Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014
Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn. Byt med din sidemand og forsøg at afgøre hvilke af hans/hendes udtalelser, der er udsagn. Diskuter jeres svar. Opgave 2 (øvelse fra slides) Opskriv sandhedstabeller for disjunktion, negation, implikation og biimplikation. Opgave 3 Opskriv sandhedstabeller for følgende sammensatte udtryk, og afgør om der er tale om en tautologi, en modstrid eller ingen af delene. a) (p p) b) p (p p) c) p (p q) d) (p q) ( p q) e) (p (q q) f) (((p q) p) p) Opgave 4 Vi ved hjælp af sandhedstabeller at følgende logiske ækvivalenser er gældende. a) ( p) p b) (p q) p q c) p q p q d) (p q) r (p r) (q r) Opgave 5 Formaliser følgende sproglige sætninger med udsagnslogik. a) Hvis det regner bliver vi våde. b) Vi rejser hvis og kun hvis det er efterårsferie. c) Kurt spiser kun is når solen skinner. d) Hvis Anna ikke kommer til festen så bliver festen kedelig og Martin bliver skuffet. Opgave 6 (svær) På en fjern ø er der to typer af mennesker: 1
Sandsigere, som altid fortæller sandheden (alt hvad de siger er sandt) Løgnere, som altid lyver (alt hvad de siger er falsk) a) Engang besøgte en fremmed øen, her mødte han to af øens indbyggere, Peter og Signe. Han spurgte dem: Er nogen af jer løgnere?. Mindst en af os er løgner, svarede Peter. Bestem ved hjælp af en sandhedstabel, om Peter og Signe hver i sær er løgner eller sandsiger. Hint: Betegn udsagnet Peter er sandsiger med p og udsagnet Signe er sandsiger med s. Opstil et sammensat udsagn, der udtrykker at mindst en af dem er løgner. b) Senere mødte den fremmede to andre indbyggere, Anne og Bob. Han spurgte Anne: Er nogen af jer sandsigere?. Hvis Bob er en løgner, så er jeg også en løgner, svarede Anne. Bestem ved hjælp af en sandhedstabel, om Anne og Bob hver i sær er løgner eller sandsiger. Opgave 7 Skriv i ord hvad følgende udsagn betyder. Afgør desuden om udsagnet er sandt eller falsk. a) x R : x 2 = 16 b) x R y R : y > x c) x Q : x > 0 x 2 > x d) x R : x = 0 (x + x = x) Opgave 8 Oversæt følgende sætninger til udsagn (brug prædikater). a) Ikke alle reelle tal er positive. b) Der findes et rationalt tal, der er større end 10. c) For ethvert naturligt tal n findes der et reelt tal x, så x > n. d) Der findes et reelt tal x, som, når det multipliceres med et vilkårligt andet tal y, giver y. e) Ligningen x 2 2x 5 = 0 har ingen rational rod. f) Alle ligninger på formen ax + b = 0, a 0, har en reel løsning. Uanset hvad a og b er. 2
Opgave 9 Skriv i ord hvad følgende to udsagn siger Er kvantorernes rækkefølge ligegyldig? Direkte bevis y R x R : x 2 > y x R y R : x 2 > y I de følgende opgaver, må du gerne udnytte følgende uden videre bevisførelse. Definition 1 Et helt tal x kaldes lige, hvis der findes et andet helt tal k, så x = 2k. Definition 2 Et helt tal der ikke er lige, kaldes ulige. Sætning 3 Et helt tal x er ulige hvis og kun hvis det kan skrives på formen 2k + 1, hvor k Z. Bevis. Se opgave 19 og 27. Definition 4 Ethvert kvadrattal kan skrives på formen k 2, hvor k N. Opgave 10 Vis at produktet af to lige tal er lige. Opgave 11 Vis at produktet af et lige og et ulige tal er lige. Opgave 12 Vis at kvadratet på et ulige tal er et ulige tal. Opgave 13 Vis at hvis m og n begge er ulige tal så er mn også ulige. Opgave 14 Vis at hvis m og n begge er kvadrattal så er mn også et kvadrattal. Opgave 15 Vis at hvis 3 går op i både m og n så går 9 op i mn. 3
