VEJLEDENDE BESVARELSE OPGAVE 1

Transkript

1 VEJLEDENDE BESVARELSE OPGAVE 1 1. Relation (1) udgør produktionsfunktionen, der antages at være Cobb- Douglas. Produktionen fremkommer ved at humankapital udvidet arbejdskraft og kapital kombineres. Produktionsfunktionen udviser konstant skalaafkast til kapital og arbejdskraft, hvilket er baseret på replikationsargumentet. Relation (2) er en adfærdsrelation, der angiver at husholdningerne opsparer en konstant andel af den samlede indkomst. Parameteren s angiver dermed opsparingskvoten. Relation (3) angiver at de samlede investeringer modsvarer den samlede opsparing, hvilket holder pr. identitet i en lukket økonomi som den betragtede. Relation (4) angiver at ændringen kapitalbeholdningen er givet ved de samlede investeringer. Der ses således bort fra kapitalnedslidning. Relation (5) angiver at befolkningen vokser med en konstant rate n. Endelig angiver relation (6) hvorledes humankapitalbeholdningen udvikler sig over tid. Det ses, at dersom den samlede tidsanvendelse i uddannelsessektoren øges, da vil væksten i humankapitalbeholdningen øges. De studerende har ikke set denne modellering af humankapital i pensum, så meget længere kommentarer til relation (6) kan ikke ventes. Men den særligt fine besvarelse vil gøre sig nogle overvejelser om hvorvidt en antagelse om permanent vækst i humankapitalbeholdningen er rimelig. Et synspunkt er, at humankapitalbeholdningen naturligt må anses som være opadtil begrænset, idet der må være en øvre grænse for antallet af år man kan anvende i uddannelsessektoren. Dette argument bunder i et synspunkt om, at humankapital på makroniveau bør forankres i den såkaldt Mincer-tilgang. Til støtte for den opretholdte antagelse kan der gøres gældende, at kvaliteten af den viden der indlæres gradvist øges over tid, hvorfor det måske alligevel er rimeligt at antage, at humankapitalbeholdningen vedvarende øges, selvom uddannelsestiden er konstant. 2. Vi starter med at noteres os at (tidsindeksering er ignoreret) produktionen ieffektivitetsenheder: y = Y uhl = Kα (uh (t) L (t)) 1 α µ α K = = k α. uhl uhl Ved indsættelse af (3) samt (2) i (4) opnås = sy δk. 6

2 For at omskrive denne ligning til effektivitetsenheder divideres der igennem med uhl uhl = s Y uhl = sy = skα. Leddet Altså uhl omskrives, ved brug af definitionen k K/uhL, (uhl) Ku³ḣL + h L k = (uhl) 2 KuḣL + h LKu = uhl (uhl) 2 = uhl ḣ K h uhl L K L uhl = uhl (g h + n) k uhl = k +(g h + n) k. Dette udtryk anvendes til at substitutere for uhl k (t) =sk (t) α (n + g h ) k (t) hvilket dermed leder til 3. For eksistens af en steady state må vi kræve, at en skæring mellem sk (t) α på den ene side, og (n + g h ) k (t) på den anden side, kan finde sted. Formelt sikres eksistensen af at lim k 0 sk (t) α =0samt af lim k 0 sk (t) α 1 =, lim k sk (t) α 1 =0. Entydighed sikres af det faktum, at y k = αk (t)α 1 > 0, 2 y k 2 = α (α 1) k (t) α 2 < 0 for all k. Stabilitet følger formelt af at k = sαk α 1 (n + g h ) < 0, kk=k hvor uligheden enten enkelt indses må være opfyldt via et grafisk argument, eller regnes efter ved at udlede k = n+δ+g h 1 α 1,hvorafdetfølger s at sαk α 1 = α (n + g h ) < (n + g h ) da α<1. 4. ved at udnytte k =0og regne rundt, fås enkelt at µ 1 µ 1 n + k gh α 1 n + φv α 1 = =. s s 7

