Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3 Differentiation af funktioner...3 Ligninger for tangenter...5 1. eksempel (tangent når vi kender x 0 )...5 2. eksemple (find tangentens skæringspunkt med akserne)...6 3. eksempel (find tangenten når vi kender hældningen)...6 4. eksempel (find parallelle tangenter for to funktioner)...7 Monotoniforhold og ekstremum...9 Et gennemregnet eksempel...9 Optimering...12 Optimering med kendt funktion...12 1. eksempel (vis at en omkostningsfunktion er voksende)...12 2. eksempel (fortsat) (find den maksimale fortjenesten)...13 3. eksemple (fortsat) (find produktionen med mindste enhedsomkostning)...14 Optimering med flere variable...15 Grænseværdier...18 1. eksempel: lim...18 x 0 2. eksempel: lim...19 + x 0 3. eksempel: lim...20 x 2
Indledende differentialregning Vi er nu klar til at begynde på differentialregningen. Det alt afgørende her er, at TI-Interactive kan finde f (x). Desværre kan TI-Interactive ikke lide notationen f (x), så i det følgende vil jeg systematisk kalde f (x) for fm(x) (kort for f mærke ). Differentiation af funktioner Lad os i det følgende antage, at vi (i en mathbox) har defineret en funktion 2 x x : = 3 2 x + x 5 og vi vil nu finde f (x). Inden vi starter minder jeg lige om, at vi også bruger somme tider df d bruger skrivemåderne og f (x) i stedet for f (x). Husker man dette, så er det følgende dx dx ikke så svært at huske. Vi starter med at åbne en mathbox, og klikker på symbolet : I den dropdown-menu, der åbnes, klikker vi nu på : 3
I mathboxen står der nu I overensstemmelse med skrivemåden ovenfor skriver vi nu x i det første felt og f(x) i det andet felt: Da jeg gerne vil kunne bruge resultatet senere, tilføjer jeg lige fm(x) := først i mathboxen (i fremtiden vil jeg naturligvis skrive dette først): Når man lukker mathboxen skal der nu gerne stå Hvis man vil se hvad resultatet er, så skriver man bare fm(x) i en mathbox: (som vel må siges at være ret grimt!) Lige en advarsel: Hvis man har brug for at skrive noget mere i mathboxen (hvis man for d eksempel vil skrive + 5 (hvorfor man så end skulle ønske det), så skal men efter den dx sidste parentes trykke på pil til højre på tastaturet inden man skriver 5-tallet (logikken er, at man skal ud af differentieringen inden man skriver 5-tallet). Anbefaling: Man behøver ikke først differentierer funktionen. Det er tilladt at skrive den direkte ind der hvor man differentierer: Dette er sjældent en fordel, og det giver tit anledning til parentesfejl, så dette må kraftigt frarådes. Øvelse. Differentier følgende tre funktioner 4 3 = x 3 x 2 x + 3 x 2 g ( x) = h ( x) = x + x x 4
Ligninger for tangenter Nu, hvor vi kan differentierer funktioner, vil vi bruge dette til at finde ligninger for tangenter. Vi vil gøre dette ved at løse 3 standard-opgaver. Vi tager udgangspunkt i den sædvanlige formel for ligningen for en tangent: y = a ( x x hvor y 0 0 ) + y = f ( x ) 0 0 og a = f ( x 0 ) 1. eksempel (tangent når vi kender x 0 ) Opgave: Bestem tangenten til grafen funktionen = x 2 + 5 i punktet x 0 = 2. Besvarelse: Her er en oversigt over det vi gør: 1. Vi definerer først funktionen. 2. Dernæst differentierer vi den og gemmer resultatet som fm(x) 3. Bare for en ordens skyld udskriver vi lige fm(x) 4. Vi skriver at x0 er 2 5. Vi finder y0 ved at indsættte x=2 i f(x) 6. Vi finder x0 ved at indsætte x=2 i fm(x) 7. Vi opskriver ligningen. I TI-Interactive ser det hele således ud: Bemærk: Den sidste linje er skrevet med et gange mellem a et og parentesen: 5
