Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning an generaliseres på flere måder, og i dette afsnit sal vi studere en af disse generaliseringer, de såaldte Bernoulli-differentialligninger De lineære differentialligninger er arateriseret ved, at den uendte y ie indgår med potenser eller som en del af sammensatte funtioner Lineære differentialligninger (af første, anden eller højere orden) er de mest håndterlige Her an vi ofte bestemme løsninger esat og sabe os et overbli over den fuldstændige løsning (dvs mængden af alle løsninger til den forelagte differentialligning) Esempler på sådanne differentialligninger er typerne = y, = b ay, ' + b + cy = 0 og ' + f() + g()y = h() Definitionsmængderne indsrænes un, hvis der er problemer med definitionsmængderne for nogle af de funtioner, der indgår i ligningen Anderledes er det med ie-lineære differentialligninger For den logistise differentialligning så vi, at visse løsninger fi indsrænet definitionsmængden dramatis Mange ie-lineære differentialligninger an ie løses esat I stedet an man vælge at foretage en numeris løsning, eller man an af og til tilnærme med lineære differentialligninger Endelig an man også få en del oplysninger ved at analysere differentialligningen uden direte at løse den som fes oplysninger om løsningers monotoniforhold En del familier af ie-lineære differentialligninger an dog løses esat Den logistise er således med i en større familie, vi samlet alder Bernoullis differentialligning De har fået navn efter Jacob Bernoulli, der levede samtidig med Newton og Leibniz Bernoullis differentialligning er interessant af flere grunde Den træder ind på scenen i så forsellige situationer som opstilling af modeller for et frit fald med luftmodstand inden for fysien og opstilling af matematise fiserimodeller inden for biologi Den generelle form og nogle specialtilfælde Bernoullis differentialligning an i sin generelle form opsrives således: = g y f y, (*) hvor f og g er ontinuerte funtioner defineret på et interval I som evt an være alle reelle tal og er et reelt tal ØVELSE Angiv hvad f() og g() samt er i følgende differentialligninger: y ' = by ay = hy y 4y = + y Vi ser først på et par specialtilfælde: = : ' ' y = g y f y y = g f y Dette genendes som et specialtilfælde fra behandlingen af den generelle lineære ordens differentialligning I tilfældet, hvor funtionerne er onstante: f() = b og g() = a, og vi sætter = a b, genendes den første type differentialligning, vi løste: = y
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 0 = 0: ' ' ' ( y = g y f y y = g f y y + f y = g ) Dette genendes som den lineære ordens differentialligning, som vi an opsrive den fuldstændige løsning til I tilfældet, hvor funtionerne er onstante: f() = a og g() = b, genendes differentialligningen: = b ay = : = g( ) y f ( ) y = y g( ) y f ( ) Denne minder om den logistise differentialligning I tilfældet, hvor funtionerne er onstante: f() = b og g() = a, får vi: = y(b ay) Altså ser vi, at den logistise differentialligning er et specialtilfælde af Bernoullis differentialligning Løsning af den generelle Bernoulli-ligning Vi gennemfører nu løsningen af differentialligningen: ' y = g y f y (*) I det følgende antages 0 og Ofte løses differentialligningen un i tilfældet med onstante oefficienter; men det vanseliggør ie løsningen i særlig grad at betragte det generelle tilfælde, så det lægger vi ud med Vi lader os inspirere af løsningsmetoden ved den logistise differentialligning: Dengang dividerede vi igennem med y, og efter nogle omsrivninger lyedes det at substituere tilbage til en lineær differentialligning Lad i det følgende f og g være ontinuerte funtioner defineret på et interval I (I an som tidligere nævnt udmæret være alle reelle tal) Hvis > 0 er funtionen y = 0 en løsning til (*), hvilet ses ved indsættelse Hvis < 0 an y ie være 0 Derfor antages i det følgende, at y 0 Da y er ontinuert gælder derfor, at y 0 i et helt interval inden for I Vi arbejder videre inden for dette interval og vil afslutningsvis bestemme definitionsmængden, så denne bliver så stor som muligt Vi regner nu ensbetydende ud fra (*) = g y f y (ganger med y ) y = g f y y y = g f y (**) Vi bemærer nu: ( y )' = ( ) y Inspireret heraf ganger vi (**) igennem med ( ), idet vi bemærer, at ( ) ( ) ' ( ) ( ) = y y g f y ( y )' ( ) g( ) ( ) f ( ) y ( y )' = ( ) f ( ) y + ( ) g( ) = 0: Substituér: z = y :
