MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04
Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER... 3 LØSNING AF.GRADSLIGNINGEN:... 4 DISKRIMINANTEN, D... 4 DISKRIMINANTEN IGEN... 7 D < 0... 7 D = 0... 7 D > 0... 7 SPECIALTILFÆLDE (B- ELLER C-KOEFFICIENTEN = 0):... 8 C = 0... 8 NULREGLEN... 8 B = 0... 8 SMÅ TIPS & TRICKS OM.GRADSLIGNINGER:... 9 KONTROL AF DE FUNDNE LØSNINGER... 9 OM DEFINITIONSMÆNGDER OG VÆRDIMÆNGDER... 0 DEFINITIONSMÆNGDEN, DM f... 0 VÆRDIMÆNGDEN, VM( F )... 0 SPECIELT FOR.GRADSLIGNINGER:... 0 LIGNINGER OG ULIGHEDER:... LIDT OM DIFFERENTIALKVOTIENTER FOR EN.GRADSLIGNING:... 5 DIFFERENTIALKVOTIENT AF EN POTENSFUNKTION... 5 ET PAR SMÅ EKSEMPLER PÅ ANDRE TYPER OPGAVER I FORBINDELSE MED.GRADSLIGNINGER:... 6 ET PAR SMÅ EKSEMPLER PÅ ANDRE TYPER OPGAVER I FORBINDELSE MED.GRADSLIGNINGER:... 7 KOORDINATSYSTEMET EN ARBEJDSPLADS... 8 DEN GRAFISKE AFBILDNING:... 9 TING MAN KAN SE VED AT BETRAGTE A:... 9 TING MAN KAN SE VED AT BETRAGTE B:... 9 TING MAN KAN SE VED AT BETRAGTE A OG B:... TING MAN KAN SE VED AT BETRAGTE C:... DISKRIMINANTEN IGEN... 3 PARABLENS TOPPUNKT:... 3 SYMMETRIAKSE:... 3 NOGLE GENVEJE, HVIS.GRADSFUNKTIONEN OMSKRIVES:... 4 BILAG BEVISET:... 5 BILAG ALTERNATIVT BEVIS:... 6 BILAG 3 BEVIS FOR TOPPUNKTSFORMLEN:... 8
Michel Mandi (00).Gradsligningen Introduktion Side 3 af 9 Introduktion: En. gradsligning kan altid skrives på formen: a² + b + c = 0, a 0, hvilket ikke er et. gradspol- a må ikke være lig med 0, for hvis det er tilfældet, står der b c 0 nomium, men derimod et. gradspolnomium altså liniens ligning. Koefficienter Tallene a, b og c kaldes for ligningens Koefficienter. a er koefficienten til.grads leddet ² b er koefficienten til.grads leddet ¹ eller bare: 0 c er koefficienten til 0.grads leddet eller konstantleddet Bemærk, at alle koefficienter ALTID har et fortegn, som skal medregnes! Hvis der ikke står noget fortegn (foran a eller det første led), regnes den som positiv! Hvis et led helt mangler (Ikke ²-leddet), er koefficienten lig med 0! Det er således kun b og/eller c, som kan være lig med 0. Hvis dette er tilfældet, gælder der specielle regler for løsningen af.gradspolnomiet, og disse beskrives senere i dette notat. Hvis der ikke står et tal foran ² eller, er koefficienten underforstået lig med eller -, afhængigt af fortegnet. Den grafiske afbildning af en.gradsligning kaldes en parabel, og kan f.eks. se ud som i nedenstående figur: 4 f() = ² f()=^ 3-3 - - 3 4 Figur : Et eksempel på en parabel. Her er f() = ² - -,5 - -0,5 0 0,5,5 =f ( ) 4,5 0,5 0 0,5,5 4
Michel Mandi (00).Gradsligningen Løsninger Side 4 af 9 Løsning af.gradsligningen: Som nævnt, kan andengradsligningen skrives på formen: a² + b + c = 0, a 0 Ligning En lignings løsninger kan beskrives som de steder på -aksen, hvor ligningens graf skærer -aksen! Specielt for.gradsligninger, findes der et formelapparat, der kan bruges til at finde ligningens løsninger, som for resten også i daglig tale kaldes ligningens nulpunkter eller rødder. Bemærk forskellen! Hvis vi taler om en funktions nulpunkter, er der tale om de -værdier, som opflder ligningen f 0. Eksempler kan være: 4 4 0 f Her er nulpunktet: f 3 3 0 Her er nulpunkterne: eller Man kan altså tale om en lidt knudret sproglig konstruktion, idet der normalt tænkes på et koordinatsæt: ; a; b, men nulpunkter er IKKE et koordinatsæt, selvom det hedder et nulpunkt. Vær altid opmærksom på opgavens ordld! Man kan i forbindelse med funktionsanalse blive bedt om at angive koordinater til grafen for funktionens skæringspunkter med de to koordinatakser. Dette refererer til grafen for funktionen og ikke til løsningerne for funktionen. Et spørgsmål som dette skal besvares med et koordinatsæt, men mere om det lidt senere. Diskriminanten, d Løsningerne findes ved først at udregne diskriminanten, d. d = b² 4 a c Ligning : (Diskriminantformlen)
