1 Trekantens linjer. Indhold

Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter kendskab til grundlæggende viden om vinkler, retvinklede trekanter og ensvinklede trekanter samt trigonometri. I hvert afsnit er der engelske gloser, og til slut er der en oversigt over teorien. Indhold 1 Trekantens linjer 1 2 irkler og vinkler 5 3 Indskrivelige firkanter 7 1 Trekantens linjer e vigtigste linjer i en trekant udover siderne er medianerne, midtnormalerne, vinkelhalveringslinjerne og højderne. e har alle hver deres særlige egenskaber som vi skal se nærmere på i dette kapitel. Men først ser på på transversalers egenskaber da vi får brug for dem i det følgende. efinition af transversal En transversal i en trekant er et linjestykke der forbinder to punkter på hver sin side i trekanten. En transversal kaldes en paralleltransversal hvis den er parallel med en af siderne i trekanten, og en midtpunktstransversal hvis den forbinder midtpunkterne af to sider. 4 tolemæus sætning 8 5 Et punkts potens 9 6 evas sætning 10 M N 7 real og radius i den omskrevne cirkel 12 8 Multiplikation omkring et punkt 14 9 Trekantens ydre røringscirkler 16 10 Radikalakse og radikalcentrum 17 11 Eulerlinjen og Simsonlinjen 20 12 Menelaos sætning 22 13 Inversion 23 14 versigt 29 15 Løsningsskitser 31 Sætning om transversaler En transversal fra punktet M på siden til punktet N på siden er en paralleltransversal netop hvis M N =. t M N er parallel med, er nemlig ensbetydende med at er ensvinklet med M N, hvilket igen er ensbetydende med at M N = da de to trekanter har en fælles vinkel. En midtpunktstransversal er derfor også en paralleltransversal. t forholdet M N er lig med forholdet, er ensbetydende med at forholdet M N er lig med forholdet M N. ette følger af brøkregnereglen der siger at s t = u v er ensbetydende med at s t = s u t v når t v. pgave 1.1. Lad være en firkant og punkterne M, N, og Q midtpunkter af henholdsvis,, og. Vis at firkant M N Q er et parallellogram. 1

efinition af median En median er et linjestykke i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. efinition af midtnormal En midtnormal til et linjestykke er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til og, altså mængden af punkter som opfylder at =. Midtnormalen er dermed en linje som går gennem midtpunktet af linjestykket og står vinkelret på, da det netop er punkterne på denne linje som opfylder betingelsen. Sætning om medianer e tre medianer i en trekant går igennem samme punkt, og dette punkt deler medianerne i forholdet 1:2. Medianernes skæringspunkt betegnes normalt M. evis Lad være en trekant, og kald medianerne for henholdsvis m a, m b og m c, og medianernes fodpunkter på siderne a, b og c for henholdsvis M a, M b og M c. Medianerne m a og m b skærer hinanden i et punkt vi kalder M. Vi vil nu vise at de skærer hinanden i forholdet 1 : 2. a M a og M b er midtpunkter på henholdsvis og, er M a M b midtpunktstransversal og dermed parallel med. vs. at og M b M a er ensvinklede med forholdet 1 : 2 og specielt 2 M a M b =. M b esuden er trekanterne M og M a M b M ensvinklede da M a M b og er parallelle, og forholdet mellem trekanterne er netop forholdet mellem M a M b og dvs. 1 : 2. Her af ses at m a og m b deler hinanden i forholdet 1 : 2. a m a og m b var vilkårlige medianer, må m a og m c også skære hinanden i forholdet 1 : 2, dvs. at alle tre medianer går gennem samme punkt M. M M a Sætning om midtnormaler I en trekant går de tre midtnormaler gennem samme punkt, og dette punkt er centrum for den omskrevne cirkel, dvs. den cirkel som går gennem trekantens tre vinkelspidser. Midtnormalernes skæringspunkt betegnes normalt. pgave 1.2 (m midtnormaler). evis ovenstående sætning om midtnormalerne i en trekant. (Hint: etragt to af midtnormalerne, og vis at deres skæringspunkt ligger i samme afstand til alle tre vinkelspidser i trekanten). efinition af vinkelhalveringslinje En vinkelhalveringslinje til en vinkel er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til vinklens ben. Vinkelhalveringslinjen er altså en linje som deler en vinkel i to lige store vinkler, da det netop er punkterne på denne linje som opfylder betingelsen. I 2

Sætning om vinkelhalveringslinjer I en trekant går de tre vinkelhalveringslinjer gennem samme punkt, og dette punkt er centrum for den indskrevne cirkel, dvs. den cirkel som tangerer alle tre sider i trekanten. Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt betegnes normalt I. En vinkelhalveringslinje deler modstående side i trekanten i samme forhold som forholdet mellem vinklens to hosliggende sider, = 1. Tilsvarende ses at 1 = 1 og 1 = 1. Højderne i er derfor midtnormaler i 1 1 1, og de går ifølge sætningen om midtnormaler gennem samme punkt. 1 1 1 b V v a c Sætning om areal og radius i den indskrevne cirkel I en trekant betegner r radius i den indskrevne cirkel, s trekantens halve omkreds og T trekantens arealet. er gælder at dvs. hvis fodpunktet for vinkelhalveringslinjen v a fra til siden betegnes V, da er V V = b c. pgave 1.3 (m vinkelhalveringslinjer). evis ovenstående sætning om vinkelhalveringslinjer i en trekant. (Hint: Første del: etragt to vinkelhalveringslinjer, og vis at deres skæringspunkt har samme afstand til alle tre sider i trekanten. nden del: enyt sinusrelationen på V og V.) efinition af højde En højde i en trekant er en linje der går gennem en vinkelspids og er ortogonal med modstående side. Sætning om højder I en trekant går højderne gennem samme punkt. T = r s. pgave 1.4. evis sætningen om sammenhængen mellem arealet af en trekant og radius i dens indskrevne cirkel. pgave 1.5. Vis at medianerne i en trekant deler trekanten i seks små trekanter med samme areal. pgave 1.6. I trekant er =. unktet F er et punkt på siden, og punktet M er et punkt på siden således at M = F. Vis at hvis M = F, da er trekant ligesidet. pgave 1.7. I en trekant med areal 1 indtegnes medianerne. Midtpunktet af medianen m a kaldes for, midtpunktet af medianen m b kaldes for, og midtpunktet af medianen m c kaldes for. evis Tegn linjer gennem henholdsvis, og som er parallelle med modstående sider. Firkant 1 og firkant 1 er parallellogrammer, dvs. at 1 = 3

estem arealet af trekant. pgave 1.8. Lad I være centrum i den indskrevne cirkel til trekant, og lad yderligere 1 og 2 være to forskellige punkter på linjen gennem og således at I = 1 I = 2 I, 1 og 2 være to forskellige punkter på linjen gennem og således at I = 1 I = 2 I, og 1 og 2 være to forskellige punkter på linjen gennem og således at I = 1 I = 2 I. Vis at 1 2 + 1 2 + 1 2 er trekantens omkreds. pgave 1.9. Lad I være vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt i en trekant, og lad yderligere 1, 1 og 1 være spejlingerne af I i henholdsvis a, b og c. irklen gennem 1, 1 og 1 går også gennem. estem vinklen. centrum for den indskrevne cirkel the incenter højde altitude højdernes skæringspunkt orthocenter omkreds perimeter linjestykke line segment 1 I 1 pgave 1.10. Fra vinkelspidsen i trekant tegnes en ret linje der halverer medianen fra. I hvilket forhold deler denne linje siden? (Georg Mohr 1995) Gloser ligebenet trekant isosceles triangle ligesidet trekant equilateral triangle ensvinkelede trekanter similar triangles transversal transversal median median medianernes skæringspunkt centroid midtnormal perpendicular bisector den omskreve cirkel the circumcircle centrum for den omskrevne cirkel the circumcenter vinkelhalveringslinje angle bisector den indskrevne cirkel the incircle 1 4

2 irkler og vinkler efinition af centervinkel En centervinkel er en vinkel der har toppunkt i centrum og radier som vinkelben. En centervinkel måles ved den bue den spænder over. å figuren er en centervinkel som spænder over buen, og vi skriver =. a vinkelsummen i en trekant er 180, er 2w = v. Tilsvarende fås 2w = v, dvs. 2w = v. w v w v ntag nu at w s ene vinkelben skærer v s vinkelben. iameteren gennem skærer da yderligere periferien i et punkt vi kalder for. Ifølge det vi lige har vist, er 2 = og 2 =, og dermed efinition af periferivinkel En periferivinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og korder som vinkelben. v 2 v Sætning om periferivinkler En periferivinkel er halvt så stor som den bue den spænder over. ermed er to periferivinkler som spænder over samme bue, lige store, og en periferivinkel der spænder over en halvcirkel, er ret. evis Lad v være en centervinkel og w en periferivinkel der begge spænder over buen. Kald centrum for og punktet hvor w rører periferien, for. ntag først at vinkelbenene for vinkel v kun skærer vinkelbenene for w i punkterne og. a deler diameteren gennem vinklerne v og w i to vinkler som vi kalder hendholdsvis v og v og w og w. Trekant er nu en ligebenet trekant med to lige store vinkler w, og den sidste vinkel er 180 v. 2w = 2 2 = = v. pgave 2.1. I en spidsvinklet trekant kaldes centrum for den omskrevne cirkel og højdernes skæringspunkt for H. Linjen gennem skærer den omskrevne cirkel i et punkt Q forskelligt fra. Vis at Q H er at parallellogram. efinition af korde-tangent-vinkel En korde-tangent-vinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og en korde samt en tangent som vinkelben. Sætning om korde-tangent-vinkel En korde-tangent-vinkel er halvt så stor som den bue korden spænder over. pgave 2.2 (m korde-tangent-vinkler). evis sætningen om korde-tangentvinkler. (Hint: Husk at står vinkelret på tangenten.) v 2 v 5

en omvendte sætning om korde-tangent-vinkler Lad Q være en korde i en cirkel og l en linje gennem. Lad yderligere R være et punkt på linjen l forskelligt fra og S et punkt på cirkelperiferien så R og S ligger på hver sin side af linjen Q. Hvis R Q = SQ, da er l tangent til cirklen. R pgave 2.3. evis den omvendte sætning om korde-tangent-vinkler. Sætning om vinkler i cirkler m vinklerne v og w på figurerne gælder: S Q pgave 2.6. Lad to cirkler 1 og 2 skære hinanden i punkterne og. Tangenten til 1 gennem skærer 2 i punktet, og tangenten til 2 gennem skærer 1 i punktet. esuden oplyses at = 3 og = 4. estem længden af. Gloser ret vinkel right angle spids vinkel acute angle stump vinkel obtuse angle centervinkel central angle periferivinkel inscribed angle bue arc korde chord tangent tangent v = + 2 og w = 2. v w pgave 2.4. evis sætningen. (Hint: Vinkel v : Kald skæringen mellem og for. Tegn linjestykket, og betragt og periferivinkler. Vinkel w : Tegn linjestykket, og kald vinkelspidsen ved w for. etragt og periferivinkler.) pgave 2.5. Sætning I en trekant betegner I centrum for den indskrevne cirkel, og M er skæringen mellem I og den omskrevne cirkel. Vis at M er centrum for cirklen gennem, og I. 6

