IKKE-LINEÆR OPTIMERING
|
|
- Birgit Eskildsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 IKKE-LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Konvekse funktioner 1 2 Optimering uden bibetingelser 1 3 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder 2 4 Optimering under bibetingelser givet ved uligheder 3 41 Lagrange funktionen 3 42 KuhnTucker vektorer 4 43 KarushKuhnTucker betingelserne 4 5 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder og uligheder 5 6 Eksempler 6 7 Matematisk økonomiske modeller 9 Litteratur 11 Vi rekapitulerer nogle fakta om konvekse funktioner 1 Konvekse funktioner Denition 11 Lad A R n være en konveks delmængde En reel funktion f : A R på A er konveks hvis x, y A t [0, 1]: f1 tx + ty 1 tfx + tfy Sætning 12 Lad A R n være en åben konveks delmængde og f : A R en reel C 1 -funktion på A 1 f er konveks x, y A: fy fx + fx x y 2 x er et global minimumspunkt for f fx 0 x A 3 f er konveks x A: 2 fx er positiv semidenit hvis f er C 2 Bevis 1 [2, Sætning 461] 2 Antag fx 0 Da A er en konveks mængde og f er en konveks C 1 -funktion med fx 0 er fx fx + fx x x fx for alle x A 3 [2, Sætning 431, 451] hvor Vi betragter i dette afsnit optimeringsproblemet A er en delmængde af R n f er en reel funktion deneret på A 2 Optimering uden bibetingelser P Minimer f Denition 21 Punktet x er en optimal løsning til P hvis fx fx for alle x A Sætning 22 Antag at A er en åben delmængde af R n og at f er en C 1 -funktion på A Lad x væren en løsning til optimeringsproblemet P Så er fx 0 Dette er en nødvendig betingelse for at x løser P Vi kan opnå en tilstrækkelig betingelse ved at skærpe kravene til f Date: 20 november
2 gradienterne i x { g j x 1 j p} 2 JESPER MICHAEL MØLLER Sætning 23 Antag at A er en åben konveks delmængde af R n og at f er en konveks C 1 -funktion på A Hvis fx 0 så er x en løsnking til optimeringsproblemet P hvor 3 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder Vi betragter i dette afsnit optimeringsproblemet P Minimer f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0 A er en delmængde af R n f og g 1,, g p er reelle funktioner deneret på A De mulige løsninger er de punkter i A som opfylder alle bibetingelser A 0 {x A g 1 x 0,, g p x 0} Denition 31 Punktet x A er en optimal løsning til P hvis x A 0 og fx fx for alle x A 0 Sætning 32 Lagrange nødvendig betingelse LNB Antag at A er en åben delmængde af R n og at f og g 1,, g p er C 1 -funktioner på A Lad x A 0 være en løsning til P Antag også at x opfylder regularitetsbetingelsen: er lineært uafhængige Så ndes en entydigt bestemt Lagrange multiplier u R p så x, u opfylder Lagrange betingelserne: 1 g j x 0 for 1 j p 2 f + u j g j x 0 eller f x + u j g j x 0 for 1 i p Lagranges sætning giver en nødvendig, men ikke tilstrækkelig, betingelse for at x løser P Hvis vi lægger et koneksitetskrav på så får vi en tilstækkelig betingelse for at x løser P Sætning 33 Lagrange tilstrækkelig betingelse LTB Antag at A er en åben konveks delmængde af R n og at f og g 1,, g p er C 1 -funktioner på A Hvis x, u opfylder Lagrange betingelserne og funktionen A R: x fx + u j g jx er konveks så er x en løsning til P Bevis Antagelsen er at A R: x fx + u j g jx er en konveks funktion med x som stationært punkt, dvs globalt minimumspunkt Sætning 12 Altså er fx + u j g j x fx + u j g j x for alle x A Men g j x 0 for alle x A 0 så her står at fx fx for alle mulige løsninger x A 0 Bemærkning 34 Maksimeringsproblemet P Maksimer f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0 løses ved at minimere f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0 Hvis x opfylder regularitetskravet og x er en løsning til maksimeringsproblemet, så ndes ifølge Lagrange sætning 32, u så x, u opfylder Lagrange betingelserne 1 g j x 0 for 1 j p 2 f u j g j x 0 eller f x u j g j x 0 for 1 i n Og hvis x, u opfylder Lagrange betingelserne og x fx u j g jx er konveks så er x en løsning til maksimeringsproblemet
