Nb: der kan komme mindre justeringer af denne plan.

Efterårets øvelser, blok 2 Fysik2 Introduktion Fysik 2 øvelser består af 3 øvelser hvori der indgår måling af de fundamentale størrelser: længde, tid og masse. Alle øvelserne handler på en eller anden måde om energiomsætning. De er således meget relevante for fysik2 pensum. Rapporter afleveres samme eller følgende øvelsesgang. Fremmøde er obligatorisk. (Kontakt en vejleder hvis i har problemer med fremmøde). Eksperimenterne er: Uge 1) Oscillator Uge 2) Oscillator fortsat Uge 3) Faldmaskine Uge 4) Fri Øvelser (forberedelse), python simulering Uge 5) Skråplan Uge 6) Skråplan fortsat Uge 7) Fri Øvelse (endelig aftale), Simulering fortsat Nb: der kan komme mindre justeringer af denne plan. Eksperimenterne sigter mod fysikforståelse, men i høj grad også mod det måletekniske: Hvor meget kan man stole på en måling, hvad er den reelle usikkerhed på måleresultatet. Der bliver lagt stor vægt på databehandling og usikkerhedsvurdering. Fælles for de 3 eksperimenter: Længder måles v.h.a. en meterstok eller skydelære. Masser måles v.h.a. en vægt. Andre størrelser måles hvis muligt elektronisk. Tider normalt v.h.a et elektronisk stopur, der reagerer på såkaldte digitale signaler (ja/nej, 1 eller 0) repræsenteret ved +5 Volt eller 0 Volt, der stammer fra en fotocelle, der enten belyses eller skygges, når et legeme passerer forbi. Vi måler mere detaljerede bevægelser v.h.a. såkaldte strain-gauges 1, der detekterer deformationer. Vi måler temperatur v.h.a. temperaturfølsomme modstande (bliver nok ikke relevant). Den metode, der ofte bruges til at måle på sådanne systemer, der ændrer sig ganske lidt, er en målebro. Man sætter det følsomme element (i vores tilfælde måske en termistor (temperaturfølsom modstand) eller en strain-gauge) ind i et balanceret system af modstande som på figur 1a. Der sendes strøm fra + til -, og den variable modstand indstilles indtil systemet er i balance, d.v.s. 0 Volt mellem A og B. Når måleelementet ændrer modstand, kommer der en afvigelse fra 0 Volt. Da udgangspunktet er 0, kan selv en lille ændring forstærkes op så spændingen bliver målbar med et simpelt voltmeter, som antydet i figur 1b. Vores voltmeter er en PC udstyret med et ADC (Analog to Digital Converter) kort og programmet Labview. Kortet forsyner PC en med et tal proportionalt med spændingen og Labview kan 1 elektrisk modstand, der er følsom overfor deformationer 1

registrere dette, lave beregninger med det, skrive det ud på en graf samt gemme det i en fil. Figur 1a Figur 1b Labview kortet har desuden et antal direkte digitale ind- og udgange (DIO), som har to tilstande: true eller false, ja eller nej, repræsenteret ved +5 Volt eller 0 Volt. De kan (som udgange) bruges til at styre f.eks. en kontakt, eller (som indgang) at modtage et ja/nej signal fra f.eks en fotodetektor, der er skygget eller ej. Til hvert eksperiment får I til jeres rådighed et program med de nødvendige egenskaber. De er beskrevet mere detaljeret separat. Labview programmet Labview har forbindelse til eksperimentet gennem et indstikskort i PC en. Fra kortet går et fladkabel ud til et brædt med klemskruer, der giver os ca. 30 ind- og udgange til kortet. Kortet har 8 digitale ind- og udgange, og kan læse om der er +5 Volt eller 0 Volt på en indgang. Dette tolkes som 1 eller 0, ja eller nej. Eller man kan skrive 1 eller 0 til kortet hvilket bevirker at der sættes 5 Volt eller 0 Volt på en linie. Dette kan bruges til styring. De digitale linier betegnes DIO0, DIO1 - DIO7. Der er 16 analoge indgange til kortet. Disse kan aflæse en spænding og omsætte den til et tal via en ADC. ADC en har 10 12 adresser og kan derfor omsætte analoge størrelser til i alt 4096 forskellige tal. Spændinger i intervallet -10V +10V kan f.eks. omsættes til tal i intervallet -2048 +2048. Disse linier betegnes ACH0, ACH1 - ACH15. Labview kan registrere størrelser, præsentere dem på en skærm, og skrive dem ud på en datafil. Programmet har de samme matematiske redskaber som gængse programmeringssprog, men programmeringen foregår rent grafisk. Dette får I demonstreret hen ad vejen. Det er ikke noget, der bør bekymre nogen, men de der er interesserede kan komme til at prøve selv. Databehandling Vi fortsætter med gruppeinddeling som i Fysik 1, men danner dog kun nye grupper ved emneskift. Linux computerne bruges som i Fysik 1 til databehandling og jeres resultater 2