3 Indskrivelige firkanter efinition af simple firkanter En firkant kaldes simpel hvis dens sider ikke skærer hinanden. I disse noter betegner ordet firkant fremover en simpel firkant. Figuren viser et eksempel på en ikke-simpel firkant. efinition af konvekse firkanter En firkant kaldes konveks hvis der for vilkårlige to indre punkter gælder at linjestykket mellem punkterne er indeholdt i firkanten. e konvekse firkanter er altså netop dem der ikke har en vinkel der overstiger 180. Generelt defineres en konveks figur på tilsvarende måde. efinition af indskrivelige firkanter En firkant kaldes indskrivelig hvis den har en omskreven cirkel. Sætning om indskrivelige firkanter En firkant er indskrivelig netop hvis summen af modstående vinkler er 180. evis ntag at en firkant er indskrivelig. To modstående vinkler spænder da tilsammen over hele cirkelperiferien, og summen er derfor 180. ntag at det for en given firkant gælder at summen af to modstående vinkler er 180. etragt nu den omskrevne cirkel til trekant, og lad punktet E være skæringen mellem cirklen og linjen gennem og. Hvis firkanten er indskrivelig, er lig E. Vi ved at = 180 = 180 E = E, dvs. at punktet E ligger på linjen og derfor er identisk med. Endnu en sætning om indskrivelige firkanter Lad være en konveks firkant. a er firkant indskrivelig netop hvis =. Specielt er firkant indskrivelig når begge diagonaler står vinkelret på en side. pgave 3.1. evis sætningen. pgave 3.2. Sætning Lad H a og H b være fodpunkterne for højderne fra henholdsvis og i trekant. Vis at firkant H a H b er indskrivelig. Vis desuden at og H a H b er ensvinklede. pgave 3.3. Sætning Lad H a, H b opg H c være fodpunkterne for højderne fra henholdsvis, og i en spidsvinklet trekant. Vis at H a er vinkelhalveringslinje i H a H b H c. pgave 3.4. Sætning Lad H være højdernes skæringspunkt i trekant. Vis at spejlingen af H i en vilkårlig af trekantens sider ligger på trekantens omskrevne cirkel. pgave 3.5. Lad være en spidsvinklet trekant, L og K højder i trekanten og M midtpunktet af. Vis at linjen M L og linjen M K tangerer den omskrevne cirkel til trekant K L. 7

pgave 3.6. Tre cirkler 1, 2 og 3 skærer hinanden i et fælles punkt, 1 og 2 skærer hinanden i a, 1 og 3 skærer hinanden b i Q, og 2 og 3 skærer hinanden i R. 2 1 R Lad være et punkt på cirkelbuen Q som vist på figuren. Linjen gennem og skærer cirklen 2 i punktet, og linjen gennem og Q skærer cirklen 3 i. Vis at punkterne, og R ligger på linje. pgave 3.7. I rektanglet er M midtpunktet af siden, og H er et punkt på linjestykket M således at H står vinkelret på M. Vis at trekant H er ligebenet. pgave 3.8. En firkant er indskrevet i en cirkel med som diameter. Lad S være skæringspunktet mellem diagonalerne og, og lad T være projektionen af S på. Vis at linjen S T halverer vinkel T. Gloser simpel firkant simple quadrilateral konveks firkant convex quadrilateral indskrivelig firkant cyclic quadrlateral parallelogram parallelogram Q 3 4 tolemæus sætning tolemæus ulighed For alle firkanter gælder tolemæus ulighed + med lighedstegn netop hvis firkant er indskrivelig. I de fleste opgaver har man ikke brug for uligheden, men blot at der for indskrivelige firkanter gælder lighedstegn. ette kaldes tolemæus sætning evis Givet en firkant lad M være et punkt så trekant M og trekant er ensvinklede og vender samme vej. ermed er = M. ga. konstruktionen er M =. a trekant M og trekant er ensvinklede, er / M = /. ltså er også trekant og trekant M ensvinklede med = M. I alt giver dette + = ( M + M ) M med lighedstegn netop når M ligger på. unktet M ligger på netop når =, dvs. netop når firkant er indskrivelig. pgave 4.1. En ligesidet trekant er indskrevet i en cirkel. Lad M være et vilkårligt punkt på cirkelbuen. Vis at M = M + M. pgave 4.2. En firkant er indskreven i en cirkel med radius 1, = 1, = 2 og = 2. estem. 8

pgave 4.3. Lad være et kvadrat, og lad være et punkt på cirkelbuen på den omskrevne cirkel til kvadratet. Vis at er konstant uanset valget af. + pgave 4.4. Lad E F G være en regulær syvkant. Vis at 1 = 1 + 1. (En regulær n-kant er en n-kant hvor alle sider er lige lange, og alle vinkler er lige store.) Gloser tolemæus sætning tolemy s theorem tolemæus ulighed tolemy s inequality 5 Et punkts potens efinition af et punkts potens I en given cirkel betegnes centrum og radius r. Et punkt s potens mht. cirklen er tallet 2 r 2. Hvis ligger på cirkelperiferien, er s potens derfor 0, mens den er positiv hvis ligger uden for cirklen, og negativ hvis ligger inden for cirklen. Sætning om et punkts potens I en given cirkel betegnes centrum og radius r. Lad være et punkt og l og m være to linjer gennem, hvor l skærer cirklen i og, og m skærer cirklen i og. (Hvis en af linjerne tangerer cirklen, er de to punkter sammenfaldende.) a gælder at =. Hvis ligger uden for cirklen, er netop punktets potens mht. cirklen, og hvis ligger inden for cirklen, er netop punktets potens. evis i tilfældet hvor punktet ligger uden for cirklen Lad være et punkt uden for cirklen, og lad l være en vilkårlig linje gennem som skærer cirklen i punkterne og. Vi viser først at netop er s potens mht. cirklen. Q Q 9

Tegn tangenten til cirklen gennem som vist på figuren, og kald røringspunktet for Q. Ifølge ythagoras sætning er Q 2 = 2 r 2. etragt nu trekanterne Q og Q. Korde-tangent-vinklen Q er lige så stor som periferivinklen Q, ifølge sætningerne om periferivinkler og korde-tangent-vinkler. ermed er Q og Q ensvinklede, og dette giver Q 2 =. Samlet har vi at netop er punktet s potens mht. cirklen. Lad nu m være endnu en linje gennem som skærer cirklen i punkterne og. Ifølge det vi netop har vist, må også være punktet s potens mht. til cirklen, dvs. at =. pgave 5.1 (m et punkt potens). evis sætningen om et punkts potens i det tilfælde hvor punktet ligger inden i cirklen. (Hint: Tegn linjen gennem og centrum, og vis at = (r )(r + ) = r 2 2 ). en omvendte sætning om et punkts potens Lad l og m være to forskellige linjer med skæringspunkt, lad og være to punkter på l på hver sin side af, og lad og være to punkter på m på hver sin side af (eller lad både og være på samme siden af og og være på samme side af ). Hvis =, da ligger,, og på samme cirkel. pgave 5.2. evis sætningen. pgave 5.3. To cirkler skærer hinanden i punkterne M og N, og den fælles tangent til de to cirkler nærmest N rører cirklerne i og Q. Vis at trekant M N og trekant Q M N har samme areal. pgave 5.4. I den spidsvinklede trekant skærer højden fra cirklen med diameter i og Q og højden fra cirklen med diameter i S og T. Vis at, Q, S og T ligger på samme cirkel. Gloser et punkts potens the power of a point 6 evas sætning efinition af cevian En cevian er en linje i en trekant fra en vinkelspids til den modstående side (eller dens forlængelse). Fx er højder, medianer og vinkelhalveringslinjer alle cevianer. evas sætning evas sætning siger at cevianerne, og (hvor ligger på osv.), skærer hinanden i samme punkt, netop hvis = 1. emærkning evas sætning gælder også hvis nogle af cevianerne går fra en vinkelspids til et punkt der ikke ligger på den modstående side men kun dens forlængelsen. I dette tilfælde er det dog nødvendigt at regne længderne med fortegn således at postiv retning er, og. Hvis fx ligger på forlængelsen af tættest på, da er negativ. evis Her beviser vi kun sætningen i tilfældet hvor alle tre cevianer ligger inden for trekanten. Hvis nogle af cevianerne falder uden for trekanten, foregår beviset stort set på samme måde, men det kræver lidt flere overvejelser undervejs. Først viser vi at hvis de tre cevianer går gennem samme punkt, så vil = 1. 10

ntag at cevianerne går gennem samme punkt. er gælder at hvis to trekanter har samme højde, da er forholdet mellem arealerne det samme som forholdet mellem grundlinjerne. Lad T ( ) betegne arealet af en trekant. ermed er Samlet får vi = T ( ) T ( ) og = T ( ) T ( ). = T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) = T ( ) T ( ). Her har vi benyttet brøkregnereglen der siger at hvis s t = u v, er s t = s u t v, når t v. Tilsvarende fås Samlet giver dette = T ( ) T ( ) og = T ( ) T ( ). = T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) = 1. Nu viser vi den modsatte vej. ntag at = 1. Kald skæringspunktet mellem og for, og betragt cevianen fra gennem. a cevianerne, og går gennem samme punkt, gælder ifølge det vi lige har vist, at = 1. Ifølge vores antagelse er = 1, dvs. at =. f dette ses at og er samme punkt, og dermed at cevianerne, og skærer hinanden i samme punkt. pgave 6.1. Før benyttede vi sætningen om midtnormaler til at bevise at højderne skærer hinanden i samme punkt. enyt nu i stedet evas sætning til at bevise dette. pgave 6.2. I trekant er og Q punkter på henholdsvis linjestykket og linjestykket således at Q er parallel med, og X er skæringspunktet mellem Q og. Vis at X deler linjestykket på midten. pgave 6.3. Sætning I en trekant tangerer den indskrevne cirkel siderne siderne, og i henholdsvis X, Y g Z. Vis at X, Y og Z skærer hinanden i et punkt. (ette punkt kaldes trekantens Gergonne punkt). pgave 6.4. I trekant er vinkelhalveringslinje og H højde, og og Q er projektionerne af på henholdsvis og. Vis at H, og Q skærer hinanden i et punkt. evas sætning med vinkler evas sætning kan også formuleres med de vinkler cevianerne danner med siderne, i stedet for med det forhold de deler siderne i. 11

Lad være en trekant og, og cevianer i trekanten. Lad α 1 =, α 2 =, β 1 =, β 2 =, γ 1 = og γ 2 =. Vinklerne regnes her med fortegn ligesom længderne i evas sætning, dvs. hvis fx ligger på forlængelsen af siden tættest på, da er α 1 negativ. evas sætning siger i denne version at cevianerne, og skærer hinanden i samme punkt, netop hvis sinα 1 sinα 2 sinβ 1 sinβ 2 sinγ 1 sinγ 2 = 1. α 1 α 2 pgave 6.5. evis sætningen. β 2 β1 γ 2 γ 1 pgave 6.6. Lad, og være tre cevianer i trekant som skærer hinanden i et fælles punkt. Lad være skæringen mellem og spejlingen af i vinkelhalveringslinjen til, og lad og være defineret tilsvarende. Vis at de tre cevianer, og skærer hinanden i et punkt. Gloser cevian cevian avas sætning eva s theorem 7 real og radius i den omskrevne cirkel I dette afsnit ser vi på en trekant hvor s betegner den halve omkreds, r er radius i den indskrevne cirkel, R er radius i den omskrevne cirkel, og T er arealet med mindre andet er nævnt. Sætning om radius i den omskrevne cirkel m radius i den omskrevne cirkel til trekant gælder evis 2R = a sin = b sin = 2R c sin. Lad være diameter i den omskrevne cirkel til trekant. a er sin = sin = a b c 2R. Tilsvarende ses at sin = 2R og sin = 2R, og dermed i alt 2R = a sin = b sin = c sin. Sætning om areal og radius i den omskrevne cirkel er gælder at 4RT = a b c. evis Ifølge sætningen om radius i den omskrevne cirkel samt sætningen om arealet af en trekant udtrykt ved sinus til en vinkel og længden af de hosliggende sider, er a 4RT = 2 2R T = 2 sin 1 2 b c sin = a b c. 12

Herons formel realet af en trekant kan beregnes ud fra trekantens sidelængder vha. Herons formel evis Ifølge cosinusrelationen er T = s (s a )(s b )(s c ). (2b c ) 2 cos 2 = (b 2 + c 2 a 2 ) 2. Vi ved at 4T = 2b c sin, og ved kvadrering 16T 2 = (2b c ) 2 sin 2. esuden er sin 2 = 1 cos 2. Samlet giver dette 16T 2 = (2b c ) 2 (2b c ) 2 cos 2 = (2b c ) 2 (b 2 + c 2 a 2 ) 2 = (2b c + b 2 + c 2 a 2 )(2b c b 2 c 2 + a 2 ) = ((b + c ) 2 a 2 )(a 2 (b c ) 2 ) = (a + b + c )(b + c a )(a + c b )(a + b c ) = 16s (s a )(s b )(s c ). pgave 7.2. Vis at der findes uendeligt mange trekanter hvor sidelængderne er tre på hinanden følgende hele tal, og arealet af trekanten er et helt tal. (NM 1995) pgave 7.3. Vis for en trekant at pgave 7.4. Vis for en trekant at Gloser Herons formel Heron s formula cos + cos + cos = r R + 1. 1 a b + 1 a c + 1 b c = 1 2r R. Hermed er Herons formel bevist. rahmaguptas formel realet af en indskrivelig firkant kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: T = (s )(s )(s )(s ) hvor s også her betegner den halve omkreds. (eviset udelades). pgave 7.1. Firkant er indskrevet i en cirkel med radius R. iagonalerne står vinkelret på hinanden, og deres skæringspunkt kaldes E. Vis at E 2 + E 2 + E 2 + E 2 = 4R 2. 13