Michel Mandi (00).Gradsligningen Introduktion Side 5 af 9 Man kan umiddelbart se noget om ligningens løsninger ved at betragte d: d > 0 (Positiv) : Ligningen har forskellige løsninger. d = 0 : Ligningen har ens løsninger. Normalt siger man, at der findes løsning, da løsningerne er ens. Man siger, at løsningen er en dobbeltrod. d < 0 (Negativ) : Ligningen har ingen løsninger. Man siger også, at L=. Bemærk, at man stadig sagtens kan bestemme toppunkt, krumning, skæring med -aksen etc. Det eneste, som ikke kan bestemmes hvis d<0, er skæringspunkter med -aksen, da de ikke eksisterer. Når man har udregnet d, og fundet at d > 0 eller at d = 0, indsættes d i næste trin i formelapparatet: b d r= -b d a r= a b d r = a Ligning 3: (Nulpunktsformlen) (Beviset for hele dette formelapparat findes i bilag og i bilag.)
Michel Mandi (00).Gradsligningen Løsninger (Eksempler) Side 6 af 9 Et par eksempler: E ² 8 9 0 a, b 8, c 9 d b² c 8² 4 9 64 36 64 36 00 r b d a 8 0 8 r 9 8 00 8 0 8 0 r E 4 ² 8 4 0 a 4, b 8, c 4 d b² c 8² 444 64 64 0 r b d 8 0 8 0 8 ( Dobbeltrod) a 4 4 8 Husk, at hvis man bliver bedt om KOORDINATER til skæringspunkterne med - aksen, så er det IKKE NOK at angive den eller de fundne rødder. Så skal der svares som følger: ; ; Skæringpunkter med -aksen er: 0 0 (Såfremt der er to rødder) Skæringpunkt med -aksen er: ; 0 (Såfremt der er en dobbeltrod) Det vil altid medføre en del strafpoints, hvis der ikke afleveres et koordinat, når der bedes om det!
Michel Mandi (00).Gradsligningen Diskriminanten Side 7 af 9 Diskriminanten Igen Opsummering af teorien om diskriminanten, d: d < 0 d < 0 Når d er negativ, kan man ikke udregne d, da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal. Derfor er L= I princippet betder det, at hvis man udregner d til at være negativ, så kan man allerede her konkludere, at der ikke er nogen reelle løsninger til.gradsligningen. I dette tilfælde skal man IKKE indsætte værdierne i nulpunktsformlen (Ligning 3). Bemærk, at det stadig er derst relevant at udregne toppunkt og vurdere parablens beliggenhed i koordinatsstemet. Det eneste, som d indikerer ved at være negativ er, at parablen ikke skærer -aksen. d = 0 d = 0 Når d er lig med 0, skal man tage kvadratroden af 0. Det kan man sagtens 0 0. Når man så skal indsætte d i nulpunktsformlen (Ligning 3), får man: b 0 r. Om man lægger 0 til eller trækker 0 fra, det er lige meget, så a konklusionen er, at: r= b a Ligning 4: (Specielt for d = 0) d > 0 d > 0 Når d er positiv og man tager kvadratroden af tallet, giver det jo to løsninger. En plus- og en minusløsning. Eksempel: 9 3, da 33 9 og 33 9. Derfor får vi to forskellige løsninger, når vi indsætter d i nulpunktsformlen (Ligning 3). r = b d r b d = a a Ligning 5: (Løsninger for d > 0)
Michel Mandi (00).Gradsligningen Specialtilfælde Side 8 af 9 Specialtilfælde (b- eller c-koefficienten = 0): Det kan godt betale sig at lære disse specialtilfælde af.gradsligningen udenad, da man derved kan spare en masse tid og besvær. c = 0 c = 0 a² + b = 0 Da konstantleddet er 0 og dermed væk, ser man at størrelsen indgår i alle led. Derfor kan vi faktorisere og sætte udenfor en parentes: Nulreglen Tal a + b = 0 Tal Et produkt er nul, hvis en (eller begge) af faktorerne er nul. Ligning 6: (Nulreglen) Derfor vil ovenstående ligning være sand, hvis enten Tal = 0 eller Tal = 0. Tal = 0 = 0 b Tal = 0 a + b = 0 = a Ligning 7: (Løsninger når specielt c = 0) b = 0 b = 0 a² + c = 0 Da.gradsleddet er 0 og dermed væk, ser man at ligningen kan løses vha. en simpel kvadratrodsberegning: a² + c = 0 c ² = a Ligning 8: (Løsning, når specielt b = 0 samt a og c har modsat fortegn) = c a Bemærk her, at det er en ufravigelig betingelse, at koefficienterne a og c har c modsat fortegn! Hvis de ikke har det, vil blive en negativ størrelse, som man jo a som bekendt ikke kan tage kvadratroden af. (Medmindre man regner med komplekse tal.)
