Svingninger & analogier

Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er fokus på analogier (lignende forhold) mellem de tre forskellige modeller for (næsten) samme teori: Matematisk modellering; med udgangspunkt i jævn cirkelbevægelse og bølgeligningen Mekanisk model; Hooke's lov & den simple harmoniske oscillator Elektrodynamisk model; LC-oscillationer og resonans Alle modellerne beskriver cykliske funktioner, men i forskellige sammehænge, hvor den mekaniske og elektrodynamiske er udsat for den virkelige verden og derfor ikke opfører sig rent teoretisk. Der skal udfærdiges en lille rapport, til redegørelse for Jeres udbytte af forsøgsrækken. Rapporten skal ikke have karakter af en sædvanlig fysikrapport (oftest til at eftervise en anerkendt teori), men derimod give et billede af Jeres forståelse for de fysiske fænomener i forbindelse med forløbet. Derfor vil der være indlagt nogle spørgsmål i forsøgsvejledningen, som der skal besvares så omhyggeligt som muligt, med fokus på den fysiske begrebsverden. Det vil sige at vejledningen består af både beskrivelse af hvordan forsøgene kan udføres med det eksisterende udstyr på TGK og hvilke spørgsmål forsøgene skal forsøge at give svar på. Forsøgene afvikles i grupper på 3-5 elever, ligesom rapporten skrives i gruppe og afleveres til jagu senest d. 23. maj kl. 11:40 (husk navne på rapporten). Rapporten vil blive grundigt rettet, men vil ikke indgå i den almindelige standpunktsvurdering. Efterfølgende vil forløbet blive evalueret. Sidst i dette skrift vil der være en (kort) gennemgang af relevant teori, der ligger til grund for de forskellige svingningsfænomener. Denne teori er ikke direkte nødvendig for gennemførelsen af forsøgene, men kan (er) en hjælp til forståelsen for de fysiske fænomener og hvordan/hvorfor de har en sammenhæng. Disse teorier vil også være en repetition af kendt teori og en hjælp til besvarelse af opgaverne, hvorfor det bør opfattes som obligatorisk litteratur. forsoegsprojekt_eleva.odt Side 1 /12 06-05-04

ver. a Forsøgsbeskrivelse & opgaveformulering Matematisk model Som matematisk model for en svingning baseret på jævn cirkelbevægelse, benyttes de matematiske redskaber. Udstyr: Papir, blyant og lommeregner og/eller CAS (Computer Algebra System) eksempelvis Derive eller MathCad. Udførelse/opgaver: Gennemgå beregningen fra stedfunktionen til henholdsvis hastighedsfunktionen og accelerationsfunktionen i jævn cirkelbevægelse, med særlig henblik på bevægelsen langs 2.aksen. Forklar den matematiske sammenhæng Lav et grafisk billede af alle tre vektorer, som funktion af vinklen mellem 1.aksen og stedvektor v. Benyt denne viden til at opstille en bølgeligning for en svingning langs 2.aksen med amplituden lig A = 2 og vinkelfrekvensen ω = 2 π. Lav et grafisk billede af bølgen i tidsdomænet y(t) over cirka 3 svingninger. Yderligere opgaver: Nedenstående må meget gerne besvares med mere end blot en (eller flere) ligninger, for derved at vise Jeres forståelse: Kan vinkelfrekvensen ω ændres ved hjælp af matematisk funktion? Kan amplituden ændres ved hjælp af matematisk funktion? Giv eksempel på et forhold i den virkelige verden hvor en jævn cirkelbevægelse resulterer i en svingning langs en enkelt af akserne. forsoegsprojekt_eleva.odt Side 2 /12 06-05-04

