Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics. And what does it mean doing mathematics? In the first place it means to be able to solve mathematical problems. G. Polya Indhold 1 Hvorfor er der en opgaveworkshop? 2 2 Hvad skal der ske ved opgaveworkshoppen? 2 3 Hvordan man får udbytte af at forberede sig 2 4 Hvordan læser man en matematisk tekst? 3 5 Hvordan kommer man så i gang med at løse en opgave? 4 5.1 Hvad siger det resultat, vi skal bevise?............... 5 5.2 Gå tilbage til definitionerne!..................... 5 5.3 Hvilke antagelser har vi gjort?.................... 6 5.4 Hvad er formålet med opgaven?................... 6 5.5 Hvad ved vi i øvrigt?......................... 6 5.6 Hvilke typer har begreberne?.................... 7 5.7 Siger intuitionen os noget?...................... 7 5.8 Er vi færdige?............................. 7 6 Det er vigtigt at udfordre sig selv 8 7 Eksempler på korrekte opgaveløsninger 8 8 Eksempler på ukorrekte løsninger 9 1

1 Hvorfor er der en opgaveworkshop? En del studerende bruger uforholdsmæssigt meget tid på opgaverne i Beregnelighed og kompleksitet, men får samtidig et uforholdsmæssigt lille udbytte af dem. Min erfaring siger mig at det formodentlig skyldes mindst to forhold: Der er ikke nogen tradition på studierne ved Aalborg Universitet for at man laver opgaver alene. Noget af det tillokkende ved opgaveregning i grupper er at opgaverne ofte bliver løst, men samtidig er der det paradoksale faktum at ingen løser opgaverne det er gruppen (måske i samarbejde med hjælpelæreren) der løser opgaven. Det er den enkelte studerende, der skal lære, og her hjælper opgaveregning i grupper ikke med til at sikre en personlig aha-oplevelse. En del studerende har ikke fundet en udbytterig og systematisk metode til at arbejde med stof af en vis sværhedsgrad. Opgave-workshoppen skal gøre noget ved det sidste forhold og derigennem forhåbentlig indirekte også gøre noget ved det første forhold. 2 Hvad skal der ske ved opgaveworkshoppen? Opgaveworkshoppen løber i tiden umiddelbart efter kommenteringen af opgaver og inddrager de samme studerende. Her er hvad jeg vil bede jer gøre: Læs disse sider sammen med en anden studerende. Lav øvelserne sammen med en anden studerende. Efter øvelserne vil alle, der deltog i øvelserne, få udleveret svarene. Brug rådene på disse sider i jeres opgavebesvarelser for fremtiden! 3 Hvordan man får udbytte af at forberede sig Mange af os har sikkert hørt om bekymrede forældre, der fortæller at deres barn bruger masser af tid på lektierne men alligevel ikke klarer sig godt i skolen. Det må være blevet meget sværere at gå i skole end det var engang, konkluderer de. En beslægtet fejl som temmelig mange studerende gør er at måle deres studieudbytte i timer og minutter. Men det handler ikke kun om at bruge tid på at forberede sig det handler også i meget høj grad om hvordan man forbereder sig. Jeg er ude for studerende der siger f.eks. Jeg har brugt tre timer på at forberede 2

mig, så jeg har forberedt mig grundigt.. Andre studerende konkluderer at Jeg har brugt tre timer på at forberede mig, men jeg forstår stadig ingen ting. Stoffet må være meget svært. Det er rigtigt at stof kan være svært og at det er bedre at bruge god tid på forberedelsen end at bruge kort tid. Men for mange studerende forbereder sig ustruktureret eller med en forkert struktur og ender derfor med at bruge tiden forkert. 4 Hvordan læser man en matematisk tekst? Forskellige fagområder kræver helt forskellig studieteknik, men ikke alle er opmærksomme på det. Min erfaring siger mig at en del studerende har alvorlige problemer med at læse en matematisk tekst, og at der er her at problemerne opstår. En opgaveformulering er også en matematisk tekst. At læse en matematisk tekst er noget helt andet end at læse f.eks. en avisartikel. I en matematisk tekst betyder hvert ord, hver sætning og hvert symbol noget vigtigt, og derfor skal målet være at forstå hvert ord, hver sætning og hvert symbol. Når man løser en opgave, skal man til at konstruere sin egen matematiske tekst. Forudsætningen for at kunne konstruere en matematisk tekst er at man ved hvordan en matematisk tekst skal læses. Følgende tekst er taget fra en evaluering af matematikundervisningen på Nørre Gymnasium i Brønshøj i hovedstadsområdet[1]. Teksten er møntet på gymnasieelever, men dens råd gælder også for universitetsstuderende. Gode studievaner i matematik Altid at læse med papir og blyant ved siden af bogen. At studielæse, når man læser matematik. Man kan ikke skimme en matematisk tekst, med mindre man allerede er godt inde i det emne man læser. At stille spørgsmål til teksten og selv være i stand til at besvare spørgsmålet: Hvorfor er denne påstand eller udregning rigtig?. Det man ikke er i stand til at svare på, må man skrive ned, så man kan få klarhed på problemet i næste modul. At lære definitioner og en række regler udenad. Hvis man ikke kan nok regler og definitioner udenad, kan man ikke forstå ret meget. Det ville være som at prøve at forstå en samtale uden at kunne et ord. 3