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 ' = ( ) + ( ) z f z g Dette er en lineær ordens differentialligning, og vi unne derfor nu opsrive den fuldstændige løsning hertil Den formel, vi når frem til, er imidlertid så lodset og lidet oplysende, at vi i stedet løser differentialligningen herfra i hvert onret tilfælde Første onlusion om Bernoullis differentialligning Ligningen = g y f y, hvor 0 og, løses i det generelle tilfælde efter følgende opsrift: Indfør substitutionen z = y Løs den lineære ordens differentialligning ( ) ( ) ( z ' = f z+ g ) Substituér tilbage og find y = z 4 Bestem definitionsmængden for y Bemær, at selv om vi i omsrivningerne ovenfor har forudsat y 0, så an det godt tænes, at vi i tilfældet > 0 får udvidet definitionsmængden til også at omfatte tal, der giver y = 0 ØVELSE Før vi ser vi på nogle esempler og øvelser i relation til det generelle tilfælde, vil vi betragte specialtilfældet, hvor f() og g() er onstanter, henholdsvis b og a y = ay by z = a b z, hvor z = y Anvend løsningsformlen for denne type differentialligning til at bestemme den fuldstændige løsning: Vis at vi i så fald får ' ' ( ) ( ) ( ) z = c e + b b a Gennem øvelse har vi argumenteret for: Anden onlusion om Bernoullis differentialligning Den fuldstændige løsning til differentialligningen findes som løsningen til y ' = ay by, hvor,b 0, og, ( ) a = + = 0 b b y c e y EKSEMPEL Løs differentialligningen = y+ y Vi bemærer, at dette er en Bernoulli-differentialligning med onstante oefficienter og med = Så an vi simpelthen indsætte i formlen i onlusion med a =, b = (idet vi alder den uafhængige variabel for t):
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 4 af 0 ( ) = + = 0 = = 0 t t y c e y y c e y y = y = y = 0 t t c e c e Definitionsmængden bestemmes: t t t c e > 0 c e > e < c t Dvs un positive c-værdier er mulige For en given c-værdi får vi e c t ( c) så Dm( f ) = ; ln( c) ØVELSE < <, Undersøg grafens forløb for t og for t ln c, og sitser det grafise forløb EKSEMPEL Bestem den løsning til differentialligningen y ' y = y, hvis graf går gennem puntet P(0,4) Før vi går i gang, registrerer vi lige, at y un har mening for y 0 Vi bemærer, at det er en Bernoulli-differentialligning med a =, b =, =, og vi indsætter: = + = 0 = + 6 =0 t t y c e y y c e y Puntet P(0,4) fortæller, at den søgte løsning ie an være y = 0 Indsæt (0,4): 0 4 = c e + 6, hvoraf vi får c = 4 Indsæt c: y t e = 4 + 6 y findes nu ved at vadrere; men derved regner vi ie længere ensbetydende, så Dm fastlægges på dette sted: y 0 ræver, at 4 e t + 6> 0 Ved at løse denne ulighed får vi Tilnærmet får vi t, 6 ln (,5 ) t eller t 4ln(,5) t Konlusionen bliver derfor, at den søgte løsning er y ( 4 e 6) ØVELSE 4 = +, t 4ln,5 ; Undersøg grafens forløb for t og for t 4ln,5, og sitser det grafise forløb
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 5 af 0 EKSEMPEL Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen: y = y i strimlen < < Vi begynder med at omsrive, så vi an genende det som en Bernoulli-differentialligning (hvorfor må vi gøre det?): = y + y Vi bemærer, at ligningen nu har samme form som (*), hvor: f ( ) =, g ( ) =, og = Vi følger første onlusion og substituerer z y y y = = =, og får z' = ( ) z+ ( ) z' = z (***) Vi får nu brug for formlen til løsning af lineære ordens differentialligninger: Samtlige løsninger til differentialligningen = f y+ g, hvor f og g er tilfældige ontinuerte funtioner, er funtionerne med forsriften: F( ) F( ) F( ) y = c e + e g e d hvor c er en onstant, og F er en stamfuntion til f ØVELSE 5 For at løse denne lineære differentialligning (***) sal vi således først finde en stamfuntion F() til funtionen Vis at ( F = ln = ln ( ) ) (evt på nær en onstant) Hvorfor er der ingen problemer i at opsrive ( ), dvs? Anvend nu løsningsformlen på (***): ln ( ) ln ( ) ln ( ) z = c e + e e d z = c ( ) + ( ) d ( ) ( ) ( ) z = c + d
