Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold 1 Introduktion 1 1.1 Om at identificere koefficienterne........... 2 2 Løsningsmetode 1 5 2.1 Om formler En advarsel............. 8 3 Løsningsmetode 2 9 3.1 Kvadrater........................ 9 3.2 At færdiggøre et kvadrat................ 13 3.3 Fremgangsmåde..................... 15
Resumé I dette dokument skal vi se hvordan man løser andengradsligninger. Der gives to forskellige løsningsmetoder. Den sidste er både den sværeste og den mest nyttige at lære. 1 Introduktion Vi starter med en definition af hvad vi vil snakke om: Definition 1 En andengradsligning er en ligning af typen: a x 2 + b x + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0, og x er den ukendte størrelse. De tre tal, a, b og c omtales som koefficienterne i andengradsligningen. Som sædvanligt vil vi udelade gangetegnene, så ligningen kommer til at se sådan ud: ax 2 + bx + c = 0 Eksempel 1 Når f.eks. a = 1, b = 2 og c = 3 har vi ligningen: x 2 + 2x + 3 = 0 Bemærk at når a, b og c er negative, så kan ligningen se lidt anderledes ud. Hvis f.eks. a = 1, b = 2 og c = 4 svarer det til ligningen: x 2 2x 4 = 0 side 1
Forudsætninger: Inden du læser dokumentet skal du kunne læse et kompliceret regneudtryk, og du skal vide hvad en ligning er 1. Desuden skal du være rimeligt rutineret i at løse simple ligninger 2 for at forstå den sidste af metoderne. 1.1 Om at identificere koefficienterne Det kan nogle gange være en udfordring at gennemskue hvilke tal der spiller rollen som koefficienterne, a, b og c i en given andengradsligning. Det giver vi lige nogle eksempler på: Eksempel 2 (Fortegn) Det første problem kan være fortegnet af koefficienterne. Bemærk at løsningsmetoden handler om ligninger af typen: ax 2 + bx + c = 0 altså hvor der står plus imellem alle leddene! Det betyder at ligningen: 5x 2 2x 6 = 0 ikke umiddelbart er af den rigtige type. Men hvis man tænker på alle minus-operationerne som et fortegnsskift og et plus 3, kan man skrive ligningen som: ( 5)x 2 + ( 2)x + ( 6) = 0 og nu er det meget nemt at genkende at ligningen som en andengradsligning af den omtalte type, nemlig med koefficienterne: a = 5, b = 2 og c = 6 1 Læs om udtryk og ligninger her 2 Læs om løsning af simple ligninger her side 2
Eksempel 3 (Nuller og ettaller) Nogle gange kan tingene blive så nemme at man bliver forvirret. Læg mærke til at hvis en af koefficienterne er lig 1, så behøver man ikke skrive den. Således er ligningen: præcis den samme som: x 2 x + 2 = 0 1x 2 1x + 2 = 0 Hvis man møder ligningen på den første form kan man nogle gange have svært ved at gennemskue at koefficienterne er: a = 1, b = 1 og c = 2 Nogle elever kan endda finde på at tro at a eller b er nul, fordi de slet ikke er der. Derfor er det en god ide selv at gange nogle usynlige et-taller på de led som ikke har en koefficient. Tilsvarende kan det også volde problemer hvis en af koefficienterne er lig nul. (Bemærk at a aldrig må være nul, fordi der slet ikke er tale om en andengradsligning i det tilfælde.) F.eks. er ligningen: 2x 2 = 0 præcis den samme som: 2x 2 + 0x + 0 = 0 Men hvis man skriver de to usynlige nuller bliver det meget lettere at gennemskue hvad de enkelte koefficienter er. side 3
Eksempel 4 (Omskrivninger) Et sidste problem er at mange andengradsligninger opstår på en form som slet ikke ligner den rigtige. Betragt f.eks. ligningen: 6x 2 + 4 x 5x 2 + 2x = 4 Den er slet ikke på den rigtige form: Der er alt for mange led, og der står ikke nul på højresiden af lighedstegnet. Dette kan dog hurtigt ordnes ved at lave nogle omskrivninger af ligningen: 6x 2 + 4 x 5x 2 + 2x = 4 dvs. (Idet vi trækker 4 fra begge sider): 6x 2 + 4 x 5x 2 + 2x 4 = 0 dvs. (Idet vi ombytter nogle led): 6x 2 5x 2 x + 2x + 4 4 = 0 dvs. (Idet samler led af samme type): x 2 + 1x + 0 = 0 Og nu er ligningen på den rigtige form. side 4