8 Multiplikation omkring et punkt Her gives en kort introduktion til den affine afbildning multiplikation omkring et punkt samt eksempler på hvordan denne afbildning kan bruges i løsningen af geometriopgaver. Hvis du ønsker en mere teoretisk indføring i affine afbildninger og deres egenskaber, så se Jens-Søren ndersens noter ffine transformationer. efinition af multiplikation omkring et punkt Multiplikation omkring punktet med multiplikationsfaktoren k er en afbildning af planen i sig selv hvor et punkt afbildes i punktet så = k. I det følgende ser vi bort fra tilfældet k = 0. Hvis k = 1 er det blot identitetsafbildningen, mens fx k = 1 giver en drejning på 180 om. Egenskaber Ved multiplikation omkring et punkt afbildes en linje i en linje parallel med linjen. Multiplikation omkring et punkt bevarer vinkler lle figurer afbildes i ligedannede figurer. For to cirkler med forskellige radier findes netop et punkt og en multiplikation omkring dette med positiv multiplikationsfaktor som afbilder den ene cirkel i den anden. For to cirkler findes netop et punkt og en multiplikation med negativ multiplikationsfaktor som fører den ene cirkel i den anden. For to ensvinklede trekanter som ikke er kongruente, og hvor ensliggende sider er parallelle, findes netop et punkt og en multiplikation omkring dette som afbilder den ene trekant i den anden. Sammensætningen af to multiplikationer om to punkter, hvor produktet af de to multiplikationsfaktorer ikke er 1, er igen en multiplikation omkring et punkt, og multiplikationsfaktoren er produktet af de to multiplikationsfaktorer. Eksempel 1 Multiplikation omkring et punkt kan fx benyttes til at vise at tre punkter ligger på linje, ved at vise at en multiplikation omkring et af punkterne kan afbilde det andet punkt i det tredje. Hvis vi fx betragter tre cirkler med samme radius som skærer hinanden i et fælles punkt S, og den trekant der opstår ved at tegne tangenter som vist på figuren, kan vi vise at S samt centrum I for den indskrevne cirkel og centrum for den omskrevne cirkel til trekant ligger på linje. I S Trekanten som opstår når man forbinder centrerne for de tre cirkler, har parvis parallelle sider med trekant da de tre cirkler har samme radius. a I er skæringen mellem vinkelhalveringslinjerne i trekant, og de tre centre ligger på disse vinkelhalveringslinjer, må I være centrum for den multiplikation som afbilder den lille trekant i trekant. unktet S er centrum for den omskrevne cirkel til den lille trekant da de tre cirkler har samme radius, og dermed afbildes S i. ette viser at I, S og ligger på samme linje. Eksempel 2 Multiplikation omkring et punkt kan også benyttes til at vise noget om vinkler fx ved at udnytte sætningen om periferivinkler i en cirkel. etragt en cirkel 1 som tangerer en cirkel 2 indvendigt i punktet. Lad l være en tangent til 1 i et punkt Q forskelligt fra. Linjen l skærer 2 i henholdvis og. Vi ønsker at vise at Q er vinkelhalveringslinje i trekant. Multiplikationen i som fører 1 i 2, fører Q i Q og tangenten l til 1 i en tangent l til 2 i punktet Q. 14

l Q j a l og l er parallelle, og l er tangent til 2, er cirkelbuerne Q og Q lige store. erfor er Q = Q, og altså Q vinkelhalveringslinje i trekant. emærkning Multiplikation omkring et punkt kan også benyttes til at vise at nogle punkter ligger på samme cirkel, fx ved at finde en multiplikation som afbilder punkterne i en allerede kendt cirkel. Man kan også vha. af multiplikation omkring et punkt vise at to linjer er parallelle ved at finde en multiplikation der afbilder den ene i den anden, og man kan benytte multiplikation omkring et punkt til at bestemme forholdet mellem forskellige linjestykker ud fra multiplikationsfaktoren. I de følgende opgaver kan du selv prøve kræfter med dette. pgave 8.1. To cirkler 1 og 2 med samme radius tangerer en større cirkel indvendigt i henholdsvis 1 og 2. Lad M være et punkt på forskelligt fra 1 og 2, og lad 1 og 2 være skæringspunkterne mellem henholdvis M 1 og 1 og mellem M 2 og 2. Vis at 1 2 er parallel med 1 2. pgave 8.2. En cirkel 1 tangerer en cirkel 2 indvendigt i punktet. En linje l skærer de to cirkler i punkterne M, N, og Q således at punkterne ligger i nævnte rækkefælge på linjen. Vis at M N = Q. pgave 8.3. En cirkel 1 tangerer en cirkel 2 indvendigt i punktet. m to forskellige linjer gennem oplyses at den ene skærer 1 og 2 i henholdsvis X 1 og X 2 og den anden skærer 1 og 2 i henholdsvis Y 1 og Y 2. Linjerne X 1 Y 2 og X 2 Y 1 skærer hinanden i punktet. Vis at hvis ligger på 1, da tangerer den omskrevne cirkel til X 2 Y 2 cirklen 1. pgave 8.4. unktet er et indre punkt i en spidsvinklet trekant, og X, Y og Z er projektionerne af på henholdsvis a, b og c. irklen gennem X, Y l Q l Q og Z skærer henholdsvis a, b og c i tre nye punkter X 1, Y 1 og Z 1. Vis at linjerne gennem henholdsvis X 1, Y 1 og Z 1 vinkelret på henholdsvis a, b og c skærer hinanden i et punkt. pgave 8.5. I en trekant kaldes midtpunkterne af, og for henholdvis M a, M b og M c. Trekant s Spieker centrum er centrum for den indskrevne cirkel til trekant M a M b M c. Vis at centrum I for den indskrevne cirkel til trekant, medianernes skæringspunkt M og trekantens Spieker centrum S alle ligger på samme linje. pgave 8.6. I trekant kaldes højdernes skæringspunkt for H og fodpunkterne for de tre højder for henholdsvis H a, H b og H c. Lad M a, M b og M c være midtpunkterne af henholdvis H, H og H. Vis at H a, H b, H c, M a, M b og M c ligger på en cirkel. Vis desuden at radius for den omskrevne cirkel til trekant er dobbelt så så stor som radius for den omskrevne cirkel til trekant H a H b H c. pgave 8.7. (IM 1978) I trekant er =. En cirkel tangerer siderne og i henholdsvis og Q samt den omskrevne cirkel til trekant indvendigt. Vis at midtpunktet af Q er centrum for den indskrevne cirkel til trekant. Gloser multiplikation omkring et punkt homothety muliplikation omkring med multiplikationsfaktor k homothety with center and ratio k 15

9 Trekantens ydre røringscirkler efinition af trekantens ydre røringscirkler En trekant har tre ydre røringscirkler, en for hver side i trekanten. en ydre røringscirkel til siden er en cirkel der ligger uden for trekanten, og som tangerer siden samt forlængelserne af og. Sætning om de ydre røringscirklers centre entrum for den ydre røringscirkel til siden i trekant er skæringspunktet for vinkelhalveringslinjen til vinkel og de ydre vinkelhalveringslinjer til vinkel og. e tre ydre røringscirklers centre danner en trekant i hvilken vinkelhalveringslinjerne for trekant er højder. Sætning 1 om den ydre røringscirkel Lad være en trekant, s den halve omkreds og c a den ydre røringscirkel til siden. a gælder at i) otensen af mht. c er s 2. ii) Røringspunktet mellem og den indskrevne cirkel og røringspunktet mellem og den ydre røringscirkel c ligger symmetrisk på linjestykket omkring dets midtpunkt. c a b c pgave 9.1. Vis sætningen. Sætning 2 om den ydre røringscirkel Lad være en trekant, I centrum for den indskrevne cirkel, a centrum for den ydre røringscirkel til siden og skæringen mellem den omskrevne cirkel og vinkelhalveringslinjen fra. a gælder a evis a den ydre røringscirkel til siden tangerer samt forlængelserne af og, må dens centrum ligge i samme afstand til disse tre linjer. a vinkelhalveringslinjen netop er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til de to vinkelben, må den ydre røringscirkel centrum ligge på vinkelhalveringslinjen til vinkel samt de ydre vinkelhalveringslinjer til vinkel og vinkel. f dette ses at de ydre røringscirklers centre a, b og c danner en trekant hvis sider går gennem henholdsvis, og. Vinkelhalveringslinjen til vinkel står vinkelret på siden b c, da a = a og b = c. I i) unkterne, I, og a ligger på en cirkel med som centrum. ii) er gælder at I a =. a 16

pgave 9.2. Vis sætningen. pgave 9.3. Sætning I trekant indtegnes tre cevianer fra vinkelspidserne til røringspunkterne for de tre røringscirkler. Vis at de tre cevianer skærer hinanden i et punkt. pgave 9.4. Sætning For en trekant betegner T arealet, r radius i den indskrevne cirkel og r 1, r 2 og r 3 radierne i de tre ydre røringscirkler. Vis at T 2 = r r 1 r 2 r 3. pgave 9.5. Lad I være centrum for den indskrevne cirkel i trekant, og lad Γ være trekantens omskrevne cirkel. Lad linjen I skære Γ i et punkt forskelligt fra. Lad E være et punkt på cirkelbuen som ikke indeholder, og lad F være et punkt på siden så F = E. Lad yderligere G være midtpunktet af linjestykket I F. Vis at linjerne G og E I skærer hinanden på Γ. (IM 2010) Gloser ydre røringscirkel excircle centrum for den ydre røringscirkel excenter 10 Radikalakse og radikalcentrum I kapitlet om punkts potens så vi at et punkt s potens mht. en cirkel med centrum og radius r defineres som tallet 2 r 2. Hvis ligger på cirkelperiferien, er s potens derfor 0, mens den er positiv hvis ligger uden for cirklen, og negativ hvis ligger inden for cirklen. Yderligere så vi at hvis en linje gennem skærer cirklen i og og en anden linje gennem skærer cirklen i og (i begge tilfælde er punkterne sammenfaldende hvis linjen tangerer cirklen), da gælder at =. Hvis ligger uden for cirklen, er netop punktets potens mht. cirklen, og hvis ligger inden for cirklen, er netop punktets potens. efinition af radikalakse Radikalaksen for to cirkler med forskellige centre er det geometriske sted for de punkter der har samme potens mht. de to cirkler. Sætning om radikalakse Kald centrum i de to cirkler for henholdsvis 1 og 2, cirklernes radier for henholdsvis r 1 og r 2, og lad d betegne afstanden mellem de to centre. a er radikalaksen en ret linje der står vinkelret på linjen 1 2. Radikalaksens afstand til henholdsvis 1 og 2 er r 1 2 r 2 2+d 2 2d og r 2 2 r 1 2+d 2 2d. Hvis cirklerne skærer hinanden i to punkter og, er radikalaksen netop linjen gennem og. evis Lad Q være punktet på linjen 1 2 med Q 1 = r 1 2 r 2 2+d 2 2d og Q 2 = r 2 2 r 1 2+d 2 2d. (ette er muligt da r 1 2 r 2 2+d 2 2d + r 2 2 r 1 2+d 2 2d = d ). 1 2 17

ntag at er et punkt på radikalaksen, og lad være projektionen af på 1 2. t er et punkt på radikalaksen, er ensbetydende med at c 3 1 2 r 2 1 = 2 2 r 2 2. ette er ensbetydende med at c 1 c 2 2 + 1 2 r 2 1 = 2 + (d 1 ) 2 r 2 2, og yderligere at 1 = r 1 2 r 2 2 + d 2. 2d ette er ensbetydende med at = Q, og dermed at ligger på linjen gennem Q vinkelret på 1 2. Vi har dermed vist at alle punkter på radikalaksen ligger på denne linje. Man kan tilsvarende vise at alle punkter på linjen har samme potens mht. de to cirkler, og altså samlet at radikalaksen netop består af punkterne på denne linje. Hvis cirklerne skærer hinanden i to punkter og, har begge punkter potens nul mht. de to cirkler, og dermed er radikalaksen netop linjen gennem og. efinition af radikalcentrum Radikalcentrum for tre cirkler med forskellige centre er det geometriske sted for de punkter der har samme potens mht. de tre cirkler. Sætning om radikalcentrum For tre cirkler c 1, c 2 og c 3 med forskellige centre som ikke alle tre ligger på linje, gælder at radikalakserne for henholdsvis, c 1 og c 2, c 1 og c 3 samt c 2 og c 3 skærer hinanden i et punkt, og at dette punkt er deres radikalcentrum. Hvis de tre centre ligger på linje, er radikalakserne for henholdsvis, c 1 og c 2, c 1 og c 3 samt c 2 og c 3 parallelle og evt. sammenfaldende, dvs. i dette tilfælde er deres radikalcentrum den tomme mængde eller en ret linje. evis. Hvis de tre centre ikke ligger på linje, ved vi fra sætningen om radikalakse at radikalakserne for henholdsvis c 1 og c 2, c 1 og c 3 samt c 2 og c 3 parvis ikke er parallelle, samt at radikalcentrum for de tre cirkler pr. definition er indeholdt i fællesmængden af disse radikalakser. Lad være skæringspunktet mellem radikalaksen for c 1 og c 2 og radikalaksen for c 1 og c 3. ermed er potensen af mht. c 1 lig potensen af mht. c 2, og potensen af mht. c 1 er lig med potensen af mht. c 3. ltså er potensen af mht. c 2 også lig med potensen af mht. c 3, hvilket betyder at ligger på radikalaksen for c 2 og c 3. ermed går alle tre radikalakser gennem, og er dermed radikalcentrum for de tre cirkler. Hvis de tre centre ligger på linje, ved vi fra sætningen om radikalakse at radikalakserne for henholdsvis c 1 og c 2, c 1 og c 3 samt c 2 og c 3 alle er parallelle. Hvis de ikke alle er sammenfaldende, er radikalcentrum for de tre cirkler den tomme mængde, og hvis de alle er sammenfaldende, er radikalcentrum identisk med den fælles radikalakse. egenererede cirkler med radius 0 åde for radikalakse og radikalcentrum giver definitionen også mening hvis en eller flere af cirklerne er en degenereret cirkel med radius 0, og sætningerne gælder også i dette tilfælde. Eksempel på anvendelse af radikalakse To cirkler c 1 og c 2 tangerer hinanden udvendigt i punktet T. Lad være et punkt på deres fælles tangent gennem T, og lad og være to punkter på c 1 så, og ligger på linje, og lad og være to punkter på c 2 så, og 18

