Kvantemekanik 8 Side 2 af 10 Observable og operatorer. Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter ( ) O= O. (8.4)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kvantemekanik 8 Side 2 af 10 Observable og operatorer. Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter ( ) O= O. (8.4)"

Transkript

1 Kvantemekanik 8 Side 1 af 10 Opsummering Egenskaber ved operatorrepræsentanter Det blev i KM3-4 vist, at enhver målbar bevægelsesegenskab (observabel) er repræsenteret ved en operator, som for position, bevægelsesmængde og energi er angivet i hhv. udtryk (3.21), (3.22) og (4.3). Disse operatorrepræsentanter bruges til at afkode information om den pågældende observabel, idet forventningsværdien for en observabel O for en kvantepartikel i en kvantetilstand ψ er givet ved udtryk (3.20) eller (3.25). Som vist for energien i KM4 s. 4 opnås altid den samme værdi O, hvis den pågældende observabel måles for en kvantepartikel, der er i en egentilstand ψ O for Ô ( Oˆ ψo OψO ) =. I en egentilstand for en observabel O er denne bevægelsesegenskab således veldefineret. I KM4 s. 2-3 blev det vist, at for et tidsuafhængigt potential som i udtryk (4.7) er egentilstandene for energien separable i r og t, jf. udtryk (4.11). Endvidere udgør egentilstandene for et systems Hamiltonoperator et fuldstændigt sæt, sådan at en vilkårlig tilstand kan skrives som i udtryk (4.14), eller evt. som i udtryk (4.16), hvis energispektret er diskret/kvantiseret. I den forbindelse er 2 n c og ce ( ) 2 de hhv. sandsynligheden for at måle den kvantiserede energi E EE ; + de. E n og sandsynligheden for at måle en energi i intervallet

2 Kvantemekanik 8 Side 2 af 10 Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter Alle operatorrepræsentanter Ô har flg. egenskaber: Ô er lineær: ( ) Oc ˆ ψ + cψ = coˆψ + côψ. (8.1) Som det f.eks. fremgår af opg. M, er operatorrepræsentanternes linearitet en nødvendig forudsætning for at kunne bringe superpositionsprincippet i anvendelse. Ô er Hermitisk : Til en operator Ô 1 hører en Hermitisk konjugeret operator Ô, der opfylder ψ1 ( Oˆ ψ ˆ 2 ) ( ψ1 O ) ψ2, (8.2) svarende til * ( ) ( ) ψ rto, ψ rtdr, Oψ rt, ψ rtdr, 3. (8.3) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) * En operator er Hermitisk, hvis den er sin egen Hermitisk konjugerede 2 : 3 ˆ ˆ O= O. (8.4) 1 Svarende til at der til ethvert komplekst tal hører en kompleks konjugeret. 2 Svarende til at et komplekst tal er reelt, hvis det er sin egen kompleks konjugerede. 3 For en Hermitisk operator er udtrykket Ô Ô 1 2 virker mod højre på ket en eller mod venstre på bra en. ψ ψ således utvetydigt, idet det betyder det samme, hvad enten Ô

3 Kvantemekanik 8 Side 3 af 10 Som det fremgår af nedenstående, er operatorrepræsentanter nødvendigvis Hermitiske, idet deres målbare egenværdier O ellers ikke ville være reelle: idet ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) O= O = O = O = O ψ * O ψo ψo ψo ψo ψo ψo ψ O = O *, ψ O Oˆ (8.5) * = ψo O (8.6) er den komplekskonjugerede version af egenværdiligningen for O ˆ. Egentilstandene for O ˆ er separable i r og t og udgør et fuldstændigt sæt 4 : ψ rt, = T tφ r, (8.7) ( ) ( ) ( ) O O O sådan at man ved at lade den tidsafhængige del indgå i udviklingskoefficienterne 5 får 6 ψ φ φ. (8.8) ( rt, ) cot (, ) ( r) do cn( t) n( r) = O + n Fuldstændigheden af O s egentilstande er en nødvendig betingelse for, at måling af O er beskrevet ved veldefinerede sandsynligheder, der som bekendt er givet ved (, ) 2 cot do og c () t 2. n 4 For systemer med tidsuafhængige potentialer kan alle løsninger til Schrödingerligningen i udtryk (4.5), og herunder således også egentilstande for O, skrives i 2 3 ˆ Ht i 1 1 (, ) (,0) 1 ˆ i ˆ i ψ r t = e ψ r = Ht + Ht + Ht ˆ + ψ ( r,0), 2 6 der for ψ ( r,0) = φe ( r) reducerer til udtryk (4.11). 5 c( O, t) c( O) T( t), c( t) c T( t) = =. O n n n 6 Denne måde at skrive overlejringen på er helt generel, idet en evt. kvantiseret del af egenværdispektret blot er skilt ud fra den kontinuerte del. Dette vil være praktisk for f.eks. et atom eller en kvantebrønd som den i opg. F, hvor energiegenværdispektret er diskret for de bundne tilstande med E < 0 og kontinuert for de frie/ioniserede tilstande med E > 0.

