Funktioner af to og tre variable

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00

2

3 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle aledede kan tegne graer or unktioner a to variable, beregne lokale og globale ekstrema og ved hjælp a dierentialer oretage ejlvurderinger Der gives også en kort orientering om hvorledes de tilsvarende begreber kan beregnes or unktioner a tre variable Forudsætninger: Der orudsættes et kendskab til dierentialregning svarende til pensum i matematik på A- niveau (se evt. notatet Matematik ra C til A - niveau der i pd-ormat kan indes på adressen ) Endvidere kendskab til beregning a determinanter a 3. orden i en udstrækning svarende til emnet i notatet Matricer og lineære ligninger (kan også indes på ovennævnte adresse) Regnemidler: Der bliver i eksemplerne vist, hvorledes man kan oretage beregningerne med matematiklommeregneren Ti 89 og edb-programmet Mathcad For en mere omattende gennemgang henvises til lærebogen Bjarne Hellesen, Mogens Oddershede Larsen: Matematik or Ingeniører bind. Enkelte eksempler er også hentet herra. (Bøgerne kan indes på ovennævnte adresse) januar 0 Mogens Oddershede Larsen iii

4 Indhold INDHOLD Funktion a variable. Indledning.... Graisk remstilling....3 Partiel dierentiation Geometrisk tolkning a partielle aledede, tangentplan Partielle aledede a højere orden Lokalt ekstremum Globalt ekstremum....8 Grænseværdi, kontinuitet, dierentiabilitet Dierential... 5 Funktion a mere end to variable... 8 Opgaver... 0 Facitliste... 4 Stikord... 6 iv

5 Funktion a variable Grundlæggende begreber. Indledning Funktioner a variabel = (), deres gra i et retvinklet koordinatsstem, dierentiation, bestemmelse a lokale ekstrema osv. osv. er velkendt. Vi vil i dette kapitel se på unktioner a variable z = (, ), deres gra i et tredimensionalt koordinatsstem, dierentiation og bestemmelse a lokale ekstrema... Graisk remstilling. En unktion a variable z = (, ) vil graisk sædvanligvis kunne remstilles i et rumligt koordinatsstem som en lade med bakker og dale. En sådan rumlig tegning kan være vanskelig at orestille sig. Man vil deror ote i stedet tegne niveaukurver, som svarer til højdekurver på et geodætisk kort. Ligesom en dgtig orienteringsløber kan se landskabet or sig ved at betragte højdekurverne på et kort, kan man ved at studere niveaukurverne å et godt indtrk a laden. En niveaukurve er en punktmængde (, (, ) k hvor har en konstant værdi { } = (, ) k. På igur. er der vist niveaukurver or en unktion med et lokalt maksimum samt den samme unktions 3-dimensionale udseende. På igur. er de tilsvarende igurer tegnet or et lokalt minimum, og på igur.3 er der tegnet en unktion med et saddelpunkt (disse begreber deineres mere præcist i et senere kapitel). Figur. Gra og niveaukurvediagram or unktionen (, ) = 00 e ( ) + ( ) +

6 Funktioner a to eller lere variable Matcad: Skriv unktionen (,):= osv. ) Tredimensional gra: Vælg Paletten: Surace Plot Skriv i nederste venstre hjørne. En tredimensional gra viser sig. Man kan nu ændre graens udseende på orskellig måde. Cursor på graen. a) Højre musetast. Vælg Bo og man år en kasse som på iguren. b) Trk to gange. Der viser sig en menu, hvor man kan skite arver osv. Vælges Quick Plot Data kan man skite grænserne or og. c) Med venstre musetast nede kan man trække iguren rundt så man ser iguren ra en bedre retning. ) Niveaukurver: Vælg paletten Contour Plot Skriv i nederste venstre hjørne. Der tegnes nogle niveaukurver. Man kan nu på samme måde som under punkt ændre grænser, arver osv, Ti 89: Mode: Graph = 3D, Y= (indtast unktion), gul rude,vælg akser m.m., F, Vælg ZoomStd, Se på iguren, og eventuelt: i Windows ændre ma osv, ved piletaster ændre hvorledes graen ses, trk på X,Y og Z or at se i akseretninger. Niveaukurver : Trk på. Jo større Grid vælges jo mere detaljeret bliver tegningen, og jo længere tid tager det et tegne den g g Fig... Niveaukurvediagram og tredimensional gra or en unktion g (, ) = ( ) + ( 3) + 0 med minimum. h Fig..3. Niveaukurvediagram og tredimensional gra or en unktion h (, ) = ( ) ( 3) + 0 med saddelpunkt.

