Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 Indledende beregninger 3 Banekurve og grafer 4 4 Skæringer med akserne 8 5 Tangenter til banekurven 11 6 Optimeringsproblemer 15 7 Dobbeltpunkter 19
Resumé I dette dokument gennemgår vi eksempler på de mest almindelige problemer man kan møde i forbindelse med vektorfunktioner. 1 Introduktion Vi skal nu gennemgå nogle eksempler på ting man kan finde på at gøre med en vektorfunktion. Du vil sikkert opdage at langt de fleste skriftlige eksamensopgaver om vektorfunktioner falder ind under et af disse eksempler. Vi vil hele vejen igennem tage udgangspunkt i vektorfunktionen f, givet ved: ft = t + t 1 3 cost, t [ 5; 3] Som sædvanligt vil vi navngive koordinatfunktionerne x og y. Dvs. xt = t + t 1 og yt = 3 cost Øvelse 1. Hvis du vil tjekke at du har forstået hvert af eksemplerne, kan du prøve at gøre det samme med vektorfunktionen g givet ved: gt = sint t 1 t + 3t 1, t [ 5; 3] Det er i alle tilfælde en lille smule sværere, men i bund og grund det samme. side 1
Forudsætninger: For at læse dette dokument bør du vide hvad en vektorfunktion er, og hvordan man tegner parameterkurve og beregner hastighed og acceleration for den. Men hvis ikke du ved det, regner du det sikkert ud undervejs. Indledende beregninger Her er først nogle ting som man næsten altid har brug for at gøre. Eksempel. Find hastigheden, farten, accelerationen og størrelsen af accelerationen for f. For at finde hastigheden, differentieres f: f t = x t y t = t + 3 sint For at finde farten, beregnes længden af hastighedsvektoren. Vi betegner som sædvanligt fartfunktionen med s: st = f t = x t + y t = t + + 3 sint = 4t + 8t + 4 + 9 sint Det kan diskuteres hvilken af de sidste to opskrivninger der er pænest. For at finde accelerationen, differentieres hastigheden: f t = x t y t = 3 cost side
Og for at finde størrelsen af accelerationen, beregnes længden af accelerationsvektoren. Som sædvanligt benævnet størrelsen af accelerationen med a: at = f t = x t + y t = + 3 cost = 4 + 9 cost side 3
3 Banekurve og grafer Eksempel 3. Tegn banekurven for f. For at tegne banekurven skulle vi i princippet beregne ft for alle værdier af t. F.eks. for t = er: f = + 1 3 cos = 1 3 Hver af disse vektorer skulle derefter indtegnes som et punkt i koordinatsystemet. I vores tilfælde ville det således være punktet: 1; 3 Vi får et grafprogram til at gøre dette arbejde, og dermed fremkommer banekurven som vist på figur : Som bekendt kan man ikke se hvilke t-værdier der har givet hvilke punkter. Dermed kan man ikke engang se hvilken retning banekurven bliver gennemløbet. For at rette op på det, kan man vælge at markere nogle særlige punkter på kurven og angive hvilken værdi af t de fremkommer ved. Man kan samtidigt angive gennemløbsretningen med en pil. Det har vi gjort på figur 1. side 4
5 5 1 15-5 Figur 1: Banekurven for vektorfunktionen f med indtegning af udvalgte punkter og retningsangivelse. Eksempel 4. Indtegn hastighedsvektor og accelerationsvektor til tidspunktet t = 3 på banekurven. Vi starter med at finde ud af hvilket punkt på banekurven der svarer til t = 3: f 3 = 3 + 3 1 3 cos 3,97 Herefter beregner vi hastighedsvektoren til dette tidspunkt: f 3 = 3 + 3 sin 3 Og accelerationsvektoren til dette tidspunkt: f 3 = 3 cos 3 4,4,97 side 5
Nu er der så kun tilbage at indtegne vektorerne: og f 3 f 3 4,4,97 ud fra følgende punkt på banekurven: ;,97 Det kommer til at se ud som på figur 3: 5 5 1 15-5 Figur : Banekurven for vektorfunktionen f. Eksempel 5. Tegn graferne for farten og størrelsen af accelerationen. Husk at både farten og størrelsen af accelerationen beregnet i eksempel er gammeldags funktioner fra de reelle tal til de reelle tal. Derfor kan vi tegne deres grafer. Det er gjort på figur 4 og 5. side 6
