BETA: MATEMATIK C-NIVEAU

BETA: MATEMATIK C-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver 2010 2016

BETA: MATEMATIK C-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik hf 2010 Dette hæfte indeholder løsninger af matematik C hf eksamensopgaver. Bogen er en beta og den endelige er på trapperne! Ingen opgaver fra kapitel 1 er løst endnu, men de er også på vej. Alle eksamensopgaver løses enten i WordMat eller Maple 2016. Eksamensopgaverne i kapitel 2 har den respektive overskrift og navn på eksamenssættet samt opgave nummeret X.XXX. De løste opgaver i kapitel 2 er hermed listet fra årstal 2006 til 2008. 2009 og 2010 er på vej! For anvendelse af dokumentet, anbefales det, at man prøver at løse opgaven først, inden man anvender løsningerne. Eksamensopgaver: - Matematik C-niveau, HF - maj 2006 - Matematik C-niveau, HF - august 2006 - Matematik C-niveau, HF - december 2006 - Matematik C-niveau, HF - maj 2007 - Matematik C-niveau, HF - august 2007 - Matematik C-niveau, HF - december 2007 - Matematik C-niveau, HF - maj 2008 - Matematik C-niveau, HF - august 2008 - Matematik C-niveau, HF - december 2008 - Matematik C-niveau, HF - maj 2009 [IKKE FÆRDIG ENDNU] - Matematik C-niveau, HF - august 2009 [IKKE FÆRDIG ENDNU] - Matematik C-niveau, HF - december 2009 [IKKE FÆRDIG ENDNU] - Matematik C-niveau, HF - juni 2010 [IKKE FÆRDIG ENDNU] - Matematik C-niveau, HF - august 2010 [IKKE FÆRDIG ENDNU] - Matematik C-niveau, HF - december 2010 [IKKE FÆRDIG ENDNU] Fortsættes 2016 næste side Side 1 ud af 43

Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 HF matematik C niveau, kapitel 2 Opgave 2.001 a) Asf b) Saf Side 2 ud af 43

Opgave 2.002 a) G Opgave 2.003 a) A Fortsættes næste side Side 3 ud af 43

b) A Opgave 2.004 a) As b) A Side 4 ud af 43

Opgave 2.005 a) A b) A Side 5 ud af 43

Opgave 2.006 a) A Opgave 2.007 a) A Opgave 2.008 a) a Side 6 ud af 43

Opgave 2.009 Delopgave a) og delopgave b) slås sammen. a) A Slut på opgavesættet: maj 2006 MAT C Side 7 ud af 43

Opgave 2.010 a) As Opgave 2.011 a) A Fortsættes næste side Side 8 ud af 43

Opgave 2.012 b) Fortolkning af tallene a og b. Tallet a fortæller, at for hver meter man får, stiger prisen med 4.84kr Tallet b fortæller, at begyndelsesprisen for en slange er 297.5kr a) a Man kan også avende WordMat til at bestemme og tegne trekanten. Side 9 ud af 43

Opgave 2.013 a) A b) a Opgave 2.014 a) Medianen aflæses til at være 43.5, altså må 50% eller deromkring af diplomatledere have en alder på 43.5 år. b) Der aflæses og man kan se, at 35 40 har en procent fra 13.5% 32% 40 45 har en procent fra 32% 60% 45 50 har en procent fra 60% 84% Differencen imellem findes 32% 13.5% = 18.5% 60% 32% = 28% 84% 60% = 24% Altså må det være i aldersgruppen 40 45, at der er flest deltagere af diplomlederuddannelsen. Side 10 ud af 43

Opgave 2.015 a) A b) A Opgave 2.016 a) A b) Side 11 ud af 43

Opgave 2.017 a) A b) A Slut på opgavesættet: august 2006 MAT C Side 12 ud af 43

Opgave 2.018 a) A Opgave 2.019 a) Ligningen løses først pr. håndkraft. 3(2x 1) = 4x 9 6x 3 = 4x 9 2x = 6 x = 3 Man kunne også få Maple til at udføre arbejdet. Opgave 2.020 Opgave 2.021 a) Modellen opstilles ud fra oplysningerne. Man får y = 2100x + 77688 Som beskriver faldet af medlemmerne i Dansk Tennis Forbund. Modellen gælder fra år 1999. a) Fra figuren regnes længden AH. Formlen anvendes nedenfor: b = h cos(a) Værdierne indsættes b = 17 cos(38 o ) = 13.396 Som er den ønskede længde. Fortsættes næste side Side 13 ud af 43