3 IKKE-LINEÆR OPTIMERING 3 hvor 4 Optimering under bibetingelser givet ved uligheder Vi betragter i dette afsnit minimeringsproblemet P Minimer f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0 A er en delmængde af R n f og g 1,, g p er reelle funktioner deneret på A De mulige løsninger A 0 {x A g 1 x 0,, g p x 0} er de punkter i A som opfylder alle bibetingelser Hvis x A 0 er en mulig løsning, siger vi at bibetingelsen g j er aktiv i x hvis g j x 0 og slæk i x hvis g j x < 0 Denition 41 Punktet x A er en løsning til P hvis x A 0 og fx fx for alle x A 0 41 Lagrange funktionen Funktionen 42 L: A R p 0 R, x, u fx + u j g j x kaldes for minimeringsproblemets Lagrange funktion Denition 43 Punktet x, u A R p 0 er et saddelpunkt for Lagrange funktionen L hvis for alle x A og alle u 0 Vi analyserer nærmere de to ulighder i Denition 43 Lx, u Lx, u Lx, u Lemma 44 Følgende to betingelser er ækvivalente for x, u A R p 0 : 1 x A 0 og fx Lx, u 2 Lx, u Lx, u for alle u 0 Bevis Vi viser at følgende betingelser er ækvivalente: 1 x A 0 og fx Lx, u 2 g 1 x 0,, g p x 0 0 og u j g jx 0 3 u j u j g jx 0 for alle u 0 4 Lx, u Lx, u for alle u 0 1 2: Klart! 2 3: u j u j g jx u j g j x 0 da u j 0 og g j x 0 3 2: Sæt u i 1 + u i og u j u j for j i Det giver g ix 0 Så er u j g jx 0 Sæt u 0 Det giver u j g j x 0 Altså er u j g jx 0 3 4: Det er klart fordi Lx, u Lx, u fx + u j g j x fx + u j g j x u j g j x u j g j x u j u j g j x 0 for alle u 0 Lemma 45 Følgende to betingelser er ækvivalente for x, u A R p 0 : 1 Lx, u Lx, u for alle x A 2 Lx, u inf x A Lx, u Bevis Klart! Korollar 46 Følgende to betingelser er ækvivalente for x, u A R p 0 : 1 x, u er et saddelpunkt for L 2 x A 0 og fx Lx, u inf x A Lx, u
4 4 JESPER MICHAEL MØLLER 42 KuhnTucker vektorer Denition 47 Vektoren u 0 er en KuhnTucker vektor for P hvis og inf x A0 fx > inf Lx, x A u inf fx x A 0 Sætning 48 Følgende fem betingelser er ækvivalente for x, u A R p 0 : 1 x er en løsning til P og u er en KuhnTucker vektor 2 x A 0 og fx inf x A0 fx inf x A Lx, u 3 x A 0 og fx inf x A0 fx inf x A Lx, u Lx, u 4 x A 0 og fx inf x A Lx, u Lx, u 5 x, u er et saddelpunkt for Lagrangefunktionen L Hvis de er opfyldt for x, u så er u j g jx 0 for 1 j p Bevis Vi viser at betingelserne er ækvivalente 1 2: Da x er en løsning til P er x A 0 og fx inf x A0 fx og da u er en KuhnTucker vektor er inf x A0 fx inf x A Lx, u 2 1: Klart! 2 3: Vi har fx inf x A Lx, u Lx, u fx hvor den sidste ulighed kommer af at Lx, u fx + u j g jx fx da u j 0 og g jx 0 Derfor er denne kæde af ulighedstegn faktisk en kæde af lighedstegn 3 2: Klart! 3 4: Klart! 