5 5 1 15-5 Figur 3: Banekurven for vektorfunktionen f med indtegning af hastighed med grønt og acceleration med rødt til t = 3. Husk at de fleste grafprogrammer bliver glade hvis man omdøber t til at hedde x når det nu er en gammeldags funktion der skal tegnes graf for. 8 6 4-5 -4-3 - -1 1 3 Figur 4: Farten af vektorfunktionen f. side 7
8 6 4-5 -4-3 - -1 1 3 Figur 5: Størrelsen af accelerationen for vektorfunktionen f. 4 Skæringer med akserne Eksempel 6. Find skæringen mellem banekurven og x-aksen. For at finde hvorhenne banekurven skærer x-aksen, går vi en lille omvej: Vi finder først ud af til hvilke tidspunkter, t, at banekurven skærer x-aksen. Derfor spørger vi os selv: Hvad er det specielle ved de tidspunkter, t, hvortil banekurven skærer x-aksen? Svaret må være at til præcis disse tidspunkter leverer f en y-koordinat a som er nul. Med andre ord skal vi løse ligningen: yt = dvs. dvs. 3 cost = cost = side 8
Denne ligning har uendeligt mange løsninger, men kun tre som ligger inden for definitionsintervallet [ 5; 3]. Disse løsninger er: t 1 = 3π 4,71 og t = π 1,57 t 3 = π 1,57 For at finde selve skæringspunkterne, kan vi nu udregne vektorfunktionens værdier til hvert af disse tidspunkter. Det er egentlig spild af tid at udregne andenkoordinaterne, men vi gør det alligevel: ft 1 = ft = 3π ft 3 = + 3π 1 3 cos 3π π + π 1 3 cos π π + π 1 3 cos π Så skæringspunkterne er naturligvis: 11,78 1,67 4,61 11,78;, 1,67; og 4,61; Bemærk at dette kan kontrolleres ved at se på banekurven figur. a Det kan være lidt svært at lære udenad, fordi det virker på hovedet at skæringen med x-aksen findes ved at løse en ligning om y-koordinaten. Men hvis man forstår hvordan banekurven tegnes, er det fuldstændig logisk. Eksempel 7. Find skæringen mellem banekurven og y-aksen. side 9
Vi starter igen med at finde ud af til hvilke tidspunkter, t, at banekurven skærer y-aksen. Igen spørger vi os selv: Hvad er det specielle ved de tidspunkter, t, hvortil banekurven skærer y-aksen? Svaret må være at til præcis disse tidspunkter leverer f en x-koordinat som er nul. Med andre ord, skal vi løse ligningen: dvs. xt = t + t 1 = Denne andengradsligning har diskriminanten: d = 4 1 1 = 8 Derfor har den to løsninger som kan findes ved: og t 4 = + 8 1 = 1 +,41 t 5 = 8 = 1,41 1 For at finde selve skæringspunkterne, kan vi nu udregne vektorfunktionens værdier til hvert af disse tidspunkter. Det er egentlig spild af tid at udregne førstekoordinaterne, men vi gør det alligevel: ft 4 = ft 5 = 1 + + 1 + 1 3 cos 1 + 1 + 1 1 Så skæringspunkterne er: 3 cos 1 ;,75 og ;,4,75,4 Bemærk at dette kan kontrolleres ved at se på banekurven figur. side 1
5 Tangenter til banekurven Eksempel 8. Find tangenten til banekurven i det punkt som svarer til tidspunktet t = 1 For at finde tangenten, er det lettest at angive den på parameterform. Vi har nemlig både et punkt på tangenten og en retningsvektor for den. Punktet er naturligvis det punkt på banekurven som svarer til tidspunktet t = 1 hvor tangenten rører ved banekurven. Det kan udregnes ved: f1 = 1 + 1 1 3 cos1 1,6 Retningsvektoren er simpelt hen hastigheden af f til tidspunktet t = 1, så den kan udregnes ved: f 1 = 1 + 3 sin1 4,5 Dermed er tangenten givet ved parameterfremstillingen: x y = 1,6 + t 4,5, t R Man bør lige bemærke at tangenten overhovedet eksisterer, fordi hastighedsvektoren til t = 1 ikke er nulvektor. Eksempel 9. Find de punkter hvor banekurven har vandret tangent. side 11