4 Kvantemekanik 8 Side 4 af 10 Egentilstandene for enhver operatorrepræsentant Ô er som tidligere nævnt de tilstande, hvori man vil måle det samme - nemlig den til egentilstanden hørende egenværdi - hver gang, man måler den bevægelsesegenskab, som Ô repræsenterer. En vilkårlig tilstand er en overlejring af egentilstandene, hvorfor egenværdierne således udgør de måleresultater, der kan opnås.

5 Kvantemekanik 8 Side 5 af 10 Egentilstande for positionen Egenværdiligningen for positionen er givet ved r φ r = r φ r (8.9) eller jf. udtryk (3.21) ( ) ( ) ˆ r 0 0 r 0 r φ r r r. (8.10) ( ) = φ ( ) r0 0 r0 Løsningen til udtryk (8.10) er φ r ( r) = δ ( r r ) 0 0, (8.11) idet deltafunktionen indsat giver r 0= r0 0 for r r0 r δ 0 = r δ 0 for r = r. 0 og ( ) ( ) 0 0 Da egentilstandene for observablen r udgør et fuldstændigt sæt, og da egenværdierne er kontinuerte, fås ifølge udtryk (8.8): 3 3 ψ ( rt, ) = cr 3 ( 0, t) φ r ( r) dr 3 ( ) ( ) 0 0 = cr0, tδ r r0 dr = crt,. ( ) 0 (8.12) Den vægt crt (, ), hvormed egentilstanden for positionen med tilhørende egenværdi indgår i en vilkårlig tilstand ψ ( rt, ), er således bølgefunktionen ( rt, ) svarende til at sandsynligheden crt (, ) 2 dv ψ r selv, for at få en realisation af positionen i rumfanget dv omkring egenværdien r jo netop er det samme som sandsynligheden ψ dvfor at måle en position i rumfanget dv omkring punktet r. ( rt, ) 2

6 Kvantemekanik 8 Side 6 af 10 Kommutatorer I henhold til usikkerhedsrelationen fra udtryk (1.17) kan det ikke lade sig gøre samtidigt at bestemme x og p x med vilkårlig stor nøjagtighed. Noget helt tilsvarende gælder for y- og z-komposanterne, og derfor siges positionen r og bevægelsesmængden p at være ikke-kompatible observable, idet kompatibel i denne sammenhæng således betyder samtidigt målbar. Om to observable A og B er kompatible afgøres af den såkaldte kommutator 7 Aˆ, Bˆ AB ˆ ˆ BA ˆˆ, (8.13) idet to observable er kompatible, hvis deres kommutatorrelation er nul: AB ˆ, ˆ 0 =, (8.14) hvilket vil sige at den rækkefølge, hvormed  og ˆB virker, er ligegyldig 8 : AB ˆ ˆ = BA ˆˆ. (8.15) 7 Bemærk, at en kommutator således er en operator. 8  og ˆB siges i så fald at kommutere.

