6. Reduktion af spektre fra spektrografen FIES på det Nordiske Optiske Teleskop

Transkript

1 6. Reduktion af spektre fra spektrografen FIES på det Nordiske Optiske Teleskop - Exoplaneten omkring WASP-1 Rapporten er udarbejdet af Lars Fogt Paulsen, Programkoden er lavet i samarbejde med: Kasper Lind Jensen og Jonas Bregnhøj

2 side 2 1. Introduktion Den første egyldige opdagelse af en exoplanet, der kredser omkring en hovedstjerne, blev gjort af Michael Mayor og Didier Queloz i Nogle år forinden havde man observeret mulige tegn på exoplaneter, men man var varsom med at konkludere eksistensen af planeterne på grund mangle observationsteknologi. Exoplaneten, der blev opdaget i 1995, kredser omkring stjernen 51 Pegasus, og den blev detekteret med spektroskopi ved at måle hovedstjernens dopplerforskydning. Stjernen og planeten kredser omkring et fællesmassemidtpunkt, der ligger meget tæt på stjernen. Stjernens spektrallinjer forskydes på grund af den gravitationelle tiltrækning mellem stjerne og planet, og det er derfor muligt at bestemme stjernens ændring radialhastighed i forhold til Jorden. Dette er blot en af metoderne til at detektere exoplaneter og i praksis gør man brug mange andre metoder, eksempelvis transitmetoden. Den udnytter formørkelsen af stjernen, når planeten bevæger sig ind foran, til at bestemme planetens periode. I dette projekt vil vi udelukke beskæftige os med doppler-metoden til at bekræfte eksistensen af en exoplanet omkring stjernen WASP-1 og til at give et bud på planetens periode og hastighed. Der benyttes data observeret med spektrografen FIES på det Nordisk Optiske Teleskop på Tenerife. Observationerne er blevet udført over en uge, og vi har i alt 7 spektre til rådighed. For at bestemme stjernens ændring i radialhastighed er vi interesseret i at undersøge dopplerforskydningen af spektrene. Dette kan både gøres relativt og absolut. Ved relativ måling sammenlignes stjernens spektre med sine egne spektre for at finde doppler forskydningen, mens man ved absolut bestemmelse sammenligner med en referencestjerne, og man kan derved bestemme den absolutte radialhastighed i forhold til Jorden. Når en stjerne bevæger sig væk fra en observatør, vil der måles en forskydning af den observerede absorptionslinje i spektret,, sammenlignet med den samme absorptionslinje målt i et laboratorium. Når stjernen bevæger sig væk fra os, vil man observere en større bølgelængde, og det kaldes derfor rødforskydning, mens man vil observere en mindre bølgelængde, når stjernen bevæger sig mod os. Sammenhængen mellem lysets periode T og stjernens hastighed kan udtrykkes som: Ved at se på hvorledes absorptionslinjerne for 2 spektre er forskudt, er det nu muligt at bestemme hastighedsændringen af stjernen. Vi vil i projektet beskæftige os med relativ hastighedsændring, hvor man bruger observationerne for WASP-1 til et bestemt tidspunkt som reference og herefter sammenligner det med spektre til andre tidspunkter. Hvis man observerer bølgelængden for en bestemt absorptionslinje for 2 spektre til henholdsvis og, kan man ud fra forskellen på disse bølgelængder bestemme den relative hastighedsændring. Hvis vi bruger det første spektrum som reference, fås følge sammenhæng:

