DEN BASALE SOLOW-MODEL Y t = BKt α L 1 α t Slides til Makro 2, Forelæsning 3 21. september 2006 Chapter 3 r t = αb Ã! α 1 Kt L t w t =(1 α) B S t = sy t K t+1 K t = S t δk t, Ã! α Kt L t K 0 givet L t+1 =(1+n) L t, L 0 givet Peter Birch Sørensen og Hans Jørgen Whitta-Jacobsen September 7, 2006 Parametre: B, α, s, δ og n. NB. B konstant. Fokus på kapitalakkumulation. Givet K 0 og L 0 bestemmer modellen (K t ), (L t ), (Y t ) osv. Tilstandsvariable: K t og L t.
OFFENTLIG SEKTOR K t+1 K t = S t δk t følger af identitet/definition K t+1 K t = I t δk t og identitet/ligevægtsbetingelse Y t = C t + I t Y t C t = I t S t = I t. Samme konstruktion med off. sektor: Y t = C p t + Cg t + Ip t + Ig t Vi kan fortolke vores model, som den står, sådan,atden inkluderer off. sektor. Den centrale modelantagelse herfor er, at summen af privat og offentligt forbrug i procent af BNP er en given konstant, 1 s. Empirisk rimeligt, endda s 0.2 i vestlige økonomier! Menbrudforekommer! St p g St z } { Y t T t Ct p z } { + T t Ct g = Ip t + Ig t. Indsættes i identiteten K t+1 K t = I p t + Ig t δk t fås: K t+1 K t = =S t z } { S p t + Sg t δk t. Vi skal bare i vores model, som den står,tænkepåk t som inkluderende off. kapitaludstyr og på S t som summen af privat og off. opsparing. Modelrelationen S t = sy t betyder så: S t = S p t + Sg t = sy t C p t + Cg t =(1 s) Y t.
BASALSOLOWMODELIKORTVERSION Y t = BKt α Lt 1 α K t+1 K t = sy t δk t, K 0 L t+1 =(1+n) L t, L 0 BEVÆGELSESLOVEN 1. Definér: y t Y t /L t,ogk t K t /L t. 2. Fra Y t = BK α t L1 α t fås y t = Bk α t. 3. Fra K t+1 K t = sy t δk t fås: K t+1 = sy t +(1 δ) K t. 4. Dividér med L t+1 =(1+n)L t på begge sider: k t+1 = 1 1+n (sy t +(1 δ) k t ). 5. Indsæt y t = Bkt α for TRANSITIONS-LIGNINGEN: k t+1 = 1 1+n (sbkα t +(1 δ) k t ). Givet k 0 = K 0 /L 0 fastlægger denne (k t ). Dermed også (y t ) fra y t = Bk α t og så (c t) fra c t =(1 s)y t osv. 6. Fratræk k t på begge sider for SOLOW-LIGNINGEN: k t+1 k t = 1 1+n (sbkα t () k t ). DIMINISHING RETURNS til k t iproduktionafy t!
TRANSITIONSDIGRAMMET k t+1 = 1 1+n (sbkα t +(1 δ) k t ) SOLOW-DIAGRAMMET k t+1 k t = 1 1+n (sbkα t () k t ). dk t+1 dk t = sbkα 1 t +(1 δ). 1+n Tegn hhv. sbk α t og () k t: Hældning (1 δ)/(1 + n) for k t. Denne hældning < 1 1 δ<1+n >0. Antages! Konvergens: k t k. Da må: y t y = B(k ) α og c t c =(1 s)y og r t r = αb (k ) α 1 osv. Steady state Hvorfor stopper akkumulation og vækst (per arbejder)? Nøgleordene er:
KOMPARATIV ANALYSE I SOLOWDIAGRAMMET 1. Økonomien initialt i steady state med parametre α, B, s, n og δ. Én parameter ændrer sig permanent til et nyt niveau: Opsaringskvoten (investeringsraten) vokser fra s til s 0 >s. 2. Økonomien først i steady state. Ingen parametre ændrer sig, men pga. en krig eller naturkatastrofe forsvinder pludselig halvdelen af al kapital over natten. Hvordan analyseres dette i Solow-diagrammet? Hvad sker på kort sigt ( on impact ) og som tiden går?
STEADY STATE Langsigtsniveauer, k og y osv. er givet ved parametre: Tilbage til Solow-ligningen: k t+1 k t = 1 1+n (sbkα t () k t ). Steady state: k t+1 k t =0eller sb(k ) α =(n+δ)k : k = B 1 α 1 µ s Andre nøglevariable i steady state: y = B (k ) α = B 1 1 α c =(1 s)y. 1 1 α µ α s 1 α. r = αb (k ) α 1 µ s 1 = α. w =(1 α) B 1 α 1 µ α s 1 α =(1 α) y. Hvad gør ifølge den basale Solow-model en nation rig på langt sigt? Vi har meget konkret modeludsigelse: y = B 1 α 1 µ α s 1 α ln y = 1 1 α ln B + α [ln s ln()]. 1 α Bemærk hvor nyttigt dette potentielt er: Elasticiteten i y mht. s er α 1 α 1 2 : En stigning i investeringskvoten på 10 %, fx fra 20 til 22 %, giver på langt sigt en stigning i indkomst per arbejder (capita) på ca. 5 %! Elasticiteten i y mht. er α 1 α 1 2.Mht.B er den 1 1 α 3 2!Hvadskerder?