lægges på jeres hjemmesider som før. Den endelige rapport skal dog lægges på hjemmesiden som en pdf fil. Dataopsamling fra eksperimenterne foregår på Window computere som under ingen omstændigheder må forbindes til nettet. Data overføres til linux computerne med USB memory sticks. Data fra eksperimenterne kan analyseres, tilpasses en teoretisk model og præsenteres ved hjælp af programmet Gnuplot, som også er installeret på PC erne. Programmet kaldes fra en ikon på PC-skrivebordet. I øvelseslokalet er der et opslag med nogle nyttige gnuplot-kommandoer. Vi anbefaler brug af Gnuplot, men andre programmer som f.eks. matlab eller manuel analyse kan også bruges. Gnuplot er et gratis program som i selv kan downloade fra nettet. Rapport Rapporten skal indeholde tilstrækkelig information til at en anden fysik 2 studerende kan gentage eksperimentet på basis heraf. I behøver ikke at udlede teorien men angiv ligninger i benytter i databehandlingen. Rådata skal ikke med i rapporten men selvfølgelig kurver og tabeller som angiver analyse resultater. Inkluder diskussioner i har haft undervejs om forventet udfald af eksperimentet også selvom jeres forventninger ikke blev opfyldt. Præciser hvad i har lært undervejs. Diskuter den statistiske relevans af jeres resultat. Er der systematiske afvigelser, herunder hvor gode er jeres målinger og hvor godt fitter de den matematiske model, og hvad betyder god i denne sammenhæng?. Kan i forklare de systematiske afvigelser og lave en bedre analyse på baggrund heraf? Forslag til at gøre forsøget bedre? 3

4

Oscillator - Øvelse 1&2 Fysik 2 1. Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres oftest ved hjælp af en fjeder med et lod. Det er da også dette system, vi vil se på her: En simpel spiralfjeder med et lod i enden. Fjederen er ophængt i en anden, noget stivere, fjeder, som ikke deltager meget i bevægelsen, men nok til at man ved hjælp af strain-gauges kan måle loddets bevægelse. Som beskrevet i indledningen måles spændingen over en målebro v.h.a. Labview. Bevægelsen af den harmoniske oscillator måles fritsvingende, med hastighedsproportional dæmpning og dæmpet med konstant friktion. 2. Teori Fri harmonisk oscillator: Nedenstående findes f.eks. i J. M. Knudsens og P. G. Hjorths Elements of Newtonian Mechanics. Bevægelsesligningen for den frie udæmpede harmoniske oscillator er som har den generelle løsning hvor vinkelfrekvensen er og svingningstiden for en hel periode mẍ = kx (1) x = x 0 cos(ω 0 t + φ) (2) ω 0 = k/m (3) T 0 = 2π/ω 0 (4) Fri harmonisk oscillator med hastighedsproportional dæmpning: Bevægelsesligningen er for den dæmpede harmoniske oscillator, hvor dæmpningen sker ved en hastighedsproportional gnidning (en god tilnærmelse ved langsom bevægelse i luft eller væske): mẍ = kx bẋ (5) Den almindelige løsning til (5) er for ikke alt for stor friktion (således at massen svinger flere gange): x = x 0 e γt 2 cos(ωd t + φ) (6) hvor frekvensen er ω d = ω 0 1 (γ/2ω0 ) 2 (7) altså en oscillation med omtrent samme frekvens som før men med en amplitude, som klinger af med eksponentialfunktionen e γt 2, hvor friktionskonstanten er γ = b/m. Vinklen 5