b) Arealet bestemmes vha. ½appelsinformlen. Værdierne indsættes T = 1 b c sin(a) 2 T = 1 2 (13.396 + 5) 17 sin(38o ) = 96.268 Som er det ønskede areal. Hvis man ikke fik gennemskuet den metode, så kunne man stadig regne arealet. Først finder man BH BH = 17 2 13.396 2 = 10.466 Altså kan arealet bestemmes. T ABH = 1 2 h g = 1 10.466 13.396 = 70.101 2 T BHC = 1 2 h g = 1 10.466 5 = 26.165 2 T = T ABH + T BHC = 70.101 + 26.165 = 96.266 Opgave 2.022 a) Tallene a og b bestemmes. Så bestemmes b a = log ( y 2 y 1 ) log ( x 2 x 1 ) = log ( 375 24 ) log ( 25 4 ) = 1.5 b = y 1 a x = 24 1 4 1.5 = 3 Derved er forskriften y = 3 x 1.5 Skulle man have glemt formlerne for a og b kunne man regne dem på en anden måde. 375 = b 25 a 24 = b 4 a 15.625 = 6.25a log(15.625) = a log(6.25) Så har man en ligning. a = log(15.625) log(6.25) = 1.5 24 = b 4 1.5 b = 24 4 1.5 = 3 b) Hvis y = 11.5 så bestemmes x, man har 11.5 = 3 x 1.5 11.5 3 = x1.5 x = 11.5 3 = 1.957 Side 14 ud af 43

Opgave 2.023 Opgave 2.024 Opgave 2.025 a) Ud fra tabellens oplysninger, er det muligt at finde ud af, hvad en Kung Fu is kostede i 1994, når den koster 13kr i år 2005. 185.7 13 = 100 x Så har man en ligning. 185.7 13 = 100 x Så i år kostede isen 7kr. 13 100 = 185.7 x 1300 = 185.7x x = 1300 185.7 = 7 a) Man får oplyst formlen. y = 3.5x + 955 Temperaturen angiver trykket, så hvis 10 o C indsættes, fås trykket. Man har y = 3.5 10 + 955 = 990 Så trykket er 990hPa ved en temperatur på 10 o C a) A Tallet 3.5 fortæller, at for hver gang temperaturen øges, så stiger trykket med 3.5hPa. b) A Fortsættes næste side Side 15 ud af 43

c) Aa Opgave 2.026 a) Kvartilsættet fra Steady Eddie aflæses til {16, 20.5, 26.5, 29.5, 33} Kvartilsættet for Big Mac bestemmes. 3,9,9,22,29,32,32,33,39,39,42,49,52,58,65,70 Så bestemmes kvartilerne. Start = 3 22 + 29 Nedre = = 25.5 2 33 + 39 Median = = 36 2 49 + 52 Øvre = = 50.5 2 Top = 70 Så er kvartilsættet {3, 25.5, 36, 50.5, 70} Fortsættes næste side Side 16 ud af 43

b) Boksplottene tegnes vha. Excel. Big Mac Steady Eddie 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Det ses, at Steady Eddie er god til at skyde i et koncentreret omfang. Big Mac er dog bedre til at lave gode homeruns, men dog i et mere sporadisk omfang. Slut på opgavesættet: december 2006 MAT C Side 17 ud af 43

Opgave 2.027 Opgave 2.028 Opgave 2.029 Der er givet to ensvinklede trekanter. a) Først findes forstørrelsesfaktoren. k = Q 1R 1 QR = 30.6 25.5 = 1.2 Da man har sin forstørrelsesfaktor, er det nu muligt at bestemme P 1 Q 1 vha. den lille trekant. P 1 Q 1 = k PQ Indsæt da værdierne. P 1 Q 1 = 1.2 19.5 = 23.4 Dermed blev P 1 Q 1 bestemt til 23.4 a) Personen indsætter 15000kr med en rente på 2.6%. Renteformlen anvendes. K 20 = 15000 (1 + ( 2.6 20 100 )) = 25063.3128 Så 20 år efter har man 25063.3128kr på kontoen. b) Man får oplyst det dobbelte, altså K n = 30000, så er året det samme. Renten bestemmes. 30000 = 15000 (1 + r) 20 30000 15000 = (1 + r)20 20 30000 = 1 + r 15000 20 30000 1 = r 15000 20 r% = ( 30000 1) 100 = 3.526% 15000 Så renten er 3.526% som giver det dobbelte på 20 år. a) Modellen er givet. S = 1.82x + 0.5 Man indsætter 8 på x s plads og får S = 1.82 8 + 0.5 = 15.06 Derved er boligindtægterne 15.06mia kr. 1.82 betyder, at for hvert år der går efter år 2000, stiger indtægten med 1.82 mia kr. Fortsættes næste side Side 18 ud af 43

