Atomer og kvantefysik

Transkript

1 PB/2x Febr Atomer og kvantefysik af Per Brønserud Indhold: Kvantemekanik og atommodeller side 1 Elektronens bindingsenergier... 9 Appendiks I: Bølgefunktioner 12 Appendiks II: Prikdiagrammer af orbitaler 13 Appendiks III: Røntgenovergange og energier 14 side 1

2 PB december 2002 Kvantemekanik og atommodeller Et af de mest skelsættende resultater af den nytænkning, der foregik inden for fysikken i begyndelsen af det 20. århundrede, var formuleringen af kvantemekanikken. I 1905 formulerede Albert Einstein - bl.a. inspireret af Max Planck - kvantehypotesen for elektromagnestisk stråling (lys): Lys består af energikvanter - senere kaldet fotoner - med en energi givet ved E = h f, hvor f er frekvensen og h = 6, J s kaldes Planck s konstant. I perioden formuleredes en kvantefysik for fænomener på atomart plan - bl.a. af Niels Bohr, Erwin Schrödinger og mange andre. Ifølge denne teori må disse fænomener beskrives rent statistisk, idet der til enhver partikel i en given fysisk situation findes en såkaldt bølgefunktion ø= ø(x,y,z,t), som kan bruges til at beregne alle partiklens fysiske egenskaber som energi, position, mm. Hvis man ønsker at beregne sandsynligheden for at finde partiklen i et lille volumen ÄV omkring punktet (x, y, z), så skal man beregne: ψ ( x, y, z, t ) 2 V Dvs at ψ 2 er en sandsynlighedstæthedsfunktion. Vi skal ikke her komme ind på, hvordan partiklens øvrige fysiske egenskaber beregnes ud fra bølgefunktionen. Allerede i 1909 gennemførte englænderen G. I. Taylor et eksperiment, som viste fotonens statistiske opførsel: Eksperimentet er det velkendte med at sende lys ind mod en dobbeltspalte, og så iagttage et diffraktionsmønster (se figur). Taylor gjorde imidlertid det, at han brugte så svag en lyskilde, at han sikrede sig, at der kun var én foton på vej ad gangen. Alligevel viste det sig, at det velkendte mønster opbyggedes ved at anvende lang tids eksponering. Det vil altså sige, at sværtningskurven er et mål for sandsynligheden for at fotonen efter passage af spalterne bevæger sig i en given retning. side 2

3 I 1924 fremsatte franskmanden Louis de Broglie den hypotese, at også partikler som f.eks. elektroner udviser bølgeegenskaber. Hvis vi i Taylors eksperiment i stedet for fotoner bruger elektroner, og dimensionerne er passende små, så vil vi kunne iagttage et lignende diffraktionsmønster. Først 3 år senere lykkedes det Davisson og Germer at gennemføre et eksperiment med elektroner, der bekræftede dette. Vi kan også på skolen lave dette elektrondiffraktions eksperiment, som indgår i fysikpensum på højt niveau. I 1930 testede Estermann og Stern de Broglie s teori på en stråle af neutrale brint- og heliumatomer. Der blev igen iagttaget et diffraktionsmønster. I nyere tid er det lykkedes også at gøre det med neutroner. Partikler har altså bølgeegenskaber ligesom fotoner. Tyskeren Erwin Schrödinger opstillede i 1926 en ligning til bestemmelse af bølgefunktioner - f.eks. for stationære energi-tilstande af elektroner i et atom. Denne ligning er meget vanskelig at løse for et atom med mange elektroner - faktisk kan det kun tilnærmelsesvis lade sig gøre ved brug af de største datamaskiner. Men for et atom med kun én elektron kan det lade sig gøre at finde de eksakte matematiske løsninger. Disse er beskrevet i Appendiks I. Når man har bølgefunktionen, kan der tegnes en såkaldt banekurve eller på engelsk: en orbital. Det er en figur, der beskriver det område, hvor det er mest sandsynligt at finde elektronen. Det kan gøres ved med prikker at illustrere sandsynlighedstætheden, som vist på figurer i Appendiks II. Ofte tegnes orbitalen, som det område, hvor der er 90% chance for at finde partiklen. Dette er vist på de næste sider. Man kan også illustrere orbitaler med rumlige figurer. På skolen har vi sådanne af skumplast eller træ. Vi skal nu se på orbitalerne for elektronerne i et atom. I stedet for at bruge sædvanlige retvinklede koordinater (x, y, z), så vil vi i stedet bruge sfæriske koordinater ( r, θ, ϕ ). Det viser sig nemlig at bølgefunktionen kan skrives på formen: ψ ( r, θ, ϕ ) = R ( r ) Y ( θ, ϕ ) hvor kun funktionen R afhænger af hvilket atom, vi ser på. Det er denne funktion, der kun kan findes eksakt for et atom med én elektron. Derimod kan Y findes og er ens for alle atomer. Det betyder, at der nogle fællestræk for atomerne, som gør det muligt f.eks. at forstå opbygningen af det periodiske system. side 3