Michel Mandi (00).Gradsligningen Løsninger Side 9 af 9 Små tips & tricks om.gradsligninger:.gradsligninger kan forekomme på andre former end ligning : a² b c 0. Og når de gør det, kan det betale sig at kunne huske disse formler:.gradsligningen opløst i faktorer: r r f a Forskellige rødder a r² Dobbeltrod f Kontrol af de fundne løsninger Når man har fundet ligningens rødder, kan man med fordel foretage et par simple tests, for at se, om man har regnet rigtigt: b r + r = a Ligning 9 c r r = a Ligning 0
Michel Mandi (00).Gradsligningen Dm(f) og Vm(f) Side 0 af 9 Om definitionsmængder og værdimængder Definitionsmængden, Dm f Definitionsmængden er mængden af værdier af, som man kan sætte ind i en given ligning. Man kalder det også for forbrugsmængden. Definitionsmængden skrives: Dm f. Generelt gælder for en.gradsfunktion, at definitionsmængden: Dm f = Dette gælder naturligvis kun, såfremt der ikke er andre ikke-matematiske begrænsninger. Dette kunne f.eks. være i fsikken, hvor der kun kastes fremad og ikke tilbage. Da er kun defineret for den strækning, som er foran kasteren. Et andet eksempel kan hentes fra økonomien, hvor en parabel beskriver en økonomisk gevinst. Så længe parablen er over -aksen, er der overskud, og når parablen er under -aksen, så er der underskud. Da man ikke er interesseret i at køre en forretning med underskud, sættes definitionsmængden til udelukkende at ligge imellem rødderne - forudsat at a er negativ hvor der er overskud. Værdimængden, Vm f En funktions værdimængde er den mængde af funktionsværdier (-værdier), som en funktion er i stand til at returnere, når den gennemløber hele definitionsmængden Vm f. Dm f. Funktionen f 's værdimængde skrives som I et koordinatsstem sættes tallene tilhørende værdimængden op ad -aksen. Altså er værdimængden den samlede mængde af alle de -værdier, som en funktion kan antage. Huskeregel: Definitionsmængden sættes altid ud ad.-aksen, og værdimængden sættes altid op ad.-aksen. En huskeregel for dette er at et fodboldhold skal deltage i DM (Danmarksmesterskabet), før det kan komme til VM (Verdensmesterskabet). Altså DM før VM! Eller bare i alfabetisk rækkefølge. Specielt for.gradsligninger: Da en.gradsfunktion afbildes som en parabel, der jo som bekendt vender, således at funktionen går fra faldende til voksende eller fra voksende til faldende afhængigt af a s fortegn, og at der derved skabes et toppunkt, vil værdimængden være begrænset således at: d For a > 0 : Vm f = ; For a < 0 : Vm f = ; d
Michel Mandi (00).Gradsligningen Ligninger og uligheder Side af 9 Ligninger og uligheder: Det bliver ofte nødvendigt at løse ligninger og uligheder, hvor et eller flere led i ligningen er opløftet i anden potens altså en andengradsligning. Eksempler på dette kan være:. a b c d e f I dette tilfælde er der grafisk tale om to parabler. Når de stilles op som vist lige overfor, er det faktisk en undersøgelse af, om hvorvidt de to parabler skærer hinanden, og i så fald hvor mange gange ( eller ) og hvor. Ved hjælp af almindelig algebra, kan leddene på venstre side flttes over, således at højre side af ligningen ender med at være lig med 0. a b c d e f a b c d e f 0 a d b e c f 0 a a d b e c f 0 d samles til ét led, b e samles til ét led og c f samles til ét led. Herved er vi tilbage til en andengradsligning på grundform, og ligningen kan løses, som tidligere vist. Vender vi tilbage til det grafiske eksempel, vil de fundne løsninger være de -værdier, hvor parablerne skærer hinanden hvis der er nogen. De evt. fundne -værdier indsættes i en af de oprindelige ligninger for at finde de tilhørende -værdier. Det er lige meget om man vælger den højre eller venstre side af ligningen, men et godt tip er, altid at vælge ligningen med de pæneste tal, som giver den nemmeste udregning.. Et andet eksempel kan være, hvis man har en parabel og en ret linie, og man søger de eventuelle skæringspunkter ganske som i forrige eksempel: a b c d e Ved hjælp af almindelig algebra, kan leddene på venstre side igen flttes over, således at højre side af ligningen ender med at være lig med 0.