7 . Graisk remstilling Sædvanligvis er det alt or besværligt selv at tegne en rumlig lade og dens niveaukurver. Kun hvis niveaukurverne er velkendte kurver som linier, cirkler hperbler og parabler kan det være hensigtsmæssigt selv at skitsere laderne. Det ølgende er et eksempel herpå. Eksempel.. Graisk remstilling a enkle unktioner a to variable. Der ønskes en graisk remstilling a unktionen (, ) = + Løsning: Lad z = + Først tegnes nogle niveaukurver. Lad a > 0 være en given konstant. Vi har da: z = a + = a + = a Niveaukurverne er ølgelig cirkler med centrum i (0,0) se ig..4. Hera kan sluttes, at laden må være a orm som en rund skål med minimum 0 i punktet (0.0). Fig..4. For at å et tværsnit a skålen skæres laden med z-planen ved at indsætte = 0 i ligningen z = +. Vi år da: z = z = (se ig..5). Fig..5. Vi kan nu se, at skålen er en kegle med spidsen nedad. (se ig..6). Fig..6. 3

8 Funktioner a to eller lere variable.3 Partiel dierentiation Hvis man or unktionen z = (, ) holder konstant på værdien 0, så vil (, 0 ) være en unktion a én variabel. Er denne unktion dierentiabel, så kan man på sædvanlig måde inde dens alede unktion. Denne kaldes s partielle aledede med hensn til og skrives eller. (, 0 ) (, 0 ) Tilsvarende deineres s partielle aledede med hensn til. d Tegnet læses "blødt d" og markerer, at unktionen har lere variable. Dette indebærer nemlig, at (i modsætning til ) d ikke uden videre kan opattes som en brøk i beregninger. Eksempel.3. Partiel dierentiation Lad unktionen være givet ved (, ) = a) Find de to partielle aledede og b) Find og. (,) 0 (,) 0 Løsning: a) Idet vi opatter som en unktion a alene, dvs. opatter som en konstant, ås umiddelbart (, ) = Tilsvarende ås (, ) = + Ti89: dierentialet d står over 8-tallet : a) : d(^*^/4+^/+/,), : d(^*^/4+^/+/,) Matcad: : d d 4 d : d 4 b) Ved indsættelse a (,) = (0.) ås og (,) 0 = (,) 0 = Ti89: (0,): d(^*^/4+ /+/,) =0 and = Den lodrette streg indes i venstre række (betder orudsat) og and i CATALOG Matcad: skriv :=0 := og dereter som under punkt a) Såremt det a sammenhængen klart remgår, hvilket punkt (,) der er tale om, udelades det ote a betegnelserne, således at man kun skriver og 4

9 .4 Geometrisk tolkning a partielle aledede, tangentplan Andre skrivemåder. z I stedet or skrives ote eller når z= (, ). z Undertiden skrives hvor der orneden er angivet, hvad de andre variable er. Eksempelvis kan energien E a en gas E enten opattes som en unktion a trk og rumang eller som en unktion a trk og temperatur. Deror ville være et tvetdigt P E E smbol, mens og er entdige. P V P T.4. Geometrisk tolkning a partielle aledede, tangentplan De partielle aledede kan som anskueliggøres i eksempel.4 geometrisk tolkes som hældningskoeicienter til tangenter. Eksempel.4. Geometrisk betdning a partielle aledede. På ig..7 er tegnet graen or (, ) = + + or 4 0 og På iguren er k skæringskur- ven mellem planen = og graen or mens k er skæringskurven mellem planen = 0 og graen or. Fig..7. De to partielle dierentialkvotienter i (0,) er hældnings koeicienterne or tangenterne T og T. er hældningskoeicienten a tangenten T til kurven k l or (,) = (0,) (,) 0 er hældningskoeicienten a tangenten T til kurven k or (,) = (0,). (,) 0 Den plan, som er bestemt ved tangenterne T og T kaldes tangentplanen or graen or i punktet (0,). 5

10 Funktioner a to eller lere variable Tangentplan Lad unktionen være dierentiabel i et punkt ( 0, 0) og lad z0 = ( 0, 0). Lad være skæringskurven mellem planen = k 0 og graen or og T være tangenten til k med røringspunkt i (, ). Tilsvarende er og graen or og T er tangen- planen = 0 ten til k. k 0 0 er skæringskurven mellem Fig..8. Tangentplan i (, ) Den plan, som er bestemt ved tangenterne T og T kaldes tangentplanen or graen or i punktet ( 0, 0). Ligningen or tangentplan z = (, ) + ( ) ( ) (, ) ( 0, 0 ) 0 Bevis: Lad or kortheds skld ' = ( 0, 0) og ' = ( 0, 0) 0 0 r Da er hældningskoeicienten or tangenten T til kurven k har en retningsvektor or T koordinaterne a = r r r Tilsvarende er b = retningsvektor or T. En normalvektor til tangentplanen er ølgelig a b = 0 = Planens ligning bliver deror ( 0) ( 0) + ( z z0) = 0 Eksempel.5. Tangentplan Lad der være givet unktionen (, ) = Find ligningen or tangentplanen til unktionen i punktet (0,). Løsning: I eksempel.3 andt man or unktionen (, ) = + + at og 4 (,) 0 =. Idet ås ligningen: (,) 0 = (,) 0 = z = + ( 0) + ( ) z = + 6