4 For at beskrive en elektrons fysiske tilstand skal vi indføre 4 kvantetal: n = 1, 2, 3, 4, 5,... l = 0, 1,.., n-1 m l = - l,.., -1, 0, +1,.., l s = ± ½ hovedkvantetallet eller Bohr s kvantetal (også benævnt K, L, M, N, O,...skallerne) bikvantetal (også benævnt s, p, d, f,... orbitaler) magnetisk kvantetal spin kvantetal De tre sidste kvantetal måles i enheder af = h/(2ð), læses h-streg, hvor h er Planck s konstant. Bikvantetallet l angiver, hvor meget elektronen cirkulerer (eller spinder ) i sin bane rundt om atomkernen. [For at være helt præcis, så skal elektronens banespin beregnes som L= l ( l + 1) ]. 1 Når en elektronen bevæger sig i cirklende baner, så danner den et magnetfelt, der er parallelt med rotationsaksen 2. Dette magnetfelt kan kun have visse diskrete retninger, som vist på figuren. Det magnetiske kvantetal m l angiver disse retninger i forhold til z-aksen, som vist: Bemærk, at der for hver l-værdi findes 2l+1 værdier af m l. Elektronen har også et indre spin, som gør, at den virker som en lille magnet, der kan have nordpol enten opad eller nedad i forhold til et ydre magnetfelt - f.eks. også i forhold til det magnetfelt som elektronen selv laver ved at kredse omkring atomkernen, hvis ellers l > 0. Model af elektronens spin egenskaber 1 For at give et indtryk af, hvordan en partikels spin (eller på engelsk angular momentum) beregnes, så kan det nævnes, at for en partikel med masse m, der bevæger sig i en cirkulær bane med radius r, og som har farten v, der er spindet L = m r v 2 Tænk på en strøm, der løber igennem en spole side 4

5 Elektronens spin blev opdaget af Stern og Gerlach i Hvis en stråle af neutralt Hydrogen sendes igennem et magnetfelt som vist på figuren, så deler partiklerne sig i to stråler: op eller ned. Dette eksperiment viser, at elektronen har et indre magnetfelt, idet en K-elektron befinder sig i en s- orbital, som intet banespin har. [De brugte oprindeligt neutralt Sølv; men det er lige så godt. Hvorfor?]. Eksperimentet kan også bruges til at måle størrelsen af elektronens spin. Vi skal nu se på orbitalerne i et atom.. Størst betydning for orbtalens udseende har bikvantetallet l. Hvis l = 0 (en s-orbital) er fordelingen kuglesymmetrisk om kernen. Der er dog forskel på den radiale fordeling afhængig af værdien for n (K, L, M,.. skallerne). Se figur 3-9 og Hvis l = 1 (en p-orbital), er der 3 retningen svarende til de tre koordinatakser. Rotationsaksen for p x, p y og p z orbitalerne er henholdsvis ensrettet, modsatrettet eller vinkelret på z-aksen. (Se figur næste side). Hvis l = 2 (en d-orbital) er der 5 orbitaler. Her er der 5 retninger for rotationsakserne, som vist på figuren på næste side. side 5

6 Men hvordan er elektronerne fordelt i disse orbitaler? I 1926 blev dette problem endeligt løst af Pauli og Heisenberg. Det kan formuleres i følgende princip opkaldt efter Pauli: Paulis udelukkelsesprincip: I enhver fuldstændig defineret elektrontilstand kan der kun være én elektron. Det betyder f.eks., at to elektroner i et atom ikke kan have alle 4 kvantetal ens. Dermed er vi nu i stand til at forstå hvordan elektronerne er fordelt i et atom på de forskellige skaller (K, L, M,.. ), når vi samtidig tilføjer det princip, at der i den yderste elektronskal kun kan findes s- eller p-elektroner. Hermed bliver også oktetreglen forklaret. side 6

7 For de første 10 grundstoffer ser atomernes grundkonfiguration - dvs laveste energitilstand - således ud: Bemærk, at når der fyldes elektroner i en p- underskal, placeres altid så mange elektroner med parallelt spin som muligt under hensyntagen til Paulis udelukkelsesprincip.dette er en eksperimentelt opdaget regel, kendt som Hundt s Lov. Flere af disse atomer har nogle nærtliggende eksiterede tilstande, som kun ligger nogle få ev over grundtilstanden: På næste sider er vist diagrammer over elektronfordelingerne for de forskellige grundstoffer. side 7