For at finde disse punkter, vil vi starte med at finde de tidspunkter hvor banekurven har en vandret tangent. Eftersom tangenten hørende til tidspunktet t har en retningsvektor givet ved: f t = x t y t = t + 3 sint er det bare et spørgsmål om hvilke værdier af t som giver en vandret retningsvektor. Dvs. en retningsvektor som ikke er nulvektor, og som har y-koordinat nul. Med andre ord, skal vi bestemme de værdier af t, hvor: dvs. dvs. y t = 3 sint = sint = Denne ligning har uendeligt mange løsninger, men kun to af dem ligger inden for definitionsintervallet [ 5; 3]. Disse løsninger er: og t 1 = π 3,14 t = Man bør dog tjekke om hastighedsvektoren skulle gå hen at blive nul til nogen af disse t-værdier. Hvis den gør, så er der slet ikke nogen tangent i det tilhørende punkt. Men heldigvis er: f t 1 = π + 3 sin π = π + og f t = + 3 sin = side 1
Hvis vi vil kende de tilhørende punkter på banekurven, skal vi bare beregne: og ft 1 = ft 1 = π + π 1 3 cos π + 1 3 cos =,59 3 1 3 Dermed er punkterne hvor banekurven har vandret tangent naturligvis:,59; 3 og 1; 3 Bemærk at dette kan kontrolleres ved at se på banekurven figur. side 13
Eksempel 1. Find de punkter hvor banekurven har lodret tangent. For at finde disse punkter, vil vi starte med at finde de tidspunkter hvor banekurven har en lodret tangent. Eftersom tangenten hørende til tidspunktet t har en retningsvektor givet ved: f t = x t y t = t + 3 sint er det bare et spørgsmål om hvilke værdier af t som giver en lodret retningsvektor. Dvs. en retningsvektor som ikke er nulvektor, og som har x-koordinat nul. Med andre ord, skal vi bestemme de værdier af t, hvor: dvs. dvs. x t = t + = t = 1 Der er altså kun en eneste værdi af t som kan give en lodret tangentvektor, nemlig: t 3 = 1 Man bør dog tjekke om hastighedsvektoren skulle gå hen at blive nul til denne t-værdi. Hvis den gør, så er der slet ikke nogen tangent i det tilhørende punkt. Men heldigvis er: f t 3 = 1 + 3 sin 1,5 side 14
Hvis vi vil kende det tilhørende punkt på banekurven, skal vi bare beregne: ft 3 = 1 + 1 1 3 cos 1 1,6 Dermed er punktet hvor banekurven har lodret tangent naturligvis: ; 1,6 Bemærk at dette kan kontrolleres ved at se på banekurven figur. 6 Optimeringsproblemer Her er først et interessant problem som ofte opstår: Eksempel 11. Find den korteste afstand mellem punkterne på banekurven og punktet 3; 4. For at finde denne afstand, skriver vi den generelle afstand op mellem et punkt på banekurven hørende til et generelt tidspunkt, t og det givne punkt. Denne afstand kan udregnes med afstandsformlen: dt = xt 3 + yt 4 = t + t 1 3 + 3 cost 4 = t + t 4 + 3 cost 4 Dette er en gammeldags funktion fra R til R, og vi kan tegne dens graf se figur 6. side 15
-5-4 -3 - -1 1 3 14 1 1 8 6 4 Figur 6: Afstanden fra banekurven til punktet 3; 4 som funktion af t. På grafen ses at afstanden antager en minimumsværdi omkring 1. Vi kunne bestemme denne t-værdi præcist ved at løse ligningen: d t = Men da d og dermed d er en ret kompliceret funktion, vil vi bare få grafprogrammet til at gøre dette. Dermed bestemmes minimumsstedet til: t min,91 og den tilhørende minimumsværdi: dt min,55 Den korteste afstand mellem punkter på banekurven og punktet 3; 4 er altså cirka,55. Hvis vi ville finde det punkt på banekurven som lå tættest på punktet 3; 4, skulle vi bare sætte t min ind i vores vektorfunktion: ft min 1,66 1,84 Bemærk at dette kan kontrolleres ved at se på banekurven figur. side 16
Eksempel 1. Find den største og mindste fart. Dette er lige ud af landevejen. Vi har allerede fundet farten i eksempel : st = t + + 3 sint og tegnet dens graf se figur 4. Man kan se at s har et minimumssted omkring t =,3. Det kunne bestemmes ved at løse ligningen s t = men da s og dermed s er en ret kompliceret funktion vil vi bede grafprogrammen om at foretage optimeringen. Dermed bestemmes minimumsstedet til: t min,33 og den tilhørende minimumsværdi: st min 1,66 På grafen kan man endvidere se at s antager sin maksimale værdi i det venstre intervalendepunkt, nemlig: t max = 5 med tilhørende maksimumsværdi: st max = 8,5 Eksempel 13. Find den største og mindste acceleration. Dette kan gøres på præcis samme måde som med farten. Lad mig dog demonstrere hvordan man nogle gange kan være smart, hvis funktionen er tilpas gennemskuelig. side 17