11 .4 Geometrisk tolkning a partielle aledede, tangentplan Dette gælder or alle unktioner som er dannet a de sædvanlige stamunktioner 7.5. Partielle aledede a højere orden. Har partielle aledede a ørste orden i deinitionsmængden D, kan og (, ) (, ) igen opattes som unktioner a to variable i D. Hvis disse ne unktioner selv har partielle aledede, siges at have partielle aledede a anden orden i D. Disse skrives,, og = = = = For de to sidste blandede aledede gælder, at de sædvanligvis er ens, dvs. = Eksempel.6. Partielle aledede a anden orden I eksempel.3 andt man or unktionen de partielle aledede (, ) = og (, ) = + (, ) = + a) Find de partielle aledede a anden orden or unktionen. b) Find værdierne a ovennævnte partielle aledede i punktet (,) = (0.). Løsning: a) = = + = = = + = = = + = + Da de blandede anden alede er ens, er det unødvendigt at beregne den anden kombination = TI89; : d(d(^*^/4+ /+/,,), : d(d(^*^/4+ /+/,,), Matcad: : d d b) (, ), (, ), (, ), = = = Ti89: (0,): d(d(*e^(*)+cos(/(^+)),,) =0 and = Matcad: skriv :=0 := og dereter som under punkt a)

12 Funktioner a to eller lere variable Analogt deineres partielle aledede a højere end anden orden, og også or disse kan dierentiationernes rækkeølge normalt vælges vilkårligt,.eks = =.6. Lokalt ekstremum Lad P 0 være et indre punkt i deinitionsmængden D or en unktion og M D være en omegn a P 0. Hvis ( P ) ( P) or alle punkter P i M, så kaldes denne værdi or s lokale 0 minimum, og P 0 or et lokalt minimumspunkt. Hvis ( P0 ) ( P) or alle punkter P i M, så kaldes denne værdi or s lokale maksimum, Ved et lokalt ekstremum orstås enten et lokalt maksimum eller et lokalt minimum. Er ( P ) ( P) or alle punkter P i deinitionsmængden D, så kaldes denne værdi or s 0 globale minimum eller mindsteværdi, og er ( P0 ) ( P) or alle punkter P i deinitionsmæng- den D, så kaldes denne værdi or s globale maksimum eller størsteværdi. Nedenstående igurer leder os ind på, at det som et led i ekstremumsbestemmelser kan være nttigt at se på punkter, hvor graen har "vandret tangent(plan)" - såkaldte stationære (eller kritiske) punkter. Fig..9. Stationære punkter Fig.0. Stationære punkter ( ), ( ) ( ) På igurerne har (og g) vandret tangent (tangentplan) i og 3 3, globalt maksimum i 3 ( 3 ) og globalt minimum i 4 ( 4) Endvidere er graen or vandret mellem a og b. Fra dierentiable unktioner a én variabel vides, at man inder de stationære punkter or en unktion ved at inde de værdier or hvilke ( ) = 0 Man kan endvidere bestemme om et stationært punkt er lokalt maksimumspunkt eller minimumspunkt ved at lave en ortegnsdiskussion a ( ) (se igur.) 8

13 .6 Lokalt ekstremum Imidlertid kan man som regel også agøre arten a et stationært punkt ved at betragte de aledede a. orden i punktet. Der gælder nemlig ølgende: Lad 0 være et stationært punkt or en unktion (dvs. ( ) = ). ( ) > 0 er et lokalt minimumspunkt 0 0 ( ) < 0 er et lokalt maksimumspunkt 0 0 Fig. Fortegnsdiskussion or () ( 0 ) = 0 nærmere undersøgelse må oretages 0 0 For dierentiable unktioner a variable vil man tilsvarende se på de punkter hvor unktionen har vandret tangentplan, dvs. hvor de partielle aledede er 0. Deinition a stationært punkt. Lad være en dierentiabel unktion a variable med deinitionsmængde D. Et indre punkt ( 0, 0) i S kaldes et stationært punkt or, hvis ( 0, 0 ) = 0 ( 0, 0 ) = 0 Eksempel.7 Stationære punkter. 3 En unktion er givet ved (, ) = Find de stationære punkter or. Løsning: De stationære punkter or indes a ligningssstemet = = 0 () = = 0 ( ) I ligning () kan sættes udenor en parentes. Vi år: ( 3 4) = 0 = = 0 9