3 Kapitalbeholdningen i effektivitetsenheder afhænger således positivt af s, men negativt af n og g h. Det sidste indebærer således at k er negativt afhængig af den gennemsnitlige uddannelsestid, v. Effektenafenstigningis. Vi starter med at beskrive tilpasningsprocessen. En stigning i s leder umiddelbart til en stigning i den samlede opsparing og dermed investering, hvorved kapitalbeholdningen øges. På det korte sigt er kapitalbeholdningen imidlertid predetermineret, så der forekommer ikke spring i denne. Men efter en periode vil kapitalbeholdningen være øget som konsekvens af den stigende investeringsaktivitet. Det stigende kapitalapparat leder endvidere til øget indkomst hvilket i anden runde, så at sige også stimulere opsparingen og investeringen. Denne afledte effekt er dog mindre end den initiale, da produktionsfunktionen udviser aftagende grænseproduktivitet til kapitalbeholdningen. Således til økonomien gradvist nærme sig en ny steady state hvor k igen er konstant, på et højere niveau. Samlet haves dermed, at stigningen i opsparingen leder til højere k på langt sigt. Effektenafenstigningin eller g h. En stigning i befolkningsvæksten vil alt andet lige lede til et fald i kapitalbeholdningen per arbejder (i effektivitetsenheder). Derved reduceres produktiviteten per arbejder, opsparingen vil derfor vige, og således også investeringerne per arbejder i effektivitetsenheder. Som før er k prædetermineret, hvorfor tilpasningen i k er glat mod den nye steady state. På langt sigt falder kapitalbeholdningen i effektivitetsenheder dermed af en stigning i n. Befolkningsvæksten har dermed en kapitaludhulene effekt. Tilpasningen og den samlede virkning af en stigning i g h er den samme som i tilfældet hvor n stiger. 5. Ovenstående analyse har jo vist, at k tendere mod at blive konstant. Dermed haves altså at K uhl =konstant, hvoraf det følger, at tælleren og nævneren må vokse lige hurtigt. I steady state haves således K = ḣ h + L = φv + n, L hvilket var hvad der skulle vises. Indkomsten per arbejder; i steady state haves at indkomsten per effektive arbejder er Y uhl =(k ) α, 8

4 altså konstant. Således må det ved det samme argument gælde at Ẏ Y = ḣ h + L = φv + n. L Væksten i Y/L må derfor være Ẏ Y n = φv. Sammenligning med standard Solow model. Modellen afviger fra standardudgaven ved at der inddrages humankapitalakkumulation. I begge modeller er der imidlertid tale om eksogene vækstmodeller, idet der kun er vedvarende vækst i indkomsten per capita pga. eksogen vækst i hvad man kan kalde teknologi parametre A i Solowmodellens tilfælde, eller h i nærværende tilfælde. Uden tab af generalitet kan man jo uden videre omdefinere h til A, sætte φv lig g, ogu =1, hvorved modellen i opgaven grundlæggende fremstår præcis som Romers præsentation af Solowmodellen. Konklusionen om, at væksten på langt sigt i indkomst per capita er givet ved væksten i den eksogene arbejdsproduktivitet er dermed den samme i de to modeller. Alligevel er der en lille forskel, nemlig at modellen i opgaven giver et bud på hvorfor nogle lande vokser hurtigere end andre uddannelse. Således er der er smule mindre black box over den modificerede model, end hvad der er tilfældet i Solow modellen. 6. Først tre definitioner: Definition 1 Absolut konvergens. Indkomst pr. capita i forskellige lande vil konvergere mod hinanden på langt sigt. Definition 2 Betinget konvergens. Indkomst pr. capita i forskellige lande vil konvergere mod hinanden på langt sigt, hvis og kun hvis de strukturelle karakteristika er ens. Definition 3 Klub konvergens. Indkomst pr. capita i forskellige lande vil konvergere mod hinanden på langt sigt, hvis og kun hvis de strukturelle karakteristika er ens, og initialbetingelserne er ens. I nærværende model er der tale om en entydig steady state. Således vil initialbetingelser ikke spille en rolle for langtsigtsindkomsten; ergo kan klub konvergens udelukkes. Siden forskelle i, fortrinsvis, s, u, n vil påvirker steady 9

