på denne tid at snakke om mystiske stråler og deres evt. lægende virkning. På kystsanatoriet i Rungsted lagde man tuberkulosepatienterne ud i middagssolen, så de kunne få gavn af solens ultraviolette stråler. Langt op 1920'erne troede man, at en passende indtagelse af det radioaktive tungmetal radium kunne helbrede visse sygdomme. Efter Marie og specielt Pierre Curies tidlige død i hhv og 1934 fandt man efterhånden ud af, at de også kunne være dødbringende. I år 1900 arbejdede Max Planck ( ) i Berlin med såkaldt hulrumsstråling. I en lukket, sort kasse står usynlig infrarød stråling og vibrerer frem og tilbage mellem kassens sider som en stående bølge. Gennem et lille vindue i den sorte kasse var Planck i stand til at måle intensiteten og dermed energien af denne stråling og den eneste måde, hvorpå matematikken passede sammen med fysikken, var, hvis man antog, at hulrumsstrålingen havde atomistiske træk. Dermed menes, at energien af hulrumsstrålingen er opdelt i portioner, kaldet kvanter med energien E = hν, hvor h = J s Konstanten h kaldes det universelle virkningskvantum. Kvantefysikken var hermed grundlagt. h er den tredie fundamentale naturkonstant. 6 Paradoksernes tid Perioden fra Max Plancks opdagelse af det universelle virkningskvantum og indtil Bohrs atomteori i 1913 kunne man kaldte paradoksernes periode. Det bliver klart, når vi ser på g. begivenheder: 1905 er Albert Einsteins ( ) mirakuløse år. Mens han arbejdede på et patentkontor i Bern udgav han tre skelsættende artikler, som alle var en Nobelpris værdig. Disse artikler handlede om: 6

7 Den specielle relativitetsteori, kun forstået i en lille kreds af fysikere. Den fotoelektriske eekt: A. Einstein: Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreende heuristischen Gesichtspunkt, Annalen der Physik 17, 132 (1905). For denne opdagelse k Einstein Nobelprisen i fysik i Brown'ske bevægelser. En konsekvens af relativitetsteorien er, at masse er en form for energi. Ved radioaktive omdannelser af atomkernerne frigøres noget af atomkernernes masse i form af stråling, og den omdannede masse svarer til en energi på E = m c 2 En anden konsekvens er, at hvis et legeme med hvilemassen m(0) bevæger sig med en hastighed v, der ligger tæt på lysets hastighed c = m/s, så vil legemets masse forøges til m(v) = m(0) 1 v2 c 2 Den fotoelektriske eekt, dette, at lys kan rive elektroner løs fra et atom, bekræfter, at lys har impuls p = hν/c ligesom materielle partikler kan have bevægelsesmængde p = m v eller impuls p = F dt Da hulrumsstråling er kvantiseret i energiportioner hν, så er det nærliggende at antage, at alle elektromagnetiske bølger er kvantiserede, altså opdelt i portioner af energi. Einstein kaldte energiportionerne for fotoner (Newton kaldte dem lyskorpuskler) og tildelte dem energien E = hν. Den engelske læge og multividenskabsmand Thomas Young ( ) viste i 1801 i sit optiske dobbeltspalteforsøg, at lys er en bølgebevægelse. Bølger er delokaliserede i tid og rum, dvs. om en bølge kan man ikke sige, at den er dér eller dér, den er over det hele på samme tid. En partikel derimod kan man tildele et sæt koordinater (x, y, z) = r i rummet, hvor den vil bende sig til et givet tidspunkt t, som kan måles med et ur. Koordinaterne kan måles med en målestok ud fra et nulpunkt, man selv vælger, men hvordan måler man beliggenheden af en bølge til en given tid? Så paradokset efter 1905 var: hvordan kan lys, som er en delokaliseret bølge, virke lokalt ligesom en partikel 7

