Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel harmonisk svingning....................... 4 4.2 Fjederkonstanten............................. 5 4.3 Dæmpet harmonisk svingning...................... 5 5 Bearbejdning af Resultater 6 5.1 beregning af frekvens for den SHB................... 6 5.2 beregning af dæmpning og frekvens på en SDHB........... 6 5.2.1 lod med skive........................... 6 5.2.2 lod mod plade.......................... 7 6 Usikkerhedsberegninger 8 7 Vurdering 9 8 Konklusion 10 9 Bilag 11 9.1 30g - simpel harmonisk svingning.................... 11 9.2 47g - simpel harmonisk svingning.................... 13 9.3 47g simpel harmonisk svinging med dæmpning ved skive....... 15 9.4 47g - simpel harmonisk svingning med dæmpning ved plade..... 17 1 Formål At undersøge en harmonisk oscillator, bestående af en fjeder og et lod og påvirkninger af ydre kræfter. Herunder sammenligne teori og praksis og regne på usikkerhederne. 1
2 FORSØGET 2 2 Forsøget Som det aller første måler vi masserne af de lodder vi bruger til forsøget, samt massen af fjederen og den papskive vi skal bruge til at lave en dæmpet svingning. Selve opstillingen er en fjeder ophængt i en strain-gauge som måler kraften i fjederen, som er koblet til en computer der indsamler vores data. Computeren spytter en position til et bestemt tidspunkt ud til os. For at få den rigtige tidsskala på vores målinger, har vi med et stopur taget tid på et antal målinger, hvorved vi kan finde hvor mange målinger der går på et sekund. Som det første vil vi gerne bestemme fjederkonstanten k. Vi måler længden af fjederen i ligevægtstilstand uden belastning, og derefter i ligevægtstilstanden med en masse ophængt i fjederen. Dette gøres med to forskellige masser Det første forsøg går ud på at eftervise teorien for en simpel harmonisk svingning, hvor hvis vi kender fjederkonstanten og massen som er ophængt i fjederen. Ud fra dette bestemmes svingningens frekvens, som så efterprøves eksperimentelt. Herefter vil vi undersøge dæmpede harmoniske svinginger. For at måle på en svingning dæmpet af en kraft, som er afhængig af loddets hastighed, monteres en papskive på loddet. For at måle svingninger dæmpet med en kraft uafhængig af loddets hastighed, sættes en lodret plade op ved siden af loddet. Der skal være kontakt mellem loddet og pladen hele tiden. Der foretages så igen tre målinger for hver af de to masser. Det er vigtigt at massen svinger så lodret op og ned som muligt ved alle målinger. Databehandling foretages i Gnuplot.
3 RESULTATER 3 3 Resultater Vi benyttede to lodder af masserne hhv. 0,030kg og 0,047kg begge med en usikkerhed på 0, 001kg. Fjederens masse blev målt til 0,005kg med samme usikkerhed. Til bestemmelse af fjederkonstanten blev lodderne ophængt i fjederen, en af gangen, og fjederens udstrækning blev målt. 0,030kg gav en udstrækning på 0,058m og 0,047kg gav en udstrækning på 0,096m, begge med en usikkerhed på 0, 002m. Resultaterne for svingingerne er vedlagt i bilagene, for ikke at fylde for meget i selve rapporten. De fitede funktioner er plottet i samme diagram som resultaterne.