Opgave 2.030 Opgave 2.031 Opgave 2.032 b) Man løser en ligning 19 = 1.82x + 0.5 18.5 = 1.82x x = 18.5 1.82 10.1648352 Så efter 10 år har man 19 mia. kr. a) Kvartilerne aflæses for begge boksplot. Onsdag: Start=10.35 Nedre=10.5 Median=10.55 Øvre=10.64 Top=10.695 Weekend: Start=9.4 Nedre=9.55 Median=10.12 Øvre=10.43 Top=10.54 Det ses, at der om onsdagen generelt er dyrere end weekenden, dvs. ca. 50% af tilfældene er prisen for benzin pr. liter ca. 10.55kr, hvor i weekenden er prisen 10.12kr, hvilket har meget at sige. a) Modellen opstilles ud fra oplysningerne, og man får y = 2460x + 80000 Der beskriver den årlige udvikling af biler på Køge Bugt motorvej. a) Længden af DE kan hurtigt bestemmes. DE = AD BC Så indsættes værdierne DE = 145 60 = 85 Så længden af DE = 85cm Højden AB = CE altså kan man anvende Pythagoras DE 2 + CE 2 = CD 2 Så indsættes værdierne. 85 2 + CE 2 = 170 2 CE = 170 2 85 2 = 147.224 Hermed er højden fundet til at være 147.224cm Fortsættes næste side Side 19 ud af 43

b) Vinklerne C og D bestemmes. Vinkel C bestemmes først. Heri indsættes værdierne C = sin 1 ( DE CD ) C = sin 1 ( 85 170 ) = 60o Så bestemmes D vha. vinkelsummen. D = 180 o E C = 180 o 90 o 60 o = 30 o Altså er vinklerne C og D bestemt til hhv. C = 60 o ; D = 30 o Opgave 2.032 <- fejl fra opgavekommissionens side. a) Ud fra oplysningerne kan man opstille et histogram. Dette udføres vha. Excel. et tern er 4% Histogram 0 20 40 60 80 100 Observationer Opgave 2.033 Her er de sorte for København og de orange for Hillerød. Man kan se, at folk med alderen 20-40 ligger væsentlig lavere procentmæssigt, hvorpå Københavnere har en større procentvise rate. Alle andre tilfælde ligger Hillerød generelt højere, på nær den sidste kasse, der er Københavnerne en anelse højere. a) Først bestemmes antallet af motorcykler i år 2000. 68.6 2263 = 100 226300 x 68.6 = 2263 100 x = x 68.6 3298.83 Så i år 2000 er der ca. 3298.83 registrerede motorcykler. 100 3298.83 = 175.2 100x = 3298.83 175.2 x = 577955.016 5779.55 x 100 Så i år 2005 er der ca. 5779.55 registrerede motorcykler. Side 20 ud af 43

Opgave 2.034 a) Tallene a og b bestemmes. Så bestemmes b x2 x1 a = y 2 y 1 56 0 = 688 = 1.0218 205 b = y 1 a x = 205 1 1.0218 0 = 205 Derved er forskriften y = 205 1.0218 x Skulle man have glemt formlerne for a og b kunne man regne dem på en anden måde. 688 = b a 56 205 = b a 0 3.356 = a56 56 a = 3.356 a = 1.0218 Så har man en ligning. 205 = b 1.0218 0 b = 205 b) I år 1950 var antallet af ældre over 60år ca. 205mio Dette forventes med at stige med en procent på 2.18% for hvert år efterfølgende, 1.0218 = 1 + r r = 0.0218 r% = 2.18% c) Man har en ligning y = 205 1.0218 100 = 1.77mia Hermed har man en omfattende difference 2 1.77 = 0.23mia Slut på opgavesættet: maj 2007 MAT C Side 21 ud af 43

Opgave 2.035 Opgave 2.036 Metode 1) - Rentesregning a) Anvend renteformlen. K 10 = 15000 (1 + 0.024) 10 = 19014.759 Metode 2) - Eksponentiel a) Anvend y = b a x, hvor a = (1.024), så er b = 15000 y = 15000 1.024 x Indsæt 10 på x y = 15000 1.024 10 = 19014.759 Begge er ens, og det er fordi renteformlen stammer fra eksponentielle funktioner. Så ved man det. Med andre ord, efter 10år vil der stå 19014.759kr på kontoen. a) For at regne a og b, får man heldigvis givet nogle støttepunkter. Derved regnes tallene a og b nedenfor: a = y 2 y 1 x 2 x 1 = 8 2 2 ( 6) = 6 8 = 3 4 b = y 1 ax 1 = 2 3 13 ( 6) = 4 2 b = y 2 ax 2 = 8 3 4 2 = Så er forskriften (selvom tallene a og b var svar nok) y = 3 13 x + 4 2 Hvis man skulle have glemt formlerne for a og b, så kan man løse to ligninger med to ubekendte. Man har 8 = a 2 + b (1) 2 = a ( 6) + b (2) Isolér b i første udtryk (1). 8 = a 2 + b b = 8 2a Indsæt i (2) Indsæt oppe i (1). Altså er forskriften 2 = a ( 6) + (8 2a) 2 = 8a + 8 a = 3 4 8 = 6 13 + b b = 4 2 y = 3 13 x + 4 2 Hvor den approximerede form er a = 0.75 og b = 6.5 Side 22 ud af 43