8 og f. eks. slå en elektron løs fra et atom? Hvordan kan lys være både delokaliseret og lokaliseret, dvs. hvordan kan lys have både bølge- og partikelegenskaber? Bohr viste senere, at dette spørgsmål var forkert stillet. I 1911 sad Lord Ernest Rutherford ( ) og hans medarbejdere på University of Manchester og undersøgte rosinbolleatomets egenskaber ved at bruge de nyligt opdagede α-partikler fra radioaktive mineraler. Han lod α-partiklerne bombardere et ultratyndt guldfolie og k overraskende resultater: guldatomet havde en massiv kerne med positiv ladning (radius m), som fyldte en meget lille del af atomets rumfang (radius m). Han måtte derfor slutte, at atomets negative ladning - elektronerne - fyldte rummet udenom kernen, mao. kredsede omkring kernen som et minisolsystem (Rutherfords planetmodel). +Ze Kerne r Elektron Figur 3: Rutherfords atommodel Figur 4: Elektron, der absorberes af kernen. Dette gav anledning til et nyt paradoks: hvis elektronen er i et cirkelformet kredsløb om kernen, er den i en tilstand af konstant accelleration ind mod kernen pga. centripetalkraften. Ig. den klassiske elektrodynamik skulle elektronen 8

9 dermed udsende elektromagnetisk stråling ligesom en lille antenne. Dermed ville den tabe energi. Ig. den klassiske formel E = 1 1 Ze 2 2 4πε r for elektronens potentielle energi i dens bane om kernen skulle radius r for elektronens bane blive mindre og mindre, dvs. elektronen bevæger sig ind mod kernen i en spiral indtil den absorberes af kernen. Med andre ord: hvis den klassiske fysik i et splitsekund skulle træes at gælde i atomernes verden, ville vores omverden, vores krop og hele universet ophøre med at eksistere. Så et andet parakoks efter 1911 var: hvorfor er atomerne stabile? Hvorfor gælder den klassiske fysik ikke i atomernes verden? 7 Tidlig kvantefysik Niels Bohr ( ) kommer ind fra sidelinien (hans lillebror Harald var iøvrigt med til at vinde guld i fodbold i OL 1908 og scorer to år senere en doktorgrad i matematik) og indfører to såkaldte postulater (Bohrs atomteori): Stationære tilstande Et atom kan kun eksistere i stationære tilstande, hvor elektronen kredser om kernen i strålingsløse tilstande med veldenerede energier E = R n 2 Kvantespring En elektron kan kun ændre sin energi i diskontinuerte spring fra et øvre niveau '1' til et nedre niveau '2' under udsendelse af en foton med energien E 1 E 2 = hν n = 1, 2,... kaldes hovedkvantetallet. Bohrs atomeori forklarede atomernes stabilitet og de monokrome linier i atomernes liniespektre. Men så fandt den tyske fysiker Arnold Sommerfeld ( ) på universitetet i München ere linier, som Bohrs teori ikke kunne gøre rede for. Sommerfeld indfører derfor nogle nye ellipseformede baner ud over Bohrs cirkelformede (gur 5). For at skelne mellem dem benytter han baneimpulsmomentet L = r mv og indfører derfor et nyt kvantetal, bikvantetallet l = 0, 1, 2,..., n 1, dvs. l har n værdier. Hvis n = 3, så er l = 0, 1 og 2. Den opndsomme, hollandske fysiker Pieter Zeemann ( ) fandt i 1896 på at putte atomerne ind i et inhomogent magnetfelt, hvorved farvespektret ændrede sig. Linierne delte sig svarende til, at der opstod et antal nye stationære tilstande (baner). Hver elliptisk bane tildeles derfor et magnetisk kvantetal m, 9