14 Funktioner a to eller lere variable 4 Tilælde : Indsættes = 0 i ligning (), ås = 0 =. 3 4 Stationært punkt: (, ) = 0, 3 Tilælde : Ligningen 3 4= 0løses med hensn til og indsættes i ligning (). 3 4 = indsættes: = = 0 = ± = 4 = 5 Stationære punkter ( (, ) = ( 4, 4) (, ) = 5, TI89: Funktionen deineres ^* - ^3 - *^ + 3*^ + 8* - STO (,) ENTER F: solve(d ((,),)=0 and d ((,),)=0,{,}) Resultat: =-4 and =_/ or =-4 and = -4 or =0 and =-4/3 Bemærk: d indes over 8 tast og and i CATALOG 3 Matcad: (,) := := := (startværdier) Given d d (, ) = 0 d d (, ) = 0 Find(,) boolsk lighedstegn Skal man skae sig et overblik over en unktions "udseende", kan det være nødvendigt at se på kende arten a de stationære punkter, dvs. vide om de er lokale maksima, minima eller såkaldte saddelpunkter. Da man jo ikke kan lave en ortegnsdiskussion på en unktion a variable, må man i stedet betragte de partielt aledede a anden orden. Der gælder ølgende sætning som anøres uden bevis: Sætning. (undersøgelse a arten a et stationært punkt). Lad (, ) være et stationært punkt or en dierentiabel unktion, og sæt 0 0 A = (, og 0, 0) B = 0 (, 0) C = A z B Lad determinantligningen B C z = 0 have rødderne z og z (, ) 0 0 0

15 .6 Lokalt ekstremum Der gælder da a) z og z positive: har lokalt minimum i (, ) 0 0 b) z og z negative: har lokalt maksimum i (, ) 0 0 ) z og z orskelligt ortegn: har intet lokalt ekstremum i (, ) 0 0 3) z = 0 og/eller z = 0: Nærmere undersøgelse må oretages. Eksempel.8. Lokale ekstrema 4 4 a) Find de stationære punkter or unktionen givet ved (, ) = b) Agør or hver a ovennævnte stationære punkter, om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. Løsning: a) 3 = = = 0 8 (, ) = ( 00, ) (, ) = ( 5, ) (, ) = ( 5, ) + = 0 5 (Ti 89 eller Matcad benttet) b) (0, 0) (, 5 ) (-, 5) A = = B = = 4 C = =

16 Funktioner a to eller lere variable (0,0): 4 z = z = z z = 5 5 Lokalt minimum (, 5): 3 z ( 3 ) = 5 z z = z =. z =. z 5 Saddelpunkt (-, 5): 3 z ( 3 ) = 5 z z = z =. z =. z 5 Saddelpunkt.7 Globalt ekstrema Ved optimeringsproblemer er man interesseret i at inde et globalt ekstremum or et konkret problem. Følgende eksempel illustrerer remgangsmåden, som jo er nært beslægtet med de tilsvarende problemer or unktion a. variabel. Eksempel.9. Optimering En retvinklet kasse uden låg skal have et rumang på 3m 3. Kassen skal konstrueres således, at dens overlade bliver mindst (mindst materialeorbrug). Find kassens optimale dimensioner. Løsning: ) Optimeringsproblemet opstilles. Lad længde, bredde og højde a kassen være, og z. Vi har da Find det globale minimum (mindsteværdi) or unktionen g(,, z) = z + z + i mængden S givet ved begrænsningen z = 3,, > 0, > 0, z > 0. ) Problemet reduceres. Begrænsningsligningen benttes til at reducere antallet a variable. 3 z = 3 z =. Ved indsættelse a z = 3 i g og de øvrige begrænsninger ås =, > 0, > 0, > 0. Problemet kan deror nu reduceres til Find det globale minimum (mindsteværdi) or unktionen (, ) = 64 i mængden S givet ved begrænsningerne 0<, 0 (. kvadrant)

17 .7 Globalt ekstremum 3) De mulige ekstremumspunkter bestemmes = 0 + = 0 = 64 = 0 + = 0 () Indsættes = 64 i ligning () ås = 0 + = = 0 = 0 = 4 64 Da > 0 er kun = 4 en løsning. Ved indsættelse a = 4 i = 64 ås = 4 Samlet har vi altså undet stationært punkt (4,4). 4) Vurdering a, at det stationære punkt er et globalt minimumspunkt =, =, = 3 3 Indsættes (4,4) ås A =, B =, C = z 0 = ( z) = z = ± z = z 3 Hera ses, at unktionen har et lokalt minimum i punktet (4,4) At det også er et globalt minimumspunkt snes rimeligt, da det er det eneste stationære punkt i deinitionsmængden. Endvidere ses at 0 0 så går (, ) Anvendes Matcad til at tegne niveaulinierne or unktionen ås ølgende tegning: For at å tal rem, så Sæt cursor på igur, Trk to gange, Vælg Special, number, og slet markering ved Autocontour Hera ses, at unktionen har globalt minimum i (4,4). Dimensionerne er = 4 m, = 4 m og z = m 3