3 side 3 Når man finder de relative hastigheder, skal man huske at korrigere for Jordens hastighed på de pågælde tidspunkter. Hvis man benytter det første spektrum som reference, skal man altså tage højde for, at Jorden har en anden hastighed på senere tidspunkter, hvor de andre spektre optages. Ændringen af Jordens hastighed i forhold til det første spektrum skal derfor adderes til de fundne radialhastigheder for stjernen. Konventionen er ofte, at Jordens hastighed er positiv, når den bevæger sig mod stjernen og negativ, når den bevæger sig væk og derfor lægger vi Jordens hastighed til de fundne radialhastigheder. Se bilag 1 for data for Jordens hastighed. Vi benytter senere den såkaldte krydskorrelation. Krydskorrelationen mellem 2 funktioner defineres som ( f g ) f ( t ) g ( t ), hvor højresiden er foldningen mellem den kompleks konjugerede af f ( t) og g (t). Denne definition tillader i første omgang kun krydskorrelation mellem kontinuerte størrelser, pga. definitionen af foldningen f g f ( ) g ( t ) d. Matlab har dog en funktion der gør det muligt at krydskorrelere diskrete værdie som vores spektre jo består af. 2. Observerede data fra FIES Observationerne er foretaget på Nordisk Optiske Teleskop med spektrografen FIES (Fibre-fed Echelle Spectrograph). Der er benyttet en Echelle spektrograf monteret på en 2.5m kikkert. Den spektrale opløsning var og eksponeringstiden 20 min. for hver optagelse. Spektrografen befandt sig i sin egen temperaturstabiliserede bygning for at opnå den bedst mulige stabilitet i målingerne. Dataene fra FIES er optaget på 7 forskellige tidspunkter over en uges forløb og for hvert tidspunkt er der en datafil til rådighed. I rapporten refereres ofte til spektrum 1, 2, 3 osv. hvor spektrum 1 betyder spektret optaget den første dag, spektrum 2 den næste dag osv. Datafilerne består af 3 koloner: ordennummer, bølgelængde og flux. De rå data hentes ind i programmet og gemmes i et kubisk array beståe af 3 søjler og 7 lag; et lag for hvert tidspunkt. Der er observeret 78 ordener med et bølgelængdeinterval fra ca. 360nm til 730nm.

4 side 4 3. Redegørelse for reduktioner og beskrivelse af Matlab-program Der vil nu komme en gennemgang af det konstruerede matlab-program. Programkoden kan ses på bilag 1 og bilag 2, og den er ligeledes vedhæftet som fil. På bilagene er der lavet små kommentarer til de enkelte linjer i koden. Programmet udskriver ingen figurer, men relevante figurer lavet med programmet kan ses i rapporten. 3.1 Loading af data Datafilerne med spektrene findes på kursushjemmesiden og gemmes som txt-filer. Disse txt-filer loades ind i matlab i en separat kode, waspload.m, bilag 1. Denne proces er tidskræve og køres derfor til først og dataene gemmes i workspace. Dataene gemmes i et kubisk array beståe af 3 søjler for henholdsvis orden, bølgelængde og flux og i 7 lag, et lag for hvert tidspunkt, og kaldes Waspall. Funktionen textread læser filnavnene på de 7 filer, og disse navne er gemt i txt-filen filelist. Der loades ligeledes data for Jordens hastighed i bevægelsen omkring Solen til hvert tidspunkt, hvor spektrene for Wasp-1 er optaget. 3.2 Programstruktur Det generelle program ses på bilag 2. Programmet kører en overordnet ydre h-løkke over de ordner, der udvælges, og intervallet af ordner kan vælges som parametrene orden_start og orden_slut. Herefter køres en j-løkke over hvert enkelt lag i kuben Waspall, hvor j nu repræsenterer dataene for et enkelt spektrum (tidspunkt). Der følger nu en mere detaljeret beskrivelse af de enkelte dele af programmet. For hvert punkt, der gennemgås, er det tilsvare punkt markeret i koden Støjreduktion: 1) Først vælges den h te orden ud, og dette gøres ved at for løkken kører alle rækker i det j te lag i Waspall igennem. I if-sætningen tjekkes, om rækken har den h te orden og i så fald gemmes de tilsvare bølgelængder og fluxværdier i matricen W. W indeholder derfor hele tiden kun information om én orden til alle syv tidspunkter. Ordennumrene gemmes ikke i W,da de ikke har nogen betydning for det fortsatte program. 2) Vi er nu interesseret i at sætte spektret til et konstant nul niveau og filtrere noget af støjen væk. Dette gøres ved først at dividere med middelværdien. Herved kommer gennemsnittet af spektre ca. til at ligge ved 1, mens absorptionslinjerne ligger under 1. Herefter trækkes fluxværdierne i W fra 1, således at absorptionslinjerne ves om, og gennemsnittet ca. kommer til at ligge ved 0. Noget af støjen sorteres nu fra, således at man kun har de karakteristiske absorptionspeaks tilbage. Dette gøres ved, at man vælger, hvor stor en procentdel af maksimumværdien af flux-værdierne i W man vil skære væk (vælges i parameteren procent_cut i starten af programmet). Når dette er gjort vil man nu have nogle negative værdier. Disse negative værdier sættes til 0 vha. for-løkken. En illustration af de forskellige skridt ses på figur 1-3.