10 n = 3 l = 0 l = 1 l = 2 Figur 5: Sommerfelds ændring af Bohrs stationære tilstande. der fortæller, hvordan banen vender i forhold til magnetens nordpol (gur 6). Antallet af nye baner afhænger af bikvantetallet l sådan, at m = l, l +1,..., +l 1, +l. l = 1 m = +1 m = 0 m = 1 Figur 6: Elektronbanernes skiftende stillinger i et magnetfelt. To tyske fysikere Otto Stern ( ) og Walter Gerlach ( ) udførte i 1921 et berømt forsøg, som viste, at elektronen spinner om sin egen akse ligesom en snurretop. Pga. dette spin opstår et spinimpulsmoment s. Da elektronene kan rotere to veje, indfører Stern og Gerlach to spinkvantetal s = 1 og 2 s = 1 (gur 7). 2 Ved hjælp af de re kvantetal n, l, m og s kan elektronens tilstand i atomet beskrives entydigt. Derved har kvantefysikken været i stand til at forklare hele det periodiske system. Wolfgang Pauli ( ) opstillede udelukkelssprincippet, der siger, at to elektroner ikke kan have samme re kvantetal. 10

11 s = ½ s = +½ Figur 7: Elektronens spin om sin egen akse. 8 Kvantemekanikkens tilblivelse Mens de tyske fysikere snakkede om kvantetal og baner for elektronerne, greb den franske fysiker Louis de Broglie ( ) i 1924 fat i Einsteins fotonteori. Hvis elektromagnetiske bølger kan have partikelegenskaber, så kunne man omvendt forestille sig, at materielle partikler kan tilskrives bølgeegenskaber. Partiklen er en slags materiebølge. Mao.: bølge-partikel dualiteten måtte gælde både bølger og partikler. Vi tænker os, at vi har en partikel med massen m, f.eks. en elektron i et atom: 1. Partikelegenskaben giver: p = m v 2. Bølgeegenskaben giver: p = E c, E = hν, c = λ ν Sætter man disse formler sammen, får man, at: p = h λ og λ = h mv dvs. en partikel med massen m og farten v kan tilskrives bølgelængden h mv. Den kaldes partiklens de Broglie-bølgelængde. Denne teori blev først endelig anerkendt i 1927, da de amerikanske fysikere Clinton Joseph Davisson ( ) og Lester Halbert Germer ( ) eksperimentelt påviste, at en elektronstråle blev spredt fra overaden af et nikkelkrystal på samme måde som en røntgenstråle, og de målte elektronens de Broglie-bølgelængde. Louis de Broglies teori om partiklen som en materiebølge blev straks taget op af Werner Heisenberg ( ). På et kurophold på Helgoland i 1925 droppede Heisenberg helt at tale om elektronens bane i atomet. Han lod i stedet de fysiske størrelser: energi, impuls, bevægelsesmængde, impulsmoment osv., repræsentere af en såkaldt operator Â, som er en rent matematisk størrelse. Disse operatorer har såkaldte egenværdier a, bestemt ved egenværdiligningen Âφ = aφ 11

12 hvori operatoren indgår sammen med en egenvektor φ. Egenværdierne a, af hvilke der kan være mange, er de fysiske størrelser, som vi måler på vores måleapparatur. De sidder i en såkaldt matrix. F. eks. ser energioperatoren sådan ud: Ĥ = ˆp2 2m, og egenværdiligningen for energien: ser derfor således ud: hvor ˆp = i er impulsoperatoren, og = h/2π Ĥφ( r) = (E V )φ( r) 2 2m 2 φ( r) = (E V )φ( r) (1) Energiegenvektoren φ( r) er her en abstrakt matematisk vektor, nemlig en bølgefunktion. Ved hjælp af disse egenværdiligninger skabte Heisenberg begyndelsen til en fast matematisk struktur for kvantemekanikken, hvor man kan udregne værdierne for de fysiske størrelser i den atomare verden. Da Heisenberg kom hjem fra Helgoland, gik han, Max Born ( ) og Pascual Jordan ( ) i gang med at færdigudvikle den nye kvantemekanik, som blev kaldt matrixmekanik (die Dreimännerarbeit). Energi-egenværdiligningen kaldes også den tidsuafhængige Schrödingerligning, fordi den østrigske fysiker Erwin Schrödinger ( ) fandt denne ligning på en anden måde. Han greb ligeledes Louis de Broglies idé om materiebølger for de materielle partikler og opstillede i 1926 både den tidsuafhængige og den tidsafhængige Schrödingerligning. Den sidste ser således ud: ψ( r, t) i t = 2 2m 2 ψ( r, t) I denne ligning repræsenterer ψ( r, t) den matematiske funktion for partikelbølgen. På en skiferie i de østrigske alper nytåret 1925/26 anvendte Schrödinger energiegenværdiligningen på det simpleste af alle atomer, brintatomet, og fandt energiegenværdier præcis magen til energierne i Bohrs stationære tilstande. Schrödingers bølgemekanik var enklere at bruge fremfor Heisenbergs tungere matrixmekanik, og den gav også de rigtige værdier. Det bekræftede igen de Broglies idé, at bølgepartikeldualiteten også gjaldt partikler. 8.1 Matematisk frikvarter For at forklare, hvad de mærkelige tegn i Schrödingerligningerne står for, vil vi tage et matematisk intermezzo. 12

