Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012
Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2)
Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af differentialkvotient og tangent...6 Tangenthældninger...7 Den afledte funktion...7 Beregning af differentialkvotienter...8 Den konstante funktion...8 Bevis...8 Den lineære funktion...8 Bevis...8 Andengradspolynomiet...9 Sætning...9 Bevis...9 Tredjegradspolynomium...10 Funktionen f(x) = 1/x...10 Bevis...10 Kvadratrodsfunktionen...10 Bevis...10 Andre polynomier...11 Regnereglerne...12 Øvelse...12 Tangenter...12 Type 1: kendt x-værdi...12 Type 2: kendt y-værdi...13 Type 3: kendt tangenthældning...14 Øvelser...16
Differentiering 4
Differentiering 5 Introduktion Differentialregning handler bl.a. om at undersøge, hvorledes funktioner vokser. Hvis der er tale om en lineær funktion, kan væksten beskrives med Δ y=a Δ x hvor det græske bogstav store delta betyder en differens (i hhv. y- og x-værdier). Åbn linket http://mimimi.dk/mixi/dif/dif_2.html og eksperimenter med skyderne: Kontroller, at når Δ x vokser og a > 0, vokser Δ y også Hvad kaldes sammenhængen mellem de to variable: Δ x og Δ y? Hvilken betydning har a for væksten? Hvor stor er Δ y, hvis Δ x=1? Hvor stor er Δ y, hvis Δ x=0? Hvorfor giver det mening at kalde a væksthastigheden Hvis du både kender Δ x og Δ y, er du så i stand til at beregne a? Vis hvordan i et eksempel! Gælder det i alle tænkelige eksempler? Forestil dig at du kører med konstant hastighed ud ad en uendelig lang landevej, at tiden måles med variablen x, at den kørte afstand svarer til f(x). Hvad fortæller parameteren a om køreturen? Det er vigtigt at erkende, at hver gang vi taler om at en bil NU kører med en bestemt hastighed som fx 75 km/time, skal vi benytte to målinger: en afstandsmåling og en tidsmåling. Det kunne i eksemplet være afstanden 75 km og tiden 1 time. Vi taler dog også om at køre med den hastighed, selvom der ikke er tale om at køre en hel time, men fx at køre 25 km på 20 minutter. Men hvis vil vil måle hastigheden i et NU, bliver begge målinger 0, og hastigheden lader sig ikke bestemme umiddelbart: enhver hastighed passer ind i ligningen: Δ y=a Δ x. Men når vi for alle afstande på hele køreturen måler den samme hastighed, vil vi tillade os at sige, at NU kører vi også med 75 km/time. For en lineær funktion gælder det, at for enhver x-værdi (i definitionsmængden) er væksthastigheden = a Men biler kører ikke altid med samme hastighed og der findes mange andre funktionstyper end de lineære.
Differentiering 6 Den følgende graf viser en ikke lineær vækst (og bemærk: Δ y kan være negativ). Vi vil gerne beskrive væksthastigheden, når x = 0, men det kunne lige så godt være for enhver anden x-værdi. Vi kunne som her tegne en sekant, for derefter at beregne væksthastigheden for denne; i sekantens endepunkter er der jo sammenfald med grafen og funktionens vækst og sekantens vækst er identiske. Sekanthældningen er en slags gennemsnitsvæksthastighed for funktionen. Følg linket her for at lave nedenstående øvelser: http://mimimi.dk/mixi/dif/dif_3.html Peg med musen på et af sekantens endepunkter og træk det langs med grafen Bemærk, hvorledes sekanthældningen ændres Modsat hvad der gælder for den lineære funktion, får vi her mange forskellige væksthastigheder. Men lad os undersøge, hvad der sker, hvis begge endepunkters x- værdier ligger i intervallet [- 0,4 ; +0,4]. Noter 10 forskellige hældningskoefficienter for sekanter, hvor endepunkterne opfylder ovenstående betingelse. Gentag eksperimentet, men vælg i stedet for intervallet [-0,2 ; +0,2]. Kan du lave intervallet så lille, at alle hældninger for sekanter med endepunkter over dette interval højst afviger 0,005 fra 1,5? Du svarer forhåbentlig ja! og kan finde intervaller, der er små nok. Så er situationen næsten den samme som for den lineære funktion: For alle afstande (der er tilstrækkelig små) har vi (næsten) den samme væksthastighed. Og jo mindre intervallet bliver, jo mere nærmer vi os et bestemt tal. Dette tal er grænseværdien og kaldes differentialkvotienten i 0. Vi ville få det samme resultat, selv om vi nøjedes med at se på sekanter, der havde det ene endepunkt i A. Definition af differentialkvotient og tangent Lad P=(x 0 ; f (x 0 )) og Q=(x 0 +h ; f ( x 0 +h)) Differentialkvotienten for f i x 0 er grænseværdien for sekanthældninger, når h 0 Det skrives: f ' ( x 0 )=lim f (x +h) f (x ) 0 0 =lim f (x +h) f ( x ) 0 0 (x 0 +h) ( x 0 ) h Linjen gennem P med fældningen f ' ( x 0 ) kaldes tangenten i P.