2 Løsningsmetode 1 Den første løsningsmetode kaldes normalt for diskriminantformlen. Det er fordi den benytter en hjælpestørrelse som vi kalder diskriminanten 4. Definition 2 Til en andengradsligning: ax 2 + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse, knytter vi en hjælpestørrelse ved navn diskriminanten. Den er defineret ved: d = b 2 4ac Eksempel 5 Hvis f.eks. a = 3, b = 2 og c = 1, så ser andengradsligningen ud som følgende: 3x 2 2x 1 = 0 og ligningens diskriminant er lig med: d = b 2 4ac = ( 2) 2 4 3 ( 1) = 4 ( 12) = 16 Bemærk at man skal passe godt på med fortegnsfejl når man beregner diskriminanter. 4 Ordet diskriminant er i familie med det kendte ord at diskriminere som betyder at forskelsbehandle eller gøre forskel. Og det er netop hvad diskriminanten gør: Den sørger for at vi behandler andengradspolynomiet forskelligt, alt efter om diskriminanten er positiv, negativ eller nul. side 5
Sætning 1 En andengradsligningen af formen: ax 2 + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse har enten 2 løsninger, 1 løsning eller slet ingen løsninger. Diskriminanten: d = b 2 4ac afgør antallet af løsninger: Hvis d < 0 er der ingen løsninger. Hvis d = 0 er der 1 løsning. Hvis d > 0 er der 2 løsninger. Eksempel 6 Ligningen fra eksempel 5 har således 2 løsninger. Sætning 2 En andengradsligning af formen: ax 2 + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse har følgende løsninger: Hvis d = b 2 4ac er negativ er der ingen løsninger. Hvis d = b 2 4ac er lig nul er den eneste løsning givet ved: x = b 2a side 6
Hvis d = b 2 4ac er positiv er de to løsninger givet ved: x = b ± d 2a Eksempel 7 Vi kan bestemme de to løsninger til ligningen fra eksempel 5: og: x 1 = ( 2) + 16 2 3 = 2 + 4 6 = 1 x 2 = ( 2) 16 = 2 4 = 1 2 3 6 3 (Prøv selv at indsætte disse to værdier i ligningen for at se at de er løsninger.) Der er flere måder at skrive konklusionen på. Ovenfor har vi valgt at give de to løsninger hver sit navn hvilket er meget fornuftigt hvis de skal bruges senere. Alternativt kunne man også bare have skrevet de mulige løsninger til ligningen som at: x = 1 x = 1 3 Bemærk at det er lidt sværere at få mellemregningerne til at passe med denne opskrivning. Øvelse 1 Løs følgende andengradsligninger: 3x 2 + 6x + 1 = 0 side 7
Find selv på flere... 2x 2 + x + 10 = 0 x 2 + 2x + 1 = 0 x 2 + x + 2 = 0 2.1 Om formler En advarsel Nu kan vi løse andengradsligninger. Og hvad så? Det kunne lommeregneren allerede i forvejen, og ved at indtaste ligningen direkte i lommeregneren, slipper man endda for at skulle identificere koefficienterne. Det er en ufatteligt udbredt misforståelse at matematik handler om at finde den rigtige formel og sætte tal ind! Hvis man overførte denne opfattelse til en pilotuddannelse, ville det svare til at de nye piloter lærte udenad i hvilken rækkefølge de skulle trykke på knapper og trække i håndtag for at flyve fra København til Moskva. Uden de nogensinde fik forklaret hvad de enkelte knapper og håndtag gjorde ved flyet. Personligt ville jeg ikke bryde mig om at flyve med en sådan pilot hvis der skulle ske noget uforudset. Eller hvis jeg i virkeligheden ikke skulle til Moskva. Det interessante er selvfølgelig ikke at regne løsningerne ud til en konkret ligning, men derimod at forstå hvorfor løsningerne opfører sig på den måde som de gør, og hvordan løsningsmetoden er opstået, fordi det er dén slags lærdom som senere kan bruges til at forstå andre situationer. For at komme i nærheden af en sådan forståelse er der en anden løsningsmetode, som vi vil gennemgå i næste afsnit. Præcis den samme metode viser sig at kunne genbruges i forbindelse med arbejdet med cirkler i planen. side 8