5 side 5 Fig.1: Plot af flux som funktion af bølgelængde for orden 50 uden reduktion. Fig.2: Orden minus flux-værdierne divideret med gennemsnittet. Fig.3: Flux-værdierne minus 5% af maks. værdien. Negative værdier sættes til Interpolation Vi er nu interesseret i at lave bølgelængdeskridtene i målingerne om til konstante hastighedsskridt. Dette gøres med henblik på krydskorrelationen der bruges senere. Bølgelængderne findes ud fra formlen fundet i introduktionsafsnittet:, hvor er begyndelsesbølgelængden, er den næste bølgelængde og dv er det konstante hastighedsskridt mellem hver bølgelængde. Herved bliver der også indlagt flere punkter i de oprindelige data. 1) Antallet af hastighedsskridt n udregnes ved at isolere n i ovenståe formel. er det sidste element i 1. søjle i W og er det første element. Der laves herefter et nyt kubisk array WI, hvor de nye bølgelængder med konstant hastighedsskridt indsættes i 1. søjle. Dette gøres med for-løkken, der kører op til en afrundet værdi af n. Den i te bølgelængde udregnes så som. dv kan varieres i starten af programmet og sættes til 1. 2) Vi vil nu finde de tilsvare flux-værdier for de nye bølgelængder. Dette gøres med Matlabs interpolationsfunktion, der bruger lineær interpolation. Der skæres de første og sidste værdier af i interpolationen, idet de kan indeholde en del støj. Værdierne gemmes i det kubiske array WI_cut. Se figur 4 for illustration af interpolationen. Flux Bølgelængde [nm] Fig. 4: Plot af de oprindelige data og interpolationen for et bølgelængdeudsnit. Det ses at de interpolerede data indeholder flere punkter

6 side Krydskorrelation I denne del af koden vil vi undersøge, hvor langt spektrene er forskudt i forhold til hinanden. Vi ser kun på den relative forskydning, og derfor sammenlignes hver enkelt orden med det først målte spektrum i den tilsvare orden. Overordnet vil det sige, at de 7 datafiler sammenlignes med den første datafil for hver orden. Til at finde forskydningen mellem spektrene bruges krydskorrelation. Når krydskorrelationen udføres, fås en karakteristisk peak, som er forskudt i forhold til midtpunktet af x-aksen. Det er denne forskydning der svarer til spektrenes forskydning. Da vi tidligere har lavet bølgelængdeintervallerne om til konstante hastighedsskridt, repræsenterer forskydningen mellem peak og midtpunkt nu en hastighedsforskel. Den nye vektor der fås efter krydskorrelationen består af 2N-1 indgange, hvor N står for antallet af indgange i en enkelt af de vektorer der krydskorreleres. 1) Krydskorrelationen udføres mellem hvert enkelt spektum og det første spektrum. Vi har derfor valgt at bruge det første spektrum som reference for at finde den relative forskydning. 2) Da vi senere er interesseret i at finde toppunktet for krydskorrelationen, skærer vi nu halvdelen af således at vi kun har den karakteristiske peak. Dette gøres ved at trække halvdelen af maksimumværdien fra og herefter sætte de negative værdier til nul. Se bilag 3 med krydskorrelation med og uden cut. 3) For at finde toppunktet af peaken bruges tyngdepunktsformlen. Toppunktet kan findes på flere måder, men det vidste sig at denne metode var mest hensigtsmæssig i vores tilfælde. Formlen kan formuleres som: Tæller og nævner for hvert i i brøken gemmes i koden i henholdsvis sum_x og sum_y. i repræsenterer skridtlængden i krydskorrelationen der også svarer til en hastighedsforskel. Ved at summere indgangene i henholdsvis sum_x og sum_y og dividere værdierne findes midtpunktet. Tyngdepunktsværdierne gemmes i matricen x_middel der består af 7 rækker, og antal af søjler svarer til, hvor mange ordner der køres over. Herefter trækkes midtpunktet af x- aksen fra for at finde hastighedsforskydningen. På figur 4 ses toppunktet fundet for orden 50 andet spektrum. På bilag 4 ses, hvorledes peakene er forskudt i forhold til hinanden. Den røde linje er tegnet i midtpunktet af x-aksen. Radialhastighederne findes nu som afstanden fra toppunktet til midtpunktet af x-aksen ganget med dv, der angiver, hvor meget et skridt i krydskorrelationen svarer til i hastigheder. Fig. 4: Krydskorrelation mellem 1. og 2. spektre orden 50. Den røde linje angiver midtpunkt på x-aksen