5 state niveauet, samt væksten i indkomsten per capita, kan absolut konvergens også udelukkes. Tilgengæld er modellen konsistent med Betinget konvergens. I det omfang man fastholder alle relevante strukturelle karakteristika, da vil forskellige lande konvergere i indkomst per capital over tid. OPGAVE 2 1. Grundlæggende haves at producenterne ønsker at maksimere hvilket leder til Y = F (K, L) wl rk F K = r F L = w Siden F udviser konstant skalaafkast haves µ K F (K, L) =LF L, 1 Lf (k),k K/L heraf følger at F K = f 0 (k) F L = f (k) kf 0 (k). Således haves f 0 (k) = r f (k) kf 0 (k) = w. 2. Det ses at husholdningen ønsker at maksimere den tilbagediskonterede værdi af nytten ved forbrug. C 1 θ / (1 θ) er elementarnyttefunktione, og θ repræsenterer grænsenytteelasticiteten. Denne fastlægger krumningen på elementarnyttefunktionen (man kan også anføre, at 1/θ repræsenterer den intertemporale substitutionselasticitet). Diskonteringsrate, ρ, benævnestid- spræferenceraten. Jo større ρ er jo mindre vægt tillægges forbrug lang ude ifremtiden. ρ kan således siges ³ at afspejle husholdningens utålmodighed. Betingelsen lim t B (t)exp R t r s=0 sds 0 kaldes solvensbetingelsen, eller mere populært No-Ponzi-game betingelsen. Denne betingelse angiver, 10

6 at husholdningen, uendeligt langt ude i fremtiden, ikke må være insolvent den tilbagediskonterede værdi af formen må ikke være negativ. Det skal bemærkes at der beklageligvis var fejl i opgaveformuleringen ³ på dette R t punkt. Opgaveteksten angiver lim t B (t)exp r s=0 sds 0, i stedet for ³ lim t B (t)exp R t r s=0 sds 0. Det bør således ikke trække ned hvis den studerende har skrevet NPG betingelsen forkert ned. Hamiltonfunktionen til problemet: H (C, B, λ, t) = C1 θ 1 θ e ρt + λ (r (t)(1 τ r ) B (t)+(1 τ w ) w (t) L (t) C (t)+t (t)) C er kontrolvariablen tilordnet problemet, mens B er tilstandsvariablen. Førsteordensbetingelserne H C =0 C θ e ρt = λ differentieres der mht tiden opnås d H C dt : θ Ċ C ρ = λ λ. Så differentieres der mht. tilstandsvariablen: H B = λ + ρλ λr (t)(1 τ r )= λ Det kan evt. bemærkes, at der udover H H og også er en transversalitetsbetingelse som den sidste C B førsteordensbetingelse: lim λb =0 t Efter lidt omarrangering i H B = λ fås Anvendes d ( H C ) dt : H B λ λ = r (t)(1 τ r ). Ċ C = 1 θ (r (t)(1 τ r ) ρ). 11

7 Ligningen kaldes Keynes-Ramsey reglen. Den angiver, at forbruget vil være voksende over tid dersom renten efter skat er større end tidspræferencen. Vækstens størrelsen modificeres af 1 ; den intertemporale substitutionselasticitet. Jo større θ er jo, mere krum er elementarnyttefunktionen, hvor- θ for husholdningen er mindre villig til at tillade udsving i forbruget der er relativt kraftige præferencer for forbrugsudjævning. Den underliggende fortolkning af ligningen er imidlertid, at den afspejler det grundlæggende mikroøkonomiske princip, at MRS=MRT (tangering mellem nyttefunktionen og budgetlinien), nu blot på alle tidspunkter langs den optimale bane. Det bemærkes at (1 τ r ) indgår i ligningen. Større skat vil dermed sænke væksten i forbruget, da opsparingen viger sfa af en ringere marginal intertemporal transformationsrate. 3. Siden B (t) =K (t) følger det ligeledes at Ḃ =, hvorfor Ḃ (t) = r (t)(1 τ r ) B (t)+(1 τ w ) w (t) L (t) C (t)+t (t) m (t) = r (t)(1 τ r ) K (t)+(1 τ w ) w (t) L (t) C (t)+t (t) Siden L (t) =L følger at k (t) =r (t)(1 τ r ) k (t)+(1 τ w ) w (t) c (t)+ T (t) L. Omrokering giver k (t) =r (t) k (t)+w (t) c (t)+ T (t) L (τ r rk (t)+τ w w (t)) Fra budgetbalance følger at T (t) L = τ r rk (t)+τ w w (t) k (t) =r (t) k (t)+w (t) c (t) Endelig kan man enten udnytte førsteordensbetingelserne fra spørgsmål 1, eller bemærke, at ved konstant skalaafkast og eulers sætning om homogen funktioner gælder at r (t) k (t)+w (t) =y (t) =f (k) k (t) =f (k (t)) c (t). 4. Økonomiens dynamiske forløb er karakteriseret ved k (t) =f (k (t)) c (t). 12

