Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Transkript

1 Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul

2 Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner 5 Symol or stmunktion (uestemt integrl) 6 Bestem stmunktion med Nspire 7 Bestem stmunktion uden hjålpemidler 8 Bestem ( 9 Integrl smmenst unktion Find en estemt stmunktionerne5 Bestemt integrl Hvd er det estemte integrl6 Udregn ( med Nspire 6 Udregn ( uden hjålpemidler6 Arel og estemt interl Arel og estemt integrl 7 5 Kvdrnt7 6 Arel mellem gr og -kse Uden hjålpemidler 8 7 Arel mellem gr og -kse Med hjålpemidler8 8 Arel mellem grer Eksempel 9 Arel mellem grer Eksempel Arel i tilålde der ikke er stndrd Opgve hvor integrl og rel er givet Opdelt omrçde Fortolk integrl Eksempel Fortolk integrl Eksempel 5 Fortolk integrl Eksempel 6 Bestem k sç rel er lig et oplyst tl Rumng omdrejningslegeme 7 Rumng omdrejningslegeme 8 Rumng skçl 9 Rumng ring 5 Andre nvendelser Andre nvendelser 5 Beviser Formler or estemt integrl 6 Hvd er en relunktion?7 Vigtig regel om relunktioner7 Bevis or t A' ( = ( 8 5 Arel nçr gr ligger over -kse9 6 Arel mellem grer 7 Arel nçr gr ligger under -kse Tidligere versioner dette håte hr skitet dresse til niveu_i_st_udgve_pd niveu_i_st_udgve_pd Integrlregning or A-niveu i st, udgve, Ä 5 Krsten Juul 5/8-5 Nyeste version dette håte kn downlodes r HÅtet mç enyttes i undervisningen hvis låreren med det smme sender en e-mil til kj@mtdk som oplyser t dette håte enyttes, og oplyser hold, niveu, lårer og skole

3 Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? g( er en stmunktion til ( hvis g( dierentieret giver ( dvs hvis g( ( UndersÄg om g( er stmunktion til ( Opgve Besvrelse UndersÄg om g( er en stmunktion til For t undersäge om g( er stmunktion til (, vil vi dierentiere g ( : g( ( ( ) D g( dierentieret ikke giver (, gålder: g( er ikke en stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( Opgve GÄr rede or t g( er en stmunktion til Besvrelse For t gäre rede or t g( er stmunktion til (, vil vi dierentiere g ( : g( ( ( ) D g( dierentieret giver (, gålder: g( er en stmunktion til ( Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul

4 En unktion hr mnge stmunktioner 5 8 c er stmunktion til unset hvilket tl vi skriver i stedet or c I koordintsystemet hr vi tegnet grerne or nogle stmunktionerne til (,5),75,75 (,5) Regel Hvis h( er en stmunktionerne til (, sç er unktionerne h( k smtlige stmunktioner til ( Regel Hvis h( er en stmunktion til (, sç vil stmunktionerne til ( unktioner hvis gr vi kn Ç ved t rykke h(-gren op eller ned våre de 5 Symol or stmunktion (uestemt integrl) Symolet ( etyder: stmunktionerne til ( og låses: det uestemte integrl ( NÇr vi inder ud hvd ( er lig, sç siger vi t vi integrerer ( Eksempel: ( ) c 6 Bestem stmunktion med Nspire PÇ skelon-pletten vålger vi integrlskelonen Nspire skriver kun Én stmunktionerne: Vi mç selv tiläje c : For t inde stmunktion til (, skl vi eter integrltegnet ngive t : Husk t trykke pç häjrepilen inden du tster den lodrette streg! skl stç uden or Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul

5 7 Bestem stmunktion uden hjålpemidler k hr stmunktionen k när k er en konstnt eks 6 hr stmunktionerne 6 c hr stmunktionerne c hr stmunktionen eks hr stmunktionerne c MEN hr IKKE stmunktionen hr stmunktionerne ln( c i intervllet hr stmunktionerne ln( c i intervllet MEN hr IKKE stmunktionen ln( e hr stmunktionerne e c Hvis: ( hr stmunktionen F( sç: k ( hr stmunktionen k F( eks hr stmunktionerne c dvs c Hvis: ( hr stmunktionen F( g( hr stmunktionen G( og sç: ( g( hr stmunktionen F( G( ( g( hr stmunktionen F( G( eks eks 6 e hr stmunktionerne 6 e c hr stmunktionerne ln( c i intervllet ( g ( ) g' ( F( g( ) c, hvor F ( t) ( t) Se rmme 9 eks ) ( ) ( ) ( ) ( c d t t Advrsel: Mn kn IKKE integrere et udtryk ved t integrere hver del udtrykket (ortset r visse specielle tilålde ), eks e hr IKKE stmunktionen e e 5e hr IKKE stmunktionen hr IKKE stmunktionen e 5 e 8 Bestem ( Opgve Besvrelse Bestem c 6 c c Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul

6 9 Integrl smmenst unktion Regel or stmunktion til smmenst unktion: 9 ( g ( ) g' ( F( g( ) c, hvor F ( t) ( t) Bevis or reglen ved hjålp metoden r rmme : Vi ruger reglen or t dierentiere smmenst unktion: F( g( ) c F( g( ) g' ( ( g ( ) g' ( D F( g( ) c dierentieret giver ( g ( ) g' (, er F( g( ) c en stmunktion til ( g ( ) g' ( Eksempler på rug denne regel: (, d t t 9 ) ( ) ( ) ( ) c Kontrol or regneejl (se rmme ): ( ) ( ) ( ) ( ) 9 I Älgende eksempel tiläjer vi tllet orn or t opnç t det der stçr, er dierentilkvotienten den indre unktion For t lighedstegnet skl gålde, gnger vi smtidig integrlet med ( ) ( ) ( ) ( ) c ) ( ) ( c, d t t 8 t t, d e e 9 e e ( e c 95 : ( ) ln( ) c d ln ( t), t t, Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul

7 Find en estemt stmunktionerne Opgve (Vi kender et punkt pç stmunktionens gr) F er en stmunktion til ( Det er oplyst t gren or F gçr gennem punktet (, 6) I nogle opgver er denne oplysning ormuleret sçdn: F ( ) 6 Find F Besvrelse D F er en stmunktion til (, indes en konstnt c sç F( c D gren or F gçr gennem punktet (, 6), mç ( ) sç c ( ) c, dvs F (, 6 NÇr vi indsåtter et grpunkts -koordint i orskriten og regner ud, sç Çr vi grpunktets y-koordint Opgve (Vi kender en linje der er tngent til stmunktionens gr) F er en stmunktion til ( Det er oplyst t Linjen med ligningen y 5 er tngent til gren or F Find F Besvrelse D F er en stmunktion til (, indes en konstnt c sç F( c FÄrst udregner vi et punkt der ligger pç gren or F, nemlig det punkt (, y) hvori tngenten rärer gren A tngentens ligningen y 5 ser vi t tngenthåldningen er : F( ) D og, ) Çr vi y 5 y ( ) 5 y 6 ( y ligger pç linjen med ligningen NÇr vi indsåtter et grpunkts -koordint i orskriten or dierentilkvotienten og regner ud, sç Çr vi grpunktets tngenthåldning At en linjes ligning er y etyder t or et punkt pç linjen kn vi udregne y-koordinten ved t gnge - koordinten med og lågge til resulttet Nu kender vi et punkt pç gren or F SÇ kn vi ruge metoden r opgve Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 5 Krsten Juul

8 Hvd er det estemte integrl Det estemte integrl r til ( ( F( ) F( ) hvor F( er en stmunktion til ( Det estemte integrl er et tl Bestemt integrl er tllet Det uestemte integrl er unktioner Udregn ( med Nspire PÇ skelon-pletten vålger vi integrlskelonen Eksempel: Udregn ( uden hjålpemidler NÇr vi udregner estemte integrler uden hjålpemidler, er det prktisk t ruge symolet F ( som etyder F( ) F( ) Fordelen er t vi kn skrive stmunktionen inden vi indsåtter grånserne og or Simpel opgve Udregn ( 6 5) Svr (6 5) 5 5 ( ) 5 ( ) 5 Her skl du skrive en stmunktion til det der stär eter integrltegnet Du skl ikke skrive +c Opgve med smmenst unktion Udregn ( ) Svr (FÄrst inder vi stmunktionen ved hjålp metoden r rmme 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) 8 ( ) 8 ( ) ( ) 8 8 c Integrlregning or A-niveu i st, udgve 6 5 Krsten Juul