Mekanisk model Til dette formål gennemføres den simple harmoniske oscillator baseret på et lod ophængt i en fjeder som sættes i svingninger op-ned. Udstyr: Stativ på fod udstyret med længdemål. Fjeder(e) på holder (Prytz' svingningsapparat) Lodder af kendt masse Stopur Udførelse/opgaver: Ophæng et lod af kendt masse (der er en meget præcis vægt i kemibaglokalet) i fjederen. Notér massen og husk at måle massen af stangen som holder loddet. Notér hvor meget fjederen strækker sig i forhold til positionen uden loddet masse. Notér fjederens masse. Sæt loddet i lodrette svingninger ved at (forsigtigt) trække det ud af ligevægt og mål svingningstiden, fra svingningens ene yderpunkt til andet og tilbage igen. Det kan være formålstjenstligt at måle svingningstiden for eksempelvis 20 hele svingninger og derefter dividere med antallet for at få en mere præcis tidsmåling. Notér svingningstiden. Notér ligeledes amplituden ved målingens start og slutning (sådan cirka). Efterfølgende skal fjederkonstanten beregnes for både stillestående (Hooke's lov) og ud fra svingningstiden (den simple harmoniske oscillator). Ved sidstnævnte skal 1/3 af fjederens masse medregnes loddet + holders masse, da denne også har indflydelse på den totale masse. Hvordan passer de til hinanden? Yderligere opgaver: Opstil en funktion for loddets bevægelser langs 2.aksen som funktion af tiden. Hvordan udvikler amplituden sig med tiden? Kom eventuelt med et bud på en matematisk funktion. Hvordan hænger beskrivelsen af loddets bevægelser sammen med den matematiske model? forsoegsprojekt_eleva.odt Side 3 /12 06-05-04

Elektrodynamisk model Ved at aflade en kapacitor (kondensator) gennem en induktans (luftspole) er det muligt at skabe en resonans en elektrisk svingning på formen U(t), hvor U er spændingen over kapacitoren. For at betragte elektriske svingninger må man have en "oversætter", således at de menneskelige sanser kan opfatte disse størrelser. Ofte er svingningerne så hurtige, at vi ikke kan nå at følge med, hvis vi kunne se de elektriske spændingsvariationer (øjets følsomhed er på op til 25Hz). Derfor vil det være praktisk, hvis man kunne omforme tidsdomænet til et fast domæne, det vil sige til sted. Dette gøres ved hjælp af hastighed; t = s v I praksis gøres dette ved at lade y(t)-signalet flytte sig med konstant hastighed langs 1.aksen, således at den tidslige variation i spændingssignalet vil kunne ses. For at begrænse længden af 1.aksen kan man slette billedet og starte forfra med passende mellemrum, der netop går op i svingningsperioden på signalet. Et Amplituden-som-funktion-af-tid koordinat system Der er ofte et væld af knapper og stik på et oscilloskop, hvor de mest nødvendige vil blive behandlet her. Derudover er der flere specialknapper og -stik, som det i mange (og dette) tilfælde ikke er nødvendigt at have kendskab til. Oscilloskopet består af flere sektioner af kontroller, som hver dækker helt specifikke områder, udover tænd/sluk-knappen, som vil blive beskrevet efter nedenstående skitse. Skærmen er påtrykt et gitter for nemmere aflæsning af kurven som fremvises. Afstanden mellem to streger i dette gitter kaldes en division og er skærmenheden, som målesignalets tids- og amplitudeværdier skal tilpasses for at få den bedste aflæsning. Ved skærmen er der tre drejeknapper som regulerer elektronstrålens styrke (intensity & illumination) og kontrast (focus). Disse tre kan gøre kurvestregen så klar og synlig som muligt efter lysforhold i rummet og behag. Desuden er der en omskifter til regulering af enhederne på tidsaksen (time/div.) samt en lille drejeknap til justering af hvor på tidsaksen skærmbilledet skal ligge forsoegsprojekt_eleva.odt Side 4 /12 06-05-04