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 6 af 0 ØVELSE 6 Vis at løsningen bliver z c ( ) = Ved at substituere tilbage får vi endelig y = c ( ) c fastlægges af et givet punt (en begyndelsesbetingelse) Dm bliver en del af intervallet ] og fastlægges ved hjælp af puntet ;[ ØVELSE 7 Bestem den endelige forsrift og definitionsmængde for en løsning, hvis graf går gennem P(0,) Samme spørgsmål med puntet Q( 05,5) ØVELSE 8 Begynd med at fastlægge områderne, hvor vi an regne, i de følgende opgaver Bestem den fuldstændige løsning til = y y 4y Bestem den fuldstændige løsning til = + y Bestem den fuldstændige løsning til y ' + y = y y 4 Bestem den løsning til y ' + = y, der opfylder y ( ) = 5 Bestem den løsning til + y = y, der opfylder 6 Bestem den fuldstændige løsning til Matematise fiserimodeller y = 4 y y = De første matematise fiserimodeller blev sabt i Storbritannien i 50 erne Målet med modellerne var at regne sig frem til, hvordan man på længere sigt får den størst mulige fangst Man så på hver fiseart for sig (aldes en én-arts-model) og var således ie opmærsom på, at der unne være et samspil mellem de forsellige fisebestande Man gi således ud fra, at en regulering af fiseriet på en bestand ie havde afsmittende virning på andre bestande Først i 70 erne begyndte danse fiseribiologer med endsab til matemati at sætte spørgsmålstegn ved denne antagelse Ved brug af matematise modeller sabte de en model af Nordsøen, den såaldte Nordsømodel Vi sal i det følgende se på en matematis én-arts-model Definitioner N(t) = antal fis til tidspuntet t w(t) = vægten af en enelt fis til tidspuntet t
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 7 af 0 Bertalanffys ligning Vi huser, at w'(t) angiver den hastighed, hvormed vægtændringen foregår til tidspuntet t Bertalanffy opstillede følgende model for vægtændringen: () () () w' t = h w t w t, hvor h og er positive tal Begrundelse for denne model findes i bilaget om Bertalanffy-modellen ØVELSE 9 Argumentér for at Bertalanffys ligning er en Bernoulli-ligning, og vis at den fuldstændige løsning til ligningen er h () t = e + h h eller () ( ) t wt e wt =, når vi antager, at w(t) = 0 til tidspuntet t = 0 (fisen vejer ie meget til at begynde med) ØVELSE 0 Gør rede for at grafen for w har en vandret asymptote når t h Prøv at tegne grafen for w når = 5 i hvert af tilfældene = 0,4, = 0,8 og =, Vi vender nu tilbage til N(t) (antallet af fis til tidspuntet t) og antager, at fisebestanden ie er udsat for fiseri ØVELSE Argumentér for at N(t) må opfylde N'( t) = a N(), t hvor a er den brødel af fisene, der dør pr tidsenhed Bestem herefter N(t) ØVELSE Lad B(t) være den samlede fisemængde til tidspuntet t Argumentér for at Bt () = Nt () wt (), hvor N(t) er antal fis til tiden t, og w(t) er gennemsnitsvægten af en fis til tiden t ØVELSE I øvelse så vi, at N(t) må opfylde N'( t) = a N(), t hvor a er den brødel af fisene, der dør pr tidsenhed Tallet a består af et bidrag fra naturlig død M og et bidrag fra fiseriet f, så ligningen an forfines til N'( t) = ( M + f ) N( t), hvor M er den brødel af fisene, der pr tidsenhed dør naturligt, og f er fiseriintensiteten, dvs den brødel af fisene, der pr tidsenhed fanges (f er fes 0, eller 0%) Ved at løse ligningen får vi ( M f ) t N t = e +
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 8 af 0 Denne ligning gælder, fra og med vi begynder at fise Lad os antage, at vi først begynder at fise efter t c år, dvs efter at årgangen har nået en vis størrelse Før vi begynder at fise, udviler antallet af fis sig efter udtryet N() t = N0 e Mt, hvor N 0 angiver antallet af nylæede fis (fes millioner) f t Vis at = N c 0 e Ud fra øvelse 5 finder vi ved indsættelse f t () c M f t N t = N0 e e +, der er gyldig for t > t c, hvor t c er det tidspunt, vi begynder at fange fis af årgangen (fes når fisene er år gamle), N 0 er antallet af nylæede fis, som»starter«årgangen (fes millioner), t regnes ud fra»fødslen«af denne årgang, M er den brødel af fisene, der pr tidsenhed dør naturligt, og f er fiseintensiteten, dvs den brødel af fisene, der pr tidsenhed fanges Vi fandt tidligere, at den enelte fiss vægt unne besrives ved h () ( ) t e wt =, h samt at tallet w = er den masimale vægt for den pågældende fiseart (den asymptotise grænse for w(t)) er en proportionalitetsonstant fra»nedbrydningsleddet«ved differentialligningen for w(t)) Sættes de to udtry ind, får vi følgende: () ( M f ) t t Bt = w N e e e f tc + 0 Den samlede biomasse og den samlede fangst Vi antager, at alle årgangene har samme startværdi N 0 Et bestemt år indeholder Nordsøen fis fra mange årgange: år gamle, år gamle,, T år gamle, hvis vi siger, at denne type fis højst bliver T år i alt Den samlede biomasse af denne fiseart er således summen af alle årgangenes bidrag Fangsten ser med en intensitet på f Fisenes årgange er spredt mellem hinanden, så vi fanger samme andel af alle årgange ældre end t c ØVELSE 4 Argumentér for, at den samlede fangst Y er givet ved T () Y = f B t dt, dvs tc T tc ( M f ) t t Y = f w N e e e dt f tc + 0 ØVELSE 5 6 Indsæt følgende onstanter: f =, t =, T = 6, w N = 0 0, =, 5, M = 0, Vis: e = e + e e t t t,5 t Indsæt dette og beregn integralet ved hjælp af stamfuntioner: c