Opgave 2.037 a) De kumulerede frekvenser regnes. 0 40 40 60 60 80 80 100 100 120 120 < 5% 21% 35% 25% 8% 6% 5% 26% 61% 86% 94% 100% Disse indskrives i WordMat s Excel program og man får 100% 75% 50% 25% 0% 0 20 40 60 80 100 120 140 b) Medianen, dvs. 50% viser, at folk har en boligstørrelse i etageegendommen på 53.71m 2 c) Omtrent 20% har en boligstørrelse på ca.77m 2 dvs. 100%-80%=20% Opgave 2.038 En figur er givet. a) Pythagoras anvendes, således man kan bestemme AB. AB 2 = AC 2 + BC 2 Værdierne indsættes. AB = 8 2 + 20 2 = 64 + 400 = 464 21.54 Altså kan man konkludere, at hypotenusen er 21.54 Vinkel B ønskes bestemt. Man kender alle længder og vinkel C, altså anvendes formlen B = sin 1 ( AC AB ) = sin 1 ( 8 21.54 ) = 21.802o Som er den ønskede vinkel. Man kan bestemme vinkel A meget nemt. 180 90 21.802 = 68.198 Altså er vinkel B = 21.802 o og vinkel A = 68.198 o Fortsættes næste side Side 23 ud af 43

Opgave 2.039 b) Man kender hypotenusen i denne vilkårlige trekant. Man kender endvidere AD og på sin vis også vinkel A. Derfra er det muligt at bestemme vinkel B. Vinkel A bestemmes. 180 68.198 = 111.802 Så vinkel A er bestemt til 111.802 o Dermed kan man anvende cosinusrelationerne til at bestemme BD hvorefter man igen kan bruge cosinusrelationerne til at bestemme vinkel B. BD = AD 2 + AB 2 2 AD AB cos(a) Værdierne indsættes og man får BD = 7.32 2 + 21.54 2 2 7.32 21.54 cos(111.802) 25.192 Så har man længden der gør, at vinkel B kan bestemmes B = cos 1 ( BD 2 + AB 2 AD 2 ) 2 BD AB Værdierne indsættes. B = cos 1 ( 25.1922 + 21.54 2 7.32 2 ) = 15.652 2 25.192 21.54 Altså er vinkel B bestemt til 15.652 o a) Der opstilles en rå model ud fra oplysningerne, men inden da regnes fremskrivningsfaktoren først. a = 1 + r Hvor r = 5.5%, altså er a = 1 + ( 5.5 100 ) = 1.055 Så er den eksponentielle voksende model y = 1222 1.055 x b) Så har man en ligning. 2100 = 1222 1.055 x 2100 1222 = 1.055x ln ( 2100 ) = x ln(1.055) 1222 ln (2100 x = 1222 ) = 10.1128 10 ln(1.055) Så i år 2013 vil antallet af konstaterede modermærkekræft være 2100. Side 24 ud af 43

Opgave 2.040 Opgave 2.041 Opgave 2.042 a) Modellen er givet over luftmodstanden på en accelererende bil. y = 0.035x 2 Man indsætter 80 og får y = 0.035 80 2 = 224newton b) Her regnes den procentvise ændring. Man anvender formlen F y = F x a Så indsættes værdierne. (1 + r y ) = (1 + 0.30) 2 1 + r y = 1.69 r y = 0.69 r y % = 69% Så hvis bilens fart øges med 30%, så øges luftmodstanden med 69% a) Man har en ligning. 300 = 200 (1 + r) 39 1.5 = (1 + r) 39 39 1.5 = 1 + r 39 r% = ( 1.5 1) 100% = 1.045% Så den gennemsnitlige årlige procentvise stigning er 1.045% a) Her har men med ligefrem proportionalitet, altså er det af formen P = k h Så er støttepunkterne 3450 = h 50 h = 3450 50 = 69 Så koster en 70mm P = 69 h Så er P = 69 70 = 4830 Så den koster altså 4830kr Så har man en ligning. 8970 = 69 h h = 8970 69 = 130 Man kan altså få en 130mm høj spalteannonce for 8970kr b) Man anvender formlen fra tidligere og får P = 69 h + 2710 Som er en lineære model. Slut på opgavesættet: august 2007 MAT C Side 25 ud af 43

Opgave 2.043 a) a Opgave 2.044 Opgave 2.045 a) Tallene a fortæller, at for hvert år der går, stiger omsætningen med 2.5 mia. kr. b fortæller, at i år 2000 var omsætningen på 10.5 mia. kr. b) Man indsætter 5 på x og får y = 2.5 5 + 10.5 = 23 Dvs. ifølge modellen er omsætningen i år 2005 på 23 mia. kr. Differencen imellem 26.8 og 23 er 3.8 mia. kr. hvilket er en stor afvigelse, derved må modellen forkastes! a) Oplysninger: K 0 = 8000, K 6 = 8877.62, n = 6 Renteformlen anvendes. 8877.62 = 8000 (1 + r) 6 8877.62 8000 = (1 + r)6 6 8877.62 8000 = 1 + r 6 r = ( 8877.62 1) 100% = 1.75% 8000 Så med en rente på 1.75 fås 8877.62kr på 6 år. Side 26 ud af 43