7 Kvantemekanik 8 Side 7 af 10 Da og dermed ψ xp ˆˆ xψ ( x, t ) = x, i x ψ px ˆx ˆ ψ ( xt, ) = ( xψ ) = ψ + x, i x i i x ψ ψ xp ˆ, ˆx ψ = ( xp ˆˆx px ˆxˆ) ψ = x ψ x i x + i i x = ψ i er kommutatorrelationen for x og p x således (8.16) (8.17) svarende til at x og p x er ikke-kompatible. 9 xˆ, pˆx = i, (8.18) Antag for et øjeblik, at der findes en bølgefunktion, der er samtidig egenfunktion for såvel x som p x : xˆ φ = xφ, x0p0 0 x0p0 pˆ φ = pφ. x xp xp 0 0 En kvantepartikel kendetegnet ved x p ( x) har netop bevægelsesmængden p 0. Men ifølge udtryk (8.18), (8.13) og (8.19) er i så fald 0 0 (8.19) φ befinder sig således i netop punktet x 0 og iφ = xˆ, pˆ φ = xp ˆˆ φ pˆ xˆφ = xp ˆ φ pˆ xφ = px 0ˆφx0p xp 0 0ˆxφx0p = px 0 0 0φx0p xp 0 0 0φx0p0 = 0, x0p0 x x0p0 x x0p0 x x0p0 0 x0p0 x 0 x0p0 (8.20) svarende til at en sådan kvantepartikel, for hvilken position og bevægelsesmængde er samtidigt målbare, ikke kan eksistere. 9 Bemærk, hvordan den klassiske kompatibilitet fås for h 0.

8 Kvantemekanik 8 Side 8 af 10 Generelt er således Aˆ, Bˆ φab = ABφAB BAφ BA 0 =, (8.21) svarende til at kommutatoren enten er nul (A og B kompatible), eller at φ AB = 0 (A og B ikke-kompatible). Kun for kompatible/samtidigt målbare observable, hvis kommutator er nul, eksisterer 10 der således et fuldstændigt sæt af samtidige/sammenfaldende egentilstande, og i sådan en egentilstand φ AB vil man således måle netop A, hvis man måler observablen A, og netop B, hvis man måler observablen B. 11 Ifølge opg. P er xy ˆ, ˆ xp ˆ, ˆz yp ˆ, ˆz = = = 0, (8.22) og der findes således et fuldstændigt sæt af samtidige egentilstande for f.eks. x, y og p z. 10 Ifølge opg. 7.2 kan der således godt findes egentilstande for en observabel A, der ikke samtidig er egentilstande for en hermed kompatibel observabel B. 11 Bemærk, at der bruges samme notation for en observabel, f.eks. energien E, som for en egenværdi for denne observabel, f.eks. egenværdien E.

9 Kvantemekanik 8 Side 9 af 10 Usikkerhedsrelationen Ved sammenligning af udtryk (8.18) med udtryk (1.17) ses, at usikkerhedsrelationen for x og eftersom p x kan skrives ΔΔ 1 x px xˆ, pˆx 2, (8.23) i = ψ iψ = i ψ ψ = i. (8.24) Udtryk (8.23) kan vises at gælde for alle observable: Δ 1 A Δ B Aˆ, Bˆ 2. (8.25) Samtidig målbarhed svarer til ΔAΔB 0, hvilket således ifølge udtryk (8.25) er opfyldt for AB ˆ, ˆ 0. =

10 Kvantemekanik 8 Side 10 af 10 Bevægelseskonstanter Ifølge udtryk (3.25) er d O d ˆ ˆ ˆ O O ψ O Oˆ ψ = ψ ψ = ψ + ψ ψ + ψ. dt dt t t t Ifølge Schrödingerligningen i udtryk (4.5) er ψ = 1 Hˆ ψ, t i (8.26) (8.27) og tilsvarende, da Ĥ er Hermitisk 12 : ψ 1 = ψ Ĥ. (8.28) t i Ved indsættelse i udtryk (8.26) fås dermed d O 1 ˆ ˆ ˆ O 1 = ψ HO ψ + ψ ψ + ψ OH ˆ ˆ ψ : dt i t i d O 1 ˆ ˆ, ˆ O ψ OH = ψ + ψ ψ. (8.29) dt i t Så hvis O ikke selv eksplicit afhænger af tiden og desuden kommuterer med Ĥ, så er O konstant i tid, og O kaldes dermed en bevægelseskonstant. 13 For et tidsuafhængigt potential ( ) V r er Hˆ t = 0, og da Ĥ i sagens natur kommuterer med sig selv, er energien i så fald en bevægelseskonstant og E dermed konstant i tid, jf. udtryk (4.20), som netop blev udledt for tidsuafhængigt potential. 12 For en vilkårlig operator er den til Ô ψ hørende bra ψ Ô =. i i i i 13 Klassiske eksempler på bevægelseskonstanter er således den mekaniske energi for et konservativt system eller den samlede bevægelsesmængde for et isoleret system., idet ( ) *