4 3: Vi har fx inf Lx, x A u inf Lx, u inf fx x A 0 x A 0 hvor den sidste ulighed kommer af at Lx, u fx når x A 0 Men så er fx inf x A0 fx 4 5: Korollar 46 Hvis betingelserne er opfyldt for x, u så er fx Lx, u fx + u j g j x og derfor er u j g jx 0 Da alle led i denne sum er 0, er de alle faktisk 0 Hvis P har en KuhnTucker vektor u så gælder: x er en løsning til optimeringsproblemet P x, u er et saddelpunkt for Lagrangefunktionen L sådan at vi stedet for at søge efter løsninger x til P kan søge efter saddelpunkter af formen x, u for L 43 KarushKuhnTucker betingelserne KarushKuhnTucker betingelserne må nødvendigvis være opfyldt i en løsning x til optimeringsproblemet P Sætning 49 KarushKuhnTucker nødvendig betingelse KKTNB [1, Theorem 127] Antag at A er en åben delmængde af R n og at f, g 1,, g p er C 1 -funktioner deneret på A og lad x A 0 være en løsning til programmet P Antag også at mindst en af følgende tre regularitetsbetingelser er opfyldt: bibetingelserne g j er ane, g j x a j x b j, for 1 j p bibetingelserne g j er konvekse og der ndes mindst et punkt af A 0 hvor de er alle slække Slater betingelse gradienterne i x for de aktive bibetingelser er lineært uafhængige { g j x 1 j p, g j x 0} Så ndes en vektor u R p sådan at x, u opfylder KarushKuhnTucker betingelserne 1 u j 0 for 1 j p positivitet 2 g j x 0 for 1 j p mulig løsning 3 u j g jx 0 for 1 j p komplementær slæk
5 4 f + u j g j x 0 eller f x + IKKE-LINEÆR OPTIMERING 5 De tilstrækkelige betingelser bygger igen på konveksitet u j g j x 0 for 1 i n optimalitet Sætning 410 KarushKuhnTucker tilstrækkelig betingelse KKTTB [1, Theorem 128] Antag at A er en åben konveks delmængde af R n og at f, g 1,, g p er C 1 -funktioner deneret på A Hvis x, u opfylder KarushKuhn Tucker betingelserne og funktionen A R: x fx + u j g jx er en konveks funktion på A så er x en løsning til P og u er en KuhnTucker vektor for P Bevis Antag at x, u opfylder KarushKuhnTucker betingelserne Så er Lx, u fx + u j g j x fx Desuden er inf Lx, x A u Lx, u fordi x Lx, u er en konveks C 1 -funktion med stationært punkt, derfor globalt minimumspunkt Sætning 12, x Derfor siger 1 4 i Sætning 48 at x en løsning og u er en KuhnTucker vektor Bemærkning 411 Maksimeringsproblemet P Maksimer f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0 løses ved at minimere f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0 Hvis x opfylder et af regularitetskravene fra KarushKuhnTuckersætning 49 og x er en løsning til maksimeringsproblemet, så ndes u så x, u opfylder KarushKuhnTucker betingelserne 1 u j 0 for 1 j p positivitet 2 g j x 0 for 1 j p mulig løsning 3 u j g j x 0 for 1 j p komplementær slæk 4 f u j g j x 0 eller f x u g j j x 0 for 1 i n optimalitet Og hvis x, u opfylder ovenstående betingelser og A R: x fx+ u j g jx er konveks så er x en løsning til maksimeringsproblemet Betingelse 3 om komplementær slæk siger at u j 0 hvis g jx 0, dvs hvis den jte bibetingelse er slæk i x Betingelserne 3 og 4 udtrykker at hvis bibetinglese g j er slæk i x så lægger g j ingen hindringer for at øge f hvor 5 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder og uligheder Vi betragter i dette afsnit minimeringsproblemet P Minimer f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0, h 1 0,, h q 0 A er en delmængde af R n f, g 1,, g p og h 1,, h q er reelle funktioner deneret på A De mulige løsninger er de punkter i A som opfylder alle bibetingelser A 0 {x A g 1 x 0,, g p x 0, h 1 x 0,, h q x 0} Denition 51 Punktet x A er en optimal løsning til P hvis x A 0 og fx fx for alle x A 0 Sætning 52 KarushKuhnTucker nødvendig betingelse KKTNB [1, Theorem 129] Antag at A er en åben delmængde af R n og at f, g 1,, g p og h 1,, h q er C 1 -funktioner deneret på A og lad x A 0 være en løsning til programmet P Antag at følgende regularitetsbetingelse er opfyldt: gradienterne i x for de aktive bibetingelser { g j x 1 j p, g j x 0} { h j x 1 j q} er lineært uafhængige Så ndes en vektor u R p og en vektor v R q sådan at x, u, v opfylder KarushKuhnTucker betingelserne 1 u j 0 for 1 j p og v j R for 1 j q