Opgave 2.045 <- Endnu en fejl fra opgavekommissionen. Opgave 2.046 a) Vinkel C bestemmes. cos(c) = HC AC Man indsætter sine værdier og får C = cos 1 ( 26 29 ) = 26.291 Hermed er vinkel C bestemt til C = 26.291 o Længden AH bestemmes nemt med Pythagoras. AH 2 + HC 2 = AC 2 Værdierne indsættes AH 2 + 26 2 = 29 2 AH 2 = 29 2 26 2 = 165 = 12.845 Altså er AH = 12.845 b) Man kan slå BH og HC sammen og så får man BC. Derved kan man anvende cosinusrelationerne for at få AB og endelig kunne bestemme vinkel A. AB = BC 2 + AC 2 2 BC AC cos(c) Så indsættes værdierne. AB = (26 + 13) 2 + 29 2 2 (26 + 13) 29 cos(26.291) = 18.275 Endelig bestemmes vinkel A. A = cos 1 ( AC 2 + AB 2 BC 2 ) 2 AC AB Værdierne indsættes. A = cos 1 ( 292 + 18.275 2 (26 + 13) 2 ) = 109.053 2 29 18.275 Så vinkel A blev altså 109.053 o a) Der opstilles en rå model ud fra oplysningerne, men inden da regnes fremskrivningsfaktoren først. a = 1 + r Hvor r = 40%, altså er a = 1 + ( 40 100 ) = 1.4 Så er den eksponentielle voksende model y = 7700 1.4 x b) Så har man en ligning. 25000 = 7700 1.4 x Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. x = 3.500008 Så i løbet af år 2009 vil antallet af internetbutikker være 25000. Side 27 ud af 43

Opgave 2.047 - Excel metode a) På baggrund af oplysningerne er det hermed muligt at skulle konstruere et histogram. Dette kan let gøres i Excel. Middeltallet bestemmes vha. alle observationer divideret med antal observationer. (75 13) + (125 26) + (175 8) + (225 8) + (275) + (325 4) m = = 150 60 Så middeltallet er altså m = 150 b) Øvre kvartil aflæses til at være ca. 187kr (svær at aflæse). Det betyder, at 75% af frimærker har en pris på 187kr pr. stk. eller mindre. Side 28 ud af 43

Opgave 2.047 - Maple metode a) s b) Øvre kvartil aflæses til at være ca. 187kr (svær at aflæse). Det betyder, at 75% af frimærker har en pris på 187kr pr. stk. eller mindre. Side 29 ud af 43

Opgave 2.048 Opgave 2.049 Modellen over pattedyr er givet ved y = b x a a) Tallene a og b bestemmes. 5.9 = b 70 a 5.9 a 1.5 = b 20 1.5 = 3.5a a = log ( 5.9 1.5 ) log(3.5) = 1.09317 Tallet b bestemmes. 5.9 = b 70 1.09317 5.9 b = = 0.05673 701.09317 Altså er modellen y = 0.05673 x 1.09317 b) Kropsvægten bestemmes. 787 = 0.05673 x 1.09317 787 0.05673 = x1.09317 Så elefantens kropsvægt er 6153.593kg 1.09317 x = 787 = 6153.593 0.05673 c) Her regnes den procentvise ændring. Man anvender formlen r y = ((1 + r x ) a 1) 100% Så indsættes værdierne. r y = ((1 + 0.5) 1.09317 1) 100% = 55.7749719% Altså er bengalkattens skeletvægten 55.77% større end siameserkattens skeletvægt. a) Ud fra oplysningerne opstilles en omvendt proportional model. F = k 1 l Her indsættes oplysningerne og man isolerer for k 1 880 = k k = 880 9.4 = 8272 9.4 Så bestemmes røret, som har en grundtone på 588Hz 588 = 8272 l = 8272 l 588 = 14.068 Altså skal rørets længde være 14.068cm for at man får en frekvens på 588Hz Slut på opgavesættet: december 2007 MAT C Side 30 ud af 43

Opgave 2.050 Opgave 2.051 Opgave 2.052 Opgave 2.053 a) Først bestemmes BC = a. a = c sin(a) Man indsætter sine oplysninger. Her er c = AB. a = 6.4 sin(37) = 3.851 Så anvendes Pythagoras til den sidste længde. Altså er 3.851 2 + b 2 = 6.4 2 b = 6.4 2 3.851 2 = 5.111 AC = 5.111 & BC = 3.851 a) Oplysningerne er givet, man har r = 2.75%, n = 7, K 7 = 8826.65 Så er renteformlen 8826.65 = K 0 (1 + ( 2.75 7 100 )) Ligningen løses for K0 vha. CAS-værktøjet WordMat. K 0 = 7300.004 Så for 8 år siden stod der 7300kr på kontoen. a) På baggrund af oplysningerne opstilles en rå model. y = 2900x + 165200 Der beskriver faldet af ledige i perioden april 2005 til november 2006 a) En person har taget amfetamin og modellen er givet y = 15 0.84 x Som er en eksponentiel aftagende model. Tallet 15 fortæller, at mængden ved første måling er 15mg amfetamin hvorefter det så vil aftage med 16% for hver time. 0.84 = 1 + r r = 0.16 r% = 16 b) Så indsættes x = 2 i modellen. y = 15 0.84 2 = 10.584 Efter 2 timer vil mængden være 10.584mg. Halveringstiden bestemmes. T1 2 = ln (1 2 ) ln(0.84) = 3.975 Så efter ca. 4 timer, er mængden af amfetamin halveret. Side 31 ud af 43