Ellers tror TI-Interactive! at vi er ved at skrive en funktion a(x). 2. eksemple (find tangentens skæringspunkt med akserne) Opgave: Vi ser stadig på funktionen og tangenten fra 1. eksempel. Bestem den fundne tangents skæringspunkter med koordinatsystemets akser. Besvarelse: Da vi nu skal bruge ligningen for tangenten, så gemmer vi lige det sidste resultat som en funktion. Vi kalder denne funktion t(x) (kort for tangent). Man må gerne skrive resultatet fra før ind med håndkraft (eventuelt ved at kopiere): Men det er mere elegant hvis man direkte efter udregningen tilføjer (logikken er, at t(x) sættes til højre side af det vi fik før, altså til det der står efter = ) I næste linje kunne man så passende udskrive resultatet: Vi ser straks, at skæringen med y-aksen er 3 5. Skæringen med x-aksen findes ved at løse ligningen t(x) = 0: 3. eksempel (find tangenten når vi kender hældningen) Opgave: Funktionen = x 2 4 x har en tangent med hældningskoefficient 6. Find ligningen for denne tangent. Besvarelse: Her er først en plan for hvad vi vil gøre: 1. Vi definerer først funktionen. 2. Dernæst differentierer vi den og gemmer resultatet som fm(x) 3. Bare for en ordens skyld udskriver vi lige fm(x) 4. Vi finder nu x0 ved at løse ligningen fm(x) = 6 5. Vi skriver hvad x0 skal være (det vi lige har fundet) 6. Vi finder y0 ved at indsættte x0 et i f(x) 7. Vi finder x0 ved at indsætte x0 et i fm(x) 8. Vi opskriver ligningen. I TI-Interactive ser det hele således ud: 6
4. eksempel (find parallelle tangenter for to funktioner) Opgave: Der findes et x, hvor tangenterne til graferne for funktionerne = x 2 + 2 og g ( x) = x + 1 er parallelle. Find dette x, og find ligningerne for de to tangenter. Besvarelse: At de to tangenter skal være parallelle betyder, at deres hældninger skal være ens. Da hældningen af tangenten udregnes ved at indsætte i f (x) betyder dette, at vi kan vinde x et ved at løse ligningen f (x) = g (x). Her er først en plan for hvad vi vil gøre: 1. Vi definerer først de to funktioner. 2. Dernæst differentierer vi dem og gemmer resultaterne som fm(x) og gm(x) 3. Bare for en ordens skyld udskriver vi lige fm(x) og gm(x) 4. Vi finder nu x0 ved at løse ligningen fm(x) = gm(x) 5. Vi skriver hvad x0 skal være (det vi lige har fundet) 6. Vi kender nu x0 og finder de to tangenter på samme måde som i eksempel 1. I TI-Interactive ser det hele således ud: 7
Øvelse Find ligningen for tangenten til funktionen f(x) = ln(x) ved x=10. Tangenten afgrænser sammen med x-aksen og linjen x=10 en trekant. Find trekantens areal. Det hele skal illustreres med en tegning. 8
Monotoniforhold og ekstremum Standard-metoden her kan kort skitseres således: 1. Definer funktionen f(x) 2. Find f (x) 3. Løs ligningen f (x) = 0 4. Lav en fortegnslinje for f (x) 5. Besvar de stillede spørgsmål Normalt ligger det store arbejde i punkt 2 og 3, men kombinationen af, at TI-Interactive kan differentiere funktioner og kan løse ligninger gør det hele let. Vi ser på et eksempler: Et gennemregnet eksempel Opgave 1 Bestem monotoni-forholdene og lokale ekstemumssteder for funktionen = x + x, x > 0. Bestem også funktionens maksimum og minimum (hvis de eksisterer) og angiv funktionens værdimængde. Besvarelse Planen er som ovenfor skitseret. Vi kan ikke umiddelbart indskrive betingelsen x > 0 som en del af funktionen, men ved løsningen af ligningen f (x) = 0 kan den indskrives, og så husker vi bare, hvis vi skal tegne grafen. Punkt 1-3. I TI-Interactive kommer punkt 1-3 til at se således ud: Bemærk hvorledes betingelsen x > 0 er brugt ved løsningen af ligningen. Hvis man ikke skrev den sidste del, så fik man og så måtte man selv huske at slette løsningen x = -1 Bemærk også, at jeg har gjort det til en vane at udskrive resultatet for fm(x), også selv om det ikke er nødvendigt. Det hjælper somme tider til at finde eventuelle fejl. Punkt 4. 9