3 Løsningsmetode 2 Den anden løsningsmetode er ikke en formel, men derimod en teknik til at omskrive en andengradsligning til en simpel ligning. Derefter kan den løses ved hjælp af fremgangsmåden for simple ligninger. Hele teknikken bygger på følgende begreb: 3.1 Kvadrater Tricket som vi skal bruge tager udgangspunkt i de to første kvadratsætninger: Sætning 3 (Kvadratsætning 1) For vilkårlige reelle tal, a og b gælder: (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b. Sætning 4 (Kvadratsætning 2) For vilkårlige reelle tal, a og b gælder: (a b) 2 = a 2 + b 2 2 a b. Disse to sætninger siger at hvis man nogensinde ser en parentes med to led (enten en sum eller en differens) hvor hele parentesen er opløftet i anden potens, så kan det omskrives til det første led i anden potens plus det andet led i anden potens plus (eller minus) det såkaldte dobbelte produkt af de to led; Altså de to led ganget sammen og ganget med 2. side 9
Definition 3 I det følgende vil vi omtale en sådan parentes med to led, hvor hele parentesen er opløftet i anden potens, som et kvadrat 5. og F.eks. kan vi udregne kvadraterne: (1 + 2) 2 = 1 2 + 2 2 + 2 1 2 = 1 + 4 + 4 = 9 (6 4) 2 = 6 2 + 4 2 2 6 4 = 36 + 16 48 = 4 Indtil videre er kvadratsætningerne bare en ekstra besværlig måde at regne regnestykker ud på. Men det bliver mere interessant når det ene led er en ukendt størrelse. F.eks. er: (x + 3) 2 = x 2 + 3 2 + 2 x 3 = x 2 + 6x + 9 Pointen i den metode som hedder at færdiggøre kvadratet 6 er at man kan bruge denne omskrivning baglæns! Det betyder, at hvis man nogensinde møder følgende udtryk: så ved vi at det kan omskrives til: x 2 + 6x + 9 (x + 3) 2 (hvis vi ellers kan huske at have lavet udregningen ovenover). Det samme kan gøres med mange andre udtryk som ofte findes på venstre side af lighedstegnet i en andengradsligning. 6 På engelsk: finishing the square. Det bliver senere klart hvorfor metoden hedder sådan side 10
Øvelse 2 Omskriv udtrykket: til et kvadrat. x 2 6x + 9 Desværre er det ikke alle udtryk af typen: ax 2 + bx + c som kan omskrives til et kvadrat. Lad os se hvad der kommer ud af kvadratsætningerne hvis man vælger et tilfældigt tal, t og udregner udtrykket: (x + t) 2 = x 2 + t 2 + 2tx = x 2 + (2t)x + (t 2 ) Hvis dette skal være lig med et udtryk af typen: kan vi altså se at: ax 2 + bx + c 1. Koefficienten a skal være lig med 1. 2. Koefficienten b skal være lig med 2t 3. Koefficienten c skal være lig med t 2 Det første krav er ganske klart. Men de to andre krav hænger sammen: Man skal altså kunne vælge t sådan at begge krav er opfyldt på en gang. Ellers kan omskrivningen ikke lade sig gøre. Eksempel 8 Betragt udtrykket: x 2 9x + 81 4 side 11
Eftersom koeffecienten foran x 2 er lig 1, er det første krav i orden. Hvis det andet krav skal opfyldes, er vi nødt til at sætte t til at være halvdelen af 9, altså 9. 2 Nu er det så spørgsmålet om dette passer med det tredie krav. Vi udregner: ( t 2 = 9 ) 2 = 81 2 4 Så det passer perfekt! Vi kan altså omskrive vores udtryk til: ( ( x + 2)) 9 2 ( = x 9 ) 2 2 (Kontroller selv at dette passer ved at bruge en kvadratsætning forlæns.) Øvelse 3 Omkriv følgende udtryk til kvadrater: 1. x 2 + 8x + 16 2. x 2 8x + 16 3. x 2 + 7x + 49 4 4. x 2 x + 1 4 Til gengæld kan ingen af følgende udtryk omskrives til et kvadrat: 3x 2 + 2x + 1 x 2 + 6x + 2 x 2 6x + 2 x 2 + 6x 9 side 12