Opgave 2.054 a) De kumulerede frekvenser bestemmes på baggrund af frekvenserne. Alder 18-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70- Frekvens 19% 22% 31% 18% 8% 2% Kumulerede 19% 41% 72% 90% 98% 100% I Excel kan man indtegne sumkurven. Opgave 2.055 Nedre kvartil (25%) fortæller, at 32-årige eller yngre, er ejer af en motorcykel. Der er givet en model over en ørred. y = 0.00769 x 3.10 a) Ved indsættelse af 30 i modellen fås vægten. y = 0.00769 30 3.10 = 291.744 Så fisken vejer 291.744gram. b) Så løses en ligning mht. x, man har 500 = 0.00769 x 3.10 500 0.00769 = x3.10 3.10 x = 500 = 35.693 0.00769 Så er længden 35.693cm for en ørred med en vægt på 500gram. Fortsættes næste side Side 32 ud af 43

Opgave 2.056 c) Man finder den procentvise ændring i vægten. r y = ((1 + ( 15 3.10 100 )) 1) 100% = 54.228% Så hvis længden øges med 15%, så øges vægten med 54.228% a) Vinkel A bestemmes i denne geometrifigur. Formlen for det anvendes. Man indsætter tallene. Vinklen er A = 72.801 o A = tan 1 ( AH BH ) A = tan 1 ( 21 6.5 ) = 72.801o b) Der tegnes en tegning over den idé, man kunne bruge. Den nye trekant får nye øgenavne. Opgave 2.057 Så anvendes formlen b = c cos(a) Man indsætter værdierne. 8.5 8.5 = c cos(72.801) c = cos(72.801) 28.746 Så er hypotenusen bestemt. Altså kan man bestemme a, dvs. højden. a 2 + 8.5 2 = 28.746 2 a = 28.746 2 8.5 2 27.460 Højden er tilnærmelsesvis 27.460fod. a) Tallene a og b regnes. 80.3 78 a = 10 0 = 0.23 b = 78 0.23 0 = 78 Altså er modellen (med tallene a og b) y = 0.23x + 78 b) Så har man en ligning 81.5 = 0.23x + 78 81.5 78 = 0.23x x = Så i år 1995+15=2010 vil middellevetiden være 81.5 år Slut på opgavesættet: maj 2008 MAT C 81.5 78 0.23 = 15.217 Side 33 ud af 43

Opgave 2.058 Opgave 2.059 a) Man får oplyst følgende: n = 7, K 0 = 8700, r = 4.0% Så anvendes renteformlen. K 7 = 8700 (1 + ( 4 7 100 )) = 11448.606 Så efter 7 år med en rente på 4.0% vil man have 11448.606 kr. på kontoen. a) A b) b Side 34 ud af 43

Opgave 2.060 - WordMat edition a) Vinkel A bestemmes vha. WordMat s trekantsberegner. WordMat's trekantsløser anvendes med input: H = 90, BH = 9,5, AB = 16,2 54,1 A = 35,90335 B = 54,09665 H = 90 16,2 9,5 BH = 9,5 AH = 13,12212 AB = 16,2 35,9 13,1 90 Længden af siden AH findes vha. Pythagoras AH = AB 2 BH 2 = 16,2 2 9,5 2 = 13,12212 Vinkel A findes vha. sinus A = sin 1 ( BH AB ) = sin 1 ( 9,5 16,2 ) = 35,90335 Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180 i en trekant B = 180 H A = 180 90 35,90335 = 54,09665 SÅ ved den smarte anvendelse, blev vinkel A bestemt til 35.903 o b) Længden HC bestemmes vha. WordMat s trekantsberegner. WordMat's trekantsløser anvendes med input: H = 90, C = 21, HB = 9,5 69 H = 90 B = 69 C = 21 9,5 26,5 90 24,7 BC = 26,50907 HC = 24,74835 HB = 9,5 Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180 i en trekant B = 180 H C = 180 90 21 = 69 Længden af siden BC findes vha. sinus BC = HB sin(c) = 9,5 sin(21) = 26,50907 Længden af siden HC findes vha. tangens HC = HB tan(c) = 9,5 tan(21) = 24,74835 Altså er længden AC = HC + AH = 24,74 + 13.12 = 37.86 21 Side 35 ud af 43