18 Funktioner a to eller lere variable.8 Grænseværdi, kontinuitet, dierentiabilitet De ølgende deinitioner på grænseværdi, kontinuitet og dierentiabilitet er generaliseringer a tilsvarende begreber or unktion a variabel. Lad (, ) have deinitionsmængden D. Lad endvidere a være et reelt tal i D Grænseværdi: Hvis (, ) er vilkårlig tæt på a, blot (, ) er tilstrækkelig tæt på ( 0, 0 ) (og (, ) D), siger vi, at (, ) har grænseværdien a or (, ) gående mod ( 0, 0). Skrives: (, ) a or (, ) ( 0, 0) For en præcis deinition se :Matematik or ingeniører bind side 0. Kontinuitet: er kontinuert i ( 0, 0), hvis (, ) ( 0, 0) or (, ) ( 0, 0) Intuitivt kan man orestille sig kontinuerte unktioner som unktioner, hvis gra er "ubrudt". På igur.8 er vist nogle ikke-kontinuerte unktioners graer. Fig... Nogle ikke-kontinuerte unktioners graer. På basis a disse deinitioner, kan man vise ølgende sætninger, som gør, at det er nemt at agøre om en unktion a lere variable er dierentiabel. Sætning. Har en unktion kontinuerte partielle aledede i en åben mængde D, da er dierentiabel i D (og dermed også kontinuert). Til at agøre om en unktion er kontinuert gælder ølgende: Sætning.3. Enhver unktion, der ved "sædvanlig regning" ( + g, g, g,, ) g o g (ep, ln, potens, sin, cos, osv.), blive kontinuert i sin deinitionsmængde. kan dannes ud ra standardunktionerne 4

19 .9 Dierential.9. Dierential Dierential or unktion a variabel Følger vi graen or en dierentiabel unktion ra et punkt med abscissen til et punkt = ( ) 0 med abscissen 0 + bliver unktionstilvæksten = ( 0 + ) ( 0 ) jævnør igur igur.. Fig..3. Tilvækst i tangents retning I stedet or at ølge graen ra 0 til 0 + kunne vi som en tilnærmelse ølge tangenten i 0. I så ald bliver - tilvæksten ( 0 ) som kaldes dierentialet d eller d. For den ahængige variabel, gælder = d (betragtes den identiske unktion ( ) = år vi nemlig d = d =, dvs. d = ) Vi har deror d = ( ) d. 0 d Divideres med d, ås den kendte sammenhæng =. d Bemærk, at man altid gerne må dividere med d, når blot d 0. Navnet dierentialkvotient betder netop en kvotient mellem dierentialer. Eksempel.0. Dierential Find dierentialet a unktionen ( ) = 5 4 Løsning: Dierentialet d = ( ) d = 0 3 d Dierential or unktion a variable Lad unktionen være dierentiabel i et punkt ( 0, 0) og lad z0 = ( 0, 0). Går vi ra punktet ( 0, 0 ) til punktet ( 0 +, 0 + ) bliver unktionstilvæksten z = ( 0 +, 0 + ) ( 0, 0) jævnør igur.9. I stedet or a ølge graen or, kunne vi som en tilnærmelse ølge tangentplanen i ( 0, 0) d.v.s. den plan der udspændes a tangenterne AB og AD på igur.. 5

20 Funktioner a to eller lere variable Da tangentplanen har ligningen z = (, ) + (, ) ( ) + (, ) ( ) bliver z-tilvæksten z (, ) = (, ) ( 0, 0 ) Fig..4. Dierential dz Denne z-tilvækst, som ås ved at ølge tangentplanen, kaldes dierentialet d eller d z. Ligesom or unktioner a variabel gælder, at man kan erstatte med d og med d, hvorved dierentialet kan skrives d = d + d Ved visse anvendelser kaldes dierentialet or det totale dierential a. Eksempel.. Dierential Lad unktionen være givet ved z = (, ) = ) Beregn z når punktet (,) ændrer sig ra (,) til (.03, 0.98) ) Beregn dz når punktet (,) ændrer sig ra (,) til (.03, 0.98) Løsning: ) z = (. 03,. 0 98) (,) = = ) dz= + d d hvor d og d = =, 0 =, = 003. dz= ( 0. 0) =