4 TEORI 4 4 Teori 4.1 simpel harmonisk svingning Bevægelsesligningen for frie harmoniske svingninger skrives mẍ = kx (1) m er massen af det legeme der er sat i svingninger, og ẍ er den dobbelte afledte af positionen x, også kaldet accelerationen. Masse gange acceleration er det samme som kraft, så ligningen kan også skrives F = kx. k er en fjederkonstant med enheden N/m. Når man ganger fjederkonstanten med afstanden til ligevægtstilstanden x finder man den kraft fjederen udøver på legemet. Minustegnet skyldes at kraften altid er modsat rettet forskydningen fra ligevægt. Når kraften er direkte proportional med forskydningen fra ligevægt kaldes svingningen også for en simpel harmonisk bevægelse (SHB). Bevægelsesligningen ovenfor er en andenordens differentialligning med den generelle løsning x = x 0 cos(ω 0 t + φ) (2) SHB kan sammenlignes med jævn cirkelbevægelse set fra siden. I jævn cirkelbevægelse er forskydningen i x-aksens retning til tiden t givet ved x = rcosθ. r er i jævn cirkelbevægelse radius, mens det i SHB kaldes amplituden og kan betegnes A eller x 0. Skal vi finde x som funktion af tiden må vi kende θ som funktion heraf. Vinklen θ i jævn cirkelbevægelse som funktion af t er vinkelhastighed gange tid plus startvinkel, og kalder vi vinkelhastigheden for ω og startvinklen for φ, må θ se således ud: θ = ωt + φ. For SHB kaldes vinkelhastigheden for vinkelfrekvens, så den kalder vi ω 0. Erstattes r med x 0 og θ med ω 0 t + φ i ligningen x = rcosθ fås præcis (2). Vi vil også gerne kende sammenhængen mellem vinkelfrekvens ω 0, masse m og fjederkonstant k. Ser vi igen lidt på jævn cirkelbevægelse er centripetalaccelerationen givet ved a c = ω 2 r. Accelerationen i x-aksens retning er så a x = a c cosθ = ω 2 rcosθ = ω 2 x a x er det samme som ẍ i ligning (1). Isoleres ẍ i denne ligning og erstattes med a x får man et udtryk der ser således ud: ω 2 x = kx m ω 2 = k m ω = k m (3) Som en sidste ting ville det også være rart at kende perioden T udtrykt ved ω 0. Det vides at T = 1 ω0 f hvor f er bevægelsens frekvens, og f = 2π. Sættes disse to ligninger sammen får man: T = 2π (4) ω 0
4 TEORI 5 4.2 Fjederkonstanten For at bestemme svingningstiden T benytter vi udtrykket T = 2π ω = 2π m = 2π k k m Massen m har vi målt, og vi bestemmer så fjederkonstanten k eksperimentelt: Vi har ophængt et lod i fjederen, og målt dennes udstrækning i forhold til udstrækningen uden lod. Ved at udnytte, at systemet er i hvile, kan vi opskrive ligningen: F grav = F fjeder mg = kx k = mg x Her har vi den positive x-akse opad. Symbolet x angiver udstrækningen i forhold til ligevægt. Massen m er loddets masse. Uden lod er fjederens udstrækning 9,0 cm (og fjederens masse er 0,005 kg). Lod nr. Masse Udstrækning i alt x k 1 0,047 kg 0,186 m 0,096 m 4,798 kg s 2 2 0,030 kg 0,148 m 0,058 m 5,069 kg s 2 Den gennemsnitlige k-værdi er altså 4,933 kg s. Der en er måleusikkerhed på ±0,001 2 kg på masserne ±0,002 m på udstrækningerne. 4.3 Dæmpet harmonisk svingning Udover at se på den udæmpede harmoniske oscillator, vil vi også eksperimentere med to former for dæmpning: Dæmpning vha. luftmodstand fra en papskive monteret på loddet. Denne dæmpning afhænger af loddet og skivens hastighed, og bevægelsesligningen er: mẍ = kx bẋ Hvis friktion er så lille, at loddet svinger flere gange, er løsningen x = x 0 e γt 2 cos(ω d t + φ) hvor friktionskonstanten er γ = ω d = ω 0 1 γ 2 2ω 0 b m, og hvor vinkelfrekvensen er givet ved Dæmpning fra en fast flade, som loddet glider imod. Her kommer dæmpningen fra en konstant normalkraft fra fladen, og bevægelsesligningen er: mẍ = kx ẋ ẋ f Hvis man i stedet for x indsætter størrelsen x = x + ẋ f ẋ k mẍ = kx, hvilket som sædvanligt giver løsningen x = A cos(ω 0 t + φ) står der tilbage, at