Michel Mandi (00).Gradsligningen Ligninger og uligheder Side af 9 b a b c d e a b c d e 0 a b d c e 0 a b d c e 0 d samles til ét led og c e samles til ét led. Herved er vi tilbage til en andengradsligning på grundform, og ligningen kan løses som tidligere vist. Vender vi tilbage til det grafiske eksempel, vil de fundne løsninger være de - værdier, hvor parablen og linien skærer hinanden såfremt der findes skæringspunkter. De evt. fundne -værdier indsættes i en af de oprindelige ligninger for at finde de tilhørende -værdier. Det er principielt set lige meget om man vælger parablens eller liniens side af ligningen, men et godt tip er, altid at vælge at sætte - værdierne ind i liniens ligning, da det som regel er nemmere at løse en førstegradsligning end en andengradsligning. Det er klart at løsningerne til de to viste eksempler såfremt der er nogen, vi bestå af punkter, nemlig der, hvor de pågældende funktioner skærer hinanden. Anderledes er det, hvis der er tale om andengradsuligheder. Udgangspunktet for en andengradsulighed kan være de samme, som allerede vist to parabler eller en parabel og en linie. Men det, som er det interessante her er primært, hvilken af de to funktioner, som er størst og hvilken funktion, som er mindst. Naturligvis er det også her vigtigt at finde skæringspunkterne (hvis der er nogen), for ellers kan man jo ikke finde ud af, hvilken funktion som er størst og hvornår. Derfor begnder man som altid med at reducere andengradsligningen til normalform. Men når det er en ulighed, er der jo i sagens natur ikke noget lighedstegn, men derimod et ulighedstegn. Måske er det nemmest at overskue de forskellige løsningstper i de følgende skemaer, hvor andengradsligningen er sat på normalform, og hvor løsningerne vises både som tallinier og som mængder. Løsningerne til selve andengradsligningen altså der hvor funktionens graf skærer -aksen, kaldes hhv. og. Husk, at løsningen til enhver ulighed beskrives vha. en løsningsmængde (interval) eller en mængde! En undtagelse er, hvis løsningen begrænses til ét punkt.