Vi er nået frem til empirisk testbare hypoteser! Empiri: DEN NATURLIGE REALRENTE µ r s 1 µ = α ρ s 1 = α δ. Realrenten er på langt sigt bestemt af produktivitet og sparsommelighed (Knut Wicksell): Højere α kapital mere produktiv større efterspørgsel efter kapital (per arbejder) alt andet lige højere ligevægtsrente (pris på kapital). Højere s/ () større udbud af kapital per arbejder alt andet lige lavere ligevægtsrente. Rimelige parameterværdier (på årsbasis): α =1/3, s = 0.22, n =0.005, δ =0.05 r =8, 3% og ρ =3.3%. Meget, meget rimeligt!
STRUKTURPOLITIK 2. Langsigts-grunde til skattefinancierede offentlige udgifter. 1. Crowding out. Permanent fald i s forårsaget af permanent stigning i offentligt forbrug som andel af BNP. Hvad sker der "on impact"? Y t upåvirket (vokser fortsat med rate n) ogy t upåvirket (ligger fast på y ). Men mindre opsparing og mere forbrug end før. Fuld crowding out. På længere sigt? Y t vokser en overgang langsommere (end med rate n) ogy t falder mod nyt lavere steady state-niveau, y 0. Mere end fuld crowding out. Og renten stiger. Staten kan ikke på langt sigt øge BNP ved at øge efterspørgslen. Hvad med på kort sigt? Offentlige investeringer (som private ikke ville foretage). Forbrug: Offentlige (ikke-rivaliserende, muligvis ikke-ekskluderbare) goder. Offentligt forbrug (til uddannelse og sundhed fx), der substituerer for privat forbrug, så s ikke påvirkes. Fordelingsmæssige årsager (sundhed). Eksternaliteter (uddannelse). Generelle produktivitetseffekter af offentligt forbrug (fx retsvæsen, sundhed osv.).
3. Incitamentspolitik. Statens påvirkninger af modellens parametre, der ikke bare er en direkte konsekvens af udgifts/indtægts-omfang, men også af måden hvorpå indtægter opkræves og udgifter afholdes, fx incitamentsvirkninger fra skattesystemet. Ingen eksplicit analyse heraf! y = B 1 α 1 µ α s 1 α, c = B 1 α 1 µ α s 1 α (1 s). Golden rule: Det s, der maksimerer c.deters = α. Modellen peger på strukturel politik til: Fremme af teknologi. Fremme af opsparing: Institutioner og incitamenter. VÆKST I DEN BASALE SOLOWMODEL Modellens langsigtsforudsigelse er dens steady state. Hvad er vækstraten i output pr. mand i steady state? Den er nul! Passer dårligt med et stylized fact. Hvad er i øvrigt væstraten i Y t,totalbnp,nårøkonomien eristeadystate? Y t /L t = y t,ogy t ligger fast på y,så Y t og L t må vokse med samme rate, n. BNPkanvokse, men kun med samme rate som arbejdstyrken. Hvorfor? Antag økonomien først er under steady state: k t <k. Da er sbkt α > ()k t, så der opbygges kapital pr. mand, men under diminishing returns. Væksten i k t og y t forsvinder til sidst. Men: Der er transitorisk (midlertidig) vækst. Hvor længe? Kontrol med n.
SIMULATION Initialt: Steady state ved B =1, α =1/3, δ =0.05, n = 0.03, s = 0.08 (repræsentativt for et U-land): k = y =1. Medvirkningførstegangiperiode1stigeropsparingskvoten permanent til s 0 =0.24 (repræsentativt for I-land): k 0 =5.20 og y 0 =1.73. Simulér over t =2, 3,... med k t+1 = 1 ³ s 0 Bkt α +(1 δ) k t 1+n og med start i k 0 = k 1 =1. Udregn y t = Bk α t og c t =(1 s 0 )y t og g y t =lny t ln y t 1 osv. Relativt langvarig transitorisk vækst!
I Solowmodellen er det dynamiske forløb frem mod steady state en (mindst) lige så vigtig del af teorien som selve steady staten! Og i dette forløb er der vækst i k t og y t. Derfor er den basale Solow-model en vækstmodel! DET MODIFICEREDE SOLOW-DIAGRAM k t+1 k t = 1 ³ sbk α 1 t (). k t 1+n Man kan nemt finde vækstraten i k t : k t+1 k t = 1 1+n (sbkα t () k t ) k t+1 k t = 1 ³ sbk α 1 t (), k t 1+n den modificerede Solow-ligning. Vækstraten i y t følger af g y t = αgk t. Væksten i BNP pr. mand er kraftigere, jo længere økonomien er fra steady state! Passer nøjagtigt med betinget konvergens! En permanent stigning i s giver et væksthop!
KONKLUSIONER, BASAL SOLOWMODEL Hvad kan et (fattigt) land gøre for at skabe en midlertidig vækst i BNP pr. mand, der vil bringe landet op på et permanent højere niveau af indkomst (og forbrug) pr. capita? De svar den basale Solow-model giver er: Skab mere opsparing! Skab lavere befolkningsvækst! Skab lavere afskrivning på kapital, dvs. investér bedre! Skab bedre teknologi! Hvor meget er disse anbefalinger værd?