Differentiering 7 Tangenthældninger Prøv at følge linket herunder under og eksperimenter med konstruktionen som beskrevet i øvelsen her 1 : Peg med musen på punktet X, der er bundet til x-aksen Flyt punktet frem og tilbage Bemærk, at punktet A flytter sig samtidigt og altid har samme x-værdi som X, men altid ligger på grafen for funktionen f. I A er der tegnet en tangent til grafen, som flytter sig sammen med A. I algebravinduet kan du finde sammenhørende værdier af x-værdien i A og hældningskoefficienten for tangenten i netop dette punkt. Lav en tabel med disse tal i regnearket for x = -2, -1, 0,, 7, 8 i 1. kolonne og hældningerne i 2. kolonne. Lav en liste af punkter baseret på tabellen. Overvej: vi har defineret en ny funktion der fortæller om f-funktionens tangenters hældninger. Kan du genkende grafens type? Du skal finde funktionen og tegne grafen gennem de nye punkter med kommandoen: g(x)=fitpoly[liste1,2] forudsat at du ikke har lavet flere lister. Giv den nye graf en speciel farve, fx lilla. Beregn en funktionsværdi med kommandoen g_9=g(9) Flyt punktet X til x-værdien 9 og aflæs tangentens hældning; sammenlign med resultatet g(9). Link: http://mimimi.dk/mixi/dif/dif_1.html Den afledte funktion Lad f (x) være en funktion, hvor vi for enhver x-værdi kan finde differentialkvotienten. Så betegner vi med f ' ( x) den funktion, der for en givet x-værdi har differentialkvotienten som y-værdi. f ' ( x) kaldes den afledte funktion. Funktionen f siges at være differentiabel. Du kan sikkert nemt se, at en nødvendig betingelse for at en funktion har en afledt funktion er, at den er kontinuert (dvs. sammenhængende.) Ligeledes skal den være glat: grafen må ikke have spidser. Fx vil f (x) = x ikke være differentiabel, fordi hældningerne på sekanterne i nærheden af (0,0) ikke nærmer sig et bestemt tal uanset hvor lille intervallet bliver. 1 Konstruktionen forudsætter, at Java er installeret på din PC
Differentiering 8 Beregning af differentialkvotienter Den konstante funktion Funktionen f er givet ved: f ( x)=k Den afledte funktion er da: f ' ( x)=0 Bevis En konstant funktion vokser ikke; derfor bliver enhver sekanthældning = 0. Den lineære funktion f ' ( x)=0. Man kan også se det af, at Funktionen f er givet ved: f ( x)=ax +b Den afledte funktion er da: Bevis Vi vil introducere en bevisteknik, der kaldes tre-trins metoden. Udgangspunktet er P=( x ; f (x)) samt et nabopunkt: Q=(x+h; f ( x+h)). I II f ' ( x)=a Først findes Δ y med formlens forskrift og reduceres så vidt muligt) Dernæst findes sekantens hældningskoefficient: omskrives Δ y Δ x III Endelig findes grænseværdien (kaldet limes) når h nærmer sig 0 I II III, som også reduceres / Δ y= f (x+h) f (x)=a (x+h)+b (ax+b)=a x+a h+b ax b=a h Δ y Δ x = a h h =a lim Δ y Δ x = lim a h 0 =a h 0 At differentialkvotienten altid er lig med grafens hældningskoefficient, skulle ikke være nogen overraskelse. Tangenten i ethvert punkt på grafen vil også være sammenfaldende med grafen!