8 samt Ċ (t) C (t) = 1 θ (r (t)(1 τ r ) ρ) = 1 θ (f 0 (k (t)) (1 τ r ) ρ) =ċ (t) c (t), hvor det sidste lighedstegn følger af, at L/L =0. Det ses, at k (t) =0 f (k (t)) = c (t). Forgivenk værdi, k, erdetsåledes kun dersom at c = c = f k at kapitalbeholdningen er konstant. Altså når hele indkomsten forbruges. Dette er lidt anderledes fra udgaven i pensum, idet fraværet af nedslidning, befolkningsvækst og tekniske fremskridt indebærer at hele indkomsten forbruges i steady state. For givet k vil et c< c lede til sigende kapitalbeholdning over tid, og omvendt hvis c> c. Dette giver bevægelsespilene illustreret i Figur 1. Hernæst bemærkes at ċ (t) =0 c (t) =0 f 0 (k )=ρ/ (1 τ r ). Hvis k = k <k vil f 0 k >ρ/(1 τ r ) hvorfor ċ>0, omomvendthvis k >k. Dette giver bevægelsespilene illustreret i figur 2. Samlet set haves altså dynamikken illustreret i figur 3. Grundlæggende er der sålede tre mulige forløb, kaldet I, II og III. Forløb af typen I vil før eller siden indebære, at hele kapitalbeholdningen bliver spist. Dermed falder forbruget til nul, hvilket giver uendelig stor disnytte for forbrugeren. Mere formelt kan man sige, at førsteordensbetingelsen c θ = λ ikke kan være opfyldt i dette punkt. Detskalbemærkes,atRomer(1996)anføreretlidtandetargument(s.50), nemlig at baner af denne type før eller siden vil indebære, at k bliver negativ. Selvom man kan have lidt svært vil at forstå hvad der ligger i en negativ kapitalbeholdning, er denne argumentation derfor også acceptabel. Baner af type III kan ligeledes udfra et intuitivt arguement udelukkes. Et argument er det følgende. Antag at økonomien følger banen III. Før eller siden vil økonomien krydse ċ =0linien, hvorefter c, på alle efterfølende tidspunkter vil være aftagende; asymptotisk mod nul. Det er ganske klart, at når ċ =0linien nås, vil det bedre kunne betale sig for agenterne at springe til punktet E, hvorefter c vil være højere på alle efterfølgende tidspunkter end langs banen III. Dermed må den tilbagediskonterede værdi også være højere. Imidlertid er vores agenter ikke vanvittigt glade for spring i c, hvorfordet alt andet lige vil være en fordel at vælge et forløb der glat leder frem til E banen II. Siden alle baner á la I og III kan udelukkes, må økonomien altid befinde sig på banen II, der gradvist leder økonomien mod steady state, E. Denne bane 13