Opgave 16 Lad x, y R + (x og y er to positive reelle tal). Vis at x y + y x 2 (x y)2 0 Opgave 17 (svær) Vis at hvis 3 går op i m + 2, så går 3 også op i m 2 1. Opgave 18 (svær) Lad x, y R +. Vis at Hint: Udnyt at (x y) 2 0 x + y 2 xy Opgave 19 (svær) Vis at hvis x er et ulige tal, så kan det skrives på formen 2n + 1, hvor n Z. Hint: Da x er ulige er det pr. definition ikke lige. Da findes et største tal m Z så 2m < x. Kan du lave en begrænsning på x opad? Opgave 20 (svær) Vis at n(n + 1) 1 + 2 + 3 + + n = 2 Hint: sæt x = 1 + 2 + 3 + + n og bestem et udtryk for 2x. Opgave 21 (svær) En retvinklet trekant ABC med sidelængderne a, b, c har arealet T = 1 4 c2, hvor c er hypotenusen. Vis at trekanten er ligebenet. Opgave 22 (meget svær) Bestragt summen 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +... af de første k naturlige tal. Vis at hvis der findes et q N så k = 4q + 1, så er summen ulige. Modeksempel Opgave 23 Vis ved et modeksempel at følgende udsagn er falske. a) a, b R : a 2 + b 2 = (a + b) 2 b) x R : x x c) n N x R : n > x (et sprogligt argument er tilstrækkeligt i spørgsmål c). 4
Opgave 24 Vis med et modeksempel, at følgende sætning ikke gælder Summen af to irrationale tal er (altid) irrational. Opgave 25 Vis at følgende sætning ikke er sand. Hvis man har ti tal, hvis sum er delelig med tre og hvis et ulige antal af tallene ikke selv er delelig med tre, da kan det aldrig lade sig gøre at dele tallene i to grupper, hvor summen af hver gruppe er delelig med tre. Opgave 26 Vis at følgende sætning ikke er sand. Hvis man har x meter reb, og ønsker afgrænse det størst mulige areal med rebet, da skal man lægge rebet i en kvadrat med sidelænge x 4. Bevis ved kontraposition Opgave 27 Vis at hvis n 2 er ulige, så er n ulige. Opgave 28 Hvilken sætning kan du lave ved at ved at kombinere resultaterne af opgave 12 og 27? Hvilket resultat fra slidsne trækker du på? Opgave 29 Vis at hvis et helt tal q ikke går op i et helt tal n 2, så går q heller ikke op i n. Opgave 30 Vis at hvis 3n + 2 er ulige så er n ulige. Opgave 31 Lad x og y være hele tal. Vis, at hvis x y er ulige, så er både x og y ulige. Opgave 32 (svær) Vis at hvis 3 går op i n 2 så går 3 også op i n. Hint: ethvert tal, som 3 ikke går op i, kan skrives som 3k 1 eller 3k + 1, hvor k Z. Modstridsbeviser Opgave 33 Lad x, y og z være tre reelle tal. Vis at x > y y > z x > z Hint: Antag at x z og vis, at det fører til modstrid. 5