Differentiering 9 Andengradspolynomiet Lad os starte med et taleksempel: vi vil finde differentialkvotienten for x=4. Funktionen vi undersøger er f (x)=x 2 Trin I Δ y= f (4+h) f (4)=(4+h) 2 4 2 =(16+h 2 +2 4 h) 16=16+h 2 +8h 16=h 2 +8h Trin II Δ y Δ x = h2 +8 h =h+8 h Trin III lim Δ y Δ x = lim h+8 h 0 =8 h 0 f ' (4)=8 På helt tilsvarende måde kan differentialkvotienten findes for en vilkårlig x-værdi. Dermed findes også forskriften for den afledte funktion. Sætning Funktionen f er givet ved: f (x)=x 2 Den afledte funktion er da: f ' ( x)=2 x Bevis Trin I Δ y= f (x+h) f (x)=( x+h) 2 x 2 =(x 2 +h 2 +2 x h) x 2 =x 2 +h 2 +2 x h x 2 =h 2 +2 x h Trin II Δ y Δ x = h2 +2 x h =h+2 x h Trin III lim Δ y Δ x = lim h+2 x =2 x h 0 h 0
Differentiering 10 Tredjegradspolynomium Find på nøjagtigt samme måde en forskrift for den afledte funktion i dette tilfælde Funktionen f(x) = 1/x Funktionen f er givet ved: f (x)= 1 x Den afledte funktion er da: f ' ( x)= 1 x 2 Bevis Trin I Δ y= f (x+h) f (x )= 1 ( x+h) 1 x = x x (x +h) (x+h) x ( x+h) = x ( x+h) x ( x+h) = x x h x (x+h) = h x (x+h) Trin II Δ y Δ x = Trin III lim Δ y Δ x = h 0 h x (x+h) = h lim 1 1 x ( x+h) = 1 1 x ( x+h) x ( x+h) h 0 = 1 x 2 Kvadratrodsfunktionen Funktionen f er givet ved: f ( x)= ( x) Den afledte funktion er da: f ' ( x)= 1 2 ( x) Bevis Trin I Δ y= f (x+h) f (x)= ( x+h) (x) Trin II Δ y Δ x x+h) x) =( ( = h ( ( x+h) x) ( (x+h)+ x) = (x+h) x h ( ( x+h)+ x) h ( (x+h)+ x) = ( x+h) x h ( ( x+h)+ x)
Differentiering 11 Trin II fortsat... Δ y Δ x = h h ( ( x+h)+ x) = 1 (x+h)+ x Trin III lim Δ y Δ x = lim 1 h 0 Andre polynomier Funktionen f er givet ved: Den afledte funktion er da: f ' ( x)=n x n 1 (x+h)+ x h 0 = 1 2 ( x) f (x)=x n
Differentiering 12 Regnereglerne Lad der være givet 2 differentiable funktioner f og g og et reelt tal k. Vi kan nu danne nogle nye differentiable funktioner, med afledede funktioner som det fremgår af nedenstående tabel. Mht. skrivemåde bruges betegnelserne for funktionen h(x) i flæng; enten h(x) = (f+g)(x) eller h(x)= f(x) + g(x). Tilsvarende gælder for differens af funktioner, produkt og kvotient. (Mht. den sidste definition gælder det, at definitionsmængden ikke indeholder nævnerens nulpunkter, hvilket tit antages uden at det nævnes eksplicit.) Regel nr. Funktion Afledt funktion Huskeregel 1 ( f ±g)( x) ( f ' ±g ')( x) I flerleddede størrelser differentieres hvert led for sig1 2 (k f )(x) (k f ')( x) I et produkt af et tal og en funktion differentieres funktionen og konstanten bevares 3 ( f g)(x) ( f ' g)( x)+( f g ' )(x) Et produkt af to funktioner differentieres ved at differentiere første faktor og gange med den anden samt differentiere anden faktor og gange med den første og endelig addere produkterne 4 ( f f ' g f g ' )(x) ( )( x) g g 2 5 f (g ( x)) f ' ( g(x)) g' ( x) Øvelse Bevis de to første regler med tretrinsreglen Tangenter Vi vil i eksemplet her finde tangenter til parablen på forskellige måder. Vi vil både benytte forskellige teknikker (lommeregner eller GeoGebra) og se forskellige opgavetyper. Hver gang benyttes samme funktion: Type 1: kendt x-værdi g ( x)= x2 4 2x 3. Vi vil finde tangentens ligning for den givne funktion, hvor tangenten har røringspunktet A med x-værdien 6.
