Kvantemekanik 8 Side 2 af 10 Observable og operatorer. Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter ( ) O= O. (8.4)
|
|
- Børge Christiansen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kvantemekanik 8 Side 1 af 10 Opsummering Egenskaber ved operatorrepræsentanter Det blev i KM3-4 vist, at enhver målbar bevægelsesegenskab (observabel) er repræsenteret ved en operator, som for position, bevægelsesmængde og energi er angivet i hhv. udtryk (3.21), (3.22) og (4.3). Disse operatorrepræsentanter bruges til at afkode information om den pågældende observabel, idet forventningsværdien for en observabel O for en kvantepartikel i en kvantetilstand ψ er givet ved udtryk (3.20) eller (3.25). Som vist for energien i KM4 s. 4 opnås altid den samme værdi O, hvis den pågældende observabel måles for en kvantepartikel, der er i en egentilstand ψ O for Ô ( Oˆ ψo OψO ) =. I en egentilstand for en observabel O er denne bevægelsesegenskab således veldefineret. I KM4 s. 2-3 blev det vist, at for et tidsuafhængigt potential som i udtryk (4.7) er egentilstandene for energien separable i r og t, jf. udtryk (4.11). Endvidere udgør egentilstandene for et systems Hamiltonoperator et fuldstændigt sæt, sådan at en vilkårlig tilstand kan skrives som i udtryk (4.14), eller evt. som i udtryk (4.16), hvis energispektret er diskret/kvantiseret. I den forbindelse er 2 n c og ce ( ) 2 de hhv. sandsynligheden for at måle den kvantiserede energi E EE ; + de. E n og sandsynligheden for at måle en energi i intervallet
2 Kvantemekanik 8 Side 2 af 10 Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter Alle operatorrepræsentanter Ô har flg. egenskaber: Ô er lineær: ( ) Oc ˆ ψ + cψ = coˆψ + côψ. (8.1) Som det f.eks. fremgår af opg. M, er operatorrepræsentanternes linearitet en nødvendig forudsætning for at kunne bringe superpositionsprincippet i anvendelse. Ô er Hermitisk : Til en operator Ô 1 hører en Hermitisk konjugeret operator Ô, der opfylder ψ1 ( Oˆ ψ ˆ 2 ) ( ψ1 O ) ψ2, (8.2) svarende til * ( ) ( ) ψ rto, ψ rtdr, Oψ rt, ψ rtdr, 3. (8.3) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) * En operator er Hermitisk, hvis den er sin egen Hermitisk konjugerede 2 : 3 ˆ ˆ O= O. (8.4) 1 Svarende til at der til ethvert komplekst tal hører en kompleks konjugeret. 2 Svarende til at et komplekst tal er reelt, hvis det er sin egen kompleks konjugerede. 3 For en Hermitisk operator er udtrykket Ô Ô 1 2 virker mod højre på ket en eller mod venstre på bra en. ψ ψ således utvetydigt, idet det betyder det samme, hvad enten Ô
3 Kvantemekanik 8 Side 3 af 10 Som det fremgår af nedenstående, er operatorrepræsentanter nødvendigvis Hermitiske, idet deres målbare egenværdier O ellers ikke ville være reelle: idet ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) O= O = O = O = O ψ * O ψo ψo ψo ψo ψo ψo ψ O = O *, ψ O Oˆ (8.5) * = ψo O (8.6) er den komplekskonjugerede version af egenværdiligningen for O ˆ. Egentilstandene for O ˆ er separable i r og t og udgør et fuldstændigt sæt 4 : ψ rt, = T tφ r, (8.7) ( ) ( ) ( ) O O O sådan at man ved at lade den tidsafhængige del indgå i udviklingskoefficienterne 5 får 6 ψ φ φ. (8.8) ( rt, ) cot (, ) ( r) do cn( t) n( r) = O + n Fuldstændigheden af O s egentilstande er en nødvendig betingelse for, at måling af O er beskrevet ved veldefinerede sandsynligheder, der som bekendt er givet ved (, ) 2 cot do og c () t 2. n 4 For systemer med tidsuafhængige potentialer kan alle løsninger til Schrödingerligningen i udtryk (4.5), og herunder således også egentilstande for O, skrives i 2 3 ˆ Ht i 1 1 (, ) (,0) 1 ˆ i ˆ i ψ r t = e ψ r = Ht + Ht + Ht ˆ + ψ ( r,0), 2 6 der for ψ ( r,0) = φe ( r) reducerer til udtryk (4.11). 5 c( O, t) c( O) T( t), c( t) c T( t) = =. O n n n 6 Denne måde at skrive overlejringen på er helt generel, idet en evt. kvantiseret del af egenværdispektret blot er skilt ud fra den kontinuerte del. Dette vil være praktisk for f.eks. et atom eller en kvantebrønd som den i opg. F, hvor energiegenværdispektret er diskret for de bundne tilstande med E < 0 og kontinuert for de frie/ioniserede tilstande med E > 0.
