Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Forhistorie 2 3 Det todimensionale cartesiske koordinatsystem 3 4 Punkter i koordinatsystemet 4 4.1 Åbne og lukkede punkter................ 4 5 Lidt filosofi 7 5.1 Hvad kan man aflæse i et koordinatsystem?..... 8 6 Delmængder af koordinatsystemet 9 6.1 Linjer.......................... 9 6.2 Parabler......................... 11 6.3 Hyperbler........................ 11 6.4 Cirkler.......................... 11 7 Skæringer 11
Resumé I dette dokument indfører vi det todimensionale koordinatsystem og fastlægger den nødvendige terminologi til at diskutere analytisk geometri. 1 Introduktion Dette dokument handler om koordinatsystemet. I virkeligheden burde vi nok sige noget mere præcist, nemlig: Det todimensionale cartesiske koordinatsystem Dette skyldes at der faktisk findes mange andre koordinatsystemer end det som vi skal snakke om her. For det første findes der selvfølgelig også et tredimensionalt (cartesisk) koordinatsystem 1. Men ikke nok med det: Dimensionsbegrebet kan nemt generaliseres, så man har koordinatsystemer af dimension 4, 5, 6, 7,... (de er bare pokkers svære at tegne!) Derudover findes der faktisk også koordinatsystemer som ikke er cartesiske. Det vil dog gå alt for vidt at komme ind på hvad det betyder i dette dokument 2. Forudsætninger Du ved sikkert allerede hvad det todimensionelle koordinatsystem er. Alligevel kan det være en god ide at glemme hvad du ved inden du læser dette dokument. Det er fordi vi laver en definition som sikkert er meget mere grundig end den du har set tidligere dels for at få anvendelsen af mængdesymbolerne gjort naturlig, og dels for at demonstrere fordelen ved at definere sine matematiske objekter ordentligt. 1 Læs om det rumlige koordinatsystem her 2 Læs en lille del af sandheden om ikke-cartesiske koordinatsystemer her side 1
Dokumentet kan i princippet læses af enhver. Det er dog en fordel at man allerede har arbejdet med klassisk geometri (især trigonometri), at man har et godt forhold til mængdebegrebet 3 og har rutine med regneoperationerne i de reelle tal 4. 2 Forhistorie Geometri er en disciplin som handler om figurer som kan tegnes. Eller rettere: Om de perfekte versioner af de figurer som man tegner på sit papir. Allerede de gamle grækere vidste nemlig godt at en trekant som man tegnede i virkeligheden aldrig nogensinde ville blive præcist retvinklet, så hvis man skulle lave præcise regler for f.eks. retvinklede trekanter, måtte man hellere snakke om nogle uvirkelige ( abstrakte ) objekter, som kun fandtes inde i menneskenes hoveder. Indtil 1600 tallet forestillede man sig at disse perfekte geometriske objekter var opbygget af punkter, linjer, flader o.s.v. Og man havde klare regler for hvordan disse grundbestanddele kunne se ud og f.eks. skære hinanden. En trekant bestod f.eks. af tre punkter ( hjørnerne ) og tre linjestykker ( kanterne ) der skar hinanden i hjørnerne og dannede nogle vinkler. Det var altsammen meget fornøjeligt. Men en ting som var nærmest umulig var at pege på et punkt inde midt i en trekants indre eller et punkt på periferien af en cirkel og så beskrive præcis hvilket punkt man egentlig pegede på. Det blev fuldstændig anderledes i året 1637, hvor den franske matematiker og filosof René Descartes opfandt en måde at beskrive punkter på ved at angive deres position i et såkaldt koordinatsystem. Det er således for at ære Descartes vi i dag kalder det for det cartesiske koordinatsystem. Det kan ikke overdrives hvor fantastisk en ide det var, og nutildags er det næsten umuligt at forestille sig hvordan menneskeheden kan 3 Læs om mængder her 4 Læs om tal og regneoperationer her side 2
