Beregning af areal, volumen, massemidtpunkt og inertimomenter for en klasse af omdrejningslegemer med cirkelbuegeometri af Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck Dansk Amatør Raket Klub Introduktion Denne rapport gennemgår beregningen af areal, volumen, massemidtpunkt samt inertimomenter for en klasse af omdrejningslegemer med cirkelbuegeometri. Et af tilfældene er en tangent ogive som ofte anvendes som raketspidsen på raketter. Af ovenstående figur kan radius R beregnes som følger Da og, får vi Sammenfattes de to udtryk fås 1 of 13 15-01-2001 22:39
Ved omskrivning kan længe-diameter forholdet udtrykkes Areal Arealet af den krumme overflade for et omdrejningslegeme med cirkelbuegeometri beregnes for de to nedenstående tilfælde. Tilfælde I: Tilfælde II: 2 of 13 15-01-2001 22:39
Cirklens ligning er nu i de to tilfælde Parameterfremstillingen i (x,z)-planen er, der gælder følgende:, Tilfælde I: Tilfælde II: og og Følgende dimensionsløse størrelser indføres og Drejes kurven én omgang omkring z-aksen fremkommer der en flade. Arealet af denne omdrejningsflade kan beregnes ved følgende formel Indsættes parameterfremstillingen fås 3 of 13 15-01-2001 22:39
Indsættes grænserne fra tilfælde I fås Indsættes grænserne fra tilfælde II fås Ved geometribetragtninger kan følgende udledes for tilfældene I: II: Ved indsættelse fås nu I: II: De to arealformler kan nu sammenfattes til 4 of 13 15-01-2001 22:39
Volumen Til beregning af volumen omskrives cirklens ligning for de to tilfælde til Volumen af omdrejningslegemet er, Indføres følgende substitution Vi får nu 5 of 13 15-01-2001 22:39
Massemidtpunkt Af symmetrigrunde er massemidtpunktet placeret på z-aksen. Massemidtpunktets z-koordinat kan findes ved følgende formel 6 of 13 15-01-2001 22:39
Massetætheden ρ(x,y,z) antages konstant ved den kan bortforkortes. Legemet kaldes homogent når ρ(x,y,z) er konstant. Integralet i nævneren er nu lig volumen af det aktuelle omdrejningslegeme. Integralet i tælleren kan findes som følger Indføres Vi får nu 7 of 13 15-01-2001 22:39
Massemidtpunktets z-koordinat er hermed Inertimomenterne Generel kan inertimomentet skrives som Er massetætheden ρ(x,y,z) konstant kan den sættes udenfor integralet. Inertimomenterne med hensyn til koordinatakserne er nu Da der er symmetri omkring z-aksen har vi at 8 of 13 15-01-2001 22:39
Inertimomentet om z-aksen findes ved følgende omformning Vi får nu 9 of 13 15-01-2001 22:39
10 of 13 15-01-2001 22:39
Inertimomentet om henholdsvis x- og y-aksen findes nu ved analog omformning. Vi får 11 of 13 15-01-2001 22:39
Den udledte formel for indsættes nu i udtrykket 12 of 13 15-01-2001 22:39
Referencer Jensen, H. E.: Matematisk Analyse, Bind 3. Matematisk Institut, DTH, 2 udgave, 1976 Speigel, M. R.: Mathematical handbook of formulas and tables. Schaum s outline series in mathematics. McGraw-Hill Book Company, New York, 1968. 13 of 13 15-01-2001 22:39