Vi skal nu undersøge fortegnene for f (x). Dette kan gøres smart ved at tegne grafen for funktionen sign(fm(x)), men det er klogere at gøre det på den besværlige måde: Vi ved at f (x) kun kan skifte fortegn ved x = 1, så vi indsætter et x før og efter x = 1: Vi er nu klar til at opskrive fortegnslinjen for f (x). Jeg anbefaler at man gør det på følgende måde: Punkt 5. Vi er nu klar til at besvare spørgsmålene: Monotoniforhold: f er aftagende i intervallet ]0; 1] og voksende i intervallet [2; [ Lokale ekstremumssteder: f har lokalt minimum i x = 1 Maksimum og mimimum: f har minimum i x = 1 med værdien f ( 1) = 2 (indsæt 1 i f(x) ) funktionen har ikke noget maksimum Værdimængde: Da f ( x ) = lim x bliver værdimængden Vm = [2; [ Skrevet pænt i TI-interactive! med passende forklaringer, kommer det til at se således ud: 10
Øvelse. Bestem monotoniforholdene og lokale ekstremumsteder for funktionen 3 2 = x 4x + x 5 11
Optimering En variant af det at finde ekstremum er optimering. Vi har her 2 opgavetyper: Der hvor vi kender funktionen (eller let kan finde den) og der hvor vi skal arbejde lidt mere for at finde forskriften (typisk have fjernet en variabel). Optimering med kendt funktion Dette er helt som ovenfor, så standard-metoden er helt den samme: 1. Definer funktionen f(x) 2. Find f (x) 3. Løs ligningen f (x) = 0 4. Lav en fortegnslinje for f (x) 5. Besvar de stillede spørgsmål 1. eksempel (vis at en omkostningsfunktion er voksende) Opgave: Med O(x) betegnes de samlede omkostninger (i mio. kr.) ved produktion af x tusinde tons af en vare. Funktionen O er givet ved 4 3 2 O ( x) = x + 2x 5x + 24x + 6, x [ 0,5] Vis ved at benytte O (x) at O(x) er en voksende funktion i definitionsmængden. Besvarelse: Vi følger bare standard-planen: 12
2. eksempel (fortsat) (find den maksimale fortjenesten) Opgave Vi fortsætter med at se på samme omkostningsfunktion, og antager nu yderligere, at hvert produceret tusinde tons sælges for 36 mio. kr. Fortjenesten F, som funktion af antal producerede tusinde tons, finder vi ved at tage de samlede indtægter ( 36 x ) og trække de samlede omkostninger fra: F( x) = 36x O( x) Vis, ved at benytte F (x), at fortjenesten har en størsteværdi og bestem denne. Besvarelse 13
3. eksemple (fortsat) (find produktionen med mindste enhedsomkostning) Opgave Vi ser stadig på den samme omkostningsfunktion. Ved produktion af x vareenheder er omkostningerne O(x), så gennemsnitsomkostningerne (omkostningen pr. styk, her omkostningen pr. 1000 tons), også kaldet enhedsomkostningerne er bestemt ved O( x) G( x) = x Bestem det antal tons der skal produceres, for at enhedsomkostningerne bliver mindst mulige. Besvarelse Øvelse Ved at rationaliserer produktion kan man opnå, at omkostningsfunktionen givet ved 3 2 O ( x) = x + 8x + 6, x [ 0,8] Varen kan stadig sælges for 36 mio. pr 1000 tons. Besvar de samme spørgsmål som ovenfor i eksemplerne 1-3. 14