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 9 af 0 t t t Vis: Y = 0 e e + e e + e,,6,,6 Udregn Y for disse værdier af onstanterne ØVELSE 6 6,,6,,6 t Tilsvarende an det vises med bogstaver: ( f + M) t ( f + M+ ) t ( f + M+ ) t ( f + M+ ) t f t e e e e c Y = f w N0 e + + f + M f + M + f + M + f + M + Vi er interesseret i at finde sammenhængen mellem Y og f, samt mellem Y og t c f an reguleres ved voter, antal trawlere osv t c an reguleres ved garnmasernes størrelse Overvej dette! Disse to sammenhænge an vi finde på flere måder Vælg én af følgende: ØVELSE 7 (a) Indtast formlen i din lommeregner med bogstaver på bogstavernes plads Læg samme talstørrelser ind på onstanternes plads som i øvelse 5 Begynd nu at variere f: Udregn værdien Y for f =,,,5,,5,, 8 Plot igen ind og find den værdi af t c, der giver bedste resultat ØVELSE 7 (b) Indtast formlen i programmet MultiMat med de givne onstanter bortset fra f, der srives med bogstavet f Lav numeris integration med varierende f-værdier Gennemfør så samme procedure som ovenfor Gentag processen med t c ØVELSE 7 (c) Udnyt et regnear Formlen indtastes på lommeregner eller i regnear Lav nu tabelværdier for f, og beregn de tilsvarende Y-værdier ved hjælp af regnearet Tegn grafen og find masimum Når dette er gjort, an du prøve at variere de øvrige onstanter og se, om du an drage nogle onlusioner heraf Lav derefter det tilsvarende for t c ved indtastning på lommeregner eller i regnear Hvad er det bedste rerutteringsår? Kan du finde et samlet svar? Hvile værdier af f og t c vil vi anbefale? Kan du forlare, hvorfor vi ie får det bedste resultat ved blot at fise løs? Vend tilbage til udledningen af modellen Gennemgå de forsellige antagelser, vi gør undervejs, og giv et søn på, hvor sire vi an være i fastlæggelsen af onstanterne og i vurderingen af, hvordan tingene spiller sammen 6 T tc
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 0 af 0 Bilag om Bertalanffys model Modellering af vægten af en enelt fis som funtion af tiden Lad os betegne vægten af en fis med m og tiden med t Væsthastigheden af m an analyseres ved at splitte op i to led: Tilvæst pr tid = Ind Ud, hvor Ind-leddet er fødeoptagelse pr tid, og Ud-leddet er udsillelse pr tid ved forbrænding, tab af affaldsstoffer mm Ud-leddet, antager vi, er proportionalt med fisens masse, dvs Ud = m Hvorfor er det en rimelig antagelse? Ind-leddet vedrører fødeoptagelse og antages derfor at være proportionalt med arealet af overfladen af det tarmsystem, hvorigennem føden optages 4 En fis er et tredimensionalt væsen Rumfanget af en ugle med radius r er givet ved π r, dvs rumfanget er proportionalt med radius i tredje potens Rumfanget af en terning er ligeledes proportionalt med tredjepotensen af dens endimensionale udstræning Derfor antager vi nu, at rumfanget af en fis er proportionalt med den tredje potens af et mål for dens endimensionale udstræning Det samme må så også gælde for massen m af en fis, dvs m = a r, hvor a er en onstant, og r er et mål for fisens endimensionale udstræning (radius, hvis det var en uglefis) Overfladearealet af en ugle med radius r er givet ved 4 π r Det samme forhold gælder for andre flader: Arealet er proportionalt med vadratet på et mål for fladens endimensionale udstræning Derfor antager vi også, at dette gælder for overfladen af tarmsystemet, eller som vi argumenterede for ovenfor: Ind-leddet er proportionalt med vadratet på et mål for fisens endimensionale udstræning (radius hvis det er en uglefis): Ind = b r Vis nu ud fra de to ligninger, at Ind = h m, hvor h er en onstant Samler vi Ind-leddet og Ud-leddet, får vi væsthastigheden af m til h m m eller m' t = h m m ()