Youngs dobbeltspalteforsøg 1

Youngs dobbeltspalteforsøg 1 Kvantemekanik Side af Youngs dobbeltspalteforsøg Klassisk beskrivelse Inden for den klassiske fysik kan man forklare forekomsten af et interferensmønster ud fra flg. bølgemodel. x Før spalterne beskrives

Læs mere

Den klassiske oscillatormodel

Den klassiske oscillatormodel Kvantemekanik 6 Side af 8 n meget central model inden for KM er den såkaldte harmoniske oscillatormodel, som historisk set spillede en afgørende rolle i de banebrydende beskrivelser af bla. sortlegemestråling

Læs mere

Rektangulær potentialbarriere

Rektangulær potentialbarriere Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

Formelsamling til. Kvantemekanik. 27. marts Dennis Hansen 1

Formelsamling til. Kvantemekanik. 27. marts Dennis Hansen 1 Formelsamling til Kvantemekanik 7. marts 1 Dennis Hansen 1 Indhold 1 Grundlæggende ligninger 4 1.1 Generelt...................................... 4 1. Postulater i kvantemekanik............................

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Kvant 2. Notesamling....Of doom!

Kvant 2. Notesamling....Of doom! Kvant 2 Notesamling...Of doom! Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation 2 3.1 Udartet perturbationsteori...................... 3 3.2 Zeeman-effekt............................. 4 3.3 Tidsafhængig

Læs mere

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Noter til KM1 og KM2 på KU (Kvantemekanik 1 og 2)

Noter til KM1 og KM2 på KU (Kvantemekanik 1 og 2) Noter til KM1 og KM2 på KU (Kvantemekanik 1 og 2) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331. Version 1.1 Indhold I Kvant 1 4 1 Bølgefunktionen 4 1.1 Schrödingerligningen....................................... 4

Læs mere

Minikvant Fysik 22 - nu også med fysik 312 for os aber

Minikvant Fysik 22 - nu også med fysik 312 for os aber Minikvant Fysik - nu også med fysik 31 for os aber. enrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert

Læs mere

Kvantepartikel i centralpotential

Kvantepartikel i centralpotential Kvantemekanik 11 Side 1 af 7 Bintatomet II Kvantepatike i centapotentia Det kan vises at bevægesesmængdemomentets støese dets pojektion på en akse samt enegien af en kvantepatike i et centapotentia e samtidigt

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( ) Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

2 Lektion Opgave C Opgave Opgave Opgave Opgave a b...

2 Lektion Opgave C Opgave Opgave Opgave Opgave a b... . Indhold 1 Lektion 1 1 1.1 Opgave A............................... 1 1. Opgave 1............................... 1 1..1 1.a.............................. 1 1.. 1.b.............................. 1.3 Opgave

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Hans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder. Resumé

Hans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder. Resumé Hans Harhoff Andersen 20072394 25. juni 2010 Projekt i numeriske metoder Resumé Ved hjælp af en finite difference approksimation og dertilhørende diskretisering af akserne konstrueres matricer for Schrödingerligningen.

