Integralregning or B-niveau i h 05 Karsten Juul
Stikordsregister A areal mellem gra og -akse7, 8, 9,0 areal mellem to graer, arealunktion5, 7 B bestemt integral 6 bestemt integral med Nspire6 bestemt integral uden hjälpemidler6 F ortolk integral7 I integrere K kvadrant 8 S stamunktion,,,,5, 6 stamunktion med Nspire stamunktion uden hjälpemidler stamunktion, grapunkt givet stamunktion, tangent givet U ubestemt integral,, 6 Indholdsortegnelse Stamunktion (ubestemt integral) Hvad er en stamunktion UndersÅg om g( er en stamunktion til ( GÅr rede or at g( er en stamunktion til ( En unktion har mange stamunktioner 5 Symbol or stamunktion 6 Bestem stamunktion med Nspire 7 Bestem stamunktion uden hjälpemidler 8 Bestem uden hjälpemidler 9 Find en bestemt a stamunktionerne 0 Hvad er en arealunktion?5 Vigtig regel om arealunktioner 5 Bestemt integral Hvad er det bestemte integral 6 Udregn med Nspire 6 Udregn uden hjälpemidler 6 Areal og bestemt interal 5 Regel om bestemt integral og areal 7 6 Bevis or regel om bestemt integral og areal 7 7 Fortolk integral 7 8 Kvadrant 8 9 Areal mellem gra og -akse uden hjälpemidler 8 0 Areal mellem gra og -akse med hjälpemidler 9 Areal mellem to graer, eksempel Areal mellem to graer, eksempel Areal mellem to graer, eksempel Andre anvendelser Andre anvendelser Tidligere udgaver a dette häte har skitet adresse til http://matdk/integralregning_or_b_niveau_i_h_0pd http://matdk/integralregning_or_b_niveau_i_h_0pd Integralregning or B-niveau i h Ç 05 Karsten Juul 9/5-06 Download nyeste version a dette häte ra http://matdk/noterhtm HÄtet mé benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en e-mail til kj@matdk som
Stamunktion (ubestemt integral) Hvad er en stamunktion? g( er en stamunktion til ( hvis g( dierentieret giver ( dvs hvis g( ( UndersÅg om g( er stamunktion til ( Opgave UndersÅg om g( er en stamunktion til ( Besvarelse For at undersåge om g( er stamunktion til vil vi dierentiere g ( : g( (, ( ) Da g( dierentieret ikke giver (, gälder: g( er ikke en stamunktion til ( GÅr rede or at g( er stamunktion til ( Opgave Besvarelse GÅr rede or at g( er en stamunktion til ( For at gåre rede or at g( er stamunktion til vil vi dierentiere g ( : g( (, 0 ( ) Da g( dierentieret giver (, gälder: g( er en stamunktion til ( Integralregning or B-niveau i h 05 Karsten Juul
En unktion har mange stamunktioner En unktion har mange stamunktioner, da en konstant dierentieret giver nul: c er stamunktion til 5 8 uanset hvilket tal vi skriver i stedet or c NÉr vi Ändrer pé c, orskyder vi graen op eller ned I koordinatsystemet har vi tegnet graerne or nogle a stamunktionerne til Regel Hvis h( er en a stamunktionerne til (, sé er unktionerne h( k samtlige stamunktioner til ( (,5),75,75 ( 0,5) Regel Hvis h( er en stamunktion til (, sé vil stamunktionerne til ( hvis gra vi kan É ved at rykke h(-graen op eller ned väre de unktioner 5 Symbol or stamunktion Symbolet ( d betyder: stamunktionerne til ( og läses: det ubestemte integral a ( NÉr vi inder ud a hvad ( d er lig, sé siger vi at vi integrerer ( Eksempel: ( ) d c 6 Bestem stamunktion med Nspire PÉ skabelon-paletten välger vi integralskabelonen Nspire skriver kun Ñn a stamunktionerne: Vi mé selv tilåje c : For at inde stamunktion til skal vi eter integraltegnet angive at 0 : (, 0 Husk at trykke pé håjrepilen inden du taster den lodrette streg! skal sté uden or Integralregning or B-niveau i h 05 Karsten Juul