13 8.1.1 Denition af komplekse tal Hensigten med dette afsnit er at forklare, hvad tallet i i Schödingerligningen betyder. I algebraen har man noget, der kaldes konjugerede tal. F.eks. er løsningerne til ligningen x 2 9 = 0 x = 3 eller x = +3. De siges at være hinandens konjugerede. De kaldes som bekendt også rødderne i ligningen. Løsningen til, eller rødderne x i, ligningen er Konjugerede tal har altså formen Men hvad med rødderne i ligningen De giver x 2 6x + 1 = 0 x = eller x = a + b c og a b c x = 0? x = 1 eller x = + 1 Det kan man jo ikke, eller kan man? I 1545 sad en italiener, Girolamo Cardano, og nørklede med følgende to ligninger: x + y = 10 x y = 40 Han søgte værdierne for x og y. Han fandt, at x = og y = 5 15 Altså to konjugerede løsninger. Cardano bemærkede ikke noget om det umulige i kvadratroden af negative tal. En af Cardanos samtidige landsmænd, Raphael Bombelli, foreslog at behandle umulige rødder, som om de var almindelige tal. Hvis vi forestillede os (eng. imagine), at 1 er lig med et tal i. Så kunne Cardanos løsninger skrives x = 5 + i 15 og x = 5 i 15 Tallet i = 1 kaldes et imaginært tal. Et tal z = x+iy kaldes et komplekst tal. Den engelske matematiker John Wallis gav en geometrisk tolkning af komplekse tal. På en vandret akse satte han x-værdierne, og på en lodret akse satte 13

14 Y I (0,y) (x,y) yi z = x + iy (0,2) 2i (0,1) i (1,0) (x,0) X 1 x X Figur 8: Geometrisk tolkning af et komplekst tal vha. cartesiske koordinater. han de imaginære værdier, helt på samme måde som ved René Descartes' koordinatsystem fra x-aksen kaldes så den reelle akse, og y-aksen kaldes den imaginære akse. Et komplekst tal kan altså skrives som et punkt (x, y) i planen: z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy og vi har følgende: i = 0 + i 1 = (0, 1) i 2 = i i = 1 1 = 1 i ( i) = i i = ( 1) = Regning med komplekse tal 1. Hvis z 1 = 3 + 2i og z 2 = 5 4i, så er z 1 + z 2 = (3 + 2i) + (5 4i) = 8 2i z 1 z 2 = (3 + 2i) (5 4i) = 2 + 6i z 1 z 2 = (3 + 2i) (5 4i) = i z 1 = 3 + 2i (3 + 2i)(5 + 4i) = z 2 5 4i (5 4i)(5 + 4i) = 7 + i Hvis z = x + iy = (x, y), så er den komplekst konjugerede = i22 41 z = x iy = (x, y) og z 2 = z z = (x + iy)(x iy) = x 2 ixy + ixy + iy ( iy) = x 2 + y 2 dvs. z er hypotenusen i den retvinklede trekant, der har x og y som kateter. z er altså afstanden (kaldet modulus) fra (0, 0) til z = (x, y). 14