Opgave 34 Lad x, y og z være tre reelle tal. Vis at x y y z x z Hint: Antag at x > z og vis, at det fører til modstrid. Opgave 35 Lad x, y og z være tre reelle tal. Vis at x y y x x = y Hint: Antag at x z og vis, at det fører til modstrid. Opgave 36 Der findes inden reelle talpar (x, y), der løser ligningen x 2 + 1 = 2xy y 2 Hint: Antag at der findes et talpar (x, y) R 2 + som løser ligningen. Prøv derefter at omskrive ligningen, så du kan bruge en kvadratsætning. Opgave 37 Lad x være et helt tal, der kan skrives på formen 2n + 1, hvor n Z. Vis at x er ulige. Hint: Antag at x er lige og brug definition 2. Opgave 38 Vis at der ikke findes et heltal k, så 4k + 3 er et kvadrattal. Opgave 39 Lad x og y være to forskellige positive reelle tal. Vis at Hint: Brug resultatet fra opgave 16. x y + y x > 2 Opgave 40 Når du skal løser denne opgave, er det vigtigt, at du argumenterer for hvert eneste skridt. Du skal undervejs bruge nogle af resultaterne fra tidligere opgaver. a) Vis at 3 er irrational. b) Vis at 6 er irrational. c) Afgør om 2 + 3 er irrational. Opgave 41 Vis at der ikke findes hele tal x og y, der løser ligningen x 2 y 2 = 2 Hint: faktoriser højresiden og overvej hvilke tal, der gange med hinanden giver 2. 6
Beviser delt op i tilfælde Opgave 42 Lad n være et naturligt tal. Vis at n + n 3 er lige. Opgave 43 Lad n være et naturligt tal. Vis at 2n 2 1 er ulige. Opgave 44 Lad n være et helt tal. Vis at n 2 5n + 7 er ulige. Opgave 45 Lad n være et helt tal. Vis at 3n 2 + n + 14 er lige. Opgave 46 Lad n være et naturligt tal. Vis at 9 går op i n 3, n 3 1 eller n 3 + 1. Hint: Del beviset op i tre tilfælde. Det har noget med 3-tabellen at gøre. Opgave 47 Lad n være et helt tal, der ikke er deleligt med 5. Vis at n 2 divideret med 5 efterlader en rest på enten 1 eller 4. Opgave 48 Vi indfører nu x, som siges den numeriske værdi af x og er lig afstanden fra tallet og hen til 0 på den reelle akse. Eksempelvis er 3 = 3, 7 = 7 og 2 3 = 1. Vi at for alle x R gælder at 2 x + 1 x 1 2 Hint: prøv at dele beviset op i tre tilfælde. Det første tilfælde kunne være x 1. Opgave 49 Vis at for alle x R gælder sin(x) x Eksistensbeviser Opgave 50 Vis at der eksisterer tre heltal a, b og c således at a 2 + b 2 = c 2 Opgave 51 Vis at der eksisterer to heltal m og n således at 2m + 3n = 12 7
Opgave 52 Vis at der eksisterer et primtal p således at p + 4 og p + 6 også er primtal. Opgave 53 Vis at der for alle ulige heltal k eksisterer to på hinanden følgende heltal x og y så k = x + y Opgave 54 Vis at der til ethvert ulige tal k findes to kvadrattal x 2 og y 2 således at k = x 2 y 2 Entydighedsbeviser Opgave 55 Vis at der kun findes ét n N sådan at Opgave 56 Vis at der kun findes ét tal x R sådan at n + 2 = 9 x 2 + 4x + 4 = 0 (Det er ikke nok at løse ligningen med løsningsformlen. Du skal også vise, at der ikke findes andre løsninger.) Hint: Anvend første kvadratsætning. Induktionsbeviser Opgave 57 Vis at For alle n N Opgave 58 Vis at For alle n N Opgave 59 Vis at 4 går op i 5 n 1 for alle n N. 2 + 5 + 8 +... + (3n 1) = n(3n + 1) 2 1 + 5 + 9 + + (4n 3) = n(2n 1) 8