4 Kvantemekanik 8 Side 4 af 10 Egentilstandene for enhver operatorrepræsentant Ô er som tidligere nævnt de tilstande, hvori man vil måle det samme - nemlig den til egentilstanden hørende egenværdi - hver gang, man måler den bevægelsesegenskab, som Ô repræsenterer. En vilkårlig tilstand er en overlejring af egentilstandene, hvorfor egenværdierne således udgør de måleresultater, der kan opnås.
5 Kvantemekanik 8 Side 5 af 10 Egentilstande for positionen Egenværdiligningen for positionen er givet ved r φ r = r φ r (8.9) eller jf. udtryk (3.21) ( ) ( ) ˆ r 0 0 r 0 r φ r r r. (8.10) ( ) = φ ( ) r0 0 r0 Løsningen til udtryk (8.10) er φ r ( r) = δ ( r r ) 0 0, (8.11) idet deltafunktionen indsat giver r 0= r0 0 for r r0 r δ 0 = r δ 0 for r = r. 0 og ( ) ( ) 0 0 Da egentilstandene for observablen r udgør et fuldstændigt sæt, og da egenværdierne er kontinuerte, fås ifølge udtryk (8.8): 3 3 ψ ( rt, ) = cr 3 ( 0, t) φ r ( r) dr 3 ( ) ( ) 0 0 = cr0, tδ r r0 dr = crt,. ( ) 0 (8.12) Den vægt crt (, ), hvormed egentilstanden for positionen med tilhørende egenværdi indgår i en vilkårlig tilstand ψ ( rt, ), er således bølgefunktionen ( rt, ) svarende til at sandsynligheden crt (, ) 2 dv ψ r selv, for at få en realisation af positionen i rumfanget dv omkring egenværdien r jo netop er det samme som sandsynligheden ψ dvfor at måle en position i rumfanget dv omkring punktet r. ( rt, ) 2
6 Kvantemekanik 8 Side 6 af 10 Kommutatorer I henhold til usikkerhedsrelationen fra udtryk (1.17) kan det ikke lade sig gøre samtidigt at bestemme x og p x med vilkårlig stor nøjagtighed. Noget helt tilsvarende gælder for y- og z-komposanterne, og derfor siges positionen r og bevægelsesmængden p at være ikke-kompatible observable, idet kompatibel i denne sammenhæng således betyder samtidigt målbar. Om to observable A og B er kompatible afgøres af den såkaldte kommutator 7 Aˆ, Bˆ AB ˆ ˆ BA ˆˆ, (8.13) idet to observable er kompatible, hvis deres kommutatorrelation er nul: AB ˆ, ˆ 0 =, (8.14) hvilket vil sige at den rækkefølge, hvormed  og ˆB virker, er ligegyldig 8 : AB ˆ ˆ = BA ˆˆ. (8.15) 7 Bemærk, at en kommutator således er en operator. 8  og ˆB siges i så fald at kommutere.