9 Arel og estemt integrl Arel og estemt interl Regel Arel nçr gr er over -ksen A er relet mellem -gr og -kse i intervllet Hvis ( or er A ( A Regel Arel nçr gr er under -ksen A er relet mellem -gr og -kse i intervllet Hvis ( or er A ( BemÇrk: minus integrl er et positivt tl A Regel Arel mellem grer A er relet mellem -gr og g-gr i intervllet Hvis ( g( or er A ( g( A g 5 Kvdrnt I opgver hvor vi skl estemme reler, kn der stç ordet kvdrnt Koordintkserne deler plnen op i ire kvdrnter Figuren viser hvd de ire kvdrnter hedder kvdrnt kvdrnt y kvdrnt kvdrnt Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 5 Krsten Juul

10 6 Arel mellem gr og -kse Uden hjålpemidler Opgve Oplysninger du ruger, skl med i esvrelsen I nogle opgver i dette håte er opgveteksten en del esvrelsen Figuren viser gren or unktionen ( og linjen med ligningen Gren or skårer -ksen i punkterne (, ) og (, ) Bestem relet det grç omrçde Besvrelse Det grç omrçde er Her skl du skrive en stmunktion til det der stär eter integrltegnet Du skl ikke skrive +c omrçdet mellem gren or og -ksen i intervllet D ( i dette intervl, er relet Se Venstre grånse skl stä nederst ) ( Se = = ( ) ( ) = 8 8 = = 9 Arelet det grç omrçde er Çvre grånse Érst, sä nedre Disse klmmer skl du kun ruge hvis opgven er uden hjålpemidler Med hjålpemidler skl du kun tste integrlet og trykke pä enter 7 Arel mellem gr og -kse Med hjålpemidler Opgve (,5 6 Bestem rel omrçdet der i Ärste kvdrnt grånses -gr og koordintkser BemÇrkning Nspire tegner -gr, og vi mrkerer det sägte rel NÇr vi gçr r venstre mod häjre, sç strter omrçdet ved y-ksen, dvs der hvor er, sç integrlets nedre grånse er OmrÇdet slutter ved det ene Ållespunkt or -gr og -kse, sç dette punkts -koordint er integrlets Ävre grånse Vi skl läse ligningen ( = or t inde -koordinter til Ållespunkter or -gr og -kse PÇ igur ser vi t vi skl ruge den läsningerne der ligger mellem og Opgve,5,5 rel ( (,5 6 ) Se (,5 6 Bestem rel omrçdet der i jerde kvdrnt grånses -gr og Ärstekse BemÇrkning Nspire tegner -gr, og vi mrkerer det sägte rel NÇr vi gçr r venstre mod häjre, sç strter omrçdet ved et Ållespunkt or -gr og -kse, sç dette punkts -koordint er integrlets nedre grånse OmrÇdet slutter ved et Ållespunkt or -gr og -kse, sç dette punkts -koordint er integrlets Ävre grånse Vi skl läse ligningen ( = or t inde -koordinter til Ållespunkter or -gr og -kse rel ( (,5 6 ) Se,5,5 Rmme 7 ortsåtter pä nåste side Integrlregning or A-niveu i st, udgve 8 5 Krsten Juul