21 .9 Dierential Fejlvurdering. Ved enhver måling kan den siske størrelse aldrig måles eksakt. Målingen behætes altid med en vis usikkerhed. Det kan skldes usikkerhed på objektet, måleinstrumentet, brugeren a instrumentet osv. Sstematiske ejl er ejl, hvor man eksempelvis har glemt at korrigere or temperaturens indldelse på måling a et stos hårhed. Er målingen beriet or sstematiske ejl, er der kun tilbage tilældige ejl. Eksempelvis vil der ote på et instrument være anørt en instrumentusikkerhed, som viser hvor nøjagtigt instrumentet kan måle. En sådan usikkerhed kan eksempelvis indes ved at man oretager en måling lere gange eventuelt a orskellige personer. Maksimal ejl eller usikkerhed Den maksimale usikkerhed er så deineret som den numerisk største avigelse mellem en målt værdi og gennemsnittet. Er eksempelvis en temperatur angivet som ± 0.05 menes hermed, at i værst tænkelige tilælde kunne målingen være eller Relativ ejl eller relativ usikkerhed Ved den relative ejl (usikkerhed) på en størrelse orstås størrelsen Eksempel.. Maksimal og relativ ejl Lad = 53 ± m og = 5 ± m a) Find den maksimale ejl z på z = - b) Find den relative ejl på z. Løsning: Det ses umiddelbart, at z = 53-5 = 8 og a) z = + =3 m dvs. z = 8 ± 3 m 3 b) rel(z) = = =. 34% 8 Den maksimale ejl (eller usikkerheden) på to størrelser kan jo godt være den samme,.eks. cm, men hvis den ene størrelse er usikkerheden på diameteren a et rør på 0 cm og den anden er højden på et hus, så er det klart, at det er den relative usikkerhed, der siger mest. Fejlberegning ved anvendelse a dierentialer. Ved mere komplicerede udtrk er det ikke som i eksempel. muligt direkte at beregne den maksimale usikkerhed. Man må så i stedet erstatte bentte dierentialet ved beregningen. Det svarer jo til, at man erstatter unktionen med dens tangentplan. Dette er tilladeligt når blot usikkerhederne og er små. Der gælder ølgende: 7

22 Funktioner a to eller lere variable Fejlberegning Den maksimale absolutte ejl z or unktionen z = (, ) i punktet ( (, ) er z orudsat ejlene og er små + (, ) (, ) Koeicienterne og kaldes så s ølsomhed overor ejl på henholdsvis og. Eksempel.3. Fejlvurdering. Et clindrisk hul med radius r og højde h bores i en metalblok. Man ved, at r = 3 ± 0. cm og h = 0 ± 0. cm ) Find den maksimale absolutte ejl på hullets volumen V ) Find den maksimale relative ejl på V 3) Har V størst ølsomhed overor r eller overor h? Løsning. V = π r h. Dierentialet på V er dv = π r dh + π r hdr ) Den maksimale absolutte ejl på hullets volumen V: V = π 3 h+ π 3 0 r = 9π π 0. = ) V = Den maksimale relative ejl er dv V = 77%. 3) V har størst ølsomhed over or ejl på r, da dv dv = π 0 > = π 3 dr dh Formlen er ikke mere kompliceret end man kan regne den maksimale ejl direkte V = π π 3 0 =

23 Funktion a mere end variable. Funktion a mere end variable De deinitioner og begreber som er gælder or unktioner a variable kan umiddelbart generaliseres til unktioner a 3 og lere variable. Graisk remstilling Graen or en unktion a 3 variable muligt at tegne en niveaulade hvor (,, z) (,, z) kan naturligvis ikke tegnes i et 4-dimensionalt rum. Derimod er det har en konstant værdi k. Eksempelvis er en såkaldt orbital eller bølgeunktion Ψ( z,, ) or et atom anskueliggjort ved en niveaulade or Ψ på igur.. (Orbitaler spiller en stor rolle or orståelsen a atomers og moleklers egenskaber). Et andet eksempel er nogle kugleormede niveaulader or tngdepotentialet på igur.. a + + z omkring jorden vist Fig... Niveaulade or en atomorbital Ψ( z,, ) Fig... Niveaulader or tngdepotentialet omkring jorden Begreberne ra kapitel kan umiddelbart kan generaliseres ra til lere variable. Eksempelvis gælder or en unktion a 3 variable analogt med unktion a variable: Sætning. Art a lokalt ekstremum or unktion a 3 variable Lad a = (,, z ) være et stationært punkt or en dierentiabel unktion a 3 variable. A = (, ), B = og 0 (, 0) C = 0 0 (, ) 0 0 a u a ( ) ( ) ( z a ) Lad determinantligningen a ( ) ( a) u ( z a ) z a z a ( ) ( ) ( a) u z = 0 have rødderne u, u og u 3. Der gælder da ) z, z og z 3 alle positive: har lokalt minimum i a = (,, z ) ) z, z og z 3 alle negative: har lokalt maksimum i (, )