9 benævnes saddelbanen i det følgende. Ganske vist er denne illustreret som en ret linie i illustrationen, men det behøver den ikke nødvendigvis være, siden denne er en funktion af modellens parametre. Fortrinsvist ρ og θ. Stabilitet. Jacobi matricen: Ã J = ċ ck=k ċ k k=k k c k=k k kk=k! Differentiation samt udnyttelse af (c,k ) leder dermed til: µ 0 1 J = (1 τ r )f 00 (k )c f 0 (k ) θ ³ Determinanten D = (1 τ r )f 00 (k )c ( 1) < 0 da f 00 (k ) < 0. Således er θ systemet saddelpuntstabilt. 5. Nej. Ressourceallokeringen er P.O i en standard Ramseymodel, men der er imidlertid her tale om forvirrende skatter, hvilket gør steady state inefficient. Det er fint, men ikke nødvendigt, hvis man løser samfundsplanlæggerens problem for at illustrere denne pointe. 6. Det ses fra ċ =0linien, at dersom τ r øges da vil k på langt sigt falde. Dette indses ved at udnytte, at f 0 > 0 mens f 00 < 0. Tilpasningen fra E 1 (før ændringen) til E 2 er illustreret i Figur 4. I det øjeblik den nye information skatte stigningen - bliver tilgængelig reagerer agenterne. Dette sker ved at forbruget øges fra E 1 til A. Kapitalbeholdningen kan selvfølgelig ikke tilpasse sig, da denne er predetermineret på tidspunktet for politikændringen. Springet i forbruget er nøjagtigt sådan, at økonomien ex post befinder sig på den nye saddelbane. Over tid vil kapitalbeholdningen falde, og forbruget ligeså, mens økonomien konvergerer mod E 2. Årsagen til at skattestigningen leder til lavere kapitalbeholdning på langt sigt, er at afkastet ved opsparing reduceres (dvs. MRS). Følgelig vil husholdningerne have mindre lyst til at udskyde forbrug, med lavere opsparing, og dermed kapitalapparat, til følge. En stigning i τ w vil slet ikke påvirke systemet. En ændring i τ w påvirker ikke den intertemporale pris på forbrug, hvorfor opsparingsincitamentet, og dermed k, ikke ændres. Endvidere tilbageføres midlerne fra skatten til husholdningen i form af transferringen, hvorfor også forbrugsniveauet er uændret. 7. Det nye i dette spørgsmål er dermed at skattestigningen er annonceret. Som før vil husholdningen reagerer i det øjeblik ny information bliver tilgængelig. Da skattestigningen kendes på forhånd kan husholdningen nu forberede 14

10 sig på omstillingen til et højere skattetryk. Konkret haves at husholdningen på annonceringstidspunktet skruer forbruget i vejret. Da politikændringen ikke er trådt i kraft vil der efterfølgende være tale om, at økonomien bevæger sig ifølge de oprindelige bevægelsespile. Således bevæger økonomien sig langs en sti der har en sådan beskaffenhed, at på tidspunktet hvor politikken implementeres da befinder økonomien sig på den nye saddelbane (punkt B). Herefter er tilpasningen til ny steady state som ovenfor. Det er meget fint hvis besvarelsen også indeholder nogle overvejelser om, at dette forløb er det eneste mulige for at bringe økonomien til ny steady state. Det kritiske punkt er det initiale spring der skal være præcist afstemt. OPGAVE 3 1. Den antagede funktionelle form afspejler idéen om at effektivitetsstigninger er en konsekvens af Learning-by-doing. Et empirisk eksempel nævnt i gennemgangen, er the liberty-ship miracle (jf. Lucas, 1993, making a miracle, Econometrica). Det fremgår endvidere, idet der ikke er nogen allokering af K til dette formål, at process antages at være udtryk for en positiv eksternalitet, der ikke internaliseres af producenterne. 2. Fra opgave teksten haves at = sy, da Y = K α (E µ L) 1 α følger det umiddelbart, ved brug af E = K, at = sk α+µ(1 α) L (t) 1 α. 3. For at tegne fasediagrammet udledes først g K hvorefter der differentieres mht t g K = sk α+µ(1 α) 1 L (t) 1 α ġ K g K = (α + µ (1 α) 1) g K +(1 α) n = (1 α)(1 µ) g K +(1 α) n Det ses umiddelbart at der er tale om en ( sur )parabel idet ġ K = (1 α)(1 µ) g 2 K +(1 α) ng K. 15

11 Toppunktet nås ved: ġ K g K = 2(1 α)(1 µ) g K +(1 α) n =0 g K = 1 2(1 µ) n Steady state opnås for ġ K =0 g K =0 gk = 1 n>0da µ<1. 1 µ Fasediagrammet er illustreret i Figur 6. Modellen er tydeligvis stabil. Således vil vækstraten, i den ikke-trivielle steady state, være givet ved 1 1 µ n; denne afhænger således positivt af befolkningsvæksten. Faktisk er befolkningsvækst påkrævet for vedvarende vækst i per capita indkomsten. Man kan med fordel udlede vækstraten i per capita indkomsten for at se dette klarere. Anvend Y = K α+(1 α)µ L 1 α differentier mht. t og indsæt gk: gy 1 = (α +(1 α) µ) n +(1 α) n 1 µ µ gy 1 n = (α +(1 α) µ) 1 µ α n gy µ n = 1 µ n. Hvis n =0vil gy = n. I gennemgangen, er endogen vækst blevet defineret som situationen hvor vedvarende vækst er mulig uden dette kræver vækst i eksogene variable. I denne forstand er der ikke endogen vækst i modellen, siden vedvarende vækst i per capita indkomsten er nemlig mulig, men kun ledsaget af vækst i en eksogen variable n. Det er stadigvæk mere endogent end Solow modellen, hvor væksten i de tekniske fremskridt er den eksogent drivende vækstfaktor. I gennemgangen er denne situation blevet benævnt Semi-endogen vækst. Det kan bemærkes at denne model version har det karakteristika, at politikændringer, der potentielt kunne påvirke s, ikke vil påvirke vækstraten i steady state, men blot indkomstniveauet. 4. Itilfældethvor µ =1følger det umiddelbart, at = skl 1 α, hvorfor g K = sl 1 α. 16