ligger på linje. Vi ønsker at vise at,, og ligger på en cirkel. Kald cirklen gennem, og for c 3. Linjen T er radikalakse for c 1 og c 2, og linjen er radikalakse for c 1 og c 3. ermed må skæringspunktet mellem og T ligge på radikalaksen for c 2 og c 3, dvs. denne radikalakse er. a radikalaksen yderligere skærer c 2 i, må dette punkt også ligge på c 3. ermed ligger,, og på en cirkel. pgave 10.4. I en cirkel c er ST en korde som afgrænser et cirkelafsnit, og i dette afsnit er der to cirkler c 1 og c 2 som begge tangerer c og korden ST, og som skærer hinanden i punkterne U og V. Røringspunktet mellem cirklen c 1 og cirklen c betegnes, og røringspunktet mellem cirklen c 1 og korden ST betegnes. Lad M være midtpunktet af cirkelbuen S T modsat det nævnte cirkelafsnit. T c 1 S c 2 V U c 1 T c c 2 M pgave 10.1. To cirkler S 1 og S 2 skærer hinanden i punkterne M og N. Vis at hvis rektanglet er placeret så og ligger på S 1, og og ligger på S 2, så vil skæringspunktet mellem rektanglets diagonaler ligge på linjen M N. i) Vis at, og M ligger på linje. ii) Vis at M M = M T 2. iii) Vis at U, V og M ligger på linje. pgave 10.2. Lad være en trekant, og lad trekanterne, E og F være ligebenede trekanter med henholdsvis, og som grundlinje, så disse tre trekanter ligger uden for trekant. Vis at de tre linjer gennem henholdsvis, og som står vinkelret på henholdsvis E F, F og E, skærer hinanden i samme punkt. pgave 10.3. unkterne, Q, R og S ligger på cirklen c således at Q og RS ikke er parallelle. Lad L være mængden af punkter I for hvilke der findes en cirkel c 1 gennem og Q samt en cirkel c 2 gennem R og S således at de to cirkler tangerer hinanden i I. eskriv punktmængden L. 19

pgave 10.5. Lad være diameter i halvcirklen c med centrum, og og to punkter på c således at,, og er fire forskellige punkter der ligger på c i den nævnte rækkefølge. Midtpunkterne af henholdsvis, og betegnes E, F og G. Linjen gennem E vinkelret på F skærer tangenten til c i i punktet M, og linjen gennem G vinkelret på F skærer tangenten til c i i punktet N. Lad cirklerne c 1, c 2 og c 3 have henholdsvis, og E G som diameter. M E F G N 11 Eulerlinjen og Simsonlinjen Sætning om Eulerlinjen I en trekant kaldes medianernes skæringspunkt som sædvanligt M, højdernes skæringspunkt H og midtnormalernes skæringspunkt. unkterne H, M og ligger på en ret linje som kaldes Eulerlinjen, og M deler H således at 2 M = M H. evis Kald midtpunkterne af og for henholdsvis M a og M b, og skæringspunktet mellem M b og H for. Vi ønsker at vise at = M samt at 2 M = H M. i) evis at radikalaksen for c 1 og c 3 er M E, samt at radikalaksen for c 2 og c 3 er N G. ii) Find radikalcentrum for c, c 1 og c 3 samt radikalcentrum for c, c 2 og c 3. iii) Vis at M N er parallel med. H M a pgave 10.6. Lad være en trekant. en indskrevne cirkel c i trekanten rører siderne og i henholdsvis punkterne Z og Y. Lad G være skæringspunktet mellem Y og Z, og lad R og S være punkter så firkanterne Y R og SZ er parallelogrammer. Lad desuden s være den degenerede cirkel med centrum S og radius 0, og lad c a være den ydre røringscirkel til siden. i) Vis at Z er radikalakse for s og c a. ii) Vis at G R = G S. (Variation af opgave fra IM 2009 shortlist) Gloser radikalakse radical axis/power line radikalcentrum radical center M b a er parallel med midtpunktstransversalen M a M b, M b er parallel med H da de begge står vinkelret på, og M a er parallel med H da de begge står vinkelret på, er trekanterne H og M a M b ensvinklede med forholdet 2 : 1. esuden er trekant M b ensvinklet med trekant H med samme forhold. ermed er 2 M b =, og heraf ses det ønskede nemlig at = M og 2 M = M H. Sætning om Simsonlinjen Lad være et punkt på den omskrevne cirkel til trekant, 1 projektionen af på linjen, 2 projektionen af på linjen og 3 projektionen af på linjen. 20

3 1 linje gennem. ntag at l skærer det indre af linjestykket i F og linjen i G. ntag derudover at E F = E G = E. evis at l er vinkelhalveringslinje for vinkel. Hint: enyt resultatet om Simsonlinjen til at vise at projektionen af E på linjen netop er skæringspunktet mellem diagonalerne i firkant. (IM 2007) 2 Gloser Eulerlinje Euler line Simsonlinje Simson line a ligger punkterne 1, 2 og 3 på en ret linje, og denne linje kaldes Simsonlinjen. pgave 11.1 (m Simsonlinjen). evis sætningen. Hint: Vis at firkanterne 2 1, 3 1 og 2 3 er indskrivelige, og udnyt dette til at vise at 1 2 = 1 3. en omvendte Simson Lad være en trekant, et punkt og 1, 2 og 3 projektionerne af på henholdsvis, og. Hvis punkterne 1, 2 og 3 ligger på en ret linje, da ligger på den omskrevne cirkel til trekant. (eviset udelades). pgave 11.2. Lad være en trekant hvor, E og F er fodpunkterne for højderne på henholdsvis, og. Lad yderligere, Q, M og N være projekterne af på henholdsvis,, E og F. Vis at punkterne, Q, M og N ligger på linje. pgave 11.3. I planen er givet fire ikke-parallelle linjer således at der ikke er tre som går gennem samme punkt. Hver trippel af linjer danner en trekant, dvs linjerne danner i alt fire trekanter, og hver af disse trekanter har en omskreven cirkel. Vis at de fire omskrevne cirkler har et fælles punkt. pgave 11.4. etragt fem punkter,,, og E sådan at firkant er et parallelogram, og firkant E har en omskreven cirkel. Lad l være en 21

12 Menelaos sætning Menelaos sætning Lad være en trekant. Menelaos sætning siger at tre punkter, E og F, som ligger på henholdsvis linjen, linjen og linjen, ligger på samme linje netop hvis E E F F = 1. F x ga. ensvinklede trekanter er z E y Her regnes linjestykkerne ligesom ved evas sætning med fortegn således at postiv retning er, og. Hvis fx ligger på forlængelsen af tættest på som på figuren, da er negativ. F E evis ntag først at punkterne, E og F ligger på samme linje. emærk at da denne linje skærer trekanten nul eller to gange, vil der i udtrykket E E F F være enten en eller tre længder med negativt fortegn, dvs. udtrykket er altid negativt. Hvis vi kun regner med positive længder, er det derfor nok at vise at udtrykket er lig med 1. Lad x være længden af projektionen fra på linjen E F, y længden af projektionen fra på linjen E F og z længden af projektionen fra på linjen E F, som vist på figuren. E F = x y, E E = y z og F F = z x, og dette er uafhængigt af om linjen E F skærer trekanten to eller nul gange. ermed er E E F F = 1, når vi regner med fortegn. ntag omvendt at der om, E og F gælder at E E F F = 1. Lad være skæringspunktet mellem E F og. a ved vi fra før at E E F F = 1, og dermed må =, dvs. at, E og F ligger på linje. pgave 12.1. (Monges sætning) Lad 1, 2 og 3 være cirkler som ikke rører hinanden, og som har forskellige radier. Lad X være skæringspunktet mellem de to tangenter til 1 og 2 som har cirklerne på samme side af tangenten, lad tilsvarende Y være skæringspunktet mellem de to tangenter til 2 og 3 som har cirklerne på samme side af tangenten, og Z være skæringspunktet mellem de to tangenter til 1 og 3 som har cirklerne på samme side af tangenten. 22

Y 13 Inversion Z X 1 Vis at punkterne X, Y og Z ligger på linje. pgave 12.2. (Monge-d lemberts sætning) Lad 1, 2 og 3 være cirkler som ikke rører hinanden, og som har forskellige radier. Lad X være skæringspunktet mellem de to tangenter til 1 og 2 som har cirklerne på samme side af tangenten, lad Y være skæringspunktet mellem de to tangenter til 2 og 3 som har cirklerne på hver sin side af tangenten, og Z være skæringspunktet mellem de to tangenter til 1 og 3 som har cirklerne på hver sin side af tangenten. Vis at punkterne X, Y og Z ligger på linje. Gloser Menelaos sætning Menelaus Theorem 2 3 Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling omformer man problemstillingen til en anden ækvivalent problemstilling. Inversion er derfor et interessant redskab i nogle typer geometriopgaver. isse kapitel er en indføring i inversion, de centrale egenskaber ved inversion samt hvordan man kan benytte inversion. Inversion Lad være en cirkel med centrum og radius r. Inversion i denne cirkel er en afbildning af planen, fraregnet punktet, på sig selv. Et punkt,, afbildes i det punkt som ligger på halvlinjen fra gennem, og som opfylder at = r 2. et er oplagt at inversionsafbildningen er sin egen inverse, og den er desuden kontinuert hvilket vi ikke vil komme nærmere ind på her. emærk at afbildningen fikserer cirklen og afbilder dens indre på dens ydre og omvendt. eraf navnet. et interessante ved inversion er at den afbilder linjer og cirkler i linjer og cirkler, samt at den bevarer vinkler mellem kurver, hvilket vi skal se nærmere på når det drejer sig om linjer og cirkler. Man kan på helt tilsvarende vis definere inversion i en kugle i rummet. I det følgende ser vi på inversion i en cirkel med centrum og radius r, og vi betegner billedet af et punkt med, billedet af en cirkel α med α, osv. Sætning om vinkler og afstande To punkter og, begge forskellige fra, afbildes i punkterne og således at = og =. evis Vi viser at er ensvinklet med med forholdet r 2 r 2 da det 23

viser sætningen. Først bemærker vi at =. esuden er = r 2 = r 2 og tilsvarende = hvilket giver det ønskede. r 2, Sætning om linjer og cirkler Inversion afbilder som sagt linjer og cirkler i linjer og cirkler. Mere præcist gælder En linje gennem afbildes på sig selv. åstanden er nu at α er cirklen med diameter. Lad Q være et punkt på α. a gælder at Q = Q = 90, dvs. at Q ligger på cirklen med diameter. er gælder dermed at α afbildes på en cirkel gennem hvis tangent i er parallel med α. Tilsvarende afbildes en cirkel gennem på en linje som er parallel med tangenten til cirklen i. Lad β være en cirkel som ikke går gennem, og som indeholder punkterne, Q og R. Vi vil nu vise at β afbildes på cirklen gennem, Q og R. I det følgende regner vi med orienterede vinkler. β S S β En linje som ikke går gennem, afbildes på en cirkel gennem hvis tangent i er parallel med linjen. Q R R En cirkel gennem afbildes på en linje som er parallel med tangenten til cirklen i. En cirkel som ikke går gennem, afbildes på en cirkel som ikke går gennem. evis En linje gennem afbildes oplagt på sig selv. Lad α være en linje som ikke går gennem, og betragt projektionen af på α. α Q α Q Lad S være et punkt på β som ligger mellem lad os sige R og. Vi ønsker at vise at S Q + Q R S = 180 da dette giver at S ligger på cirklen gennem, Q og R. er gælder at og tilsvarende fås Samlet giver dette Q R S = R S R Q = SR Q R, S Q = Q S. S Q + Q R S = SR S + Q Q R = SR + RQ = 180. Q ette viser at en cirkel som ikke går gennem, afbildes i en cirkel som ikke går gennem. 24