Figur 1: George Pólya At udfærdige bogens tegninger selv på grundlag af tekstens beskrivelse af den genstand eller det fænomen, der studeres. Det er sådan man lærer at forstå tegningen. At gentage bogens argument på sit eget papir og samtidig indføje alle de små argumenter, som bogen ikke nævner. At opfatte ethvert eksempel i bogen som en opgave, der skal løses af læseren (eleven), og i så høj grad som muligt selv give sig i kast med opgaven og kun bruge bogens løsning af opgaven som støtte til at komme videre, når man går i stå. Eksemplerne udgør nærmest en udvidet facitliste. Alle begreber er præcist defineret. Mange har en tendens til at glemme dette. 5 Hvordan kommer man så i gang med at løse en opgave? I dette afsnit vil jeg give et supplement til listen fra Nørre Gymnasium. Jeg vil præsentere en række punkter, man skal være opmærksom på, når man skal løse en opgave. Hvert underafsnit slutter af med nogle spørgsmål, man bør stille sig selv, når man er i gang med at løse en opgave. Alle de spørgsmål, jeg nævner, bør man også stille, når man får en opgaveløsning fra andre og skal undersøge denne løsning. For når man skal undersøge løsningen, skal man prøve at forstå hvordan andre har tænkt. Min liste er baseret på de erfaringer, jeg har gjort i årenes løb og på ideerne hos den ungarske matematiker G. Polya (se Figur 1), hvis fine bog How To Solve It [2] netop handler om at løse matematiske problemer. Et resumé af Polyas tanker kan man se på WWW f.eks. på 4

http://www.math.utah.edu/ alfeld/math/polya.html 5.1 Hvad siger det resultat, vi skal bevise? Mange gange bliver man bedt om at bevise en påstand. Et bevis er et udtømmende og præcist argument for en matematisk påstand. Derfor er det vigtigt at vide præcis hvad det er for en påstand, man skal argumentere for. Hvad er det for en påstand, vi skal bevis? Vær helt sikker på at du forstår præcis hvad det er, du skal bevise, så du ikke kommer til at svare på noget helt andet. Kan vi formulere, det vi skal vise, på en anden måde? For at finde ud af det, er det altid en god ide at gå tilbage til definitionerne af alle de begreber, der indgår. 5.2 Gå tilbage til definitionerne! Dette råd kan ikke gives ofte nok, og derfor dukker det op flere gange. I en matematisk tekst er alle begreber defineret præcist. Det er definitionerne, der fortæller hvad de enkelte begreber betyder. Nogle begreber er defineret i fremhævede definitioner, andre er defineret inde i teksten. Hav altid styr på hvor i teksten begreberne er defineret. I en matematisk tekst er der altid særlig notation. Denne notation er indført for at gøre det nemmere at beskrive begreber kort og præcist. Det er vigtigt at kunne læse notationen; ellers kan man ikke læse teksten. Det sker f.eks. sommetider at studerende ikke kan forklare hvad notationen M betegner. Det er mængden bestående af M, siger en. Det er sproget genkendt af M, siger en anden. Jeg er ikke helt sikker på hvad det betyder, siger en tredie. Hvis man ikke kender den præcise betydning af notationen M, bliver det umuligt at få mening i et udtryk som E TM = { M L(M) = } Hvorhenne er begreberne, der optræder i opgaven, defineret? Hvad står der i definitionen? Er der begreber i definitionen, hvis definitioner vi også er nødt til at finde? Hvad betyder notationen? 5