7 Bestem stamunktion uden hjälpemidler k har stamunktionen k när k er en konstant eks 6 har stamunktionen 6 har stamunktionen a har stamunktionen a a dvs har stamunktionerne c eks har stamunktionen MEN har IKKE stamunktionen har stamunktionen ln( i intervallet 0 har stamunktionen ln( i intervallet 0 MEN har IKKE stamunktionen ln( e har stamunktionen e Hvis: ( har stamunktionen F( sé: k ( har stamunktionen k F( eks har stamunktionen dvs Hvis: ( har stamunktionen F( g( har stamunktionen G( og sé: ( g( har stamunktionen F( G( ( g( har stamunktionen F( G( eks eks 6 e har stamunktionerne 6 e c har stamunktionerne ln( c i intervallet 0 Advarsel: Man kan IKKE integrere et udtryk ved at integrere hver del a udtrykket (bortset ra visse specielle tilälde ), eks e har IKKE stamunktionen e e 5e har IKKE stamunktionen har IKKE stamunktionen e 5 e 8 Bestem ( d uden hjälpemidler Opgave Besvarelse Bestem 6 d 6 d 6 c 6 c c Integralregning or B-niveau i h 05 Karsten Juul
9 Find en bestemt a stamunktionerne Opgave 9 (Vi kender et punkt pé stamunktionens gra) F er en stamunktion til ( Det er oplyst at: Graen or F gér gennem punktet (, 6) Find F I nogle opgaver er denne oplysning ormuleret sédan: F ( ) 6 Besvarelse uden hjälpemidler Da F er en stamunktion til (, indes en konstant c sé F( c c Da graen or F gér gennem punktet (, 6), mé dvs ( ) ( ) c c 6 c 6 c 6 c F (, 6 NÉr vi indsätter et grapunkts -koordinat i orskriten og regner ud, sé Ér vi grapunktets y-koordinat Besvarelse med hjälpemidler Opgave 9 (Vi kender en linje der er tangent til stamunktionens gra) F er en stamunktion til ( Det er oplyst at: Linjen med ligningen y = 5 er tangent til graen or F Find F Besvarelse Da F er en stamunktion til (, indes en konstant c sé F ( c FÅrst udregner vi et punkt der ligger pé graen or F, nemlig det punkt, ) hvori tangenten rårer graen ( 0 y0 A tangentens ligningen y 5 ser vi at tangenthäldningen er : F( 0 ) 0 0 Da 0 og ( 0, y0) y 5 Ér vi y ( ) 5 0 ligger pé linjen med ligningen NÉr vi indsätter et grapunkts -koordinat i orskriten or dierentialkvotienten og regner ud, sé Ér vi grapunktets tangenthäldning At en linjes ligning er y a b betyder at or et punkt pé linjen kan vi udregne y-koordinaten ved at gange - koordinaten med a og lägge b til resultatet y0 6 Nu kender vi et punkt pé graen or F SÉ kan vi bruge metoden ra opgave 9 Integralregning or B-niveau i h 05 Karsten Juul
0 Hvad er en arealunktion? Den viste gra er pé en skärm NÉr vi träkker -prikken mod håjre, bliver det gré omréde stårre A( er arealet a det gré omréde A( kaldes arealunktionen or ( PÉ billedet ser vi at A( 9) 6 og A ( ) 5 A( Vigtig regel om arealunktioner NÉr A( er arealunktionen or en ikke-negativ unktion (, a b sé gälder at A( er en stamunktion til ( dvs Betyder at graen ligger pä eller over -aksen A( ( Integralregning or B-niveau i h 5 05 Karsten Juul