7 side Beregning af periode og hastighed I denne del af koden beregnes perioden for stjernen og derved også planeten. Derudover udregnes stjernens hastighed omkring massemidtpunktet. Perioden og hastigheden udregnes for hver enkelt orden og herefter findes gennemsnittet af disse værdier. 1) Radialhastighederne lægges her sammen med Jordens hastighed er på de samme tidspunkter. Datafilen jorden.txt består af to søjler; første søjle angiver det julianske tidspunkt, mens anden søjle angiver Jordens hastighed, se bilag 1. I koden regnes der relativt til det første spektrum. På figur 5 ses et plot af radialhastigheden som funktion af tiden for orden 50. Der plottes dage efter den første måling Fig. 5: De relative radialhastigheder som funktion af tiden. Jordens hastigheder er medregnet Det ses, at det 7. punkt ligger langt fra de andre. Man kan derfor godt have en mistanke om, at der er lavet en målefejl ved den måling. Dette punkt udelader vi derfor i resten af programmet, men senere vil der komme en kort diskussion, hvad grunden til denne fejlmåling kan have været. Det første punkt, ved t=0, indeholder generelt ingen information, da de andre hastigheder er fundet relativt til denne måling. På bilag 5 ses gennemsnittet af radialhastighederne for orden ) Vi vil nu prøve at fitte de udregnede radialhastigheder med en sinuskurve. En sinuskurve vælges, idet stjernen og dermed også planeten udfører en harmonisk bevægelse omkring massemidtpunktet, der kan beskrives vha. en sinuskurve. Matlabs cftool benyttes og den fremkomme kode skæres lidt ned, idet meget af den ikke er nødvigt, og indsættes i programmet. Funktionen giver os herefter et bud på vinkelhastigheden ω, og denne værdi gemmes i omega_w for hver orden, der køres igennem. Funktionen udregner også amplituden af sinuskurven, som svarer til stjernens hastighed rundt om massemidtpunktet. Disse værdier gemmes i v_w. Vi fitter kun til de 6 første punkter og ekskluderer derfor punkt 7. På figur 6 ses

8 side 8 et fit med en sinuskurve for orden 50. Når der fittes, gættes der på, at vinkelhastigheden ca. ligger på 2.5. På bilag 6 ses fit for orden 45 til 65. Fig. 6: Fit med sinuskurve for orden 50. Der fittes kun til de 6 første punkter 3) Til sidst i koden findes perioden for alle ordnerne, og gennemsnittet udregnes og skrives ud. Ligeledes udregnes gennemsnittet af de fundne radialhastigheder. Standardafvigelsen udregnes på begge størrelser. 4. Diskussion af resultater Når programmet køres udskrives gennemsnittet for perioden og stjernens hastighed i bevægelsen omkring massemidtpunktet for alle ordnerne. Standardafvigelsen på de to størrelser udskrives ligeledes. Der fås følge resultat med de valgte parametre. dv cut procent_cut orden_start Periode [dage] Hastighed [km/s] orden_slut ± ± dv: hastighedsskridt cut: angiver hvor mange datapunkter, der cuttes af i hver e af det interpolerede spektre procent_cut: angiver, hvor mange procent af fluxværdierne, der skæres væk i det oprindelige spektrum for at fjerne støj.