have lavet geometri i 2000 år uden at finde på det. Fra den ene dag til den anden kunne man så nemt som ingenting beskrive et hvilket som helst punkts præcise placering i forhold til andre punkter. Men ikke nok med det: Pludselig var to helt forskellige grene af matematikken, nemlig geometri (læren om geometrisk objekter, længder og vinkler) og analyse (læren og tal og ligninger) blevet til to sider af den samme sag, nemlig det som kom til at hedde analytisk geometri Geometri ved hjælp af tal og ligninger. 3 Det todimensionale cartesiske koordinatsystem Vi vil nu definere hvad vi vil mene med Det todimensionale cartesiske koordinatsystem. Først og fremmest vil vi give det et symbolnavn, så vi slipper for at skrive det todimensionale cartesiske koordinatsystem hele tiden. Det symbol som vi vil bruge er 5 : R 2 Symbolet læses som R-to og ikke R i anden. Nu har vi et navn, så nu mangler vi kun at fortælle hvad vi vil mene med dette navn. Det gør vi med en definition: Definition 1 Vi definerer R 2 til at være mængden bestående af reelle talpar af typen (x; y), hvor x og y er reelle tal. Skrevet med mængdesymboler: R 2 = {(x; y) x R og y R} 5 Notationen skyldes at man i en vis forstand kan tænke på koordinatsystemet som de reelle tal ganget med de reelle tal. For at forstå dette til bunds skal man dog først vide hvordan man ganger to mængder med hinanden. side 3
Det todimensionale koordinatsystem er en mængde: R 2 = {(x; y) x R og y R} Et element i denne mængde kaldes et punkt. Et punkt består altså af en parentes med to reelle tal, adskilt af et semikolon. De to tal kaldes for henholdsvist punktets førstekoordinat (eller x-koordinat) og punktets andenkoordinat (eller y-koordinat). Det specielle punkt (0; 0) kaldes origo. Punkterne hvor y-koordinaten er nul altså punkterne af typen (x; 0) udgør en delmængde som kaldes førsteaksen eller x-aksen. Punkterne hvor x-koordinaten er nul altså punkterne af typen (0; y) udgør en delmængde som kaldes andenaksen eller y-aksen. Når man skal tænke på koordinatsystemet, så forestiller man sig første- og andenaksen som to kopier af den reelle tallinje, som står vinkelret på hinanden og skærer hinanden i origo (det er jo det eneste punkt som ligger i dem begge). De øvrige punkter forestiller man sig udgør en plan (et uendeligt stort, fladt, todimensionalt område), hvor et generelt punkt (x; y) befinder sig x ude langs med x-aksen og y oppe langs med y-aksen i forhold til origo. (Se figur 1). 4 Punkter i koordinatsystemet 4.1 Åbne og lukkede punkter Når man indtegner et enkelt punkt i koordinatsystemet, så sætter man normalt en prik (nogle mennesker foretrækker et kryds, men du side 4
4 3 (2;3) 2 1-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5-1 -2-3 -4 Figur 1: Det todimensionale koordinatsystem. vil lige straks opdage hvorfor dette ikke er så smart) i det pågældende punkt. Dette kalder man et lukket punkt i koordinatsystemet, og det er vigtigt at man fylder prikken helt ud med farve (se figur 2). 3 2 1-4 -3-2 -1 1 2 3 4-1 -2-3 Figur 2: Et lukket punkt i (2; 1). Dette virker sikkert enormt fjollet, men det viser sig at man nogle gange har brug for det modsatte, nemlig et åbent punkt. side 5
Når man sætter en prik i koordinatsystemet ved at tegne en lille cirkel som ikke er farvet indvendigt (se figur 3) så kalder man det et åbent punkt i koordinatsystemet, og det betyder det stik modsatte af et lukket punkt, nemlig at dette punkt er ikke markeret. 3 2 1-4 -3-2 -1 1 2 3 4-1 -2-3 Figur 3: Et åbent punkt i (2; 1). Hvis du lige nu tidspunkt mistænker mig (forfatteren) for at have røget noget politisk ukorrekt tobak, så kan jeg godt forstå det. Derfor må jeg hellere skynde mig at give et eksempel hvor det faktisk kan være nyttigt at bruge åbne punkter: Eksempel 1 Lad os forestille os at vi vil markere alle punkterne på det rette linjestykke mellem (2; 1) og ( 1; 2), undtagen de to endepunkter. Hvis vi bare trækker en streg imellem de to punkter, så er det enormt svært at tegne prikker uendeligt tæt på punkterne uden at tegne prikker i selve punkterne også. Dertil kommer de åbne punkter til hjælp, og vi får noget i stil med figur 4 På den måde svarer de åbne og lukkede punkter lidt til de åbne side 6