6 6 JESPER MICHAEL MØLLER 2 g j x 0 for 1 j p og h j x 0 for 1 j q mulig løsning 3 u j g jx 0 for 1 j p komplementær slæk q 4 fx + u j g j x + vj h j x 0 eller f x + 1 i n optimalitet Eksempel 61 Lagrange sætning 32 6 Eksempler u j g j x + P Minimer x x x 2 3 under bibetingelserne x x x 2 3 1, x 1 + 3x 2 + 2x 3 1 q v j h j x 0 for De mulige løsninger A 0 {x x x 2 3 1, x 1 + 3x 2 + 2x 3 1} er kompakt, så den kontinuerte fx 1, x 2, x 3 x x x 2 3 har både et maksimum og et minimum på A 0 Gradienterne 2x 1 1 2x 2, 3 8x 3 2 er lineært uafhængige i planen {x 1, x 2, x 3 x 1 + 3x 2 + 2x 3 1} og specielt også i hele A 0 Lagrange betingelserne er altså opfyldt i de to ekstremumspunkter ifølge Lagrange sætning 32 Lagrange betingelserne 1 x x x 2 3 1, x 1 + 2x 2 + 3x 3 1 2x 1 2x x 2 + u 1 2x 2 + u x 3 8x har to løsninger, x 1, x 2, x 3, u 1, u 2 3 1,, 0, 1, 0, x 1, x 2, x 3, u 1, u ζ, 3 7 ζ, ζ, 5 22, ζ, ζ 22 som må være minimum f 1 og maksimum f af f på A 0 Eksempel 62 [2, Eksempel 2, p 261] P Minimer x 2 2y under bibetingelserne x 2 + y 2 5, y 0 De mulige løsninger A 0 {x 2 + y 2 5, y 0} er kompakt, så den kontinuerte fx, y x 2 2y har både et maksimum og et minimum på A 0 KarushKuhnTucker betingelserne 1 u 0, v 0 2 x 2 + y 2 5, y 0 3 ux 2 + y 2 5 0, vy 0 4 2x 2 + u 2x 2y + v har de tre løsninger x, y, u, v ±2, 1, 1, 0, 0, 5, 1/ 5, 0 Da x, y fx, y + g 1 x, y x 2 2y + x 2 + y 2 5 y 2 2y + 5 er konveks en glad parabel er x, y ±2, 1 et globalt minimum med værdi fx, y 6 Eksempel 63 Ikke-konveks optimering P Minimer 2x x 2 under bibetingelserne x 0, x 3 Da fx 2x x 2 er en sur parabel er minimumspunktet et af endepunkterne for intervallet [0, 3] Da f0 1 og f3 3 er det faktisk x 3 som er løsningen til P KarushKuhnTucker betingelserne 1 u 1 0, u x 3 3 u 1 x 0, u 2 x x u 1 + u 2 0 er opfyldt for x, u 1, u 2 1, 0, 0, 0, 2, 0, 3, 0, 4 Men det er altså kun det sidste der er et minimumspunkt Det første er et lokalt minimum og det andet er et maksimumspunkt Eksempel 64 Ikke-konveks optimering KarushKuhnTucker betingelserne P Minimer x 2 + y 2 under bibetingelsen x 1 0
7 IKKE-LINEÆR OPTIMERING 7 Figur 1 Eksempel 66 og Eksempel 62 1 u 0 2 x 1 3 ux x 2y + u er opfyldt for x, y, u 0, 0, 0 og x, y, u 1, 0, 2 Ingen af dem er løsninger til P for P har ingen løsninger da objektfunktionen x 2 + y 2 ikke er nedad begrænset på A 0 {x, y x 1} Det havde straks gået meget bedre hvis vi havde forsøgt at minimere f x 2 + y 2 Eksempel 65 Eksamen 07/08 Opg 3 Lad Q være en kvadratisk positiv semidenit n n-matrix, A en m n-matrix og b R m, c R n vektorer Betragt det konveks kvadratiske optimeringsproblem P Minimer c x xt Qx under bibetingelserne Ax b KarushKuhnTucker betingelserne er 1 u 0 2 Ax b 3 u Ax b 0 4 c + Qx + A t u 0 Ifølge Sætning 49 og Sætning 410 er x en løsning til P hvis og kun hvis der ndes u så x, u opfylder KarushKuhnTucker betingelserne Eksempel 66 Konveks optimering [2, Eksempel 1, p 260] KarushKuhnTucker betingelserne er 1 u 0, v 0 2 x + e x y, x 0 3 ux + e x y 0, vx 0 4 1/2 1 + u P Minimer y 1 2 x under bibetingelserne x + e x y 0, x 0 1 e x 1 + v Fra 4 får vi at u 1 og v 1 2 e x Da v 0 er x 0 ikke muligt 3 giver derfor at v 0 Så er 0 v 1 2 e x og x ln2 3 giver nu at y 1/2 + ln2 Det eneste punkt som opfylder betingelserne er x, y, u, v ln2, ln , 1, 0 Da alle funktioner er konvekse C1 -funktioner er x, y ln2, ln faktisk en løsning til P ifølge Sætning Eksempel 67 Lagrange multiplikatorer er skyggepriser for bibetingelser I maksimeringsproblemet Pb Maximer f under bibetingelser g 1 b 1,, g m b m afhænger bibetingelserne af de exogene varible b b 1,, b m Antag at x er en løsning til Pb for et fast b Så ndes et u så x, u opfylder Lagrange betingelsernerne 1 g j x b j 0, 1 j m