9 side 9 Der fås altså en periode på ca. 3 dage. Det viser sig, at perioden ikke ændrer sig så meget, når parametrene varieres. Dog opstår der nogle problemer ved visse ordner, hvor der udregnes nogle enorme hastigheder. Dette gør sig især gælde ved nogle af de lavere ordner, og derfor køres kun over de store ordener. De få datapunkter gør det dog tvivlsomt, hvorvidt det kan retfærdiggøres at fitte med en sinuskurve. Der er dog en tens til at punkterne følger en periodisk funktion, men bestemmelsen af perioden for funktionen er meget tvivlsom. Sammenlignes der med data fundet på ADS 1, fås her en periode for planeten på. Dette ligger rimelig tæt på vores værdi, men dette skyldes i høj grad, at vi under fittet i Matlab foreslog en periode, der lå tæt på den officielle. Hvis Matlab selv får lov til at fitte vælger den en periode, der er noget lavere og som ligger længere fra den officielle værdi. Det viste sig dog, at koefficient determinationen R 2 næsten var det samme for de 2 fit, og det derfor lige så godt kan retfærdiggøres at vælger det fit, der ligger tættest på den officielle værdi. På bilag 5 ses, at der er 2 målinger foretaget på dag 5. Da de er foretaget på samme dag på næsten samme tidspunkt må man forvente de ca. skulle give samme hastighed. Det ses dog at dette ikke er tilfældet, og man kan derfor sige, at der må have været en ændring i spektrografen over de to målinger. Vi vil nu prøve at undersøge, om den relative radialhastighed på et bestemt tidspunkt (enkelt spektrum) er det samme for alle ordner hvilket gerne skulle være tilfældet. Der udvælges spektrum 2 som svarer til et bestemt tidspunkt (t = 1dag), og alle ordner køres igennem. På figur 7 ses et plot af relativ radialhastighed som funktion af ordennummer. Det ses, at størstedelen punkterne ligger nogenlunde på en vandret linje, men nogle af punkterne har enorme hastigheder. Dette er især ved de lavere ordner, og det er grunden til, at vi tidligere kun udregnede perioden for de højere ordner. Fig. 7: Radialhastighed som funktion af ordennummer til bestemt tidspunkt, t = 1dag (spektrum 2) Vi prøver herefter at sortere nogle af de store hastigheder væk. Dette gøres ved at lave en løkke, der gemmer værdier med hastigheder, der er numerisk større 2 km/s.. Der plottes igen et (ordennummer,hastigheds)-diagram og et histogram. Figurerne kan ses i bilag 7. Det ses, at der er en ret stor spredning på radialhastighederne. Spredningen i radialhastighederne er i samme størrelsesorden som den fundne hastighed for stjernens omkring massemidtpunktet. Denne store spredning medfører at 1