et er vigtigt at bemærke at hvis α er en cirkel som ikke går gennem, da er billedet af centrum som oftest ikke centrum i α. Nu vil vi vise at vinkler mellem linjer og cirkler bevares ved inversion, men først beviser vi at tangens mellem linjer og cirkler bevares ved inversion. Sætning om tangens mellem linjer og cirkler En linje og en cirkel eller to cirkler som tangerer i punktet,, afbildes ved inversion på en linje og en cirkel eller to cirkler som tangerer i. evis a antallet af skæringspunkter forskellig fra bevares ved inversion, følger det let. pgave 13.1. Lad α være en cirkel som ikke går gennem. Vis at centrum af α, centrum af α og ligger på linje. pgave 13.2. Lad være en trekant, og lad s betegne den halve omkreds. Vis at den ydre røringscirkel til siden c afbildes på sig selv ved inversion i en cirkel med centrum og radius s. Sætning om at vinkler bevares ved inversion Vinklen mellem to linjer, en linje og en cirkel samt to cirkler bevares ved inversion. evis Hvis to linjer skærer i punktet bevares vinklen oplagt ved inversion. Lad α og β være to linjer som skærer hinanden i,. a vil α og β have netop to skæringspunkter og. Vinklen mellem α og β i vil være identisk med vinklen mellem dem i. a en linje gennem afbildes på sig selv, og en linje der ikke går gennem, afbildes på en cirkel gennem hvis tangent i er parallel med linjen, vil vinklen mellem α og β i være identisk med vinklen mellem α og β i. Lad α være en linje og β en cirkel som skærer hinanden i,. Lad γ være tangenten til β i. a er vinklen mellem α og β i lig med vinklen mellem α og γ i som ifølge det vi lige har vist er identisk med vinklen mellem α og γ i som er lig med vinklen mellem α og β i da tangens bevares ved inversion. å tilsvarende vis ses at vinklen mellem to cirkler bevares ved inversion. pgave 13.3. I en trekant kaldes røringspunkterne mellem den indskrevne cirkel og siden og siden for henholdsvis M og N. Vis at ved inversion i den indskrevne cirkel afbildes i midtpunktet af linjestykket M N. Nu skal vi se på hvorfor inversion i nogle sammenhænge er rigtig smart. Fx er tolemæus ulighed helt lige til hvis man inverterer problemstillingen. tolemæus ulighed Som vi så i et tidligere kapitel siger tolemæus ulighed at der for en firkant gælder at + med lighedstegn netop hvis firkant er indskrivelig. evis Vi inverterer i en cirkel med centrum i og radius r. ette giver og + = r 2 r 2 + r 2 r 2 = r 4 ( + ) = r 2 r 2 r 4 =. tolemæus ulighed er i den inverterede situation derfor blot trekantsuligheden + hvor der gælder lighedstegn netop hvis, og ligger på en linje i nævnte rækkefølge. I det ikke inverterede tilfælde er dette netop ækvivalent med at, og ligger på en cirkel gennem, således at ikke ligger ved siden af, dvs. at firkant er omskrivelig. I beviset for tolemæus ulighed benyttede vi kun formlen for hvordan afstande ændres ved inversion, samt at en cirkel gennem inversionscirklens centrum afbildes på en linje der ikke går gennem centrum og omvendt. 25

Eksempel med NM-opgave fra 2007 En linje gennem skærer en cirkel i to punkter, og, på en sådan måde at ligger mellem og. Fra punktet tegnes de to tangenter til cirklen. Tangenterne rører cirklen i punkterne S og T. Lad være skæringspunktet mellem linjerne ST og. Nu skal vi først udregne hvad det er vi skal vise: = r 2 / r 2 /( ) = S 2 = 2 r 2 / r 2 /( ) = 2. Vi skal altså i det inverterede tilfælde blot vise den simplere sammenhæng at = 2. Vi skal vise at T = 2. llerførst skal vi overveje hvilket punkt vi skal invertere i. e to mest centrale punkter er og, så vi prøver først at invertere i en cirkel med centrum i og dernæst i en cirkel med centrum i for at se hvordan det omformer problemstillingen. Inversion i en cirkel med centrum i Ved inversion i en cirkel med centrum og radius r afbildes linjerne gennem på sig selv, linjen ST afbildes i en cirkel gennem, og cirklen afbildes i en cirkel som tangerer linjerne S og T som vist på figuren. S Lad være diameter i cirkel S T. a er S = T = 90, og derfor er centrum i cirkel T S. er gælder yderligere at = 90, hvilket betyder at radius fra gennem i cirkel T S står vinkelret på korden, og derfor deler den på midten. ltså er = 2 som ønsket. Inversion i en cirkel med centrum i Nu prøver vi i stedet at se hvad der sker, når vi inverterer i en cirkel med centrum i og radius r. Her afbildes linjerne gennem på sig selv, cirklen afbildes på en cirkel, og de to tangenter afbildes i to cirkler som tangerer billedet af cirklen. S T Ligheden som vi skal vise, reduceres i dette tilfælde til T = 2. 26

Ifølge opgave 8.2 er T = T = S og S = S = T. ermed er trekant S og trekant T ensvinklede, og altså 2 = S T. å tilsvarende vis får man at trekant S og trekant T er ensvinklede, og altså 2 = S T. Samlet er = 2, og dermed har vi vist det ønskede. åde i tilfældet hvor vi inverterer i en cirkel med centrum i, og i tilfældet hvor vi inverterer i en cirkel med centrum i, reduceres den lighed vi skal vise, til en væsentlig simplere lighed præcis som i beviset for tolemæus sætning. Nu skal vi se på en IM-opgave fra 1996 hvor inversion er et utroligt effektivt redskab. Eksempel fra IM 1996 pgaven lyder: Lad være et indre punkt i trekant således at =. Lad og E være centrene for henholdsvis de indskrevne cirkler i trekant og trekant. Vis at linjerne, og E skærer hinanden i et punkt. Først bemærker vi at linjen er vinkelhalveringslinjen fra i trekant, og det er kendt at vinkelhalveringslinjen deler modstående side i samme forhold som forholdet mellem de to hosliggende sider. Linjen deler altså E linjestykket i forholdet /. å tilsvarende vis ses at linjen E deler linjestykket i forholdet /. t vise at de tre linjer, E og går gennem samme punkt, er altså ækvivalent med at vise at =. Nu skal vi overveje hvilket centrum vores inversionscirkel skal have. I dette tilfælde er der en del vinkler hvis ene vinkelben går gennem, og i sådan et tilfælde er det ofte en god ide at invertere i en cirkel med centrum i. Valget af radius er derimod ikke væsentligt. Når vi inverterer i en cirkel med centrum i og radius r, svarer ligheden vi skal vise til den væsentlige simplere lighed =. Vi har endnu ikke benyttet oplysningerne om vinklerne, så derfor ser vi på hvad disse giver os af information i den inverterede situation. Tilsvarende er = =. = =. Ifølge antagelsen om vinklerne har vi nu at =, dvs. at = som ønsket. Ved først at udnytte at vinkelhalveringslinjer deler modstående side i samme forhold som forholdet mellem de hosliggende cirkler, og efterfølgende invertere omformes problemstillingen til en problemstilling der nærmest giver sig selv. Kunsten er selvfølgelig at gennemskue at inversion i en cirkel med centrum i forsimpler problemstillingen. pgave 13.4. Lad være en trekant, og lad s betegne den halve omkreds. unkterne og Q ligger på linjen således at = Q = s. Vis at den omskrevne cirkel til trekant Q tangerer den ydre røringscirkel til siden c i trekant. 27

pgave 13.5. Fire cirkler tangerer hinanden således at 1 og 3 tangerer 2 og 4, samt således at cirklerne ikke overlapper hinanden. Røringspunkterne mellem 1 og 2, 2 og 3, 3 og 4 samt 4 og 1 betegnes henholdsvis,, og. Vis at disse fire punkter enten ligger på en ret linje eller på en cirkel. pgave 13.6. Tre cirkler Γ, Γ og Γ har et fælles skæringspunkt. et andet skæringspunkt mellem Γ og Γ er, det andet skæringspunkt mellem Γ og Γ er, og det andet skæringspunkt mellem Γ og Γ er. Linjen skærer cirklen Γ i et punkt X forskelligt fra. Ligeledes skærer linjen cirklen Γ i et punkt Y forskelligt fra, og linjen skærer cirklen Γ i et punkt Z forskelligt fra. Vis at (NM 2010) Y Z X Z X Y = 1. pgave 13.7. Lad 1 og 1 være midtpunkterne af henholdsvis og i trekant. Skæringspunktet mellem de omskrevne cirkler til trekant 1 og trekant 1 betegnes, og skæringspunktet forskelligt fra mellem linjen og den omskrevne cirkel til trekant 1 1 betegnes 1. Vis at 2 = 3 1. (altic Way 2006) pgave 13.8. Fire cirkler α 1, α 2, α 3 og α 4 går alle gennem et punkt således at α 1 og α 3 tangerer hinanden udvendigt i, og α 2 og α 4 ligeledes tangerer hinanden udvendigt i. ntag yderligere at α 1 og α 2, α 2 og α 3, α 3 og α 4 samt α 4 og α 1 skærer hinanden i henholdsvis,, og alle forskellige fra. Vis at = 2 2. pgave 13.9. Lad α være en halvcirkel med diameter, et punkt på linjestykket forskelligt fra og, og α 0 en halvcirkel med som diameter således at α og α 0 ligger på samme side af. Nu definerer vi en følge af cirkler på følgende måde. irklen α 1 er cirklen med diameter, og cirklen α n er cirklen som tangerer α, α 0 og α n 1 som vist på figuren. α 0 Kald røringspunktet mellem α i og α i +1, i = 1, 2,..., for i. Vis at alle røringspunkterne 1, 2, 2,... ligger på en cirkel. pgave 13.10. Lad være en konveks firkant således at de to diagonaler står vinkelret på hinanden. Kald skæringspunktet mellem diagonalerne for, og kald fodpunkterne for højderne fra i trekant,, og for henholdsvis, Q, R og S. Vis at punkterne, Q, R og S ligger på en cirkel. pgave 13.11. Lad α være en halvcirkel med diameter Q, β en cirkel som tangerer linjestykket Q og halvcirklen α, førstnævnte i punktet, og γ en linje som tangerer β og står vinkelret på Q i punktet, således at ligger mellem og Q. Kald det andet skæringspunkt mellem α og γ for. Vis at er vinkelhalveringslinje i trekant. Gloser inversion inversion β γ α 1 α α Q 28

14 versigt Transversal: En transversal i en trekant er et linjestykke der forbinder to punkter på hver sin side i trekanten. En transversal kaldes en paralleltransversal hvis den er parallel med en af siderne i trekanten, og en midtpunktstransversal hvis den forbinder midtpunkterne af to sider. En transversal fra punktet M på siden til punktet N på siden er en paralleltransversal netop hvis M N =. En midtpunktstransversal er derfor også en paralleltransversal. Median: En median er et linjestykke i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. e tre medianer i en trekant går igennem samme punkt som normalt betegnes M, og dette punkt deler medianerne i forholdet 1:2. Midtnormal: En midtnormal til et linjestykke er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til og. I en trekant går de tre midtnormaler gennem samme punkt som normalt betegnes, og dette punkt er centrum for den omskrevne cirkel. Vinkelhalveringslinje: En vinkelhalveringslinje til en vinkel er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til vinklens ben. Vinkelhalveringslinjen er altså en linje som deler en vinkel i to lige store vinkler. I en trekant går de tre vinkelhalveringslinjer gennem samme punkt som normalt betegnes I, og dette punkt er centrum for den indskrevne cirkel. Vinkelhalveringslinjen deler modstående side i trekanten i samme forhold som forholdet mellem vinklens to hosliggende sider. Højde: En højde i en trekant er en linje der går gennem en vinkelspids og er ortogonal med modstående side. I en trekant går højderne gennem samme punkt som normalt betegnes H. real og radius i den indskrevne cirkel: I en trekant er arealet T = r s, hvor r er radius i den indskrevne cirkel, og s den halve omkreds. entervinkel: En centervinkel er en vinkel der har toppunkt i centrum og radier som vinkelben. En centervinkel måles ved den bue den spænder over. eriferivinkel: En periferivinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og korder som vinkelben. En periferivinkel er halvt så stor som den bue den spænder over, to periferivinkler som spænder over samme bue, er lige store, og en periferivinkel der spænder over en halvcirkel, er ret. Korde-tangent-vinkel: En korde-tangent-vinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og en korde samt en tangent som vinkelben. En kordetangent-vinkel er halvt så stor som den bue korden spænder over. Konvekse firkanter: En firkant kaldes konveks hvis der for vilkårlige to indre punkter gælder at linjestykket mellem punkterne er indeholdt i firkanten. Indskrivelige firkanter: En firkant kaldes indskrivelig hvis den har en omskreven cirkel. En firkant er indskrivelig netop hvis summen af modstående vinkler er 180. En firkant er indskrivelig hvis begge diagonaler står vinkelret på hver deres side i firkanten. tolemæus ulighed: For en firkant gælder at + med lighedstegn netop når firkant er indskrivelig. unkts potens: I en given cirkel betegnes centrum og radius r. Et punkt s potens mht. cirklen er tallet 2 r 2. Sætning om et punkts potens. Lad være et punkt og l og m være to linjer gennem, hvor l skærer en given cirklen i og, og m skærer cirklen i og. (Hvis en af linjerne tangerer cirklen, er de to punkter sammenfaldende.) a gælder at =. evian: En cevian er en linje i en trekant fra en vinkelspids til den modstående side (eller dens forlængelse). evas sætning: evianerne, og (hvor ligger på osv.), skærer hinanden i samme punkt, netop hvis = 1. Radius i den omskrevne cirkel: m radius i den omskrevne cirkel til trekant gælder 2R = og 4RT = a b c. a sin = b sin = c sin 29