7 Kvantemekanik 8 Side 7 af 10 Da og dermed ψ xp ˆˆ xψ ( x, t ) = x, i x ψ px ˆx ˆ ψ ( xt, ) = ( xψ ) = ψ + x, i x i i x ψ ψ xp ˆ, ˆx ψ = ( xp ˆˆx px ˆxˆ) ψ = x ψ x i x + i i x = ψ i er kommutatorrelationen for x og p x således (8.16) (8.17) svarende til at x og p x er ikke-kompatible. 9 xˆ, pˆx = i, (8.18) Antag for et øjeblik, at der findes en bølgefunktion, der er samtidig egenfunktion for såvel x som p x : xˆ φ = xφ, x0p0 0 x0p0 pˆ φ = pφ. x xp xp 0 0 En kvantepartikel kendetegnet ved x p ( x) har netop bevægelsesmængden p 0. Men ifølge udtryk (8.18), (8.13) og (8.19) er i så fald 0 0 (8.19) φ befinder sig således i netop punktet x 0 og iφ = xˆ, pˆ φ = xp ˆˆ φ pˆ xˆφ = xp ˆ φ pˆ xφ = px 0ˆφx0p xp 0 0ˆxφx0p = px 0 0 0φx0p xp 0 0 0φx0p0 = 0, x0p0 x x0p0 x x0p0 x x0p0 0 x0p0 x 0 x0p0 (8.20) svarende til at en sådan kvantepartikel, for hvilken position og bevægelsesmængde er samtidigt målbare, ikke kan eksistere. 9 Bemærk, hvordan den klassiske kompatibilitet fås for h 0.
8 Kvantemekanik 8 Side 8 af 10 Generelt er således Aˆ, Bˆ φab = ABφAB BAφ BA 0 =, (8.21) svarende til at kommutatoren enten er nul (A og B kompatible), eller at φ AB = 0 (A og B ikke-kompatible). Kun for kompatible/samtidigt målbare observable, hvis kommutator er nul, eksisterer 10 der således et fuldstændigt sæt af samtidige/sammenfaldende egentilstande, og i sådan en egentilstand φ AB vil man således måle netop A, hvis man måler observablen A, og netop B, hvis man måler observablen B. 11 Ifølge opg. P er xy ˆ, ˆ xp ˆ, ˆz yp ˆ, ˆz = = = 0, (8.22) og der findes således et fuldstændigt sæt af samtidige egentilstande for f.eks. x, y og p z. 10 Ifølge opg. 7.2 kan der således godt findes egentilstande for en observabel A, der ikke samtidig er egentilstande for en hermed kompatibel observabel B. 11 Bemærk, at der bruges samme notation for en observabel, f.eks. energien E, som for en egenværdi for denne observabel, f.eks. egenværdien E.
9 Kvantemekanik 8 Side 9 af 10 Usikkerhedsrelationen Ved sammenligning af udtryk (8.18) med udtryk (1.17) ses, at usikkerhedsrelationen for x og eftersom p x kan skrives ΔΔ 1 x px xˆ, pˆx 2, (8.23) i = ψ iψ = i ψ ψ = i. (8.24) Udtryk (8.23) kan vises at gælde for alle observable: Δ 1 A Δ B Aˆ, Bˆ 2. (8.25) Samtidig målbarhed svarer til ΔAΔB 0, hvilket således ifølge udtryk (8.25) er opfyldt for AB ˆ, ˆ 0. =
10 Kvantemekanik 8 Side 10 af 10 Bevægelseskonstanter Ifølge udtryk (3.25) er d O d ˆ ˆ ˆ O O ψ O Oˆ ψ = ψ ψ = ψ + ψ ψ + ψ. dt dt t t t Ifølge Schrödingerligningen i udtryk (4.5) er ψ = 1 Hˆ ψ, t i (8.26) (8.27) og tilsvarende, da Ĥ er Hermitisk 12 : ψ 1 = ψ Ĥ. (8.28) t i Ved indsættelse i udtryk (8.26) fås dermed d O 1 ˆ ˆ ˆ O 1 = ψ HO ψ + ψ ψ + ψ OH ˆ ˆ ψ : dt i t i d O 1 ˆ ˆ, ˆ O ψ OH = ψ + ψ ψ. (8.29) dt i t Så hvis O ikke selv eksplicit afhænger af tiden og desuden kommuterer med Ĥ, så er O konstant i tid, og O kaldes dermed en bevægelseskonstant. 13 For et tidsuafhængigt potential ( ) V r er Hˆ t = 0, og da Ĥ i sagens natur kommuterer med sig selv, er energien i så fald en bevægelseskonstant og E dermed konstant i tid, jf. udtryk (4.20), som netop blev udledt for tidsuafhængigt potential. 12 For en vilkårlig operator er den til Ô ψ hørende bra ψ Ô =. i i i i 13 Klassiske eksempler på bevægelseskonstanter er således den mekaniske energi for et konservativt system eller den samlede bevægelsesmængde for et isoleret system., idet ( ) *
Youngs dobbeltspalteforsøg 1
Kvantemekanik Side af Youngs dobbeltspalteforsøg Klassisk beskrivelse Inden for den klassiske fysik kan man forklare forekomsten af et interferensmønster ud fra flg. bølgemodel. x Før spalterne beskrives