10 side 10 præcisionen på den udregnede hastighed må være ret dårlig. På bilag 8 ses samme plot og histogram for orden Det ses også her, at spredningen på hastighederne er ret stor. Angåe det syve spektrum, der viste en hastighed, der lå langt fra de 6 andre må man konkludere at der er sket en fejlmåling. Dette kan f.eks. skyldes en rystelse af spektrografen eller en termisk udvidelse. Den forventede hastighed af stjernen omkring massemidtpunktet afhænger derudover også af planetens baneplanshældning i forhold til Jorden. Der gælder at stjernens hastighed kan udtrykkes på følge måde:, hvor i er hældningen. Ud fra vores data kan vi intet sige om denne hældning. 5. Konklusion Formålet med projektet var at undersøge, om der befinder sig en planet i kredsløb omkring stjernen WASP- 1. Det lykkedes at bestemme de relative radialhastigheder for stjernen til 6 tidspunkter, idet vi brugte det første spektrum som reference. Ud fra de udregnede radialhastigheder for stjernen på et tidsrum på en uge (bilag 5) kan man godt fornemme en periodisk bevægelse. Denne periodiske bevægelse er en indikator for at der kan være en planet i kredsløb, men grundet de få målinger kan man ikke give noget egyldigt svar på en sådan planets eksistens. Det lykkedes at bestemme stjernens periode og derved også planetens periode omkring massemidtpunktet. Perioden blev udregnet til. Denne værdi stemte fint overens med værdier fundet i andre artikler. Den udregnede periode var dog lidt søgt, idet vi kun havde 6 punkter at fitte til, og vi brugte den forventede periode som fitteparameter til sinuskurve. Derudover blev amplituden af sinuskurven bestemt til. Denne amplitude svarer til stjernens hastighed omkring massemidtpunktet. Ud fra perioden, stjernens hastighed omkring massemidtpunktet og stjernens masse ville det nu være muligt, vha. Keplers 3. lov og vægtstangprincippet, at bestemme planetens masse og afstand fra stjernen. Herved kan man så give et estimat for temperaturen på planeten, som er vigtig i henhold til søgningen efter en jordligne planet. Det viste sig at stjernens hastighed omkring massemidtpunktet ikke kunne bestemmes med en tilfredsstille præcision idet spredningen på radialhastigheden over ordnerne på et bestemt tidspunkt var for stor. Der vil derfor være en stor usikkerhed i udregningen af planetens masse. 6. Kildeangivelse Observationel astronomi: Poul Erik Nisse H.C Stempels, A. Collier Cameron, L. Hebb, B. Smalley, S. Frandsen: WASP-1: a lithium-, and metal-rich star with an oversized planet, 31. Jan 2007 A. Collier Cameron1 et. Al.: WASP-1b and WASP-2b: Two new transiting exoplanets detected with SuperWASP and SOPHIE

11 side 11 Bilag 1 Indholdet i filen jorden.txt: JHD [dage] Hastighed [km/s] Matlab kode: waspload.m clc, clear all, close all filelist = textread('filelist.txt', '%s'); %filnavnene gemmes i filelist jorden=load('jorden.txt'); %data for Jordens hastighed for j = 1:7 Waspall(:,:,j) = load(char(filelist(j))); %Al wasp-data gemmes i Waspall Indholdet af filen filelist.txt Wasp-1_20125.txt Wasp-1_30125.txt Wasp-1_40127.txt Wasp-1_70121.txt Wasp-1_70123.txt Wasp-1_80121.txt Wasp-1_90123.txt

12 side 12 Bilag 2 Programkoden: Waspprogram.m close all, clc, clear Xcor WI W delta_v omega_w x_middel v %data indtastes dv=1; %hastighedsskridt c=3e5; %lysets hastighed cut=100; %antal datapunkter der fjernes i begge er af interpolationen procent_cut=5; %procent der skal cuttes orden_start=45; %startpunkt for ordeninterval orden_slut=65; %slutpunkt for ordeninterval g=0; %tælletal nulstilles for h=orden_start:orden_slut g=g+1; %tælletal for j = 1:7 k=0; %tælletal nulstilles %STØJREDUKTION %1) for i=1:length(waspall(:,1,j)) if Waspall(i,1,j)==h %vælger den orden vi er interesseret i at undersøge k=k+1; %tælletal W(k,1,j)=Waspall(i,2,j); %bølgelængderne for orden h indsættes i 1. søjle W(k,2,j)=Waspall(i,3,j); %de tilsvare flux-værdier for orden h indsættes i 2. søjle %2) W(:,2,j)=W(:,2,j)./mean(W(:,2,j)); %Der divideres med gennemsnittet W(:,2,j)=1-W(:,2,j); %trækkes fra 1 W(:,2,j)=W(:,2,j)-max(W(:,2,j))*procent_cut/100; %en valgt procentdel af max trækkes fra for k=1:length(w(:,1,j)) %alle negative værdier sættes til 0 if 0>W(k,2,j) W(k,2,j)=0; %INTERPOLATION %1) n=log(w(length(w(:,1,j)),1,j)/w(1,1,j))/(log(1+dv/c)); %antallet af skridt udregnes for i = 1:round(n) %løkke kan kun køre op til et heltal så der afrundes WI(i,1,j)=(1+dv/c)^(i-1)*W(1,1,j); %de nye bølgelængdeværdier udregnes og gemmes i WI %2) WI(:,2,j)=interp1(W(:,1,j),W(:,2,j),WI(:,1,j)); %der udføres interpolation k=0; %tælletal nulstilles for i=1+cut:length(wi(:,1,j))-cut %de første og sidste værdier skæres fra