5.3 Hvilke antagelser har vi gjort? Opgaveteksten rummer altid nogle antagelser. Hvilke konsekvenser har antagelserne? Hvad er det, vi ved ud fra disse antagelser? Hvad fortæller antagelserne os, hvis vi sammenholder dem med definitionerne? 5.4 Hvad er formålet med opgaven? Grunden til at øvelser er så vigtige i alle fag (og ikke kun i de matematiske fag) er at det er gennem opgaver, man får skærpet sin forståelse af begreberne det gør man ved at anvende begreberne. Der er i al fald følgende typer opgaver: Opgaver, hvor man skal lave en standardanvendelse af et begreb eller et result i teksten. Opgaver, hvor man skal være opmærksom på de begrænsninger, der er i et resultat eller i definitionen af et begreb. Opgaver, hvor man skal knytte en forbindelse til en tidligere del af pensum. Hvis en opgaveløsning slet ikke bruger de begreber, som bliver introduceret i dagens tekst, er der stor sandsynlighed for at der er noget i vejen med løsningen. Et eksempel: Hvis dagens tekst handler om Rice s sætning, skal man sikkert bruge Rice s sætning. Det kan også være at en opgave giver et eksempel på en situation hvor man ikke kan bruge Rice s sætning. Hvorfor stiller underviseren lige præcis denne opgave til denne kursusgang? Hvilken type opgave fra listen ovenfor er der mon tale om? Hvad har denne opgave med indholdet af dagens tekst at gøre? 5.5 Hvad ved vi i øvrigt? For mange begrebers vedkommende findes der en lang række resultater, som man kan have stor glæde af. Tag f.eks. Sætning 3.13, der fortæller os at et sprog er genkendeligt hvis og kun hvis det kan enumereres af en enumerator. Således er det nok at konstruere en enumerator for et sprog L for at vise at det er genkendeligt. Rice s sætning er et andet eksempel på et kraftigt resultat, men man kan også galt i byen her. Derfor skal man også vide hvornår det overhovedet er muligt at bruge et resultat. 6

Hvilke resultater har vi, der har med denne opgave at gøre? Kan vi bruge resultaterne her? Passer deres formulering med hvad vi skal vise? Hvis vi ikke kan bruge resultaterne, hvorfor da ikke? 5.6 Hvilke typer har begreberne? I en hel del opgaveløsninger ser man at den, der laver opgaven, på et tidspunkt forveksler sprog og strenge eller sprog og klasser af sprog. Så bliver resten af besvarelsen desværre meningsløs. Det sker f.eks. ikke helt sjældent at nogen påstår at A TM er en Turing-maskine. Men A TM er et sprog: { M M er en TM, der accepterer input w} Man ser også temmelig tit at studerende forveksler strenge og sprog. Hvilke typer har de størrelser, der indgår? Er det strenge, sprog, klasser af sprog, maskiner eller noget andet? Hvor ved vi det fra? 5.7 Siger intuitionen os noget? Der findes mange anekdoter om skoleelever, der glædesstrålende fortælles deres lærer at de har regnet sig frem til at gennemsnitstemperaturen i december i Danmark er 48 grader Celsius eller at Frankrigs areal er 220 kvadratcentimeter. Hvis man f.eks. påstår at det er uafgørbart om en given TM har mere end 20 tilstande, har man ikke haft intuitionen med. Formodentlig ville alle studerende, der hævder at dette problem er uafgørbart, uden videre kunne fortælle hvor mange tilstande en given Turing-maskine har ved simpelthen at tælle efter. Man kan ikke altid stole på sin intuition, men man bør altid spørge sig selv om hvad den siger. Passer vores løsning med hvad man intuitivt ville forvente? 5.8 Er vi færdige? På et tidspunkt synes man at man har løst sin opgave. Nu er det på tide at se efter, om det faktisk var tilfældet. Hvis man ikke har brugt opgavetekstens antagelser, er sandsynligheden stor for at man har overset noget. 7