5 BEARBEJDNING AF RESULTATER 6 5 Bearbejdning af Resultater 5.1 beregning af frekvens for den SHB I teorien ses hvordan svingingstiden for en simpel harmonisk bevægelse bestemmes. Frekvensen findes så ved f = 1 T = 1 2π = 1 k m 2π m k For vores to forsøgsopstillinger med henholdsvis et 30g lod og et 47g lod, og den kendte fjederkonstant fra teoriafsnittet, kan frekvensen beregnes. masse(lod) 30g 47g 4,933 kg s 2 0,030kg 4,933 kg s 2 0,047kg frekvens 1 2π = 2, 041s 1 1 2π = 1, 631s 1 For at beregne frekvensen ud fra vores data, er det nødvendigt at se på bevægelsesligningen for den SHB. x(t) = A cos(ωt + φ) + h konstanten h er tilføjet, da oscillatoren ikke svinger omkring 0. Vi fitter så vores resultater, som kan ses i bilagene, med en funktion af denne type og bestemmer herefter middelværdien for vinkelhastigheden. Frekvensen kan herefter bestemmes ved f = 1 2π ω. masse(lod) frekvens usikkerhed Resultaterne af vores fit kan ses her 30g f = 0, 9s 1 ±1, 6 10 4 s 1 47g f = 0, 73s 1 ±1, 3 10 4 s 1 m lod + fit-nr vinkelhastighed usikkerhed 30g - 1 5.64873s 1 ±9.418 10 4 s 1 30g - 2 5.64739s 1 ±12.59 10 4 s 1 30g - 3 5.65097s 1 ±8.674 10 4 s 1 34g - 1 4.59317s 1 ±3.541 10 4 s 1 47g - 2 4.58984s 1 ±4.11 10 4 s 1 47g - 3 4.59211s 1 ±2.467 10 4 s 1 5.2 beregning af dæmpning og frekvens på en SDHB 5.2.1 lod med skive Hvis man først ser på en simpel dæmpet harmonisk bevægelse, hvor dæmpning er afhængig af bevægelsesligningens første afledte. mẍ = kx bẋ da vil dens vinkelhastighed være givet ved k ω = m b2 4m 2 = ω0 2 γ2 hvor ω 0 er vinkelhastigheden for en SHB. Frekvensen findes så ved f = 1 2π ω. Vi kalder γ for dæmpningsfaktoren, da bevægelsesligningen ser således ud x(t) = x 0 e b 2m t cos ( k m b2 4m t + φ 2 ) + h = x 0 e γt cos ( ω 2 0 γ2 t + φ ) + h
5 BEARBEJDNING AF RESULTATER 7 faktoren γ afgør nemlig hvor hurtigt svingingerne aftager. Vi bestemmer nu frekvens og dæmpning ud fra vores fit frekvens f = 18.417s 4 (0.00325482s 2 ) 2 1 2π = 0.683s 1 dæmpning γ = 3.25 10 3 Her kan ses vores estimater af γ og ω 2 0 fit-nr γ usikkerhed ω0 2 usikkerhed 1 3.31 10 3 s 1 ±2.981 10 4 s 1 18.4s 4 ±2.584 10 3 s 4 2 3.04 10 3 s 1 ±3.621 10 4 s 1 18.4s 4 ±3.123 10 3 s 4 3 3.38 10 3 s 1 ±3.565 10 4 s 1 18.4s 4 ±3.082 10 3 s 4 5.2.2 lod mod plade Hvis vi se ser på det tilfælde hvor loddet gnider mod en plade, mens det svinger. Så vi der altså være en konstant kraft modsatrettet bevægelsesretningen. Bevægelsen kan så beskrives ved en funktion af formen x(t) = (x 0 at) cos(ωt + φ) + h hvor x 0 er startposition for loddet, a = f k er hældningen på den linie, som svingingerne aftager med og ω = km er vinkelhastigheden. Vi har så estimeret vinkelhastigheden(frekvensen) og hældningen på dæmpningen. frekvens usikkerhed dæmpning usikkerhed f = 4.58331s 1 2π = 0.729s 1 ±2.45 10 5 0.442 ±3.566 10 4 De fit som vi har estimeret vinkelhastigheden og dæmpningen fra er her. fit-nr vinkelhastighed usikkerhed dæmpning usikkerhed 1 ω = 4.58s 1 ±8.409 10 5 0.447 ±2.209 10 4 2 ω = 4.58s 1 ±8.255 10 5 0.442 ±2.2 10 4 3 ω = 4.58s 1 ±9.375 10 5 0.435 ±2.342 10 4