Det første kan allerede udelukkes fordi koefficienten foran x 2 ikke er 1 (den er lig 3). Det næste udtryk kan udelukkes fordi der ikke findes noget tal t som både giver 6 når det ganges med 2 og giver 2 når det opløftes i anden potens. (t skulle jo være lig 3 for at det første skulle passe, og 3 2 giver ikke 2.) Det tredie kan på samme måde udelukkes fordi t her skulle være 3 for at sikre at 2t blev 6, men ( 3) 2 giver ikke 2. Det sidste udtryk kan udelukkes øjeblikkeligt fordi der ikke findes noget tal t der giver 9 når det opløftes i anden potens. 3.2 At færdiggøre et kvadrat Lad os kigge på udtrykket: x 2 + 6x + 2 I sidste afsnit så vi at dette ikke kunne omskrives til et kvadrat, altså et udtryk af typen: (x + t) 2 hvor t er et passende valgt tal. Dette var fordi t både skulle opfylde at 2t = 6 og t 2 = 2, og det kunne ikke lade sig gøre. I stedet findes der et trick som kaldes at færdiggøre kvadratet. Det går ud på følgende: I det omtalte eksempel kunne vi sætte t til at være halvdelen af 6, altså t = 3. Dette ville dog ikke passe med kravet om at t 2 = 2, fordi t 2 giver 9. Tricket er nu at vi lægger 9 til og trækker 9 fra! Vi skriver altså udtrykket som: x 2 + 6x + 9 9 + 2 Kan du se hvorfor det er smart? For det første har vi intet ændret på udtrykket: Hvis man lægger 9 til og trækker 9 fra bagefter har man intet gjort. Men for det andet har vi nu de tre første led som passer perfekt med et kvadrat. Derfor kan vi omskrive: x 2 + 6x + 2 = x 2 + 6x + 9 9 + 2 = (x + 3) 2 9 + 2 = (x + 3) 2 7 side 13
Vi har altså omskrevet det oprindelige udtryk til et kvadrat plus et tal der blev til overs (i dette tilfælde 7). Denne proces kaldes at færdiggøre kvadratet, og det kan lade sig gøre med alle udtryk af typen: ax 2 + bx + x hvis blot a = 1. Eksempel 9 Betragt udtrykket: x 2 5x + 8 Hvis dette skulle omskrives til et kvadrat: (x + t) 2 så ville t = 5 2 umiddelbart passe med at det dobbelte produkt giver: 2tx = 5x Desværre giver t 2 ikke 8, men derimod: t 2 = ( 5 ) 2 = 25 2 4 Derfor omskriver vi det oprindelige udtryk til: x 2 5x + 8 = x 2 5x + 25 4 25 4 + 8 Og nu passer de tre første led perfekt med et kvadrat. Derfor kan vi omskrive til: side 14
x 2 5x + 8 = x 2 5x + 25 4 25 4 + 8 ( ( = x + 5 )) 2 25 2 4 + 8 ( = x 5 ) 2 25 2 4 + 32 4 ( = x 5 ) 2 + 7 2 4 Øvelse 4 Færdiggør kvadratet i følgende udtryk: x 2 + 2x + 19 x 2 + 6x + 2 x 2 6x + 2 x 2 + 6x 9 x 2 + x 3.3 Fremgangsmåde Nu kan vi give en fremgangsmåde som kan bruges til at løse andengradsligninger, uden brug af formler: Sætning 5 Enhver andengradsligning af typen: ax 2 + bx + c = 0 side 15
hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse kan løses efter følgende fremgangsmåde: 1: Divider med a på begge sider. 2: Færddiggør kvadratet. 3: Løs en simpel ligning. Husk at tage højde for at der kan være to løsninger. Eksempel 10 Vi vil løse ligningen: 3x 2 + 9x 15 = 0 Vi starter med at dividere med 3 på begge sider. Dermed ser ligningen ud på følgende måde: x 2 + 3x 5 = 0 Herefter sætter vi t til at være 3 2 og udregner: t 2 = 9 4 Dette lægges til og trækkes fra i udtrykket på venstre side: x 2 + 3x + 9 4 9 4 5 = 0 De tre første led er et kvadrat, så vi omskriver: ( x + 3 2) 2 9 4 5 = 0 dvs. ( x + 3 ) 2 29 2 4 = 0 side 16
dvs. ( x + 3 ) 2 = 29 2 4 dvs. x + 3 29 2 = 4 x + 3 29 2 = 4 dvs. x = 29 4 3 29 2 x = 4 3 2 Øvelse 5 Løs ligningerne fra opgave 1 ved anvendelse af løsningsmetode 2. side 17