Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122 222 1
Omregning mellem enheder Længdemåling: her veksler vi til Dagligt mellem: mm, cm, dm, m, dam, hm, km. Når der omregnes ganges/divideres med 10 mellem hvert trin Arealmåling: Her veksles til dagligt mellem: mm 2, cm 2, dm 2, m 2 dam 2, ha, km 2 Når der omregnes ganges/divideres med 100 mellem hvert trin Rummål/rumfang: Her veksles til dagligt mellem: mm 3, cm 3, dm 3, m 3, dam 3, hm 3, km 3 Når der omregnes ganges/divideres med 1000, mellem hvert trin. 3 Målestoksforhold: Fx 1:100 Målestoksforhold Betyder at 1 cm på et kort er det samme som 100 cm i virkeligheden. Fx Hvis man har et bed der er rektangulært med målene 2 x 5 meter og skal tegne et kort over bedet i målestoksforholdet 1:10, så beregnes det på følgende måde: 2:10 = 0,2 m, hvilket er det samme som 20 cm og 5:10 = 0,5 m hvilket er det samme som 50 cm. Herefter kan bedet tegnes på kortet. 4 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122 222 2
Trekanter Siderne i en trekant benævnes med små bogstaver fx: a,b,c og vinklerne med store bogstaver fx: A,B,C. 5 Typer af trekanter Retvinklet trekant 6 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122 222 3
Vinkler i en trekant Summen af vinklerne i en trekant er altid 180 Retvinklet betyder at en af vinklerne er på 90 (1) Stumpvinklet betyder at en af vinklerne er mere end 90 (2) Spidsvinklet betyder at alle vinkler er mindre end 90 (3) Ligesidet betyder at længden på alle sider er lige lange, og at alle vinkler er lige store (4) Ligebenet betyder at 2 af siderne er lige lange og at 2 af vinklerne er lige store (5) 7 Linjer Normal: linje tegnet vinkelret på en linje, fx en af siderne i en trekant Midtnormal: normal der står præcis midt på vinklens side Højde: normal der går gennem et af vinklens hjørner og som står vinkelret på den modstående side (grundlinjen) Median: linje der forbinder et af vinklens hjørner med midtpunktet af den modstående linje Vinkelhalveringslinje: Linje der går gennem en halverer trekanten 8 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122 222 4
Trekanters areal 9 Ligedannede trekanter Ved ligedannede trekanter / ligevinklede trekanter er der en sammenhæng i forhold til målestoksforhold, eller skaleringsforhold, som gør at man ved hjælp af en skaleringsfaktor kan transformere den ene trekant til den anden, så de bliver ens Fx K stor : a a =b = c b c hvilket betyder at forholdet mellem hver af siderne i den store trekant altid vil være i det samme forhold til den lille trekants sider. Ved at bruge overstående formel har vi et mål for hvor mange gange den store trekant er større end den lille. Ønsker vi at kende det omvendte forhold, vendes brøken om: K lille : a a = b b = c c, herved kan vi se hvor meget mindre den lille trekant er i forhold til den store. 10 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122 222 5
Retvinklede trekanter Ikke retvinklede trekanter: Her kan der indtegne en højde i trekanten, hvorefter siders længde kan beregnes efter Pythagoras læresætning. Nedenstående gælder kun retvinklede trekanter: Hyppotenusen: er den side (c) der ligger over for den rette vinkel Kateter: De sider der danner den rette vinkel (a) (b) Pythagoras læresætning: bruges til at beregne en ukendt sidelængde i en retvinklet trekant, formel: a 2 + b 2 = c 2 Modulering af ligningen: normalt er det siden (c) der beregnes, men ved at modulere ligningen kan en hvilken som helst af siderne længde beregnes: Hvis vi skal finde side a s længde: a 2 + b 2 = c 2 a 2 + (b 2 - b 2 ) = c 2 b 2 a 2 = c 2 b 2 Hvis vi skal finde side b s længde: a 2 + b 2 = c 2 (a 2 - a 2 ) + b 2 = c 2 a 2 b 2 = c 2 a 2 11 Prisme Volumen/rumfang af prisme: V prisme = 0,5 x h x b x g 12 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122 222 6
Firkanter Firkanter er defineret som geometriske figurer der har 4 sider og 4 vinkler, hvor vinklerne tilsammen altid er 360 Derudover har en firkant altid 2 diagonaler, som er en ret linje, som forbinder 2 hjørner der ikke ligger ved siden af hinanden. 13 Rektangel 4 rette vinkler Siderne har parvis samme længde Sider parvis parallelle Diagonaler krydser i firkantens midtpunkt l = længden b = bredden Omkredsen (O) af rektangelet beregnes på følgende måde: O = (2 x l) + (2 x b) Arealet (A) af rektanglet beregnes på følgende måde: A = l x b 14 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122 222 7
Overfladeareal: O kasse = 2 x ( (h x l) + (l x b) + (h x b)) Volumen/rumindhold: V kasse = l x b x h 15 Kvadrat 4 rette vinkel Alle sider samme længde Sider parvis parallelle Diagonaler krydser i kvadratets midtpunkt Diagonaler står vinkelrette på hinanden Kvadratet er en særlig type rektangel 16 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122 222 8
Parallelogram Summen af 2 nabovinkler er 180 Siderne er parvis parallelle Diagonalerne krydser parallelogrammets midtpunkt Beregning af et parallelograms areal: A = h x a (a = grundlinjen (g)) 17 Kasse med parallelogram som ende Overfladeareal: O parallelogram = 2 x ((h x g) + (b x g) + (b x h)) Volumen/rumfang: V parallelogram = g x b x h 18 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122 222 9
Trapez Trapez: Kun et af sideparrene er parallelle Arealet af et trapez: A = 0,5 x h x (a 1 + a 2 ) Ligebenet trapez: Kun 2 sidepar parallelle De to andre sider er lige lange 19 Trapezformet kasse Volumen/Rumfang: V trapez = 0,5 x h x b x (a 1 + a 2 ) 20 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122 222 10
Pyamidestub G = Areal af den store grundflade g = Areal af den lille grundflade m1 = Midtnormal lille grundflade m2 = Midtnormal stre grundflade Sidelængde stub = h 2 + m2 m1 2 Rumfang: V stub = h x (G + g Gx g) 3 21 Cirkler Centrum (C): Midtpunktet i cirklen Periferi: den linje der afgrænser cirklen Radius (r): længden fra centrum til periferien, som er konstant Diameter (d): længden tværs gennem centrum fra periferi til periferi, diameterne vil altid være 2 x radius Korde: ret linje der forbinder 2 punkter på cirklens periferi Diameteren er en særlig type korde Tangent: en ret linje der kun skærer cirklens periferi i et punkt Omkreds (O): længden af den streg der afgrænser cirklen og beregnes ud fra følgende: Formel Cirklens omkreds: O = ꙥ x d eller O = ꙥ x 2 x r Formel Cirklens areal: A = 0,5 x ꙥ x r2 22 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122 222 11
Cylinder og kugle Overfladeareal på cylinder: O cylinder = 2 x ꙥ x r x ( h + r) V cylinder = h x ꙥ x r 2 Overfladeareal på en kugle: O kugle = 4 x ꙥ x r 2 Volumen/Rumfang af en kugle: V kugle = 4 x ꙥ x r² 3 23 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122 222 12