6 USIKKERHEDSBEREGNINGER 8 6 Usikkerhedsberegninger Først beregner vi usikkerheden på fjederkonstanten, for at vi derefter kan bestemme usikkerheden på vinkelhastigheden(frekvensen). Udtrykket for fjederkonstanten er k = gm x Da vi kun regner i positive værdier under bestemmelse af k, kan de nummeriske tegn fjernes. Usikkerheden på k findes da ved. ( k ( k) 2 = x x ) 2 ( k + ) 2 m m ( ) 2 ( gm = x x x gm + m x m ( ( m ) ( ) ) 2 2 1 = g 2 x 2 x + x m ( m ) 2 k = g x 2 x + ) 2 ( ) 2 1 x m (5) Vi bestemmer så usikkerheden på fjederkonstanten. Da vi har to målinger af fjederkonstanten, tager vi det simple gennemsnit af usikkerheden på målingen. k = k 1 + k 2 2 = = 9.82 m s 2 ( 0.047kg (0.096m) 2 0.002m 0.143N m + 0.244N m 2 ) 2 + ( 0.001kg 0.096m ) 2 ( ) 2 ( + 9.82 m 0.030kg s 2 (0.058m) 0.002m + 0.001kg 2 0.058m 2 = 0.19N m (6) Vi kan så bestemme usikkerheden på vinkelhastigheden ω = ω = ( ω k k ) 2 ( k + m m og på frekvensen ved f = ω 2π. Vi bestemmer så usikkherheden på frekvensen for vores simple harmoniske oscillator, med to forskellige masser. masse frekvens usikkerhed 30g 2.041s 1 ±0.05s 1 47g 1.631s 1 ±0.04s 1 ) 2 k m. ) 2
7 VURDERING 9 7 Vurdering Vores teoretiske værdi af frekvensen og vores målte værdi af frekvensen passer ikke sammen. Vi har en forskel på over en faktor 2 hvilket på ingen måde kan forklares af usikkerheden på de respektive målinger. Dette tyder på en systematisk fejl der er lavet undervejs i forsøget. En ting vi kan have gjort galt er at have lavet en fejlmåling, da vi skulle finde ud af hvor mange målinger computeren lavede pr. tidsenhed, dette målte vi med et stopur. Skulle vi have lavet en systematisk fejl i dette forsøg, vil det give en fejl på vores målte frekvens, vel at mærke en fejl der vil være lineær 1, dvs at faktoren mellem de målte værdier, og de teoretiske værdier skal afvige med samme faktor. Hvis vi kigger på den procentvise afvigelse mellem vores teoretiske og praktiske resultater fås. 0.9 ± 1.6 10 4 100% = (44.1 ± 0.32)% 2.041 ± 0.05 0.73 ± 1.3 10 4 100% = (44.8 ± 0.41)% 1.631 ± 0.04 Det ses at hvis dette er vores fejl, vil det faktisk kunne forklare vores afvigelser med hensyn til usikkerheden, hvis vi skulle lave forsøget igen ville vi altså skulle være ekstra grundige her. Det problematiske i dette er at vi vil skulle har lavet målingen en faktor 2 forkert, og man er altså selv uden stopur ikke i tvivl om der er gået 10 eller 20 sekunder, så det er forholdsvist usandsynligt at vi skulle have lavet denne fejl, selvom det selvfølgelig ikke er et fysisk argument. Vi har i vores udregninger ikke taget højde for fjederens egen vægt, da denne er væsentligt mindre end loddets. Dette vil give en fejl i vores værdier, men kan dog på ingen måde give en fejl på 100 procent afvigelse, da vores tilnærmelse og forholdsvis god. 1 Dette ses let. Hvis vi har lavet denne fejl vil der være en givet faktor imellem det antal målinger vi tror computeren har lavet pr. tidsenhed, og det den rent faktisk har. Dette medføre at dette også er gældende for den målte frekvens.
8 KONKLUSION 10 8 Konklusion Vi har i vores forsøg lavet en systematisk fejl, som givetvis skyldes at der sket en fejlmåling således at det går igen i resten af resultaterne. Vi har dog på ingen måde kunne vurdere præcist hvor denne er og konklusionen bliver derfor at det er en OM er. Vi kan ikke konkluderer noget fysisk ud fra forsøget andet end at en fjeder med lod udfører en harmonisk svingning 2, men ikke nogle fysiske årsager hertil. 2 Ses tydeligt på bilag og fit.
9 BILAG 11 9 Bilag 9.1 30g - simpel harmonisk svingning
9 BILAG 12
9 BILAG 13 9.2 47g - simpel harmonisk svingning
9 BILAG 14
9 BILAG 15 9.3 47g simpel harmonisk svinging med dæmpning ved skive
9 BILAG 16
9 BILAG 17 9.4 47g - simpel harmonisk svingning med dæmpning ved plade
9 BILAG 18