8 8 JESPER MICHAEL MØLLER 2 f m u j g j x 0 eller f u j g j x 0 for 1 i n Hvad sker der hvis vi ændrer b? Kan vi nde løsningen for maksimeringsproblemet Pb som en funktion x, u x, u b af parameteren b? Implicit Funktion Sætning har noget at sige her Lad F : R n R m R m R m R n være funktionen g 1 x b 1 gx b F x, u, b f g m x b m u j g j x x 1 f uj g j x x n f uj g j x gx b f u t g x som består af de m + n Lagrange betingelser set som funktioner af x, u, b Jacobiant matricen for F x, u, b x,u b kan deles op i to blokke som består af de partielle aedte efter de endogene variable x, u og de partielle aedte efter de exogene variable b De partielle aedte efter de endogene variable x, u 68 g b x, u f u t g x, u g 1 x 1 g m x 1 2 x 1x 1 f uj g j 2 x 1x n f uj g j g 1 x n 0 0 g m x n 0 0 g1 x 1 gn x 1 2 x nx 1 f uj g j 2 x nx n f uj g j er en kvadratisk n + m n + m matrix De partielle aedte efter de exogene variable b 69 b E m+n[1, m] g1 x n gn x n g x 0 H f u t g g x t er 1 gange de m første søjler i m + n m + n enhedsmatricen E m+n Antager vi at F x, u, b 0 og x,u x, u er invertibel kan vi anvende Implicit Funktion Sætning Nær x, u, b gælder det at F x, u, b 0 x, u xb, ub for en funktion xb, ub deneret nær b Implicit Funktion Sætning giver x x u x, u b b 0 eller u b b x, u x, u, b hvor x u I dette tilfælde siger 68, 69 og 610 at g H f u t g b x 1 b 1 x x b n b u 1 u b 1 b 1 u m b 1 x 0 g x t x b u b x 1 b n x n b n u 1 b n u m b n E m+n [1, m] 1 b x, u, b
9 IKKE-LINEÆR OPTIMERING 9 som giver at g x x b E m, H f u t g x b t g u x b og at m m + n matricen x u 1 1 g E m+n[1, m] [1, m] b x, u x, u H f u t g er de m første søjler i den inverse af m + n m + n-matricen 1 x,u Hvordan ændres x b, u b når b ændres?: x x, u b + b x b, u u b + b x b, u g b + b H f u t g Hvordan ændres fx b når b ændres?: fordi da f fx b + b fx b + u b x 0 x 0 g x t g x t b fx b f x m x b g j x m u j x b u j [j] g x m x b u j [j]e m u 1 [1, m] 1 [1, m] b x g u j j x [i]a betyder række i i matrix A Den økonomiske tolkning er at formlen for x b + b, u b + b beskriver hvordan det optimale produktionsmønster og Lagrangemultiplikatoren ændres ved en ændring i de exogene variable Funktionen fx b giver den optimale nytte opnået ved optimeret produktion under de givne ydre betingelser b Formlen for fx b + b beskriver ændringen i den maximale nytte under en ændring fra b til b + b i de exogene variable Lagrange multiplikatorerne u b kaldes for bibetingelsernes skyggepriser Antag at f er en nytteværdi Vi ser at hvis en parameter b j kan øges til b j + b j for en marginal omkostning som en lavere end skyggeprisen u j så kan det betale sig at gøre det fordi nytteværdien øges med u j b j Læg mærke til at u for komparativ statistik er mere interesant end x fordi systemet af sig selv nder frem til x mens u fortæller hvordan nytteværdien ændres når de exogene variable ændres Det kan feks være et politisk ønske at ændre på fx b Vektoren u fortæller informerer om fx b + b for forskellige valg af b Den størst mulige eekt opnås ved at tage b i samme retning som u 7 Matematisk økonomiske modeller I økonomisk teori antager man at vi har opnået et maksimum og man ønsker at sige noget om hvad der der sker når de exogene variable ændres Vi