Opgave 60 Lad x være et reelt tal og n være et naturligt tal. Vis at og bestem dernæst summen Opgave 61 Gæt på en formel for summen og bevis, at din formel passer. Opgave 62 Vis at for alle n N går 5 op i 11 n 6. Opgave 63 Vis at for alle n N går 5 op i 8 n 3 n. Opgave 64 Lad n N og undersøg udtrykket 1 + x + x 2 + x 3 + + x n = xn+1 1 x 1 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + + 10000 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + + 1 n(n + 1) 4n < 2 n Hvornår gælder det? Formuler en sætning og vis den. Mængder Opgave 65 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1 til og med 100. b) En mængde C indeholder alle rationelle tal større end 1 3 og mindre end 7. c) En mængde D indeholder alle tal i 4-tabellen. d) En mængde E indeholder alle positive ulige tal. e) En mængde B indeholder alle de reelle talsæt (x, y), hvor y er 3 gange x. Opgave 66 Betragt mængderne Vis at A B. A = {1, 2} B = {x R x 2 + 2x 3} 9
Opgave 67 Betragt mængderne Vis at A B. Opgave 68 Betragt mængderne Vis at A B. Opgave 69 (svær) Betagt følgende mængder A = {x R x 2 < 9} B = {x R x < 4} A = {x R + x < 5} B = {x R x < 100} A = {x N x = 11 k, k N} Vis at A B. B = {x N sidste ciffer i n er 1} Hint: Brug induktion til at vise, at 11 k ender på 1 for alle k N. Opgave 70 (svær) Betragt mængderne Vis at A = B. A = ( 1, 1) B = {x R x 2 x} Hint: når man skal vise at B A, er det en god ide at betragte tilfældene x = 0 og x 0. Opgave 71 Tegn Venn-diagrammer der illustrerer følgende situationer: a) Tegn et Venn-diagram af de tre mængder. b) A B C c) A C, B C og A B = d) A B C, men hverken A eller B er delmængder af C. Opgave 72 Betragt mængderne A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 5, 7, 9} C = {2, 4, 6, 8} 10
a) Tegn et Venn-diagram af de tre mængder. b) Bestem A B c) Bestem A C d) Bestem A B C e) Bestem A B C Opgave 73 Betragt følgende intervaller. Reducer udtrykke, hvis det er muligt. a) Bestem (4, 7) [5, 9] og (4, 7) [5, 9]. b) Bestem ( 2, 9) (8, 10] og ( 2, 9) [8, 10]. c) Bestem [ 2, 5] ( 3, 9] og [ 2, 5] ( 3, 9]. d) Bestem [0, 4] ( 5, 11] og [0, 4] ( 5, 11]. e) Bestem ( 2, 1] (2, 5] og ( 2, 1] (2, 5]. Opgave 74 (svær) Vis at n=1 ] 1 n, 1 + 1 [ = [0, 1] n Opgave 75 (svær) Vis at n=1 ] 1 n, 1 + 1 [ =] 1, 2[ n Opgave 76 Bestem Opgave 77 Bestem n=1 n=1 [ 1, 1 1 n ] [ 1, 1 1 n ] Opgave 78 Tegn følgende mængder i et koordinatsystem a) B = {(x, y) R 2 x + y 1}. 11
b) C = [2, 4) ( 1, 3]. c) D = {(x, y) R 2 y = 2x + 1}. d) E = {(x, y) R 2 x + y 1}. Opgave 79 (svær) a) En mængde C indeholder alle de punkter i R 2, der ligger inden i (og altså ikke på) en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Opskriv mængden som en sandhedsmængde. b) En mængde K indeholder alle de punkter i R 3, der ligger inden i eller på en kugle med radius 2 og centrum i punktet (0, 0, 0). Opskriv mængden som en sandhedsmængde. c) En mængde Q er givet ved Q = {(x, y, z) R 3 x 1, 1 < y < 2, z 1}. Tegn mængden. Opgave 80 (Georg Mohr konkurrencen, 2. runde 1991) Betragt den reelle talplan R 2. a) Bestem mængden af alle de punkter, der ligger dobbelt så langt fra punktet P = (3, 0) som fra punktet O = (0, 0). b) Tegn mængden. 12