15 I z = x + iy = (x,y) r = z θ X Figur 9: Geometrisk tolkning af et komplekst tal med polære koordinater. 3. Hvis vi kalder z = r og vinklen mellem r og x-aksen for θ, så kan talparret (r, θ) anvendes som en anden slags koordinater til punktet (x, y). De kaldes polære koordinater. Et komplekst tal kan da skrives i polære koordinater som z = r e iθ Dierentialkvotient Hensigten med dette afsnit er at forklare, hvad de underlige størrelser ψ og t 2 ψ i Schrödingerligningerne betyder. De kaldes begge dierentialkoecienter af funktionen ψ. Og hvad er så det? En ret linie med ligningen y = α x + b har som bekendt stigningstallet eller hældningskoecienten α og skæringspunktet (0, b) med y-aksen, jfr. gur 10. F.eks. har linien med ligningen y = 0, 5 x + 2 stigningstallet α = 0, 5 og skærer y-aksen i (0,2). Stigningstallet udregnes ved at vælge to punkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) og så bruge formlen: eller, som man også tit skriver for nemheds skyld: α = y 2 y 1 x 2 x 1 (2) α = y x 15

16 (x2,y2) (0,b) 1 α (x1,y1) Figur 10: Geometrisk betydning af stigningstal. Eksempel: Hvis (x 1, y 1 ) = ( 6, 1) og (x 2, y 2 ) = (2, 3), så er stigningstallet: α = 3 ( 1) 2 ( 6) = = 4 8 = 0, 5 Formlen 2 kaldes dierenskvotienten. Den bruger man i fysikken, når man f.eks. skal regne gennemsnitsfarten ud. Et faldende legeme L følger Galileis faldlov: s(t) = 1 2 gt2 = 4, 91 t 2 Det vil sige: hvis L starter faldet til tiden t = 0, så er vejen s(t) en funktion af (afhænger af) tiden t, målt i sekunder. Gennemsnitsfarten i et givet tidsrum t 2 t 1 kan vi skrive v = s t = s 2 s 1 t 2 t 1 = s(t 2) s(t 1 ) t 2 t 1 For eksempel er gennemsnitsfarten efter 0,3 sek v = s(0, 3) s(0) 0, 3 0 = 4, 91 0, , 3 0 = 0, 442 0, 3 = 1, 47 m/sek Så for at nå frem til hensigten med al denne snak: at forstå, hvad en dierentialkvotient er, så ved vi nu, at for at nde gennemsnitsfarten skal man måle den tilbagelagte vej s i et vist tidsrum t og dividere de to med hinanden. Men hvad nu, hvis vi i stedet for gennemsnitsfarten over et tidsrum t ønsker at kende farten i et bestemt punkt B (gur 12)? Læg mærke til, at gennemsnitsfarten fra 16

17 S t Figur 11: Galileis faldlov s(t) = 1 2 gt2. punktet A til punktet B er stigningstallet for sekanten gennem de to punkter A og B mellem, hvilke vi udregner gennemsnitsfarten, jfr. formel 2. Hvis nu punktet A på gur 12 nærmer sig punktet B, så A og B til sidst falder sammen, så vil sekanten til sidst falde sammen med tangenten i B. Stigningstallet for tangenten i B er da øjebliksfarten i punktet B = (2,2). Øjebliksfarten v til tiden t skrives v(t) = ds dt dt betyder egl. det samme som t, blot er dt et uendelig lille tidsinterval. Man skal forestille sig, at t i formel 2 bliver uendelig lille og bliver til dt. Det betyder, at s også bliver uendelig lille og bliver til ds. Man kalder også ds og dt for dierentielle størrelser og brøken ds kaldes en dierentialkvotient. dt I den tidafhængige Schrödingerligning afhænger bølgefunktionen ψ både af stedet r = (x, y, z) og af tiden t. Dierentialkvotienten ψ( r,t) betyder, at x, y t og z holdes konstante. Det er kun tiden t, der varierer. er en tredimensional dierentialoperator: = ( x, y, z ) 17