11 Opgve (,5 6 Bestem rel omrçdet der i Ärste kvdrnt grånses -gr og koordintkser Besvrelse Skl kunnes PÇ igur hr Nspire tegnet gr or (,5 6, og vi hr vist omrçdet der i Ärste kvdrnt er grånset -gr og koordintkser Vi ser t dette omrçde strter ved y-ksen, dvs ved =, sç integrlets nedre grånse er OmrÇdet slutter ved et Ållespunkt or -gr og -kse, sç dette punkts -koordint er integrlets Ävre grånse Nspire läser ligningen ( = dvs ligningen,5 6 mht og Çr t Ållespunkternes -koordinter er, 5 og Det sägte rel er ltsç rel mellem -gr og -kse i intervllet, 5 D ( i dette intervl, er Se rel = udregnet Nspire Arel omrçde der i Ärste kvdrnt grånses -gr og kser, er, Venstre grånse skl stä nederst Besvrelse Skl ikke kunnes, men er nyttig or nogen Smme igur som i esvrelse Besvrelse Skl ikke kunnes, men er god kontrol Vi tster (,5 6 og Çr Nspire til t tegne gr (se igur) For denne Çr vi Nspire til t udregne integrl r = til Ärste Ållespunkt or -gr og -kse NÇr der spärges om nedre grånse, tster vi enter NÇr der spärges om Ävre grånse, Ärer vi mrkär til skåringspunkt sç der stçr skåringspunkt, og klikker rel =,875, OvenstÄende er ikke grundigt nok til t våre en rugsnvisning til Nspire Det er et eksempel pä hvordn en esvrelse kn se ud Integrlregning or A-niveu i st, udgve 9 5 Krsten Juul

12 8 Arel mellem grer Eksempel Opgve Bestem relet det omrçde der grånses grerne or unktionerne Besvrelse Skl kunnes ( og g( Nspire tegner grer or ( og g( PÇ igur ser vi t integrlets grånser er -koordinter til grers skåringspunkter Nspire läser ligningen ( = g(, dvs mht og Çr t -koordinterne til grernes skåringspunkter er og ADVARSEL: Det er ikke ltid t du skl lése denne ligning Se rmme 9 D g( ( or, er det sägte rel lig Besvrelse Skl ikke kunnes, men er nyttig or nogen Venstre grånse skl stä nederst Besvrelse Skl ikke kunnes, men er god kontrol Vi tster (= og g(= og Çr Nspire til t tegne grer (se igur) For disse Çr vi Nspire til t udregne rel mellem grer mellem skåringspunkterne NÇr der spärges om nedre og Ävre grånse, Ärer vi mrkär til skåringspunkt sç der stçr skåringspunkt og klikker rel =,67,6 Hvis grånserne ikke er skåringspunkter, men givne tl, kn vi ruge en ormulering som: udregne rel mellem grer r = til =5 NÇr der spärges om nedre og Ävre grånse tster vi tllene og 5 OvenstÄende er ikke grundigt nok til t våre en rugsnvisning til Nspire Det er et eksempel pä hvordn en esvrelse kn se ud 9 Arel mellem grer Eksempel rel ( ( g( ) rel ( ( g( ) 8 Her er integrlets grånser läsninger Her er integrlets grånser IKKE läsninger til ligningen ( = g( til ligningen ( = g( 5 Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul

13 Arel i tilålde der ikke er stndrd Opgve Figuren viser gren or unktionen ( og linjen l: y l er tngent til gren or i punktet (,) I Ärste kvdrnt grånser gren or smmen med linjen l og Ärsteksen en punktmångde M der hr et rel Bestem relet M Besvrelse Ligningen -ksen i punktet (, ) hr läsningen, sç l skårer l Arel M = (rel mellem -gr og -kse i intervllet ) = (rel mellem l og -kse i intervllet ) = ( ) = ( ) ( ) (( ) ) = Opgve Funktionen g er en stmunktion til unktionen Ligningen ( = g( hr netop läsninger Bestem relet det lç omrçde = Besvrelse D ( 6) = og ( ) =, mç 6 og våre de to läsninger til ligningen ( = g(, sç 6 og er -koordinter til -grens skåringspunkter med -ksen Det lç rel er ltsç relet mellem -gr og -kse i intervllet D ( i dette intervl, er relet lig minus integrlet: rel = ( = g( = ( g() g( )) = ( ) = 6 ( g( d g er stmunktion til iälge tel Opgve hvor integrl og rel er givet Opgve Figuren viser to omrçder med reler og A Bestem A nçr det er oplyst t () Besvrelse () 5 ( ( d ( or 5 5 () ( A d ( or 5 IÄlge indskudssåtningen (se ) er 5 ( ( ( Her og (), () og () Çr vi ( ) A sç A 5 A Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul

14 Opdelt omrçde Arelet r til er summen relerne: = Integrlet r til er summen integrlerne: ( ) ( ) = Arel mellem -gr og -kse i intervllet er ( Fortolk integrl Eksempel Opgve Det er oplyst t 7 ( ) 6 Giv en geometrisk ortolkning dette Besvrelse Vi skitserer gren or unktionen D ( or, gålder: ( i intervllet ( er relet mellem -gren og -ksen sç dvs 6 7 er relet mellem -gr og -kse i intervllet 7 er relet det grç omrçde 6 Fortolk integrl Eksempel Opgve Det er oplyst t nçr ( Giv en geometrisk ortolkning dette Besvrelse Vi tegner gren or D er er ( A = grçt rel under -kse og B = grçt rel over -kse (integrl r til ) = ( A) + B = ( A) + B og dermed A = B + Det grç rel under -ksen er enhed stärre end det grç rel over 5 Fortolk integrl Eksempel Opgve PÇ iguren ses grerne or to lineåre unktioner og g som skårer hinnden i et punkt A hvis -koordint er Det oplyses t ( ( ), 5 g Fortolk tllet,5 Besvrelse Venstre integrl er rel mellem -gr og -kse i intervllet HÄjre integrl er rel mellem g-gr og -kse i intervllet 7 I lt:,5 er relet treknt ABO 7 Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul

15 6 Bestem k sç rel er lig et oplyst tl Eksempel hvor k er en grçnse Figuren viser gren or ( og linjen med ligningen k Vi vil estemme et positivt tl k sç dvs det grç rel = k ( Nspire läser denne ligning mht k or k k,8,8 og Çr Eksempel hvor k er i orskriten Figuren viser gren or ( k hvor k Vi vil estemme k sç dvs det grç rel = 7 ( k ) Nspire läser denne ligning mht k or k 7 Husk t tste gngetegn mellem k og og Çr k Eksempel hvor k Åde er en grçnse og er i orskriten Figuren viser grerne or ( og g( k hvor 5 k Vi vil estemme k sç det grç rel er PÇ iguren ser vi t vi hr rug or t kende de to viste skåringspunkter mellem -ksen og grerne: Vi läser og Çr Vi läser k og Çr k Her og iguren Çr vi, d t det grç rel = k ( k ( ) Nspire läser denne mht k or k 5 k og Çr g For t inde grånser or integrlerne läste vi ligningerne ( og g ( Ote skl du ikke läse disse ligninger I stedet skl du mçske läse ( g( Eller mçske remgçr integrlets grånser tekst og igur Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul

16 Rumng omdrejningslegeme 7 Rumng omdrejningslegeme PunktmÅngden M pç venstre igur drejer vi 6 om -ksen SÇ Çr vi omdrejningslegemet pç häjre igur 7 Formel or rumng V omdrejningslegeme: V ( π M 7 Opgve Venstre igur ovenor viser gren or unktionen 5 (, OmrÇdet M mellem -gren og -ksen drejer vi 6 om -ksen SÇ Çr vi omdrejningslegemet som vi hr tegnet ovenor til häjre Bestem rumnget V dette omdrejningslegeme Besvrelse Husk! Husk! Venstre grånse skl stä nederst 8 Rumng skçl Opgve To unktioner og g er givet ved,, ( 8 g(,5 ( ),5, Det grç omrçde pç iguren drejer vi 6 om -ksen SÇ Çr vi en glsskçl Bestem rumnget glsset Besvrelse OmrÇdet mellem -gren og -ksen drejer vi 6 om -ksen SÇ Çr vi et omdrejningslegeme der ikke er en skçl For t gäre det til en skçl skl vi jerne noget Det vi jerner, er omdrejningslegemet som vi Çr ved t dreje omrçdet mellem g-gren og -ksen 6 om -ksen Rumnget glsset er π (,8 ) π (,5 ( ),5) 69, ,9 udregnet Nspire g Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul

17 9 Rumng ring Opgve To unktioner og g hr orskriterne 9 ( og g ( Det grç omrçde pç igur drejer vi 6 om -ksen SÇ Çr vi det ringormede omdrejningslegeme pç igur Bestem rumnget denne ring g g g Besvrelse Det grç omrçde pç igur drejer vi Advrsel π 57 ( π 6 om -ksen SÇ Çr vi en skive hvis rumng er udregnet Nspire Herr skl vi tråkke hullets rumng Hullet er den skive vi Çr ved t dreje det grç omrçde pç igur 6 om -ksen Hullets rumng er ltsç π g( 9 π AltsÇ er ringens rumng 57 π 9 π udregnet Nspire Vi kn IKKE slç udregningerne smmen i Ét integrl som vi kn med rel π 57 ( g( π 997 π er IKKE ringens rumng! Det vi hr udregnet her, er rumnget det omdrejningslegeme vi Çr nçr det grç omrçde pç iguren til häjre drejes 6 om -ksen Hullets rumng kunne vi hve udregnet ved t ruge ormlen or rumng cylinder h h( ( g( Andre nvendelser Andre nvendelser Hvis I i en eksmensopgve skl ruge integrl til t udregne ndet end gr-grånset rel og rumng omdrejningslegeme, sç vil der i opgven stç den integrlormel I skl ruge I skl sç inde ud t såtte tl ind i integrlormlen MÇske skl I Ärst udregne disse tl Det I skl udregne med et integrl kn Çde våre geometriske stärrelser og stärrelser r eks nturvidensk Opgve: Figuren viser en gvl Lngs den uede knt er et rädt lysstorär der hr orm som en del gren or ( = + 8 Gvlens redde er m Det oplyses t uelångden gren or en unktion i et intervl er ( Bestem långden lysstoräret Overvejelser: ( = hr läsningerne og 6 sç = Hertil lågger vi gvlens redde og Çr = D '( = + 8, skl der under rodtegnet stç ( + 8) + Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 5 Krsten Juul

18 Formler or estemt integrl Beviser SÇtning (IndskudssÅtningen or integrler) NÇr hr en stmunktion i et intervl, og, og c er tl i dette intervl, sç er c ( ( ( c SÇtning (Regneregler or estemt integrl) NÇr og g hr stmunktioner i et intervl, og og er tl i dette intervl, og k er et tl, sç er ( g( ( g( ( g( ( g( ( k k ( Bevis (IndskudssÅtningen or integrler) Ld F våre en stmunktion til c ( ( F( c) F( ) F( ) F( c) F( ) F( ) c IÄlge deinitionen pç estemt integrl ( IÄlge deinitionen pç estemt integrl Hermed er såtningen evist Bevis (Regneregler or estemt integrl) De tre ormler kn evises pç nåsten smme mçde Vi eviser nummer to ( hr en stmunktion F (, og g( hr en stmunktion G ( Funktionen H ( F( G( er en stmunktion til h( ( g( d H( F( G( F( G( ( g( h( ) hvor reglen or t dierentiere en dierens er egrundelsen or ndet lighedstegn Nu er ( g( h( H ( ) H ( ) F( ) G( ) F( ) G( ) F ( ) F( ) ( G( ) G( )) ( g( Hermed er ormlen evist Integrlregning or A-niveu i st, udgve 6 5 Krsten Juul

19 Hvd er en relunktion? ( A( Den viste gr er pç en skårm NÇr vi tråkker -prikken mod häjre, liver det grç omrçde stärre A( er relet det grç omrçde A( kldes relunktionen or PÇ illedet ser vi t A( 9) 6 og A ( ) 5 Vigtig regel om relunktioner SÇtning Betyder t gren ligger pä eller over -ksen NÇr A( er relunktionen or en ikke-negtiv unktion (, sç gålder t dvs A( er en stmunktion til ( A( ( Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 5 Krsten Juul