antager et maksimum er blevet antaget og vi ønsker at sige noget om hvilke konsekvenser vi kan drage af det Eksempel 71 [2, Eksempel 2 p 271] Et elektricitetsværk inddeler året i n perioder Lad x j være produktionen i periode j og p j prisen for elektricitet i den periode, 1 j n Værkets kapacitet k er konstant over hele året Værkets udgifter består af driftsomkostninger Cx Cx 1,, x n, som kun afhænger af produktionsmønsteret x, og kapacitetsomkostninger Dk, som kun afhænger af kapaciteten k Værkets årlige prot er og protmaksimeringsproblemet er πx, k p x Cx Dk P Maksimer πx, k under bibetingelserne 0 x 1 k,, 0 x n k, k 0 Der er her 2n + 1 bibetingelser, x j k og x j 0 for 1 j n, og k 0 Hvis x, k er et årligt produktionsmønster med maksimal prot så er KarushKuhnTucker betingelserne opfyldt: 1 u 1,, u n 0, v 1,, v n 0, w x i k for 1 i n, og k 0 3 u i x i k 0 og v i x i 0 for 1 i n, og wk 0 4 p i C x u i v i 0 for 1 i n, og D k n i1 u i w 0
10 10 JESPER MICHAEL MØLLER Lad os antage at kapaciteten k > 0 Vi vil vise at Da k > 0 er w 0 så Ligningerne siger også 0 < x i < k C x p i, 0 < x i k C x p i, D k D k n i1 0 < x i k v i 0 p i C x + u i 0 < x i < k u i 0 v i p i C x u i n i1 p i C x Dvs at i perioder hvor produktionen ligger under den maksimale kapacitet så dækker salgsprisen lige akkurat de marginale driftsomkostninger I perioder med spidsbelastning overstiger salgsprisen de marginale driftsomkostninger med u j Summen af disse overskridelser over alle spidsbelastningsperioder er lig med den marginale kapacitetsomkostning Eksempel 72 Lise lever af hamburgere og cola Prisen for en hamburger er p 1 og prisen for en cola er p 2 Lises indkomst er I Sæt fx 1, x 2 a 1 lnx 1 + a 2 lnx 2 Lises nytteværdi af x 1 hamburgere og x 2 colaer og gx 1, x 2 p 1 x 1 + p 2 x 2 prisen for x 1 hamburgere og x 2 colaer Valget af a 1 og a 2 afspejler Lises preferencer for hamburgere eller colaer og de to konstanter kan have ændre værdier for andre forbrugere Lise er en prisbevidst forbruger og hun har derfor løst optimeringsproblemet PI Maksimer f under bibetingelsen g I Lagrange betingelserne 1 p 1 x 1 + p 2 x 2 I 0 a1 a 2 2 up 1 p 2 0 x 1 x 2 giver at 73 x 1 x 2 I u Ia 1 p 1a 1+a 2 Ia 2 p 2a 1+a 2 a 1+a 2 I fordi a 1 + a 2 up 1 x 1 + up 2 x 2 ui I denne model er den del af indkomsten der bruges på hver af de to goder p 1 x 1 a 1 p 2 x 2, a 2 I a 1 + a 2 I a 1 + a 2 uafhængig af I Hvordan ændres x 1I, x 2I, u I når I ændres?: x 1 x 1 x 2 I + I x 2 I + u u a 1 p 1a 1+a 2 a 2 p 2a 1+a 2 a1+a2 I 2 I a 1+a 2 I Hvordan ændres fx I når I ændres?: Den maksimale nytteværdi I+ Ia 1 p 1a 1+a 2 I+ Ia 2 p 2a 1+a 2 a1+a2 I 2 fx 1I + I, x 2I + I fx 1I, x 2I + a 1 + a 2 I I vokser med en faktor som er omvendt proportional med I Dette ses let direkte i dette tilfælde fordi vi kender de optimale løsninger helt eksplicit 73 Vi kan derfor lave et reality check ved også at bruge metoden fra Eksempel 67: Med p 1 x 1 + p 2 x 2 I F x 1, x 2, I, u a 1 x 1 up 1 a 2 x 2 up 2 I
11 IKKE-LINEÆR OPTIMERING 11 er p 1 p 2 0 x 1, x 2, u a1 0 p x a2 p x sådan at 1 [1, 1] x 1, x 2, u p 1 p 2 0 a 1I 2 0 p 1, 0 p 2 2 a1+a22 a 2I 2 p 2 p 2 1 a1+a22 a 1 p 1a 1+a 2 a 2 p 2a 1+a 2 a1+a2 I 2, 1 i+j det A ji det x 1, x 2, u p2 1p 2 2a 1 + a 2 3 a 1 a 2 I 2 ij detae Eksempel 74 Sæt fx 1, x 2 a 1 lnx 1 +a 2 lnx 2 hvor a 1 +a 2 1 og g 1 x 1, x 2 2x 1 +x 2, g 2 x 1, x 2 x 1 +2x 2 Vi forestiller os at fx 1, x 2 er nytteværdien og at g 1 x 1, x 2 og g 2 x 1, x 2 er forbruget af to to resurcer energi og areal ved ved