Herons formel: realet af en trekant er T = s (s a )(s b )(s c ), hvor s betegner den halve omkreds. Multiplikation omkring et punkt: Multiplikation omkring punktet med multiplikationsfaktoren k er en afbildning af planen i sig selv hvor et punkt afbildes i punktet så = k. Multipliaktion i et punkt bevarer vinkler og fører en figur i en ligedannet figur. Inversion: Inversion i en cirkel med centrum og radius r er en afbildning af planen, fraregnet punktet, på sig selv. Et punkt,, afbildes i det punkt som ligger på halvlinjen fra gennem, og som opfylder at = r 2. Inversion bevarer skæringspunkter og vinkler. To punkter og, begge forskellige fra, afbildes i punkterne og således at = og r = 2. Ydre røringscirkler: En trekants ydre røringscirkler er de tre cirkler der hver især tangerer den ene side udvendigt og tangerer forlængelserne af de to andre sider. entrum for den ydre røringscirkel til siden i trekant er skæringspunktet for vinkelhalveringslinjen til vinkel og de ydre vinkelhalveringslinjer til vinkel og. Radikalakse: Radikalaksen for to cirkler med forskellige centre er det geometriske sted for de punkter der har samme potens mht. de to cirkler. Radikalaksen er en ret linje som står vinkelret på linjen mellem de to cirklers centre. Hvis cirklerne skærer hinanden, er det linjen gennem de to skæringspunkter. Radikalcentrum: Radikalcentrum for tre cirkler med forskellige centre er det geometriske sted for de punkter der har samme potens mht. de tre cirkler. Hvis de tre cirklers centre ikke ligger på linje, er radikalcentrum et punkt, og det er netop skæringspunktet mellem radikalakserne for hvert par af cirkler. Eulerlinje: I en trekant ligger højdernes skæingspunkt H, medianernes skæringspunkt M og centrum for den omskrevne cirkel på en ret linje som kaldes Eulerlinjen, og M deler H således at 2 M = M H. Simsonlinjen: m et punkt gælder at projektionerne af på de tre sider i en trekant ligger på en ret linje netop hvis ligger på trekantens omskrevne cirkel. enne linje kaldes Simsonlinjen. Menelaos sætning: unkterne, E og F, som ligger på henholdsvis linjen, linjen og linjen i trekant, ligger på samme linje netop hvis E E F F = 1. 30

15 Løsningsskitser pgave 1.1 a M N er midtpunktstransversal i trekant, og Q er midtpunktstransversal i trekant, er både M N og Q parallelle med og derfor også med hinanden. å samme måde ses at N og M Q er parallelle. erfor er firkant M N Q et parallellogram. pgave 1.2 Lad være en trekant, tegn midtnormalerne på og, og kald deres skæringspunkt for. a midtnormalen på er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til og, og midtnormalen på er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til og, må afstandene fra til henholdsvis, og være lige store. unktet er dermed centrum for den omskrevne cirkel, og midtnormalen på vil på tilsvarende vis gå gennem. pgave 1.3 Lad være en trekant, tegn vinkelhalveringslinjerne fra og, og kald deres skæringspunkt for I. a vinkelhalveringslinjerne er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til vinklens ben, må afstandene fra I til alle tre sider være lige store. unktet I er dermed centrum for den indskrevne cirkel, og vinkelhalveringslinjen fra vil på tilsvarende vis gå gennem I. I b Ved at udnytte at sin( V ) = sin(180 V ) = sin( V ) får vi b V V v a sin( V ) sin( V ) = sin( 2 ) = sin( 2 ) = c V. Heraf ses at vinkelhalveringslinjen deler modstående side i samme forhold som forholdet mellem de hosliggende sider. pgave 1.4 Kald centrum for den indskrevne cirkel for I. realet af trekant I er da 1 2 r c da r er højden, og c er grundlinjen. Tilsvarende er arealet for trekant I og I henholdsvis 1 2 r b og 1 2 r a. a arealet af trekant netop er summen af arealerne af disse tre trekanter, er T = 1 (a + b + c )r = s r. 2 pgave 1.5 Lad M betegne medianernes skæringspunkt og M a betegne fodpunktet for medianen på siden a. a 3 M M a = M a, er højden fra i trekant tre gange så stor som højden fra M i trekant M. ermed udgør arealet af trekant M en tredjedel af arealet af trekant. esuden har trekant M M a og trekant M M a samme areal da de har samme højde og lige store grundlinjer. ermed deler medianerne en trekant i seks små trekanter med samme areal. pgave 1.6 a =, er =, og da yderligere M = F, må M og F være ensvinklede. M c M a 31

F 1 1 M I 2 Hvis vi antager at M = F, er M og F desuden kongruente. ltså er =, og trekant er dermed ligesidet. pgave 1.7 Først viser vi at siderne i trekant er parallelle med siderne i trekant. Indtegn midtpunktstransversalen m gennem siderne og. m enne midtpunktstransversal går gennem og er parallel med. unkterne og ligger lige langt fra linjen m og linjen, og dermed er siden parallel med. Tilsvarende gælder for de andre to sider i trekant. Vi har nu at siderne i trekant og siderne trekant er parallelle. a midtpunktstransversalen m deler siden på midten, må linjen dele siden i forholdet 1 : 3, dvs. at = 4. ermed er forholdet mellem siderne i trekant og siderne i trekant 1 : 4, dvs. at forholdet mellem arealerne er 1 4 2 = 1 16. realet af trekant er derfor 1 16. pgave 1.8 Lad, og være den indskrevne cirkels røringspunkter med henholdsvis a, b og c. Trekanterne I 1, I 2, I og I er kongruente, dvs. at 1 2 = 1 + 2 = +. å tilsvarende vis fås 1 2 = + og 1 2 = +. ette giver det ønskede. pgave 1.9 Lad 2 være skæringspunktet mellem I 1 og. Trekant 2 I er retvinklet, og I = 2 2 I. ermed er I 2 = 30. a I er vinkelhalveringslinje, er vinkel = 60. pgave 1.10 Kald fodpunktet af medianen m a på a for M a. Tegn en linje gennem parallel med M a, og lad 1 være skæringspunktet mellem denne linje og forlængelsen af. M a m a Trekanterne M a og 1 er ensvinklede med forholdet 1 : 2, dvs. at = 1. Linjen gennem som halverer m a, halverer også 1 da m a og 1 er parallelle. enne linje og er derfor begge medianer i trekant 1, og linjen deler dermed i forholdet 1 : 2. pgave 2.1 a Q er diameter i den omskrevne cirkel, står Q vinkelret på og er dermed parallel med H som også står vinkelret på. 1 1 32

Q pgave 2.5 a I er vinkelhalveringslinje i trekant, må M være midtpunktet af cirkelbuen. ermed er M = M. H I å samme måde ses at Q er parallel med H. ermed er Q H et paralellogram. pgave 2.2 Vi skal vise at korde-tangentvinklen w er halvt så stor som den centervinkel v der spænder over korden. a linjestykket fra centrum til tangentens røringspunkt står vinkelret på tangenten, er w = 90 = 90 180 v 2 = v 2. pgave 2.3 ntag at R Q = SQ = α. Ifølge sætningen om korde-tangentvinkler danner tangenten i en vinkel α med Q. ermed er l sammenfaldende med denne tangent. pgave 2.4 etragt trekant. a vinkelsummen i en trekant er 180, er v = 180 = + = v w + 2. M Vi mangler at bevise at I M = I. Ved at benytte sætningen om periferivinkler samt at vinkelsummen i en trekant er 180, får vi I M = 180 I = I + I = M + I = M + I = M I. ermed er I M = M, og M er derfor centrum for cirklen gennem, og I. pgave 2.6 Ifølge sætningen om korde-tangentvinkler er trekant og trekant ensvinklede. ette giver 2 = = 12. pgave 3.1 Lad være en konveks firkant hvor =. Tegn den omskrevne cirkel til trekant, og lad være skæringspunktet mellem og den omskrevne cirkel. a ligger på cirkelperiferien, er = =. Trekanterne og er dermed kongruente da de også har vinklen ved fælles og siden. ermed er = og firkant indskrivelig. emærk først at = 180 = 180 a vinkelsummen i en trekant er 180, er w = 180 2 180 2 2 =. etragt nu trekant. 2. 33

Lad omvendt være en indskrivelig firkant. a gælder ifølge sætningen om periferivinkler at =. pgave 3.2 Firkant H b H a er indskrivelig da begge diagonaler står vinkelret på en side i firkanten (se opgave 3.1). a H b H a er indskrivelig, må H a H b = 180 H a H b =. ermed er ensvinklet med H a H b. pgave 3.3 a firkant H b H a er indskrivelig, er H a H b = H b. Tilsvarende er H a H c = H c. a H b og H c er retvinklede og har vinkel fælles, er de ensvinklede, og dermed er H b = H c. Samlet er H a vinkelhalveringslinje i H a H b H c. pgave 3.4 Lad H være skæringen mellem H og den omskrevne cirkel til trekant. K a M er midtpunktet af hypotenusen i den retvinklede trekant L, er L = M L. ermed er vinklen mellem linjen M L og korden H L den samme som periferivinklen H L der spænder over korden H L. ltså er M L tangent til cirklen ifølge den omvendte sætning om korde-tangentvinkler. Helt tilsvarende vises at M K er tangent til cirklen. H L M H H pgave 3.6 Kald punktet hvor alle tre cirkler skærer hinanden, for S. a summen af modstående vinkler i indskrivelige firkanter er 180, er RS = S = SQ og SQ + SR = 180. ermed er SR + SR = 180 som ønsket. pgave 3.7 a M H = M = 90, er firkant M H indskrivelig. H M a er H = H = 90 = H. a H står vinkelret på, følger det at H er spejlingen af H i siden. pgave 3.5 Kald højdernes skæringspunkt for H. a firkant K H L er indskrivelig, ligger H på den omskrevne cirkel til trekant K L. a højderne skærer hinanden i samme punkt, er linjen H også højde i trekanten. erfor er L = 90 = H. ermed er H = M = M = H, hvilket viser at = H. pgave 3.8 Vinkel og vinkel er rette da de spænder over en diameter i cirklen. 34

indskrivelig da syvkanten er regulær, fås: S T E + E = E + = 1 + 1 = 1. Firkanterne ST og ST er derfor indskrivelige da de har to modstående rette vinkler, og firkant er pr. konstruktion indskrivelig. ermed er T S = S = = = S = ST, hvilket viser at linjen S T halverer vinkel T. pgave 4.1 Ifølge tolemæus sætning gælder at M = M + M, og da trekant er ligesidet, fås M = M + M. pgave 4.2 emærk at er diameter i cirklen, og dermed at trekanterne og er retvinklede. ythagoras sætning giver dermed at = 3 og = 2. Ved at anvende tolemæus sætning får vi nu at = 6 2 2. pgave 4.3 Kald kvadratets sidelængde for x. Ifølge tolemæus sætning anvendt på firkant er og dermed Samlet er uanset valget af. + = x + x = 2x. + = 2 pgave 4.4 a syvkanten er regulær, er =, = E, = E og = E. Ved at benytte tolemæus sætning på firkant E som er pgave 5.1 Lad være et punkt inden i cirklen. Vi viser at netop er s potens mht. cirklen, da det giver det ønskede. N Tegn linjen gennem og, og kald skæringspunkterne med cirklen for M og N. Trekanterne M og N er ensvinklede ifølge sætningen om periferivinkler. ltså er = M N = (r )(r + ) = r 2 2. pgave 5.2 ntag at og ligger på l på hver sin side af, og at og ligger på m på hver sin side af. ntag yderligere at =. Lad S være cirklen gennem, og, og lad være skæringen (forskelligt fra ) mellem S og linjen m. a ligger på korden, må være et indre punkt i S. ermed ligger også på korden, dvs. at og ligger på samme side af på linjen m. Ifølge sætningen om et punkts potens er =. ermed er = og altså =. e fire punkter,, og ligger derfor på samme cirkel. eviset føres stort set tilsvarende når både og ligger på samme side af, og og ligger på samme side af. I dette tilfælde er blot et punkt der ligger uden for cirklen. M 35

pgave 5.3 Lad R være skæringspunktet mellem N M og Q. Ifølge sætningen om punkts potens er R 2 = R N R M = Q R 2, og altså R = Q R. ermed har trekant M R og trekant M RQ samme areal, og trekant N R og trekant N Q R samme areal, og dermed har også trekant M N og trekant M N Q samme areal. pgave 5.4 Lad være skæringspunktet mellem de to cirkler. a er vinklerne og begge rette da de spænder over en diameter, og dermed er fodpunktet for højden fra på siden. S N M R H T Q ermed ligger, Q, S og T på en cirkel ifølge den omvendte sætning om et punkts potens. pgave 6.1 Kald fodpunkterne for højderne i trekant for H a, H b og H c. a er cos = H b c c b H c H b = H c, og dermed H b b H c = c b. et tilsvarende gælder for de andre sider. erfor er H b H c H b H c H a H a = a b c a b c = 1. Ifølge evas sætning går højderne dermed gennem samme punkt. pgave 6.2 a Q er parallel med, er Q = Q Q =. Kald skæringen mellem X og for M., og dermed også Q = Q Højdernes skæringspunkt H ligger derfor på, hvilket ifølge sætningen om et punkt potens giver at H S H T = H H = H H Q. Q Ifølge evas sætning er X M Q M Q M = 1. 36