Differentiering 13 Besvarelse y-værdien for A beregnes som: g(6)= 62 4 2 6 3=9 12 3= 6 Dernæst findes g ' (x)= 2 x 4 2 (jævnfør Regler og tidligere resultater) og tangenthældningen a kan beregnes som: a=g ' (6)= 2 6 4 2=1 Tangentligningens anden parameter b findes med den sædvanlige formel for rette linjer: b= y 1 a x 1, hvori indsættes de kendte tal: b= 6 1 6= 12 Tangentens ligning er: y=1 x 12 Normalt skrives hældningskoefficienten ikke, når den er 1; her er den medtaget for at tydeliggøre beregning og resultat. Alternativ besvarelse Grafen tegnes i GeoGebra; linjen x=6 tegnes. Skæringspunktet mellem disse findes: det er røringspunktet A. Tangentværktøjet vælges: klik på graf og røringspunkt og tangenten tegnes. I algebravinduet eller på tegningen kan tangentligningen aflæses. Tangentens ligning: y = x - 12 Type 2: kendt y-værdi Vi vil finde parablens tangenter i røringspunkterne B og C med y-værdien 2. Besvarelse x-værdierne for B og C beregnes ved at løse ligningen: g(x)=2 x 2 4 2x 3=2 x 2 4 2x 3 2=2 2 x 2 4 2x 5=0
Differentiering 14 Det er en sædvanlig andengradsligning med a= 1 4, b= 2,c= 5 d =4 4 1 4 ( 5)=9 x= ( 2)± (9) 2 1 = 2±3 1 4 2 Løsningerne er x 1 = 2 og x 2 =10 De tilsvarende y-værdier er begge +2 (iflg. opgaven): y 1 =2 og y 2 =2 Dernæst findes med g ' (x)= 2 x 4 2 de respektive tangenthældninger: a 1 = 2 ( 2) 2= 3og a 4 2 = 2 10 4 2=3 Tangentligningens anden parameter b findes med den sædvanlige formel for rette linjer: b= y 1 a x 1, hvori indsættes de kendte tal: b 1 =2 ( 3) ( 2)= 4 b 2 =2 3 10= 28 Tangent 1: Tangent 2: y= 3x 4 y= 3x 28 Tangentligningerne bliver så: Type 3: kendt tangenthældning Vi vil nu finde parablens tangent i punktet D, hvor tangenthældningen = -1. Besvarelse x-værdierne for D beregnes ved at løse ligningen: g' ( x)= 1 2 x 4 2= 1 2 x 4 2+2= 1+2 2 x 4 =1
Differentiering 15 2 x 4 =1 2 x 4 4=1 4 2 x=4 2 x 2 = 4 2 x=2 y-værdien i D fås som: y=g(2)= 22 4 2 2 3= 6 Tangenthældningen a = -1 ifølge opgaven; b beregnes som tidligere med b= y 1 a x 1 : b= 6 ( 1) 2= 4 Tangentligningen bliver så: Tangent: y= x 4
Differentiering 16 Øvelser 1. Find 3 differentailkvotienter for funktionen f (x)=2 x 2 med tretrinsmetoden. Benyt x-værdierne 3, -1 og 0. 2. Find differentialkvotienten for en tilfældig valgt værdi: x for funktionen f (x)=2 x 2 3x+12 3. Lad f (x)=x og g ( x)= x 2. Benyt produktreglen til at finde den afledte funktion for h(x)=x 3, idet du ved, at f ' ( x)=1 og g ' (x)=2x 4. Benyt divisionsreglen til at finde den afledte funktion for k ( x)=1/ x 5. Find tangenter til funktionen m(x) 1. hvor røringspunktet har x-værdien -3 2. hvor røringspunktet har y-værdien 2 3. hvor tangenthældningen er +1 4. tangenten går gennem punktet (8;-2) 6. Find lokale ekstrema for den viste funktion 7. Find den afledte funktion (for m(x) 8. Hvilken sammenhæng er der mellem m(x) og m'(x)?