Hvad er det bestemte integral Det bestemte integral ra a til b a ( b a ( d F( b) F( a) hvor F( er en stamunktion til ( Det bestemte integral er et tal Det ubestemte integral er unktioner Bestemt integral er tallet Udregn b ( d med Nspire a PÉ skabelon-paletten välger vi integralskabelonen Eksempel ( 6 5) d 05 udregnet med Nspire Husk at skrive dette! Udregn b a ( d uden hjälpemidler NÉr vi udregner bestemte integraler uden hjälpemidler, er det praktisk at bruge symbolet F b a ( som betyder F( b) F( a) Fordelen er at vi kan skrive stamunktionen inden vi indsätter gränserne a og b or ( 6 5) d 5 5 ( ) 5 ( ) 05 I den kantede parentes [ ] skal stä en stamunktion til udtrykket eter integraltegnet KontrollÅr at ( 5 6 5 Den Çvre grénse skal séttes ind or i Çrste parentes, den nedre grénse i sidste parentes Integralregning or B-niveau i h 6 05 Karsten Juul
Areal og bestemt interal 5 Regel om bestemt integral og areal Regel om bestemt integral og areal: Hvis ( 0 or a b og M er omrédet mellem -graen og -aksen i intervallet a b sé gälder b a ( d arealet a M M 6 Bevis or regel om bestemt integral og areal Bevis F( er en stamunktion til ( A( er arealunktionen or (, sé A( er en stamunktion til ( Da A( og F( er stamunktion til samme unktion, indes en konstant c sé (* ) A( F( c Nu És areal a M A(b) IÅlge deinitionen pé arealunktion A( b) A( a) Da A ( a) 0 F b) c F( a c ( ) IÅlge (*) F( b) F( a) Hermed har vi bevist reglen i ramme 5 7 Fortolk integral I en opgave er Vi har udregnet at b a ( d IÅlge deinitionen pé bestemt integral ( 0 ( d Vi skal give en ortolkning a dette tal Svar pé dette spårgsmél: Da ( 0 or 0, gälder: 0 7 6 ( d er arealet mellem -graen og -aksen i intervallet 0 sé dvs 6 7 er arealet mellem -gra og -akse i intervallet 0 7 6 er arealet a det gré omréde Integralregning or B-niveau i h 7 05 Karsten Juul
8 Kvadrant I opgaver hvor vi skal bestemme arealer, kan der sté ordet kvadrant Koordinatakserne deler planen op i ire kvadranter Figuren viser hvad de ire kvadranter hedder kvadrant kvadrant kvadrant kvadrant 9 Areal mellem gra og -akse uden hjälpemidler Opgave Figuren viser graen or unktionen ( og linjen med ligningen Graen or skärer -aksen i punkterne (, 0) og (, 0) Bestem arealet a det gré omréde Besvarelse indeholder ovenstéende oplysninger samt Ålgende: Det gré omréde er omrédet mellem graen or og -aksen i intervallet Da ( 0 i dette interval, er arealet ) ( d Tallet nederst pä er omrädets venstre génse Tallet Çverst pä er omädets hçjre grénse = = ( ) ( ) = 8 8 = = 9 Arealet a det gré omréde er 9 8 8 I den kantede parentes [ ] skal stä en stamunktion til udtrykket eter integraltegnet KontrollÅr at ) ( Det er den Çverste grénse der skal indséttes or i den Çrste parentes Den nederste grénse skal indséttes or i den sidste parentes Integralregning or B-niveau i h 8 05 Karsten Juul
0 Areal mellem gra og -akse med hjälpemidler Opgave 0 En unktion er bestemt ved ( 8 Graen agränser i Årste kvadrant sammen med koordinatakser et omréde M Bestem arealet a M Svar på opgave 0: GrundlÄggende metode Skal kunnes Vi ser at hçjre grénse er skéring mellem gra og -akse Deror lçser vi Svar på opgave 0: Metode hvor ( deineres Skal ikke kunnes Opgave 0 ortsätter på näste side! Integralregning or B-niveau i h 9 05 Karsten Juul