f()=^-3+ f()=-0.5 f()=^-3+.5 Michel Mandi (00).Gradsligningen Ligninger og uligheder Side 3 af 9 f()=-^+3- f()=-^+3-.5 f()=-0.5 f()=-0.75 f()=-0.5 f()=-.75 a b c 0 d b c d 0 d 0 d 0 a 0 L ; L L a 0 f()=^-3+ f()=-0.5 f()=-0.5 f()=^-3+.5 f()=-0.5 f()=-.5 ; ; \ 0 L L L f()=-^+3- f()=-^+3-.5 f()=-0.5 a b c 0 d b c d 0 d 0 d 0 a 0 ; ; \ 0 L L L a 0 L ; L L
f()=^-3+ f()=-0.5 f()=^-3+.5 Michel Mandi (00) Serie.Gradsligningen Ligninger og uligheder Side 4 af 9 f()=-^+3- f()=-^+3-.5 f()=-0.5 f()=-0.5 f()=-0.5 a b c 0 d b c d 0 d 0 d 0 a 0 L ; L L a 0 f()=^-3+ f()=-0.5 f()=-0.5 f()=^-3+.5 f()=-0.5 ; ; L L L f()=-^+3- f()=-^+3-.5 f()=-0.75 Serie a b c 0 d b c d 0 d 0 d 0 a 0 ; ; L L L a 0 L ; L L
Michel Mandi (00).Gradsligningen Differentialkvotienter Side 5 af 9 Lidt om differentialkvotienter for en.gradsligning: Vi husker reglen om differentiering af potensfunktioner: Differentialkvotient af en potensfunktion n f = a f' = an n- Ligning : (Differentialkvotient af en potensfunktion) Ud fra denne regel, kan vi se, at et.gradspolnomium ALTID vil resultere i et.gradspolnomium, når det differentieres. Og det passer jo også meget fint, da differentialkvotienten altid beskriver hældningen for en funktion. Ser vi på en parabel, vil den jo som allerede nævnt være voksende og så faldende eller omvendt. Den differentierede (eller afledte) funktion f ' eller d vil da have udseende af en d linie, der (i hele DM( f ) ), vil skære -aksen én gang og dermed gå fra positivt fortegn til negativt fortegn eller omvendt. 4 4 3 3-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 - - - - -3-3 -4 Figur : ( f() = ² ) Figur 3: ( f() = -² ) -4 4 4 3 3-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 - - - - -3-3 -4 Figur a: ( f '() = ) Figur 3a: ( f '() = - ) -4 Det kan i forbifarten nævnes, at hvis man differentierer differentialkvotienten for et andengradspolnomium, så differentierer man jo på en funktion, der afbilder en ret linie. (Se ovenstående figurer a og 3a.) Denne differerentialkvotient vil som det jo vides fra differentialregningen give en konstant! Hvis denne konstant er positiv er den oprindelige funktion konveks (en glad parabel) og hvis den er negativ er den oprindelige funktion konkav (en sur parabel).
Michel Mandi (04).Gradsligningen Lidt opgaver Side 6 af 9 Et par små eksempler på andre tper opgaver i forbindelse med.gradsligninger: Givet andengradsligningen: + + k = 0. a) Bestem k således, at der er netop én løsning til andengradsligningen. Hvis der skal være netop én løsning, betder det at diskriminanten skal være lig med 0. a genkendes som, b genkendes som og sluttelig er c = k. Diskriminanten opskrives som: d 0 b² c 0 ² 4 k 0 4k 4 k b) k sættes nu til -3. Find den ne parabels toppunkt og skæringer med de to akser, opgivet som koordinater. Da k er lig med -3, kan ligningen nu skrives som: 3 0. d b² c ² 4 3 4 d 6 Diskriminanten opskrives som: b d 6 a 4 Der sættes ind i toppunktsligningen: TP ; ; ; TP ; 4 4 6 r r 3 b d 6 4 Der sættes ind i nulpunktsligningen: r a 4 r r ;0 3;0 ;0 ;0 Dette laves om til koordinater: Skæringer med -aksen er: Skæring med -aksen svarer til koefficienten c: Skæring med -aksen er: 0; c 0; 3 c) For hvilken værdi af k, er en af løsningerne til andengradsligningen = 0? Hvis en løsning er lig med 0, betder det, at -aksen skæres når er lig med 0, eller rettere i origo. Det betder samtidig, at c er lig med 0, da parablen jo altid skærer -aksen i c. Da c i dette tilfælde er lig med k findes: k 0 (Ligning 6 og 7 Nulreglen). d) Bestem den anden løsning til andengradsligningen bestemt i spm. c). Igen benttes Ligning 6 og 7 Nulreglen, og vi finder at den anden løsning kan skrives på formen: -b a
