Kapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere

Transkript

1 Kapitel 3: Præferencer Hvordan skal vi modellere præferencer? 1. Paradigme (husk fra forrige kapitel): Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Vi har set på hvordan man kan formalisere har råd til. 3. Hvad det bedste er afhænger af forbrugerens præferencer. 4. Vi modellerer præferencer på en parvis facon, dvs. som en binær relation mellem par af varebundter. 5. Hvorfor dette udgangspunkt? 6. Vi vil se senere at andre udgangspunkter giver nogenlunde samme resultater (præciseres senere hvordan dette skal forståes). 1

2 Binære relationer 1. Antag at vi har en mængde M = fx; y; z; :::g af alternativer. 2. R angiver en relation (eksempler nedenfor). 3. For x; y 2 X, hvis x står i relation til y da skrives xry". 4. Eksempler: M = alle mennesker i verden. R = højere end. M = alle mennesker i verden. R = mindst lige så høj som. M = alle mennesker i verden. R = højere og tungere end. M = alle mennesker i verden. R = deler mindst et navn med. M = R (de reelle tal). R =. M = R (de reelle tal). xry hvis jx yj > 1. 2

3 Præference relationer 1. Lad x = (x 1 ; x 2 ) og y = (y 1 ; y 2 ) angive varebundter. 2. Vi skriver da: x y hvis x er "mindst lige så god som" y. 3. Vi skriver x y hvis ej x y. 4. indifferens: Vi skriver x y hvis både x y og y x: 5. strengt foretrukket: Vi skriver x y hvis x y og y x. 3

4 Standardantagelser for præferencerelationer 1. Komplet (ell. fuldstændig): For alle par x og y har vi enten x y eller y x. 2. Fortolkning af komplet: 3. Transitiv: hvis x y og y z da x z. 4. Fortolkning af transitiv: 5. Reeksiv: hvis x x for alle x: 6. Fortolkning af reeksiv: Spørgsmål: Hvilke egenskaber er opfyldt i vores tidligere eksempler? 4

5 Bemærk: Hvis er komplet da er reeksiv. Argument: 5

6 Bemærk: Hvis er transitiv, da medfører x 1 x 2, x 2 x 3,...,x k 1 x k at x 1 x k, k 3. Bevis (TAVLE) Transitivitet udelukker cykliske præferencer : Der ndes ikke alternativer fx 1 ; x 2 ; ; :::.,x k g så at x 1 x 2, x 2 x 3,...,x k 1 x k og x k x 1. 6

7 Konsekvens af transitivitet: Hvis er transitiv, da vil der for enhver endelig mængde af alternativer fx 1 ; x 2 ; ; :::.,x k g ndes et alternativ x i så at x j x i for alle x j - dvs der er mindst et "maksimalt element". Bevis: (TAVLE). 7

8 Indifferenskurver I det følgende: Lad være en komplet og transitiv præferencerelation. 1. Indifferenskurve: For et givet varebundt x, da angiver indifferenskurven mængden af de varebundter y for hvilket at y x. 2. Nytten er konstant langs en indifferenskurve. Kan sammenlignes med højdekurver på et landkort (hvor højden er konstant langs en kurve). 8

9 9

10 1. To indifferenskurver for to forskellige nytteniveauer kan aldrig krydse hinanden (hvorfor?) 2. Spørgsmål: Kan to indifferenskurver for det samme nytteniveau krydse hinanden? 10

11 Vigtige eksempler på præferencer 1. Perfekte substitutter: Goder der altid afvejes i et bestemt bytteforhold. 2. Specialtilfælde: Goder der er identiske for forbruger. F.eks. 1 aske Hof og 1 aske Grøn Tuborg (bytteforhold 1:1). 3. Eller 1 2 liter fad og 1 4 liter fad (bytteforhold 1:2) 11

12 1. Perfekte komplementer: Goder der altid forbruges i et bestemt bytteforhold. 2. F.eks.: højre og venstre sko (forbruges i forhold 1:1), rat og hjul (forbruges i forhold 1:4). 12

13 Eksempel på Indifferenskurver hvor den ene vare er et onde (ansjoser) og den anden vare et gode (pepperoni). Spørgsmål: Hvad så hvis begge goder er onder? 13

14 Eksempel på Indifferenskurver hvor den ene vare er naturalt (ansjoser) og den anden vare et gode (pepperoni). 14

15 Eksempel på Indifferenskurver hvor der ndes et mætningspunkt - (x 1 ; x 2 ) optimalt for forbruger. 15

16 Eksempel på indifferenskurver hvor Gode 1 er udeleligt ( diskrete ) 16

17 Pæne præferencer 1. Vi siger at præferencer er pæne ( well-behaved ) hvis følgende er opfyldt: 2. Monotone præferencer - Jo mere af goderne jo bedre: 3. Dvs., for x = (x 1 ; x 2 ) og y = (y 1 ; y 2 ); hvis x 6= y og x i y i for begge i, da x y. 17

18 1. Konvekse præferencer - foretrækker blandinger fremfor ekstremer: 2. For x = (x 1 ; x 2 ) og y = (y 1 ; y 2 ); hvis x y og 0 < t < 1, da tx + (1 t)y x. Ofte benyttes en lidt stærkere version: 3. Strengt konvekse præferencer - strengt foretrækker blandinger fremfor ekstremer: 4. For x = (x 1 ; x 2 ) og y = (y 1 ; y 2 ); hvis x y og 0 < t < 1, da tx + (1 t)y x. 18

19 19

20 MRS - Marginal Rate of Substitution På dansk: marginale substitutionsrate. 1. Se på to varer: Vare 1 og Vare Denition: MRS i punktet (x 1 ; x 2 ) deneres som hældingen på indifferenskurven i punktet (x 1 ; x 2 ). 3. NB: Ved denne denition er MRS sædvanligvis negativ. 4. Nogle økonomer denerer MRS som den absolutte værdi af hældingen på indifferenskurven i punktet (x 1 ; x 2 ). 5. Lad I(x 1 ) være en funktion der angiver indifferenskurven gennem (x 1 ; x 2 ). Da MRS(x 1 ; x 2 ) = I 0 (x 1 ) x 2 x 1 (underforstået: x 1 negativ). 6. Nb: vi forudsætter her at indifferenskurve er differentiabel. 7. Fortolkning: Den absolutte værdi af MRS er et mål for hvor meget forbrugeren skal have af Vare 2 for at det modvejer tabet af 1 enhed af Vare 1. 20

21 21

22 Husk: MRS måler hvor meget forbruger er villig til at betale i form af den ene vare for at modtage 1 enhed af anden vare. Naturligvis ikke nødvendigvis det samme som hvor meget forbruger er nødt til at betale i form af den ene vare for at modtage 1 enhed af anden vare. 22

23 MRS egenskaber i vigtige eksempler på præferencer 1. Perfekte substitutter: 2. Perfekt komplementære goder: 3. Et gode og et onde: 4. Et gode og et neutralt gode: 5. Mæthedspunkt: 6. Pæne indifferenskurver: 23

24 Mini-Øvelse: Gode 1: 100 kr sedler. Gode 2: 20 kr mønter. 1. Skitser indifferenskurver i (x 1 ; x 2 )-diagram. 2. Angiv den marginal substitutionsrate. 3. Er de to varer perfekte komplementer? 24