Svar på opgave 0: Metode hvor gra bruges Skal ikke kunnes God til kontrol og illustration Integralregning or B-niveau i h 0 05 Karsten Juul
Areal mellem to graer, eksempel I nogle opgaver skal et areal udregnes ved at udregne to arealer og träkke det ene ra det andet Vi har tegnet graerne or unktionerne ( og g( Vi vil udregne arealet a det gré omréde V pé venstre igur g g g Vi låser ligningen V M H og Ér, sé graernes skäringspunkt har -koordinat Det gré omréde M pé midterste igur har arealet ( d 0 Det gré omréde H pé håjre igur har arealet 0 d 0 6 udregnet med Nspire udregnet med Nspire Hvis vi jerner H ra M, Ér vi V, sé arealet a V er 6 0 56 Integralregning or B-niveau i h 05 Karsten Juul
Areal mellem to graer, eksempel Opgave Der er givet unktionerne ( og g ( 0, Bestem arealet a det omréde der agränses mellem graerne or og g Besvarelse indeholder ovenstéende oplysninger samt Ålgende: For at inde -koordinater til skäringspunkter mellem graer lader vi Nspire låse ligningen 0, og Ér, 0957 eller 7, 08 Se igur nedenor til venstre areal mellem -gra og g-gra = Dvs (areal mellem -gra og -akse) (areal mellem g-gra og -akse) = 7,08,0957 ( d ( 0, ) d = 7,08,0957 9,97687 udregnet med Nspire Arealet a det omréde der agränses mellem graerne or og g er 9, 98 g g,0957 7, 08 6 Figur til ramme Figur til ramme Areal mellem to graer, eksempel Opgave Der er givet unktionerne ( og g ( 0, Bestem arealet a det omréde der agränses mellem graerne or og g i intervallet [ ; 6] Besvarelse indeholder ovenstéende oplysninger samt Ålgende: Se igur ovenor til håjre Dvs areal mellem -gra og g-gra i [ ; 6] = (areal ml -gra og -akse i [ ; 6]) (areal ml g-gra og -akse i [ ; 6]) = 6 ( d ( 0, ) d = 6,60000 udregnet med Nspire 6 Arealet a det omréde der agränses mellem graerne or og g er 6, 60 Integralregning or B-niveau i h 05 Karsten Juul
Andre anvendelser Andre anvendelser Hvis I i en eksamensopgave skal bruge integral til at udregne andet end gra-agränset areal, sé vil der i opgaven sté den integralormel I skal bruge I skal sé inde ud a at sätte tal ind i integralormlen MÉske skal I Årst udregne disse tal Det I skal udregne med et integral kan béde väre geometriske stårrelser og stårrelser ra eks naturvidenskab eller samundsag Opgave : Figuren viser en gavl Langs den buede kant er et rådt lysstorår der har orm som en del a graen or ( = + 8 Gavlens bredde er m Det oplyses at buelängden a graen or en unktion i et interval a b er ( d a Bestem längden a lysstoråret Overvejelser: ( = 0 har låsningerne og 6 sé a = Hertil lägger vi gavlens bredde og Ér b = Da '( = + 8, skal der under rodtegnet sté ( + 8) + Opgave : Et punkt pé en skärm beväger sig sédan at h( t) 0, t hvor h(t) er hastigheden (mm pr sekund) t sekunder eter at punktets bevägelse startede LÄngden l a det stykke punktet beväger sig i de Årste p sekunder, kan beregnes ved hjälp a ormlen p l h( t) dt 0 Hvor langt beväger punktet sig i tidsrummet ra til 8 sekunder eter start? Overvejelser: LÄngden a det stykke punktet beväger sig de Årste sekunder, mé väre 0 ( 0,t ) dt PÉ tilsvarende méde udregner vi längden a det stykke punktet beväger sig de Årste 8 sekunder Forskellen pé de to längder mé väre svaret pé spårgsmélet b Integralregning or B-niveau i h 05 Karsten Juul