18 S Tangent i (2,2) Sekant fra (0,0) til (2,2) B (2,2) A (0,0) t Figur 12: Gennemsnitsfarten fra punktet A til punktet B er stigningstallet for sekanten gennem A og B. Øjeblikshastigheden i punktet B er stigningstallet for tangenten i B. Hvis den sættes i anden, ser den således ud: 2 = 2 x y z 2 Hvis vi f.eks. snakker om en partikel, der bevæger sig langs en ret linie (en x-akse), er energioperatoren lig med: Ĥ = 2 2m x 2 Den tidsafhængige Schrödingerligning for en partikel langs en ret linie kan da skrives: ψ(x, t) i = 2 2 ψ(x, t) t 2m x 2 Løsningen til en sådan ligning er ikke x eller t, men funktionen ψ(x, t), som er den bølgefunktion, vi er interesserede i. 8.2 Ubestemthed og komplementaritet - den klassiske determinismes tilkortkommenhed i den atomare verden Det, der startede hele denne diskussion om bølgers partikelegenskaber og atomare partiklers bølgeegenskaber var Max Plancks opdagelse af det universelle virkningskvantum h. Dette, at energien er kvantiseret, er et helhedstræk ved naturlovene, 2 18

19 dvs. det gælder ved alle naturlove, når vi er nede i atomernes verden. Elektromagnetiske bølger er kvantiserede: det mindste kvantum energi for en elektromagnetisk bølge kaldes en foton. Lydbølger er kvantiserede: det mindste kvantum energi for en lydbølge kaldes en fonon. Gravitationsbølger er kvantiserede: det mindste kvantum energi for en gravitationsbølge kaldes en graviton. Kvantegravitation handler om en forening af gravitationskonstanten G og Plancks konstant h. Februar 1927 diskuterede Bohr og Heisenberg i ere dage og nætter de s- por, som elektronerne afsætter i et tågekammer. Der kan man tilsyneladende direkte se elektronernes baner. Denne tydeligt afgrænsede bane lignede ikke en bølgebevægelse. I tågekammeret er elektronen en fri partikel og dermed helt delokaliseret, dvs. en bølge. Dette var et paradoks. Da de kørte sur i diskussionerne, aftalte de at holde fri nogle dage. Bohr tog på skiferie i Norge, Heisenberg blev på Blegdamsvej i København. I denne periode fandt de hver for sig sin del af løsningen, ubestemtheden og komplementariteten Ubestemthed Naturen er kvantiseret, når virkningerne har samme størrelsesorden som Plancks konstant, dvs. i størrelsesordenen Hvad vil det sige? Hvad er en virkning? Ethvert objekt i naturen, der virker på et andet objekt, overfører energi, impuls, bevægelsesmængde eller impulsmoment til det andet objekt. Den energi, der skal til for at få en fodbold på 500 g sparket af sted med en fart på 10 m/s, er E = 1 2 mv2 = 0, 5 0, 5kg 10 2 m 2 /s 2 = 25kgm 2 /s 2 = 25J Den energi, der skal til for rive en elektron løs fra et brintatom, er E = 13, 6eV = 13, 6 1, J = 21, J Når vi går fra en fodbold til en elektron, er der tydeligvis forskel i virkningen, her: energioverførelsen til hhv. bolden og elektronen, der er ca gange mindre ved elektronen. Antag, at vi ønsker at måle positionen x af en elektron. For at få information fra elektronen ind i måleapparaturet i form af noget energi, så må vi på den anden side tilføre elektronen energi, f.eks. i form af lys (gur 13). Energien af en foton af ultraviolet lys (bølgelængde λ = 10 nm) er: E = hν = h c λ = 6, J = J = 124, 3eV Sammenlignes det med den energi, der skal til for at rive elektronen løs fra et brintatom, må vi konkludere, at når man lyser på en elektron med denne energi for at få information om dens postition, vil måleapparatet påvirke elektronen på 19