Opgave 2.060 Opgave 2.061 Skulle man ikke kunne vide, at man kunne bruge WordMat, så er det også muligt at regne pr. håndkraft. a) Vinkel A bestemmes. A = sin 1 ( 9.5 16.2 ) = 35.90335 Hermed er vinkel A bestemt til at være 35.903 o b) Man kan bestemme AC ved at bestemme AH og HC. Her er AH lettest at starte med, da Pythagoras vil være en god idé. 9.5 2 + AH 2 = 16.2 2 AH = 16.2 2 9.5 2 = 13.122118 Så er længden AH bestemt. Så bestemme HC. Formlen anvendes: tan(c) = BH HC HC = BH tan(c) Så indsætter man sine oplysninger. HC = 9.5 tan(21) = 24.748346 Så længden af AC = HC + AC = 13.122118 + 24.748346 37.86 a) Der er givet to støttepunkter og tallene a og b regnes. Metode 1) 314 = b 160 a 314 a 30 = b 69 30 = 160 a 69 Så beregnes b. 314 = b 69 Altså er tallene a og b bestemt til a ln ( 160 69 ln( 314 30 ) ln( 69 ) = ln (314 30 160 ) b = 314 69 ln (314 a = 30 ) ln ( 160 2.7919235 69 ) 30 b = 0.0002203 ln( 314 30 ) ln( 160 69 ) ln( 314 30 ) ln( 160 69 ) 314 ln ( ) a = 30 ) 69 Metode 2) De sidste led i metode 1 er faktisk formlerne for a og b. a = log(y 2) log(y 1 ) log(314) log(30) = log(x 2 ) log(x 1 ) log(160) log(69) 2.7919235 b = y 1 x 1 a = 30 0.0002203 69 (log(314) log(30) log(160) log(69) ) Altså er forskriften y = 0.0002203 x 2.7919235 Fortsættes næste side ln ( 160 69 ) Side 36 ud af 43

b) Vægten bestemmes ved indsættelse af 130 cm i forskriften. y = 0.0002203 130 2.7919235 = 175.785 Altså vejer dyret 175.785kg. c) Vægten bestemmes efter en periode, hvor bringemålet er steget med 10%. Her er r x % = 10%, så findes r y %. r y % = ((1 + r x ) a 1) 100% Værdierne indsættes. Opgave 2.061 - Regression edition a) A r y % = ((1 + ( 10 100 )) 2.7919235 1) 100% = 30.486% Så hvis bringemålet øges med 10%, så stiger vægten med 30.5% b) A c) A Side 37 ud af 43

Opgave 2.062 a) Ud fra de oplysninger man har, er det muligt at aflæse kvartilsættet. Start: = 2 Nedre: 3+3 2 = 3 Median: = 4 Øvre: 6+6 2 = 6 Top: = 14 Altså er medianen 4 Middeltallet bestemmes for en ugrupperet observation. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 14 25 Altså er middeltallet M = 4.60 I Excel tegnes boksplottet over observationerne. Harry Potter HF bekendtgørelse 0 5 10 15 20 25 Opgave 2.063 Det ses, at der i HF-bekendtgørelsen er i højere grad flere ord, som er lange. Det ses, at medianen fra HF-bekendtgørelsen er øvre kvartil for Harry-Potter bøgerne. Altså er 75% eller mindre af ordene i Harry-Potter bøgeren ca. 6 bogstaver lange. I HF-bekendtgørelsen drejer det sig om 50% eller mindre, der har lange ord på 6 bogstaver. - Det giver klart mening, for en bekendtgørelse og skønlitteratur skrives i to forskellige kalibrer. Fælles for dem begge er, at der er or der har 2 og 3 bogstaver, som udgør hhv. start og nedre kvartil for dem begge. a) Tallet a omregnes. 1.023 = 1 + r r = 0.023 100 r % = 2.3% Dvs. I år 2000 var der 14 mio. indbyggere og dette forventes med at sige med ca. 2.3% om året. Side 38 ud af 43

Opgave 2.064 Opgave 2.065 Man får givet en formel for sammenhængen mellem m, d og h i en formel for den danske 10-krone. a) Så er m = k d 2 h Man indsætter sine værdier. 7 = k 23.35 2 2.3 7 = k 1254.01175 7 k = 1254.01175 = 0.005582 Hermed har man k = 0.005582 som er den ønskede værdi. a) Man har tabellen. Årstal 2000 2003 2006 Forbrug 7.3 x 9.4 Indekstal 100 114 y Man har nogle ligninger. Først for x. 7.3 100 = x 7.3 114 100x = 7.3 114 x = = 8.32200 114 100 Beregning for ligningen y sker på samme måde. 8.32200 = 9.4 114 y Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat. y = 128.7671 Altså er den nye tabel Årstal 2000 2003 2006 Forbrug 7.3 8.322 9.4 Indekstal 100 114 128.767 b) Man anvender renteformlen. 9.4 = 7.3 (1 + r) 6 Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat. r = 2.04304 r = 0.04303968 Så forkastes den negative værd. Den positive ganges med 100 og man har den gennemsnitlige ændring. r % = 0.04303968 100 = 4.303968% Slut på opgavesættet: august 2008 MAT C Side 39 ud af 43