Læs mereDen klassiske oscillatormodel
Kvantemekanik 6 Side af 8 n meget central model inden for KM er den såkaldte harmoniske oscillatormodel, som historisk set spillede en afgørende rolle i de banebrydende beskrivelser af bla. sortlegemestråling
Læs mereRektangulær potentialbarriere
Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles
Læs mereMagnetisk dipolmoment
Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og
Læs mereMagnetisk dipolmoment
Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I
Læs mereFormelsamling til. Kvantemekanik. 27. marts Dennis Hansen 1
Formelsamling til Kvantemekanik 7. marts 1 Dennis Hansen 1 Indhold 1 Grundlæggende ligninger 4 1.1 Generelt...................................... 4 1. Postulater i kvantemekanik............................
Læs mereUskelnelige kvantepartikler
Kvantemekanik 3 Side af 4 Inden for den klassiske determinisme kan man med kendskab til de kræfter, der virker på et partikelsystem, samt begyndelsesbetingelserne for position og hastighed, vha. Newtons
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereKvant 2. Notesamling....Of doom!
Kvant 2 Notesamling...Of doom! Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation 2 3.1 Udartet perturbationsteori...................... 3 3.2 Zeeman-effekt............................. 4 3.3 Tidsafhængig
Læs mereElektromagnetisme 3 Side 1 af 8 Dielektrika 1. Elektrisk dipol
Elektromagnetisme Side af 8 Elektrisk dipol Betragt det elektrostatiske potential fra en elektrisk dipol bestående af to punktladninger + q og q : ϕ r ( ) i qi r r q q + r r r r + l q + r r r r l i ( ).
Læs mereElektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger
Læs mereElektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter. I det flg. udledes en ligning, der opfyldes af hvert enkelt felt.
Læs mereAnvendelser af den kvantemekaniske bølgemekanik
Syddansk Universitet, Teknisk Fakultet Anvendelser af den kvantemekaniske bølgemekanik FY529, projekt nr. 2 Skrevet af: Simon Holst Traberg-Larsen;Søren Emil Wegner Petersen d. 24. marts 2013 Resumé el.
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereMinikvant Fysik 22 - nu også med fysik 312 for os aber
Minikvant Fysik - nu også med fysik 31 for os aber. enrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert
Læs mereNoter til KM1 og KM2 på KU (Kvantemekanik 1 og 2)
Noter til KM1 og KM2 på KU (Kvantemekanik 1 og 2) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331. Version 1.1 Indhold I Kvant 1 4 1 Bølgefunktionen 4 1.1 Schrödingerligningen....................................... 4
Læs mereKvantepartikel i centralpotential
Kvantemekanik 11 Side 1 af 7 Bintatomet II Kvantepatike i centapotentia Det kan vises at bevægesesmængdemomentets støese dets pojektion på en akse samt enegien af en kvantepatike i et centapotentia e samtidigt
Læs mereFørste og anden hovedsætning kombineret
Statistisk mekanik 3 Side 1 af 12 Første og anden hovedsætning kombineret I dette afsnit udledes ved kombination af I og II en række udtryk, som senere skal vise sig nyttige. Ved at kombinere udtryk (2.27)
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mere2 Lektion Opgave C Opgave Opgave Opgave Opgave a b...
. Indhold 1 Lektion 1 1 1.1 Opgave A............................... 1 1. Opgave 1............................... 1 1..1 1.a.............................. 1 1.. 1.b.............................. 1.3 Opgave
Læs mereIndhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...
Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...