Michel Mandi (04).Gradsligningen Lidt opgaver Side 7 af 9 Et par små eksempler på andre tper opgaver i forbindelse med.gradsligninger: Der skal føres en vej, som på et stkke kan beskrives som en parabel. (Alle koordinatmål er beskrevet i meter, målt fra koordinatsstemets origo.) 35 300 75 50 5 00 75 P = (0 ; 75) P 3 = (500 ; 75) 50 5 00 P = (50 ; 0) 75 50 5 50 00 50 00 50 300 350 400 450 500 550 Givet tre punkter P, P og P 3! Find forskriften for den parabel, som traverserer (går igennem) de tre punkter. Vi indsætter de kendte - og -værdier i tre forskellige.gradsligninger. Der skal jo som bekendt tre ligninger til at finde tre ubekendte, og det er jo netop hvad vi har a, b og c er de tre ubekendte. I) a ² b c 0 a 0² b 0 c 75 0 0 c 75 c 75 II ) a ² b c 0 a 50² b 50 c 0 a 6500 b 50 75 0 III ) a ² b c 0 a 500² b 500 c 75 a 50000 b500 75 75 a 50000 III ) giver: a 50000 b 500 b 500 b 500 a Sætter ind i II) : a 50² 500 a 50 75 0 6500 a 5000 a 75 0 6500 a0 75 6500 a 55 55 a a 6500 500 Sætter ind i III) : b 500 a b 500 500 5500 b b 500 5 Da vi nu har udregnet - og dermed kender - a, b og c, indsætter vi i.gradsligningen og får: ² 75 0 500 5
Michel Mandi (00).Gradsligningen Koordinatsstemet Side 8 af 9 Koordinatsstemet en arbejdsplads Koordinatsstemets opbgning / nt eller repetition?: Et kartesisk koordinatsstem er et retvinklet koordinatsstem. Det betder at de to (eventuelt tre) akser er ortogonale (vinkelrette) på hinanden. Dermed forstås, at alle punkter i koordinatsstemet opfattes som en skæring mellem linjer parallelle med akserne, hvorved der opstår en ret vinkel for alle punkter.. Kvadrant. Kvadrant 4 3 P( 7 ; 3 ) -aksen.aksen Ordinaten Origo Koordinatsstemets midtpunkt -7-6 -5-4 -3 - - 3 4 5 6 7 8 9 - - -aksen.aksen Abscissen -3 3. Kvadrant 4. Kvadrant -4 I den rummelige geometri, kommer der også en tredje akse z-aksen på. Dette rummelige koordinatsstem beskrives i et andet notat Når man skal tegne ligningens/funktionens graf (parablen), kan man altid lave en tabel med en række støttepunkter ved at indsætte forskellige værdier af i funktionen og derved beregne de tilhørende funktionsværdier (et sildeben ) og udregne et antal funktionsværdier og dermed være i stand til at tegne parablen. (Som på p. i dette notat). Det anbefales at man til eksamen undgår udtrkket sildeben. For at citere en kær kollega henleder det tankerne på en person, som sidder og svinger en død fisk over hovedet, og derefter på mirakuløs vis nedkommer med det rigtige resultat. Bent i stedet sætningen: Der laves en tabel med en række støttepunkter ved at indsætte forskellige værdier af i funktionen og derved beregne de tilhørende funktionsværdier. Der findes en lang række huskeregler, som gør at man kan forestille sig parablen dens form og placering i koordinatsstemet uden at udregne et eneste støttepunkt.
3-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 9 - - -3-4 -5-0 -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - 3 4 5 6 7 8-5 -4-3 - - -0-9 -8-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 9 0 8 7 6 5 4 3 - -0-9 -8-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 - - -3-4 -5-6 -7-8 -9-0 - - -3-4 -5 4 3 - - -3-4 -5-6 -7-8 -9-0 - - 6 5 4 3 - - -3-4 Michel Mandi (00).Gradsligningen Koordinatsstemet Side 9 af 9 Den grafiske afbildning: Ting man kan se ved at betragte a: Eksempel: a positiv Glad parabel Konvekst kurveforløb Eksempel: a negativ Sur parabel Konkavt kurveforløb Eksempel: a relativt stor Smal og spids parabel Eksempel: a relativt lille Bred og stump parabel Ting man kan se ved at betragte b: Skifter man fortegn på b-koefficienten, spejles parablen om -aksen. Dette indses nemt ved at betragte formlen for toppunktet.
Michel Mandi (00).Gradsligningen Den grafiske afbildning Side 0 af 9 f()=^-8+9 f()=^+8+9 8 6 4-9 -8-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 9 - -4-6 -8. En anden ting, som afhænger af b-koefficienten er grafens placering i koordinatsstemet. Man skal her forestille sig, at parablen altid er den samme Parablens form, afhænger jo som tidligere nævnt af a-koefficienten, dvs. hvor spids parablen er. Skæringspunktet med -aksen afhænger af c-koefficienten (beskrives i et senere afsnit i dette kapitel). Tilbage er selve parablens placering. Dvs. man skal forestille sig, at parablen forskdes således at formen altid er den samme, og at skæringspunktet med -aksen forbliver den samme nemlig c. Nedenstående tegning viser en parabel, hvor de grønne og de blå parabler er næsten ens. Kun b-koefficienten er ændret. Den røde parabel er udgangspunktet.