(t=0). På omskifteren for tidsakseenhederne er der noteret nogle værdier i microog millisekunder pr. streg på skærmgitteret. Det vil sige at hvis man vil have afbildet een periode på skærmen, skal denne tidsenhed stilles, således at antallet af gitterstreger gange tidsenheder pr. streg svarer nogenlunde til målesignalets periode. For eksempel har et 50Hz signal perioden 1/50 sekund (T=20ms), så hvis skærmen har 10 gitterstreger i bredden vil en periode kunne fylde skærmen ved at stille tidsenheden på 2ms/div. Hvis man ønsker at se flere perioder, eller kun en del af svingningen ændres blot tidsenheden. Standard-oscilloskop og de mest nødvendige knapper Under indstillingerne er indgange med amplituderegulering. Der er som regel to indgange, som kan fremvises samtidig (ch 1 & ch 2). Imellem disse er en omskifter, som regulere hvad man ser; enten den ene kanal, den anden, begge, begge summeret (ch1 + ch2) eller differencen mellem dem begge (ch 1 - ch 2). For hver indgang er der en amplitudeenhedsregulering alá tidsenhedens (Volts/div.): Her kan man stille amplitudeaksens enheder så de passer til målesignalets spændingsamplitude, og er påtrykt enheder for volt pr. gitterstreg. Derudover er der en lille knap til at regulere hvor på amplitudeaksen kurven skal ligge (U=0), samt et BNC-stik som indgang. Har man f.ex. et signal på ±10V, kan man få et rimeligt billede ved at vælge amplitudeakseenheden til 2 Volts/div., hvorved kurven vil fylde 10 2V = 20V = ±10V. Både tids- og amplitudeakseenhederne vælges lettest ved at prøve sig frem, indtil kurveformen afbildes som ønskes: Er den afbildede kurve med for mange perioder ændres time/div. til en mindre værdi og omvendt hvis man ikke kan se en hel periode ændres den til en større værdi. Ligeså med amplituden, som ændres til en mindre værdi hvis kurvens udsving ikke er særligt store på skærmen, og omvendt hvis spidserne er udenfor skærmen så man ikke kan se dem. Når kurven står klart og tydeligt og fylder skærmen ud på passende vis, kan både periode/frekvens og amplitude aflæses ved at tælle antallet af gitterstreger (div.) forsoegsprojekt_eleva.odt Side 5 /12 06-05-04

og gange med værdierne på enhedsregulatorne. Eksempelvis kan kurven på oscilloskopet på skitsen herover betragtes som en sinusfunktion med perioden på knapt 9 gitterstreger med enheden på omskifteren 50μs/div., dvs T 9 50μs 450μ s, hvilket svarer til en frekvens på ca. 2,2 khz. Ligeså kan amplituden findes til lidt over 8 gitterstreger med enheden på omskifteren på 50mV/div., dvs A p-p 8 50mV 400mV p-p (A p-p betyder peak to peak dvs amplituden fra bølgetop til bølgedal). Udover at kunne bestemme periode og amplitude på en svingning, kan man ved at betragte kurveformen, i mange tilfælge udlede et væld af informationer om signalet. Udstyr: Kondensator, 100-1.000 μf / 16V Luftspole, 10 mh 9V batteri 3 stk. prøveledninger med henholdsvis krokodillenæb og bananstik Oscilloskop med prøveprobe Oscilloskopet Udførelse/opgaver: Opstillingen skitseret herunder opbygges ved hjælp af prøveledninger og oscilloskopets probe. En prøveledning benyttes som omskifter på kondensatorens positive pol, der tilsluttes batteriets positive pol ved opladning og flyttes over på spole og oscilloskop for afladning. Forsøgsopstilling til LC-kreds her ved afladning af kapacitoren Kondensatoren oplades et kort øjeblik på batteriet og ledningen flyttes over på spolen som er forbundet til oscilloskopet. Herved sættes resonansen i gang, og svingingen kan aflæses på skærmen. Vær klar til at aflæse i samme øjeblik ledningen tilsluttes spolen, da svingningen kun optræder et meget kort øjeblik. Derfor skal forsøget gentages tilpas mange gange for at få aflæst både svingningstid, og amplitudevariationer. Notér svingningstid. Notér amplituden for en serie svingninger på mindst 5 Skitsér svingningerne på papir som de er aflæst. forsoegsprojekt_eleva.odt Side 6 /12 06-05-04