13 side 13 k=k+1; WI_cut(k,1,j)=WI(i,1,j); WI_cut(k,2,j)=WI(i,2,j); %KRYDSKORRELATION %1) Xcor(:,1,j)=xcorr(WI_cut(:,2,j),WI_cut(:,2,1)); %krydskorrelation mellem det j'te spektre og det 1. spektre %2) Xcor(:,1,j)=Xcor(:,1,j)-max(Xcor(:,1,j))/2; %der skæres af så der kun er peak tilbage k=0; for i=1:length(xcor(:,1,j)) %løkke der kører igennem værdierne i Xcor if Xcor(i,1,j)<0 Xcor(i,1,j)=0; %de negative værdier sættes til nul %3 k=k+1;%tælletal sum_x(i)=i*xcor(i,1,j); %bestemmelse af tyngdepunkt. sum_y(i)=xcor(i,1,j); x_middel(j,g)=sum(sum_x)/sum(sum_y); %værdierne for tyngdepunktet udregnes v(j,g)=(x_middel(j,g)-round(length(xcor(:,1,j))/2))*dv; %midtpunkt af x- aksen trækkes fra %BEREGNING AF PERIODE OG HASTIGHED %1) delta_v=v(:,g)+jorden(:,2)-jorden(1,2); %Jordens hastighederne lægges til. Der regnes i forhold til det første tidspunkt dage=jorden(:,1)-jorden(1,1); %der omregnes fra Julianske dage til dage. k=0; %2) %koden til fit ex_ = logical(zeros(length(dage),1)); %punkt nr. 7 udelukkes ex_([[7]]) = 1; ok_ = ~(isnan(dage) isnan(delta_v)); st_ = [ ]; %startbetingelser for fittet ft_ = fittype('a*sin(b*x+c)+d',... %funktion der fittes til 'depent',{'y'},'indepent',{'x'},... 'coefficients',{'a', 'b', 'c', 'd'}); cf_ = fit(dage(ok_),delta_v(ok_),ft_,'startpoint',st_,'exclude',ex_(ok_)); coeff_w=coeffvalues(cf_); %de fundne koefficienter skrives ud omega_w(g)=coeff_w(2); %vinkelhastighedskoefficienterne gemmes v_w(g)=coeff_w(1); %amplituden gemmes Hastighed=mean(v_W) %hastighed skrives ud std(v_w) %standardafvigelse periode=(2*pi)./omega_w; %beregning af periode Periode_W=mean(periode) %gennemsnittet af alle ordener std(periode) %standardafvigelsen

14 side 14 Bilag 3 Krydskorrelation mellem spektre 1 og 2 orden 50. Henholdsvis med og uden cut.

15 side 15 Bilag 4 Plot der viser krydskorrelationen af alle spektre med det første for orden 50. Røde prikker angiver toppunkt og lodret linje angiver midtpunktet af x-aksen.

16 side 16 Bilag 5 Gennemsnittet af relative radialhastigheder for orden 45 til 65.

17 side 17 Bilag 6 Sinus fit til relative radialhastigheder for orden

18 side 18 Bilag 7 Histogram og plot der viser de relative radialhastighederne som funktion af ordennummer for alle ordner spektrum 2. Hastigheder med numerisk større værdi 2 km/s er sorteret fra.

19 side 19 Bilag 8 Histogram og plot der viser de relative radialhastighederne som funktion af ordennummer for orden spektrum 2.