Vi har allerede fundet størrelsen af accelerationen i eksempel : at = 4 + 9 cost Eftersom cosinus laver alle værdier imellem 1 og 1, så vil cost antage værdier imellem og 1. Dermed vil 9 cost antage værdier mellem og 9. Dermed vil 4 + 9 cost antage værdier imellem 4 og 13. Så a vil antage værdier imellem minimumsværdien: 4 = og maksimumsværdien: 13 3,61 side 18
7 Dobbeltpunkter Dette eksempel er meget sværere end de foregående. Men eftersom spørgsmålet er ret oplagt at stille, vil jeg lige vise hvordan det nogle gange kan løses. Betragt det som underholdning og en lille advarsel om at det faktisk kan lade sig gøre at stille svære opgaver om vektorfunktioner. Eksempel 14. Bestem koordinaterne til det punkt hvor banekurven skærer sig selv. Dobbeltpunktet er et punkt som fremkommer på to forskellige tidspunkter. Vi skal derfor lede efter to tidspunkter, t 1 og t som opfylder at: ft 1 = ft dvs. t 1 + t 1 1 3 cost 1 = t + t 1 3 cost og eftersom to vektorer kun er ens hvis deres førstekoordinater er ens og deres andenkoordinater er ens, er dette to ligninger med t 1 og t som ukendte: og t 1 + t 1 1 = t + t 1 3 cost 1 = 3 cost Så langt, så godt. Men desværre er det lidt svært at komme videre herfra. De to ligninger har uendeligt mange løsninger, nemlig alle dem hvor t 1 og t er ens. Og det er temmeligt svært at få sorteret dem væk, så vi kan finde den interessante løsning hvor t 1 og t er forskellige. Her skal lidt snedighed til. Hvis vi starter med at se på grafen for den første koordinatfunktion a, x se figur 7, så er det jo en parabel med toppunkt i -1. side 19
Eftersom en parabel er symmetrisk omkring toppunktet, så vil to t-værdier, t 1 og t kun give samme værdi af førstekoordinaten hvis de ligger symmetrisk på hver sin side af toppunktet. Det kan siges som at t 1 = 1 + α og t = 1 α for en eller anden værdi af α. Disse to værdier skal så samtidigt få andenkoordinaten af f til at blive det samme. Dvs. dvs. dvs. y 1 + α = y 1 α 3 cos 1 + α = 3 cos 1 α cos 1 + α = cos 1 α Hvis vi betragter højre og venstre side af denne ligning som funktioner af α, kan vi plotte grafer for begge disse funktioner se figur 8, og se hvornår de bliver ens ved at se hvornår de to grafer skærer hinanden. Det ses at udover α = som svarer til at de to t-værdier er ens, så er der mange andre steder hvor de to funktioner bliver ens. a Nu bliver det totalt kaotisk med bogstavnavnene: Når vi tegner grafen for den første koordinatfunktion, x, så tegner vi t-værdierne ud af x-aksen, mens de tilhørende funktionsværdier xt bliver til y-koordinater på grafen. Forvirret? Fair nok, men prøv at hænge på alligevel. Det kan hjælpe at kalde x-aksen for førsteaksen og y-aksen for andenaksen. Hvis man er rigtig skarp til at se symmetri, kan man endda se at disse værdier af α ligger i afstanden π fra hinanden. Så løsningerne for α er altså: α = k π side
3 1-4 -3 - -1 1 3-1 - Figur 7: Grafen for den første koordinatfunktion for f. -3 3 1-5 -4-3 - -1 1 3-1 - Figur 8: Grafer for cos 1 + α med blåt og cos 1 α med grønt. -3 side 1
hvor k er et helt tal. Det giver: og t 1 = 1 + k π t = 1 k π Den eneste værdi af heltallet k hvor begge disse t-værdier ligger inden for definitionsintervallet [ 3; 5] er Det giver: og k = 1 t 1 = 1 + π,14 t = 1 π 4,14 Det er nu nemt at udregne placeringen af dobbeltpunktet, ved simpelt hen at udregne: ft 1 = ft 7,87 1,6 side