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Figure 1: φ er en fase, som afhænger af, hvornår man starter oscillatoren. Når friktionen er nul, reduceres løsningen (6) til (2). Harmonisk oscillator med konstant friktion: For tør gnidning (tilnærmelsesvis konstant gnidning) er løsningen lidt indviklet, men resultatet er simpelt og interessant og kan sammenlignes med forsøgsresultaterne. I nedenstående tekst er løsningen givet. I en af øvelsens varianter er oscillatoren dæmpet med en konstant kraft (friktion mellem lod og plade), som er rettet modsat hastigheden ẋ. Det betyder, at differentialligningen (Newtons 2. lov) for loddets bevægelse er henholdsvis for ẋ > 0 og mẍ = kx f = k(x + f/k) (8) m ẍ = kx + f = k(x f/k) (9) for ẋ < 0 Her er loddets masse m, fjederkonstanten k og friktionskraften f. Det ses, at da f/k for hvert af de to fortegn er en konstant, kan differentialligningen i begge tilfælde omdannes til mẍ = kx (10) hvor En løsning til (10) gældende for begge fortegn er x = x ± f/k (11) x = A sin(ω 0 t) (12) Den harmoniske oscillator med denne form for dæmpning svinger altså med samme frekvens som den udæmpede. På figur 1 er vist, hvorledes oscillationen foregår. Svingingen er altid harmonisk (sinusformet) men, afhængigt af fortegnet for ẋ, forskudt om et nulpunkt f/k for negativt ẋ og f/k for positivt ẋ. Hastigheden er nul ved de maksimale udsving i hver halve svingning. Amplituden falder efter en hel svingning med størrelsen 4f/k, således at udsvingets størrelse aftager lineært med tiden x udsving = A + f/k 4f/k t T 0 (13) hvor T 0 er svingningstiden T 0 = 2π ω 0 (14) 3. Udførelsen af øvelsen Lav først de statiske målinger som er nødvendige for at kunne bestemme den teoretiske værdi af svingningstiden. Optag kurver over den fri harmoniske oscillators bevægelse. Bestem dens frekvens og dæmpning fra svingning til svingning. Tilføj en skive, der giver luftmodstand og foretag samme målinger. Tilføj i stedet en fast flade, som loddet gnider mod. Sammenlign dæmpningsforløbet med de foregående. Alle målinger gentages tilstrækkeligt til at man kan angive usikkerheden på målingerne. Sammenlign de fundne resultater med den ovenstående teori. Fit med de teoretiske udtryk foretages med programmet GNUPLOT. Forslag til fitrutiner findes som opslag i øvelseslokalet. I tilfældet konstant friktion er der flere måder at foretage denne analyse. Prøv dem alle og diskuter forskellene (fordele og ulemper). Formlerne nedenunder er skrevet til GNUPLOT. 6

Gøre som før og ignorere symmetribruddet. Bruge en formel analogt med følgende (evt. udbygget med flere led, hint: skriv den ud og find ud af hvordan den er opbygget): f(x) = (x < x0) (cos(2 pi (x x1)) k) (15) +(x > x0 & x < x0 + 0.5) ((1 2 k) (cos(2 pi (x x1))) + (16) k) Denne formel kan også bruges: f(x) = A (1 2 f/k int(x/pi)) sin(x + pi/2 x0) + ( 1) (int(x/pi)) f/k(17) 4. Rapportering Bestem frekvensen for de forskellige svingninger, og angiv den med usikkerhed. Sammenlign med teorien (husk at måle alle masser der indgår). Hvad med fjedermassen? Mål dæmpningen som funktion af tiden og afgør, om de forskellige tilfælde passer bedst med en eksponentiel eller lineær afhængighed. 7

8

Faldmaskine - øvelse 3 Fysik 2 1. Formål Et lod med masse 2 kg falder ca. 1 m i jordens tyngdefelt, faldet bremses ved at loddet med stram snor over en trisse sætter et hjul i rotation, en del af faldenergien overføres til rotationsenergi i hjulet. Den kinetiske energi af hjulet bestemmes ved måling og der sammenlignes med det teoretisk forventede. 2. Teori Ved faldet omsættes potentiel energi af loddet til kinetisk energi i loddets bevægelse samt til kinetisk energi i det roterende hjul. Et mål for et hjuls træghed mod at sættes i rotation er dets inertimomentet om akslen. Hjulet har form af en cylinder og har et inertimoment om aksen givet ved: I = 1 2 MR2 (18) hvor M er hjulets masse og R er cylinderens radius. Vi opstiller en ligning der udtrykker energibevarelse, dvs at summen af den kinetiske og den potentielle energi er konstant under faldet: T = 1 2 Iω2 + 1 2 mv2 = 1 2 ω2 (I + mr 2 ) = mgh (19) Her er ω den øjeblikkelige vinkelhastighed, m er loddets masse og h er faldhøjden og g er tyngdeaccelerationen på stedet, og endelig er r radius af drivakslen hvor snoren er opviklet. Der er en binding (rullebetingelse) mellem den afviklede snorlængde og vinkeldrejningen af hjulet. Man får for ω: ω 2 = 2mgh I + mr 2 (20) Det ses at den opnåede vinkelhastighed er bestemt af den energi, der er til rådighed, hjulets træghed og radius af drivakslen. Stor vinkelhastighed ω opnås ved lille inertimoment og lille drivakseldiameter. 3. Udførelse af øvelsen De indgående fysiske parametre bestemmes: der er to akselstørrelser til rådighed og to hjul med inertimomenter der er op mod en faktor 10 forskellig, men har ca. samme masser. Hjulenes masser bestemmes ved vejning og deres diametre måles med skydelæren. Faldlængden, h, til snoren slipper bestemmes. Faldet følges af LabView ved at tage tider på lysdioden, der får lysglimt gennem en række huller i hjulet - der er seks huller pr. omdrejning. Som resultat af forsøget får man en serie af : 1) linienummer n 2) 1/dt (dt er t n t n 1 og proportional med vinkelhastighed) 3) t = tid efter start af faldet 9