Opstil en ligning for svingningen U(t) med fast amplitude Forsøg at opstille en ligning for amplituden som funktion af tiden Yderligere opgaver: Hvordan hænger U(t)-målingen sammen med den simple harmoniske oscillator? Er der sammentræf i de grundlæggende elementer i teoriene i de tre forskellige modeller? Hvad kan man bruge denne viden til? Kom med Jeres bedste bud. forsoegsprojekt_eleva.odt Side 7 /12 06-05-04

Teori I dette afsnit vil de grundlæggende teorier for forståelsen af forsøgene blive skitseret. En del vil være gammelkendt viden og en (lille) ny. Det vil være muligt at gennemføre forsøgene og udlede de ønskede konklusioner på baggrund af denne teori, samt almen matematisk viden herunder blandt andet differetiering af Sinus & Cosinus og af sammensatte funktioner. I forbindelse med sidste elektrodynamiske forsøg vil der blive introduceret begrebet svingningskredse, som er en disciplin inden for elektrodynamikken, der er på et relativt højt niveau i forhold til Fysik B. Der vil ikke blive gået i dybden med fænomenerne i de enkelte komponenter og disses samspil, blot en konstatering af at det er sådan. Matematiske model Jævn cirkelbevægelse Cirkel med centrum i Origo og radius r En cirkel med centrum i Origo (koordinatsystemets x,y = 0,0) og en vilkårlig radius kan skrives på parametrisk form; r t = r cos v r sin v Ved at sætte radius i rotation i positiv omløbsretning, startes en tidsafhængig positionering af radius som stedvektor, hvor bevægelseshastigheden måles i vinkel pr. tid; r t = r cos t r sin t Ved at fokusere udelukkende på 2.aksens ændringer pr. tid vil et simplere udtryk y(t) kunne vises, som 2.koordinaten af den parametriske fremstilling. Dette fører frem til bølgeligningen y(t), hvor størrelser som faseforskydning og forskydning langs y-aksen er irrellevante i denne sammenhæng. Derimod er størrelsen ω for vinkelfrekvensen særdeles relevant, som udtryk for den hastighed radius/stedvektoren bevæger sig rundt i cirklen. forsoegsprojekt_eleva.odt Side 8 /12 06-05-04

y t = A sin t k...hvor amplituden A svarer til den tidligere længde for radius r, og er absolut. Ved at plotte denne i et koordinatsystem, vil en pæn sinusbølge fremkomme, der kan (punktvis) forklares ud fra bevægelse langs perimetren i cirklen i positiv omløbsretning, når denne projiceres ind på 2.aksen. Ved at differentiere den parametriske funktion i forhold til tiden, kan viden om stedvektoren (radius) bruges til beregning af hastighedsvektor og videre accelerationsvektor. Dette er et ekstra element i forståelsen af bevægelsen i den efterfølgende mekaniske model. v t = d v t a t = dt d r t dt = d r 2 t dt 2 = r sin t r cos t = 2 r cos t 2 r sin t Herved har vi udtryk for både stedvektoren, hastigheden og accelerationen i en jævn cirkelbevægelse. Simplificeres denne til kun at omfatte bevægelse i lodret plan (langs 2.aksen), fås; r y t = r sin t v y t = d r t y = r cos t dt a y t = d v t y = dr 2 y t = 2 r sin t dt dt 2 Mekanisk model Den simple harmoniske oscillator Principskitse over den simple harmoniske oscillator Den harmoniske oscillator er et perfekt eksempel på cyklisk bevægelse i y(t)-domænet. Her er vinkelfrekvensen udtrykt ved hjælp af svingningstiden, som igen er proportional med fjederkonstant og loddets masse; forsoegsprojekt_eleva.odt Side 9 /12 06-05-04