24 . Funktion a mere end variable 3) z, z og z 3 har ikke samme ortegn: har intet lokalt ekstremum i (, ) 4) Hvis én eller lere a rødderne z, z og z 3 er 0 og de øvrige har samme ortegn, : Nærmere undersøgelse må oretages. Eksempel.. Funktion a 3 variable Lad unktionen være bestemt ved (,, z) = e z z a) Find de partielle aledede or unktionen b) Find de stationære punkter or c) Undersøg arten a de stationære punkter undet i spørgsmål b) Løsning: I det ølgende skrives or kortheds skld e = e a) = ( 4) e a, = ( 4 ) e a, = ( z ) e a z z z a = 0 = b) = 0 = 3 Stationært punkt (,, z)=(, 3,) z = = 0 z = + ( 4) e, = 4+ ( 4 ) e, = + ( z ) z 0 0 c) ( ) ( ) ( ) a a a a a a = ( 4)( 4 ) e, = ( 4)( z ) e, = ( 4 )( z ) e z z (,,) 3 =, (,,) 3 = 4, (,,) 3 =, (,,) 3 = (,,) 3 = (,,) 3 = 0 z z z u u u = 0 u = u = 4 u = Hera ses, at har et lokalt minimum i punktet (,, z)=(, 3,) e 0

25 Opgaver Opgaver Opgave. Lad være en unktion givet ved (, ) = a) Tegn i et rumligt koordinatsstem graen or unktionen ved anvendelse a et matamatikprogram b) Tegn niveaukurverne or unktionen og agør herudra om unktionen har noget lokalt minimum? - lokalt maksimum? - saddelpunkt? Opgave. Man er interesseret i graisk remstilling a unktionen (, ) = +. Der ønskes hovedsageligt betragtet punkter, hvor (, ) 3 og der lægges ikke vægt på nøjagtighed, men på principielle træk. Såvel positive som negative - og -værdier betragtes. a) Tegn i et rumligt koordinatsstem graen or unktionen ved anvendelse a et matamatikprogram b) Tegn niveaukurverne or unktionen og agør herudra om unktionen har noget lokalt minimum? - lokalt maksimum? - saddelpunkt? Opgave.3 4 Lad være en reel unktion a to variable givet ved (, ) =. 3 9 ) Angiv s deinitionsmængde (skitsér den i - planen). ) Skitsér i et - koordinatsstem s niveaukurver svarende til niveauerne 0,,, 3 og 4. 3) Skitsér i et z - koordinatsstem skæringskurven mellem s gra og planen = 0. 4) Skitsér graen or i et z - koordinatsstem, således at man år et indtrk a graens 3- dimensionale udseende. Opgave.4 Man er interesseret i graisk remstilling a unktionen (, ) =. Der ønskes hovedsageligt betragtet punkter, hvor (, ), og der lægges ikke vægt på nøjagtighed, men på principielle træk. a) Tegn i et rumligt koordinatsstem graen or unktionen ved anvendelse a et matamatikprogram b) Tegn niveaukurverne or unktionen og agør herudra om unktionen har noget lokalt minimum? - lokalt maksimum? - saddelpunkt? Opgave.5 Find de partielle aledede a ørste og anden orden or ølgende unktioner 3 ) (, ) = ) (, ) = ( > ) + 3 3) e (, ) = 4) (, ) = ln + 4

26 Funktion a eller lere variable Opgave.6 Find ligningen or tangentplanen or ) (, ) = i punktet (,) = (-,3) ) (, ) = i punktet (,) = (, -) Opgave.7 Find de stationære punkter or unktionerne 3 3 ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = cos( ), π 3π ; 4) (, ) = Opgave Lad virkningsgraden or en motor være givet tilnærmet ved (, ) = 3 0. og er to variable. ) Find de partielle aledede a. og. orden a. ) Find de partielle aledede a. og. orden a i punktet (-,). 3) Er punktet (-,) et lokalt maksimumspunkt. Opgave.9. Find alle lokale maksimums- og minimumspunkter or ølgende unktioner: ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = + ( ) 9) (, ) = + + 0) (, ) = + 6 Opgave.0. ( ) Vis, at unktionen givet ved (, ) = + 4 8,hvor har 5 stationære punkter og agør or hvert, om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt.