3 2 1-4 -3-2 -1 1 2 3 4-1 -2-3 Figur 4: Et linjestykke uden endepunkter. og lukkede intervalendepunkter som vi bruger til at angive intervaller på den reelle akse. 5 Lidt filosofi Hvis vi skal fortsætte med at være lidt filosofiske, så er det nok ikke nogen tilfældighed at lige netop René Descartes fik ideen til koordinatsystemet. Lige som de gamle grækere (Platon som den mest fremtrædende) gik meget af Descartes tid med at spekulere over hvad virkeligheden var. Platon havde allerede stillet spørgsmålstegn ved hvorvidt vores sanser viste os den rigtige virkelighed eller bare et skyggebillede af en dybere og renere sandhed. Dette gjorde geometrien til en meget smuk videnskab, for den handlede jo netop om de perfekte cirkler, trekanter o.s.v. og ikke om de skæve tegninger af dem som vi formår at lave på et stykke papir. Descartes forsøgte at gå et skridt videre og beskrive så meget af den rene virkelighed som muligt. Måske var det under et af hans trips ind i denne rene virkelighed at han fik ideen til koordinatsystemet. side 7
Under alle omstændigheder er det vigtigt at huske at koordinatsystemet, ligesom de geometriske figurer, er et perfekt objekt som kun findes inde i vores hoveder. Ingen tegninger vil nogen sinde kunne gengive koordinatsystemet helt korrekt. (F.eks. er det meget svært at få plads til uendeligt lange akser på et stykke papir.) Hvis man holder den tanke i hovedet, er det ret nemt at svare på spørgsmålet i den næste overskrift: 5.1 Hvad kan man aflæse i et koordinatsystem? Meget, meget ofte har matematiklærere skullet skændes med deres elever, når læreren har bedt om at få beregnet koordinaterne til et punkt i koordinatsystemet, og eleverne bare har aflæst dem og svaret men jeg kan jo se hvor punktet ligger. Men hvis man husker at tegningen af koordinatsystemet kun er en upræcis og klodset repræsentation af det rigtige, perfekte koordinatsystem, så er det mere oplagt at man skal passe på med at aflæse informationer, medmindre der er gjort noget ekstra ud af at markere at disse punkter ligger der hvor de ser ud til at ligge. 3 2 1-4 -3-2 -1 1 2 3 4-1 -2-3 Figur 5: Disse to linjer skærer ikke hinanden i (1;1). side 8
6 Delmængder af koordinatsystemet Definition 2 Man siger at en ligning med to ukendte størrelser, x og y beskriver en delmængde af koordinatsystemet hvis delmængden består af præcis de punkter hvor x- og y-koordinaten opfylder ligningen. Eksempel 2 For eksempel kan man sige at delmængden: {(x; y) R 2 y 2 = x 3 + 1} er beskrevet af ligningen: y 2 = x 3 + 1 6.1 Linjer Hvis a og b er to givne reelle tal, så udgør delmængden: {(x; y) R 2 y = a x + b} en ret linje som ikke er lodret. Alle rette linjer som ikke er lodrette kan beskrives på denne måde. Tallet a kaldes hældningskoefficienten for den rette linje. Sætning 1 (Bestemmelse af ret linje ud fra to punkter) Hvis P og Q er to punkter: P = (x 1 ; y 1 ) side 9
og Q = (x 2 ; y 2 ) hvor x 1 x 2, så kan den rette linje gennem P og Q beskrives ved: hvor og {(x; y) R 2 y = a x + b} a = y 2 y 1 x 2 x 1 b = y 1 y 2 y 1 x 2 x 1 x 1 Alternativt kan a og b bestemmes ved at løse de to ligninger med a og b som ukendte: y 1 = a x 1 + b og y 2 = a x 2 + b Et problem man ofte havner i 6 er at vi allerede kender en linjes hældning, men til gengæld kun et eneste punkt på den. Derfor har vi også lyst til at huske en metode til at beskrive linjen ud fra sådanne informationer: Sætning 2 (Ret linje ud fra et punkt og en hældning) Hvis P er et punkt i koordinatsystemet: P = (x 0 ; y 0 ) 6 Det kommer især til at ske når vi senere skal arbejde med tangenter til grafer. Det kan du læse mere om her. side 10
og a er et reelt tal, så kan den rette linje gennem P med hældningskoefficient beskrives ved: hvor {(x; y) R 2 y = a x + b} Sætning 3 (Ortogonale linjer) 6.2 Parabler 6.3 Hyperbler 6.4 Cirkler 7 Skæringer Når man har to forskellige delmængder i koordinatsystemet, så er det altid interessant om de skærer hinanden eller ej. Dvs. om der er nogen punkter som er med i begge delmængderne, og i givet fald hvilke. Sætning 4 (Vinkler mellem rette linjer) Hej side 11