Optimering med flere variable Vi ser på et eksempel (opgave 5.032). Nogle af udregningerne kan let laves med hovedregning, men af pædagogisk grunde (!) lader vi TI-Interactive gøre arbejdet. Opgaven En kvægavler vil indhegne et stykke jord. Indhegningen skal være rektangulær, og ved hjælp af et hegn parallelt med det ene par sider skal den deles i to adskilte folde. Der er i alt 600 meter hegn til rådighed. Bestem den længde af siderne, der giver det størst mulige areal af det indhegnede område, og bestem dette areal. Besvarelse Her er en plan: 1. Indfør variable: Vi kalder den korte side for x og den lange side for y. 2. Find en sammenhæng mellem variablene: At der er 600 meter hegn giver så betingelsen 3 x + 2y = 600. 3. Isoler den ene variable i betingelsen. Vi vil senere se, at når vi isolerer y får vi 3 y = 300 2 x 4. Opskriv den funktion, der skal maksimeres eller minimeres: Arealet er givet ved A( x) = x y 5. Erstat den ene variabel med resultatet fra punkt 4. Vi har nu en normal funktion med en variabel. 6. Find maksimum eller minimum for denne funktion. Her bruger vi standardplanen: 1. Definer funktionen f(x) 2. Find f (x) 3. Løs ligningen f (x) = 0 4. Lav en fortegnslinje for f (x) 5. Besvar de stillede spørgsmål 7. Besvar de stillede spørgsmål. I TI-Interactive! kommer det det til at se således ud: 15
16
Øvelse En kasseformet tank med kvadratisk grundflade med sidelængden x meter og med den dybde y meter skal bygges i et hul i jorden. Prisen afhænger både af det materiale tanken bygges af, og af omkostningerne ved udgravningen. Den samlede pris kan beregnes med formlen 2 20 3 k = 5 ( x + 4xy) + 3 xy + 3x y Tankens rumfang skal være 30 m 3. Find, ved hjælp af oplysningen om rumfanget, en sammenhæng mellem x og y, isoler y i dette udtryk. Indsæt udtrykket for y i formlen for k. Vær omhyggelig med at sætte parentes omkring udtrykket alle steder. Kald resultatet for k(x). Bestem ved hjælp af k (x) de værdier af x og y, der gør prisen mindst mulig. 17
Grænseværdier Vi vil lige starte med at vise, hvordan man kan finde grænseværdier med TI-Interactive!. Dette ligger godt nok lidt uden for hovedemnet, men alligevel. Jeg minder lige om, at vi har forskellige typer grænseværdier, og at vi kan skrive dem på to forskellige måder. Her er nogle eksempler: 5 for x 2 kan også skrives lim = 5 2 for x 2 kan også skrives lim = x 2 5 for x kan også skrives lim = 5 x x 5 + for x 2 kan også skrives lim = 5 + x 2 + for x 2 kan også skrives lim = 5 + x 2 5 for x 2 kan også skrives lim = 5 x 2 for x 2 kan også skrives lim = 5 x 2 I TI-Interactive! er det skrivemåden til højre der brugen. Vi ser nogle eksempler: 1. eksempel: lim x 0 Bestem grænseværdien for funktionen Vi starter med at definere funktionen: x e 1 = for x gående mod 0, dvs. find lim. x x 0 I en mathbox klikker vi nu først på : Og i dropdown menuen klikker vi på : 18
Dette giver følgende mathbox Og vi skal nu bare udfylde de tomme felter: Resultatet bliver 2. eksempel: lim + x 0 2 x + 2 x 1 Bestem grænseværdien for funktionen = for x gående mod 2 fra højre, dvs. x 2 find lim. Vi starter med at definere funktionen: + x 0 Og klikker nu igen på, men denne gang klikker vi i dropdown menuen på (den nedenunder den vi brugte før): 19
Resultatet bliver en mathbox, som ser således ud: Læg mærke til, at der er et felt mere, der skal udfyldes. Vi udfylder nu felterne: Og får resultatet 3. eksempel: lim x 3 3 x 2 x + 4 Bestem grænseværdien for funktionen = for x gående mod, dvs. find 2 2 x + 5 lim. Vi starter med at definere funktionen: x Og gør nu helt som i første eksempel, bortset fra at når vi skal skrive, så klikker vi først på : 20
Og i dropdown menuen klikker vi nu på : Når vi har udfyldt alle felterne skulle det gerne så således ud: Og resultatet bliver 21