Michel Mandi (00).Gradsligningen Den grafiske afbildning Side af 9 8 6 4 f()=^- f()=^-- f()=^+- f()=^-- f()=^+- f()=^-3- f()=^+3- f()=-^- f()=^-4- f()=^-5- f()=^-6- f()=^+4- f()=^+5- f()=^+6- -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - 3 4 5 6 7 8 9 - -4-6 -8 Man ser, at alle parablerne traverserer det samme punkt på -aksen, og at de alle har nøjagtig den samme form. Det kan for sjovs skld bemærkes, at hvis man tegner en kurve igennem de ved at ændre b-koefficienten frembragte parablers toppunkter, så vil denne kurve selv være en parabel. Dette er her vist ved den lilla kurve. Hvis parablen er smmetrisk om -aksen, så er b 0.
Michel Mandi (00).Gradsligningen Den grafiske afbildning Side af 9 Ting man kan se ved at betragte a og b: Eksempel: 3 a og b, samme fortegn Toppunkt ligger i. eller 3. kvadrant -5-4 -3 - - 3 4 5 - - -3 3 a og b, modsat fortegn Toppunkt ligger i. eller 4. kvadrant -5-4 -3 - - 3 4 5 - - -3 Ting man kan se ved at betragte c: Som det også er tilfældet med næsten alle andre funktionstper, så er konstantleddet her lig med skæringen med -aksen. Her kan man jo forestille sig, at = 0. Det er jo tilfældet uanset hvor på -aksen man befinder sig! Sættes lig med 0 forsvinder de to første led nemlig dem, som indeholder. Skæring med -aksen = ( ; ) = ( 0 ; c ) Som det er tilfældet med.gradsligningens rødder, så er det ikke nok at svare med koefficienten c s talværdi, hvis der bliver spurgt om koordinatet til skæringen med -aksen. Husk desuden, at der ALTID vil være et skæringspunkt med -aksen uanset hvordan parablen er placeret i koordinatsstemet. Hvis c = 0, traverserer parablen gennem origo.
-3 - - 3 4 - - -3 - - 3 4 - - -3 - - 3 4 - - -3 - - 3 4 - - -3 - - 3 4 - - -3 - - 3 4 - - Michel Mandi (00).Gradsligningen Toppunkt Side 3 af 9 Diskriminanten igen Som allerede nævnt er størrelsen af diskriminanten, d, ensbetdende med antallet af løsninger. Men hvordan ser det ud grafisk? d < 0 d = 0 d > 0 a negativ r r r a positiv r r r Parablens Toppunkt: Skal man udregne toppunktet for parablen altså det sted hvor kurvens hældning er vandret og at grafen skifter fra at være stigende til at være faldende (eller omvendt), da bruger man toppunktsformlen: (Beviset for denne formel findes i bilag 3.) b d TP = ; = ; a 4 a Ligning : (Toppunktsformlen) Bemærk, at også her skal man udregne diskriminanten, d b² c, hvorfor det som regel er en god idé at begnde med at udregne netop denne størrelse! Smmetriakse: Den lodrette linie, som traverserer parablens toppunkt, kaldes for parablens smmetrilinie/akse eller spejlingsaksen, da parablen er smmetrisk omkring netop denne akse. Husker man på dette, kan man nøjes med at udregne halvdelen af støttepunkterne.