Det ses at hjulet er under en konstant vinkelacceleration og at den drejede vinkel så også er en kvadratisk funktion af tiden. De opnåede målepunkter på kurven analyseres ved hjælp af GNUPLOT og man bestemmer slutvinkelhastigheden efter faldvejen h. Hjulets rotation bremses langsomt efter at snoren har sluppet og i GNUPLOT kan man f.eks. fitte vinkelhastighedens tidsafhængighed til følgende udtryk : f(x) = (x < x 0 ) (y 0 + b (x x 0 )) + (x > x 0 ) (y 0 + d (x x 0 )). Dette giver en kurve hvor to rette linier krydser (afløser) hinanden i x = x 0 og det ønskede resultat er så y 0 med usikkerheden givet af GNUPLOT. For forsøget bruger vi en tyngdeacceleration, som for kælderen Blegdamsvej 17 er g = 9.815 m/s 2 Målingerne gentages i et af forsøgene et antal gange (f.eks. 5) for at kontrollere om GNU- PLOT giver hele den reelle usikkerhed. 4. Resultater og rapportering Man måler vinkelhastigheden for alle 6 kombinationer af drivakselradius og hjulinertimomenter (aksel uden og aksel med hjul). De målte fundamentale længder og masser anføres. Vinkelaccelerationer og slutvinkelhastigheden angives i en oversigt. De målte opnåede kinetiske energier for hjulet og de teoretisk beregnede angives, og der sammenlignes under hensyn til usikkerheden ved målingerne. 10

Skråplan - Øvelse 5&6 Fysik 2 1. Formål Der er mange opstillinger som kan bruges til at måle tyngdeaccelerationen g; dette er en af dem. Bevægelsen af en kugle, som ruller uden at glide på et skråplan, er med god tilnærmelse analog med et frit fald. Den effektive acceleration er mindre end tyngdeaccelerationen. Årsagen hertil er dels, at kuglen bevæger sig i en bane, der hælder i forhold til lodret, dels at en del af kuglens bevægelsesenergi er rotationsenergi. Mål rullelængden s og hastigheden v som funktion af tiden t og se om funktionssammenhængene er som for et frit fald. Det primære formål med øvelsen er at undersøge disse funktionssammenhænge, dernæst at måle g samt bestemme den usikkerhed i har på resultatet (diskuter fordele og ulemper ved denne metode). Brug så den viden i nu har om de forskellige parametres indflydelse på den samlede usikkerhed til at optimere forsøget (i den grad det er gørligt) og gentag målingerne med henblik på at afklere om det er lykkedes. Hint: Start med at udlede et udtryk for usikkerheden på g målt med apparatet. 2. Teori Funktionssammenhængene er for et frit fald v = at (21) s = 1 2 at2 (22) Ved elimination af t i eq. 20 og eq. 21 ses, at den effektive acceleration a afhænger af v og s således: a = v2 2s Denne størrelse kan beregnes ved anvendelse af energibevarelse for bevægelsen. accelererende krafts størrelse og retning fremgår af figuren. (23) Den Figure 2: Skråplan med kugle Den samlede bevægelsesenergi (kinetisk energi) for den rullende kugle er T = T t + T r (24) 11