27 Opgaver Opgave.. 4 a) Find samtlige stationære punkter or unktionen (, ) = + 4 b) Betragt de stationære punkter (, ) or hvilke 0. Agør or hvert a disse punkter, om punktet er et lokalt maksimumspunkt, et lokalt minimumspunkt eller et saddelpunkt. Opgave.. Find de stationære punkter or unktionen (, ) = ( ) + og agør or hvert, 5 om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. Opgave.3 En kasseormet tank skal konstrueres, så den år et rumang på 000 m 3. Bund, sider og låg koster henholdsvis 4000 kr./m, 000 kr./m og 000 kr./m. Dimensionér tanken således, at prisen bliver mindst, idet dog ingen a kanterne må overstige 0 m. Opgave.4. z En plan har ligningen + + =, hvor a b c a >, b> 4og c > 5. Planen skærer koordinatakserne i punkterne A, B og C (se iguren). Koordinatsstemets begndelsespunkt kaldes D. Værdierne a a, b og c ønskes bestemt, således at punktet P = (,4,5) ligger på planen gennem A, B og C, og tetraederet ABC s volumen V abc bliver mindst mulig. Det 6 oplses, at der eksisterer værdier a a, b og c med de ønskede egenskaber. Opgave.5 Find dierentialet a unktionen ) (, ) = ) (, ) = + 4 i punktet (,0) Opgave.6 En kugleormet tank har radius r. Med en pejlestok måler man væskehøjden h or at kunne beregne væskerumanget V = π h ( 3r h) 3 a) Angiv et den maksimale ejl på V, når r = ± 0. m og h = 0. ± 0.0 m b) Angiv den maksimale relative ejl på V. 3

28 Funktion a eller lere variable Opgave.7 En bunke har orm som en kegle med højde h og grundladeradius r. Man måler h og r, or at kunne beregne rumanget V = π r h 3 a) Angiv den maksimale ejl på V, når r = 0 ± 0. m og h = 0 ± 0. m b) Angiv den maksimale relative ejl på V. Opgave.8 En olietank er kasseormet med længden L = 3 m, bredden B = m og højden H = m. Tanken er nedgravet vandret, men ejeren år mistanke om, at den hælder en vinkel u. For at inde u, hælder ejeren V = m 3 olie i den tomme tank, og måler oliestandens højde h i den højeste side til 0.0 m.(se iguren) Vinklen u kan indes a ormlen V h u = Arctan B L L ) Find vinklen u. ) Det anslås, at V= ± 00. og h = 0. ± 0.0. Find den maksimale absolutte ejl på u (alle resultater med 3 betdende cire) 3) Angiv den maksimale relative ejl på u. Opgave. Find de partielle aledede a ørste orden or ølgende unktioner 3 3 ) (,, z) = z + z ) (,, z) = sin( z) + Opgave. z Find alle lokale ekstremumspunkter or de ølgende unktioner ) ) 3) 4

29 Facitliste Facitliste. a) - b) -,ingen a delene. a) - b) -, lokalt minimum.3 ) + 9 ) - 3) - 4) -.4 a) - b) -, saddelpunkt ) = 3 + 4, = +, = 6 + 4, =, = ) = ( ) + 3 = + 3 = + 3 ( ), ( ) ( ), ( )( ) ( + ) 5, = ( )( ) ( + ), = ( + )( ) ( + ), 3) 4) = 3 3 e = 3 e = 9 3 e = 3 e = 3 3,,,, e, ( ) ( 3 ) 4 =, =, =, =, =, ( + ) 4 ( + ) ( + ).6 ) z= 30 ( + ) + 6( 3) ) z = 4 4( ) 4( + ) ( ) ( ) ( ).7 ) (0, 0) (3, 3) () (5, -8) 3) 0, π, 0, π 4) (-4, -3) 3.8 ) = 3 3, = 3 3, = 6, = 6, = 3, ) 0, 0, -6, -3, -6 3) ja ( ) 6) lok.min.pkt. (0, 0) 7) lok.min.pkt. (, 0) 8) lok.min.pkt. (, ), (, ).9 ) lok.min.pkt. (0, 0) ) lok.min.pkt. ±, 3) ingen 4) ingen 5)lok.min.pkt. (, 0) 3 9) ) lok.ma.pkt. ± 0) ingen, 0.0 lok.ma.pkt. (0, 0) lok.min.pkt. (0, ) lok.min.pkt. (0, -) saddelpunkt 0 og ( ) ( ). a) (0, 0), (0, ), (0, -), 6,, 6, b) saddelpunkt (0,0) lok. ma. pkt (0,-). lok.min.pkt. (0, 0) saddelpunkt 0, saddelpunkt 0, = 435, = 435, z = 535,.4 6,, 5.5 ) 3 6 d d ) lnd + lnd ( ) (, ) ( 0, ).6 (a) m 3 (b) 0%.7 ) ) 5%.8 ) eller radianer ) eller 0.0 radianer 3).4% ) = 3 z + z, = z + z, = z + 3z z z z z ) = cos( z) z + z ln, = sin( z) + z ln, = cos( z) + ln z. ) lok. ma.pkt. (3,, 3) ) lok. min.pkt. (0.0.0) 3) ingen 5