Michel Mandi (00).Gradsligningen Toppunkt / Omskrivninger Side 4 af 9 Det er allerede vist, at smmetriaksen traverserer parablens toppunkt. En lodret linie kan skrives på formen: = k da hældningen ikke er defineret for en lodret linie. Der kan ikke være tale om en funktion, da der ikke kan være mere end én funktionsværdi for hver -værdi. Da smmetriaksen er en lodret linie, kan ligningen for smmetriaksen skrives på generel form. = b a Ligning 3: (Forskrift for smmetriakse) Nogle genveje, hvis.gradsfunktionen omskrives: f a² Smmetri om linien: 0 Toppunkt: ; 0 ; 0 f a 0 ² a positiv: a negativ: Smmetri om linien: 0 ² 0 Toppunkt: ; ; 0 a positiv: f a Smmetri om linien: 0 a negativ: Toppunkt: ; 0 ; a positiv: a negativ: 0 0 f a ² 0 0 Smmetri om linien: 0 Toppunkt: ; ; a positiv: a negativ: 0 0
Michel Mandi (00). Gradsligningen Side 5 af 9 Bilag Beviset: Beviset for at løsningerne til a² b c 0, a 0 kan udregnes som: b d r a, hvor d b² 4 a c : a ² b c 0 Gang med 4 a på begge sider 4 a² ² 4 a b 4 a c 0 Læg b² 4 a c til på begge sider 4 a² ² a b b² b² 4 a c Bemærk, at der bttes om på faktorerne ' b' og ' ' i det midterste led ab² a² abb² a b ² b² 4 a c a b ² d Kvadratsætning d b² 4 a c Ligning Her har vi indført størrelsen d b² 4 a c, som også kaldes for andengradsligningens diskriminant. Det viser sig, at den videre løsning af ligningen afhænger af fortegnet for d. d < 0 I ligning, vil højre side da være negativ, mens venstre side er positiv (eller 0). ( Noget i anden potens vil altid være positivt eller 0). Derfor findes der ingen værdier af, der opflder ligningen. d = 0 Ligning har i dette tilfælde udseendet: a b a b a b ² d 0 a b 0 a b b a - Altså har ligningen netop løsnin. g d > 0 Ligning kan videre omskrives således: a b ² d a b d a b d b a d - Altså har ligningen løsninger. Q.E.D.
Michel Mandi (00). Gradsligningen Side 6 af 9 Bilag Alternativt bevis: En anden alternativ metode til at eftervise andengradsligningens løsninger, er en metode, som til dels også benttes til udledning af toppunktsfomlen. I modsætning til det forrige bevis, anskueliggøres de forskellige antal løsninger ikke her. Udelukkende selve formlen udledes. Et andengradspolnomium har forskriften: f a b c Vi ønsker at bevise nulpunktsformlen: b d a. Koordinaterne til toppunktet kan udledes af følgende omskrivning: f a b c a a Sætter a udenfor parentesen b a c a b b Lægger til og trækker fra b c b b a a b b b a a Kvadratsætning b c b a a a De to sidste led sættes på fælles brøkstreg b c b a a Der skiftes fortegn i det andet led b c b a a Btter om på leddene i tælleren i det andet led b b c a a d b b d a a Det andet led sættes udenfor parentesen b d a a c
Michel Mandi (00). Gradsligningen Side 7 af 9 Eventuelle nulpunkter vil forekomme for f 0, hvilket ifølge ovenstående omskrivning er det samme som: b d 0 a f a b c a b d a 0 a Fltter det andet led over på den anden side b d a a Dividerer med a b d a Tager kvadratroden på begge sider b d a b Isolerer ved at fltte over på den anden side og reducerer a b d a a Sætter på fælles brøkstreg b d a Q.E.D.
Michel Mandi (00) Toppunktsformlen Side 8 af 9 Bilag 3 Bevis for toppunktsformlen: Et andengradspolnomium har forskriften: f a b c Vi ønsker at bevise toppunktsformlen: TP b d ; ; a. Koordinaterne til toppunktet kan udledes af følgende omskrivning: f a b c a a Sætter a udenfor parentesen b a c a b b Lægger til og trækker fra b c b b a a b b b a a Kvadratsætning b c b a a a De to sidste led sættes på fælles brøkstreg b c b a a Der skiftes fortegn i det andet led b c b a a Btter om på leddene i tælleren i det andet led b b c a a d b b d a a Det andet led sættes udenfor parentesen b d a a c
Michel Mandi (00) Toppunktsformlen Side 9 af 9 Den inderste parentes i det andet led er opløftet i. potens, så derfor vil den altid være positiv eller mindst lig med nul. Da hele udtrkket er en funktion, hvor er den uafhængige variabel, og da det sidste led ikke indeholder er det dermed det første led, som primært dikterer funktionsværdien. Men parentesen er jo positiv eller nul, og dermed er det a som er den strende faktor. Så hvis a er positiv, vil b Dvs. når 0, hvilket kun er muligt når a På samme måde hvis a er negativ vil er lig med 0, og dermed når b, hvilket ses at være det samme, som for når a er po- a sitiv. f antage sin mindste værdi når parentesen er lig med 0. f b. a antage sin største værdi når parentesen I begge tilfælde, vil det første led være lig med 0, og funktionsværdien bliver derfor: b d f, a hvilket vil sige, at toppunktet, TP, forekommer for b og a d. b d TP ; ; a Q.E.D.