Læs mereElektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1
Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Betragt Amperes lov fra udtryk (1.1) anvendt på en kapacitor der er ved at blive ladet op. For de to flader og S der begge S1 afgrænses af C fås H dl = J ˆ C S n da = I
Læs mereKvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )
Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan
Læs mereElektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1
Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Betragt Amperes lov fra udtryk (1.1) anvendt på en kapacitor der er ved at blive ladet op. For de to flader og S der begge S1 afgrænses af C fås H dl = J ˆ C S n da = I
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereKvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren
Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk
Læs mereTilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.
Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g
Læs mereBølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion
Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke
Læs mereHans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder. Resumé
Hans Harhoff Andersen 20072394 25. juni 2010 Projekt i numeriske metoder Resumé Ved hjælp af en finite difference approksimation og dertilhørende diskretisering af akserne konstrueres matricer for Schrödingerligningen.
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereNiels Wessel Larsen MOLEKYLSPEKTROSKOPI. En kvantitativ beskrivelse af vibrations- og rotations-spektroskopi. Noter til Gasfasespektroskopi
Niels Wessel Larsen MOLEKYLSPEKTROSKOPI En kvantitativ beskrivelse af vibrations- og rotations-spektroskopi Noter til Gasfasespektroskopi KEMISK INSTITUT KØBENHAVNS UNIVERSITET 007 ii Indhold KVANTEMEKANISK
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereAbstract. This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates
Abstract This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates the algebraic structures and uses them to describe a vector space as it derives the Hilbert space
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]
Læs mereKvantemekanik postulater, notation, polarisationstilstande, entanglement, Bells ulighed,...
Kvantemekanik postulater, notation, polarisationstilstande, entanglement, Bells ulighed,... Ulrich B. Hoff DTU Fysik, Danmarks Tekniske Universitet, Fysikvej bld. 309, 800 Kgs. Lyngby, Denmark (Dated:
Læs mereAtomare elektroners kvantetilstande
Stoffers opbygning og egenskaber 4 Side 1 af 12 Sidste gang: Naturens byggesten, elementarpartikler. Elektroner bevæger sig ikke i fastlagte baner, men er i stedet kendetegnet ved opholdssandsynligheder/
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereJuly 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook
Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereSUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005
SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereAlgebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereResonant Tunneling Diodes
Resonant Tunneling Diodes Af studerer nanoteknologi på 8. semester ved Institut for Fysik og Nanoteknologi på Aalborg Universitet. Hans primære interesser er teori og modellering af fysiske fænomener indenfor
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereTermodynamikkens første hovedsætning
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 13 Termodynamikkens første hovedsætning Inden for termodynamikken kan energi overføres på to måder: I form af varme Q: Overførsel af atomar/molekylær bevægelsesenergi på
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereSINGULÆR PERTURBATIONSTEORI
SINGULÆR PERTURBATIONSTEORI FOR DISKRETE LINEÆRE OPERATORER AALBORG UNIVERSITET Institut for Matematiske Fag Niels Lund 0. semester på matematik Foråret 04 AALBORG UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereNyere fortolkninger af kvantemekanikken og måleproblemet. Anja Skaar Jacobsen Institut for de Eksakte Videnskabers Historie
Nyere fortolkninger af kvantemekanikken og måleproblemet Anja Skaar Jacobsen Institut for de Eksakte Videnskabers Historie November 1995 ii Indhold 1 Indledning 1 1.1 Problemformulering........................
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereElektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm
Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter,
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereStatistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden i et system. Da der er mange flere uordnede (tilfældigt ordnede) mikrotilstande
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereAnalytisk perturbationsteori
master 2009/6/2 23:09 page # f Analytisk perturbationsteori for lineære operatorer JUNI 2009 Speciale af Mette Kristensen AALBORG UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG FREDRIK BAYERS VEJ 7 G, 9220 AALBORG
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereElektromagnetisme 8 Side 1 af 8 Magnetfelter 1. Magnetisk induktion. To punktladninger og q påvirker (i vakuum) som bekendt hinanden med en. qq C.
Elektroagnetise 8 Side 1 af 8 Magnetisk induktion To punktladninger og q påvirker (i vakuu) so bekendt hinanden ed en q1 elektrisk kraft (oulobkraft) F 1 qq 1 1 = 4πε 1 0 r1 r ˆ. (8.1) Hvis de to ladninger
Læs mere