12 Modellen udviser således endogen vækst. Dette passer også fint med at der netop er konstant skalaafkast til producerbare faktorer i produktionsfunktionen, da Y = KL 1 α. I nyere tid, synes det ikke at være en empirisk understøttelig implikation, at større samfund, målt på befolkningen, vokser hurtigere. Historisk set, og på globalt plan, er implikationen til syneladende mindre problematisk. Her bør Michael Kremer s undersøgelse af sammenhængen mellem økonomisk vækst og befolkningsvækst inddrages (Romer, 1996 afs. 3.7). 5. Vi har således samt K = sl1 α + A K A A = γ Da x K/A følger ved differentiation Altså haves ẋ x = K Ȧ A = sl1 α + A K γ = sl 1 α + x (t) 1 γ ẋ = xsl 1 α +1 γx = sl 1 α γ x +1 hvilket er udtrykket anført i opgaveteksten. 6. ẋ =0 x sl 1 α γ = 1 x = 1 γ sl. 1 α Den krævede betingelse er dermed γ>sl 1 α. Intuitionen bag betingelsen er, at for et konstant bistand-capital forhold kræves at bistanden vokser hurtigere end den indenlandsk generede opsparing, sl 1 α. I modsat tilfælde vil A/K gå i nul. Fasediagrammet er vist i figur 7. Det er tydeligt, at givet γ>sl 1 α da vil steady staten være stabil. For vilkårligt x 0 vil økonomien gradvist konvergere mod x. Omvendt kan 17

13 man notere sig, at dersom γ<sl 1 α bliver hældningen på (sl 1 α γ) x +1 positiv, hvilket implicerer at K/A (og dermed A/L 0). 7. I dette tilfælde haves altså Ã! = sl 1 α +(x ) 1 = γ. K Sådan bør det selvfølgelig også være. Det er netop blevet vist at A/K er konstant, hvorfor tæller og nævner vokser lige hurtigt i steady state. Det kan endvidere bemærkes, at tilførelsen af A leder til at den endogen vækstmodel udviser tilpasningsdynamik der, uden As tilstedeværelse, ville være fraværende. Væksten er ikke endogen i dette tilfælde, da den drives af γ. Hvisγ>sL 1 α befinder vi os således i et regime, hvor økonomisk politik ikke påvirker langsigtsvækstraten. Dette spørgsmål er medgivet lidt tricky, siden endogen vækst jo er mulig uden vækst i eksogen variable. Men spørgsmålet går på om væksten ér endogen hvilket den ikke er. 8. Hvis A (t) =δ (t) Ŷ (t) da følger A A = γ = δ (t) δ (t) + Ŷ Ŷ = δ (t) δ (t) + g. Konvergens vil kræve at g<γ, hvilket således kræver δ (t) /δ (t) > 0. Altså skal andelen af donor landets BNP, der anvendes til at støtte ulandet, vokse over tid. I princippet er dette muligt, men vil realistisk set kræve, at hjælpen til andre (umodellerede) ulande sænkes tilsvarende, da det næppe er sandsynligt at man kan vente positiv vækst i de samlede donationer til ulandende. I tilfældet hvor vi betragter modellen som udtryk for hele gruppen af bistandsmodtagende ulande, da må man dermed sige, at ulandsbistanden ikke kan ventes at sikre konvergens i indkomsten mellem donor-landede og de lande der modtager hjælpen. (Under alle omstændigheder kan δ jo heller ikke blive større end 1...) 18