y t = A sin t = 2, T = 2 T m k k = fjederkonstanten Sammenhængen mellem svingningstid T, masse m og fjederkonstant k kan let påvises udfra 2. afledede af stedfunktionen (accelerationen), som derefter kan indgå i Hooke s lov for en fjeder: a y t = d 2 r y t dt 2 = 2 A sin t To ligninger for kraft er henholdvis Newtons 2. lov og Hookes lov for en fjeder; F = m a, F = k y I Hookes lov for en fjeder optræder deformationen Δy i 2.aksens retning og er derfor et udtryk for den tidsafhængige funktion y(t). Newtons 2. lov kan ved substitution med udtrykket for acceleration i jævn cirkelbevægelse udtrykkes som; F = m a = m 2 A sin t = m 2 y t Sammenholdt med udtrykket i Hooke's lov for en fjeder, der begge er et udtryk for kraft fås; Principskitse over deformation af fjeder m 2 y t = k y t 2 = k m Da sammenhængen mellem vinkelfrekvens og svingningstid kendes, kan sammenhængen mellem svingningstid, loddets masse og fjederkonstanten udtrykkes ved; forsoegsprojekt_eleva.odt Side 10 /12 06-05-04

= 2 T og 2 = k m k m = 2 2 T Herved kan eksempelvis fjederkonstant beregnes ud fra masse og svingningstid. Indsættes denne viden i bølgeligningen, vil der kunne skitseres en bølge analog med bølgen fra den matematiske del; y t = A sin m k t Amplituden (udsvingets størrelse) er dog ikke en konstant faktor i den virkelige verden, da systemet altid vil indeholde nogle former for friktion, da svingningen ellers ville forsætte evigt. Det vil sige, at amplituden er en aftagende funktion af tiden; A t = A 0 e 2 t...hvor A 0 er amplituden ved målingens begyndelse. Dette medfører en bølgeligning som et produkt af to tidsafhængige funktioner; y t = A t sin t Elektrodynamisk model LC-oscillationer og resonans Svingningskredse er i princippet uden for pensum i Fysik B, hvorfor udfordringen ikke er at lære hvordan den enkelte komponenter virker, men derimod hvordan de kan bruges som model for den simple harmoniske oscillator. Når en opladt kapacitor (i form af en kondensator) C aflades gennem en induktans (i form af en luftspole) L vil ladninger strømme fra kondensatorens ene plade mod den anden, gennem spolen i forsøg på at udligne ladningsforskellen mellem pladerne. Spolen vil dog forsinke ladningstransporten, ligesom den vil forsøge at overføre yderligere ladninger efter at en ligevægt er opnået, hvorved en overophobning af ladninger på den anden plade vil forekomme. Herved vil en ladningstransport påbegyndes den anden vej, og så fremdeles. Afladning af kapacitor gennem induktans Herved opstår der en fri oscillerende svingning (resonans), som vil have en forsoegsprojekt_eleva.odt Side 11 /12 06-05-04

vinkelfrekvens i forhold til størrelserne af kondensator [F, Farad] og spole [H, Henry]; = 1 LC T =2 LC f = 1 T f = 1 2 LC En bølgeligning for LC-kredsen kan nu opstilles, hvor amplituden er størrelsen af ladningsforskellen mellem kondensatorens plader, som reelt måles som spændingsforskel, U(t); U t = U 0 sin t LC...hvor U o er den spænding som kondensatoren var opladt med ved afladningens begyndelse. Ligesom i den harmoniske oscillators tilfælde vil spændingen ikke være konstant, da både komponenter og tilledninger har indre modstande, samt at måludstyret vil aftage en (minimal) del af strømsignalet. Derfor er det mere korrekt at opfatte kredsløbet som en LCR-kreds, hvor R står for kredsløbets samlede modstand [ Ω, Ohm] i tilledninger og komponenternes indre resistans. Afladning af kapacitor gennem induktans og resistans Den tilføjede resistans ændrer ikke ved systemets resonans, men gør modellen mere autentisk og giver mulighed for at regne på dæmpningen af signalet. Dæmpningen kan udtrykkes som en tidsligt afhængig eksponentialfunktion, hvorved amplituden som funktion af tiden bliver; A t = A 0 e t t...hvor A0 er spændingen ved afladningens begyndelse, og γ (gamma) er dæmpningsfaktoren, som er afhængig af spolen og den indbyggede resistans. Det er næsten samme forhold som vil gøre sig gældende for dæmpningen i den simple harmoniske oscillator i den mekaniske model. forsoegsprojekt_eleva.odt Side 12 /12 06-05-04