20 Mikroskop hν p Kaotisk spredning af elektron ( p stor ) Elektronens position måles ( x lille ) Figur 13: Måling af positionen x for en elektron. en uforudsigelig måde. Årsagen til denne ubestemthed i elektronens opførsel ved en måling kan føres tilbage til eksistensen af virkningskvantet. For at undgå at påvirke elektronen kunne man tro, at vi bare kunne måle med en energi, mindre end hν. Pointen med og årsagen til kvanteteoriens opståen er, at dette ikke er muligt. Virkningskvantets eksistens betyder, at vi uvilkårligt vil forstyrre det objekt, vi måler på. Løsningen på tågekammerproblemet er, at sporet kun indirekte viser elektronernes bane. Det man ser, er dråberne, dannet af ioniserede gasmolekyler. Sporets bredde giver en ubestemthed x i elektronens position, som giver en ubestemthed p i dens impuls. Heisenberg fandt, at der var en omvendt proportionalitet i ubestemthederne: x p Dette kaldes Heisenbergs ubestemthedsrelation Komplementaritet Vores måleapparatur kunne f.eks. være Youngs dobbeltspalte, som vi lader én elektron passere igennem (gur 14). Da elektronen i dette forsøg er en bølge, vil den passere begge huller i apparatet og lave et interferensmønster på en skærm. At den går igennem begge huller betyder bare, at vi ikke ved, hvilket hul den går igennem. Vi siger, at der er en ubestemthed x i elektronens position x. På den anden side giver interferensmønsteret os præcis information om elektronens de Broglie-bølgelængde og dermed dens impuls p = h λ 20

21 Elektron p = mv x stor p lille Figur 14: Måling af positionen x for en elektron med to spalter åbne. Elektron p = mv x lille p stor Figur 15: Måling af positionen x for en elektron med én spalte åben. Det vil sige ubestemtheden p i elektronens impuls p er lille. Når x er stor, er p lille. Hvis vi nu lukker et hul, ved vi, hvilket hul elektronen går igennem, nemlig gennem det andet, åbne hul, dvs. x er lille. Til gengæld forsvinder interferensmønsteret, så vi mister informationen om elektronens bølgelængde og dermed dens impuls, dvs. p er stor (gur 15). Heisenberg fandt, at dette reciprokke forhold kunne udtrykkes x p (Heisenbergs ubestemthedsrelation) x og p siges efter Niels Bohr at være komplementære. Energi E og tid t er ligeledes komplementære: E t Læg mærke til, at ubestemthedsrelationerne kun har relevans for atomare partikler. For en fodbold med masse m 1 kg ses, at x v dvs. x 0 eller v 0. For en fodbold er der ingen ubestemthed i position x eller hastighed v. Vi kan måle både x og v samtidig med stor sikkerhed. 21

22 9 EPR-paradokset dags dato I 1935 udgav Einstein, Boris Podolsky og Nathan Rosen (EPR) en artikel, hvori de prøvede at vise, at kvantemekanikken er ufuldstændig, dvs. at den ikke beskriver hele virkeligheden. Einstein tænkte klassisk fysisk. Han var sikker på, at kvantemekanikken kunne gøres deterministisk og lokal. Der må ndes nogle ukendte, skjulte variable, som kan gøre kvantemekanikken kausal og lokal i klassisk forstand. Hvis kvantemekanikken er non-lokal som i Bohrs fortolkning, så indebærer det, at kvanteinformation kan bevæge sig hurtigere end lyset. Men der er ikke noget der kan overskride lyshastigheden, ig. Einsteins relativitetsteori. John S. Bell viste i 1964, at skjulte-variabel modeller ikke stemmer med kvantemekanikkens forudsigelser. Kvantemekanikkens forudsigelser er bekræftet eksperimentelt talløse gange siden Alain Aspect beviser i 1982, at Bohr har ret og EPR uret: atomare partikler er non-lokale, dvs. de har bølgeegenskaber. Heraf følger kvantemekanikken som beskrevet ovenfor. Hvis meget af dette har virket uforståeligt, så skal man ikke undre sig over det! Niels Bohr sagde: Hvis man ikke kan blive svimmel ved at tænke over perspektiverne i kvantefysikken (underforstået: hvis man mener at have forstået alt), så har man ikke forstået noget som helst. 22