produktion af x 1 enheder af produkt nr 1 og x 2 enheder af produkt nr 2 Der er 300 enheder energienheder og 450 arealenheder til rådighed for produktionen P Maksimer f under bibetingelserne g 1 300, g Hvis a 2 er stor, er det en fordel at produce produkt nr 2 som kræver meget jord Derfor vil økonomiens begrænsning ligge i mængden af tilgængelig jord g 2 er aktiv mens skyggeprisen på energi vil være u 1 0 da g 1 ikke er aktiv Hvis a 2 er lille, dvs a 1 er stor, er det en fordel at produce produkt nr 1 som kræver meget energi Derfor vil økonomiens begrænsning ligge i mængden af tilgængelig energi g 1 er aktiv mens skyggeprisen på jord vil være u 2 0 da g 2 ikke er aktiv Hvis a 2 har en mellemværdi så er det en fordel at producere en blanding af de to produkter KarushKuhnTuckerbetingelser 1 u 1 0, u x 1 + x 2 300, x 1 + 2x u 1 2x 1 + x , u 2 x 1 + 2x a1 x 1 2u 1 u 2 0, a2 x 2 u 1 2u 2 0 Overvej hvad betingelse 4 betyder geometrisk på linjerne 2x 1 + x og x 1 + 2x og i deres skæringspunkt, 50, 200 Se Figur 2 Den økonomiske tolkning af betingelse 3 om komplementær slæk er at hvis energibetingelse g 1 er slæk, g 1 x 1, x 2 < 0, så er der stadig energi til rådighed og derfor er skyggeprisen på energi lig 0, dvs u 1 0 Ved en systematisk behandling af KarushKuhnTuckerbetingelserne må vi gå igennem de re muligheder: u 1 0, u 2 0: Begge bibetingelser inaktive Hverken energi eller jord er fuld udnyttet Det lyder ikke som et sandsynligt maksimum Her er a 1 0 og a 2 0 Umuligt u 1 0, u 2 > 0: Den anden bibetingelse er aktiv Jorden er er fuldt udnyttet, x 1 + 2x Her er a 2 8/9 stor u 1 > 0, u 2 0: Den første bibetingelse er aktiv Energi er fuldt udnyttet, 2x 1 + x Her er a 2 2/3 lille u 1 > 0, u 2 > 0: Begge bibetingelser er aktive Både energi og jord er fuldt udnyttet Her er 2/3 < a 2 < 8/9 og x 1, x 2 50, 200 Hvis feks a 2 11/12 så er u 1 0 og u 2 > 0 Modellen siger at da u 2 > 0 er al jord er udnyttet, men der er stadig energi som ikke er udnyttet Skyggeprisen på jord er positiv, mens skyggeprisen på energi er u 1 0 da tilførsel af mere energi ikke vil øge objektfunktionen Litteratur 1 Reiner Horst, Panos M Pardalos, and Nguyen V Thoai, Introduction to global optimization, second ed, Nonconvex Optimization and its Applications, vol 48, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000 MR h: Knut Sydsaeter, Matematisk analyse Bind II, second ed, Universitetsforlaget, Oslo, 1978, Scandinavian University Books MR c:00004 Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK2100 København address: moller@mathkudk URL:
12 12 JESPER MICHAEL MØLLER Figur 2 a 2 11/12 u 1 0, u 2 > 0, a 2 3/4 u 1 > 0, u 2 > 0 og a 2 1/3 u 1 > 0, u 2 0
Statisk Optimering. Jesper Michael Møller
Statisk Optimering Jesper Michael Møller Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK2100 København E-mail address: moller@mathkudk URL: http://wwwmathkudk/~moller Indhold Kapitel 1 Ikke-lineær optimering
Læs mereStatisk Optimering. Jesper Michael Møller
Statisk Optimering Jesper Michael Møller Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK 2100 København E-mail address: moller@mathkudk URL: http://wwwmathkudk/~moller Indhold Kapitel 1 Ikke-lineær optimering
Læs mereStatisk Optimering. Jesper Michael Møller
Statisk Optimering Jesper Michael Møller Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK 2100 København E-mail address: moller@mathkudk URL: http://wwwmathkudk/~moller Indhold Kapitel 1 Ikke-lineær optimering
Læs mereLINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.
LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer
Læs mereMASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært
Læs mereMASO Uge 9 Eksempler på Eksamensopgaver
MASO Uge 9 Eksempler på Eksamensopgaver Martin Søndergaard Christensen Eksamen 2013B Eksamen 2013B Opgave 2 Findes der komplekse tal z 1 og z 2 så z 1 + z 2 = 2, z 1 z 2 = 3 Eksamen 2013B Opgave 2 Findes
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereUGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f
UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mere1 Kapitel 5: Forbrugervalg
1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. Budgetbegrænsninger. 2. Præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens valg. 1 2 Optimalt forbrug - gra sk fremstilling
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereEkstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereOptimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver
Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereOptimering i Moderne Portefølje Teori
Aalborg universitet P3-3. semestersprojekt Optimering i Moderne Portefølje Teori 15. december 2011 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optimering - Lineær programmering - Moderne Portefølje Teori PROJEKT
Læs mereLineær programmering. Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0. Vores metode er også nytteløs her. Ekstrema- teori og praksis
Lineær programmering Ekstrema- teori og praksis Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0 Vores metode er også nytteløs her MAT3, EFTERÅR 2011 GROUP G3-112 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AALBORG UNIVERSITET 16. DECEMBER
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereNote om interior point metoder
MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50
Læs mereG r u p p e G
M a t e m a t i s k o p t i m e r i n g ( E k s t r e m a, t e o r i o g p r a k s i s ) P 3 p r o j e k t G r u p p e G 3-1 1 7 V e j l e d e r : N i k o l a j H e s s - N i e l s e n 1 4. d e c e m b
Læs mereStørste- og mindsteværdi Uge 11
Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereUGESEDDEL 12 LØSNINGER. x
UGESEDDEL 2 LØSNINGER Opgave Betragt ligningssystemet af formen Ax = b: ( ) 2 x ( ) x 2 2 =. 4 x Der eksisterer ingen løsning x = (x, x 2, x ) 0, thi venstresiden i første ligning er da 0, medens højresiden
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereUgeseddel 12(10.12 14.12)
Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereLINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereInstitut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet. Workshop. Opgave 1. = = 3x 2
Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet Workshop Opgave 1 Antag at en forbrugers nyttefunktion er givet ved u(, x ) x 3 1 x. Forbrugeren har derudover følgende budgetbetingelse:
Læs mere1 Kapitel 5: Forbrugervalg
1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. budgetbegrænsninger 2. præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens optimale valg. 2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereOptimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115
Optimering af New Zealands økonomi Gruppe G3-115 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Matematik og Matematik-Økonomi Frederik bajersvej 7G Telefon 99409940 http://math.aau.dk Titel: Tema: Optimering
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mere[SS] Optimal control theory with economic applications, af Atle Seierstad og Knut Sydsæter; North Holland 1987.
OPTIMERING 6. september 2007 Oversigt nr. 1 Emnet for kurset i optimering vil her i efteråret 2007 blive variationsregning og optimal kontrolteori. Hensigten er at I skal stifte bekendtskab med disse metoder
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mereMASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n
3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereAsymptotisk testteori
Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde
Læs mereForbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel
Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Jesper Breinbjerg Department of Business and Economics University of Southern Denmark Akademiet for Talentfulde Unge, 20. marts 2014 Jesper Breinbjerg Optimale
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereNøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7
Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereLogaritmiske Transformationer
Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.
MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det
Læs mereLineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen
Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering
Læs mereÅrsprøve i matematik 1y juni 2007
Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereLøs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid
6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl hhx142-mat/a
Matematik A Højere handelseksamen hhx14-mat/a-1808014 Mandag den 18. august 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mere