Læs mere

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke

Læs mere

Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1

Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1 Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Betragt Amperes lov fra udtryk (1.1) anvendt på en kapacitor der er ved at blive ladet op. For de to flader og S der begge S1 afgrænses af C fås H dl = J ˆ C S n da = I

Læs mere

Niels Wessel Larsen MOLEKYLSPEKTROSKOPI. En kvantitativ beskrivelse af vibrations- og rotations-spektroskopi. Noter til Gasfasespektroskopi

Niels Wessel Larsen MOLEKYLSPEKTROSKOPI. En kvantitativ beskrivelse af vibrations- og rotations-spektroskopi. Noter til Gasfasespektroskopi Niels Wessel Larsen MOLEKYLSPEKTROSKOPI En kvantitativ beskrivelse af vibrations- og rotations-spektroskopi Noter til Gasfasespektroskopi KEMISK INSTITUT KØBENHAVNS UNIVERSITET 007 ii Indhold KVANTEMEKANISK

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3 Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Abstract. This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates

Abstract. This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates Abstract This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates the algebraic structures and uses them to describe a vector space as it derives the Hilbert space

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5. Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g

Læs mere

Resonant Tunneling Diodes

Resonant Tunneling Diodes Resonant Tunneling Diodes Af studerer nanoteknologi på 8. semester ved Institut for Fysik og Nanoteknologi på Aalborg Universitet. Hans primære interesser er teori og modellering af fysiske fænomener indenfor

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Atomare elektroners kvantetilstande

Atomare elektroners kvantetilstande Stoffers opbygning og egenskaber 4 Side 1 af 12 Sidste gang: Naturens byggesten, elementarpartikler. Elektroner bevæger sig ikke i fastlagte baner, men er i stedet kendetegnet ved opholdssandsynligheder/

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at

Læs mere

1 Eksamen Spin Spin-halv-operatorer Spin-orbitaler... 3

1 Eksamen Spin Spin-halv-operatorer Spin-orbitaler... 3 . Indhold 1 Eksamen 1 1 1.1 Spin.................................. 1 1.1.1 Spin-halv-operatorer..................... 3 1.1.2 Spin-orbitaler......................... 3 2 Eksamen 2 5 2.1 Atomer................................

Læs mere

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter,

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Analytisk perturbationsteori

Analytisk perturbationsteori master 2009/6/2 23:09 page # f Analytisk perturbationsteori for lineære operatorer JUNI 2009 Speciale af Mette Kristensen AALBORG UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG FREDRIK BAYERS VEJ 7 G, 9220 AALBORG

Læs mere

Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi

Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden i et system. Da der er mange flere uordnede (tilfældigt ordnede) mikrotilstande

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Nyere fortolkninger af kvantemekanikken og måleproblemet. Anja Skaar Jacobsen Institut for de Eksakte Videnskabers Historie

Nyere fortolkninger af kvantemekanikken og måleproblemet. Anja Skaar Jacobsen Institut for de Eksakte Videnskabers Historie Nyere fortolkninger af kvantemekanikken og måleproblemet Anja Skaar Jacobsen Institut for de Eksakte Videnskabers Historie November 1995 ii Indhold 1 Indledning 1 1.1 Problemformulering........................

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Termodynamikkens første hovedsætning

Termodynamikkens første hovedsætning Statistisk mekanik 2 Side 1 af 13 Termodynamikkens første hovedsætning Inden for termodynamikken kan energi overføres på to måder: I form af varme Q: Overførsel af atomar/molekylær bevægelsesenergi på

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1

Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Werner Heisenberg (1901-76) viste i 1927, at partiklers bølgenatur har den vidtrækkende konsekvens, at det ikke på samme tid lader sig gøre, at fastlægge

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Implicit givne og inverse funktioner

Implicit givne og inverse funktioner Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Lambforskydning i en elektrisk ledende mesoskopisk ring

Lambforskydning i en elektrisk ledende mesoskopisk ring Lambforskydning i en elektrisk ledende mesoskopisk ring AALBORG UNIVERSITET e Institut for Fysik og Nanoteknologi Skjernvej 4A DK-922 Aalborg Ø Aalborg Universitet Institut for Fysik og Nanoteknologi

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne

Læs mere

Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger. Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet

Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger. Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet E-mail: hjj@chem.sdu.dk 8. februar 2000 Orbitaler Kvalitativ beskrivelse af molekylære

Læs mere