Kan vi konkludere den påstand, vi skulle vise, på baggrund af det vi nu ved? Hvis ja, hvorfor kan vi det? Hvis nej, hvad mangler vi så? Har jeg brugt alle antagelserne i opgaveteksten? 6 Det er vigtigt at udfordre sig selv Et problem, som vi alle kender, er at vi har nemmest ved det, vi enten allerede kan eller nemt kan overskue og derfor vil vi helst lære det. F.eks. kan rutineopgaver nemt virke tillokkende, men det vil formodentlig give større udbytte at løse en mindre rutinepræget opgave, hvor man virkelig har tænkt grundigt over sin løsning. Bagefter siger man sikkert: Det troede jeg ikke at jeg kunne men det kunne jeg. 7 Eksempler på korrekte opgaveløsninger Her er to eksempler på korrekte opgaveløsninger. Øvelse 1 Læs hvert af eksemplerne, og find ud præcis hvor de bruger rådene fra foregående afsnit. Husk at der er tale om en matematisk tekst! Ethvert genkendeligt sprog reducerer til A TM Vi skal vise at det for ethvert genkendeligt sprog L gælder at L m A TM. Definition 5.15 fortæller os for sprog A og B at A m B hvis der findes en beregnbar funktion f : Σ Σ hvor for hvert w vi har at w A f(w) B Vi skal med andre ord finde en beregnbar funktion f således at w L f(w) B. Hvad ved vi om L? Vi ved at L er genkendeligt. Definition 3.2 fortæller os at der findes en Turing-maskine der genkender L. Lad os kalde denne maskine for M. Vi ved fra Definition 3.2 at w L M accepterer w Hvad ved vi om A TM? Vi ved at det er defineret på s. 149 som A TM = { M, w M er en TM og M accepterer w} 8

Vi skal med andre ord, givet et u L finde et M, w så u L hvis og kun hvis M, w A TM. Pr. definition af A TM har vi således at vi, givet et u L skal finde et M, w så u L hvis og kun hvis M accepterer w. Et godt bud på en funktion er f(w) = M, w. For vi har at w L hvis og kun hvis M accepterer w. EQ CFG er uafgørbart Vi viser at EQ CFG er uafgørbart ved at lave en reduktion fra et allerede kendt, uafgørbart sprog L til EQ CFG. Vi kunne måske prøve at vælge A TM som det kendte, uafgørbare sprog, men vi skal lave en reduktion der for et w laver to kontekstfrie grammatikker G 1, G 2 så L(G 1 ) = L(G 2 ) hvis og kun hvis w L. Derfor er det nok en god idé at prøve at finde et problem der også involverer kontekstfrie grammatikker. Vi vælger ALL CFG, der på side 181 er defineret ved ALL CFG = { G L(G) = Σ } Vi skal nu lave en reduktion, der givet en G konstruerer G 1 og G 2 så hvis og kun hvis L(G) = Σ L(G 1 ) = L(G 2 ) Lad os nu vælge G 1 = G og G 2 til en grammatik, der definerer Σ. Disse valg af grammatikker vil opfylde ovenstående betingelse. En grammatik, der definerer Σ, er nem at lave. Hvis Σ = {a 1,... a n } kan vi lade G 2 have reglerne S a 1 S a n S ε 8 Eksempler på ukorrekte løsninger Her er tre eksempler på ukorrekte opgaveløsninger. Øvelse 2 Gennemgå eksemplerne og find ud af hvor de overtræder rådene fra afsnit 5. Lav derefter en korrekt løsning ved at bruge rådene korrekt. Vise at A DFA m A TM Vi ved at A TM er genkendeligt. Sætning 5.22 siger at hvis A m B og B er genkendeligt, så er A også genkendeligt. Men A TM er genkendeligt, og resultatet følger nu umiddelbart. 9

Er det er afgørbart om et inputsprog for en Turing-maskine rummer alle strenge af lige længde over {a, b}? Vi skal finde ud af om LIGE TM = { M M accepterer alle strenge af lige længde over {a, b}} er afgørbart. LIGE TM er afgørbart. For vi kan nemt lave en algoritme, der finder ud af om en streng af a er og b er har lige længde vi tæller bare to symboler ad gangen. Er det er afgørbart om en TM bruger mindst 1 skridt på ethvert input? Vi skal finde ud af om det er afgørbart om en TM bruger mindst 1 skridt på ethvert input. Vi kan formulere dette som problemet MINDSTET TM = { M M bruger mindst 1 skridt på ethvert input} Men dette er er uafgørbart. Vi kan lave en reduktion fra A TM der konstruerer følgende maskine M På input x 1. Hvis M accepterer x, så accepter Et alternativt bevis ville bruge Rice s sætning, for egenskaben at bruge mindst et skridt på alle input er en ikke-triviel egenskab ved genkendelige sprog. Litteratur [1] Evaluering af undervisningen 2003-2004. Nørre Gymnasium. [2] G. Polya. How To Solve It, Second Edition. Princeton University Press, 1957. 10