20 Bevis or t A' ( = ( SÇtning (Se rmme og ) Bevis NÇr A( er relunktionen or en ikke-negtiv unktion (, er A( ( E D F G C H ( er ikke-negtiv og voksende i intervllet og er to tl i intervllet, og A iguren ser vi t Vi eviser kun pçstnden or voksende unktioner, men den gålder ogsç or unktioner der ikke er voksende rel rektngel CDGH < rel grç omrçde < rel rektngel CEFH Dette kn vi ogsç skrive sçdn: ( ) ( ) A( A( ) ( ( ) Ulighedstegnene gålder stdig nçr vi dividerer de tre udtryk med d er positiv: A( ) A( ) () ( ) ( ) PÇ tilsvrende mçde kn vi vise t () ogsç gålder nçr Vi giver vårdier der ligger tåttere og tåttere pç sç ) kommer vilkçrlig tåt pç ) ( ( SÇ kommer räken i () vilkçrlig tåt pç ) Med symoler kn vi skrive dette sçdn: () ( ) A( ) A( lim ) ( Fr dierentilregningen ved vi t dierentilkvotienten kn udregnes som en grånsevårdi pç Älgende mçde: () A( ) A( ) A( lim A () og () Älger t A ) ( ), og dette er det vi ville evise ( ) (d den iälge () er tåttere pç ( ) end ) er ) ( Integrlregning or A-niveu i st, udgve 8 5 Krsten Juul

21 5 Arel nçr gr ligger over -kse 5 SÇtning om rel mellem -gr og -kse nçr ( Bevis Hvis sç gålder ( or og M er omrçdet mellem -gren og -ksen i intervllet ( relet M A( er relunktionen or ( F( er en stmunktion til ( IÄlge såtning er A( en stmunktion til ( M D A( og F( er stmunktion til smme unktion, indes en konstnt c sç (* ) A( F( c Nu Çs rel M A() IÄlge deinitionen pç relunktion A( ) A( ) D A ( ) F ) c F( c ( ) IÄlge (*) F( ) F( ) Hermed er såtning 5 evist ( IÄlge deinitionen pç estemt integrl Integrlregning or A-niveu i st, udgve 9 5 Krsten Juul

22 6 Arel mellem grer 6 SÇtning om rel mellem grer Hvis der i et intervl gålder om to unktioner og g t ( g( og M er omrçdet mellem -gren og g-gren i dette intervl (se venstre igur), sç er rel M ( g( M ( k M ( g( k g( Bevis Vi vålger et tl k sç grerne or Nu Çr vi Arel M rel M Hermed er såtningen evist ( k og g( k ligger over -ksen Se häjre igur rel mellem -kse rel mellem -kse og gr or ( k og gr or g( k ( k g( k ( k g( k ( g( iälge såtning om rel mellem -gr og -kse nçr ( iälge ormel or integrl dierens Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul

23 7 Arel nçr gr ligger under -kse 7 SÇtning om rel mellem -gr og -kse nçr ( Bevis A er relet mellem -gr og -kse i intervllet Hvis sç er ( or ( A Gren or unktionen g( er smmenldende med -ksen, sç A er relet mellem -gr og g-gr i intervllet A g ( ( ( iälge såtning om rel mellem grer Hermed er såtningen evist ( k i regel om integrl k ( Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul

24 Stikordsregister A Andre nvendelser5 rel 7, 8,,,, rel mellem gr og -kse, med hjålpemidler8 rel mellem gr og -kse, uden hjålpemidler8 rel mellem grer7, rel mellem grer, evis rel over -kse7 rel under -kse 7 rel under -kse, evis rel, estem k rel, evis9 relunktion7, 9 relunktion, evis 8 B estemt integrl 6 estemt integrl smmenst unktion 6 estemt integrl med Nspire6 estemt integrl uden hjålpemidler6 uelångde5 F ortolk integrl I indskudssåtningen or integrler6 integrl, indskudssåtning 6 integrl, regneregler6 integrere K kvdrnt 7 N Nspire, 6, 9,,, O omdrejningslegeme, 5 opdelt omrçde R regneregler or integrler 6 rumng rumng omdrejningslegeme rumng ring 5 rumng skçl S stmunktion,,, 5, 7 stmunktion med Nspire stmunktion til smmenst unktion stmunktion uden hjålpemidler stmunktion, grpunkt givet 5 stmunktion, tngent givet 5 U uestemt integrl,, 6 uestemt integrl smmenst unktion uestemt integrl uden hjålpemidler