8 I dette diagram er ioniseringsenergien for et neutralt atom vist som funktion af atomnummeret Z. (De enkelte talværdier kan ses i tabellen ovenfor). Her ser vi, at kurvens maximaer svarer til, at en skal eller en underskal er fyldt op. side 8

9 I det næste diagram ses en udregning af, hvor mange elektroner, der kan befinde sig i de forskellige hoved-skaller og under-skaller. På sidens sidste diagram ses kurver, der viser bindingsenergierne for de forskellige orbitaler som funktion af atomnummeret. Disse kurver er tilvejebragt eksperimentelt. De forklarer samtidig, hvorfor elektronerne er placeret som vist på side 6. side 9

10 Elektronens bindingsenergier i et atom og strålingsemmision Som vist på figur 2 side 8 er bindingsenergien for elektroner i hovedtræk bestemt af kvantetallet n, sådan at jo lavere n er, jo større er bindingsenergien. Dette er illustreret på fig Det er dog en grov model. Dernæst spiller der også en rolle hvad slags orbital elektronen befinder sig i. Jo mere banespin der er i elektronbanen, jo lettere er den at rive løs. Det kan godt forstås intuitivt p.gr.a. den større centrifugalkraft. Det betyder, at s- har større bindingsenergi end p-, som igen har større end d-elektroner, osv. Men der er en faktor mere, som har betydning - nemlig elektronens indre spin. Hvis det magnetfelt, der opstår p.gr.a. banespindet er modsatrette magnetfeltet fra elektronens indre spin, så holder de to magnetfelter fast i hinanden - og dermed stiger bindingsenergien. Omvendt hvis de to magnetfelter er ensrettede, så frastøder de hinanden og bindingsenergien falder. Man kalder denne effekt for spin-bane effekten. Den kan beskrives ved et nyt kvantetal: j = l+ s F.eks kan en p-elektron have to j-værdier: j = 1 + ½ = 3/2 eller j = 1 - ½ = ½. I så fald taler vi om en P ½ eller en P 3/2 elektron. Det er j-værdien, som sammen med n og l - kvantetallene bestemmer bindingsenergien.dette er illustreret på fig ovenfor. Det betyder at der i K-skallen er ét energiniveau, i L-skallen 3, i M-skallen 5, osv. : K L I L II L III M I M II M III M IV M V N I...N VII O I... I Appendix III er anført en tabel over disse bindingsenergier. Når en elektron springer fra et niveau til et lavere, så sker der strålingsemmission. Det er imidlertid ikke alle overgange, der er lige sandsynlige, idet den udsendte foton bærer et indre spin på 1, og der skal være spinbevarelse, ligesom der skal være energibevarelse. Dette kan mest sandsynligt ske ved, at der sker et skift på én i l-værdien. Altså: Äl = ±1. side 10

11 Dette er illustreret på både fig ovenfor og på figuren for Na-overgange til højre. Bemærk de to overgange fra 3P ½ og 3P 3/2 til 3S ½ har en forskel på 6Å. Det kan netop ses med det blotte øje i lysspektret fra natrium. En overgang fra f.eks. 2S ½ til 1S ½ er meget lidt sandsynlig; men det kan dog ske ved at elektronen vender sit indre spin fra f.eks. +½ til -½. Dermed sker der en samlet spin-ændring på 1. Som et kuriosum kan det nævnes, at der for en K-elektron også er en spin kobling til kernens spin. I Hydrogen er elektronens energiniveau ev højere, hvis de to spin er ensrettede, end hvis de er modsatrettede. Det giver en emission af en stråling med en bølgelængde på 21 cm.. Det er bl.a. denne stråling man ser efter med radioteleskoper, når man skal påvise skyer med neutralt brint i Universet. Da denne stråling ikke stoppes så let af støvskyer, så er den f.eks. brugt til at kortlægge Mælkevejen. Derved blev det opdaget, at vi bor i en spiralgalakse med mange store skyer af neutral brint i spiralarmene. side 11

12 Appendiks I For hydrogen-lignende atom med kerneladningen +Ze og med én elektron ser forskrifterne for bølgefunktionerne således ud: side 12

13 Appendiks II Orbitaler illustreret med prikdiagrammer, hvor variationen i tæthedsfunktionerne tydeligt kommer frem. side 13

14 Appendiks III Røntgenovergange, bindingsenergier og røntgenenergier i detaljer: side 14

15 side 15

16 side 16