hvor translationsenergien er T t = 1 2 mv2 og rotationsenergien T r = 1 2 Iω2. Den massive kugle med radius R har inertimomentet I = 2 5 mr2 og translationshastigheden v, som hænger sammen med vinkelhastigheden i kuglens rulning: ω = v/r. Bemærk, at rulleradius r i dette eksperiment er mindre end R. Ved indsættelse fås den samlede bevægelsesenergi T = 1 2 (m + I/r2 )v 2. Energisætningen siger, at forøgelsen af den kinetiske energi T er lig den potentielle energi i tyngdefeltet, som kuglen har mistet ved at gennemløbe vejlængden s og dermed højden h = s sinθ. Heraf fås 1 2 (m + I/r2 )v 2 = mgs sinθ (25) Accelerationen a findes nu ved brug af udtrykket (??), og vi har 3. Udførelse af øvelsen a = g sinθ m m + I/r 2 (26) Kuglens masse bestemmes ved vejning, radius af kuglen og rulleradius for kombinationen skinne og kugle måles med skydelæren og hældningen af slisken måles. Usikkerheden på disse størrelser anslås. Faldet følges af LabView, der som funktion af vejlængden langs skinnen bestemmer faldtiden og hastigheden samt usikkerheden på disse størrelser. En praktisk note: På grund af den måde skråplan.vi er skrevet skal man for at tage N sample punkter og gemme dem i en fil følge denne procedure: 1. Start programmet ved at clicke på blok pilen i programmets tool bar. 2. Placer stålkuglen bag den røde pind ved toppen af banen. 3. Tryk på start. Kuglen skulle nu starte med at rulle da pinden trækkes ned. 4. Udfør step 2 og 3 N-2 gange. 5. Tryk på stop. 6. Gentag step 2 og 3 to gange. 7. Programmet spørger nu om et filnavn. Husk at lægge filen i jeres eget katalog! (Filens suffix skal være.txt). LabView registreringen forløber således: Programmet skal først manuelt forsynes med afstanden mellem forkant af kuglen og den første fotodiode.ved tryk på startknappen slippes kuglen og starttiden registreres. Derefter registreres t 1 og t 2 ved kuglens passage af de to fotoceller. Programmet beregner middeltiden (t 1 +t 2 )/2 og hastigheden 5/(t 2 t 1 ) cm/s (der er 5 cm mellem de to fotodioder). Resultatet af en række fald registreres i en tabel der udskrives tilsidst i en fil i computeren med formatet: af stand, hastighed, tid. For denne fil kan f.eks GNUPLOT beregne middelværdierne af hastighed og tid samt de tilsvarende spredninger. Ved at dividere spredningerne med kvadratroden af antal fald fås usikkerhederne på middelværdierne. 12

Denne måleprocedure gentages for et passende antal afstande. I afgør selv udfra statistiske vurderinger hvad der er passende. Dette resulterer i to sæt af sammenhængende værdier af: 1) t, v og s v (usikkerhed på v) 2) t, s og s s (usikkerhed på afstand) Det antages her at usikkerheden på tiden er lille i forhold til usikkerhederne på hastighed og afstand (argumenter for dette!) Nu kan de to funktioner (4) og (5) fittes med GNUPLOT til de to datasæt, der først skal indtastes i hver sin fil. Man finder altså den effektive acceleration på to måder med hver deres usikkerheder som kan diskuteres og sammenlignes. Beregn g ud fra jeres resultat for den effektive acceleration. Husk at inkludere alle usikkerheder! g i laboratoriet er ca. 9.815 m/s 2. Hvis der er tid gentages forsøget med en anden størrelse kugle. Aristoteles forudsagde at tunge legemer falder hurtigst. Er dette korrekt? Hvad forventer i her? Hvordan checkes jeres forventning lettest? 4. Resultater og rapportering Rapporten skal indeholde tilstrækkelig information til at en anden fysik 2 studerende kan gentage eksperimentet på basis heraf. Inkluder diskussioner i har haft undervejs om forventet udfald af eksperimentet også selvom jeres forventninger ikke blev opfyldt. Har i lært noget om differencen mellem lineær og rotationel bevægelse? Præciser hvad i har lært undervejs. Diskuter den statistiske relevans af jeres resultat. Er der systematiske afvigelser, herunder hvor gode er jeres målinger og hvor godt fitter de den matematiske model, og hvad betyder god i denne sammenhæng?. Kan i forklare de systematiske afvigelser og lave en bedre analyse på baggrund heraf? Kan i gøre forsøget bedre? Lykkedes optimeringen? 13