a Q er paralleltransversal, er Q Q M = 1. ltså er M = 1, og M deler dermed på midten. pgave 6.3 a den indskrevne cirkel tangerer og, er afstanden fra til de to røringspunkter Y og Z den samme. ltså er Y = Z, og tilsvarende X = Z og X = Y. ette giver Z X Y Z X Z X Y Y = 1, og ifølge evas sætning betyder dette at X, Y og Z skærer hinanden i et punkt. pgave 6.4 Trekant og trekant Q er kongruente da de har en fælles side, = Q og = 90 = Q, dvs. at = Q. Ifølge evas sætning skærer linjerne H, og Q hinanden i et punkt. pgave 6.5 Vi viser at da dette viser det ønskede. sinα 1 sinβ 1 sinγ 1 = sinα 2 sinβ 2 sinγ 2 α 1 α 2 β 2 β1 γ 2 γ 1 Ifølge sinusrelationen er sinα 1 = 1 sin og sinα 2 = sin. (emærk at dette også holder i tilfældes hvor ligger på forlængelsen af tættest på, da både og α 1 og dermed sinα 1 er negative i dette tilfælde). ermed er sinα 1 = sin sinα 2 sin. a det tilsvarende gælder for de andre vinkler, er Q H sinα 1 sinβ 1 sinγ 1 = sin sinα 2 sinβ 2 sinγ 2 sin sin sin sin sin = Trekant H og trekant Q er ensvinklede da de begge har en ret vinkel samt den fælles vinkel. ermed er Q H =. Tilsvarende er H =. a er vinkelhalveringslinje, er. Samlet er H H Q Q = H = Q H = = 1. pgave 6.6 et ønskede følger af evas sætning med vinkler, da α 1 = = = α 2 osv. pgave 7.1 a diagonalerne står vinkelret på hinanden, er E 2 + E 2 + E 2 + E 2 = 2 + 2 37

v E Kald vinkel for u og vinkel for v. a er v + u = 90, dvs. sin v = cos u. To gange radius for den omskrevne cirkel i en trekant er lig med længden af den ene side divideret med sinus til den modstående vinkel. enyttes dette på trekant og trekant fås = 2R sin u og = 2R sin v. ette giver som ønsket 2 + 2 = (2R ) 2 (sin 2 u + sin 2 v ) = 4R 2 (sin 2 u + cos 2 u) = 4R 2. pgave 7.2 Lad n 3, og lad n 1, n og n +1 være sidelængderne i en trekant. en halve omkreds er da 3n 2. Ifølge Herons formel er arealet 3n 3n 3n 3n T n = 2 2 n + 1 2 n 2 n 1 = n 3 2 4 (n 2 4). For n = 4 er T = 6, så vi har mindst en trekant der opfylder betingelserne. Vi viser nu at vi ud fra en trekant der opfylder betingelserne, kan konstruere endnu en trekant med den ønskede egenskab og større sidelængde. ette giver nemlig at der findes uendeligt mange. Lad n være et lige tal, n 4, og antag at 3 4 (n 2 4) er et kvadrattal. etragt trekanten med sidelængderne m 1, m og m + 1 hvor m = n 2 2. a er m > n, m er lige, og ermed er 3 4 (m 2 4) = 3 4 (m 2)(m + 2) = 3 4 (n 2 4)n 2. T m = m 2 u 3 4 (m 2 4) et helt tal. er findes altså uendeligt mange trekanter med de ønskede egenskaber. pgave 7.3 Ifølge cosinusrelationen er cos + cos + cos = b 2 + c 2 a 2 + a 2 + c 2 b 2 + a 2 + b 2 c 2 2b c 2a c 2a b (a + b c )(a + c b )(b + c a ) + 2a b c = 2a b c 8(s a )(s b )(s c ) = + 1 2a b c = 8 T 2 s 8RT + 1 pgave 7.4 emærk først at = r R + 1. 1 a b + 1 a c + 1 b c = a + b + c. a b c Kald arealet af trekanten for T. a er a + b + c = 2T r som ønsket. a + b + c a b c = 2T r 4RT = 1 2r R. og a b c = 4RT. Vi har nu pgave 8.1 er findes en multiplikation omkring 1 med multiplikationsfaktor k 1 som fører 1 i, og tilsvarende en multiplikation omkring 2 med multiplikationsfaktor k 2 som fører 2 i. M 1 1 2 2 38

a 1 og 2 har samme radius, betyder det at k 1 = k 2. ltså vil en multiplikation omkring M med multiplikationsfaktor 1 k k 1 1 afbilde 1 i 1 og 2 i 2, og dermed 1 2 i 1 2. e to linjer er derfor parallelle. pgave 8.2 er findes en multiplikation omkring som afbilder 1 i 2. Ved denne multiplikation afbildes N i N og i som vist på figuren. N M 2 k fører dermed X 1 i Y 2 og Y 1 i X 2, og altså cirklen 1 i den omskrevne cirkel til X 2 Y 2. ermed tangerer 1 og den omskrevne cirkel til X 2 Y 2 hinanden (overvej). pgave 8.4 Linjen gennem X 1 vinkelret på a og linjen gennem X vinkelret på a er parallelle, og da de begge står vinkelret på korden X X 1 i cirklen, må de have samme afstand til cirklens centrum. l 1 N l Q Z Z 1 Y 1 Y Linjerne l og l er parallelle og cirkelbuerne M N og Q derfor ligestore. ltså er M N = Q. pgave 8.3 er findes en multiplikation omkring som afbilder 1 i 2, og multiplikationsfaktoren for denne afbildning kaldes k. ermed er X 2 Y 2 = k X 1 Y 1. X 2 X 1 X Ved en multiplikation i cirklens centrum med multiplikationsfaktor 1 føres linjen gennem X 1 vinkelret på a derfor i linjen gennem X vinkelret på a. Tilsvarende føres linjen gennem Y 1 vinkelret på b i linjen gennem Y vinkelret på b, og linjen gennem Z 1 vinkelret på c i linjen gennem Z vinkelret på c. a de tre linjer føres i tre linjer som skærer hinanden i et punkt, må de tre linjer også selv skærer hinanden i et punkt. X 1 Y 1 Y 2 pgave 8.5 En multiplikation i M med multiplikationsfaktor k = 1 2 fører i M a, i M b og i M c. ermed føres I i S, og punkterne I, M og S ligger på linje. Trekanterne X 1 Y 1 og Y 2 X 2 er derfor ensvinklede således at Y 2 = k X 1 og X 2 = k Y 1. En multiplikation omkring med multiplikationsfaktoren pgave 8.6 a H = 180 (overvej), ligger spejlingen af H i linjen på den omskrevne cirkel til trekant. 39

M a H c M b H a H M c H b I Q Trekanterne I,, og er ensvinklede da de er retvinklede og deler vinklen ved. ermed er Ved en multiplikation omkring H med multiplikationsfaktor 2 bliver H c derfor afbildet i et punkt på den omskrevne cirkel. Tilsvarende bliver H a og H b afbildet i punkter på den omskrevne cirkel. unkterne M a, M b og M c bliver afbildet i henholdsvis, og. e seks punkter H a, H b, H c, M a, M b og M c bliver dermed alle afbildet på den omskrevne cirkel, og derfor ligger de alle på samme cirkel. en omskrevne cirkel til trekant H a H b H c afbildes desuden i den omskrevne cirkel til trekant, hvilket viser at radius i den omskrevne cirkel til trekant er dobbelt så stor som radius i den omskrevne cirkel til trekant H a H b H c. I = I = = = k. ltså afbildes I i, og I er derfor centrum for den indskrevne cirkel til trekant. pgave 9.1 Lad 1, 1 og 1 være røringspunkterne for den indskrevne cirkel med henholdsvis, og, og lad 2, 2 og 2 være røringspunkterne mellem den ydre røringscirkel c a og henholdsvis, og. 2 1 1 1 2 pgave 8.7 etragt multiplikationen i som fører trekant i en trekant således at ligger på, og kald multiplikationsfaktoren for k. Kald midtpunktet af Q for I. Vi vil vise at multiplikationen fører I i centrum for cirklen gennem Q da denne cirkel er indskreven cirkel til trekant og dette derfor viser det ønskede. i) otensen af mht. c er 2 2, og 2 = 1 2 ( 2 + 2 ) = 1 2 ( + 2 + + 2 ) = 1 2 ( + 2 + + 2 ) = s. ltså er potensen af mht. c lig s 2. 2 40

ii) Ifølge i) er 2 = s = s ( 1 + 1 ), og da s = 1 + 1 + 1, er 1 = 2. ltså ligger 1 og 2 symmetrisk på linjestykket omkring dets midtpunkt. pgave 9.2 evas sætning giver nu at de tre cevianer skærer hinanden i et punkt. pgave 9.4 Lad s være den halve omkreds. a ved vi at T = r s, samt fra Herons formel at T 2 = s (s a )(s b )(s c ). Kald centrum for den indskrevne cirkel for I, og røringspunktet mellem cirklen og linjen for. etragt den ydre røringscirkel til siden a, kald centrum for a og røringspunktet mellem cirklen og linjen for. I a i) Ifølge 2.5 ligger punkterne, og I på en cirkel med som centrum. Sæt = 2α, = 2β og = 2γ. a er I a = 180 a I a I = 180 a I a I = 180 (α + γ) β (α + β) = γ = I ermed er firkant I a indskrivelig, og, I, og a ligger på en cirkel med som centrum. ii) Trekanterne I og a er ensvinklede da I = a, og a = a I = I = I. ermed er I a =. pgave 9.3 Kald røringscirklernes røringspunkter med siderne, og for henholdsvis, og og den indskrevne cirkels røringspunkter med siderne, og for henholdsvis 1, 1 og 1. Fra sætningen om de ydre røringscirkler ved vi at = 1 1 1 1 1 1 = 1. I Trekanterne I og a er oplagt ensvinklede. esuden ved vi at = s a og = s. ette giver s a r = s r a, og altså T = s r = r a (s a ). Tilsvarende får man for de andre røringscirkler at T = r 2 (s b ) og T = r 3 (s c ). ette giver samlet T 2 = T 4 T = r s r 1(s a )r 2 (s b )r 3 (s c ) 2 s (s a )(s b )(s c ) = r r 1 r 2 r 3. pgave 9.5 Lad a være centrum for den ydre røringscirkel til siden. Ifølge Sætning 2 om den ydre røringscirkel ii) er I a =. Trekanterne F og E er ensvinklede fordi F = E pr konstruktion og F = E da de spænder over samme buestykke. 41

I G F E a pgave 10.2 Lad S 1 være cirklen med centrum i gennem og, S 2 være cirklen med centrum i E gennem og, og 3 cirklen med centrum i F gennem og. Radikalaksen for S 1 og S 2 er linjen gennem deres fælles punkt som står vinkelret på linjen gennem deres centre, dvs. linjen E. Tilsvarende er radikalaksen for S 1 og S 3 linjen gennem vinkelret på linjen F, og radikalaksen for S 2 og S 3 linjen gennem vinkelret på E F. Ifølge sætningen om radikalcentrum skærer de tre linjer hinanden i et punkt, hvis de ikke alle er parallelle. et sidste er ikke en mulighed da de tre linjer står vinkelret på hver sin side i trekant E F. ermed er F E = = I a, hvilket viser at a F og E I er ensvinklede. Ifølge Sætning 2 om den ydre røringscirkel i) er G midtpunktstransversal i trekant I a F, dvs. G = a F = E I, hvilket viser at E I og G spænder over samme buestykke i Γ, og dermed at G og E I skærer hinanden på Γ. pgave 10.1 Radikalaksen for S 1 og S 2 er linjen M N. Kald den omskrevne cirkel til rektanglet for S. Radikalaksen for S og S 1 er, og radikalaksen for S og S 2 er. Ifølge sætningen om radikalcentrum skærer de tre radikalakser hinanden i et punkt, eller også er de alle tre parallelle. et sidste er ikke muligt her da og er diagonalerne i et rektangel. ermed ligger skæringen mellem og på linjen M N. E N F M pgave 10.3 Lad T være skæringspunktet mellem Q og RS, og lad c 1 og c 2 være to cirkler gennem henholdsvis og Q samt R og S som tangerer hinanden i I. a T ligger på radikalaksen for c og c 1, samt på radikalaksen for c og c 2, må T være radikalcentrum for de tre cirkler, hvilket betyder at T I = T T Q uanset valget af c 1 og c 2. vs. at L er en delmængde af cirklen med T som centrum og T T Q som radius. 42