Opgave 2.066 Opgave 2.067 a) Man regner det beløb der står om 6 år. Man har K 0 = 10000, n = 6, r = 2.5% så indsættes det i renteformlen. K n = 10000 (1 + ( 2.5 100 )) Så efter 6 år står der omtrent 11596.934kr b) Metode 1) Man har en ligning. 6 = 11596.934 20000 = 10000 (1 + ( 2.5 n 100 )) 20000 10000 = (1 + 0.025)n 2 = 1.025 n ln(2) = n ln(1.025) n = ln(2) ln(1.025) = 28.07 Så efter 28 år vil beløbet være fordoblet. Metode 2) Man anvender fordoblingskonstanten. T 2 = Så efter 28 år vil beløbet være fordoblet. ln(2) ln(1.025) = 28.07 a) Højden BC = a, så man har formlen. a = b tan(a) Man indsætter tallene. a = 140 tan(42.9) = 130.096 Så har man højden BC = 130.096cm Længden AB = c kan bestemmes. Så er c = a sin(a) c = 130.096 sin(42.9) = 191.115 Altså har man længden AB = 191.115cm Pythagoras kunne også anvendes. 130.096 2 + 140 2 = AB 2 AB = 191.115 Altså vil man få det samme. Fortsættes næste side Side 40 ud af 43

Opgave 2.068 Opgave 2.069 b) Her bestemmes vinkel E. Man kan se, at højderne BC og DF er ens. Så har man formlen for vinkel E. E = sin 1 ( DF EF ) Så indsættes oplysningerne. E = sin 1 ( 130.096 166 ) = 51.601 Altså er vinkel E = 51.601 o a) Der opstilles en model ud fra oplysningerne og man har f(x) = 1300x + 7600 Som beskriver de danskere, der har en årlig indkomst på en million. Dette forventes voksende for hvert år der går. b) Man indsætter 9 på x s plads. f(9) = 1300 9 + 7600 = 19300 Så har man en ligning. 23000 = 1300 x + 7600 23000 7600 = 1300x 15400 = 1300x 15400 1300 = x x = 11.846 Så i år 2012 vil der være 23000 danskere med en indkomst på 1 mio. kr. a) Der er givet en tabel over pædagogstuderende i Danmark. Man antager, at basisåret er 1996. År 1996 2006 Antal 17229 19373 Indekstal 100 p Så løser man en ligning for p. 17229 100 = 19373 100 19373 17229 p = 100 19373 p = = 112.444 p 17229 Så er indekstallet i år 2006 112.444 Side 41 ud af 43

Opgave 2.070 a) Man får oplyst et skema med støttepunkter. Så beregner man en forskrift. x2 x1 a = y 2 y 1 4 0 = 50118 = 1.091122 35359 b = y 1 a x = 35359 1 1.091122 0 = 35359 Så er forskrift P(t) = 35359 1.091122 t Hvor P er antal personrejsende og t er tiden, målt i år. b) Så indsætter man t = 6 i modellen. P(6) = 35359 1.091122 6 = 59667.775 59668 Det ses, at differencen mellem er enorm høj. Den er 67159 59668 = 7491 67159 59668 ( ) 100% = 11.15% 67159 Så den afviger faktisk med 11.15% derfor må modellen efter år 2005 forkastes. Opgave 2.071 a) Der er givet en funktion over en bestemt bladfjeder. T(x) = 0.28 x 1.5 Man indsætter 0.5 på x. T(0.5) = 0.28 0.5 1.5 = 0.09899 Så er svingningstiden ca. T = 0.09899s b) Da der er tale om en potensfunktion, har man formlen a F y = F x Så har man (1 + r y ) = (1 + ( 20 1.5 100 )) 1 + r y = 1.31453 r y = 0.31453 100 = 31.453% Så svingningstiden vokser med 31.453%. Side 42 ud af 43

Opgave 2.072 a) Boksplottene tegnes i Excel og man får Person 2 Person 1 Opgave 2.073 Opgave 2.074 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Det ses, at person 2 er generelt bedre til at ramme skydeskiven end person 1. Men person 1 kan dog være heldig ramme i enkelte tilfælde, hvor person 2 aldrig rammer det samme sted. Person 1 kommer altså tættest på skydeskiven, da vedkommende er ca. 4 mm. fra. Her er person 2 8mm. fra. a) Man har formlen for lygten. Så indsættes 20 i x. Så har man en ligning. l = 21462 x 2 l = 21462 20 2 = 53.655μW/m 2 95 = 21462 x 2 95 x 2 = 21462 x 2 = 21462 95 x = 21462 = 15.030 95 Så lysstyrken er 95μW/m 2 når afstanden er 15.030cm a) Der opstilles en tabel. Vægt 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 Frekvens 8% 18% 39% 30% 5% Omregnet 0.08 0.18 0.39 0.3 0.05 Så bestemmes middeltallet. (0.08 50) + (0.18 70) + (0.39 90) + (0.3 110) + (0.05 130) Så er middeltallet Slut på opgavesættet: december 2008 MAT C 1 M = 91.2 = 91.2 Side 43 ud af 43