c S I c 2 c 1 R Q T gennem 1 3 er derfor midtpunktstransversal i trekant F, altså parallel med F, og dermed ortogonal med M E. unktet E ligger på c 1 da E er midtpunktet af korden i cirklen c, og vi dermed ved at E = 90. Radikalaksen for c 1 og c 3 er derfor M E da E ligger på begge cirkler, og M E står vinkelret på linjen gennem cirklernes centre. Tilsvarende ses at N G er radikalakse for c 2 og c 3. ii) Radikalaksen for c og c 1 er deres fælles tangent i, og dermed er radikalcentrum for c, c 1 og c 3 skæringen mellem denne tangent og radikalaksen for c 1 og c 3, dvs. punktet M. å tilsvarende vis ses at radikalcentrum for c, c 2 og c 3 er N. Lad omvendt I være et punkt på denne cirkel. a vil T være radikalcentrum for cirklerne c samt de omskrevne cirkler til trekant Q I og trekant RS I (bemærk at en af cirklerne kan være degenereret til en linje), og da T I = T T Q må de omskrevne cirkler til trekant Q I og trekant RS I tangere hinanden i I ifølge sætningen om et punkts potens. ermed er L cirklen med centrum i T og radius T T Q. pgave 10.4 i) Ved multiplikation omkring således at c 1 afbildes i c, ses at linjen skærer c i det punkt hvor tangenten er parallel med ST, dvs. i M, og dermed ligger, og M på linje. ii) Trekanterne M T og M T er ensvinklede da de har en fælles vinkel ved M og T M = M T fordi de spænder over henholdsvis cirkelbuerne M T og M S som er lige store. ermed er M M = M T 2. iii) Sammenhængen M M = M T 2 gælder uanset placeringen af c 1, dvs. M har samme potens mht. til alle cirkler i cirkelafsnittet som tangerer c og ST, og altså specielt samme potens mht. c 1 og c 2. ermed ligger M på deres radikalakse U V. pgave 10.5 i) Kald centrene i cirklerne c 1, c 2 og c 3 for henholdsvis 1, 2 og 3. Firkant E F G er pr. konstruktion et parallelogram, diagonalerne skærer dermed hinanden på midten, og 3 er derfor deres skæringspunkt. Linjen iii) f ii) følger at M N er radikalakse for c og c 3, og dermed står N M vinkelret på 3. Vi ved desuden at står vinkelret på 3, da 3 halverer. ermed er M N parallel med. pgave 10.6 S Z Y G i) Lad c og c a røre siden i henholdsvis punkterne X og X a, lad c a røre siderne og i henholdsvis punkterne Z a og Y a. Fra kapitlet om ydre røringscirkler ved vi at X a = X og X a = X, og dermed følger at X R X a Z a Y a Z Z a = Z + Z a = X + X a = X + X = = SZ 43

og Y a = X a = X = Z = S. unkterne Z og har altså hver især samme potens mht. til cirklerne c a og s og derfor er Z radikalakse for cirklerne c a og s. M ii) Et tilsvarende argument viser at Y er radikalakse for cirklerne c a og r, hvor r er den degenerede cirkel med centrum R og radius 0. ermed bliver G radikalcentrum for cirklerne c a, r og s. Heraf følger G R = G S. F E H N Q pgave om Simsonlinjen 11.1 Lad være et punkt på den omskrevne cirkel til trekant, og antag wlog at ligger på buestykket således at projektionen 2 af på linjen ligger på linjestykket, mens projektionen 3 af på linjen ikke ligger på linjestykket, men dets forlængelse. 3 Tilsvarende ligger på den omskrevne cirkel til trekant H F, hvilket betyder at M, N og ligger på linje. ette viser samlet at alle fire punkter, Q, M og N ligger på en ret linje. pgave 11.3 Lad være skæringen mellem den omskrevne cirkel til trekanten dannet af linjerne l 1, l 2 og l 4, og den omskrevne cirkel til trekanten dannet af linjerne l 1, l 3 og l 4. Lad yderligere punkterne 1, 2, 3 og 4 være projektionerne af på henholdsvis l 1, l 2, l 3 og l 4. 1 2 1 l 2 Firkant 2 1 er indskrivelig da begge diagonaler star vinkelret på en side, og dermed er 1 2 = 2. Firkant 1 3 er indskrivelig da to modstående vinkler er rette, og dermed er 1 3 = 3. Firkant 2 3 er indskrivelig da to modstående vinkler er rette, og da firkant pr. konstruktion er indskrivelig, er 3 2 = 180 =. f dette følger at 3 = 2, og samlet at 1 2 = 1 3, dvs. at punkterne 1, 2 og 3 ligger på en ret linje. pgave 11.2 Firkant H E er cyklisk da den har to modstående rette vinkler. ermed ligger på den omskrevne cirkel til trekant H E, hvilket betyder at Q, M og N ligger på en linje (Simsonlinjen). 4 2 3 l 3 l 1 a ligger både på den omskrevne cirkel til trekanten dannet af linjerne l 1, l 2 og l 4 og trekanten dannet af linjerne l 1, l 3 og l 4, ligger 1, 2, 3 og 4 på linje ifølge sætningen om Simsonlinjen. Men dermed må også ligge på den omskrevne cirkel for trekanten dannet af linjerne l 1, l 2 og l 3 og trekanten dannet af l 2, l 3 og l 4 ifølge den omvendte Simpson. ltså går alle fire omskrevne cirkler gennem. l 4 44

pgave 11.4 Lad, M og N være midtpunkterne af linjestykkerne, F og G. a punkterne, F og G ligger på linjen l, ligger, M og N på en linje som er parallel med l. a er et parallelogram, er skæringspunktet mellem diagonalerne. Y 2 N G Z 1 3 unktet E ligger på den omskrevne cirkel til trekant, og da E F = E G = E må projektionen af E på henholdsvis og være M og N. rojektionen af E på ligger ifølge sætningen om Simsonlinjen på linjen gennem M og N, dvs. at er projektionen af E på. a firkant E er indskrivelig, er E = E, hvilket giver at trekant E og trekant E M er ensvinklede, dvs. at E = M E. Firkant M E N er også indskrivelig da to modstående vinkler er rette, dvs. at N M = E M. lt dette giver samlet M F = N M = E M = E = 1 2 E = 1 2 = 1. 2 Hermed har vi vist at linjen l er vinkelhalveringslinje for vinkel pgave 12.1 Kald centrene for de tre cirkler 1, 2 og 3 og deres radier for r 1, r 2 og r 3. Lad desuden 1 og 2 være røringspunktet på henholdsvis 1 og 2 for en af de fælles tangenter. a er trekanterne X 1 1 og X 2 2 ensvinklede, og altså X 1 X 2 = r 1 r 2. Tilsvarende ses at Y 2 Y 3 = r 2 r 3 og Z 3 Z 1 = r 3 r 1. F E X etragt trekanten 1 2 3. unkterne X, Y og Z er henholdsvis punkter på linjerne 1 2, 2 3 og 3 1. Nu benytter vi Menelaos sætning til at vise at X, Y og Z ligger på linje. Hvis vi regner med fortegn, er 1 X 2 Y X 2 Y 3 3 Z Z 1 = r 1 r 2 r 3 = 1. r 2 r 3 r 1 ermed ligger de tre punkter X, Y og Z på linje. pgave 12.2 Kald centrene for de tre cirkler 1, 2 og 3 og deres radier for r 1, r 2 og r 3. Som i opgave 12.1 ses at X 1 X 2 = r 1 r 2, Y 2 Y 3 = r 2 r 3 og Z 3 Z 1 = r 3 r 1. etragt trekanten 1 2 3. unkterne X, Y og Z er henholdsvis punkter på linjerne 1 2, 2 3 og 3 1. Nu benytter vi Menelaos sætning til at vise at X, Y og Z ligger på linje. Hvis vi regner med fortegn, er 1 X 2 Y X 2 Y 3 3 Z Z 1 = r 1 r2 r3 = 1. r 2 r 3 r 1 ermed ligger de tre punkter X, Y og Z på linje. pgave 13.1 etragt diameteren hvis forlængelse går gennem. enne diameter vil af symmetrigrunde afbildes i diameteren til α, og da linjer gennem afbildes på sig selv følger det at centrum for α, centrum for α og punktet ligger på linje. pgave 13.2 Kald røringspunkterne for den ydre røringscirkel og linjerne og for henholdsvis M og N. et er velkendt fra kapitlet om ydre røringscirkler at M = N = s. unkterne M og N fikses derfor ved inversionen, 45

dvs. at den ydre røringscirkel afbildes i en cirkel gennem M og N som tangerer billederne af linjerne og. a og afbildes på sig selv, må også cirklen afbildes på sig selv. pgave 13.3 Kald centrum for den indskrevne cirkel for I. Firkant M I N er indskrivelig da M I = N I = 90. afbildes på sig selv, vil den omskrevne cirkel til trekant Q afbildes i linjen Q som tangerer røringscirklen. pgave 13.5 Ved inversion i en cirkel med centrum i afbildes 1 og 2 i to parallelle linjer, og 3 og 4 afbildes i to cirkler der tangerer hinanden samt henholdsvis billedet af 2 og 1. M N M N 1 4 I I 3 irklen M N afbildes derfor i en linje gennem M og N da disse to punkter ligger på inversionscirklen. illedet af er altså skæringspunktet mellem linjestykket N M og linjen I. ette skæringspunkt er netop midtpunktet af M N, da I er vinkelhalveringslinje til vinkel N M og M = N. pgave 13.4 s Ved inversion i en cirkel med centrum og radius s afbildes den ydre røringscirkel på sig selv ifølge opgave 13.2. Vi skal altså vise at billedet af den omskrevne cirkel til trekant Q tangerer den ydre røringscirkel. a og Q s Q Ved at regne på vinklerne ses let at, og ligger på linje. Hvis denne linje går gennem, vil,, og ligge på linje, og hvis linjen ikke går gennem, vil,, og ligge på en cirkel. pgave 13.6 Ved inversion i punktet afbildes cirklerne Γ, Γ og Γ i linjer såldes at er en trekant, og X, Y og Z cevianer i trekanten som går gennem samme punkt. X Γ Z Γ Ved at udnytte at Y = Γ Y 2 Γ Γ X Y Γ Z r 2 Y Y osv. ses at ligningen vi skal vise, i det 46

inverterede tilfælde er ækvivalent med ette er sandt ifølge evas sætning. Y Z X Z X Y = 1. pgave 13.7 Inverter i en cirkel med centrum i og radius r. Linjerne, og afbildes på sig selv, cirklen gennem,, 1, afbildes på en linje gennem, 1 og, cirklen gennem, 1,, afbildes i en linje gennem 1, og, og cirklen gennem 1 1 1 afbildes i en linje gennem 1, 1 og 1. 1 1 1 a 1 og 1 er midtpunkt på henholdsvis og, er og midtpunkt på henholdsvis linjestykkerne 1 og 1. ermed er 1 1 en trekant med 1 og 1 som medianer. a linjen gennem, og 1 går gennem skæringspunktet mellem 1 og 1, er 1 også median i trekant 1 1. a medianerne skærer hinanden i forholdet 1 : 2, får vi 2 = 2 r 2 = 3 r 2 1 = 3 1. pgave 13.8 a er det centrale punkt, inverterer vi i en cirkel med centrum i og radius r. ermed er α 1 og α 3 to parallelle linjer, og α 2 og α 4 er to parallelle linjer. Firkant er derfor et paralellelogram. Nu regner vi på begge sider af lighedstegnet: = r 2 r 2 r 2 r 2 1 1 = 2 2, 1 og 2 2 = r 4 2 = r 4 2 2 2. Ligheden som vi skal vise, reduceres dermed til = 1, hvilket er sandt da er et parallelogram. pgave 13.9 Inverter i en cirkel med centrum i, da α og α 0 derved afbildes i to parallelle linjer som alle billederne af cirklerne i følgen tangerer. Røringspunkternes billeder 1, 2, 3,... ligger derfor på en ret linje, dvs. at 1, 2, 3,... ligger på en cirkel gennem. pgave 13.10 emærk først at firkant S, Q, R Q og S R er indskrivelige, og kald deres omskrevne cirkler for henholdsvis α, α, α og α. a og er diameter i henholdsvis α og α, tangerer α og α begge linjen i. Tilsvarende tangerer α og α linjen i. R S Q Inverter i en cirkel med centrum i. a afbildes α og α i to linjer som er parallelle med, og α og α i to linjer parallelle med. Skæringspunkterne S R Q 47

mellem de fire cirkler er netop, Q, R og S, dvs. at Q R S er et rektangel og dermed indskrivelig. unkterne, Q, R og S ligger derfor også på en cirkel. pgave 13.11 Inverter i en cirkel med centrum i. a afbildes linjen Q på sig selv, cirklen β i en linje parallel med Q, halvcirklencirklen α i en halvcirkelcirkel som tangerer β og har Q som diameter, og linjen γ i en cirkel som tangerer β og har som diameter. β α γ Q a linjen gennem,, Q og er parallel med linjen β, må de to cirkler α og γ have samme radius. erfor er = = =, dvs. at er vinkelhalveringslinje i trekant. 48